SPRAWDZANIE PRAWA HOOKE'A, WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA.
1.Spis przyrządów:
- Urządzenie do pomiaru wydłużenia (umocowane do ściany w pracowni, z zamocowanymi dwoma mikroskopami pomiarowymi i elementem mierzonym, tzn. drutem)
- Przymiar liniowy (milimetrowy)
- Śruba mikrometryczna
- Komplet obciążników 6 x 1 kg, Δm = ± 0.01 kg.
2. Wstęp.
2.1 Naprężeniem nazywamy wektor o wartości równej stosunkowi wartości siły do powierzchni, na którą ona działa, o kierunku i zwrocie zgodnym z kierunkiem i zwrotem wektora siły:
F
p = _
S
Podobnie jak siłę, naprężenie można rozłożyć na dwie składowe: normalną σ, oraz styczną τ.
Jednostką naprężenia jest takie naprężenie jakie wywołuje jednostkowa siła działająca normalnie (prostopadle) na jednostkową powierzchnię. W układzie SI jednostką naprężenia jest paskal i jest to naprężenie wywołane przez siłę jednego niutona, działającą na powierzchnię jednego metra :
N
__ = Pa
m2
Wszelkie odkształcenia jakim ulegają ciała pod wpływem działających na nie sił, można sprowadzić do trzech głównych rodzajów odkształceń : jednostronnego ściskania lub rozciągania, wszechstronnego ściskania lub rozciągania oraz ścinania.
Skutkiem działania sił w odkształceniu jednostronnym jest przyrost długości Δl, który nazywamy odkształceniem bezwzględnym, natomiast stosunek Δl/l nazywamy odkształceniem względnym. W czasie doświadczenia wykorzystujemy właśnie ten rodzaj odkształceń.
2.2 Prawo Hooke'a wyraża zależność pomiędzy naprężeniem, a odkształceniem dla rozciągania opisane jest wzorem:
Δl 1
_ = _ σ
l E
gdzie: E - moduł Younga.
Jeżeli występujące w ciele naprężenia są dostatecznie małe to wywołane przez nie odkształcenia względne są do nich wprost proporcjonalne.
2.3 Sprawdzenie prawa Hooke'a polega na wykonaniu kilku pomiarów wydłużenia Δl stalowego drutu pod wpływem znanego obciążenia Q = m⋅g i sporządzenia wykresu Δl = f(Q), oraz zbadanie czy jest on prostoliniowy.
2.4 Moduł Younga wyznaczamy z wzoru:
4⋅m⋅g ⋅ l
E = ____
π⋅d2⋅Δl
gdzie: d - średnica drutu; m - masa obciążenia; g - przyspieszenie ziemskie.
3. Przykłady obliczeń.
3.1 Obliczenie wartości działki mikroskopu:
średnica zmierzona mikrometrem
w = _______________
średnica w działkach
przykład:
0.66 0.59 0.256 + 0.265
w1 = ___ = 0.256 , w2 = ___ = 0.265 , wśr. = ______ = 0.26 [mm/dz.]
