Przekształcenia liniowe
Niech V i W będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K . Funkcję f :V W nazywamy
przekształceniem liniowym, jeżeli spełnione są następujące warunki:
1) "v ,v2"V f (v1 + v2) = f (v1) + f (v2) ,
1
2) "ą "K "v"V f (ąv) = ą f (v) .
Uwaga: Warunki 1) i 2) można zastąpić jednym warunkiem:
"ą , "K "v ,v2"V f (ąv1 + v2) = ą f (v1) + f (v2) .
1
Macierz przekształcenia liniowego
Niech f :V W będzie przekształceniem liniowym, B = (v1,v2,& ,vn) będzie bazą
przestrzeni V , a C = w1,w2,& ,wm - bazą przestrzeni W . Macierzą przekształcenia f
( )
B
w bazach B i C nazywamy macierz f , której kolejne kolumny są współrzędnymi
[ ]
C
wektorów f (v1), f (v2),& , f (vn) w bazie C , tzn.
f (v1) f (v2) & f (vn)
! ! !
w1 ! a11 a12 & a1n
ł łł
B
ła a22 & a2n śł
w2 !
21
f =
[ ]
ł śł
C
ł śł
ł
wm ! am2 & amn śł
łam1 ł
Schematycznie
B
f
[ ]
C
Macierz przejścia z bazy do bazy
Niech B = (v1,v2,& ,vn) i C = w1,w2,& ,wn będą bazami przestrzeni V . Macierz
( )
B
id nazywamy macierzą przejścia z bazy C do bazy B i oznaczamy przez PCB . Zatem
[ ]
C
kolumnami macierzy PCB są współrzędne kolejnych wektorów bazy B w bazie C , tzn.
v1 v2 & vn
! ! !
w1 ! a11 a12 & a1n
ł łł
.
ła a22 & a2n śł
PCB = w2 !
21
ł śł
ł
śł
ł
wm ! am2 & amn śł
łam1 ł
Inaczej: kolumnami macierzy przejścia ze ,,starej bazy do ,,nowej bazy są
współrzędne wektorów ,,nowej bazy w ,,starej bazie.
Macierz PCB jest odwracalna i (PCB)-1 = PBC .
Reprezentacja macierzowa przekształcenia liniowego
Niech f :V W będzie przekształceniem liniowym, B - bazą przestrzeni V , a C - bazą
przestrzeni W . Wtedy
B
[ f (v)]T = f " v dla dowolnego wektora v "V ,
[ ] [ ]T
C
C B
tzn.
y1 a11 a12 & a1n x1
ł łł ł łł ł łł
ł śł ła a22 & a2n śł łx śł
y2 21
2 współrzędne v
współrzędne f (v)
ł śł ł śł ł śł
=
ł śł ł śł ł śł w bazie B
w bazie C
ł śł ł
ym am2 & amn śł ł śł
ł ł łam1 ł łxn ł
macierz f wbazach Bi C
Zmiana współrzędnych przy zmianie bazy
Niech B i C będą bazami przestrzeni V . Wtedy
[v]T = PCB " v = (PBC )-1 " v dla dowolnego wektora v "V
[ ]T [ ]T
C
B B
Aby otrzymać współrzędne wektora v w ,,nowej bazie, mnożymy macierz odwrotną do
macierzy przejścia ze ,,starej bazy do ,,nowej przez współrzędne wektora v w
,,starej bazie.
Macierz złożenia przekształceń liniowych
Niech f :V W i g :W U będą przekształceniami liniowymi, B - bazą przestrzeni V ,
C - bazą przestrzeni W , a D - bazą przestrzeni U :
g
f
V W U
C D
B
g f
Wtedy
B C B
g f = g f
[ ] [ ] [ ]
D D C
Schemat:
B C B
g f = g f
[ ] [ ] [ ]
D D C
Zmiana macierzy przekształcenia przy zmianie baz
Niech f :V W będzie przekształceniem liniowym, B i B ' - bazami przestrzeni V , a C i
C '- bazami przestrzeni W . Wtedy
B ' B
f = (PCC ')-1 " f "PBB '
[ ] [ ]
C
C '
tzn.: Macierz przekształcenia f w ,,nowych bazach = odwrotność macierzy przejścia z
bazy ,,starej do ,,nowej przestrzeni W razy macierz przekształcenia f w
,,starych bazach razy macierz przejścia z bazy ,,starej do ,,nowej przestrzeni V
Jądro i obraz przekształcenia liniowego
Jeżeli f :V W jest przekształceniem liniowym, to zbiór
Ker f = v "V : f (v) = 0
{ }
jest podprzestrzenią przestrzeni liniowej V , a zbiór
Im f = f (v) : v "V
{ }
jest podprzestrzenią przestrzeni liniowej W .
