Model wyboru
międzyokresowego
konsumenta
oraz wybór między
konsumpcją i czasem wolnym
1. Model wyboru konsumpcji w czasie
1.1. Założenia modelu
1.2. Rozwiązanie modelu
1.3. Przykład
2. Wybór między konsumpcją i czasem wolnym
2.1. Założenia modelu
2.2. Rozwiązanie modelu
2.3. Przykład
Bibliografia
1. Model wyboru konsumpcji
w czasie
1.1. Założenia modelu
Warunkiem brzegowym dla konsumenta dokonującego alokacji konsumpcji w czasie
jest międzyokresowa linia ograniczenia budżetowego. Jest ona zbiorem wszystkich
kombinacji konsumpcji bieżącej i konsumpcji przyszłej, które są osiągalne dla konsumen-
ta przy danych warunkach brzegowych (czyli dochodach bieżących i przyszłych oraz sto-
pie procentowej).
Równanie międzyokresowej linii ograniczenia budżetowego wyprowadzamy przy
następujących założeniach:
1) przedmiotem wyboru konsumenta jest struktura konsumpcji w okresie bieżącym
(będziemy ją oznaczać symbolem C1, gdzie: C1 e" 0) oraz konsumpcji w okresie przy-
szłym (którą będziemy oznaczać symbolem C2, gdzie: C2 e" 0);
2) zakładamy, że konsument żyje w dwóch okresach: w okresie bieżącym i w okresie
przyszłym; w każdym z tych okresów dysponuje on dochodem (dla naszej analizy nie
ma znaczenia zródło jego dochodów), który może przeznaczać na konsumpcję; jego
dochód w okresie bieżącym wynosi m1 > 0, a w okresie przyszłym m2 > 0;
3) dochody z obu okresów muszą być w całości wydane na konsumpcję w obu okresach
(czyli konsument nic nie przekazuje swoim spadkobiercom);
4) w odróżnieniu od modelu przedstawionego w module 1 przyjmujemy, że konsument
ma dostęp do rynku kredytowego, na którym może zaciągać pożyczki na sfinansowa-
nie swojej bieżącej konsumpcji lub zakładać depozyty w celu sfinansowania swojej
konsumpcji przyszłej.
Przy powyższych założeniach możemy wyprowadzić równanie międzyokresowej li-
nii ograniczenia budżetowego. Oszczędności (S) (przy założeniu, że konsument żyje
w dwóch okresach) to różnica między dochodem bieżącym i konsumpcją bieżącą:
S = m1 - C1. (1)
W odróżnieniu od większości wielkości ekonomicznych oszczędności są określone
w zbiorze liczb rzeczywistych. Jeśli S > 0, to konsument ma oszczędności sensu stricto. Je-
śli S < 0, to konsument wydaje więcej w okresie bieżącym niż zarabia, czyli zaciąga kre-
dyt w celu sfinansowania bieżącej konsumpcji. Natomiast S = 0 oznacza, że wartość kon-
sumpcji bieżącej jest równa dochodom bieżącym.
Konsumpcja w okresie przyszłym będzie zatem równa sumie dochodów przyszłych
oraz oszczędności powiększonych o odsetki:
2
C2 = m2 + S(1 + r). (2)
Po podstawieniu równania 1 do równania 2 i przekształceniach otrzymujemy równa-
nie międzyokresowej linii ograniczenia budżetowego:
C2 = m2 + m1(1 + r) - C1(1 + r). (3)
A zatem nachylenie międzyokresowej linii ograniczenia budżetowego wynosi:
dC2
= C22 (C1) = - (1 + r). (4)
dC1
Z równania 4 wynika, że międzyokresowa linia ograniczenia budżetowego ma ujem-
ne nachylenie.
Nachylenie międzyokresowej linii ograniczenia budżetowego zależy od wysokości
stopy procentowej. Im wyższa stopa procentowa, tym mniejszy współczynnik nachyle-
nia, a zatem międzyokresowa linia ograniczenia budżetowego będzie bardziej stroma.
Wyrażenie (1 + r) to cena konsumpcji bieżącej. Jeśli konsument wyda jednostkę pie-
niężną w bieżącym okresie, to ponosi również koszt alternatywny w postaci utraconych
odsetek.
Położenie międzyokresowej linii ograniczenia budżetowego zależy od poziomu do-
chodu w okresie bieżącym i w okresie przyszłym. Wzrost (spadek) m1 lub m2 powodu-
je przesunięcie międzyokresowej linii ograniczenia budżetowego równolegle w prawo
(w lewo).
Ilustrację graficzną międzyokresowej linii ograniczenia budżetowego przedstawia
rysunek 1.
Współrzędne punktów brzegowych:
1) m2 + m1 (1 + r) to poziom konsumpcji w okresie przyszłym w sytuacji, gdy C2 = 0,
m2
2) + m1 to poziom konsumpcji w okresie bieżącym, gdy C2 = 0.
