ÿþ W Y K A A D Y Z M E C H A N I K I B U D O W L I 1
D R G A N I A P R T Ó W P R Y Z M A T Y C Z N Y C H O C I G AY M R O Z K AA D Z I E M A S Y
O l g a K o p a c z , A d a m Ao d y g o w s k i , K r z y s z t o f T y m p e r ,
M i c h a B P Bo t k o w i a k , W o j c i e c h P a w Bo w s k i
K o n s u l t a c j e n a u k o w e : p r o f . d r h a b . J E R Z Y R A K O W S K I
P o z n a D 2 0 0 2 / 2 0 0 3
M E C H A N I K A B U D O W L I 1 3
1 . D R G A N I A P O P R Z E C Z N E B E L E K
N a n i e s k o Dc z e n i e m a By w y c i n e k b e l k i d x d z i a Ba j s i By j a k n a r y s . 1
p ( x , t )
A
( x , t ) M * ( x , t )
g s t o [ ( m
w Ba [c i w a
x
T * ( x , t )
T ( x , t )
r ( x , t )
d x
y
R y s . 1
"M ( x , t ) d x
M * ( x , t ) = M ( x , t ) +
"x
( 1 3 . 1 )
"T ( x , t ) d x
T * ( x , t ) = T ( x , t ) +
"x
G d z i e : r - s i Ba o p o r u ( b e z w Ba d n o [c i )
" "
"2 w
r ( x , t ) = - d m Å" = - d m Å" w
2
"t
d m = d x Å" A Å" Á
( 1 3 . 2 )
"2
ëø" " öø
=
ìø ÷ø
2
"t
íø øø
P o l i t e c h n i k a P o z n a Ds k a ® K o p a c z , Ao d y g o w s k i , P a w Bo w s k i , P Bo t k o w i a k , T y m p e r
W Y K A A D Y Z M E C H A N I K I B U D O W L I 2
D R G A N I A P R T Ó W P R Y Z M A T Y C Z N Y C H O C I G AY M R O Z K AA D Z I E M A S Y
M o |n a n a p i s a s u m n a o [ y :
"T "2 w
y = 0 Ò! + p = µ Å"
"
2
"x "t
a l e ( 1 3 . 3 )
"2 w "M
E I Å" = - M = T
"x 2 "x
P o z r ó |n i c z k o w a n i u i p r z e k s z t a Bc e n i a c h o t r z y m u j e m y z a l e |n o [ n a d r g a n i a p o p r z e c z n e :
"4 w ( x , t ) + µ Å" "2 w ( x , t )
( 1 3 . 4 )
E I Å" = p ( x , t )
2
"x 4 "t
2 . D R G A N I A W AA S N E B E L E K
R o z p a t r u j e m y d r g a n i a w Ba s n e , w p r z y p a d k u k t ó r y c h s i Ba w y m u s z a j c a j e s t r ó w n a 0 ,
w i c z a l e |n o [ ( 1 3 . 4 ) p r z y j m u j e p o s t a :
"4 w ( x , t ) + µ Å" "2 w ( x , t )
( 1 3 . 5 )
E I Å" = 0
2
"x 4 "t
Z a k Ba d a m y r o z d z i e l e n i e z m i e n n y c h
w ( x , t ) = W ( x ) Å"T ( t ) ( 1 3 . 6 )
Z a t e m o t r z y m u j e m y :
4 2
d W ( x ) Å"T ( t ) + µ Å" d T ( t ) Å" w ( x ) = 0
( 1 3 . 7 )
E I Å"
2
d x 4 d t
P o p r z e k s z t a Bc e n i a c h o t r z y m u j e m y ( p o c h o d n e z w y c z a j n e ) :
4 2
d W ( x ) d T ( t )
2
E I
( 1 3 . 8 )
d x 4 = - d t 2
Å" Å" = É
µ w ( x ) T ( t )
2
W a r t o [ w y n i k u z a l e |n o [c i ( 1 3 . 6 ) É m u s i b y s t a B a n i e f u n k c j , p o n i e w a | f u n k c j
p r z e s t r z e n n p r z y r ó w n u j e m y d o f u n k c j i c z a s u .
P o l i t e c h n i k a P o z n a Ds k a ® K o p a c z , Ao d y g o w s k i , P a w Bo w s k i , P Bo t k o w i a k , T y m p e r
W Y K A A D Y Z M E C H A N I K I B U D O W L I 3
D R G A N I A P R T Ó W P R Y Z M A T Y C Z N Y C H O C I G AY M R O Z K AA D Z I E M A S Y
Z z a p i s u ( 1 3 . 8 ) o t r z y m u j e m y z a l e |n o [c i ( 1 3 . 9 ) i ( 1 3 . 1 0 ) :
2
d T ( t ) + É Å"T ( t ) = 0
2
( 1 3 . 9 )
2
d t
4
d w ( x ) - É Å" µ Å" W ( x )
1
2
d x 4 E I
( 1 3 . 1 0 )
g d z i e
1
2 4
É Å" µ Å" = ±
E I
µ - g s t o [ l i n i o w a
R o z w i z a n i e z a l e |n o [c i ( 1 3 . 1 0 ) :
( I V ) 4
W ( x ) - ± W ( x ) = 0
( 1 3 . 1 1 )
W ( x ) = A s i n ±x + B c o s ±x + C s h ±x + D c h ±x
R o z w i z a n i e o t r z y m u j e m y k o r z y s t a j c z w a r u n k ó w b r z e g o w y c h ( p o n i e w a | j e s t t o
r ó w n a n i e w e w s p ó Br z d n y c h p r z e s t r z e n n y c h ) :
l
x 0 x l
R y s . 2
Z a p i s a m o |n a n a s t p u j c e w a r u n k i b r z e g o w e :
1 ) x = 0 ’! W ( 0 ) = 0
2 ) x = l ’! W ( l ) = 0
2
d W
3 ) x = 0 ’! M ( 0 ) = 0 Ò! = 0 W ' ' ( 0 ) = 0
( 1 3 . 1 2 )
d x 2
x = 0
2
d W
4 ) x = l ’! M ( l ) = 0 Ò! = 0 W ' ' ( l ) = 0
d x 2
x = l
S t o w a r u n k i j e d n o r o d n e , w i c b e z d o d a t k o w y c h w a r u n k ó w n i e d a s i r o z w i z a .
P o l i t e c h n i k a P o z n a Ds k a ® K o p a c z , Ao d y g o w s k i , P a w Bo w s k i , P Bo t k o w i a k , T y m p e r
W Y K A A D Y Z M E C H A N I K I B U D O W L I 4
D R G A N I A P R T Ó W P R Y Z M A T Y C Z N Y C H O C I G AY M R O Z K AA D Z I E M A S Y
1 ) A Å" 0 + B Å"1 + C Å" 0 + D Å"1 = 0
2 ) A s i n ±l + B c o s ±l + C s h ±l + D c h ±l
2
3 ) ± [ 0 - B Å"1 + 0 + D Å"1 ] = 0
2 2 2 2
4 ) A ± s i n ±l + B ± c o s ±l + C ± s h ±l + D ± c h ±l = 0
B + D = 0 B = 0 ( 1 3 . 1 3 )
’!
- B + D = 0 D = 0
2 ) A s i n ±l + C s h ±l = 0
üø
ýøw y z n a c z n i k = 0
2
4 ) ± [ A s i n ±l + C s h ±l ] = 0 þø
2 s i n ±l Å" s h ±l = 0 ’! s i n ±l = 0 Ò! ±l = k À
4 4 2
k À k À É µ
4
M a m y r o z w i z a n i e k i e d y ± = Ò! ± = =
4
l l E I
k - d o w o l n a l i c z b a n a t u r a l n a
2 4
É µ À
4
( 1 3 . 1 4 )
= Å" k
4
E I l
D l a b e l k i w o l n o p o d p a r t e j :
4
E I À
2 4
( 1 3 . 1 5 )
É = Å" Å" k
4
µ l
G d z i e
É - c z s t o [ k o Bo w a d r g a D w Ba s n y c h b e l k i w o l n o p o d p a r t e j
S t a Be z w a r u n k ó w p o c z t k o w y c h
( 1 3 . 1 6 )
T ( t ) = a s i n ( Ét + Õ)
O s t a t e c z n i e d r g a n i a b e l k i w y n o s z :
W k ( x , t ) = s i n ±k x Å" a k s i n ( Ék t + Õk ) ( 1 3 . 1 7 )
P o l i t e c h n i k a P o z n a Ds k a ® K o p a c z , Ao d y g o w s k i , P a w Bo w s k i , P Bo t k o w i a k , T y m p e r
W Y K A A D Y Z M E C H A N I K I B U D O W L I 5
D R G A N I A P R T Ó W P R Y Z M A T Y C Z N Y C H O C I G AY M R O Z K AA D Z I E M A S Y
Z a l e |n o [ d r g a D b e l k i ( 1 3 . 1 7 ) o b r a z u j e r y s . 3
1
w 2
w 3
R y s . 2
P o l i t e c h n i k a P o z n a Ds k a ® K o p a c z , Ao d y g o w s k i , P a w Bo w s k i , P Bo t k o w i a k , T y m p e r
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