Część 1 8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRTOWYCH 1 8. Ł 8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRTOWYCH 8.1. Analiza kinematyczna płaskiego układu tarcz sztywnych. Układy statycznie wyznaczalne Rozważania należy rozpocząć od wyjaśnienia pojęcia stopni swobody. Liczbą stopni swobody danego układu nazywamy liczbę niezależnych parametrów niezbędnych do jednoznacznego określenia możliwości jego ruchu w przestrzeni. Swobodna tarcza na płaszczyznie ma trzy stopnie swobody. Aby układ był geometrycznie niezmienny, musi on zostać unieruchomiony. Jeżeli do układu wprowadziliśmy tyle więzów ile ma stopni swobody, to po tym zabiegu liczba stopni swobody s tego układu będzie równa zeru: s=3t-r (8.1) gdzie: t to liczba tarcz w układzie, r to liczba więzów (liczba stopni swobody odebranych przez więzy). Jednak o geometrycznej niezmienności nie decyduje wyłącznie liczba więzów. Istotny jest również sposób połączenia układu (bryły) z podłożem. Wyjaśnijmy to na przykładach: " Układ trójprzegubowy składa się z dwóch tarcz i trzech przegubów. W zależności od położenia przegubów układ jest niezmienny (rys. 8.1) lub zmienny (rys. 8.2). Rys. 8.2. Układ trójprzegubowy chwilowo geometrycznie Rys. 8.1. Układ trójprzegubowy zmienny geometrycznie niezmienny s=0 s=0 Układ jest chwilowo geometrycznie zmienny, ponieważ Układ jest geometrycznie niezmienny. trzy przeguby leżą na jednej prostej. " Tarcza połączona z podłożem za pomocą trzech prętów jest układem geometrycznie niezmiennym pod warunkiem, że kierunki więzy nie przecinają się w jednym punkcie (rys. 8.3). Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater Część 1 8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRTOWYCH 2 Rys. 8.3. Układ geometrycznie niezmienny Rys. 8.4. Układ geometrycznie zmienny s=0 s=0 Układ jest geometrycznie zmienny, ponieważ trzy pręty Układ jest geometrycznie niezmienny. przecinają się w jednym punkcie, tzn. istnieje biegun chwilowego obrotu. 8.2. Układy statycznie niewyznaczalne Aby zapisać warunki równowagi dowolnego układu sił na płaszczyznie mamy do dyspozycji trzy równania równowagi. Jeżeli liczba więzów jest większa od liczby równań równowagi, to taki układ określa się jako statycznie niewyznaczalny. Rys. 8.5. Przykład układu statycznie niewyznaczalnego Stopnień statycznej niewyznaczalności SSN, jest to liczba więzów jaką należałoby odrzucić, aby układ stał się statycznie wyznaczalny. Więzy można odrzucić tylko w taki sposób, aby powstały układ był geometrycznie niezmienny. 8.3. Określanie stopnia statycznej niewyznaczalności 8.3.1. Metoda I Stopień statycznej niewyznaczalności SSN dla układów składających się z kilku tarcz połączonych więzami można określić ze wzoru: n=SSN =rą p1 ą2 p2 ą3 p3 -śą2 w2 ą3 w3źą (8.2) Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater Część 1 8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRTOWYCH 3 gdzie: r - liczba reakcji (liczba więzów, prętów podporowych), p - liczba prętów zakończonych obustronnie przegubami (przesuwnymi i nie przesuwnymi), 1 p - liczba prętów zakończonych z jednej strony przegubem, a z drugiej strony sprężyście zamocowanym 2 (wewnętrznie lub zewnętrznie utwierdzonym), p - liczba prętów obustronnie sprężyście zamocowanych (utwierdzonych zewnętrznie lub wewnętrznie), 3 w - liczba węzłów przegubowych (węzeł to element konstrukcji, w którym spotykają się pręty), z 2 wyłączeniem przegubów wewnętrznych, tzw. dołączonych, czyli nie obejmujących wszystkich prętów zbiegających się w tym węzle, w - liczba węzłów, w których zbiegają się sprężyście zamocowane pręty. 3 W p i p uwzględniamy również pręty, które łączą się z więzami podporowymi, także przesuwnymi. Do w i 1 2 2 w wlicza się również więzy podporowe, przeguby, podpory przesuwne. 3 Przykład 1 Na rys 8.6 zaznaczono przypadki prętów typu p , p , p oraz przypadki węzłów typu w i w . 