Modele równowagi rynku kapitałowego

Modele równowagi rynku kapitałowego przedstawiają rynek w sytuacji, gdy inwestorzy postępują racjonalnie, czyli stosują zasady teorii portfela.

Modele te są również modelami wyceny, ponieważ określają ile, w warunkach równowagi, powinna wynosić stopa zwrotu (ewentualnie cena) akcji lub portfela akcji.

Modele równowagi rynku kapitałowego są to teoretyczne konstrukcje, które objaśniają sposób stanowienia cen aktywów kapitałowych (papierów wartościowych) przez rynek.

Najważniejsze modele to:

1. Capital Asset Pricing Model (CAPM)

Najpopularniejszym modelem równowagi rynku jest model wyceny aktywów kapitałowych (CAPM). Model ten w swej podstawowej formie został opracowany mniej więcej równocześnie (w połowie lat sześćdziesiątych XX wieku) i niezależnie od siebie przez trzech autorów: Williama Sharpe'a, Johna Lintnera i Jana Mossina.

CAPM (w wersji standardowej) opiera się na następujących założeniach:

Podstawowe znaczenie dla modelu CAPM ma występowanie w gospodarce walorów wolnych od ryzyka, przynoszących stopę zwrotu pozbawioną ryzyka (
). Do takich walorów zalicza się np. obligacje skarbowe o stałym oprocentowaniu lub bony skarbowe.

Uwzględnienie walorów wolnych od ryzyka w portfelu, a tym samym rozwinięcie teorii Markowitza, zaproponował James Tobin w 1958 r.

Włączenie instrumentów wolnych od ryzyka do portfela można traktować jako utworzenie portfela dwuskładnikowego.

Oczekiwana stopa zwrotu tego portfela wyznaczana jest za pomocą następującego wzoru:

gdzie:

- oczekiwana stopa zwrotu portfela,

- stopa zwrotu instrumentów wolnych od ryzyka,

- stopa zwrotu portfela akcji,

- udział w portfelu instrumentów wolnych od ryzyka.

Z kolei ryzyko portfela mierzone odchyleniem standardowym otrzymuje się ze wzoru:

gdzie:

- ryzyko portfela dwuskładnikowego,

- ryzyko portfela akcji,

- jak w poprzednim wzorze.

Włączenie do analizy portfela instrumentów wolnych od ryzyka powoduje dwie konsekwencje.

1. Po pierwsze, stwarza to nowe możliwości inwestycyjne. Inwestorzy mogą lokować posiadane środki w instrumenty finansowe pozbawione ryzyka, a także mogą zaciągać pożyczki według stopy procentowej pozbawionej ryzyka.

W ujęciu graficznym włączenie instrumentów wolnych od ryzyka do portfela aktywów ryzykownych przedstawia wykres.

Na wykresie znajduje się zbiór możliwości inwestycyjnych oraz punkt F leżący na osi pionowej, odpowiadający instrumentom wolnym od ryzyka.

Portfele składające się z aktywów wolnych od ryzyka i portfeli akcji leżą na półprostej łączącej punkt F z dowolnym punktem odpowiadającym portfelowi akcji - na przykład z punktem X.

Na wykresie, poza półprostą FX, można poprowadzić wiele innych półprostych wychodzących z punktu F.

Najbardziej efektywne portfele znajdują się na półprostej FM.

2. Drugą konsekwencją włączenia do portfela instrumentów wolnych od ryzyka jest zmiana zbioru efektywnego (granicy efektywnej).

Portfele efektywne leżą teraz na linii rynku kapitałowego (Capital Market Line - CML), co przedstawia kolejny wykres.

Linia rynku kapitałowego (CML) jest nową granicą efektywną. Jest to półprosta wychodząca z punktu r_F odpowiadającego stopie wolnej od ryzyka i styczna do dotychczasowej granicy efektywnej (granicy efektywności Markowitza) w punkcie M.

Portfele efektywne mogą teraz składać się w części z walorów pozbawionych ryzyka i w części z walorów ryzykownych. Na lewo od punktu M inwestorzy udzielają pożyczki (kupują obligacje skarbowe), natomiast na prawo od tego punktu zaciągają pożyczki i uzyskane środki (wraz z własnymi) inwestują w aktywa ryzykowne.

Portfele optymalne dla poszczególnych inwestorów wyznaczane są - podobnie jak dotychczas - przez punkty styczności najwyżej położonej krzywej obojętności z nową granicą efektywną, czyli linią CML (na wykresie jest to: punkt 1 dla inwestora o wysokiej awersji do ryzyka oraz punkt 2 dla inwestora o niskiej awersji do ryzyka).

Optymalny portfel inwestora o wysokiej awersji do ryzyka znajduje się na lewo od punktu M.

Z kolei optymalny portfel inwestora o niskiej awersji do ryzyka leży na linii rynku kapitałowego na prawo od punktu M.

Możliwość inwestowania (zaciągania pożyczek) według stopy procentowej pozbawionej ryzyka pozwala określić - przy przyjętych wcześniej założeniach, bez znajomości preferencji inwestora odnośnie ryzyka - w jaki portfel aktywów obarczonych ryzykiem inwestor będzie inwestował.

Tym portfelem jest portfel, który leży w punkcie styczności linii rynku kapitałowego (CML) z granicą efektywności Markowitza (na wykresie punkt M). Jest to portfel, który maksymalizuje następujące wyrażenie:

gdzie:

- oczekiwana stopa zwrotu portfela,

- stopa procentowa pozbawiona ryzyka,

- odchylenie standardowe (ryzyko) portfela.

Portfelem, który maksymalizuje to wyrażenie jest tzw. portfel rynkowy.

