Zadania z rachunku prawdopodobieństwa dla grup 202, 207 i 209
Ćwiczenia 1, 8 X 2004
1. Udowodnić rachunkowe własności prawdopodobieństwa W1 W7, podane
na wykładzie.
2. F jest Ã-ciaÅ‚em, A, B "F. Wykazać, że A )" B "F.
3. Opisać najmniejsze Ã-ciaÅ‚o, do którego:
a) należy zbiór A;
b) należą zbiory A i B.
Zbadać, ile elementów może mieć Ã-ciaÅ‚o skoÅ„czone.
4. A, B, C są zdarzeniami. Zapisać za pomocą działań na zbiorach zdarzenia
 zachodzi dokładnie k spośród wymienionych zdarzeń i  zachodzi co najmniej
k spośród wymienionych zdarzeń , gdzie k =0, 1, 2, 3.
1 1 2
5. Wiadomo, że P (A ) = , P (A )" B) = i P (A *" B) = . Obliczyć P (B )
3 4 3
i P (A )" B ).
6. Wurnie jest b kul białych i c kul czarnych. Losujemy dwie kule a) bez
zwracania; b) ze zwracaniem. Co jest bardziej prawdopodobne: otrzymanie kul
tego samego koloru, czy różnych kolorów?
7. W grupie ćwiczeniowej jest 23 studentów. Jaka jest szansa, że w tej grupie:
a) jest ktoÅ› obchodzÄ…cy urodziny 1 maja;
b) sÄ… osoby obchodzÄ…ce urodziny tego samego dnia?
8. 10 osób wsiada do (pustego) pociągu. Każdy wybiera jeden z 4 wagonów
losowo. Jaka jest szansa, że wszystkie wagony będą zajęte?
9. Z 52 kart wybrano 13. Jaka jest szansa, że wśród wybranych kart jest a)
4; b) 6; c) 7 kart jednego koloru?
Uwaga. W niektórych z powyższych zadań prawdopodobnie należy zastoso-
wać klasyczną definicję prawdopodobieństwa. Warto zbadać, czy zawsze jest to
uzasadnione.
Przydatne będą podstawowe schematy kombinatoryczne, znane pod hasłami:
permutacje, kombinacje, wariacje i wariacje z powtórzeniami.
1
Zadania z rachunku prawdopodobieństwa dla grup 202, 207 i 209
Ćwiczenia 2, 15 X 2004
A. Kombinatoryka.
1. W zadaniu z wykładu o listach obliczyć
a) prawdopodobieństwo, że dokładnie k listów trafi, gdzie trzeba.
b) średnią liczbę listów, trafiających do właściwej koperty.
2. Są 44 skarbonki zamykane na kluczyk, a każdy klucz pasuje dokładnie do
jednej skarbonki. Po zamknięciu skarbonek wymieszane losowo klucze powrzu-
cano po jednym do każdej skarbonki. Jaka jest szansa, że po rozbiciu dowolnie
wybranej skarbonki uda się otworzyć wszystkie?
3. Do n komórek wrzucono losowo n kul. Jaka jest szansa, że a) wszystkie
komórki będą zajęte; b) dokładnie jedna komórka pozostanie pusta?
4. Z 52 kart wybrano 13. Jaka jest szansa, że otrzymamy układ a) 5-4-3-1;
b) 5-3-3-2 (co oznacza: pięć kart w jednym kolorze, trzy w innym, etc.)
B. Prawdopodobieństwo geometryczne.
1. Z przedziału [0, 1] wybrano losowo punkty A, B i C. Jaka jest szansa, że
A2. Z przedziału [0, 1] wybrano losowo dwa punkty, które podzieliły go na
trzy odcinki. Jaka jest szansa, że uda się z nich zbudować trójkąt?
3. Jak gruba powinna być moneta, żeby upadała na kant z prawdopodobień-
1
stwem ?
3
4. Igła Buffona. Na podłogę z desek o szerokości d rzucamy igłę o długości
l. Jaka jest szansa, że igła nie przetnie krawędzi deski?
1
Zadania z rachunku prawdopodobieństwa dla grup 202, 207 i 209
Ćwiczenia 3, 22 X 2004
A. Kombinatoryka.
1. W koszyczku jest 8 jabłek i 4 gruszki. Wybrano losowo próbkę złożoną z
3 owoców. Jaki jest najbardziej prawdopodobny skład próbki?
2. Z jeziora wyłowiono 120 ryb, oznakowano i wpuszczono z powrotem do
wody. Po pewnym czasie wyłowiono 80 ryb, w tym 12 oznakowanych. Oszacować
liczbÄ™ ryb w jeziorze.
3. Ile jest konfiguracji n nierozróżnialnych kul w k komórkach?
4. Gospodyni rozdzieliła losowo 24 pączki pomiędzy 6 gości. Jaka jest szansa,
że a) ktoś nie dostanie pączka; b) że każdy dostanie co najmniej dwa?
5*. Windą jedzie 7 osób, a każda może wysiąść na jednym z dziesięciu pięter.
Jaka jest szansa, że na pewnym piętrze wysiądą 3 osoby, na innym 2, i na dwóch
piętrach po jednej (w skrócie: 3-2-1-1-0-0-0-0-0-0)? Ile jest takich konfiguracji?
B. Prawdopodobieństwo geometryczne.
6*. Przypuśćmy, że w zadaniu o igle Buffona szerokość desek jest równa
1, a zamiast igłą rzucamy wielokątem wypukłym o średnicy nie większej niż 1
(średnica zbioru to kres górny wzajemnych odległości jego punktów). Jaka jest
szansa, że przetnie on krawędz
deski?
Wskazówka. Na początek można rzucać trójkątem.
Uwaga. Zamierzam dokończyć zadania z serii 2 i nie liczę na to, że uda się
zrobić wszystkie zadania z tej serii. W szczególności zadania z gwiazdką najlepiej
nadajÄ… siÄ™ na zadania domowe.
1
Zadania z rachunku prawdopodobieństwa dla grup 202, 207 i 209
Ćwiczenia 4, 29 X 2004
A. Prawdopodobieństwo warunkowe.
1. Wurnie jest b kul białych i c kul czarnych. Po wylosowaniu kuli zwracamy
ją do urny i dokładamy d kul tego samego koloru. Jaka jest szansa otrzymania
kolejno kuli białej, czarnej, białej i czarnej? A czarnej, czarnej, białej i białej?
Czy da się sformułować ogólne twierdzenie?
2. Spośród rodzin z dwojgiem dzieci wylosowano jedną i okazało się, że a)
starsze dziecko jest chłopcem; b) co najmniej jedno dziecko jest chłopcem. Jaka
jest w obu przypadkach szansa na to, by rodzina miała dwóch synów? Czy
w b) przypadkiem uzyskana informacja, że jedno z dzieci ma na drugie imię
Kazimierz, zmieni ocenÄ™ szans?
3. Brydżysta dostał 13 kart z 52, obejrzał jedną i stwierdził, że nie ma asa.
Obejrzał kolejne 5 i znów nie trafił na asa. Obejrzał jeszcze 4 i nie zobaczywszy
asa stwierdził, że prawie na pewno wśród pozostałych kart nie ma asa. Odtwo-