1 2 3 2 3 w 3 p 3 p 2 p 1 w 2 Rys. 8.6. Układ statycznie niewyznaczalny z różnymi rodzajami węzłów i prętów Zadanie 1 Określ stopień statycznej niewyznaczalności ramy podanej na schemacie. Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater Część 1 8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRTOWYCH 4 Zaznaczono pręty typu p dwoma kreskami, pręty typu p trzema kreskami. Liczbę reakcji w podporze 2 3 podajemy w nawiasie. Liczymy węzły i wyznaczamy SSN: r = 10 p = 0 1 p = 5 2 p = 7 3 w = 4 2 (1) w = 9 3 (3) SSN=10+25+37 (24+39)=6 (3) (2) (1) Podpory przesuwne można zaliczyć do prętów typu p . Wynik jest ten sam. 1 r = 12 p = 2 1 p = 5 2 p = 7 3 w = 6 2 (2) w = 9 3 (3) SSN=12+25+37 (26+39)=6 (3) (2) (2) Zadanie 2 Określić stopień statycznej niewyznaczalności dla poniższego układu. Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater Część 1 8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRTOWYCH 5 Podobnie jak poprzednio oznaczamy pręty i reakcje. r = 8 p = 0 1 p = 5 2 p = 6 3 w = 2 2 w = 8 3 (3) (3) SSN=8+25+36 (22 + 38)=8 (2) Zadanie 3 Określić stopień statycznej niewyznaczalności dla poniższego układu. Zaznaczono typy prętów. r = 5 p = 0 1 p = 2 2 p = 3 3 w = 1 2 (3) (2) w = 4 3 SSN=5+22+33 (21+34)=4 Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater Część 1 8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRTOWYCH 6 Zadanie 4 Określić stopień statycznej niewyznaczalności dla poniższego układu. W ramie występują tylko pręty sprężyście zamocowane. r = 5 p = 0 1 p = 0 2 p = 5 3 w = 0 2 (3) (2) w = 5 3 SSN=5+35 (20+35)=5 8.3.2. Metoda II Do ramy w miejsce przegubów wprowadzamy dodatkowe więzy utwierdzające przekroje stykające się z przegubem, zamieniając w ten sposób podpory na utwierdzenia, a połączenia prętów na sprężyście zamocowane (wewnętrznie utwierdzone). Określamy liczbę wprowadzonych dodatkowo więzów d. Następnie wyznaczamy stopnień statycznej niewyznaczalności nowego układu N, odrzucając myślowo wszystkie utwierdzenia z wyjątkiem jednego (w przypadku ram zamkniętych musimy otworzyć obieg). Stopień statycznej niewyznaczalności układu wyjściowego n jest różnicą: n=SSN =N -d (8.3) Przykład 2 W ramie o podanym schemacie należy wprowadzić dwa więzy (d = 2), aby utwierdzić pręty. Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater Część 1 8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRTOWYCH 7 (+1) d=2 (+1) Nowy układ jest trzykrotnie statycznie niewyznaczalny (N = 3). N=3 Wobec tego wyjściowy układ jest 1-krotnie statycznie niewyznaczalny. SSN = 3 2 = 1 Przykład 3 Pręty w ramie o podanym schemacie tworzą obieg zamknięty . Aby uzyskać układ statycznie wyznaczalny należy przeciąć obieg (każde przecięcie daje 3 stopnie statycznej niewyznaczalności SSN = 3. Jeżeli w przegubie wewnętrznym zbiegają się więcej niż dwa pręty, to taki przegub nazywamy wielokrotnym. Liczbę sił w przegubie (niezależnych) określa wzór: Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater Część 1 8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRTOWYCH 8 Sk=2 "śąk -1źą (8.4) gdzie: k - liczba prętów w przegubie. W przegubie, w którym zbiegają się 2, 3, 4 pręty liczba niezależnych sił wynosi odpowiednio 2, 4 i 6. S2 =2 "śą2-1źą=2 S3 =2 "śą3-1źą=4 S4 =2 "śą4-1źą=6 Jeżeli w przegubie spotykają się trzy pręty, to możemy zastąpić ten węzeł w taki sposób jak na poniższym rysunku. = Wobec tego, aby usztywnić ten węzeł należy wprowadzić dwa więzy (d = 2). W przypadku prętów sprężyście zamocowanych liczbę sił niezależnych można określić według zależności: Sk=3 "śąk-1źą (8.4) Dla przykładu: 3 siły wewnętrzne 6 sił wewnętrznych (3) (3) = Zadanie 5 Określić stopień statycznej niewyznaczalności dla poniższego układu. Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater Część 1 8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRTOWYCH 9 Wprowadzamy dodatkowe więzy aby usztywnić połączenia (d = 6). W nawiasach podano dodatkowe więzy w poszczególnych węzłach. (+1) (+1) (+2) (+2) (+1) (+2) Odrzucamy sztywne podpory pozostawiając jedną (N = 43 = 12) Ostatecznie SSN wynosi n = SSN = 12 - 6 = 6 Zadanie 6 Określić stopień statycznej niewyznaczalności dla poniższego układu. Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater Część 1 8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRTOWYCH 10 Wprowadzamy dodatkowe więzy (d = 4). (+1) (+2) (+1) Następnie, aby otrzymać układ statycznie wyznaczalny odrzucamy dwie podpory i przecinamy ramę w dwóch miejscach. (N = 23 + 23 = 12) Stopień statycznej niewyznaczalności SSN wynosi n = SSN = 12 - 4 = 8 Zadanie 7 Określić stopień statycznej niewyznaczalności dla poniższego układu. Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater Część 1 8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRTOWYCH 11 Aby usztywnić każdy z prętów należy wprowadzić dwa więzy (d = 2), po jednym dla każdego pręta. (+2) Dalej likwidujemy jedną podporę i przecinamy ramę (N = 3 +3 = 6) Ostatecznie SSN = 6 2 = 4 Zadanie 8 Określić stopień statycznej niewyznaczalności dla poniższego układu. Pręty są ze sobą sztywno połączone, wystarczy jeden dodatkowy więz podporowy (d = 1) Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater Część 1 8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRTOWYCH 12 (+1) Dalej odrzucamy podporę i otwieramy obieg (N = 3 + 3 = 6) SSN = 6 1 = 5 8.3.3. Metoda III Ramę zamieniamy poprzez myślowe cięcia (przecięcia prętów na kawałki) na pojedyncze tarcze. Poprzez tarczę rozumiemy pojedynczy pręt lub grupę prętów połączonych ze sobą, o trzech stopniach swobody. Stopnień statycznej niewyznaczalności określamy ze wzoru: n=SSN =c-3"t (8.5) gdzie: c - liczba cięć, równa się liczbie odebranych więzów, t - to liczba pojedynczych prętów lub grup prętów. Zadanie 9 Określić stopień statycznej niewyznaczalności dla poniższego układu. Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater Część 1 8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRTOWYCH 13 Przecinając pręt sztywny likwidujemy trzy więzy, przecinając przegub dwa więzy, a odcinając podporę przegubowo przesuwną jeden więz. W nawiasach podano liczbę przecinanych więzów. (2) (3) (3) (1) (2) (1) Po tym zabiegu powstają dwie swobodne tarcze (t = 2). II I Tak więc n = SSN = 12 32 = 6 Innym sposobem rozwiązania tego zadania jest podział układu na cztery tarcze (t = 4) Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater Część 1 8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRTOWYCH 14 (3) (2) (3) (1) (3) (3) (2) (1) Liczba niezbędnych cięć wyniosła 18 (c = 18) III II I IV Ostatecznie n = SSN = 18 34 =6 Zadanie 10 Określić stopień statycznej niewyznaczalności dla poniższego układu. W podobny sposób jak w poprzednim zadaniu tniemy ramę na pojedyncze tarcze. W przegubie wielokrotnym odłączamy wszystkie pręty od siebie (likwidujemy wszystkie więzy). Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater Część 1 8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRTOWYCH 15 (2) (4) (2) (3) (3) Liczba niezbędnych cięć wyniosła 14 (c = 14), a liczba uzyskanych poprzez te cięcia tarcz jest równa 2 (t = 2) II I Ostatecznie n = SSN = 14 32 =8 Zadanie 11 Określić stopień statycznej niewyznaczalności dla poniższego układu. Tniemy ramę tak, aby uzyskać jedną tarczę. (2) (3) (2) Wykonaliśmy 7 cięć więzów (c = 7), przez co otrzymaliśmy 1 tarczę (t = 1). Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater Część 1 8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRTOWYCH 16 A zatem n = SSN = 7 31 = 4 Zadanie 12 Określić stopień statycznej niewyznaczalności dla poniższego układu. Tniemy ramę w trzech miejscach. (3) (3) (2) Wykonaliśmy 8 cięć więzów (c = 8), przez co otrzymaliśmy 1 tarczę (t = 1). Ostatecznie n = SSN = 8 31 = 5 Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater