07szeregi potegowe ortogonalne i Fouriera szeregi potegowe ortogonalne i Fouriera

Szeregi potęgowe Dla potomnych
Artur Ślączka
Definicja
Niech śąY ,%"�"%"źą -przestrzeń unormowana nad ciałem K ,
an"Y , x , x0" K .
Szereg funkcyjny postaci
�ą"
anśą x-x0źąn
"
n=0
x0
nazywamy szeregiem potęgowym o środku w punkcie .
Umowa
" x , x0"K anśą x-x0źą0:=1
czyli
�ą"
anśą x-x0źąn=a0�ąa1śą x-x0źą�ąa2śą x-x0źą2�ą�ą
"
n=0
Uwaga
0 ,
Wystarczy badać zbieżność szeregów potęgowych o środku w punkcie bo
"
t :=x-x0
podstawiając , otrzymujemy antn -szereg potęgowy o środku w punkcie 0.
"
n=0
Lemat Abela
"
Jeśli an xn jest zbieżny w punkcie �ą"K " { 0 } , to szereg ten jest zbieżny bezwzglednie
"
n=0
ą
K śą0,#"�ą#"źą K śą0, �ąźą ,
w kuli oraz jest zbieżny jednostajnie w każdej kuli domkniętej
gdzie 0"ą�ą"ą#"�ą#".
Dowód
"
WK
an xn- zbieżny w �ą" K �! lim an�ąn=0 �! śąan�ąnźąn"!-ciąg ograniczony �!
"
n Śą"
n=0
�!" M ą0: %"an�ąn%""ąM dla n"!.
x"K śą0,#"�ą#"źą. #"x#""ą#"�ą#"�!
Niech
Wtedy
n n
n
x x x
%"an xn%"= an�ąnśą źą = an�ąn �" ąąM
%" %"
%" %" #" #" #" #"
�ą �ą �ą
n
"
x
x
Ponieważ M -zbieżny jako szereg geometryczny o ilorazie q= "ą1
"
#" #"
#" #"
�ą
�ą
n=0
n
" "
x
zatem M - zbieżna majoranta szeregu %"an xn%". Stąd na podstawie kryterium
" "
#" #"
�ą
n=0 n=0
"
porównawczego %"an xn%"-zbieżny " x"K śą0,#"�ą#"źą �!
"
n=0
- 1 -
"
�! an xn -zbieżny bezwzględnie w K śą0,#"�ą#"źą.
"
N =0
ą
x"K śą0, �ąźą , gdzie 0"ą�ą"ą#"�ą#" . Wtedy
Niech
n
n n n
�ą
x x
"
%"an xn%"= an�ąn x =%"an�ąn%"�" ąąM ąąM
Tw.Weierstrassa
śą źą #" #" #" #" śą źą
%" %"
�ą �ą �ą #"�ą#"
�! an xn-zbieżny
"
n=0
n
"
�ą
ą
jednostajnie w K śą0, �ąźą.
M -zbieżna majoranta szeregu an xn }
" "
śą źą
#"�ą#"
n=0
Definicja
R
Definiujemy promień zbieżności szeregu potęgowego w następujący sposób :
"
R := sup { r : an xn-zbieżny w kuli K śą0, rźą}
"
n=0
oraz dodatkowo
"
R:=0 , jeśli an xn zbieżny tylko w x=0 ,
"
n=0
"
R :=�ą" , jeśli an xn zbieżny " x"K .
"
n=0
Ponadto, jeśli
Rą0 �! K śą0, rźą -nazywamy kołem zbieżności szeregu,
K=! �! K śą0, Rźą=śą-R , Rźą -przedział zbieżności szeregu.
Uwaga
"
ą
Szereg an xn w K / K śą0, Rźą - jest rozbieżny.
"
n=0
Wniosek
"
Niech R -promień zbieżności szeregu an xn.
"
n=0
Wtedy
"
1 � an xn - zbieżny bezwzględnie i niemal jednostajnie w K śą0, Rźą
"
n=0
"
ą
2� an xn -rozbieżny w K / K śą0, Rźą.
"
n=0
Jeżeli #"x#"=R , to aby rozstrzygnąć zbiezność szeregu dla tych x , należy szereg zbadać
inaczej.
- 2 -
Twierdzenie Cauchy'ego-Hadamarda
n
Niech �ą:=lim sup %"
ćą%"a
n .
n Śą "
"
Wtedy promień zbieżności szeregu potęgowego an xn wynosi:
"
n=0
0 , gdy �ą=�ą" ,
1
, gdy 0"ą�ą"ą�ą" ,
R=
�ą
{
�ą" , gdy �ą=0 .
Dowód
"
Wystarczy zbadać, kiedy szereg an xn jest zbieżny bezwzględnie. Na podstawie
"
n=0
"
n
,czyli
kryterium Cauchy'ego szereg %"an xn%" jest zbieżny, jeśli lim sup %"an xn%""ą1
" ćą
n Śą"
n=0
n n
n
lim sup %"an xn%"=lim sup %"an%"�"#"xn#"=lim sup#"x#"n n%"=#"x#"lim sup %"=#"x#"�"�ą"ą1 .
ćą ćą ćą%"a ćą%"a
n
n Śą" n Śą " n Śą" n Śą "
Jeśli 1 � �ą=0 �! " x"K : #"x#"�"�ą"ą1 �! R=�ą" ,
2 � �ą=�ą" �! tylko dla x=0 : #"x#"�"�ą"ą1 �! R=0
3 � �ą`"0
�!#"x#""ą1
}
�ą`"�ą" �ą
Ą%
Przykład
"
Obliczyć promień i przedział zbieżności szeregu śą-2źąn�ą1 xn .
"
n=0
n n Tw.Cauchy ' ego-Hadamarda
1 1
�ą=:lim sup #"śą-2źąn�ą1#"=lim sup #"2 �"2n#"=2 �! R= �! ~dla #"x#""ą
ćą ćą
2 2
n Śą" n Śą"
szereg jest zbieżny .
sprawdzimy zbieżność na końcach przedziału zbieżności
n
" "
1 1
dla x= : śą-2źąn�ą1�" = śą-1źąn�ą1�"2 -szereg rozbieżny
" "
śą źą
2 2
n=0 n=0
n
" "
dla x=-1 : śą-2źąn�ą1�" -1 = śą-2źą-szereg rozbieżny
" "
śą źą
2 2
n=0 n=0
"
1
czyli śą-2źąn�ą1�"xn -zbieżny w -1 , .
"
śą źą
2 2
n=0
- 3 -
Twierdzenie
an�ą1
lim =�ą śąoraz an`"0 źą
Jeśli istnieje granica , to promień zbieżności szeregu
%" %"
an
n Śą"
"
potegowego an xn wynosi
"
n=0
0 , gdy �ą=�ą"
1
, gdy 0"ą�ą"ą�ą"
R=
�ą
{
�ą" , gdy �ą=0
Przykład
"
śą2 nźą!
R �"zn , z"!.