rzyć rozumowanie brydżysty.
4. Ola i Jola umówiły się między 12 a 13 w centrum miasta; ta, która przyj-
dzie pierwsza, czeka 15 minut. Jola już wie, że przed 12:30 na pewno nie przyj-
dzie. Jaka jest szansa, że dojdzie do spotkania?
B. Wzór na prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa.
5. Wykonano dwie serie po n rzutów symetryczną monetą. Jaka jest szansa,
że w obu seriach wypadło tyle samo orłów? Everybody knows that
the dice are loaded
6. Są dwie kostki symetryczne i jedna obciążona, na której szóstka wypada
(L. Cohen).
z prawdopodobieństwem 1/10, a pozostałe wyniki mają równe szanse. Wybrano
losowo kostkę i w 7 rzutach nie uzyskano ani jednej szóstki. Obliczyć prawdo-
podobieństwo, że kostka jest obciążona.
7. Rzucamy monetą do chwili uzyskania dwóch orłów z rzędu. Jaka jest
szansa, że gra zakończy się w parzystej liczbie rzutów?
1
Zadania z rachunku prawdopodobieństwa dla grup 202, 207 i 209
Ćwiczenia 5, 5 XI 2004
A. Komunikat. Dnia 26 listopada w grupach 202, 207 i 209 odbędzie się kolo-
kwium. Czas trwania  ok. 75 minut, pozostała część zajęć przeznaczona będzie
na szybkie omówienie zadań. Zakres materiału: elementarny rachunek prawdo-
podobieństwa, bez zmiennych losowych. Zadania, które nie zostały zrobione na
ćwiczeniach, należy potraktować jako przygotowawcze.
B. Prawdopodobieństwo warunkowe.
1. Udowodnić, że prawdopodobieństwo warunkowe spełnia aksjomaty Koł-
mogorowa (A1 A3).
2. W 2003 roku w Bolkowicach włamano się do 30% mieszkań w blokach i do
10% domków jednorodzinnych, a w Nowych Bolkowicach  do 40% mieszkań w
blokach i do 20% domków jednorodzinnych. Czy wynika stąd, że w Bolkowicach
jest bezpieczniej (mniejsza szansa włamania)?
C. Niezależność zdarzeń. Schemat Bernoulliego.
1. Losujemy kartę z talii 52 kart. Czy niezależne są pary zdarzeń:
a) A  wylosowano asa, B  wylosowano kartÄ™ czerwonÄ…; b) A  wylo-
sowano asa pik, B  wylosowano dwójkę karo. Czy odpowiedz
zmieni siÄ™, gdy
będziemy losować dwie karty? A więcej?
2. a) Rozwiązać niesymetryczne zadanie o ruinie gracza (symetryczne było
na wykładzie).
b) Zastanowić się nad wyborem taktyki w następującej sytuacji: jesteśmy w
kasynie, mamy ostatnie 20 zł, taksówka do domu kosztuje 40 zł. Czy postawić
wszystko na czerwone-czarne, licząc na wygranie 40 zł, na co jest szansa 18/37,
czy może ostrożnie stawiać po złotówce, dopóki nie uzbieramy 40 zł?
3. Asesor, Rejent i x. Robak strzelili jednocześnie do niedz
wiedzia, który
padł, trafiony jedną kulą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trafił Asesor, jeśli
w podobnych warunkach uzyskuje 80% celnych strzałów, podczas gdy x. Robak
95%, zaÅ› Rejent tylko 70%.
4. Jaka jest szansa, że w schemacie Bernoulliego otrzymamy parzystą liczbę
sukcesów?
Uwaga. Odpowiedz
jest oczywista, gdy prawdopodobieństwo sukcesu jest
1
równe . W ogólnym przypadku można układać równania na nieznane prawdo-
2
podobieństwo.
5. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów w schemacie Ber-
noulliego?
1
Zadania z rachunku prawdopodobieństwa dla grup 202, 207, 209
Ćwiczenia 6, 19 XI 2003
A. Niezależność.
1. Wykazać twierdzenie z wykładu, charakteryzujące niezależność n zdarzeń
(stw. 11, s. 61 z podręcznika [JJ RS]).
2. Jest 95% kierowców ostrożnych, którzy powodują w ciągu roku wypadek
z prawdopodobieństwem 1% i 5% piratów, u których szansa na wypadek wynosi
20%. Zakładamy niezależność wypadków u tego samego kierowcy w kolejnych
latach. Wybrany losowo kierowca nie spowodował wypadku w roku 2002. Jaka
jest szansa, że spowoduje wypadek w roku 2003?
3. Dwie osoby przeprowadzają korektę książki. Pierwsza znalazła 122 błędy,
druga 163, przy czym było 67 błędów wykrytych przez obie. Obydwie osoby
zostały też zwolnione z pracy. Dlaczego?
4. Tenisista musi wygrać dwa kolejne mecze z trzech. Może grać a) z mi-
strzem, potem z kolegą klubowym i znów z mistrzem, albo b) z kolegą, z mi-
strzem, z kolegą. Którą możliwość powinien wybrać, jeśli wyniki kolejnych me-
czów są niezależne, szansa wygrania meczu z mistrzem jest równa p, z kolegą 
r >p?
B. Schemat Bernoulliego i przybliżenie Poissona.
1. Jaka jest szansa, że przy wielokrotnym rzucaniu parą kostek suma oczek
8 pojawi siÄ™ przed sumÄ… oczek 7?
2. Rozgrywający partię brydża ma wraz z tzw. dziadkiem 8 pików, zatem
u przeciwników jest ich razem 5. Rozgrywający uważa, że prawdopodobień-
stwo, iż przeciwnik po lewej ma k pików, jest równe prawdopodobieństwu k
sukcesów w schemacie Bernoulliego n niezależnych doświadczeń, gdzie n =5 i
k =0, 1, 2, 3, 4, 5. Czy ma racjÄ™?
3. Prawdopodobieństwo, że bajt danych zostanie błędnie odczytany wynosi
10-14. Oblicz prawdopodobieÅ„stwo, że przy odczycie z pliku o dÅ‚ugoÅ›ci 2 · 1012
bajtów pojawią się 3 błędy lub więcej. Podaj błąd przybliżenia.
4. Agnieszka i Bartek grają w ping-ponga i kończą seta grą na przewagę przy
stanie 20:20. Jaką szansę wygrania seta ma Agnieszka, jeśli wygrywa dwie piłki
na trzy?
5. Gracze z poprzedniego zadania umówili się, że grają do chwili, gdy ktoś
wygra dwie kolejne piłki. Jakie są teraz szanse wygranej? Jakie jest prawdopo-
dobieństwo, że rozgrywka zakończy się w parzystej liczbie piłek?
1
Zadania z rachunku prawdopodobieństwa dla grup 202, 207, 209
Ćwiczenia 7, 26 XI 2003
Zadania przygotowawcze do kolokwium.
