Egzamin z Równań Różniczkowych, 28 VI 2013
1. godz. 9.00 Zadanie wstępne
Zadanie Odp.
1. Napisać równania różniczkowego liniowe rzędu drugiego, którego całkami y - 4y + 4y = 0
szczególnymi są: y1 = e2x , y2 = xe2x
Rozwiązanie:
r1 = r2 = 2
(r - 2)2 = 0 =! r2 - 4r + 4 = 0 równanie charakterystyczne
2. Rozwiązać równanie: y = 1 - sin2 y . y1 = arc tg(x+C)+
Rozwiązanie: kĄ
1
y = 1 - sin2 y =! y = cos2 y y2 = (k + )Ą
2
dy dy
, k " Z
= cos2 y =! = dx lub cos2 y = 0 rozdzielamy zmienne
dx cos2 y
dy
= dx =! tg y = x + C =! y = arc tg(x + C) + kĄ
cos2 y
"
n
1
3. Zbadać zbieżność szeregu 1 + Szereg rozbieżny
n
n=1
Rozwiązanie:
n
1
lim an = lim 1 + = e = 0
n
n " n "
Szereg nie spełnia warunku koniecznego zbieżności.
4. Niech S(x) oznacza sumę szeregu Fouriera funkcji f(x) = x dla x " (-Ą, Ą) 0
. Jaka wartość funkcja S(x) przyjmuje w punkcie 2Ą ?
Rozwiązanie:
S(2Ą) = S(0) bo S(x) jest okresowa
S(0) = f(0) = 0 bo f(x) jest ciągła w x = 0
5. Wyznaczyć wektor binormalny krzywej o równaniu [2, -2, 1]
-
(t) = [t , et t2] dla t = 0 .
r ,
Rozwiązanie:
- -
(t) = [1 , et 2t] , (0) = [1, 1, 0]
Ł Ł
r , r
- -
(t) = [0 , et 2] , (0) = [0, 1, 2]
r , r
i j k
-
- -
Ł
b = r r = 1 1 0 = [2, -2, 1]
0 1 2
1
1. godz. 10.00 Zadanie wstępne
Zadanie Odp.
1. Wyznaczyć równanie różniczkowego liniowe jednorodne rzędu drugiego o y + y = 0
stałych współczynnikach, jeżeli jeden z pierwiastków jego równania charakte-
rystycznego ma postać r1 = i
Rozwiązanie:
r2 = r1 = -i
(r - r1)(r - r2) = 0 =! (r - i)(r + i) = 0 =!
r2 + 1 = 0 równanie charakterystyczne
2. Rozwiązać równanie y = ey-x . y = - ln(e-x - C)
Rozwiązanie:
y = ey-x =! y = ey e-x
dy
= ey e-x =! e-y dy = e-x dx rozdzielamy zmienne
dx
e-y dy = e-x dx =! -e-y = -e-x + C =!
y = - ln(e-x - C)
"
n2n 3
3. Wyznaczyć promień zbieżności szeregu xn
3n+1 2
n=1
Rozwiązanie:
1
an+1 (n + 1)2n+1 3n+1 2(n + 1) 2(1 + ) 2
n
= lim = lim = lim = lim =
n " n "
an n " 3n+2 n2n n " 3n 3 3
1 3
R = =
2
Zapisać w postaci ogólnej równanie płaszczyzny normalnej do krzywej x + 3y + 2z - 8 = 0
K : x = t , y = t3 , z = 2t w punkcie P (1, 1, 2)
Rozwiązanie:
P (1, 1, 2) =! t = 1
-
(t) = [1 , 3t2 2]
Ł
r ,
-
(1) = [1, 3, 2]
Ł
r wektor normalny płaszczyzny normalnej
x + 3y + 2z + D = 0 równanie płaszczyzny normalnej
P " Ą =! 1 + 3 + 4 + D = 0 =! D = -8
5. Niech S(x) oznacza sumę szeregu Fouriera funkcji f(x) = -x dla x " 0
(-Ą, Ą) . Jaka wartość funkcja S(x) przyjmuje w punkcie -3Ą ?
Rozwiązanie:
S(-3Ą) = S(Ą) bo S(x) jest okresowa
f(Ą-) + f(-Ą+) -Ą + Ą
S(Ą) = = = 0
2 2
2
2. Rozwiązać równanie:
xy - 2y = x3 cos x
Rozwiązanie:
2y
xy - 2y = x3 cos x =! y - = x2 cos x
x
Jest to równanie liniowe. Rozwiązujemy równanie liniowe jednorodne:
2y
y - = 0
x
Rozdzielamy zmienne:
dy 2 dx
=
y x
dy 2
= dx
y x
ln |y| = 2 ln |x| + C
y = Cx2
Rozwiązujemy równanie liniowe niejednorodne:
2y
y - = x2 cos x
x
y = C(x)x2 uzmienniamy stałą
Wtedy:
y = C (x)x2 + C(x)2x
C x2 + 2xC - 2xC = x2 cos x wstawiamy do równania
C = cos x
C = cos x dx = sin x + D
Stąd:
y = (sin x + D)x2
Odpowiedz:
y = (sin x + D)x2
3
3. Rozwiązać zagadnienie Cauchy ego
y = 1 + x + y + xy
y(0) = 0
Rozwiązanie:
y = 1 + x + y + xy =!