Obliczyć promień zbieżności szeregu
"
n!�"nn
n=1
n
an�ą1
śą2 n�ą2źąśą2 n�ą1źąśą2 nźą!n!�"nn 4 n�ą2�" n 4 e
�ą=lim =lim =lim = �! R=
śą źą
%" %" %" %"
an n Śą " śąn�ą1źąn!�"śąn�ą1źąśąn�ą1źąnśą2 nźą! n Śą" n�ą1 n�ą1 e 4
n Śą"
Twierdzenie (o różniczkowaniu szeregu potęgowego)
"
R
Niech promień zbieżności szeregu an xn ,
"
n=0
f suma tegoż szeregu,
"
f śą xźą= an xn , x"K śąO , Rźą.
"
n=0
Wtedy
f "C"śą K śąO , Rźąźą -tzn. f posiada pochodną dowolnego rzędu
oraz
"
śąk źą
n
" x"K śąO , Rźą f śą xźą= k! an xn-k .
"
śą źą
k
n=k
Dowód
Na podstawie twierdzenia o różniczkowaniu szeregu funkcyjnego
" " "
'
'
f śą xźą=śą an xnźą = śąan xnźą'= n an xn-1 ,
" " "
n=0 n=0 n=1
"
jeśli śąan xnźą' jest zbieżny jednostajnie.
"
n=0
"
n
Ponieważ lim sup %"=R �! n an xn-1 -zbieżny niemal jednostajnie w K śą0, Rźą �!
ćą%"na "
n
n Śą"
n=1
K śąO ,�ąźą
" �ą , 0"ą�ą"ąR : nan xn-1 jest zbieżny jednostajnie w (czyli można go
"
różniczkować wyraz po wyrazie )
Analogicznie
- 4 -
" "
'
' '
f śą xźą= n an xn-1 = nśąn-1źąan xn-2
"śą źą "
n=1 n=2
" " "
n!
śąk źą
n
f śą xźą= nśąn-1źąśąn-2źą�"�ą�"śąn-k�ą1źąan xn-k= an xn-k= k! an xn-k
" " "
śą źą
śąn-k źą!
k
n=k n=k n=k
Ą%
Uwaga
Dla x=0 teza twierdzenia przyjmuje postać
śąk źą
k
f śą0źą=k! ak=k!ak .
śą źą
k
Twierdzenie o całkowaniu szeregu potęgowego
Niech
"
an xn- szereg rzeczywisty, to znaczy an"! , x"! ,
"
n=0
"
R -promień zbieżności szeregu an xn.
"
n=0
Wtedy
x
" "
an
an xn dx= xn�ą1 " x"śą-R , Rźą.
+" " "
śą źą
n�ą1
n=0 n=0
0
Dowód
-R -�ą �ą
0 R
[-�ą , �ą] dla 0"ą�ą"ąR ,
W przedziale , szereg można całkować wyraz po wyrazie (jest
jednostajnie zbieżny)
Zatem dla x"śą-R , Rźą
x x
" " "
an
an xn dx= an xn dx = xn�ą1.
+" " " +" "
śą źą
śą źą
n�ą1
n=0 n=0 n=0
0 0
Ą%
- 5 -
Twierdzenie (Abela)
"
Niech an xn -szereg rzeczywisty.
"
n=0
"
Jeśli an xn jest zbieżny w punkcie końcowym przedziału zbieżności, to jego suma jest
"
n=0
funkcją jednostronnie ciągłą w tym punkcie, to znaczy:
"
R
jeśli -promień zbieżności szeregu an xn ,
"
n=0
f -suma tegoż szeregu
"
n
oraz szereg jest zbieżny w punkcie x0=R �! lim f śą xźą= an x0
"
-
x Śą x0 n=0
"
n
lub szereg jedt zbieżny w punkcie x0=-R szereg jest zbieżny �! lim f śą xźą= an x0.
"
x Śą x+
n=0
0
Przykład
Dla x"[-1,1] funkcję f śą xźą=arctg x zapisz w postaci szeregu potęgowego.
"
Następnie oblicz sumę szeregu liczbowego śą-1źąn 1 .
"
2 n�ą1
n=0
Ponieważ
a1=1 #"-x2#""ą1
" "
1
'
f śą xźą= =
= śą-x2źąn= śą-1źąn x2 n dla x"śą-1,1źą
" "
1�ąx2 �ą=-x2 x2"ą1
n=0 n=0
x"śą-1,1źą
zatem
x x x
" "
1 tw. śą-1źąn
f śą xźą= dx= śą-1źąn x2 n dx= śą-1źąn x2 n dx = x2 n�ą1 dla x"śą-1,1źą.
+" +" " " +"
śą źą śą źą
2 n�ą1
1�ąx2 0
n=0 n=0
0 0
Ponadto
"
śą-1źąn
dla x0=1 otrzymujemy szereg -zbieżny (z kryterium Leibniza) ,
"
2 n�ą1
n=0
"
śą-1źąn
dla x0=-1 otrzymujemy szereg -zbieżny (z kryterium Leibniza) .
"
2 n�ą1
n=0
Ponieważ funkcja
"
śą-1źąn n�ą1
arctg"C śą!źą �! arctg x= x2 dla x"[-1,1].
"
2 n�ą1
n=0
Stąd dla x=1
"
Ćą
śą-1źąn
=arctg1=
"
2 n�ą1 4
n=0
czyli
Ćą
1 1 1
=1- �ą - �ą�ą (wzór Leibniza).
4 3 5 7
- 6 -
Przypomnienie: Twierdzenie Taylora
f :! Śą!
śąk źą
n-1
f śą x0źą
f "CnśąU źą , U "Topśą x0źą �! "c"śą x0 , xźą : f śą xźą= śą x-x0źąk�ąRnśącźą ,
"
}
k!
k=0
x"U
śąnźą
f śącźą
gdzie Rnśącźą= śą x-x0źą.
n!
Jeżeli przy n Śą" reszta ze wzoru Taylora dąży do zera
śąnźą
n Śą"
f śącźą
Rnśącźą= śą x-x0źą Śą 0,
n!
śąk źą
n-1
f śą x0źą
to lim Snśą xźą= f śą xźą , gdzie Snśą xźą= śą x-x0źąk
"
k!
n Śą"
k=0
czyli funkcja f jest wtedy sumą szeregu potęgowego.
Twierdzenie (o rozwijaniu funkcji w szereg Taylora)
f :! Śą!
śąnźą
"
f śą x0źą
f "C"śąU źą , U "Topśą x0źą
�! " x"U : f śą xźą= śą x-x0źąn
"
}
n!
n=0
lim Rnśącźą=0
n Śą"
Żą
T f x0
szereg Taylora funkcji f w punkcie
x0
Uwaga
Założenie lim Rnśą xźą=0 jest istotne .
n Śą"
Przykład
1
-
x2
e , gdy x`"0 ,
f śą xźą=
{
0 , gdy x=0 .
Można udowodnić, że f "!"
- 7 -
Ponieważ
śąnźą
f śą0źą=0 " n"!0
więc
T f = 0=0 a" f
"
0
Lemat o reszcie we wzorze Taylora.
śąnźą
Z: " �ąą0 " M ą0 " x"śą x0-�ą , x0�ą�ąźą " n"! : #" f śą xźą#"ąąM
T: lim Rnśą xźą=0 dla x"śą x0-�ą , x0�ą�ąźą.
n Śą"
Dowód
śąnźą
f śącźą M M
#"Rnśącźą#"=#" śą x-x0źąn#"ąą #"śą x-x0źąn#"ąą �ąn
n! n! n!
