2 Przestrzenieid 20691


PRZESTRZENIE SYGNAAÓW
0.2
0.1
0
-0 .1
-0 .2
0.21 0.215 0.22 0.225 0.23
Spis treści
1. Przestrzenie metryczne  odległość miedzy sygnałami
2. Przestrzenie unormowane  moc sygnału
3. Przestrzenie unitarne  iloczyn skalarny
4. Związki pomiędzy przestrzeniami
1
Definicja przestrzeni metrycznej
Zbiór S nazywamy przestrzenią metryczną, jeżeli każdej parze
s1, s2 S
elementów przyporządkowana jest liczba nieujemna
w taki sposób, że spełnione są następujące warunki zwane
r(s1, s2 )
aksjomatami metryki:
1.
r(s1, s2 ) = 0 s1 = s2
r(s1,s2 ) = r(s2 ,s1)
2.
r(s1,s2 ) + r(s2 , s3) ł r(s1,s3)
3.
2
Przykłady przestrzeni metrycznych
sygnałów analogowych 1-D
T
p
Lp (0,T)
s(t) dt <Ą

1
0
T
p
ć
p

r (s1,s2 ) = s1(t) - s2 (t) dt
1 Ł p Ł Ą

Lp
Ł ł
0
2
T
r (s1, s2 ) = s1(t) - s2 (t) dt

L2 (0,T) L2
0
2
+Ą
r (s1, s2 ) = s1(t) - s2 (t) dt
L2 (R)

L2
-Ą
+Ą
rL (s1, s2) = s1(t) - s2(t) dt
1
L1(-Ą,+Ą)
-Ą
rC (s1, s2 ) = max s1(t) - s2 (t)
C(0,T )
0ŁtŁT
3
Przykład odległości między sygnałami
Dane są dwa sygnały :
s2 (t) = cos(t)
s1(t) = sin(t)
oraz
Jaka jest między nimi odległość
L2 (02p )
,
w przestrzeniach i C(0, 2p) ?
2p
2
r (s1, s2 ) =
[sin(t) - cos(t)] dt = 2p
L2
0
rC (s1,s2 ) = max sin(t) - cos(t)
0ŁtŁ2p
d sin(t) - cos(t)
()
cos(t) + sin(t)
dt
3
tg(t) = -1 t = p rC (s1, s2)= 2
4
4
Przykłady przestrzeni metrycznych
obrazów analogowych
2
Y X
L2([0, X ][0,Y ])
r (s1, s2 ) = s1(x, y) - s2 (x, y) dx dy

L2
0 0
2
+Ą+Ą
L2(R2)
r (s1, s2 ) = s1(x, y) - s2 (x, y) dx dy

L2
-Ą-Ą
rC (s1, s2 ) = max s1(x, y) - s2 (x, y)
C([0, X ][0,Y ])
0ŁxŁ X
0Ł yŁY
5
Przykład odległości między obrazami
s1(x, y) = x sin( y) s2(x,y)= ysin(x)
Czy obraz jest bliższy obrazowi
s3(x, y) = xy
czy obrazowi w przestrzeni ?
L2 [02p ]x[02p ]
, ,
( )
Obraz z lewej jest bliższy obrazowi centralnemu niż obrazowi z prawej strony
2p2p
2
r (s1, s2 ) =
(x sin(y) - y sin(x)) dx dy = 2 2p
L2
0 0
rL (s1, s2) < rL (s1, s3)
2 2
2p 2p
10 16
2
22
r (s1, s3) =
[x sin(y) - xy] dx dy = 2p 3 + 9 p
L2
6
0 0
Przykłady przestrzeni metrycznych
sygnałów dyskretnych 1-D
p
s = [s(0),s(1),...]
s(n) <Ą

n
1
p
ć
p
p
r (s1, s2 ) = s1(n) - s2 (n)

p
l
1 Ł p Ł Ą
l
Ł ł
n
2
rl (s1, s2 ) = s1(n) - s2 (n)
2
l2
s1, s2 l2
n
lĄ
rl (s1,s2 ) = max s1(n) - s2 (n)
Ą
n
7
Przykłady przestrzeni metrycznych
sygnałów dyskretnych 2-D
N M
rl (s1, s2) =
1
s1(m,n) - s2(m,n)
l1
n=0 m=0
2
rl (s1,s2 ) = s1(m,n) - s2 (m,n)
2

l2
m n
lĄ
rlĄ = max s1(m,n) - s2 (m,n)
mn
,
8
Definicja przestrzeni unormowanej
Zbiór S nazywamy przestrzenią unormowaną jeżeli każdemu jej
s
elementowi , przyporządkujemy liczbę nieujemną w taki
s S
sposób, że spełnione są następujące warunki:
s = 0 s = Ć
1.
ls = l s
2. gdzie l R
s1 + s2 Ł s1 + s2
3.
9
Przykłady przestrzeni unormowanych
sygnałów analogowych
Ą
T
2
2
s = s(t) dt
s = s(t) dt

L2

L2
-Ą
0
Y X
+Ą+Ą
2
2
s = s(x, y) dx dy s = s(x, y) dx dy

L2 L2

-Ą-Ą
0 0
s = max s(t)
s = max s(x, y)
C C
t x,y
10
Norma sygnału sinusoidalnego
s(t) = sin(t) L2 (02p )
,
C(02p)
,
Jakie są normy sygnału w przestrzeniach i ?
2p
2p
t sin(2t)
ł
2
s = = p
ę2 - ś
L2
sin (t) dt =
4
0
0
s = max sin(t) = 1
C
0ŁtŁ2p
11
Norma sygnału analogowego 2-D
Czy norma sygnału s(x, y) = 1- sin(x) cos( y) w przestrzeni
L2 [02p]x[02p]
, ,
, ,
( ) jest taka sama jak w przestrzeni C [02p]x[02p] ?
( )
2p 2p
2
s =
L2
[1 - sin(x)] cos2 (y) dx dy = p 3
0 0
s = max [1- sin(x)]cos( y) = 2
C
(x,y)[0,2p]x[0,2p]
12
Przykłady unormowanych przestrzeni
sygnałów dyskretnych
s = [s(0), s(1),...,s(N )]
N
2
s = s(n)

l2
l2
n=0
lĄ s = max s(n)
lĄ
n
M N
2
s = sup s(m,n)
s = s(m,n)
lĄ

l2
mn
,
m=0 n=0
13
Definicja iloczynu skalarnego
Iloczynem skalarnym pary elementów należących do S nazywamy
operację, która tej parze przyporządkowuje liczbę wtaki
s1,s2
sposób, że spełnione są następujące aksjomaty :
s = Ć s,s > 0
dla i dla s ą Ć
s, s = 0
1.
a s1,s2 = a s1, s2
2.
a C
s1 + s2 ,s3 = s1,s3 + s2 ,s3
3.
*
s1,s2 = s2 ,s1
4.
14
Przykłady przestrzeni unitarnych
T
*
s1, s2 L2 = (t)s2 (t)dt
1
s
0
T * *
s1, s2 = s1 s2 =
s (n) s2 (n)
1
n
Y X
*
s1, s2 =
1
s (x, y) s2 (x, y)dxdy
0 0
*
s1, s2 =
s (m, n) s2 (m, n)
1
m n
15
Przykład sygnałów ortogonalnych
Czy sygnałyoraz ss (t) = cos(t) są sygnałami ortogonalnymi
s1(t) = sin(t)
w przestrzeni ?
L2 (02p )
,
2p 2p
1
s1, s2 = sin(t) cos(t) dt = sin(2t) dt = 0
2
0 0
Zerowa wartość oznacza, że sygnały s1 i s2 są ortogonalne w
L2 (02p )
,
16
Odległość między sygnałami ortogonalnymi
s1(t) = 1 s2 (t) = 2t -1
Czy sygnały i są ortogonalne?
L2 (0,1)
Jaka jest między nimi odległość w przestrzeni ?
1
1
s1,s2 = -
()
(2t - 1)dt = t2 t | = 0
0
0
Zerowanie iloczynu skalarnego oznacza, że sygnały są względem
siebie prostopadłe. Odległość między nimi wynosi
1
2
2
r(s1, s2 ) =
(2t - 2) dt =
3
0
17
Związek między przestrzenią
unitarną i unormowaną
Twierdzenie 1.
Funkcjonał zdefiniowany wzorem
s = s, s
dla s S jest normą w przestrzeni unitarnej S.
18
Związek między przestrzenią
unormowaną i metryczną
Twierdzenie 2.
Funkcjonał zdefiniowany wzorem
r(s1, s2 ) = s1 - s2
s1,s2 S
dla jest metryką w unormowanej przestrzeni S.
19
Definicja metryki przesuwalnej
i bezwzględnie jednorodnej
Mówimy, że metryka w przestrzeni S jest przesuwalna jeśli
r(s1 + s3, s2 + s3) = r(s1,s2 )
spełniony jest warunek
s1, s2 ,s3 S
dla dowolnych
Metryka jest bezwzględnie jednorodna jeśli zachodzi
r(as1,as2 ) = a r(s1, s2 )
s1,s2 S
dla dowolnych oraz dla każdego
a
20
Związek między przestrzenią
metryczną i unormowaną
Twierdzenie 3.
Jeżeli metryka w przestrzeni S jest przesuwalna i bezwzględnie
jednorodna to wtedy i tylko wtedy przestrzeń S jest unormowana.
Norma dana jest wzorem
s = r(s,Ć)
21


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Planowanie przestrzenne a polityka
Przestrzeganie przepisów BHP nauczyciel
Człowiek wobec przestrzeni Omów na przykładzie Sonetó~4DB
podejmowanie przeds przestrzen publicz
koszałka,teoria sygnałów, Sygnały i przestrzenie w CPS
Projekt oddziaływania na przestępców seksualnych
Mechanika Techniczna I Skrypt 4 5 5 Układ przestrzenny III
ALKOHOLIZM A PRZESTĘPCZOŚĆ W POLSCE
wartości w planowaniu przestrzennym
zagospodarowanie przestrzenne

więcej podobnych podstron