(7.41)

Przyjmując parametry krytyczne jako wielkości odniesienia otrzymujemy

(7.42)

oraz

(7.43)

PorównujÄ…c zwiÄ…zki (7.40) ¸ (7.41) ze zwiÄ…zkami (7.42) ¸ (7.43) obliczamy
stosunki parametrów krytycznych do parametrów spiętrzenia

(7.44)

które odgrywają istotną rolę w zagadnieniach przepływu gazu przez przewody
o zmiennych przekrojach.


7.3. Prostopadła fala uderzeniowa

W naddźwiękowych strumieniach gazu mogą pojawiać się warstwy o grubościach
równych swobodnej drodze cząsteczek, w których zachodzi gwałtowna zmiana
parametrów gazu. Warstwy te nazywane są falami uderzeniowymi ; nie-które
przykłady ich występowania pokazano na rys. 7.3.




Rys. 7.3
Fale uderzeniowe mogą być odsunięte lub dosunięte oraz w zależności od
kształtu: krzywoliniowe, stożkowe, kuliste albo też prostopadłe, jeśli pewna
część fali uderzeniowej jest prostopadła do kierunku przepływu niezakłóconego.
W dalszym ciągu ograniczymy się do omówienia tylko prostopadłej fali
uderzeniowej , która może występować także przy przepływach przez dysze, długie
przewody i podczas wybuchów.
Przy założeniu, że gaz jest nielepki i nie przewodzący ciepła, fala
uderzeniowa jest powierzchnią nieciągłości. Ponadto ze względu na pomijalnie
małą grubość fali można przyjąć, że przepływ przez falę jest adiabatyczny.




Rys. 7.4


Rozważmy fragment prostopadłej i nieruchomej fali uderzeniowej, zawierający
siÄ™ w powierzchni kontrolnej s (rys. 7.4).
Związki między parametrami gazu po obu stronach prostopadłej fali uderzeniowej
wynikajÄ… z:
1) równania ciągłości (3.22)

(7.45)

2) równania pędu

(7.46)

uzyskanego z połączenia równania Eulera i równania ciągłości (7.45)





3) równania energii (7.24)

(7.47)

Rozwiązujemy układ równań (7.45) i (7.46) względem i i podstawiamy do równania
energii (7.47). Po uporządkowaniu otrzymujemy ostatecznie wzór, nazywany w
dynamice gazów adiabatą Hugoniota

(7.48)

Adiabata Hugoniota różni się od znanej z termodynamiki adiabaty Poissona (1.14)
const, wyrażającej warunek stałości entropii gazu; krzywe odpowiadające tym
równaniom wykreślone są na rys.7.5. Wynika stąd wniosek, że entropia gazu ulega
zmianie po przejściu fali uderzeniowej.





Rys. 7.5


Z równania (7.12) otrzymujemy

(7.49)


i następnie, po wykorzystaniu (7.6) i równania stanu (1.13), jest

(7.50)

Entropia gazu zawartego w obszarze kontrolnym nie może maleć, stąd mamy

(7.51)

Badając równanie adiabaty Poissona

(7.52)

i równanie adiabaty Hugoniota (7.48) (rys. 7.5) stwierdzamy, że:
1) w punkcie (1, 1) obie funkcje oraz ich pierwsze i drugie pochodne majÄ…
jednakowe wartości,
2) adiabata Hugoniota ma asymptotÄ™



3) nierówność (7.51) jest spełniona tylko na części adiabaty Hugoniota,
leżącej na prawo od punktu (1, 1).
Ostatnie stwierdzenie jest równoważne nierównościom

, (7.53)

orzekającym, iż warunek określony drugą zasadą termodynamiki spełniają tylko
zgęszczeniowe fale uderzeniowe, w których ciśnienie po stronie tylnej jest
większe od ciśnienia po stronie czołowej
Wyznaczymy jeszcze zależności między innymi parametrami gazu po przejściu fali
(7.53):
- prędkość przepływu. Z drugiego warunku (7.53) i równania ciągłości (3.22)
wynika nierówność

(7.54)



- entalpia gazu. Zgodnie z równaniem (7.28) musi być

(7.55)

jeśli moduł prędkości maleje,
- temperatura gazu. Jest proporcjonalna do entalpii (7.25), zatem również
wzrasta

(7.56)

W celu uzyskania ilościowego związku między prędkościami przepływu oraz układ
równaÅ„ (7.45) ¸ (7.46) zapiszemy w postaci

(7.57)

Z równania energii (7.47), po przyjęciu stałej Bernoulliego zgodnie z (7.36),
mamy



Po podstawieniu tych wyrażeń do wzoru (7.57) i pominięciu rozwiązania
odpowiadającego przepływowi bez fali uderzeniowej otrzymamy zależność Prandtla

(7.58)

Zestawiając ten wynik ze wzorem (7.54) stwierdzamy, że w prostopadłej fali
uderzeniowej prędkość gazu po stronie czołowej jest zawsze nadkrytyczna, a po
stronie tylnej - zawsze podkrytyczna.
Na koniec udowodnimy, że ciśnienie spiętrzenia maleje po przejściu fali
uderzeniowej, co jest związane ze wzrostem entropii gazu. Związek między
ciśnieniami spiętrzenia wynika ze wzorów (7.31)

,

przy założeniu, że ruch gazu przed i za falą uderzeniową jest izentropowy



W wyniku odpowiednich przekształceń z trzech ostatnich zależności wyprowadzamy
zwiÄ…zek