"
WK
M
M
�! lim �ąn=0 �!
�ąn -zbieżny z kryterium D'Alemberta
"
n!
n!
n Śą"
n=0
�! lim#"Rnśącźą#"=0 �! lim Rnśącźą=0
n Śą " n Śą"
Ą%
- 8 -
Przykład
T f
Rozwinąć w szereg Maclaurina (wyznaczyć ) funkcję f śą xźą=ex dla x"! .
0
Z tw. Taylora:
n-1
xk
f śą xźą=ex= �ąRnśącźą.
"
k!
k=0
Ponadto
śąnźą
f śą xźą=ex " n"! �! f "!"
Niech x0=0 , x"śą�ą ,�ąźą dla �ąą0 .
Wtedy
śąnźą
#" f śą xźą#"=#"ex#"=ex"ąe�ą �! (spełnione są założenia lematu) �!
"
xn dla #"x#""ą�ą.
�! lim Rnśą xźą=0 �! ex=
"
n!
n Śą"
n=0
"
xn dla x"!.
�ąą0
Ponieważ jest dowolne , więc ex=
"
n!
n=0
Uwaga (do twierdzenia o reszcie szeregu potęgowego)
Jeżeli funkcja f jest sumą szeregu potęgowego
śąnźą
"
f śą x0źą
f śą xźą= anśą x-x0źąn dla x"K śą x0 , Rźą �! an=
"
n!
n=0
na podstawie twierdzenia o różniczkowalności szeregu potęgowego.
Uwaga
Rozwinięcie funkcji w szereg Taylora jest jednoznaczne. Zatem rozwinięcie funkcji w
szereg wyznaczone jakąkolwiek metodą jest rozwinięciem w szereg Taylora.
- 9 -
Szeregi Maclaurina podstawowych funkcji
"
n�ą1
sin x= śą-1źąn x2 dla x"! ,
"
śą2 n�ą1źą!
n=0
"
n
cos x= śą-1źąn x2 dla x"! ,
"
śą2 nźą!
n=0
"
lnśą1�ąxźą= śą-1źąn-1 xn dla x"(-1,1 ] ,
"
n
n=1
"
�ą
śą1�ąxźą�ą= xn , dla #"x#""ą1 oraz �ą"!
"
śą źą
n
n=0
śą jeśli �ą"!0 , to rozwinięcie jest prawdziwe " x"!źą
�ąśą�ą-1źąśą�ą-2źą�"�ą�"śą�ą-n�ą1źą
�ą
gdzie := dla �ą"! , n"!.
śą źą
n!
n
Przykład
Rozwiń w szereg Maclaurina funkcję f śą xźą= 1�ąx dla x"śą-1,1źą.
ćą
1 1 1 1 3
- - -
"
1
śą źą śą źąśą źą
2 2 2 2 2
1 1
�ą= : 1�ąx= xn=1�ą x�ą x2�ą x3�ą�ą=
ćą
"
2
2 2 2! 3!
n=0
śą źą
n
1 1 5
=1�ą x-1 x2�ą x3- x4�ą�ą dla x"śą-1,1źą.
2 8 16 27
Definicja
Niech
śąY ,%"�"%"źą -przestrzeń Banacha nad K ,
U "TopK
f :U ŚąY , f "C"
x0"U
Funkcja f jest analityczna w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy
"
"rą0 " x"K śą x0 , rźą : f śą xźą= anśą x-x0źąn.
"
n=0
Np. funkcje : sin x , cos x , lnśą1�ąxźą ,śą1�ąxźą�ą
są analityczne w punkcie 0.
- 10 -
Funkcja wykładnicza i funkcje trygonometryczne zmiennej zespolonej
Rozszerzmy funkcje ex ,sinśą xźą , cosśą xźą na zbiór liczb zespolonych korzystając z
otrzymanych rozwinięć w szeregi Taylora.
"
zn
ez := , z"!
"
n!
n=0
"
n�ą1
sin z := śą-1źąn z2 , z"!
"
śą2 n�ą1źą!
n=0
"
n
cos z := śą-1źąn z2 , z"!
"
śą2 nźą!
n=0
Twierdzenie
1 2 1
" z1 , z2"! ez�"ez =ez �ąz2
Dowód
Na podstawie definicji
n
" "
z1 zn
2
1 2
ez := , ez := .
" "
n! n!
n=0 n=0
Ponieważ powyższe szeregi są zbieżne bezwzględnie zatem na podstawie twierdzenia
Cauchy'ego o iloczynie szeregów otrzymujemy
n
z1 zn "
2
1 2
ez ez := = cn ,
" " "
śą źąśą źą
n! n!
n=0
gdzie
k
n n
z1 zn-k n 1 k k
1 1
2 k
k
cn= �" = �"z1�"zn-k= �" z1�"zn-k= �"śą z1�ąz2źąn.
" " "
2 2
śą źą śą źą
k! śąn-k źą! n! n! n!
n n
k=0 k=0 k=0
Stąd
"
1
1 2 1
ez�"ez = �"śą z1�ąz2źąn=ez �ąz2
"
n!
n=0
Ą%
Twierdzenie
" z"! : śą1źą eiz=cos z�ąi�"sin z
śą2źą e-iz=cos z-i�"sin z
Dowód
"
in zn
Ad.(1) eiz=
"
n!
n=0
lim S2 n�ą1=eiz ,
Ponieważ powyższy szereg jest zbieżny zatem w szczególności
n Śą"
iz z2 iz3 z4 śąizźą2 n�ą1
gdzie S2 n�ą1=1�ą - - �ą �ą�ą�ą .
1! 2! 3! 4! śą2 n�ą1źą!
- 11 -
S2 n�ą1
Jednakże składniki sumy cząstkowej można pogrupować wybierając do pierwszej
grupy co drugi wyraz i wtedy
z2 z4 śą-1źąn�"z2 n z z3 z5 śą zźą2 n�ą1
lim S2 n�ą1=lim 1- �ą �ą�ą�ą �ąi - �ą �ą�ą�ąśą-1źąn =
śą źą
[ ]
2! 4! śą2 nźą! 1! 3! 5! śą2 n�ą1źą!
n Śą " n Śą "
z2 z4 śą-1źąn�"z2 n z z3 z5 śą zźą2 n�ą1
=lim 1- �ą �ą�ą�ą �ąi lim - �ą �ą�ą�ąśą-1źąn =cos z�ąi sin z
śą źą śą źą
2! 4! śą2 nźą! 1! 3! 5! śą2 n�ą1źą!
n Śą" n Śą"
Ad.(2)
cosśą-zźą=cos z
śą1źą
�! e-iz=cosśą-zźą�ąi sinśą-zźą=cos z-i sin z .
}
sinśą-zźą=-sin z
Z powyższego twierdzenia wynikają następujące Ą%
WZORY EULERA
eiz�ąe-iz '" sin z= eiz-e-iz dla z"!
cos z=
2 2
- 12 -
Szeregi ortogonalne
Będziemy rozważać funkcje całkowalne w sensie Riemanna w przedziale [a ,b].
Definicja
f , g [a , b]
Niech - całkowalne (w sensie Riemanna) w .
Liczbę )# f , g *# równą
b
)# f , g *#:= f śą xźą g śą xźądx
+"
a
nazywamy iloczynem skalarnym funkcji f i g .
