POLITECHNIKA ŚLĄSKA
GLIWICE
WYDZ. ELEKTRYCZNY
GRUPA III MGR
SEM. IV
SEKCJA 4
LABORATORIUM ELEKTROTECHNIKI OGÓLNEJ
TEMAT: Harmoniczna analiza i synteza okresowych przebiegów odkształconych.
ćwiczenie wykonali:
Grabowski Piotr
Zygma Kszysztof
Cel ćwiczenia.
Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z właściwościami okresowych przebiegów odkształconych i ich aproksymacją za pomocą kolejnych wyrazów szeregu Fouriera . Bada się wpływ zmian faz poszczególnych harmonicznych na kształt przebiegu odkształconego przy nie zmienionych amplitudach. Przeprowadza się również przybliżoną teoretyczną i praktyczną analizę harmoniczną zadanego przebiegu.
Wprowadzenie.
Wszystkie przebiegi okresowe nie mające kształtu sinusoidalnego zalicza się do klasy przebiegów okresowych niesinusoidalnych lub odkształconych. Przebiegi te uzyskiwane są albo w sposób zamierzony i wówczas są pożądane , albo jako niepożądany skutek działania różnych czynników. Liczne generatory wytwarzają przebiegi piłowe , prostokątne lub impulsowe jako wynik zamierzonego działania. Natomiast w transformatorze z rdzeniem ferromagnetycznym przy zasilaniu napięciem sinusoidalnym prąd w obwodzie na skutek nieliniowej charakterystyki magnesowania ma przebieg niesinusoidalny , co jest zjawiskiem niepożądanym. Zjawiska zachodzące w obwodach elektrycznych w przypadku niesinusoidalnych napięć i prądów można badać po uprzednim rozwinięciu tych funkcji w trygonometryczny lub zespolony szereg Fouriera. Jest to szczególnie korzystne w przypadku zasilania przebiegami odkształconymi obwodów liniowych , dla których można stosować zasadę superpozycji . Jedyna niedogodność tej metody polega na tym , że w celu dokładnego odtworzenia przebiegu danej funkcji okresowej należy użyć nieskończenie wielu wyrazów szeregu. Praktycznie ze względu na jego szybką zbieżność wystarczy kilka wyrazów , aby uzyskać zadowalające przybliżenie. Jako miarę dokładności przyjmuje się błąd średniokwadratowy.
Szereg Fouriera i jego zasadnicze postacie
Dowolną funkcję okresową niesinusoidalną f(t) można rozwinąć w szereg Fouriera , jeżeli spełnia ona warunki Dirichleta , które brzmią:
- funkcja f(t) jest przedziałami monotoniczna w przedziale skończonym <a,b>
- funkcja f(t) jest w tym przedziale ciągła z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów nieciągłości pierwszego rodzaju , przy czym w każdym punkcie nieciągłości istnieją granice lewostronne i prawostronne , a wartość jest równa średniej arytmetycznej obu granic .
Zatem funkcję okresową można przedstawić za pomocą następującej zależności:
(1)
zwanej postacią trygonometryczną szeregu Fouriera , przy czym ω=2Π/T .
Składnik a0 /2 nazywa się składową stałą ,lub wartością średnią funkcji f(t), a składniki będące funkcjami argumentu kωt ”k-tą ” harmoniczną funkcji f(t).
Współczynniki szeregu oblicza się na podstawie wzorów:
a ponieważ :
to szereg można przedstawić także pod postacią trygonometryczną w formie :
(2)
Szereg Fouriera można również przedstawić w postaci zespolonej :
(3)
Postać szeregu dana wzorem (2) jest wygodna w praktyce , gdyż zawiera
bezpośrednia informację o każdej harmonicznej , a mianowicie jej amplitudę
Ck oraz fazę początkową ϕK. Informację te przedstawia się często w postaci wykresów w funkcji częstotliwości (pulsacji ω) lub numeru harmonicznej k, zwanym widmem dyskretnym lub prążkowym amplitudy i fazy.
Przebieg ćwiczenia ,wyniki.
Schemat blokowy aparatury pomiarowej :
Podczas ćwiczenia wykonano syntezę dwóch przebiegów okresowych , niesinusoidalnych: prostokątnego , oraz trójkątnego. Dokonano teoretycznego rozkładu tych funkcji na szereg Fouriera , ustalono na ekranie oscyloskopu przesunięcia fazowe poszczególnych harmonicznych wchodzących w skład tego szeregu względem harmonicznej podstawowej . Za pomocą miernika ustawiono wartości amplitud dla poszczególnych harmonicznych .Tak ustawione wartości amplitud i faz poszczególnych harmonicznych podano na wejście sumatora.
Błąd średnio - kwadratowy dla przebiegu prostokątnego wynosi:
gdzie n - ilość harmonicznych w szeregu
Po obliczeniach :
e1 = 9.46
e3 = 4.961
e5 = 3.34
e7 = 2.52
e9 = 2.02
gdzie A = 7.685
Błąd średniokwadratowy dla przebiegu piłowego wynosi:
Po obliczeniach :
e1 = 20.41
e2 = 12.50
e3 = 8.98
e4 = 7.00
e5 = 5.73
e6 = 4.85
e7 = 4.21
e8 = 3.72
e9 = 3.33
e10= 3.01
gdzie A = 12.566
Wnioski:
Przedstawione ćwiczenie było głównie ćwiczeniem poglądowym , mającym zapoznać nas z prawdziwością twierdzeń Fouriera i metodami analizy i syntezy teoretycznymi jak i praktycznymi.
Na podstawie przeprowadzonych pomiarów można zauważyć, że zwiększając liczbę wyrazów rozwinięcia w szereg Fouriera, przebieg będący sumą poszczególnych harmonicznych jest coraz bardziej zbliżony do przebiegu idealnego (poprawia się aproksymacja).
Zwiększając ilość wyrazów rozwinięcia w szereg Fouriera, maleje błąd średniokwadratowy, co oznacza, że zmniejsza się różnica między przebiegiem będącym sumą poszczególnych harmonicznych i przebiegu idealnego ( dla aproksymacji
nieskończoną ilością składowych błąd dąży do zera ).
Zaobserwować można również, iż zwiększając ilość wyrazów rozwinięcia w szereg Fouriera zwiększa się liczba minimów i maksimów wokół punktów nieciągłości funkcji f(t) , jednakże amplitudy poszczególnych ekstremów wokół ustalonej wartości nie maleją do zera.
Otrzymane przebiegi rzeczywiste różnią się nieznacznie od idealnych, wynikać może to z trudności ustawienia przesunięć fazowych tak aby były równe zero , zacinaniem się miernika w pobliżu wskazania = 9 V.