FGM

2009-03-09
Funkcja generująca momenty
Matematyczne podstawy teorii ryzyka
i ich zastosowanie
Semestr letni 2008/2009
R. Aochowski
Funkcja generująca momenty (FGM)
exp tX
" X zmienna losowa, wówczas jest
( )
również zmienną losową, nieujemną.
" Funkcją generującą momenty zmiennej X
nazywamy funkcję zdefiniowaną wzorem
FX t = E exp tX .
( ) ( )
" Jeżeli funkcja generująca momenty jest
t " ,� > 0,
skończona dla wówczas
(-�,�
)
istnieją wszystkie momenty zmiennej X, które
FX.
możemy obliczyć znając
Funkcja generująca momenty, c. d.
2
tx
( )
tx
" Mamy exp tx = 1 + + +....
( )
1! 2!
" zatem
�ł
tX t2X2 �ł
�ł
Eexp tX = E�ł1 + + + ....�ł
�ł
( )
�ł
�ł
�ł
�ł
1! 2!
�ł łł
EX EX2
= 1 + t + t2 + ....
1! 2!
n
" czyli n. moment zwykły zmiennej X, X ,
E
możemy obliczyć różniczkując
n
EXn = FX( ) 0 .
( )
1
2009-03-09
Własności FGM
" Zawsze FX 0 = Eexp 0X = 1.
( ) ( )
" Jeżeli X i Y są niezależnymi zmiennymi
losowymi, czyli dla dowolnych a, b, c i d
�ła;błł �łc;dłł �ła;błł �łc;dłł
P X " &Y " = P X " �P Y "
( ) ( ) ( )
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
wówczas
�łexp
FX+Y t = Eexp t X +Y = E tX exp tY
( ) ( ( ) ( ) ( )łł
)
�ł śł
�ł �ł
= E exp tX Eexp tY = FX t FY t .
( ) ( ) ( ) ( )
" Zadanie: obliczyć FGM dla rozkładu 0-1 a
następnie dla rozkładu Bin(n,p).
FGM dla rozkładu geometrycznego i
ujemnego dwumianowego
" Jeżeli X ma rozkład Geom(q), wówczas
"
FX t = Eexp tX = X = k exp t �"k
( ) ( ) ( ) ( )
"P
k=0
"
1
k
= etk = p .
"pq 1-q et
k=0
" Korzystając z własności FGM i przedstawienia
rozkładu NegBin(n, q), dla X o rozkładzie
NegBin(n,q) i n naturalnego dostajemy
�ł �łn -n
p
�ł
�ł
FX t =
( ) �ł
( )
�ł
�ł1-q et �ł = pn 1-q et .
�ł �ł
�ł łł
Wykorzystanie FGM do obliczania
momentów
" Wyprowadzona formuła jest prawdziwa dla
dowolnego rozkładu NegBin(r, q) gdy r>0.
EX
" Dla obliczmy i D2 X .
X <" NegBin r,q
( ) ( )
�ł łł �ł łł
-r
d d
�ł
EX = FX t = pr �ł 1-qet śł
( )śł ( )
�łdt śł �łdt śł
�ł �ł �ł �ł
t=0 t=0
-r-1
�ł q q
= pr 1-qet -qet = prr = r .
�ł-r śł
( ) ( )łł
�ł śłt=0 p
pr+1
�ł �ł
2
D2 X = EX2 -( )
EX .
( )
2
2009-03-09
Wykorzystanie FGM do obliczania
momentów, c.d.
" Obliczanie wariancji
�ł
�ł
-r-1
d2 łł d �ł �łłł
�ł
�ł �ł
EX2 = FX t = rprq 1-qet et �ł
( )śł ( ) �łśł
2
�łdt śł �ł �łśł
�łdt �ł
�ł łł�łt=0
�ł
�ł �ł
t=0
-r-2 -r-1
�ł łł
= rprq r +1 1-qet -qet + 1-qet et śł
�ł-( )( ) ( ) ( )
�ł śłt=0
�ł �ł
rq +1
= rprq r +1 p-r-2q + p-r-1 = rq .
( )
( )
p2
" Zatem D2 X = rq rq + 1 p-2 -r2q2p-2 = rqp-2.
( ) ( )
" Zadanie: obliczyć FGM i momenty zmiennej o
rozkładzie wykładniczym i rozkładzie gamma.
FGM dla rozkładu Poissona, sploty
rozkładów Poissona
" Dla zmiennej X o rozkładzie Poi() mamy
"
FX t = Eexp tX = X = k exp t �"k
( ) ( ) ( ) ( )
"P
k=0
k
" k "
et
( )
= e- etk = e- = exp et-1
( )
" " ( ).
k ! k !
k=0 k=0
" Wniosek - jeżeli X i Y niezależne o rozkładach
Poi() i Poi (�), to X+Y ma rozkład Poi(+�):
FX +Y t = FX t FY t = exp et - 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )exp(� et - 1 )
= exp + � et - 1
( )
( ( )
).
FGM rozkładu normalnego, sploty
rozkładów
" Dla mamy
X <" N 0,1
( )
�łx2 �ł
"
1
�ł
FX t = Eexp tX = exp�ł +tx�łdx
�ł
( ) ( )
�ł
+"
�ł
-" �ł
�ł
2
�ł łł
2Ą
2
�ł �ł
�ł -t
" x
( ) 2
�ł
1 t2 �ł
�łdx
�ł
= exp�ł- + = et /2 .
�ł
+" �ł
�ł
-"
�ł
2 2 �ł
2Ą
�ł �ł
�ł
�ł łł
Y = � + �X <" N �,�2
" Dla mamy
( )
2
FY t = Eet(�+�X) = E et� et�X = et� FX t� = et�+t �2/2 .
( ) ( ) ( )
" Wyprowadzić własność splotową dla rozkładu
normalnego i dla innych poznanych rozkładów.
3
2009-03-09
FGM a twierdzenia graniczne
n " pnn
" Jeżeli oraz wówczas
n
FBin(n,p ) t = 1- pn + pnet
( ) ( )
n
n
= + pn et -1 exp et -1 = FPoi() t .
(1 ( ) ( ) ( )
) ( )
Sn -np
n " Yn =
" Jeżeli oraz wówczas
npq
FY t = E exp tYn = E exp / npq -tnp / npq
( ) ( )
(tS )
n
n
n n
-tp/ npq
= + pet/ npq e-tnp/ npq = + petq/ npq
(q ) (qe )
�ł
�ł
�ł tp t2p2 �ł �ł tq t2q2 �ł�łn 2
�ł �ł�ł
�łq�ł1- + + ...�ł + p�ł1 + + + ...�ł�ł et /2
�ł �ł
=
�ł �ł�ł
�ł
�ł �ł
�ł �ł�ł
�ł
�ł �ł
2npq �ł 2npq �ł�ł
�ł �ł
�ł npq npq
�ł łł �ł łł�ł
�ł łł
4

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
w4 f char FGM FGK

więcej podobnych podstron