)#� ,�*#
Jednakże nie spełnia warunków określających iloczyn skalarny . Co prawda
spełnione są warunki (IS1)-(IS3) , ale warunek
b
2
śąIS4źą: )# f , f *#= f śą xźądx=0 �! f a"0
+"
a
nie zachodzi bo funkcja równa zero poza skończoną liczbą punktów nie spełnia powyższej
implikacji.
Przykład
1
1, x=0
2
f śą xźą= �! f śą xźądx=0
+"
{
0, x"( 0 ;1 ]
0
Zatem )# f , f *#=0 mimo, że f a"0 .
Dygresja
Całkowalność w sensie Lebesgue a (względem miary)
Rozważmy całkę Lebesgue a (całkę względem miary).
Wtedy
�! f
f -całkowalna w sensie Riemanna - całkowalna w sensie Lebesgue a
oraz
śą Rźą= śą Lźą
+" +"
Wśród funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue'a rozważa się rodzinę gdzie
L2śą[a , b]źą ,
2
L2śą[a , b]źą:={ f :[a , b]Śą !; f śą xźądx"ą�ą"}
+"
[a , b]
L2śą[a , b]źą , - rodzina funkcji całkowalnych w sensie Lebesque a wraz z kwadratem.
Definicja (równości funkcji)
Mówimy, że funkcje f i g są równe, f =g , jeśli f śą xźą=g śą xźą poza zbiorem miary zero.
Uwaga
Przy tak sformułowanej definicji równości funkcji, rodzina jest przestrzenią
L2śą[a , b]źą
wektorową.
- 13 -
Definicja
Niech
f , g "L2śą[a , b]źą.
Wtedy definiujemy
)# f , g *#:= f śą xźą g śą xźądx
+"
[ a , b]
Uwaga
Funkcja )#� ,�*# spełnia własności iloczynu skalarnego w przestrzeni .
L2śą[a , b]źą
Wniosek
- przestrzeń unitarna
L2śą[a , b]źą
Zatem z twierdzenia o indukowaniu normy wynika , że
2
%" f %"= )# f , f *#= f śą xźą dx
ćą +"
ćą
[ a , b]
jest normą w . Normę tę nazywamy normą kwadratową.
L2śą[a , b]źą
Ponadto
d śą f , g źą=%" f -g%"= )# f -g , f -g *#= śą f śą xźą-g śą xźąźą2 dx
ćą
+"
ćą
[ a , b]
jest metryką w wyznaczoną przez normę kwadratową zadaną iloczynem
L2śą[a , b]źą
skalarnym.
Definicja
Niech śą f źąn"!�"L2śą[a , b]źą oraz f "L2śą[a , b]źą.
n
Wtedy
f Śą f :�!d śą f , f źąnŚą"0 �!
n 0 n
Śą
�! śą f śą xźą- f śą xźąźą2 dx Śą"0 �!
+"
n
n Śą
ćą
[a , b]
�! śą f śą xźą- f śą xźąźą2 dx Śą"0
+"
n
n Śą
[a , b]
Koniec dygresji
Powróćmy do funkcji całkowalnych w sensie Riemanna
Definicja
b
2
f [a , b].
Liczbę nazywamy normą kwadratową funkcji w
%" f %"= f śą xźądx
+"
ćą
a
- 14 -
Przykład
f śą xźą=sinśą xźą dla x"[0,Ćą].
Obliczyć normę kwadratową funkcji
Ćą
Ćą Ćą
Ćą
1-cos 2 x x 1
%" f %"= sin2 xdx= dx= - sin2 x =
+" +"
źą
ćą [ ]
2 2 4 2
ćą
ćą ćąśą 0
0 0
Uwaga
1 � f "C śą[a , b]źą �! śą%" f %"=0 �! f a"0 źą
2 � f "C śą[a ,b]źą�!śą%" f %"=0 �! f a"0 źą
Definicja
f , g
Funkcje całkowalne w sensie Riemanna nazywamy ortogonalnymi w [a , b] ,
0,
jeśli ich iloczyn skalarny jest równy czyli
)# f , g *#=0 .
Przykład
Niech oraz x"[0,1] .
f śą xźą=x , g śą xźą=x2
Wtedy
1
1
x4 1
funkcje f , g nie są ortogonalne w [0,1].
)# f , g *#= x�"x2 dx= = `"0 �!
+"
[ ]
4 4
0
0
Natomiast dla x"[-1,1]funkcje f , g są ortogonalne w [-1,1] , bo
1 1
1
)# f , g *#= x3 dx= x4 =0.
+"
[ ]
4
-1
-1
Definicja
Niech �ąn:[a , b]Śą! dla n"!0
�ąn " n"!0.
oraz - całkowalna
śą�ąnźąn"! nazywamy ciągiem ortogonalnym w [a , b] , jeśli :
Ciąg funkcyjny
0
1 � " n , m"!0 , n`"m: )#�ąn ,�ąm*#=0
oraz
2 � " n"!0 %"�ąn%"ą0 .
- 15 -
Przykład
Ciąg śąsinśąn�ą1źą xźąn"! jest ciągiem ortogonalnym w [-Ćą ,Ćą] ,bo
0
1 � dla n`"m i n , m"!0
Ćą
)#sinśąn�ą1źą x ,sinśąm�ą1źą x*#= sinśąn�ą1źą x�"sinśąm�ą1źą x�"dx=
+"
-Ćą
Ćą Ćą
1 1
= cosśąn-mźą x�"dx- cosśąn�ąm�ą2źą x�"dx=0
+" +"
2 2
-Ćą -Ćą
2 � dla n"!0
Ćą Ćą
1-cos2śąn�ą1źą x
%"sinśąn�ą1źą x%"= sin2śąn�ą1źą x dx= dx=
+" +"
ćą
2
ćą-Ćą
-Ćą
Ćą
1 sin2śąn�ą1źą x
= x- = Ćąą0
ćą
źą
[ ]
2 4śąn�ą1źą
ćąśą -Ćą
śąsinśąn�ą1źą xźąn"!
[-Ćą ,Ćą].
z 1 � i 2 � wynika, że ciąg funkcyjny jest ortogonalny w
0
Definicja
śą�ąnźąn"! nazywamy ciągiem unormowanym w [a , b] , jeśli
Ciąg funkcyjny
0
" n"!0 %"�ąn%"=1.
Przykład
1
�"sinśąn�ą1źą x
[-Ćą ,Ćą].
Ciąg jest unormowany w
śą źą
Ćą
ćą
n"!0
Definicja
śą�ąnźąn"! nazywamy ciągiem ortonormalnym w [a , b] , jeśli jest
Ciąg funkcyjny
0
ortogonalny i unormowany w tym przedziale.
Przykład c.d.
1
-ciąg ortonormalny w
�"sinśąn�ą1źą x
[-Ćą ,Ćą].
śą źą
Ćą
ćą
n"!0
Wniosek
�ąn
śą�ąnźąn"! jest ciągiem ortogonalnym , to
Jeżeli jest ciągiem ortonormalnym.
0
śą źą
%"�ąn%"
n"N
0
- 16 -
Uwaga
śą�ąnźąn"! �! )#�ąn ,�ąm*#=�ąnm n , m"!0 ,
jest ortonormalnym dla
�ąnm
gdzie symbol oznacza deltę Kroneckera,
1 , gdy n=m ,
�ąnm:=
{
0 , gdy n`"m.
