PŁASZCZYZNA FAZOWA

Analiza złożonych układów dynamicznych jest jednym z najważniejszych elementów potrzebnych przy badaniu i projektowaniu urządzeń automatyki . Metodę ogólną analizy układów dynamicznych liniowych i nieliniowych można sformułować przyjmując opis w przestrzeni stanów . Wybór wspołrzędnych stanu jest szczególnie dogodny jeśli wspłórzędne te są kolejnymi pochodnymi najbardziej interesującej zmiennej np.zmiennej wyjściowej układu . Wspłórzędne te nazywane sa współrzednymi fazowymi . W niektórych przypadkach układu drugiego rzedu mamy tylko dwie współrzędne stanu , zaś przestrzeń stanów można wtedy zinterpretować jako płaszczyznę - zwaną wtedy płaszczyzną fazową . Zalety płaszczyzny fazowej ujawniają się zwłaszcza przy badaniu układów nieliniowych . Metoda płaszczyzny fazowej jest ograniczona do układów drugiego rzędu . Mimo wszystko metoda ta ma dość uniwersalne zastosowanie, gdyż ukłdy pierwszego i drugiego rzędu praktycznie wyczerpują asortyment tzw. członów elementarnych, z których zazwyczaj można zbudować bardziej złożone struktury . Metoda płąszczyzny fazowej operuje z zasady opisem układu jako całości,traktując układ jako autonomiczny tzn. bez wymuszeń zewnętrznych .Nie przeszkadza to jednak w rozwarzaniu układów a uwzględnieniem pewnych cech strukturalnych tj. układow otwartych lub ze sprzęrzeniem zwrotnym ,a także układów z wymuszeniami zewnętrznymi . Przez odpowiedni wybór wsópłrzędnych można zazwyczaj sprowadzić analizowane zagadnienia do postaci typowej . Powinniśmy też zauważyć iż metoda płaszczyzny fazowej może służyć nie tylko do analizy lub też projektowania układów,lecz stanowi cenną metode pomiarową przy identyfikacji . Przedstawienie roziązania na płaszczyżnie o współrzędnych x1 ;x2 daje nam tzw trajektorię fazową . Natomiast zestawienie rodziny rozwiązań przy różnych warunkach początkowych tworzy portret fazowy układu . Każdy punkt płaszczyzny fazowej odpowiada pewnemu stanowi układu , a także może określać warunek początkowy układu . Wybór współrzędnych fazowych przesądza od razu o pewnych cechach trajektrii fazowych .Okreslenie analityczne kształtu trajektorii wynika z równań :

dx/dt=x2

dx2/dt=-F(x1,x2)

Gdy równanie nie jest jednoznacznie określone , punkty w których taka sytuacja zachodzi , są nazywane punktami osobliwymi . Dodajmy, iż punkty osobliwe są to punkty równowagi układu , gdyż odpowiadają warónkowi x1=x2=0 . Punktem osobliwym jest prawie zawsze początek układu współrzędnych . W naszym przypadku zajmiemy się układami liniowymi i nieliniowymi . W układach liniowych rozróżniamy 6 typowych punktów osobliwych :

a). Obie wartości własne ujemne punkt nazywa się

węzłem stabilnym .

b). Obie wartości własne dodatnie węzeł niestabilny

c). Wartości własne o różnych znakach siodło

d). Części rzeczywiste ujemne ognisko stabilne

e). Części rzeczywiste dodatnie ognisko niestabilne

f). Wartości własne urojone środek

Są to wszystkie istniejące typy punktów osobliwych możliwe w układzie liniowym . Wymienione typy punktów osobliwych mogą występować także w układach nieliniowych . Gdy równania układów są nieliniowe , istota postępowania przy konstrukcji portretów fazowych jest nadal taka sama .

PRZEBIEG ĆWICZENIA

Celem ćwiczenia było obserwowanie i analiza trajektorii fazowych typowych układów dynamicznych .

W celu otrzymania punktów osobliwych należy dobrać współczynniki a1 i a0 do równania :

Aby owe współczynniki dobrać należy pierwiastki równania :

W równaniu wyznaczamy

Rozpatrujemy teraz kolejno sześć rodzajów punkyów osobliwych :

Ponieważ stanowisko , na wykonujemy ćwiczenie ma ograniczenia w stosunku co do wartości a0 i a1 , mogą one przyjmować wartości całkowite z przedziału <-7,7>.

a).Portrety fazowe z węzłem stabilnym sporządzono dla następujących równań:

Portrety fazowe dla powyższych równań przedstawia rys.1

Czerwony kolor przedstawia rodzinę charakterystyk równania (1) dla różnych wartości początkowych .

b).Portret fazowy z węzłem niestabilnym :

c).Portret fazowy dla wartości mających różne znaki sporządzono dla równania :

WNIOSKI

W pierwszej części ćwiczenia przeprowadziliśmy badania trajektorii fazowych liniowych układów dynamicznych . Przy pomocy doboru odpowiednich współczynników a0 i a1 otrzymaliśmy portrety fazowe odpowiadające sześciu podstawowym punktom osobliwym .

W podpunkcie a) zmieniając warunki początkowe otrzymano rodzinę charakterystyk dla węzła stabilnego , w przypadku trzech różnych równań .Przewidywana co do kształtu charakterystyk potwierdziły się . Wszystkie przebiegi , niezależnie od wartości początkowych zbiegły się w początku układu

Współrzędnych , który jest punktem osobliwym układu . Porównują charaktetrystyki równania (1) i równania (3) , które opisuje układ będący na granicy stabilności widzimy , że trajektoria równania (3) jest niemalże linią prostą . Kształty otrzymanych trajektorii , nie tylko tym punkcie , zależą zatem od współczynników równania opisującego układ . Otrzymany układ jest układem stabilnym .