1. Z talii 24-kartowej wybrano 9 kart. Jaka jest szansa, że wśród wybranych
kart będą reprezentowane wszystkie kolory?
2. W urnie są 4 kule białe i 4 czarne. Wylosowano po kolei (bez zwracania)
trzy kule. Niech B1 oznacza zdarzenie  pierwsza kula biała , C2   druga kula
czarna , C3   trzecia kula czarna , itd.
a) obliczyć P (B1 )" C2 )" B3);
b) obliczyć P (B1 )" B2 )" C3);
c) czy zdarzenia B1, C2 i B3 są niezależne?
d) czy zdarzenia B1, C2 i B3 są niezależne parami?
e) obliczyć P (B2|C1).
3. Jaka jest szansa, że spotkam na przyjęciu osobę, obchodzącą urodziny
tego samego dnia, co ja? Ile powinno być osób, żeby ta szansa przekroczyła
20%?
4. Trzy urny zawierają po dwie kule: jedna dwie białe, druga  dwie czarne,
trzecia  czarną i białą. Wylosowano urnę, a z niej kulę, która okazała się biała.
Jaka jest szansa, że kula, która pozostała w urnie, jest też biała?
5. W populacji jest 1% osób z wersją alfa genu AQQ. Test daje wynik dodatni
u 80% takich osób, a wynik ujemny u 90% osób pozbawionych tej osobliwości.
a) Jeśli ktoś uzyskał trzy razy wynik dodatni, jaka jest szansa, że ma wersję
alfa?
b) A jeśli uzyskał trzy razy wynik ujemny?
6. Rzucamy monetą (niekoniecznie symetryczną, szansa pojawienia się orła
jest liczbą z przedziału (0, 1)) aż do chwili wyrzucenia orła. Czy szansa zakoń-
czenia gry w parzystej liczbie rzutów może być taka sama jak w nieparzystej?
7. Czy z niezależności parami zdarzeń A, B i C wynika niezależność zdarzeń
A *" B i C?
8. Dane są niezależne zdarzenia A, B, C o znanych dodatnich prawdopodo-
bieństwach a, b, c. Obliczyć
a) P (A|B );
b) P (A|B )" C);
c) prawdopodobieństwo zajścia nieparzystej liczby zdarzeń.
9. Z odcinka [0, 1] wybrano losowo dwa punkty x i y. Skonstruować model
dla tego doświadczenia i obliczyć prawdopodobieństwo, że:
a) x =2y,
1
b) xy < ?
3
2
c) Jakie są szanse poprzedniego zdarzenia, jeśli ponadto wiadomo, że x< ?
3
1
W kolejnych zadaniach należy obliczać prawdopodobieństwa w sposób przybli-
żony, stosując tw. Poissona. Warto umieć uzasadnić, dlaczego można korzystać
z takiego przybliżenia i podać na przykład oszacowanie błędu.
10. Do ciasta wrzucono 1000 rodzynków, starannie wymieszano, a następnie
upieczono z niego 500 bułek. Jaka jest szansa trafienia na bułkę bez rodzynków?
A z dwoma lub większą liczbą? Podać, jeśli to możliwe, oszacowanie błędu.
11. Do sklepu przychodzi w sobotę między godziną 16 a 20 średnio 480 osób.
Jaka jest szansa, że nikt nie przyjdzie pomiędzy 18:00 a 18:02?
Uwaga. Jest sobota, należy założyć, że natężenie ruchu  cokolwiek to ozna-
cza  jest stałe w rozpatrywanym okresie.
12. W lesie o powierzchni 100 ha jest milion mrówek, które poruszają się
chaotycznie po całym dostępnym terenie. Jaka jest szansa znalezienia trzech lub
większej liczby mrówek na kocu o powierzchni 2 m2 ?
13. Przy założeniach poprzedniego zadania mamy dwa oddalone od siebie
koce o powierzchniach 2 m2 i 3 m2. Niech X i Y oznaczają liczbę mrówek
odpowiednio na pierwszym i drugim kocu. Obliczyć
a) P (X = 2, Y = 4); b) P (X = k|X + Y = 7) dla k = 0, 1, . . . 7. Czy
otrzymane wyrażenie kojarzy się z jakimś znanym wzorem?
2
Odpowiedzi
18 24 12 24
1. 1 - 4a +6b, gdzie a = / , b = / .
9 9 9 9
2. a, b) 1/7; c, d) nie; e) 4/7.
1
3. 1 - (1 - )n, gdzie n jest liczbą osób; szansę przekraczającą 20% otrzy-
365
mujemy dla 82 osób, z nierówności:
log(8/10)
n> .
log(364/365)
4. 2/3.
5. a) 512/611; b) 8/72179.
6. Nie.
7. Nie.
8. a, b) a. c) a(1 - b)(1 - c) +(1- a)b(1 - c) +(1- a)(1 - b)c + abc.
1+ln 3 1+ln 2
9. a) 0; b) ; c) .
3 2
10. Bez rodzynka: e-2, z dwoma lub większą liczbą: 1 - 3e-2. Błąd nie
przekracza 1/250.
11. e-4.
12. 1 - 5e-2.
7
13. a) (22/2!)e-2 · (34/4!)e-3; b) (2/5)k(3/5)7-k.
k
3
Zadania z rachunku prawdopodobieństwa dla grup 202, 207, 209
Ćwiczenia 8, 3 XII 2003
1. Niech X oznacza liczbę prób, potrzebną do uzyskania k sukcesów w sche-
macie Bernoulliego. Wyznaczyć rozkład X.
2. Czas T rozmowy telefonicznej ma rozkład wykładniczy z parametrem .
Jaki rozkład ma część całkowita T , a jaki część ułamkowa?
Uwaga. Część całkowita liczby x to największa liczba całkowita nie prze-
kraczającą x. Część ułamkową liczby x otrzymujemy odejmując od niej część
całkowitą.
3. Czas rozmowy telefonicznej ma rozkład wykładniczy z parametrem 1 (co
oznacza, że rozmowa trwa średnio minutę). Tak zwane impulsy naliczane są co
minutę. Ile zapłacimy średnio za rozmowę? A za minutę rozmowy? Jak zmieni
siÄ™ odpowiedz
, gdy impulsy będzie się naliczać co 30 sekund?
4. Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale [-1, 1]. Jaki
1 1
rozkład ma a) - ln |X|; b) tg ĄX; c) ctg ĄX?
2 2
5. Rozkład Laplace a. Zmienna losowa X ma gęstość postaci
g(x) =Ce-|x-a|.
Wyznaczyć stałą C w zależności od parametrów  i a. Obliczyć P (|X - a| > 1).
6. Koincydencje. n osób wychodząc z baru zakłada losowo na głowę n
kapeluszy. Niech X oznacza liczbę kapeluszy, które trafiły na głowy właścicieli.
Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję X.
7. Wyznaczyć wartości oczekiwane, wariancje, momenty, funkcje tworzące i
funkcje tworzące momenty dla znanych rozkładów prawdopodobieństwa (w tym
 dla zmiennych losowych występujących w tej serii zadań).
8. Zmienna losowa Z przyjmuje wyłącznie wartości 0,1,2,. . . Wykazać, że
" "

