POLITECHNIKA ŚLĄSKA

GLIWICE

WYDZ. ELEKTRYCZNY

GRUPA III MGR

SEM. IV

SEKCJA 4

LABORATORIUM ELEKTROTECHNIKI OGÓLNEJ

TEMAT: Harmoniczna analiza i synteza okresowych przebiegów odkształconych.

ćwiczenie wykonali:

Grabowski Piotr

Zygma Kszysztof

Cel ćwiczenia.

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z właściwościami okresowych przebiegów odkształconych i ich aproksymacją za pomocą kolejnych wyrazów szeregu Fouriera . Bada się wpływ zmian faz poszczególnych harmonicznych na kształt przebiegu odkształconego przy nie zmienionych amplitudach. Przeprowadza się również przybliżoną teoretyczną i praktyczną analizę harmoniczną zadanego przebiegu.

Wprowadzenie.

Wszystkie przebiegi okresowe nie mające kształtu sinusoidalnego zalicza się do klasy przebiegów okresowych niesinusoidalnych lub odkształconych. Przebiegi te uzyskiwane są albo w sposób zamierzony i wówczas są pożądane , albo jako niepożądany skutek działania różnych czynników. Liczne generatory wytwarzają przebiegi piłowe , prostokątne lub impulsowe jako wynik zamierzonego działania. Natomiast w transformatorze z rdzeniem ferromagnetycznym przy zasilaniu napięciem sinusoidalnym prąd w obwodzie na skutek nieliniowej charakterystyki magnesowania ma przebieg niesinusoidalny , co jest zjawiskiem niepożądanym. Zjawiska zachodzące w obwodach elektrycznych w przypadku niesinusoidalnych napięć i prądów można badać po uprzednim rozwinięciu tych funkcji w trygonometryczny lub zespolony szereg Fouriera. Jest to szczególnie korzystne w przypadku zasilania przebiegami odkształconymi obwodów liniowych , dla których można stosować zasadę superpozycji . Jedyna niedogodność tej metody polega na tym , że w celu dokładnego odtworzenia przebiegu danej funkcji okresowej należy użyć nieskończenie wielu wyrazów szeregu. Praktycznie ze względu na jego szybką zbieżność wystarczy kilka wyrazów , aby uzyskać zadowalające przybliżenie. Jako miarę dokładności przyjmuje się błąd średniokwadratowy.

Szereg Fouriera i jego zasadnicze postacie

Dowolną funkcję okresową niesinusoidalną f(t) można rozwinąć w szereg Fouriera , jeżeli spełnia ona warunki Dirichleta , które brzmią:

- funkcja f(t) jest przedziałami monotoniczna w przedziale skończonym <a,b>

- funkcja f(t) jest w tym przedziale ciągła z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów nieciągłości pierwszego rodzaju , przy czym w każdym punkcie nieciągłości istnieją granice lewostronne i prawostronne , a wartość jest równa średniej arytmetycznej obu granic .

Zatem funkcję okresową można przedstawić za pomocą następującej zależności:

(1)

zwanej postacią trygonometryczną szeregu Fouriera , przy czym ω=2Π/T .

Składnik a₀ /2 nazywa się składową stałą ,lub wartością średnią funkcji f(t), a składniki będące funkcjami argumentu kωt ”k-tą ” harmoniczną funkcji f(t).

Współczynniki szeregu oblicza się na podstawie wzorów:

a ponieważ :

to szereg można przedstawić także pod postacią trygonometryczną w formie :

(2)

Szereg Fouriera można również przedstawić w postaci zespolonej :

(3)

Postać szeregu dana wzorem (2) jest wygodna w praktyce , gdyż zawiera

bezpośrednia informację o każdej harmonicznej , a mianowicie jej amplitudę

C_k oraz fazę początkową ϕ_K. Informację te przedstawia się często w postaci wykresów w funkcji częstotliwości (pulsacji ω) lub numeru harmonicznej k, zwanym widmem dyskretnym lub prążkowym amplitudy i fazy.

Przebieg ćwiczenia ,wyniki.

Schemat blokowy aparatury pomiarowej :

Podczas ćwiczenia wykonano syntezę dwóch przebiegów okresowych , niesinusoidalnych: prostokątnego , oraz trójkątnego. Dokonano teoretycznego rozkładu tych funkcji na szereg Fouriera , ustalono na ekranie oscyloskopu przesunięcia fazowe poszczególnych harmonicznych wchodzących w skład tego szeregu względem harmonicznej podstawowej . Za pomocą miernika ustawiono wartości amplitud dla poszczególnych harmonicznych .Tak ustawione wartości amplitud i faz poszczególnych harmonicznych podano na wejście sumatora.

Błąd średnio - kwadratowy dla przebiegu prostokątnego wynosi:

gdzie n - ilość harmonicznych w szeregu

Po obliczeniach :

e₁ = 9.46

e₃ = 4.961

e₅ = 3.34

e₇ = 2.52

e₉ = 2.02

gdzie A = 7.685

Błąd średniokwadratowy dla przebiegu piłowego wynosi:

Po obliczeniach :

e₁ = 20.41

e₂ = 12.50

e₃ = 8.98

e₄ = 7.00

e₅ = 5.73

e₆ = 4.85

e₇ = 4.21

e₈ = 3.72

e₉ = 3.33

e₁₀= 3.01

gdzie A = 12.566

Wnioski:

Przedstawione ćwiczenie było głównie ćwiczeniem poglądowym , mającym zapoznać nas z prawdziwością twierdzeń Fouriera i metodami analizy i syntezy teoretycznymi jak i praktycznymi.

Na podstawie przeprowadzonych pomiarów można zauważyć, że zwiększając liczbę wyrazów rozwinięcia w szereg Fouriera, przebieg będący sumą poszczególnych harmonicznych jest coraz bardziej zbliżony do przebiegu idealnego (poprawia się aproksymacja).

Zwiększając ilość wyrazów rozwinięcia w szereg Fouriera, maleje błąd średniokwadratowy, co oznacza, że zmniejsza się różnica między przebiegiem będącym sumą poszczególnych harmonicznych i przebiegu idealnego ( dla aproksymacji

nieskończoną ilością składowych błąd dąży do zera ).

Zaobserwować można również, iż zwiększając ilość wyrazów rozwinięcia w szereg Fouriera zwiększa się liczba minimów i maksimów wokół punktów nieciągłości funkcji f(t) , jednakże amplitudy poszczególnych ekstremów wokół ustalonej wartości nie maleją do zera.

Otrzymane przebiegi rzeczywiste różnią się nieznacznie od idealnych, wynikać może to z trudności ustawienia przesunięć fazowych tak aby były równe zero , zacinaniem się miernika w pobliżu wskazania = 9 V.