1 + r
Punkt Z o współrzędnych (m1, m2) to zasób początkowy. W punkcie tym poziom
oszczędności wynosi 0. W każdym punkcie na międzyokresowej linii ograniczenia bu-
dżetowego na prawo od punktu Z konsumpcja w okresie bieżącym przewyższa do-
chód w okresie bieżącym, co oznacza, że konsument jest pożyczkobiorcą (kredytobior-
cą). W każdym punkcie na międzyokresowej linii ograniczenia budżetowego na lewo od
punktu Z konsumpcja w okresie bieżącym jest mniejsza od dochodu w okresie bieżącym,
co oznacza, że konsument jest pożyczkodawcą (kredytodawcą).
3
Rysunek 1. Międzyokresowa linia ograniczenia budżetowego
Celem konsumenta w modelu alokacji konsumpcji w czasie jest maksymalizacja uży-
teczności całkowitej z konsumpcji bieżącej i konsumpcji przyszłej. Tak samo jak w modu-
le 1 zakładamy, że preferencje konsumenta są opisane przez funkcję użyteczności całko-
witej z konsumpcji bieżącej i konsumpcji przyszłej według wzoru:
U(C1,C2). (5)
Zakładamy, że funkcja U(C1, C2) ma te same własności matematyczne co funkcja uży-
teczności całkowitej u(x1, x2)1. Konsument ma zatem dobrze zachowujące się preferencje
dotyczące konsumpcji w okresie bieżącym i przyszłym. Krzywa obojętności, będąca ilu-
stracją graficzną preferencji dobrze zachowujących się, jest ujemnie nachylona i wypukła
do początku układu współrzędnych (zob. rys. 2). Krzywa obojętności w modelu aloka-
cji konsumpcji w czasie jest zbiorem różnych kombinacji konsumpcji bieżącej i konsump-
cji przyszłej, które zapewniają konsumentowi taki sam poziom użyteczności całkowitej.
1
Chodzi tutaj o warunki 1 4 w module 1, podtemat 1.2.
4
Rysunek 2. Krzywa obojętności w modelu alokacji konsumpcji w czasie
Funkcja użyteczności całkowitej z konsumpcji bieżącej i konsumpcji przyszłej
U(C1, C2) opisuje zależność między poziomem konsumpcji w okresie bieżącym i okre-
sie przyszłym a poziomem użyteczności całkowitej. Użyteczność krańcowa konsumpcji
bieżącej (mu1) to stosunek przyrostu użyteczności całkowitej do przyrostu konsumpcji
bieżącej2. Użyteczność krańcowa konsumpcji przyszłej (mu2) to stosunek przyrostu uży-
teczności całkowitej do przyrostu konsumpcji przyszłej3.
1.2. Rozwiązanie modelu
Przyjmujemy, że konsument dokonujący alokacji konsumpcji w czasie postępuje racjo-
nalnie. Dąży on do maksymalizacji użyteczności całkowitej U(C1, C2) przy danej między-
okresowej linii ograniczenia budżetowego. Wyznaczamy zatem maksimum warunkowe:
U(C1,C2)C max (6)
,C2
1
przy międzyokresowej linii ograniczenia budżetowego:
C2 = m2 + m1(1 + r) - C1(1 + r). (7)
"U C , C
2
Jeśli przyrosty konsumpcji bieżącej i użyteczności całkowitej są zbieżne do 0, to mu1 = .
"C1
"U C , C
3
Jeśli przyrosty konsumpcji przyszłej i użyteczności całkowitej są zbieżne do 0, to mu2 = .
"C2
5
Tak samo jak w module 1, warunki konieczne i dostateczne istnienia maksimum
warunkowego uzyskamy przez wykorzystanie wielomianu Lagrange a. Wielomian
Lagrange a jest postaci:
Ś = U(C1,C2) + (C2 + C1(1 + r) - m2 - m1(1 + r)). (8)
Parametr " ! w równaniu 8 to nieoznaczony mnożnik wielomianu Lagrange a. Nie
nadajemy mu interpretacji ekonomicznej.
Maksymalizacja wielomianu Lagrange a jest tożsama z maksymalizacją funkcji uży-
teczności U(C1, C2). Wielomian Lagrange a będzie osiągał maksimum warunkowe, gdy speł-
nione będą następujące warunki konieczne i dostateczne (zob. Tokarski, 2011: 59 60):
"Ś "U(C1,C2)
= + (1 + r) = 0 (8.1)
"C1 "C1
"Ś "U(C1,C2)
= + = 0
(8.2)
"C2 "C2
"Ś
(8.3)
= C2 + C1(1 + r) - m2 - m1(1 + r) = 0
"
"2Ś "2Ś "2Ś
2
"C1 "C1"C2 "C1"
'"
"2Ś "2Ś "2Ś
H (Ś) = > 0 (8.4)
2
"C2"C1 "C2 "C2"
"2Ś "2Ś "2Ś
""C1 ""C1 "2
Równania 8.1 8.3 to warunki konieczne istnienia maksimum warunkowego, a nie-
równość 8.4 to warunek dostateczny4.