EZ = P (Z n) = P (Z >n).
n=1 n=0
9. Który wzór na wartość średnią nieujemnej zmiennej losowej X jest praw-
dziwy:

" "
EX = P (X t)dt, czy EX = P (X>t)dt.
0 0
10. Z tablic śmiertelności Johna Graunta (Londyn, 1662) wynika, że w owym
czasie na 100 osób (noworodków) 64 dożywały szóstego roku życia, 40  szes-
nastego, 25  dwudziestego szóstego, 16  trzydziestego szóstego, 10  czter-
dziestego szóstego, 6  pięćdziesiątego szóstego, 3  sześćdziesiątego szóstego
i wreszcie tylko jedna siedemdziesiątego szóstego.
Oszacuj średnią długość życia w siedemnastowiecznym Londynie. Jakie jest
średnie dalsze trwanie życia osoby, która dożyła 26 lat? a 36, 46, etc.?
1
Zadania z rachunku prawdopodobieństwa dla grup 202, 207, 209
Ćwiczenia 9, 10 XII 2003
A
ańcuchy Markowa.
1. Jak rozpoznać, czy macierz kwadratowa jest macierzą przejścia pewnego
łańcucha Markowa? Podać warunek konieczny i dostateczny.
2. Ania i Bożena grają  na przewagę w tenisa. Opisać grę za pomocą łań-
cucha Markowa, podać i rozwiązać układ równań na prawdopodobieństwa pi
wygranej Ani, gdy łańcuch znajduje się w stanie i.
3. Gra Penneya. Alicja i Bogdan obserwujÄ… rzuty symetrycznÄ… monetÄ…. Je-
śli pojawi się ciąg OOR przed ROR, wygra Alicja, w przeciwnym razie Bogdan.
Obliczyć prawdopodobieństwo, że wygra Alicja.
4. Trójkątne seminarium. Na wykładzie omówiliśmy pobieżnie przykład
seminarium, odbywającego się cyklicznie w Warszawie, Toruniu i Wrocławiu.
Gospodarzy kolejnego seminarium wyznaczano przez rzut symetrycznÄ… monetÄ….
Podać macierz przejścia P , wyznaczyć rozkład stacjonarny. Czy spełnione są
założenia tw. ergodycznego? Zbadać dokładniej ewolucję układu, wyznaczając
n
P . Jak udowodnić zbieżność do rozkładu stacjonarnego bez stosowania teorii?
5. Okazuje się, że uczony z Warszawy rzuca asymetryczną monetą. Czy
zmieni to rozkład stacjonarny? Jeśli tak, to czy uczony z Torunia może tak
dobrać swoją monetę, żeby przywrócić poprzedni rozkład stacjonarny? Jeśli sam
nie da rady, to jak móglby mu pomóc kolega z Wrocławia?
Jakie warunki musi spełniać macierz przejścia, żeby rozkład stacjonarny był
1 1 1
 sprawiedliwy , czyli opisany przez wektor [ , , ].
3 3 3
6. Trzy kule wrzucono losowo do trzech komórek. W chwili n losowo wybraną
kulę przenosimy z komórki, w której była, do drugiej. Stan układu opiszemy
(czy słusznie?) podając liczbę kul w pierwszej komórce, są zatem cztery stany:
0, 1, 2 i 3. Przyjmijmy, że w chwili 0 układ jest w stanie 0. Rozważmy wektor
un =[pn, qn, rn, sn], którego współrzędnymi są prawdopodobieństwa znalezienia
się w poszczególnych stanach w chwili n (zatem u0 =[1, 0, 0, 0]).
a) Jaki jest związek pomiędzy un i un+1?
b) Czy istnieją granice przy n "współrzędnych wektora un? A może
istnieją podciągi zbieżne?
1
Zadania z rachunku prawdopodobieństwa dla grup 202, 207, 209
Ćwiczenia 10, 17 XII 2003
Zadania przygotowawcze do kartkówki.
Dnia 17 grudnia 2004 roku odbędzie się na ćwiczeniach 25-minutowa kart-
kówka. Przewidziane są dwa zadania obowiązkowe i jedno nieobowiązkowe (z
łańcuchów Markowa). Najlepiej rozwiązać wszystkie zadania, które pozostały z
poprzednich serii, a także zadania z dostępnych podręczników, dotyczące zmien-
nych losowych o wartościach rzeczywistych. Nierówności Czebyszewa i Bernste-
ina odkładamy do następnej kartkówki. Poniżej jeszcze kilka zadań.
1. Zmienna losowa X ma gęstość g(x). Wyznaczyć gęstość zmiennej losowej
aX + b, gdzie a = 0. Można dla wygody założyć, że funkcja g jest ciągła.