2.572 2.22 2
3.2 Przyrost długości Δl obliczamy z zależności:
Δl = w⋅(b - a)
gdzie: w - wartość działki mikroskopu; a - zmiana dł. w działkach odczytana z górnego wskaźnika, względem pozycji zerowej; b - zmiana dł. w działkach odczytana z dolnego wskaźnika, względem pozycji zerowej;
przykład:
Δl = 0.26⋅(2.162 - 0.058) = 0.54 [mm]
3.3 Moduł Younga wyznaczam ze wzoru jak we wstępie dla danych:
m = 6 kg
l = 0.62 m
Δl = 0.0009 m
π = 3.14159
g = 9.806 m/s2
d = 0.0009 m
4 ⋅ 9.806 ⋅ 6 ⋅ 0.62
E = ____________ = 0.37114938 ⋅ 1011 [Pa] = 37114.938 [MPa]
3.14159 ⋅ 0.0009 ⋅ (0.0009)2
3.4 Błąd względny modułu obliczamy z różniczki logarytmicznej:
ΔE Δm Δl Δd Δ(Δl)
__ = __ + __ + __ + __
E m l d Δl
Δm = ± 0.01 kg
Δl = ± 1 mm
Σ (Δdn)2 Σ (0.01)2
Δd = √ ____ = √ ____ = 0.0033 ≅ 0.004 [mm]
n⋅(n - 1) 10⋅(10 - 1)
Σ (Δln)2 Σ ( 0.005)2
Δ(Δl) = √ _____ = √ _____ = 0.0035 ≅ 0.004 [mm] - błąd przyrostu
n⋅ (n - 1) 3⋅ (3 - 1)
ΔE Δm Δl Δd Δ(Δl) 0.01 1 0.004 0.004
__ = __ + __ + __ + __ = __ + _ + ___ + ___ = 0.0262 ≅0.03
E m l d Δl 6 62 0.89 0.9
3.5 Błąd bezwzględny modułu Younga.
ΔE = 0.03⋅ 37114.938 = 1113.448 ≅ 1200 [MPa]
E = (38000 ±1200) MPa
4. Tabele pomiarowe.
4.1 Pomiar średnicy śrubą mikrometryczną.
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
średnia |
0.89 |
0.90 |
0.90 |
0.89 |
0.90 |
0.91 |
0.90 |
0.85 |
0.90 |
0.90 |
0.89 |
4.2 Pomiar grubości wskaźników.
Wskaźnik górny: Wskaźnik dolny:
X |
Y |
X - Y |
|
X |
Y |
X - Y |
5.005 |
2.480 |
2.525 |
|
5.931 |
3.705 |
2.226 |
5.350 |
2.749 |
2.601 |
|
5.919 |
3.689 |
2.230 |
5.339 |
2.749 |
2.590 |
|
5.925 |
3.721 |
2.204 |
|
średnia |
2.572 |
|
|
średnia |
2.220 |
4.3 Pomiar wydłużenia w zależności od obciążenia.
obciążenie [kg] |
wsk. górny [dz.] |
wsk. dolny [dz.] |
wsk. górny względem 0 [dz.] |
wsk. dolny względem 0 [dz.] |
Δl [mm] |
1 |
2.601 |
3.763 |
0.058 |
2.162 |
0.540 |
2 |
2.577 |
3.543 |
0.082 |
2.382 |
0.598 |
3 |
2.562 |
3.167 |
0.097 |
2.758 |
0.691 |
4 |
2.540 |
2.898 |
0.119 |
3.027 |
0.756 |
5 |
2.501 |
2.559 |
0.158 |
3.336 |
0.834 |
6 |
2.470 |
2.272 |
0.189 |
3.653 |
0.900 |
5. Wnioski.
Pomiarów wydłużenia badanego drutu dokonywałem przy pomocy dwóch mikroskopów zamocowanych w taki sposób, aby widoczne było przesunięcia wskaźników (umieszczonych na drucie), pod wpływem zwiększającego się obciążenia. Mikroskopy wskazywały wydłużenie w działkach, które zamieniłem na wartości wydłużenia w [mm] przy pomocy wzorów jak wyżej.
Proces pomiaru był czasochłonny(ćwiczenie wykonywałem samodzielnie), z tego powodu nie zdążyłem wykonać serii pomiarów przy zmniejszającym się obciążeniu, oraz dodatkowych pomiarów dla wybranego punktu, mogło to spowodować zmniejszenie dokładności pomiaru. Na podstawie otrzymanych wyników wykonałem wykres wydłużenia w funkcji obciążenia. Moduł Younga wyznaczyłem dla punktu przy największym możliwym obciążeniu.
Aby wyeliminować błąd odczytu każdy z pomiarów wykonywałem parokrotnie, a następnie wyznaczałem średnią wartość pomiaru. Błędy pomiarów wyliczyłem ze wzorów jak wyżej, na podstawie danych z instrukcji ćwiczeniowej, oraz wykonanych pomiarów.
1