Definicja
śą�ąnźąn"! - ciąg ortogonalny w
Niech [a , b] ,
0
śąąąnźąn"! - ciąg liczbowy .
0
"
Wtedy szereg ąąn�"�ąnśą xźą nazywamy szeregiem ortogonalnym w [a , b] .
"
n=0
Lemat (o szeregu ortogonalnym)
"
[a , b]
Niech ąąn�"�ąnśą xźą - szereg ortogonalny w i zbieżny jednostajnie w [a , b]
"
n=0
oraz
"
niech jego suma f śą xźą= ąąn�"�ąnśą xźą jest funkcją całkowalną w [a , b].
"
n=0
Wtedy
)# f ,�ąn*#
ąąn=
" n"!0.
%"�ąn%"2
Dowód
n"!0 , x"[a , b].
Niech
b b b
" "
)# f ,�ąn*#= f śą xźą�"�ąnśą xźądx= śą ąąk �ąk śą xźąźą�ąnśą xźądx= [ śąąąk �ąk śą xźą�"�ąnśą xźąźą]dx=
+" +" " +" "
k=0 k=0
a a a
b b
" " "
= ąąk �ąk śą xźą�ąnśą xźądx= ąąk �ąk śą xźą�ąnśą xźądx= ąąk )#�ąk ,�ąn*#=ąąn)#�ąn ,�ąn*#=
"+" " +" "
k=0 k=0 k =0
a a
=ąąn%"�ąn%"2
stąd
)# f ,�ąn*#
ąąn= .
%"�ąn%"2
Ą%
Wniosek
f - całkowalna w [a , b] �! " co najwyżej jeden szereg ortogonalny zbieżny
f
jednostajnie do funkcji , mianowicie jest to szereg postaci
- 17 -
"
cn�ąnśą xźą
"
n=0
o współczynnikach
)# f ,�ąn*#
cn= dla n"!0.
%"�ąn%"2
cn
Powyższe wzory określające współczynniki nazywamy wzorami Eulera-Fouriera ,
cn
nazywamy współczynnikami Fouriera funkcji f względem ciągu ortogonalnego
śą�ąnźąn"!0 w [a , b] ,
"
a szereg cn�ąnśą xźą nazywamy szeregiem Fouriera funkcji f względem ciągu
"
n=0
śą�ąnźąn"! w [a , b]
i piszemy
0
"
f śą xźą~ cn�ąnśą xźą dla x"[a , b]
"
k=0
f
Zatem jeśli jest całkowalna w [a , b] , to odpowiada jej szereg Fouriera utworzony
śą�ąnźąn"! ortogonalnego w tym przedziale . Jednakże nic nie
względem dowolnego ciągu
0
wiemy o zbieżności utworzonego szeregu , a w szczególności nie wiemy , czy sumą tego
szeregu jest funkcja f .
"
Jeśli f śą xźą= cn�ąnśą xźą , to o funkcji f mówimy , że jest rozwijalna w szereg Fouriera.
"
k=0
Definicja
b
Liczbę d śą f , g źą=%" f -g%"= [ f śą xźą-g śą xźą]2 dx nazywamy
+"
ćą
a
f g
odległością kwadratową funkcji i w przedziale [a , b].
Uwaga
1 � f "C śą[a , b]źą �! śąd śą f , g źą=0 �! f =g źą
2 � f "C śą[a , b]źą �! śąd śą f , g źą=0 �! f =g źą
Definicja
śą�ąnźąn"! - ciąg ortogonalny,
Niech
0
śąąąnźąn"! - ciąg liczbowy.
0
N
funkcję �ąN śą xźą:= ąąn�ąnśą xźą nazywamy wielomianem ortogonalnym rzędu N
"
n=0
śą�ąnźąn"! .
utworzonym z wyrazów ciągu
0
- 18 -
Zagadnienie najlepszej aproksymacji kwadratowej.
Niech f - całkowalna w [a , b] ,
śą�ąnźąn"! - ciąg ortogonalny w [a , b] ,
0
N "!0.
ąąn
Zagadnienie polega na dobraniu dla n=0,1 ,�ą , N współczynników wielomianu
N
d śą f ,�ąN źą
ortogonalnego �ąN śą xźą= ąąn�ąnśą xźą tak, aby odległość kwadratowa była
"
n=0
�ąN
minimalna. Wtedy będzie wielomianem aproksymujacym funkcję f w [a , b]
najlepiej w sensie odległości kwadratowej .
Twierdzenie (o aproksymacji kwadratowej)
N
Spośród wszystkich wielomianów �ąN śą xźą= ąąn�ąnśą xźą najlepszą aproksymację
"
n=0
kwadratową funkcji f w przedziale [a , b] stanowi wielomian o współczynnikach
Fouriera.
Dowód
2
d )# f ,�ąN *#=)# f -�ąN , f -�ąN *#=)# f , f *#-2 )# f ,�ąN *#�ą)#�ąN ,�ąN *#=
N N N
=%" f %"2-2 )# f , ąąn�ąn*#�ą)# ąąn�ąn , ąąm�ąm*#=
" " "
n=0 n=0 m=0
N N
=%" f %"2-2 ąąn )# f ,�ąn*#�ą ąąn ąąm )#�ąn ,�ąm*#=
" "
n=0 n , m=0
N N
=%" f %"2-2 ąąn)# f ,�ąn*#�ą ąą2 )#�ąn ,�ąn*#=
" "
n
n=0 n=0
N N
)# f ,�ąn*#
=%" f %"2-2 ąąn%"�ąn%"2�ą ąą2%"�ąn%"2=
" "
n
%"�ąn%"2
n=0 n=0
N N
=%" f %"2-2 cn�"ąąn%"�ąn%"2�ą ąą2%"�ąn%"2=
" "
n
n=0 n=0
N N
=%" f %"2�ą śącn-ąąnźą2%"�ąn%"2- c2%"�ąn%"2.
" "
n
n=0 n=0
N
Powyższe wyrażenie ma najmniejszą wartość, gdy suma śącn-ąąnźą2%"ąąn%"2 jest
"
n=0
ąąn=cn
" n"{0,1,2 ,�ą, N }.
najmniejsza czyli, gdy
Ą%
Uwaga
N
2
Jeśli ąąn=cn dla n=0,1 ,�ą , N , to d śą f ,�ąnźą=%" f %"2- c2%"�ąn%"2�ą0 dla N "!0.
"
n
n=0
N
Zatem " N "!0 c2%"�ąn%"2ąą%" f %"2.
"
n
n=0
- 19 -
N
Wprowadzmy oznaczenie Sn�ą1:= c2%"�ąn%"2. Na podstawie powyższej nierówności ciąg
"
n
n=0
śąS źąN"! śąSn�ą1źąN "!0
jest ograniczony. Ponadto jest to ciąg rosnący. Zatem jest
n�ą1
0
ciągiem zbieżnym.
"
Stąd c2%"�ąn%"2-zbieżny oraz
"
n
n=0
"
c2%"�ąn%"2d"%" f %"2.
"
n
n=0
Powyższą nierówność nazywamy nierówność Bessela.