1
2. Zmienna losowa X ma gęstość g(x) = e-|x|.
2
a) wyznaczyć dystrybuantę i gęstość dla |X| oraz X2.
b) obliczyć funkcję tworzącą momenty dla X.
c) wyznaczyć wszystkie momenty X.
Niech Z =max(|X|, 2).
d) obliczyć EZ, P (Z 2), P (Z >2), P (Z =2), P (Z = 2003).
3. Funkcja
s(1 - s6)
g(s) =
6(1 - s)
jest f. tworzącą pewnej znanej zmiennej losowej. Jakiej? Obliczyć wartość ocze-
kiwanÄ… i wariancjÄ™ tej zmiennej losowej.
4. W pewnym kraju wszyscy zarabiają co najmniej 100 talarów miesięcznie, a
co najwyżej 1000. Ponadto ułamek G(x) zarabiających ponad x talarów wyraża
siÄ™ wzorem
(x - 100)2
G(x) =1 - , 100 x 1000.
810000
Obliczyć średnią płacę.
5. Chomik ma zwyczaj przebywania pod łóżkiem lub pod szafą. Mniej wię-
cej co minutÄ™ podejmuje decyzjÄ™ o ewentualnej zmianie miejsca pobytu. Gdy
jest pod szafą, to pozostaje tam z prawdopodobieństwem 0,1, a gdy jest pod
łóżkiem, to pozostaje na miejscu z prawdopodobieństwem 0,2. Ponieważ ma
krótką pamięć, kolejne decyzje można uważać za niezależne. Jaka jest po paru
godzinach szansa znalezienia chomika pod łóżkiem?
6. Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale [-1, 1]. Obliczyć
(X, X2) (czyli współczynnik korelacji pomiędzy X i X2).
1
B. Odpowiedzi.

1 x-b
1. g .
|a| a
2. a) |X| ma rozkład wykładniczy z parametrem 1, zatem dystrybuanta i
gęstość jest dobrze znana. Co do X2: dystrybuanta
"
1 - e- t, t 0,
FX2(t) =
0,t < 0,
i gęstość
"
1
"
e- t, t 0,
fX2(t) = 2 t
0,t < 0.
1
b) gX(t) = ,
1-t2
c) EXn =0, gdy n jest nieparzyste, i EXn = n!, gdy n jest parzyste.
d) EZ =2 + e-2, P (Z 2) = 1, P (Z > 2) = 1 - e-2, P (Z =2) =e-2,
P (Z = 2003) = 0.
3. Jest to funkcja tworzÄ…ca liczby oczek przy rzucie symetrycznÄ… kostkÄ….
1
Średnia jest równa 3 , wariancja 211 .
2 12
4. 700 talarów.
9
5. Praktycznie równa i niezależna od stanu początkowego.
17
6. 0.
2
Zadania z rachunku prawdopodobieństwa dla grup 202, 207, 209
Ćwiczenia 11, 7 I 2005
A. Ogłoszenia. Na ostatnich ćwiczeniach 21 stycznia odbędzie się kartkówka.
Materiał: nierówności Czebyszewa (i podobne), niezależność, rozkłady warun-
kowe i twierdzenia graniczne. Czas i liczba zadań  jak poprzednio. Przypomi-
nam, że zaliczenie ćwiczeń (we wszystkich grupach) jest równoznaczne z wysta-
wieniem oceny ze zbioru {2; 2,5; 3, . . . , 4,5; 5}. Warunkiem dopuszczenia do tzw.
zerówki jest ocena co najmniej dobra.
B. Rocznik statystyczny jako generator liczb losowych. Na ćwiczeniach wylo-
sujemy ok. 100 liczb z rocznika statystycznego i zbadamy rozkład pierwszej cyfry
znaczącej. Kto chce, może eksperyment przeprowadzić w domu i spróbować wy-
jaśnić wyniki. Pierwsza cyfra znacząca to pierwsza różna od zera cyfra w zapisie
dziesiętnym liczby (np. 3655, 0,0546). W główkach tabel często występują liczby
rozpoczynające się od 1, oznaczające lata. Należy je zignorować.
C. Wielowymiarowe zmienne losowe i warunkowa wartość oczekiwana.
1. Rzucono 5 razy symetryczną monetą. Niech X oznacza liczbę orłów w
trzech pierwszych rzutach, z Y  łączną liczbę orłów we wszystkich rzutach.
a) sporządzić tabelkę rozkładu łącznego (X, Y );
b) wyznaczyć rozkłady brzegowe;
c) obliczyć Á(X, Y );
d) Obliczyć E(X|Y = k) dla k =0, 1, 2, 3, 4, 5. Jeśli to zadanie wydaje się
zbyt nudne, odgadnąć wynik i wyznaczyć E(X|Y );
e) Obliczyć E(E(X|Y )).
2. W sytuacji z zadania 1 niech Z będzie liczbą orłów w dwóch ostatnich
rzutach. Wykonać polecenia a e dla pary (X, Z).
3. Zmienne losowe X i Y są niezależne i mają rozkład jednostajny na prze-
dziale [0, 1].
a) Wyznaczyć gęstość dla (X, Y ). Jakie są rozkłady brzegowe? A warunkowe?
b) Obliczyć E(X|Y ), E(Y |X).
c) Niech U = min(X, Y ), V = max(X, Y ). Wyznaczyć gęstość dla (U, V )
oraz rozkłady brzegowe.
d) Wyznaczyć rozkłady warunkowe U względem V i odwrotnie.
e) Obliczyć E(U|V ), E(V |U).
f) Wyznaczyć rozkład X + Y . Na ile sposobów można to zrobić?
4. Wykonać polecenia a) i b) dla X i Y o standardowym rozkładzie normal-
nym.
5. X ma rozkład wykładniczy. Niech U będzie częścią całkowitą X, a V 
częścią ułamkową. Zbadać niezależność U i V .
1
Zadania z rachunku prawdopodobieństwa dla grup 202, 207, 209
Ćwiczenia 12, 14 I 2005
A. Rozkłady warunkowe.
1. Wektor losowy (X, Y ) ma rozkład jednostajny na trójkącie
"={(x, y) : 0 x y 1}.
Na ile sposobów można obliczyć EXY ?
Wsk. Skorzystać z własności warunkowej wartości oczekiwanej.
2. 20% klientów supermarketu płaci kartą i wtedy czas obsługi ma rozkład
wykładniczy z parametrem 1. Pozostali płacą gotówką; w tym przypadku czas
obsługi ma rozkład jednostajny na przedziale [0, 2]. Wyznaczyć wartość oczeki-
waną, wariancję i funkcję tworzącą momenty czasu obsługi.
3. Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X o standar-
dowym rozkładzie normalnym.
4. Wektor losowy (X, Y ) ma dwuwymiarowy rozkład normalny, przy czym
1
D2X = D2Y =1, cov (X, Y ) = . Wyznaczyć gęstość tego rozkładu, a także
2
gęstość warunkową dla X, gdy Y = t; obliczyć E(X|Y = t).
5. Zmienne losowe X i Y są niezależne i mają standardowy rozkład normalny.
Zbadać niezależność U = X + Y i V = X - Y .
6. Liczba szkód zgłoszonych w ciągu roku przez klienta towarzystwa ubez-
pieczeniowego ma rozkład Poissona z parametrem . Ale sam parametr  zależy
od klienta. Przyjmijmy, że ma rozkład wykładniczy z parametrem 1. Jaki jest
rozkład liczby szkód?
B. Nierówność z wykładu.
7*. Znalez
ć inny niż na wykładzie (i najlepiej prostszy) dowód nierówności