y = (x + 1)(y + 1)
Rozdzielamy zmienne:
dy
= (x + 1) dx
y + 1
dy
= (x + 1) dx
y + 1
1
ln |y + 1| = x2 + x + C
2
1
x2+x
2
y + 1 = Ce
1
x2+x
2
y = Ce - 1
Podstawiamy x = 0 , y = 0
0 = C - 1 =! C = 1
Stąd:
1
x2+x
2
y = e - 1
Odpowiedz:
1
x2+x
2
y = e - 1
4
4. Rozwiązać zagadnienie początkowe
ńł
ł y + 2y = 1 + e-2x
ł
y(0) = 0
ł
ół
y (0) = 1
Rozwiązanie:
Rozwiązujemy równanie liniowe jednorodne:
y + 2y = 0
r2 + 2r = 0 =! r(r + 2) równanie charakterystyczne
r1 = 0 , r2 = -2
y = C1 + C2e-2x rozwiązanie ogólne równania liniowego jednorodnego
Szukamy rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego:
y + 2y = 1
r = 0 jest pierwiastkiem jednokrotnym wielomianu charakterystycznego, więc:
ys = Ax =! ys = A ; ys = 0
1
2A = 1 =! A = Wstawiamy do równania
2
x
ys =
2
Szukamy rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego:
y + 2y = e-2x
r = -2 jest pierwiastkiem jednokrotnym wielomianu charakterystycznego, więc:
ys = Axe-2x =!
ys = Ae-2x - 2Axe-2x
ys = -2Ae-2x - 2Ae-2x + 4Axe-2x = -4Ae-2x + 4Axe-2x
Wstawiamy do równania:
-1
-4Ae-2x + 4Axe-2x + 2Ae-2x - 4Axe-2x = e-2x =! -2A = 1 =! A =
2
-x
ys = e-2x
2
Rozwiązanie ogólne równania liniowego niejednorodnego:
x x
y = C1 + C2e-2x + - e-2x
2 2
Wstawiamy warunki początkowe:
0 = C1 + C2
1 1
y = -2C2e-2x + - e-2x + xe-2x
2 2
1 1 -1 1
1 = -2C2 + - =! C2 = =! C1 =
2 2 2 2
Odpowiedz:
1 1 x x
y = - e-2x + - e-2x
2 2 2 2
5
1
sin 2x
5. Wyznaczyć przybliżoną wartość całki dx wykorzystując trzy początkowe
x
0
wyrazy szeregu Maclaurina funkcji y = sin x .
"
(-1)n
(Wskazówka: sin x = x2n+1 )
(2n + 1)!
n=0
Rozwiązanie:
"
(-1)n x3 x5 x7
y = sin x = x2n+1 = x - + - + . . .
(2n + 1)! 3! 5! 7!
n=0
Przedział zbieżności tego szeregu: x " (- " , ")
Przybliżamy funkcję:
x3 x5
sin x H" x - +
3! 5!
stąd:
sin 2x 8x2 32x4 4x2 4x4
H" 2 - + = 2 - +
x 3! 5! 3 15
Przybliżamy całkę:
1 1
1
sin 2x 4x2 4x4 4x3 4x5 4 4 450 - 100 + 12
dx H" (2- + ) dx = 2x- + = 2- + = =
0
x 3 15 9 75 9 75 225
0 0
362
225
Odpowiedz:
1
sin 2x 362
dx H"
x 225
0
6
6. Rozwiązać układ równań
= y + t
Ź = x - t
Rozwiązanie:
y = - t z pierwszego równania
Ź = ć - 1 różniczkujemy
ć - 1 = x - t =! ć - x = -t + 1 podstawiamy do drugiego równania
Rozwiązujemy równanie liniowe jednorodne
ć - x = 0
r2 - 1 = 0 równanie charakterystyczne
r2 = 1 =!
r1 = 1 , r2 = -1
x = C1et + C2e-t
Rozwiązujemy równanie liniowe niejednorodne
ć - x = -t + 1
r = 0 nie jest pierwiastkiem jednokrotnym wielomianu charakterystycznego, więc:
xs = At + B =! s = A ; ć s = 0
-At - B = -t + 1 Wstawiamy do równania
A = 1 , B = -1
xs = t - 1
x = C1et + C2e-t + t - 1
= C1et - C2e-t + 1
y = - t = C1et - C2e-t - t + 1
Odpowiedz:
x = C1et + C2e-t + t - 1
y = C1et - C2e-t - t + 1
7
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
SIMR RR EGZ 2013 06 28SIMR RR EGZ 2012 06 20b rozwSIMR RR EGZ 2013 06 25SIMR AN2 EGZ 2013 06 26 rozwSIMR RR EGZ 2011 06 22 rozwSIMR RR EGZ 2012 06 20a rozwSIMR RR EGZ 2012 06 20a rozwSIMR AN2 EGZ 2013 06 21 rozwSIMR AN1 EGZ 2013 02 04b rozwSIMR RR EGZ 2010 09 17 rozwSIMR AN1 EGZ 2013 02 12b rozwSIMR RR EGZ 2009 06 18SIMR RR EGZ 2011 06 27SIMR AN1 EGZ 2013 09 05 rozwSIMR RR EGZ 2011 06 22SIMR ALG1 EGZ 2013 02 05b rozwSIMR RR EGZ 2010 06 22bSIMR ALG1 EGZ 2013 02 05a rozw 1SIMR RR EGZ 2009 06 25więcej podobnych podstron