śą�ąnźąn"! ortogonalnego w przedziale
Nierówność ta jest prawdziwa dla dowolnego ciągu
[a , b] oraz dla dowolnej funkcji f całkowalnej w tym przedziale.
Definicja
śą�ąnźąn"! ortogonalny w [a , b] nazywamy układem zupełnym w klasie funkcji
Ciąg
0
całkowalnych w [a , b] , jeśli dla każdej funkcji f z tej klasy zachodzi
"
c2%"�ąn%"2=%" f %"2
"
n
n=0
Powyższą równość nazywamy równością Parsevala lub warunkiem zupełności.
Uwaga
Układ zupełny w klasie funkcji całkowalnych jest również układem zupełnym w klasie
funkcji ciągłych.
Uwaga.
"
śą�ąnźąn"! -ciąg ortogonalny �! c2=%" f %"2
"
0 n
n=0
- 20 -
Analogie między teorią wektorów a teorią ciągów i szeregów ortogonalnych
wektory w !3 szeregi ortogonalne
ęą
ęą ęąj , k śą�ąnźąn"!
�" wersory i ,
�" ortogonalny układ zupełny
0
cn
�" współrzędne x , y , z wektora �" współczynniki Fouriera funkcji f
Śą śą�ąnźąn"!
względem
V =[ x , y , z]
0
Śą ęą śą�ąnźąn"!
cn=)# f ,�ąn*# ,
�" gdy -układ
�"
x=)#V , i *#
0
Śą ęąj
y=)#V , *# ortonormalny
ęą
Śą
z=)#V , k *#
Śą
�" kwadrat długości wektora równość Parsevala
�"
V
"
Śą
%" f %"2= c2
#"V#"2=x2�ą y2�ąz2
"
n
n=0
"
?
�" rozkład wektora na składowe �" f śą xźą= cn�ąnśą xźą
"
n=0
ęą
Śą ęą�ą ęąj�ąz
szereg może nie być zbieżnym lub
V =x i y k
być zbieżnym, ale nie do funkcji f
Aby odpowiedność w ostatnim wierszu tabelki zachodziła, określamy odpowiednio pojęcie
zbieżności. Wykorzystamy definicję zbieżności ciągu w przestrzeni L2śą[a , b]źą
według
metryki.
Definicja
Ciąg funkcyjny śą f źąn"! funkcji f : [a , b]Śą R , n"! , nazywamy
n n
zbieżnym przecietnie z kwadratem w przedziale [a , b] , jeśli
lim śą f śą xźą- f śą xźąźą2 dx=0.
+"
n
n Śą "
[ a , b]
Uwaga
śą f źąn"! może być zbieżnym przecietnie z kwadratem w , ale nie zbieżnym
Ciąg [a , b]
n
punktowo w [a , b].
Przykład
Niech
1
n , dla 0 d"xd"
ćą
n2
f śą xźą=
n
1
{
0 , dla d"xd"1
n2
oraz niech f a"0 w [0,1].
Wtedy
1 1
1 n2 n2
1
lim śą f śą xźą- f śą xźąźą2 dx=lim śą f śą xźąźą2 dx=lim ndx=lim =0
+" +" +"
n n
n
n Śą" n Śą" n Śą" n Śą "
0 0 0
śą f źąn"! jest zbieżny przeciętnie z kwadratem do funkcji f w [a , b].
Zatem
n
- 21 -
f śą0źą= n Śą"�ą" �! śą f źąn"! nie jest zbieżny punktowo w
ćą
Jednak dla x=0 mamy
n n
n Śą
[0,1].
Uwaga
śą f źąn"! może być zbieżnym punktowo ale nie zbieżnym przecietnie z kwadratem.
Ciąg
n
Przykład
Niech
0 dla x=0,
n dla 0 "ąxąą1 ,
f śą xźą=
n
n
{ 1
0 dla "ąxąą1.
n
śą f źąn"! jest zbieżny punktowo do funkcji f a"0 w [0,1].
Ciąg
n
Jednak
1
1 n
lim śą f śą xźą- f śą xźąźą2 dx=lim n2 dx=lim n=�ą"
+" +"
n
n Śą" n Śą " n Śą "
0 0
śą f źąn"!
Zatem nie jest zbieżny przeciętnie z kwadratem.
n
śą�ąnźąn"! -układ zupełny.
Niech
0
Wtedy
"
" f całkowalna w[a , b]: c2%"�ąn%"2=%" f %"2.
"
n
n=0
Stąd
N "
2
lim d śą f ,�ąN źą= lim śą%" f %"2- c2%"�ąn%"2źą=%" f %"2- c2%"�ąn%"2=0
" "
n n
N Śą" N Śą"
n=0 n=0
i otrzymujemy następujący wniosek
Wniosek
"
Szereg Fouriera cn�ąnśą xźą dowolnej funkcji f całkowalnej w przedziale [a , b] ,
"
n=0
śą�ąnźąn"! jest zbieżny przecietnie z kwadratem w tym
względem układu zupełnego
0
przedziale do funkcji f .
Uwaga
Oczywiście szereg Fouriera nie musi być zbieżny w zwykły sposób. Jeśli spełniona jest
"
równość f śą xźą= cn�ąnśą xźą to mówimy, że funkcja f jest rozwijalna w szereg
"
n=0
Fouriera.
- 22 -
SZEREG TRYGONOMETRYCZNY FOURIERA
Definiujemy ciąg funkcyjny śą�ąnźąn"! : �ą0śą xźą=1
0
nĆą x
�ą2 n-1śą xźą=cos , n"!
l
nĆą x
�ą2 nśą xźą=sin
l
czyli ciąg :
Ćą x Ćą x 2Ćą x 2Ćą x
1, cos , sin , cos , sin ,�ą
l l l l
Stwierdzenie
śą�ąnźąn"!
Ciąg jest ortogonalny w [-l , l ].
0
Dowód
n"!
Dla mamy
l
l
nĆą x nĆą x
l
)#�ą0 ,�ą2 n-1*#= cos dx= sin =0
+"
[ ]
l nĆą l
-l
-l
l
l
nĆą x nĆą x
l
)#�ą0 ,�ą2 n*#= sin dx= - cos =0
+"
[ ]
l nĆą l
-l
-l
dla n , m"! otrzymujemy
l
nĆą x mĆą x
)#�ą2 n-1 ,�ą2 m*#= cos sin dx=
+"
l l
-l
l
śąm-nźąĆą x śąm�ąnźąĆą x
1
= sin �ąsin dx=0
+"
śą źą
2 l l
-l
Ponadto dla n`"m
l
nĆą x mĆą x
)#�ą2 n-1 ,�ą2 m-1*#= cos cos dx=
+"
l l
-l
l
śąm-nźąĆą x śąm�ąnźąĆą x
1
= cos �ącos dx=0
+"
śą źą
2 l l
-l
oraz
l
nĆą x mĆą x
)#�ą2 n ,�ą2 m*#= sin sin dx=
+"
l l
-l
l
śąm-nźąĆą x śąm�ąnźąĆą x
1
= cos -cos dx=0
+"
śą źą
2 l l
-l
- 23 -
Nadto kwadraty norm kwadratowych wynoszą
l
%"�ą0%"2= dx=2lą0
+"
-l
oraz dla n"!
l
l
nĆą x 2 nĆą x
x l
%"�ą2 n-1%"2= cos2 dx= �ą sin =lą0 ,
+"
[ ]
l 2 4 nĆą l
-l
-l
l
l
nĆą x 2 nĆą x
x l
%"�ą2 n%"2= sin2 dx= - sin =lą0 .
