Odwzorowania wieloliniowe
Formy wieloliniowe
Wyznaczniki
Przypomnienie:
n = 1, 2,..., n
{ }
Permutacją zbioru n-elementowego nazywamy każde bijektywne
odwzorowanie tego zbioru na siebie
Przykład 0.
A = 1, 2,3, 4,5 , B = 3, 2,5,1, 4
{ } { }
: A B
1 = 1 = 3
( )
2 = 2 = 2
( )
itd.
Ilość permutacji = n!
Sn - zbiór permutacji
Definicja 0.
i > '" i < j
Dwa elementy permutacji i, tworzą inwersję jeżeli:
j
j
Ilość inwersji w permutacji oznaczamy p = , a znak permutacji
[ ]
określamy jako:
=
( ) (-1
)[ ]
Przykład 0 .
= 5
[ ]
5
=
)[ ]
( ) (-1 = -1
Jeżeli znak permutacji to +1 (parzysta ilość inwersji), to tę permutację
nazywamy parzystą.
Jeżeli znak permutacji to -1 (nieparzysta ilość inwersji), to tę permutację
nazywamy nieparzystą.
permutacja parzysta
1
ńł
=
( )
ł
ół-1 permutacja nieparzysta
a1, a2,..., an
{ }
transpozycja zamiana miejscami dwóch dowolnych elementów
transpozycja zmienia znak permutacji
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 1 z 6 Część 9 - Odwzorowania wieloliniowe
Definicja 1.
X1, X2,..., Xn, F (n+1 przestrzeni wektorowych nad tym
samym ciałem K)
f : X1 X2 ... Xn F nazywamy odwzorowaniem n-liniowym
(wieloliniowym) jeżeli jest liniowe ze względu na każdą zmienną z osobna.
Tzn: a)
"i=1,2,...,n"x ,xi ' : f x1, x2,..., xi-1, xi + xi ', xi+1,..., xn =
( )
i
= f x1, x2,..., xi,..., xn + f x1, x2,..., xi ',..., xn
() ()
b)
"ą"K"x "Xi : f x1, x2,...,ą xi,..., xn = ą f x1, x2,..., xi,..., xn
( ) ( )
i
Przykład 1.
f : X1, X , X3 F
2
f u1 + v1,u2,u3 = f u1,u2,u3 + f v1,u2,u3
u1, v1 " X1 ( ) ( ) ( )
u2, v2 " X f u1,u2 + v2,u3 = f u1,u2,u3 + f u1, v2,u3
() () ()
2
u3, v3 " X3 f u1,u2,u3 + v3 = f u1,u2,u3 + f u1,u2, v3
() () ()
f
(ąu1,u2,u3 = ą f u1,u2,u3
) ( )
f u1,ąu2,u3 = ą f u1,u2,u3
() ()
f u1,u2,ąu3 = ą f u1,u2,u3
() ()
UWAGA
Odwzorowanie n-liniowe na ogół nie jest odwzorowaniem liniowym ze
względu na zespół zniennych
Twierdzenie 1.
Z: X1, X2,..., Xn, F - przestrzenie wektorowe nad ciałem K
f : X1 X2 ... Xn F
f - odwzorowanie n-liniowe !
T:
!"i=1,2,...,n"ą ,"K"x ,xi '"Xi : f x1, x2,..., xi-1,ą xi + xi ', xi+1,..., xn =
( )
i
= ą f x1,..., xi-1, xi, xi+1,..., xn + f x1,..., xi-1, xi ', xi+1,..., xn
() ()
Twierdzenie 2.
X1, X2,..., Xn, F
Z:
- przestrzenie wektorowe nad ciałem K
f : X1 X2 ... Xn F
- odwzorowanie n-liniowe
xi " Xi
f x1,..., 0,..., xn = 0
()
T:
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 2 z 6 Część 9 - Odwzorowania wieloliniowe
Definicja 2.
X , K , +," - n przestrzeni wektorowych nad ciałem K
()
i
i = 1, 2,..., n
f : X X ... X K
odwzorowanie f n-liniowe nazywamy formą
1 2 n
n-liniową
Definicja 3.
X , K , +,"
() przestrzeń wektorowa nad ciałem K
dim X = m
f : X ... X K
X
n
Odwzorowanie f nazywany forma n-liniową
n
f : X K
()
antysymetryczną, jeżeli:
1) f jest formą n-liniową
2)
" f x (1), x (2),..., x (n) = f x1, x2,..., xn
( ) ()
()
"Sn
Twierdzenie 3.
n
f : X K
Z: f jest forma n-liniową antysymetryczną
xi = x '" i `" j
j
f x1,..., xi ,..., x ,..., xn = 0
()
T:
j
Twierdzenie 4.
f : X ... X Kf jest forma n-liniową antysymetryczną
Z:
X
n
x1, x2,..., xi,..., xn wektory liniowo zależne
T: f x1, x2,..., xi,..., xn = 0
()
Twierdzenie 5. (o postaci formy n-liniowej antysymetrycznej)
Z:
X , K,+,"
()
dim X = n
B = e1,e2,...,en - baza X
()
n
f : X K
x1 = a11e1 + a21e2 + ... + an1en
xi = a1ie1 + a2ie2 + ... + anien
i = 1,2,...,n
łł
T:
f x1, x2,..., xi,...., xn = " a1 (1) " a2 (2) "..." an (n) ł " f e1,e2,...,en
() ( ) ()
ł
"
ł"Sn łł
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 3 z 6 Część 9 - Odwzorowania wieloliniowe
Twierdzenie 6.