Zbiór Ker f nazywamy jądrem przekształcenia f , a zbiór Im f nazywamy obrazem
przekształcenia f .
f
W
V
Im f
Ker f
0
0
Związek między wymiarami jądra i obrazu
Jeżeli f :V W jest przekształceniem liniowym, to
dim V = dim Ker f + dim Im f
(tzn. wymiar dziedziny jest sumą wymiarów jądra i obrazu)
Związki jądra i obrazu z macierzą przekształcenia liniowego
Niech f :V W będzie przekształceniem liniowym, a A - macierzą przekształcenia f (w
dowolnych bazach). Wtedy
1) dim Im f = rz(A) (tzn. wymiar obrazu jest równy rzędowi macierzy przekształcenia)
2) f jest przekształceniem ,,na (suriekcją) ! f (V ) = W ! dim Im f = dimW !
rz(A) = dimW
3) f jest przekształceniem różnowartościowym (iniekcją) ! Ker f = 0 !
{ }
dim Ker f = 0 ! rz(A) = dimV
4) f jest przekształceniem wzajemnie jednoznacznym (bijekcją) ! Ker f = 0 i
{ }
f (V ) = W ! dim Ker f = 0 i dim Im f = dimW ! rz(A) = dimV = dimW
Wartości i wektory własne przekształcenia liniowego
Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K i niech f będzie przekształceniem
liniowym przestrzeni V w siebie (endomorfizmem przestrzeni V ). Wtedy
- Skalar " K nazywamy wartością własną przekształcenia f , jeżeli istnieje niezerowy
wektor v "V taki, że f (v) = v .
- Każdy niezerowy wektor v "V taki, że f (v) = v , nazywamy wektorem własnym
przekształcenia f odpowiadającym wartości własnej .
Związek wartości i wektorów własnych z macierzą przekształcenia
Niech f :V V będzie przekształceniem liniowym, a A - jego macierzą w bazie B . Wtedy
1) skalar jest wartością własną przekształcenia f ! A - I = 0 (wielomian
wA() = A - I nazywamy wielomianem charakterystycznym macierzy A , a równanie
wA() = 0 nazywamy równaniem charakterystycznym macierzy A );
2) wektor v jest wektorem własnym przekształcenia f odpowiadającym wartości własnej
! współrzędne [x1, x2,& , xn] wektora v w bazie B są niezerowym rozwiązaniem
układu równań
x1 0
ł łł ł łł
łx śł ł0śł
A
( - I = .
)ł 2 śł ł śł
ł śł ł śł
ł śł ł0śł
łxn ł ł ł
Własności wektorów własnych
Niech f :V V będzie przekształceniem liniowym.
1) Jeśli jest wartością własną przekształcenia f , to zbiór
W = v "V : f (v) = v
{ }
jest podprzestrzenią przestrzeni V (tzw. przestrzeń wektorów własnych odpowiadających
wartości własnej ). Ponadto dimW = dimV - rz(A - I) .
2) Wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym przekształcenia f są
liniowo niezależne.
3) Przekształcenie f jest diagonalizowalne (tzn. w pewnej bazie przestrzeni V macierz
przekształcenia f jest diagonalna) ! istnieje baza przestrzeni V złożona z wektorów
własnych przekształcenia f ! suma wymiarów wszystkich przestrzeni własnych
odpowiadających poszczególnym wartościom własnym przekształcenia f jest równa
dimV .
Wartości i wektory własne macierzy
Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n o elementach z ciała K . Wtedy
- Skalar " K nazywamy wartością własną macierzy A , jeżeli A - I = 0 (tzn. jest
pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego macierzy A ).
n
- Niezerowy wektor x1, x2,& , xn " K nazywamy wektorem własnym macierzy A
( )
odpowiadającym wartości własnej , jeżeli
x1 0
ł łł ł łł
łx śł ł0śł
A
( - I = .
)ł 2 śł ł śł
ł śł ł śł
ł śł ł0śł
łxn ł ł ł
Uwaga: Wartości i wektory własne macierzy A są identyczne z wartościami i wektorami
n n
własnymi przekształcenia liniowego f : K K , dla którego macierz A jest macierzą w
n
bazie standardowej przestrzeni K .
Macierz diagonalizowalna
Macierz kwadratowa A o elementach z ciała K jest diagonalizowalna, jeżeli istnieje
odwracalna macierz P (o elementach z ciała K ) taka, że macierz P-1AP jest diagonalna.
Związek diagonalizowalności macierzy z wektorami własnymi
Macierz kwadratowa A stopnia n o elementach z ciała K jest diagonalizowalna ! istnieje
n
baza przestrzeni K złożona z wektorów własnych macierzy A .
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Przekształcenia liniowe zadania i przykładyWykład 12 Składanie przekształceń liniowych a mnożenie macierzyAlgebra 1 05 jądro i obraz przekształcenia liniowegoWykład 8 przekształcenia linioweWykład 10 Macierze i przekształcenia liniowe1 5 Przeksztalcenia liniowe8 Przekształcenia linioweWykład 11 Macierze i przekształcenia liniowe II07 GIMP od podstaw, cz 4 Przekształceniaoptoizolator liniowyPA3 podstawowe elementy liniowe [tryb zgodności]Zestaw 1 Funkcja kwadratowa Funkcja homograficzna Równanie liniowe3 4 BK Przeksztalcenia gramatyk3 dobór zmiennych do liniowego modelu ekonometrycznegowięcej podobnych podstron