+"
[ ]
l 2 4 nĆą l
-l
-l
Ą%
Uwaga
śą�ąnźąn"! jest
" n"!: �ą2 n-1 ,�ą2 n - funkcje okresowe o okresie 2l �! ciąg
Jeśli
0
2 l
ortogonalny w każdym przedziale o długości .
Twierdzenie
Ciąg śą�ąnźąn"! : �ą0śą xźą=1
0
nĆą x
�ą2 n-1śą xźą=cos
l
nĆą x
�ą2 nśą xźą=sin dla n"!
l
stanowi układ zupełny w klasie funkcji całkowalnych w [-l , l ].
f
Niech -całkowalna w [-l , l ].
Wtedy współczynniki Fouriera względem układu zupełnego wynoszą
)# f ,�ąn*#
cn=
%"�ąn%"2
Stąd
l
1
c0= f śą xźądx
+"
2 l
-l
l
nĆą x
1
c2 n-1= f śą xźącos dx
+"
l l
-l
l
nĆą x
c2 n=1 f śą xźąsin dx
+"
l l
-l
"
i funkcji f odpowiada szereg Fouriera f śą xźą~ cn�ąnśą xźą.
"
i=0
- 24 -
Uwaga
Powyższy szereg zapiszemy w postaci tradycyjnej, podstawiając
a0:=2 c0
an:=c2 n-1
bn:=c2 n dla n"!.
Wtedy
a0 "
nĆą x nĆą x
f śą xźą~ �ą an cos �ąbnsin -szereg trygonometryczny Fouriera
"
śą źą
2 l l
n=1
funkcji f w [-1,1] , gdzie
l
1
a0= f śą xźądx
+"
l
-l
l
nĆą x
an=1 f śą xźącos dx
+"
l l
-l
l
nĆą x
1
bn= f śą xźąsin dx
+"
l l
-l
Wniosek
Szereg trygonometryczny Fouriera jest zbieżny przeciętnie z kwadratem do funkcji f.
Wniosek
Dla szeregu trygonometrycznego Fouriera spełniona jest równość Parsevala, czyli
"
2
2 lc0�ąl c2=%" f %"2
"
n
n=1
2
la0 "
�ąl śąa2�ąb2źą=%" f %"2
"
n n
2
n=1
stąd
2
a0 "
1
�ą śąa2�ąb2źą= %" f %"2
"
n n
2 l
n=1
�ą
równość Parsevala dla szeregu trygonometrycznego
Fouriera
Definicja
Niech funkcja f jest ograniczona w śąa , bźą.
Mówimy, że f jest przedziałami monotoniczna w śąa , bźą , jeśli przedział ten można
podzielić na skończoną liczbę przedziałów, wewnątrz których funkcja jest monotoniczna.
- 25 -
Przykład
Przykład
1
f śą xźą=x sin
Funkcja nie jest przedziałami monotoniczna w [-l , l ].
x
- 26 -
Definicja
f [a , b]
Funkcja spełnia w przedziale warunki Dirichleta, jeśli:
śąa , bźą
1 � jest przedziałami monotoniczna w (jest więc ograniczona)
f "C śąśąa , bźą"{x1 , x2 ,�ą, xn}źą
2 �
xi
oraz w każdym punkcie nieciągłości zachodzi
1 -
f śą xiźą= [ f śą xiźą�ą f śą x+źą]
,
i
2
-
gdzie f śą xiźą f śą x+źąoznaczają granice odpowiednio lewo i prawostronne funkcji f
i
w punkcie xi ,
- +
f śą xiźą:=lim f śą xźą , f śą xi źą:= lim f śą xźą
- +
x Śą xi x Śą xi
1
3 � f śąaźą= f śąbźą= [ f śąa+źą�ą f śąb-źą].
2
gdzie f śąb-źą=lim f śą xźą , f śąa+źą= lim f śą xźą
x Śą b- x Śą a+
- 27 -
Twierdzenie (Dirichleta)
Jeśli f spełnia w [-l , l ] warunki Dirchleta, to jest rozwijalna w szereg trygonometryczny
Fouriera w [-l , l ] , czyli zachodzi równość
a0 "
nĆą x nĆą x
f śą xźą= �ą an cos �ąbnsin dla x"[-l , l ].
"
śą źą
2 l l
n=1
f 2 l , f
Jeśli dodatkowo jest okresowa o okresie to jest rozwijalna w szereg
trygonometryczny Fouriera w całej swojej dziedzinie.
Uwaga
f
Niech spełnia warunki Dirchleta w [-l , l ].
Jeśli
1 � f - parzysta, tzn. f śą-xźą= f śą xźą to
l
2
a0= f śą xźądx
+"
l
0
a0 "
nĆą x
l
�! f śą xźą= �ą an cos
nĆą x "
2
2 l
an= f śą xźącos dx
+" n=1
l l
}
0
bn=0
f
czyli jest rozwijalna w szereg kosinusów
Natomiast, jeśli
2 � f - nieparzysta, tzn. f śą-xźą=- f śą xźą to
a0=an=0
"
nĆą x
l
nĆą x �! f śą xźą= bnsin
2
"
bn= f śą xźąsin dx l
+"
} n=1
l l
0
czyli f jest rozwijalna w szereg sinusów.
Przykład
Rozwinąć w szereg trygonometryczny Fouriera funkcję
sgn x dla x"śą-l , l źą ,
f śą xźą=
{
0 dla x=-l("x=l .
- 28 -
Funkcja f spełnia warunki Dirchleta oraz jest nieparzysta.
" n"!0 an=0
Zatem oraz
"
nĆą x
f śą xźą= bnsin , gdzie
"
l
n=1
1
l
nĆą x nĆą x
2 2 l 2 2
bn= sin dx= - cos =- śącos nĆą-cos0źą=- śąśą-1źąn-1źą=
+"
śą źą
l l [ l ]
l n�"Ćą nĆą nĆą
0
0
0 , gdy n - parzyste,
4
=
, gdy n - nieparzyste.
{
nĆą
4
b2 k=0 i b2 k -1= dla k "! i w konsekwencji
Stąd
śą2 k-1źąĆą
" "
śą2 n-1źąĆą x śą2 n-1źąĆą x
4
f śą xźą= b2 n-1sin = sin dla x"[-l , l ].
" "
l śą2 n-1źąĆą l
n=1 n=1
Zatem
- 29 -
"
śą2n-1źąĆą x
4 1
f śą xźą= sin dla x"[-l ,l ]
"
Ćą 2n-1 l
n=1
Powyższe rozwinięcie funkcji f można wykorzystać do obliczania sumy szeregów liczbowych
l
np. dla x= otrzymujemy
2
Ćą
l 4 �" " 1
f = sin - �ąnĆą �!
"
śą źą śą źą
2 Ćą 2n-1 2
n=1
" n�ą1
1 =4
"śą-1źą
Ćą 2n-1
n=1
"
Ćą
śą-1źąn�ą1
a stąd = śąwzór Leibnizaźą.