1
x2
8
peqx + qe-px e , gdzie p, q 0 i p + q =1.
1
Zadania z rachunku prawdopodobieństwa dla grup 202, 207, 209
Ćwiczenia 13, 21 I 20051
Na zakończenie ostatnich ćwiczeń odbędzie się kartkówka. Zakres materiału:
nierówności Czebyszewa i Bernsteina, wielowymiarowe zmienne losowe (w tym
niezależność), warunkowa wartość oczekiwana, twierdzenia graniczne. Poniżej
zadania przygotowawcze (w tym niektóre zadania z ostatniej serii zaopatrzone w
odpowiedzi). Oprócz tych zadań należy oczywiście rozwiązać wszystkie zadania
z dostępnych z
ródeł.
A. Nierówności Czebyszewa.
1. Rzucamy n razy symetryczną monetą. Oszacować prawdopodobieństwo,
że liczba orłów znajdzie się poza przedziałem (0,45n; 0,55n) dla n = 100, 10000
i 1000000 za pomocą nierówności Czebyszewa i Bernsteina. Porównać wyniki z
przybliżeniem uzyskanym z tw. de Moivre a-Laplace a.
B. Niezależność, rozkłady warunkowe.
2. Wektor losowy (X, Y ) ma rozkład jednostajny na trójkącie
"={(x, y) : 0 x y 1}.
Na ile sposobów można obliczyć EXY ?
Wsk. Skorzystać z własności warunkowej wartości oczekiwanej.
3. 20% klientów supermarketu płaci kartą i wtedy czas obsługi ma rozkład
wykładniczy z parametrem 1. Pozostali płacą gotówką; w tym przypadku czas
obsługi ma rozkład jednostajny na przedziale [0, 2]. Wyznaczyć wartość oczeki-
waną i wariancję czasu obsługi.
4. Wektor losowy (X, Y ) ma dwuwymiarowy rozkład normalny, przy czym
1
D2X = D2Y =1, cov(X, Y ) = . Wyznaczyć gęstość tego rozkładu, a także
2
gęstość warunkową dla X, gdy Y = t; obliczyć E(X|Y = t).
5. Liczba szkód zgłoszonych w ciągu roku przez klienta towarzystwa ubez-
pieczeniowego ma rozkład Poissona z parametrem . Ale samparametr  zależy
od klienta. Przyjmijmy, że ma rozkład wykładniczy z parametrem 1. Jaki jest
rozkład liczby szkód?
6. Niezależne zmienne losowe X i Y mają ten samrozkład a) jednostajny
na przedziale [0, 1], b) wykładniczy. Wyznaczyć gęstości dla X - Y .
7. Rzucono 100 razy symetryczną monetą. Niech X oznacza liczbę orłów w
pierwszych 80 rzutach, a Y  w całej serii. Czy X i Y są niezależne? Wyznaczyć
kowariancjÄ™ X i Y .
1
Wersja po korektach.
1
8. Wektor losowy (X, Y ) ma stałą i różną od zera gęstość wyłącznie na
zbiorze
A = {(x, y) : x 0, 0 y x2 1}.
Wyznaczyć gęstości brzegowe i warunkowe, zbadać niezależność X i Y , obliczyć
cov(X, Y ), E(X|Y ) i E(Y |X).
C. Twierdzenia graniczne.
9. Do egzaminu z rachunku prawdopodobieństwa przystąpiło 400 osób, a
szansa zdania egzaminu jest równa 0,3. Oszacować prawdopodobieństwo, że eg-
zamin zda a) mniej niż 110 osób; b) więcej niż 135 osób.
10. W celu oszacowania prawdopodobieństwa zdania egzaminu, o którym
mowa w zadaniu 1, można przejrzeć wyniki z zeszłych lat.
a) Wyniki ilu osób należy uwzględnić, żeby błąd oszacowania nie przekroczył
µ =0,01 z prawdopodobieÅ„stwem Ä… =0,95 lub wiÄ™kszym?
b) Jaka jest szansa przekroczenia podanej granicy błędu, jeśli zbadamy wy-
niki tylko 500 osób?
11. Klient wydaje w supermarkecie średnio X zł, gdzie X jest zmienną
losową o średniej 200 (zł) i odchyleniu standardowym 50 (zł). Jak jest szansa,
że 1000 klientów wyda łącznie ponad 202000 zł?
12. Ośmioł porusza się skokami na przemian w przód i w tył. Skoki są
niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie wykładniczym, przy czym skoki
w przód mają średnio 1 metr, a w tył  25 cm. Jaka jest szansa, że po wykonaniu
400 skoków ośmioł oddali się od punktu startowego o 180 metrów lub więcej?
2
Odpowiedzi.
1. Nierówność Czebyszewa z wariancją daje dla n = 100 bezużyteczne osza-
cowanie przez 1, dla n = 10000  już lepsze przez 10-2, dla n = 1000000 
przez 10-4.
1
Nierówność Bernsteina daje odpowiednio 2·e- 2
H" 2·0,61 (znów oszacowanie
bezużyteczne), e-50, e-5000.
Przybliżenie z tw. de Moivre a-Laplace a: 2Ś(1) - 1 H" 0,68, 2Ś(10) - 1 i
2Ś(100) - 1. Ostatnie dwa wyniki nie dadzą się odczytać ze standardowych
tablic, co nie powinno dziwić w świetle poprzednich oszacowań.
2. GÄ™stość rozkÅ‚adu Å‚Ä…cznego: g(x, y) = 2 · 1"(x, y), gÄ™stoÅ›ci rozkÅ‚adów
brzegowych sÄ… widoczne bezpoÅ›rednio: gX(x) = 2(1 - x) · 1[0,1](x), gY (y) =
2y · 1[0,1](y).
Mamy teraz co najmniej trzy sposoby:


1 1
EXY = xyg(x, y)dxdy = 2xydy dx =(1)
" 0 x


1 1 1
1 1
= 2x ydy dx = 2x · (1 - x2)dx = .
2 4
0 x 0
1
JeÅ›li zauważymy, że EXY = E(E(XY |Y )) = E(YE(X|Y )) = E(Y · Y ) =
2
1 2
EY , to
2

1
1 1 1
2
EXY = EY = y2 · 2ydy = . (2)
2 2 4
0
1
Podobnie, EXY = E(E(XY |X)) = E(XE(Y |X)) = E(X · (1 + X)) =
2
1
EX(1 + X), i wtedy
2

1
1 1 1
EXY = EX(1 + X) = x(1 + x) · 2(1 - x)dx = . (3)
2 2 4
0
3. Niech X oznacza czas obsługi, a zmienna losowa Y przyjmuje wartość
1, gdy płacimy kartą, i 2, gdy płacimy gotówką. Wtedy E(X|Y = 1) = 1,
E(X|Y =2) =1, i EX = E(E(X|Y )) = 0,2·1+0,8·1 = 1. Podobnie obliczamy
EX2 = 2 i w efekcie D2X =1.
4. Z danych układamy macierz kowariancji:

1
1
2
C = .
1
1
2
Macierz odwrotna:

4 2
-
3 3
Q = C-1 = .
2 4
-
3 3
Forma kwadratowa wyznaczona przez Q:
4
Q(x, y), (x, y) = (x2 + y2 - xy).
3
3
"
2
"
Ponieważ det Q = , więc gęstość wyraża się wzorem
3
1 2
3
"
g(x, y) = e- (x2+y2-xy).
Ä„ 3
1 3
Gęstość warunkowa pod warunkiem Y = t jest gęstością rozkładu N( t, ):
2 4
2 2 1
3 2
gX|Y (x|t) = " e- (x- t)2.
3Ä„
1
Oczywiście E(X|Y = t) = t.
2
5. Geometryczny: P (X = k) =2-k-1, k =0, 1, 2, . . ..
6. a) Gęstość jest ciągła, znika poza przedziałem (-1, 1), a na tym przedziale

jej wykres składa się z dwóch boków trójkąta równoramiennego; b) e-|x|.
2
7. Zmienne losowe X i Y - X są niezależne, więc
cov(X, Y ) =cov(X, X +(Y - X)) = D2X>0.
Dlatego X i Y nie są niezależne.
8. Gęstość jest równa 3 na A. Gęstości brzegowe:
"
3x21(0,1)(x), 3(1 - y)1(0,1)(y),
3 3 1 17
stąd EX = , EY = . Ponieważ EXY = , więc cov(X, Y ) =- .
4 10 12 120
Gęstości warunkowe:
"
1 1+ Y
f(X|Y )(x|y) = 1("y,1)(x) , y " [0, 1), E(X|Y ) = ,
"
1 - y 2
1 X2
f(Y |X)(y|x) = 1(0,x2 (y) , x " (0, 1], E(Y |X) = .
)
x2 2
W dalszym ciągu Ś oznacza dystrybuantę standardowego rozkładu normal-
nego.
9. a) 1 - Åš(1,09), b) 1 - Åš(1,64).

10. a) Ma być Åš(µ n/pq) (Ä… +1)/2, gdzie p jest nieznanÄ… szansÄ… zdania
egzaminu. StÄ…d


Ä… +1
µ n/pq Åš-1 ,
2
czyli
2
pq Ä… +1
n Åš-1
µ2 2
i trzeba wziąć pod uwagę najgorszy przypadek, czyli p = q =1/2, tj. pq =1/4,
co daje n 2500 · (1,96)2 = 9604.
b) Nie więcej niż 2(1 - Ś(0,45)) H" 0,692.
11. 1 - Åš(1,27).
12. 1 - Åš(2,06).
4


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Patologia Ćwiczenia 04
cwiczenie 9 04 10
laborki cwiczenia 04 09
Analiza cwiczenia 8 04 13
CWICZENIE 04 12
Laboratorium elektrotechniki Ćwiczenie 04
laborki cwiczenia
04 09
Cwiczenie 04
2014 11 09 ZUSO Ćwiczenie 04
Cwiczenia 24 04 # 04
0109 27 04 2009, cwiczenia nr 9 , Tkanka nabłonkowa Paul Esz
04 cwiczenie 4
0108 20 04 2009, cwiczenia nr 8 , Apoptoza Paul Esz
0110 04 05 2009, cwiczenia nr 10 , Tkanka łączna właściwa Paul Esz

więcej podobnych podstron