(7.59)

na mocy (7.51) jest więc





7.4. Przepływ przewodem o zmiennym przekroju

Rozpatrzymy przepływ ustalony przewodem o zmiennym przekroju, bez wymiany masy
przez ścianki i bez wymiany ciepła. Ograniczymy się przy tym do przewodów
krótkich, dla których może być pominięty wpływ tarcia gazu na zmianę parametrów
przepływu; przepływ możemy więc traktować jako izentropowy.
Zasadę zachowania masy reprezentuje równanie (3.22), określające wydatek
masowy. Po jego zlogarytmowaniu i zróżniczkowaniu otrzymujemy

(7.60)

Z równania Eulera (4.3) mamy



i następnie wykorzystujemy zależność (7.18) oraz zależność na liczbę Macha
(7.21) - ostatecznie jest

(7.61)

Po odpowiednim przekształceniu wzorów (7.60) i (7.61) możemy wyznaczyć związki
między przyrostami prędkości przepływu i gęstości gazu, a przyrostem przekroju
przewodu:

(7.62)





(7.63)

Związki te nazywane są równaniami Hugoniota .
Dla znanego przyrostu gęstości gazu obliczamy przyrost ciśnienia i przyrost
temperatury z równania izentropy (1.14) i równania stanu (1.13):

(7.64)

(7.65)

Ostatnie cztery równania pozwalają na bezpośrednią ocenę gradientów prędkości
przepływu i parametrów gazu w zależności od gradientu przekroju przewodu;
zestawienie uzyskanych rezultatów zostało przedstawione na rys. 7.6.




Rys. 7.6


Z analizy przedstawionych na rys. 7.6 znaków przyrostów wynikają następujące
wnioski:
1) dla stałego znaku odpowiadające sobie gradienty parametrów przepływu pod- i
naddźwiękowego są przeciwne,
2) przyspieszenie przepływu następuje dla gdy oraz dla gdy taki kanał
zbieżno-rozbieżny nazywa się dyszą,
3) wyhamowanie przepływu następuje dla gdy oraz dla gdy taki kanał
rozbieżno-zbieżny nazywa się dyfuzorem .

Analizując dokładniej przepływ w dyszy stwierdzamy, że:
1) jeśli w najwęższym przekroju nie zostanie osiągnięta prędkość dźwięku, to
w części rozszerzającej się prędkości będą maleć (dysza Venturiego),
2) uzyskanie prędkości naddźwiękowych jest możliwe jedynie w przypadku, gdy w
najwęższym przekroju występują parametry krytyczne (dysza de Lavala).


*

Zajmiemy się przepływem przez dyszę de Lavala zakładając, że dysza ta
przechodzi bezpośrednio w ściankę zbiornika, w którym znajduje się gaz o
znanych parametrach (rys. 7.7). Końcowy przekrój dyszy niech będzie tak
dobrany, aby ciśnienie gazu przypływającego przez dyszę osiągało w tym
przekroju zadaną wartość ciśnienia zewnętrznego




Rys. 7.7


Ze związków (7.44) i (7.20) łatwo wyznaczymy parametry gazu występujące
w gardzieli dyszy. Gęstość w przekroju wylotowym jest określona równaniem
izentropy



Z równania Bernoulliego



obliczamy następnie (wzór Saint-Venanta i Wantzela)




. (7.66)

Wielkość przekroju wynika z równania ciągłości



dla zadanego przekroju
W celu wyznaczenia związku między liczbą Macha a dowolnym polem przekroju
dyszy logarytmujemy i różniczkujemy wyrażenie (7.21)



które nastÄ™pnie, po wykorzystaniu wzorów (7.62) ¸ (7.65), przeksztaÅ‚camy
następująco

(7.67)

Po scałkowaniu i obliczeniu stałej całkowania dla otrzymujemy zależność

(7.68)

przedstawioną również na rys. 7.8.




Rys. 7.8
Wypływ z dyszy obliczeniowej ma postać schematycznie przedstawioną na rysunku
7.9a. W zależności od wzajemnej relacji między ciśnieniem zewnętrznym a
ciśnieniem obliczeniowym obraz przepływu ulega jednak znacznym zmianom, gdyż
zarówno w dyszy, jak i w strumieniu swobodnym pojawiają się różne struktury
przepływu:
1) gdy (rys. 7.9b) gaz na zewnątrz dyszy ulega dodatkowemu rozprężaniu,
2) gdy następuje sprężanie gazu, które odbywa się poprzez powstające skośne
fale uderzeniowe przy małej różnicy ciśnień (rys. 7.9c), poprzez prostopadłą
falę uderzeniową przy większej różnicy ciśnień (rys. 7.9d, e) lub poprzez
występowanie przepływu poddźwiękowego w całej dyszy w przypadku znacznej
różnicy ciśnień (rys. 7.9f ).




Rys. 7.9



7.5. Przepływ izentropowy nieustalony

Zajmiemy się obecnie ogólnym przypadkiem ruchu jednowymiarowego i
niestacjonarnego, w którym można pominąć wpływ wymiany ciepła i tarcia gazu.
Układ równań, określający prędkość przepływu ciśnienie statyczne i gęstość
składa się z równania ciągłości (3.16), równania Eulera (4.1), zapisanego dla
kierunku x przy założeniu X = 0, oraz równania izentropy (7.41) i jest
następujący:


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Rozdz7
rozdz7
ROZDZ7E (2)
fotogrametria rozdz7
ROZDZ7C (2)
ROZDZ7A
ROZDZ7D (2)
ROZDZ7
ROZDZ7

więcej podobnych podstron