"
2 n-1 4
n=1
Do obliczenia sum szeregów liczbowych można wykorzystać też równośc Parsevala.
Przykład c.d.
Zapiszmy równość Parsevala dla funkcji f zdefiniowanej wcześniej.
"
1%" 4
b2= f %"2 , gdzie b2n-1= , b2 n=0,
"
n
l śą2 n-1źąĆą
n=1
stąd
2 l
"
4 1
2
= f śą xźądx
" +"
śą źą
śą2 n-1źąĆą l
n=1
-l
l l
"
16 1 2 2
2
= f śą xźądx= x =2
" +"
[ ]
l
Ćą2 śą2 n-1źą2 l -l 0
n=1
i ostatecznie
"
Ćą2
1
= .
"
śą2 n-1źą2 8
n=1
Rozwijanie w szereg sinusów lub kosinusów.
f śą0, l źą.
Niech spełnia 1 � i 2 � warunek Dirchleta w przedziale Wtedy funkcję f
można rozwinąć albo w szereg samych sinusów albo w szereg samych kosinusów
odpowiednio ją przedłużając na przedział [-l , l ].
a) szereg sinusów
f przedłużamy nieparzyście
0 , gdy x=-l
- f śą-xźą , gdy x=śą-l ,0źą
f *śą xźą= 0 , gdy x=0
f śą xźą , gdy x"śą0, l źą
{
0 , gdy x=l
b)szereg kosinusów
f przedłużamy parzyście
- 30 -
f śąl-źą , gdy x=-l
f śą-xźą , gdy x=śą-l ,0źą
f *śą xźą= f śą0źą , gdy x=0
f śą xźą , gdy x"śą0, l źą
{
f śąl-źą , gdy x=l
f * f *
Ponieważ spełnia wszystkie warunki Dirichleta, zatem rozwinięcie w szereg
trygonometryczny Fouriera w [-l , l ]. jest rozwinięciem f w szereg trygonometryczny
Fouriera w śą0, l źą.
Przykłady
śą0,Ćąźą
1. Rozwinąć funkcję f śą xźą=x w przedziale w szereg sinusów.
l=Ćą f
Mamy i przedłużamy nieparzyście.
Wtedy
x , x"śą-Ćą ,Ćąźą
f *śą xźą=
{
0 , x=Ćą , x=-Ćą
Ćą Ćą
Ćą
nĆą x
2 2 2 x 1
bn= f śą xźąsin dx= x sinśąnxźądx= - cosśąnxźą�ą sinśąnxźą =
+" +"
[ ]
Ćą Ćą Ćą Ćą n
n2
0 0
0
Ćą
=2 - śą-1źąn=2 śą-1źąn�ą1
śą źą
Ćą n n
Zatem
"
2
f *śą xźą= śą-1źąn�ą1sinśąnxźądla x"[-Ćą ,Ćą]
"
n
n=1
a stąd
"
2
f śą xźą= śą-1źąn�ą1sinśąnxźą dla x"śą0,Ćąźą.
"
n
n=1
śą0,Ćąźą
2. Funkcję f śą xźą=x rozwinąć w przedziale w szereg kosinusów.
l=Ćą f
Mamy i przedłużamy parzyście.
Wtedy
f *śą xźą=#"x#" , x"[-Ćą ,Ćą]
Ćą Ćą
Ćą
2 2 2 1
a0= f śą xźądx= x dx= x2 =Ćą
+" +"
[ ]
Ćą Ćą Ćą 2
0
0 0
Ćą Ćą
Ćą
nĆą x
2 2 2 x 1
an= f śą xźącos dx= x cosśąnxźądx= sinśąnxźą�ą cosśąnxźą =
+" +"
[ ]
Ćą Ćą Ćą Ćą n
n2
0 0
0
0 , gdy n-parzyste
2
= śąśą-1źąn-1źą= 4
- , gdy n-nieparzyste
Ćą n2
{
Ćą n2
- 31 -
zatem
"
Ćą
4 1
f *śą xźą= - cosśą[śą2 n-1źą x]źą dla x"[-Ćą ,Ćą]
"
2 Ćą
śą2 n-1źą2
n=1
"
Ćą
4 1
a stąd f śą xźą= - cosśą[śą2 n-1źą x]źą dla x"[0,Ćą].
"
2 Ćą
śą2 n-1źą2
n=1
- 32 -
Postać zespolona szeregu trygonometrycznego Fouriera.
Wzory Eulera
eiz�ąe-iz
cos z=
2
eiz-e-iz
sin z=
2i
nĆą x
zachodzą " z"! , zatem w szczególności dla z= , gdzie x"!.
l
Stąd
nĆą x n Ćą x
i -i
nĆą x
1
l l
śą źą
cos = e �ąe
l 2
nĆą x nĆą x n Ćą x nĆą x
i -i i -i
nĆą x
1 i
l l l l
śą źą śą źą
sin = e -e = -e �ąe
l 2i 2
i szereg trygonometryczny Fouriera
a0 "
nĆą x nĆą x
�ą an cos �ąbnsin
"
śą źą
2 l l
n=1
można zapisać w postaci
a0 " an-i bn i n Ćą x an�ąi bn -i n Ćą x
l l
�ą e �ą e
"
śą źą
2 2 2
n=1
�ą �ą �ą
c0 cn c-n
to znaczy
a0
c0=
2
n Ćą x n Ćą x
"
i -i an-i bn
l l
cn= , n"!
c0�ą śącn e �ąc-n e źą , gdzie
"
2
n=1
{ an�ąi bn
c-n=
2
lub krótko
n Ćą x
n=�ą"
i
l
cn e ,
"
n=-"
nĆą x
N
i
l
gdzie powyższy szereg jest ciągiem sum cząstkowych S śą xźą= cn e .
"
N
n=-N
Jest to postać zespolona szeregu trygonometrycznego Fouriera(krótko zespolony
szereg Fouriera).
Jeśli f spełnia warunki Dirichleta w [-l , l ] , to jest rozwijalna w szereg zespolony
Fouriera i, podobnie jak wyżej, można wyprowadzić wzory na współczynniki Fouriera.
l n Ćą x
-i
1
l
cn= f śą xźąe dx , dla n"$!
+"
2 l
-l
- 33 -
Uwaga
f 2 l
Jesli dodatkowo jest funkcją okresową o okresie , to
2l nĆą x
-i
1
l
cn= f śą xźąe dx dla n"$!.
+"
2l
0
- 34 -

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
RRCz, Szeregi Fouriera i Przestrzenie Hilberta Jakobczyk p41 pIRX
CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE 6 2 Szeregi potęgowe
AM23 w04 Szeregi potęgowe
CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE 6 3 Szeregi Fourieraatematyczna
sf1 zadania na kartkówkę z szeregów fouriera rozw
Szereg Fouriera 2
23 ciagi i szeregi funkcyjne 6 2 szeregi potegowe
szeregi potegowe odpowiedzi
szeregi potegowe
sf2 zadania na kartkówkę z szeregów fouriera rozw
Szereg Fouriera
Szeregi potegowe zadania
Elementy teorii szeregów Fouriera
Szereg Fouriera 1
Szeregi liczbowe, funkcyjne i potęgowe
1 1 Wykład Szereg Fouriera s Letni 2011 12

więcej podobnych podstron