Z:
X , K,+,"
()
dim X = n
B = e1,e2,...,en
()
n
f : X K
x1 = a11e1 + a21e2 + ... + an1en
xi = a1ie1 + a2ie2 + ... + anien
i = 1,2,...,n
n
T: a) jedyną formą n-liniową antysymetryczną f : X K : taką, że
f e1,e2,...,en = 1
()
f x1, x2,..., xn = " a1 (1) " a2 (2) "..." an (n)
( ) ( )
jest następująca forma:
"
"Sn
b) każda inna forma n-liniowa antysymetryczna
n
g : X K jest postaci
g = " f
gdzie:
= g e1,e2,...,en
()
Definicja 4.
X , K,+," - przestrzeń wektorowa
()
dim X = n
B = e1,e2,...,en - baza X
()
n
f : X K
x1 = a11e1 + a21e2 + ... + an1en
xi = a1ie1 + a2ie2 + ... + anien
i = 1,2,...,n
Jedyną formę n-liniową antysymetryczną (z twierdzenia 6, teza a)
n
f : X K : f x1, x2,..., xn = " a1 (1) " a2 (2) "..." an (n)
( ) ( )
"
"Sn
nazywamy formą wyznacznikową, a jej wartość na ence wektorów
nazywamy wyznacznikiem tych wektorów w bazie B i oznaczamy:
detB x1, x2,..., xn
()
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 4 z 6 Część 9 - Odwzorowania wieloliniowe
UWAGA
Formę wyznacznikową utożsamiamy z wyznacznikiem
WNIOSKI:
Własności wyznaczników n-wektorów
1) detB x1, x2,..., xn = " a1 (1) " a2 (2) "..." an (n)
( ) ( )
"
"Sn
2)
detB e1,e2,...,en = 1
( )
3) x1, x2,..., xn są liniowo zależne ! detB x1, x2,..., xn = 0
( )
4) a)
detB x (1), x (2),..., x (n) = "detB x1, x2,..., xn
( ) ()
( )
detB x1,...,ą xi,..., xn = ą detB x1,..., xi,..., xn
b) ( ) ( )
detB x1,..., xi + xi ',..., xn = detB x1,..., xi,..., xn + detB x1,..., xi ',..., xn
( ) ( ) ( )
5) wartość wyznacznika nie zmieni się, jeżeli do jednego z wektorów
dodamy kombinację liniową pozostałych
UWAGA
xi = a1i,a2i,...,ani B
Jeżeli przestrzeń X = n ma bazę kanoniczną to [ ]
a11 a12 & a1n
a21 a22 & a2n
detB x1, x2,..., xn =
()
an1 an2 & ann
Przykład 2.
dim X = 2
a)
permutacje 2
B = e1,e2 liczb
( )
1 2 +
x1 = a11e1 + a21e2
2 1 -
x2 = a12e1 + a22e2
detB x1, x2 = " a1 (1) "a2 (2) = +a11a22 - a12a21
( ) ( )
"
"S2
b)
X , ,+,"
( )
permutacje 3 liczb
dim X = 3
1 2 3 +
2 3 1 +
B = e1,e2,e3
()
3 1 2 +
x1 = a11e1 + a21e2 + a31e3
1 3 2 -
3 2 1 -
x2 = a12e1 + a22e2 + a32e3
2 1 3 -
x3 = a13e1 + a23e2 + a33e3
detB x1, x2, x3 =+a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a11a23a32 - a13a22a31 - a12a21a33
()
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 5 z 6 Część 9 - Odwzorowania wieloliniowe
Przykład 2 .
a)
a11 a12
detB x1, x2 == a11a22 - a12a21
( )
a21 a22
b) metoda obrazkowa metoda Sarrusa
a11 a12 a13 a11 a12
detB x1, x2, x3 = a21 a22 a23 a21 a22 =
()
a31 a32 a33 a31 a32
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a11a23a32 - a13a22a31 - a12a21a33
Przykład 3.
1 -2 1
1 1 -1 = -1
-1 -3 2
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 6 z 6 Część 9 - Odwzorowania wieloliniowe
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Wieloletni program promocji biopaliw lub innych paliwWPŁYW WIELOLETNIEGO NAWOŻENIA GNOJÓWKĄ BYDLĘCĄ PASTWISKA NA JAKOŚĆ WODY GRUNTOWEJMODEL ODWZOROWUJĄCY SPRAWNOŚĆ DZIAŁANIA W GRZE W PIŁKĘ NOŻNĄ ZAWODNIKÓW Oodwzorowania kartograficzneBiałka oporności wielolekowej w szpiczaku mnogimOdwzorowywanie rysunkowZmiany ewolucyjne w odwzorowaniach linii papilarnych06 Odwzorowanie zewnętrznego i wewnętrznego zarysu przedmiotuGeodezja wykład 3 odwzorowania kartograficzne (14 03 2011)5 rzuty Monge a odwzorowanie prostej i plaszczyznyZioła Jednoroczne, Dwuletnie i Wieloletniewięcej podobnych podstron