AiR III rok środa parzysta godz. 11:15
Podstawy automatyki - ćwiczenia
Lista nr 2
1) Wyznaczyć opis w przestrzeni stanu dla równań
2
d y dy
a) 5 6y u
dt2 dt
2 2
d3y d y dy d3u d u du
b) 6 11 6y 8 17 8u
dt3 dt2 dt dt3 dt2 dt
2) Dla przykładu z zadania 1a wyznaczyć macierz tranzycyjną:
a) metodą odwrotnego przekształcenia Laplace a
b) metodÄ… diagonalizacji macierzy
3) Rozwiązać równania stanu z zadania 1a przy następujących założeniach:
a) u(t)=0, y (0)=0, y(0)=1
b) u(t)=2*1(t), y (0)=y(0)=0
4) Wyznaczyć transmitancję operatorową dla równań stanu wyznaczonych w
zadaniu 1
OPIS UKA
ADÓW DYNAMICZNYCH W PRZESTRZENI STANÓW
1
G(s) C[sI A] B D
Wyznaczanie równań stanu na podstawie równania różniczkowego
Metoda ogólna
W przypadku równania różniczkowego rzędu n-tego
dny dn-1y dy
dtn + an-1 dtn-1 +...+ a1 dt +a0y= b0u
z prostym składnikiem wymuszającym, jako zmienne stanu przyjmuje się
x1 y, x2 y , Kð, xn y(n 1)
Wówczas otrzymujemy równania stanu
x1 x2
x2 x3
Lð
xn 1 xn
n 1
xn ai xi 1 b0u
i 0
i równanie wyjścia
y x1
W przypadku równania różniczkowego rzędu n-tego z wymuszeniem zawierającym
pochodne
dny dn-1y dy dmu dm-1u du
dtn + an-1 dtn-1 +...+ a1 dt +a0y= bm dtm + bm-1 dtm-1 +...+ b1 dt +b0u
wyznacza się opis metodą ogólną w postaci
&ð
x1 0 1 0 Lð 0 x1 c1
&ð
x2 0 0 1 Lð 0 x2 c2
Mð Mð Mð Mð Oð Mð Mð Mð u
&ð
xn 1 0 0 0 Lð 1 xn 1
&ð
xn a0 a1 a2 Lð an 1 xn cn
x1
x2
y 1 0 Lð 0 c0u
Mð
xn
Następnie stosujemy podstawienie : y x1 cou , y' x'1 cou' x2 c1u cou , .........
Powyższe wyrażenia należy podstawić do równania różniczkowego, porównać stronami i
wyliczyć współczynniki co ,c1,c2 ,....cx
Rozwiązywanie równań stanu
&ð
Rozwiązanie równania x Ax Bu spełniające warunek początkowy x(t0) x0 ma postać:
t
x(t) eA(t t0 )x0 eA(t )Bu( )d
t0
(t) eAt - macierz tranzycyjna.
W przypadku gdy u(t) 0 rozwiązanie ma postać:
x(t) eAtx0 (t)x0
Wyznaczanie macierzy tranzycyjnej -metoda odwrotnego przekształcenia Laplace a
eAt =L-1[(sI-A)-1]
Wyznaczanie macierzy tranzycyjnej -metoda diagonalizacji macierzy
Metoda ta oparta jest na następującej zależności
Minorem Mij nazywamy wyznacznik (n-1) - szego stopnia otrzymanego przez opuszczenie i-
tego wiersza i j-tej kolumny z wyznacznika n-tego stopnia
Dopełnienie algebraiczne Dij określa się z zależności Dij=(-1)i+ jMij
Macierz dołączoną macierzy kwadratowej Ad otrzymuje się przez transpozycję macierzy,
w której każdy element A zastąpiono przez jego dopełnienie algebraiczne
A Ad =Ad A=|A| I
Macierz odwrotna A-1 jest macierzą dołączoną podzieloną przez wyznacznik macierzy
Ad
1
A
| A |
A-1 A=A A-1 =I
Jeśli A jest macierzą o wymiarach n x n, to wyznacznik |A- I| nazywa się wielomianem
charakterystycznym macierzy A
I - macierz jednostkowa, w której wszystkie elementy na przekątnej są równe 1
Równanie |A- I|=0 nazywa się równaniem charakterystycznym
Pierwiastki równania charakterystycznego stanowią wartości własne macierzy A
1, 2,..., n
Wektor niezerowy Vi który spełnia równanie AVi= Vi nazywa się wektorem własnym
i
macierzy A związanym z wartością własną
i
Wektory własne wyznacza się z następującego równania [A- I ] Vi =0
i
Jeśli są pojedynczymi wartościami własnymi macierzy A, a wektory V1, V2,..., Vn
1, 2,..., n
są wektorami własnymi macierzy A, to kolumny macierzy przekształcenia
diagonalizującego P stanowią wektory własne macierzy A
P=[V1, V2,..., Vn ]
Jeśli macierz A ma postać
i wartości własne macierzy A są pojedyncze to macierz diagonalizująca P ma
1, 2,..., n,
postać


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
podstawy automatyki ćwiczenia lista nr+
podstawy automatyki ćwiczenia lista nr:
podstawy automatyki ćwiczenia lista nr=
podstawy automatyki ćwiczenia lista nr,
podstawy automatyki ćwiczenia lista nr;
podstawy automatyki ćwiczenia lista nr[
podstawy automatyki ćwiczenia lista nr
podstawy automatyki ćwiczenia lista nr
podstawy automatyki ćwiczenia lista nr
podstawy automatyki ćwiczenia lista nr
podstawy automatyki ćwiczenia lista nr<
podstawy automatyki ćwiczenia lista nr
podstawy automatyki ćwiczenia lista nrM
podstawy automatyki ćwiczenia lista nrK
podstawy automatyki ćwiczenia lista nrL
podstawy automatyki ćwiczenia lista nrJ
podstawy automatyki ćwiczenia lista nrZ
Sprawozdanie z laboratorium nr 2 z Podstaw Automatyki
Podstawy automatyki nr 1

więcej podobnych podstron