Portfel rynkowy jest to taki portfel, który składa się ze wszystkich aktywów obarczonych ryzykiem, przy czym proporcje, w jakich aktywa te występują w tym portfelu powinny odpowiadać proporcjom, w jakich aktywa te występują na rynku.

Ostatecznie zbiór efektywny (granica efektywna) jest półprostą, częścią prostej o równaniu:

gdzie:

- oczekiwana stopa zwrotu portfela efektywnego,

- stopa zwrotu instrumentów wolnych od ryzyka,

- oczekiwana stopa zwrotu portfela rynkowego,

- odchylenie standardowe stopy zwrotu portfela rynkowego,

- odchylenie standardowe stopy zwrotu portfela efektywnego.

W modelu CAPM wszyscy inwestorzy zajmują pozycje na linii rynku kapitałowego; linia CML stanowi zbiór efektywny.

W ramach modelu CAPM ryzyko portfela mierzone jest za pomocą wariancji (odchylenia standardowego), natomiast ryzyko poszczególnych walorów - współczynnikiem beta.

Zależność między ryzykiem papieru wartościowego oraz jego oczekiwaną stopą zwrotu jest przedstawiona graficznie na wykresie.

Prosta przedstawiona na rysunku po prawej stronie nosi nazwę linii rynku papierów wartościowych (Security Market Line - SML). Linia ta przedstawia zależność pomiędzy ryzykiem poszczególnych akcji mierzonym współczynnikiem beta a ich oczekiwanymi stopami zwrotu.

Ponieważ linia SML jest prostą można ją algebraicznie przedstawić za pomocą wyrazu wolnego i współczynnika kierunkowego.

Wyraz wolny SML jest równy stopie procentowej pozbawionej ryzyka.

Współczynnik kierunkowy obliczamy jako iloraz jednej przyprostokątnej
do drugiej przyprostokątnej
. Ponieważ
=1,0, to współczynnik kierunkowy SML wynosi
/1, czyli
.

A zatem linię SML można algebraicznie przedstawić za pomocą następującego wzoru (model CAPM):

Ze wzoru wynika, że oczekiwana stopa zwrotu akcji J równa jest sumie dwóch składników:

Premię za ryzyko można również rozbić na dwa elementy: (1) rynkową premię za ryzyko
oraz (2) współczynnik beta danego waloru.

Pierwszy składnik reprezentuje premię za ryzyko „przeciętnej” akcji, natomiast drugi (współczynnik beta) odzwierciedla relacje pomiędzy ryzykiem rynku a ryzykiem danej akcji.

Przedstawione równanie CAPM jest równaniem wyceny, tzn. w warunkach równowagi rynku stopa zwrotu akcji powinna wynosić właśnie tyle, ile wynika z tego równania.

Przykład

Załóżmy, że w gospodarce stopa zwrotu wolna od ryzyka wynosi 5%, stopa zwrotu z portfela rynkowego ma wartość oczekiwaną 12% i odchylenie standardowe 15%. Analizujemy akcje firmy „A”, których kowariancja z rynkiem wynosi 0,045. Jaka jest - zgodnie z modelem CAPM - oczekiwana stopa zwrotu z tych akcji?

= 0,045/0,15² = 2,0

E(r_A) = 0,05 + (0,12 - 0,05)×2 = 0,19 = 19%

Interpretacja graficzna linii rynku papierów wartościowych SML przedstawiona jest na wykresie.

Na wykresie portfel F zawiera tylko instrumenty wolne od ryzyka. Portfel M jest to portfel rynkowy. Z kolei portfel X to portfel defensywny, a portfel Y jest to portfel agresywny. Obydwa portfele leżą na linii SML, co oznacza, że rynki dla tych portfeli są w równowadze, a same portfele są dobrze wycenione.

Istota wyceny polega tutaj na porównaniu stopy zwrotu spodziewanej przez inwestorów (określonej najczęściej za pomocą metod analizy fundamentalnej) ze stopą zwrotu wynikającą z linii SML, tzn. stopą zwrotu jaką w warunkach równowagi osiąga się z portfela o tym samym współczynniku beta.

Na wykresie zaznaczone są również dwa portfele, które nie leżą na linii SML, tj. portfele C i D.

Portfel C leży powyżej SML, co oznacza że jest niedowartościowany (niedoszacowany). Portfel ten staje się dla inwestorów atrakcyjny, więc będą się starali dokonać jego zakupu. W rezultacie portfel C stanie się portfelem C', czyli znajdzie się na linii SML (będzie właściwie wyceniony).

Z kolei portfel D leży poniżej SML, co oznacza że jest przewartościowany (przeszacowany). Portfel ten staje się dla inwestorów nieatrakcyjny, więc będą się starali dokonać jego sprzedaży (również krótkiej sprzedaży). W rezultacie portfel D stanie się portfelem D', czyli znajdzie się na linii SML (będzie dobrze wyceniony).

Przykład

Stopa zwrotu wolna od ryzyka wynosi 5%. Oczekiwana stopa zwrotu portfela rynkowego wynosi 13%, a odchylenie standardowe 4%. Dane dotyczące czterech portfeli zawiera tabela.

Po podstawieniu do równania SML otrzymujemy następujące oczekiwane stopy zwrotu dla portfeli dobrze wycenionych:

1) w przypadku beta równego 0,75

E(r_P) = 0,05 + (0,13 - 0,05)×0,75 = 0,11 = 11%

2) w przypadku beta równego 0,375

E(r_P) = 0,05 + (0,13 - 0,05)×0,375 = 0,08 = 8%

Otrzymane wyniki oznaczają, że: