Studia stacjonarne II st.
Niezawodność i bezpieczeństwo systemów
inżynierskich
Wykład 2-3
Model niezawodności obiektów technicznych.
Wskazniki niezawodności.
Prof. dr hab. inż. Marian Kwietniewski
Politechnika Warszawska
Wydział Inżynierii Środowiska
Zakład Zaopatrzenia w Wodę i Odprowadzania Ścieków
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 1
Prof. Marian Kwietniewski, marian.kwietniewski@is.pw.edu.pl
Proces odnowy obiektu inżynierskiego.
Z analizy procesu funkcjonowania obiektów i urządzeń wynika,
iż z reguły są to, z punktu widzenia niezawodności, obiekty i
urządzenia odnawialne lub też inaczej naprawialne. W
wypadku bowiem uszkodzenia są one naprawiane bądz też
wymieniane na nowe. Czas trwania odnowy, która ma na celu
przywrócenie obiektowi jego pełnych, pierwotnych własności
może być przy tym znaczny i jednocześnie istotny dla oceny
efektywności działania obiektu.
2013-11-13 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego. 2
Prof. Marian Kwietniewski, marian.kwietniewski@is.pw.edu.pl
Proces funkcjonowania tych obiektów może być więc opisany za
pomocą modelu procesu losowego z odnową niezerową, w
którym obiekt po przepracowaniu odcinka czasu z1 ulega
uszkodzeniu i jest odnawiany w czasie n1, następnie pracuje w
okresie czasu z2 po czym znów ulega uszkodzeniu i jest odnawiany
w czasie n2 itd. (rys.)
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 3
Prof. Marian Kwietniewski, marian.kwietniewski@is.pw.edu.pl
Ilustracja graficzna modelu niezawodności
obiektu z odnową niezerową.
tz1 tz2 tz3 tzi tzi+1
tzi-1
tn1 tz1 tn2 tz2 tni-1 tzi-1 tni tzi
0 t
tn1 tn2 tni-1 tni
z
t1z ,t
2
- okresy zdatności (pracy)
n n
t1 2
,t - okresy niezdatności (odnowy)
n n
t1 ,
t - chwile wystąpienia niezdatności (początek stanu
2
niezdatności)
z
t1z ,t2 - chwile włączenia obiektu do pracy (początek stanu
zdatności)
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 4
Prof. Marian Kwietniewski, marian.kwietniewski@is.pw.edu.pl
Założenia do modelu
" czasy pracy z1 i czasy odnowy ni są zmiennymi losowymi
niezależnymi
" wszystkie czasy pracy mają jednakowe rozkłady
prawdopodobieństwa
" wszystkie czasy odnowy mają jednakowe rozkłady
prawdopodobieństwa.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 5
Prof. Marian Kwietniewski, marian.kwietniewski@is.pw.edu.pl
Zasadniczą rolę w procesie odnowy odgrywa zmienna losowa
v(t) oznaczająca liczbę odnów lub też uszkodzeń, które
nastąpiły do chwili t, określona na podstawie tzw. funkcji
odnowy H(t):
Ą Ą
i Pi (t) =i [Fi (t) - Fi-1(t)]
H(t) = E[v(t)] =
i=1 i=1
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 6
Prof. Marian Kwietniewski, marian.kwietniewski@is.pw.edu.pl
Prawdopodobieństwo Pi(t) odnosi się do zdarzenia
polegającego na tym, że do czasu t nastąpiło dokładnie i
uszkodzeń:
Pi(t) = P[v(t)=i] = Fi(t) - Fi-1(t)
gdzie: FI(t) i Fi-1(t) - dystrybuanty zmiennej losowej v(t) wyrażające
prawdopodobieństwo wystąpienia co najmniej odpowiednio i
oraz i-1 uszkodzeń tzn.
P[v(t)e"i] = P(ti
P[v(t)e"i-1] = P(ti-1gdzie:
ti - chwila wystąpienia i - tego uszkodzenia
ti-1 - chwila wystąpienia i-1 - tego uszkodzenia
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 7
Prof. Marian Kwietniewski, marian.kwietniewski@is.pw.edu.pl
Główną charakterystyką tego procesu jest wskaznik gotowości
obiektu Kg(t), który odpowiada prawdopodobieństwu tego, że
w dowolnym momencie czasu t obiekt jest sprawny.
Zdarzenie polegające na tym, że obiekt będzie sprawny w
chwili t, będzie sumą logiczną wszystkich możliwych zdarzeń
jednostkowych, z których każde można zapisać jako
Ai = (tzico oznacza, że w momencie t obiekt jest sprawny, a do tego
momentu zaszło równo i odnów.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
8
2013-11-13
Prof. Marian Kwietniewski, marian.kwietniewski@is.pw.edu.pl
Wskaznik gotowości obiektu będzie opisywał sumę
prawdopodobieństw wystąpienia zdarzeń Ai tj.
Ą Ą
UA ) P(A )
i i
Kg(t) = P ( =
0 i=0
W procesie z odnową niezerową, średni odstęp między
kolejnymi odnowami lub też uszkodzeniami jest równy sumie
średniego czasu pracy między uszkodzeniami Tp i średniego
czasu odnowy To tj.
E(zi + ni) = Tp + To
2013-11-13 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego. 9
Prof. Marian Kwietniewski, marian.kwietniewski@is.pw.edu.pl
Rozważając długi okres czasu t można zauważyć, że
zarówno jednostkowa liczba uszkodzeń w tym czasie vj(t) jak i
wartość wskaznika gotowości Kg(t) dążą do wartości średnich
a mianowicie
vj = lim v(t) = 1/(Tp + To)
t "
Kg = lim Kg(t) = Tp/(Tp + To)
t "
Wskaznik gotowości w tej postaci wskazuje na średni udział
czasu, w którym obiekt będzie zdatny
2013-11-13
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
10
Prof. Marian Kwietniewski, marian.kwietniewski@is.pw.edu.pl
Proces odnowy obiektu inżynierskiego.
W przyjętym modelu mamy zatem dwa podstawowe stany
niezawodności:
1. stan pracy (sprawności, zdatności)
2. stan uszkodzenia lub odnowy (niesprawności,
niezdatności).
Stany te mogą być różnie interpretowane np. stan całkowitej zdatności,
częściowej zdatności, stan pełnego uszkodzenia, częściowego
uszkodzenia.
Ogólnie stan sprawności jest wtedy, gdy obiekt wykonuje swoje zadanie a
stan niesprawności wtedy, gdy obiekt nie wykonuje swojego zadania.
Uszkodzenie jest więc przejściem obiektu ze stanu sprawności do stanu
niesprawności.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 11
Prof. Marian Kwietniewski, marian.kwietniewski@is.pw.edu.pl
Przykładowe stany niezawodności
wynikające z analizy procesu eksploatacji:
1. zdatność pełna (praca bez zakłóceń)
2. niezdatność całkowita
3. niezdatność częściowa
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 12
Prof. Marian Kwietniewski, marian.kwietniewski@is.pw.edu.pl
Miary niezawodności
Wyróżniamy następujące miary niezawodności
1. Bezawaryjność zdolność obiektu do zachowania sprawności podczas
wykonywania swoich zadań
2. Naprawialność podatność na naprawę (odnowę)
3. Gotowość - charakteryzuje wpływ uszkodzeń i odnów na bezawaryjną
realizację zadań
4. Możliwość technicznego wykorzystania - charakteryzuje wpływ
uszkodzeń i odnów na bezawaryjną realizację zadań z uwzględnieniem
remontów planowych,
a także w przypadku obiektów inżynierskich wodociągowych,
kanalizacyjnych, ciepłowniczych, gazowniczych
5. Efektywność działania.
6. Miary specjalne
Miary powyższe są wyrażane różnymi wskaznikami niezawodności.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 13
Prof. Marian Kwietniewski, marian.kwietniewski@is.pw.edu.pl
1. Wskazniki bezawaryjności
- prawdopodobieństwo bezawaryjnej pracy obiektu
- średni czas pracy między uszkodzeniami
- parametr strumienia uszkodzeń
- częstość uszkodzeń (ma uzasadnione zastosowanie w odniesieniu do
obiektów podlegających przestojom planowym - remonty, zabiegi
konserwacyjne itp.).
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 14
Prof. Marian Kwietniewski, marian.kwietniewski@is.pw.edu.pl
2.Wskazniki naprawialności
- średni czas odnowy (uszkodzenia, niesprawności)
- średni czas naprawy
- średni czas "oczekiwania na naprawę"
- intensywność odnowy
- prawdopodobieństwo odnowy.
Naprawialność charakteryzuje nie tylko uszkodzony element lecz także
sprawność techniczno-organizacyjną brygad naprawczych, całego systemu
obsług awaryjnych obejmującego zaopatrzenie w części zamienne, sprzęt,
materiały itp..
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 15
Prof. Marian Kwietniewski, marian.kwietniewski@is.pw.edu.pl
3. Wskazniki gotowości
- wskaznik gotowości
- wskaznik postoju
4. Wskazniki wykorzystania technicznego
- wskaznik wykorzystania technicznego.
Wskazniki 3 i 4 są traktowane jako kompleksowe - opisują dwie
cechy (bezawaryjność i naprawialność)
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 16
Prof. Marian Kwietniewski, marian.kwietniewski@is.pw.edu.pl
Miary efektywności - przykłady:
- wskaznik efektywności
- współczynnik niedoboru wody.
Miary specjalne przykłady:
- wskaznik technologicznej sprawności stacji uzdatniania wody
- wskaznik technologicznej sprawności oczyszczalni ścieków.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 17
Prof. Marian Kwietniewski, marian.kwietniewski@is.pw.edu.pl
Wybór wskazników do oceny
niezawodności obiektów inżynierskich
Wskaznik może charakteryzować jedną lub więcej właściwości
niezawodnościowych obiektu. Ponadto niektóre wskazniki charakteryzują
tylko niezawodność obiektów nienaprawialnych lub tylko niezawodność
obiektów naprawialnych
Podstawą wyboru wskazników do oceny niezawodności obiektów
inżynierskich (tut. Inżynierii komunalnej) jest przede wszystkim analiza
warunków i przebiegu procesu ich eksploatacji.
Należy przy tym uwzględnić:
- zadania stawiane obiektowi
- specyfikę obiektu
- zakres oceny niezawodności.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 18
Prof. Marian Kwietniewski, marian.kwietniewski@is.pw.edu.pl
Opis wskazników niezawodności.
1. Prawdopodobieństwo (bezawaryjnej) pracy obiektu, P(t).
Wskaznik ten definiuje się jako prawdopodobieństwo tego, że w przedziale
czasu (0,t) między kolejnymi uszkodzeniami, licząc od momentu
uruchomienia po uszkodzeniu, obiekt nie uszkodzi się,
przy założeniu, że na początku rozpatrywanego przedziału czasu tj. t=0
obiekt był sprawny tzn. P(0) = 1. Stąd prawdopodobieństwo pracy można
zapisać w postaci wzoru:
P(0,t) = P(0)*P(t) = P(t)
gdzie: P(0,t) - prawdopodobieństwo tego, że obiekt nie uszkodzi się w
przedziale czasu (0,t) i że w momencie t=0 był sprawny.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 19
Prof. Marian Kwietniewski, marian.kwietniewski@is.pw.edu.pl
Prawdopodobieństwo bezawaryjnej pracy obiektu, P(t).
W przyjętym dwustanowym modelu niezawodności: sprawność (praca) -
niesprawność (odnowa), nieuszkodzenie się obiektu w rozpatrywanym
czasie t oznacza, że czas pracy nie będzie krótszy od tego czasu tj.
P(tp e" t) = P(t)
A zatem prawdopodobieństwo uszkodzenia się obiektu w czasie t
opisuje zdarzenie, że czas pracy tp będzie krótszy od tego czasu tj.
P(tpProjekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 20
Prof. Marian Kwietniewski, marian.kwietniewski@is.pw.edu.pl
Prawdopodobieństwo bezawaryjnej pracy obiektu, P(t).
Funkcja F(t) jest dystrybuantą zmiennej losowej czas pracy tp
Uwzględniając powyższe uwagi należy zauważyć, że suma
prawdopodobieństw czasu pracy i uszkodzenia w przedziale czasu
(0,t) jest prawdopodobieństwem pełnego zdarzenia równym jedności,
tj.
P(t) + F(t) = 1 (A)
Pochodna dystrybuanty F(t) jest gęstością prawdopodobieństwa czasu
pracy.
f(t) = dF(t)/dt
Z równości (A) wynika, że
f(t) = dF(t)/d(t) = - dP(t)/d(t)
2013-11-13 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego. 21
Prof. Marian Kwietniewski, marian.kwietniewski@is.pw.edu.pl
Prawdopodobieństwo bezawaryjnej pracy obiektu, P(t).
Z przedstawionych rozważań wynika, że prawdopodobieństwo
pracy jest funkcją nierosnącą i ma następujące własności:
a) P(0) = 1
b) P( ") = 0
c) P(t2) t2
Z kolei prawdopodobieństwo uszkodzenia tj. przejścia w stan
uszkodzenia obiektu jest funkcją rosnącą i ma następujące
własności:
a) F(0) = 0
b) F( ") = 1
c) F(t2) > F(t1) dla t1 < t2
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 22
Prof. Marian Kwietniewski, marian.kwietniewski@is.pw.edu.pl
Przykładowy charakter zmienności prawdopodobieństwa pracy
i prawdopodobieństwa uszkodzenia obiektu.
F(t)=P(tpP(t)=P(tpe" t
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 23
Prof. Marian Kwietniewski, marian.kwietniewski@is.pw.edu.pl
Prawdopodobieństwo bezawaryjnej pracy obiektu, P(t).
Uogólnione wyrażenie opisujące prawdopodobieństwo pracy:
t
P(t) = exp[-
l(t)dt]
0
gdzie:
(t) - intensywność uszkodzeń lub inaczej gęstość
prawdopodobieństwa uszkodzeń obiektu.
Intensywność uszkodzeń jest prawdopodobieństwem warunkowym
powstania uszkodzenia w przedziale czasu "t pod warunkiem, że na
początku tego okresu obiekt był sprawny. Parametr ten opisuje
niezawodność obiektów pracujących do pierwszego uszkodzenia
(nieodnawialnych).
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 24
Prof. Marian Kwietniewski, marian.kwietniewski@is.pw.edu.pl
W przypadku obiektów inżynierskich zwykle zakładamy, że strumień
uszkodzeń ma cechy:
- bez następstw uszkodzenia są niezależne w kolejnych "t
- pojedynczy prawdop. więcej niż 1 uszkodzenia w dowolnie małym "t
jest równe 0
-stacjonarny prawdop. uszkodzenia w "t zależy tylko od tego przedziału
czasu.
Przy tych założeniach, intensywność uszkodzeń (t) jest stała i odpowiada
parametrowi strumienia uszkodzeń jako bezwarunkowemu
prawdopodobieństwu uszkodzenia obiektu tzn.
(t) = =
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 25
Prof. Marian Kwietniewski, marian.kwietniewski@is.pw.edu.pl
Natomiast proces odnowy lub inaczej strumień uszkodzeń nazywa się
procesem POISSONA, w którym czas pracy ma rozkład wykładniczy w
postaci
F(t) = 1 - exp(- t)
a gęstość prawdopodobieństwa jest wyrażona wzorem
f(t) = *exp(- t)
W takim procesie prawdopodobieństwo bezawaryjnej pracy obiektu ma
postać
P(t) = exp(- t)
Bardzo dobrą ilustracją przebiegu zmienności intensywności uszkodzeń (t)
lub też parametru strumienia uszkodzeń (t) jest tzw. funkcja ryzyka
przedstawiona na rysunku, gdzie = - const
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 26
Prof. Marian Kwietniewski, marian.kwietniewski@is.pw.edu.pl
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 27
Prof. Marian Kwietniewski, marian.kwietniewski@is.pw.edu.pl
Estymacja prawdopodobieństwa pracy obiektu na podstawie danych
zebranych z eksploatacji
P*(t) = 1 - n(t)/Np
gdzie:
n(t) - liczba zdarzeń polegających na tym, że zarejestrowana wartość czasu
pracy tpi jest mniejsza od założonej wartości czasu t lub inaczej
liczba obiektów uszkodzonych do chwili t
Np - liczba wszystkich zarejestrowanych wartości czasu pracy lub też
liczba wszystkich badanych obiektów
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 28
Prof. Marian Kwietniewski, marian.kwietniewski@is.pw.edu.pl
2. Średni czas pracy między uszkodzeniami, Tp
Parametr ten jest wartością oczekiwaną zmiennej losowej p
określającej czas pracy obiektu między dwoma kolejnymi
uszkodzeniami. Wskaznik ten opisuje się wzorem
Ą
Tp = E(t ) = fp(t)dt]
p
t
0
gdzie: fp(t) jest gęstością czasu pracy
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 29
Prof. Marian Kwietniewski, marian.kwietniewski@is.pw.edu.pl
Wartość czasu pracy można oszacować (najczęstszy
przypadek) na podstawie danych z eksploatacji, korzystając ze
wzoru:
np
1
T* =
p
t
np i=1 pi
gdzie:
np liczba czasów pracy
tpi czas trwania i-tego czasu pracy.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13
30
Prof. Marian Kwietniewski, marian.kwietniewski@is.pw.edu.pl
3. Parametr strumienia uszkodzeń, (t)
Wskaznik ten określa prawdopodobieństwo uszkodzenia
obiektu w przedziale czasu (t,t+"t) niezależnie od tego czy w
momencie t obiekt był sprawny czy też nie.
Parametr strumienia uszkodzeń jest więc pochodną funkcji
odnowy E[v(t)] co można zapisać następująco:
(t) = dE[v(t)]/dt = lim [Q(t,t+"t)/"t]
"t 0
gdzie:
Q(t,t+"t) - liczba uszkodzeń w funkcji czasu.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 31
Prof. Marian Kwietniewski, marian.kwietniewski@is.pw.edu.pl
Na podstawie danych z eksploatacji, parametr strumienia uszkodzeń można
oszacować wg wzoru:
*(t) = [n(t,t+"t)]/(N*"t)
gdzie: n(t,t+"t) - liczba uszkodzeń w przedziale czasu "t
"t - przedział czasu na jakie podzielono okres badań
(obserwacji)
N - liczba badanych obiektów.
W przypadku stacjonarnego strumienia uszkodzeń:
= 1/Tp
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 32
Prof. Marian Kwietniewski, marian.kwietniewski@is.pw.edu.pl
4. Częstość uszkodzeń, C(t)
Jednostkowa częstość uszkodzeń wyraża stosunek liczby
uszkodzeń w przedziale czasu (t,t+"t) do długości tego
przedziału i do liczby wszystkich badanych obiektów. Wskaznik
ten charakteryzuje uszkadzalność obiektów, które w czasie
eksploatacji są poddawane planowym zabiegom. Stąd czasy
trwania tych okresów uwzględnia się w przedziałach czasu "t .
Wyznacza się go podobnie jak parametr strumienia uszkodzeń.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13
33
Prof. Marian Kwietniewski, marian.kwietniewski@is.pw.edu.pl
5. Średni czas odnowy (niesprawności), To
Parametr ten jest wartością oczekiwaną zmiennej losowej o
określającej czas odnowy obiektu. Wskaznik ten opisuje się
wzorem
Ą
To = E(to) = fo(t)dt]
t
0
gdzie: fo(t) jest gęstością czasu odnowy
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 34
Prof. Marian Kwietniewski, marian.kwietniewski@is.pw.edu.pl
Wartość czasu odnowy można oszacować na podstawie
danych z eksploatacji, korzystając ze wzoru:
no
1
T* =
o
t
no i=1 oi
gdzie:
no liczba odnów (uszkodzeń), toi czas trwania i-tej odnowy.
6. Średni czas naprawy, Tn
7. Średni czas oczekiwania na naprawę, Tz
2013-11-13
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
35
Prof. Marian Kwietniewski, marian.kwietniewski@is.pw.edu.pl
8. Prawdopodobieństwo odnowy obiektu, Po(t)
Wskaznik ten określa prawdopodobieństwo zdarzenia,
polegającego na tym, że w przedziale czasu (0,t) usuwanie
uszkodzenia będzie zakończone:
t
Po (t) = P(t Ł t) = fo (t )dt ]
o
0
gdzie: T o czas odnowy, fo(t) - gęstość czasu odnowy
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 36
Prof. Marian Kwietniewski, marian.kwietniewski@is.pw.edu.pl
W przypadku, gdy czas odnowy ma rozkład wykładniczy,
prawdopodobieństwo odnowy przyjmie postać:
Po(t) = 1 - exp(-ź t)
w którym ź jest intensywnością odnowy (wartość stała).
W tym przypadku:
1/ź = To
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 37
Prof. Marian Kwietniewski, marian.kwietniewski@is.pw.edu.pl
Wartość prawdopodobieństwa odnowy P*(t) można oszacować
na podstawie danych z eksploatacji wg wzoru:
P*(t) = [n(t)]/n
gdzie: n(t) - liczba zdarzeń polegających na tym, że czas
usuwania niesprawności (odnowy) jest mniejszy
lub co najwyżej równy czasowi t lub inaczej liczba
odnów nie dłuższych niż czas t
n - liczba wszystkich wartości czasów odnowy lub liczba
wszystkich rozpatrywanych obiektów.
2013-11-13
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
38
Prof. Marian Kwietniewski, marian.kwietniewski@is.pw.edu.pl
9. Intensywność odnowy, ź(t)
Wskaznik ten określa liczbę uszkodzeń usuwanych w
jednostce czasu i jest stosunkiem prawdopodobieństwa
odnowienia obiektu w przedziale czasu (t,t+"t) przy warunku,
że w momencie t obiekt był jeszcze odnawiany do długości
tego przedziału czasu tj.
ź(t) = lim [Po("t t)]/"t
"t 0
gdzie: Po("t t) - prawdopodobieństwo warunkowe odnowy
obiektu w przedziale czasu t,t+"t przy warunku, że do momentu t
odnowa nie została zakończona
2013-11-13
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
39
Prof. Marian Kwietniewski, marian.kwietniewski@is.pw.edu.pl
W przypadku gdy czas odnowy podlega rozkładowi
wykładniczemu, intensywność odnowy jest stała tj. ź(t) = ź i jej
średnią wartość można oszacować na podstawie danych z
eksploatacji ze wzoru:
ź* = no/to
gdzie: no - liczba odnów badanych obiektów
to - sumaryczny czas trwania niesprawności (odnów)
badanych obiektów.
2013-11-13
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
40
Prof. Marian Kwietniewski, marian.kwietniewski@is.pw.edu.pl
10. Wskaznik gotowości
W uzupełnieniu poprzednich definicji warto podać, iż przy założeniu, że
czas pracy Tp i czas odnowy To mają rozkłady wykładnicze, stacjonarny
wskaznik gotowości będzie miał postać:
Kg = ź/(ź + )
Przy uwzględnieniu: ź = 1/To i = 1/Tp,
stacjonarną wartość wskaznika gotowości można oszacować na podstawie
danych z eksploatacji korzystając ze wzoru:
Kg = T*p/(T*p + T*o)
gdzie: T*p i T*o - estymator średniego czasu, odpowiednio pracy i odnowy
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 41
Prof. Marian Kwietniewski, marian.kwietniewski@is.pw.edu.pl
Można też wskaznik ten oszacować ze wzoru:
Kg = tp/(tp + to)
w którym: tp - sumaryczny czas pracy (sprawności) w badanym
okresie
to - sumaryczny czas odnów (niesprawności) w
badanym okresie.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 42
Prof. Marian Kwietniewski, marian.kwietniewski@is.pw.edu.pl
11. Wskaznik postoju, Kp
Wskaznik ten jest z matematycznego punktu widzenia dopełnieniem do
jedności wskaznika gotowości:
Kp = 1 - Kg
12. Wskaznik wykorzystania technicznego, Kw
Wskaznik ten jest najprostszą miarą wykorzystania obiektu. Jest on
prawdopodobieństwem tego, że w dowolnej chwili czasu obiekt znajduje się
w stanie sprawności i może wykonywać swoje zadanie:
t
'
Kw = P(T < t) = ft (t )dt
t
0
gdzie ft () jest funkcją gęstości czasu zdatności obiektu.
2013-11-13
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
43
Prof. Marian Kwietniewski, marian.kwietniewski@is.pw.edu.pl
W wypadku obiektu dwustanowego (sprawność - niesprawność) wskaznik
wykorzystania technicznego i wskaznik gotowości są sobie równe
tj. Kw = Kg.
Wartość wskaznika wykorzystania technicznego K*w można oszacować na
podstawie danych z eksploatacji wg wzoru:
K*w = tp/(tp + to + tf)
gdzie: tf - sumaryczny czas zużyty na zabiegi planowe, postoje itp.
tp, to sumaryczny czas odpowiednio pracy, odnowy
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 44
Prof. Marian Kwietniewski, marian.kwietniewski@is.pw.edu.pl
13. Wskaznik efektywności i współczynnik niedoboru
wody.
Efektywność opisuje się jako stopień spełnienia wymagań przez dany
obiekt. Jednym z najprostszych sposobów określenia efektywności systemu
może być wyrażenie:
E = Q/Qo
gdzie Q - uśredniona wydajność systemu obniżona w wyniku różnych
przyczyn w rozważanym okresie czasu
Qo - wymagana (nominalna) wydajność systemu w rozważanym
okresie czasu.
2013-11-13
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
45
Prof. Marian Kwietniewski, marian.kwietniewski@is.pw.edu.pl
Wskaznik ten nazywa się również uogólnionym wskaznikiem
niezawodności i w odniesieniu do systemów wodociągowych
przedstawia się go w postaci:
E = 1 - E(NW)/Z
w którym: E(NW) - wartość niedoboru wody w badanym
okresie czasu
Z - zapotrzebowanie na wodę (wymagana
wydajność) w badanym okresie czasu.
Podobnie można określać wskazniki efektywności dla systemu
ciepłowniczego, gazowego, kanalizacyjnego
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 46
Prof. Marian Kwietniewski, marian.kwietniewski@is.pw.edu.pl
14. Wskaznik technologicznej sprawności stacji
uzdatniania wody, Psw
Parametr ten wyraża prawdopodobieństwo uzyskania
wymaganej wartości wskaznika S, uznanego za miarodajny do
oceny jakości uzdatnianej wody tj.
Psw = P(Sw d" S)
gdzie: Sw - zmienna losowa określająca wartość wskaznika
zanieczyszczenia wody
S - wartość wskaznika miarodajnego do oceny jakości
uzdatnianej wody.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 47
Prof. Marian Kwietniewski, marian.kwietniewski@is.pw.edu.pl
Wartość wskaznika P*sw można oszacować na podstawie danych z eksploatacji w
oparciu o wzór:
P*sw = m/(n + 1)
gdzie:
m - liczba wyników badań jakości wody spośród n, które są zgodne z wymaganą
akością wody ze względu na dany wskaznik jakości S
n - liczba wszystkich wyników badań jakości wody ze względu na dany wskaznik
. jakości S
Podobnie można określać wskazniki technologicznej sprawności oczyszczalni
ścieków
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 48
Prof. Marian Kwietniewski, marian.kwietniewski@is.pw.edu.pl
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Wykłady Modele diagnozy resocjalizacyjnej
wyklad Patryka wskaźniki TI 18 12 11
BO OL Wyklad Modele optymalizacji liniowej
wyklad 3 modele trendu
wykład 8 modele segmentowe
Wykład 6 modele wielorównaniowe estymacja
wyklad 4 modele sezonowosci
Wyklad MODELE CIAGLE BIOL
wyklad 2 liniowe modele?cyzyjne
Wyklad 6 profilaktyka modele
Wyklad 5 Zarzadzanie finansami Przeglad wskaznikow
Wykład 03 Modele wiązek
Wykład 9 Wybrane modele stochastyczne procesów eksploatacji
Wyklad 1 Wprowadzenie do zzl, modele zzl
Wyklad 6 Zarzadzanie finansami?zy porownan wskaznikow
wyklad wskazniki
Wykład II Typy i modele
więcej podobnych podstron