Warunek 8.3 jest spełniony dla każdego C1, C2 e" 0. Z warunku tego wynika, że opty-
malna struktura konsumpcji bieżącej i konsumpcji przyszłej musi znajdować się na mię-
dzyokresowej linii ograniczenia budżetowego.
Po przekształceniu równania 8.1 8.2 przyjmują postać:
mu1 + (1 + r) = 0 (8.5a)
mu2 + = 0 (8.5b)
4
Warunkiem dostatecznym istnienia maksimum warunkowego jest, aby wyznacznik hesjanu obrze-
'"
H (Ś)
żonego był dodatnio określony w punkcie stacjonarnym, w którym są spełnione warunki koniecz-
ne (por. Tokarski, 2011: 59 60).
6
Z równań 8.5a i 8.5b otrzymujemy warunek maksymalizacji użyteczności całkowitej
z konsumpcji bieżącej i konsumpcji przyszłej:
mu1
- = - (1 + r).
(9)
mu2
Równanie 8.3 oraz równanie 9 to warunki konieczne maksymalizacji użyteczności
całkowitej z konsumpcji bieżącej i konsumpcji przyszłej. Jak wynika z równania 9, aby
konsument maksymalizował użyteczność całkowitą, stosunek użyteczności krańcowej
konsumpcji bieżącej do użyteczności krańcowej konsumpcji przyszłej musi być równy
stosunkowi ceny konsumpcji bieżącej do ceny konsumpcji przyszłej5.
mu1
Lewa strona równania 9: - to krańcowa stopa substytucji C1 i C2. Określa ona,
mu2
w jakiej relacji konsument będzie skłonny zamieniać konsumpcję przyszłą (C2) na kon-
sumpcję bieżącą (C1) przy zachowaniu tego samego poziomu użyteczności całkowitej.
W naszym modelu zakładamy, że konsument ma dobrze zachowujące się preferencje,
a zatem krańcowa stopa substytucji ma wartość ujemną.
Rysunek 3. Optimum konsumenta w modelu alokacji konsumpcji w czasie
Prawa strona równania 9 to współczynnik nachylenia międzyokresowej linii ogra-
niczenia budżetowego. Z równania 9 wynika zatem, że konsument maksymalizuje uży-
teczność całkowitą z konsumpcji bieżącej i konsumpcji przyszłej w punkcie, w którym
nachylenie krzywej obojętności jest równe nachyleniu linii ograniczenia budżetowego.
Oznacza to, że punktem optimum jest punkt styczności krzywej obojętności z między-
5
Cena konsumpcji przyszłej wynosi 1.
7
okresową linią ograniczenia budżetowego6. Ilustrację graficzną optimum konsumenta
w modelu alokacji konsumpcji w czasie przedstawiono na rysunku 3.
W punkcie E (na rys. 4) konsument maksymalizuje użyteczność całkowitą z konsump-
E
C1E,C2
cji bieżącej i konsumpcji przyszłej. Współrzędne tego punktu to optymal-
( )
na struktura konsumpcji bieżącej i konsumpcji przyszłej. Ponieważ punkt optimum znaj-
duje się na prawo od punktu Z, konsument maksymalizuje użyteczność całkowitą, będąc
pożyczkobiorcą (kredytobiorcą). Odcinek zaznaczony na rysunku 3 klamrą (między m1
a ) to poziom oszczędności (wielkość zaciągniętych pożyczek lub kredytów) w anali-
C1E
zowanym przypadku.
Punkt E może znajdować się w dowolnym miejscu na międzyokresowej linii ogra-
niczenia budżetowego (oprócz punktów brzegowych znajdujących się na osiach współ-
rzędnych).
Aby wyznaczyć optymalną strukturę konsumpcji bieżącej i konsumpcji przyszłej, mu-
simy rozwiązać układ równań składający się z warunków koniecznych 8.3 i 9:
mu1
ńł
ł- = - (1 + r)
mu2
(10)
ł
łC2 + C1(1 + r) - m2 - m1(1 + r) = 0
ół
Optymalna struktura konsumpcji bieżącej i przyszłej zależy od poziomu stopy pro-
centowej oraz dochodów bieżących i dochodów przyszłych. Zmiana którejkolwiek z tych
wielkości wpłynie na położenie punktu optimum.
1.3. Przykład
Załóżmy, że preferencje konsumenta są opisane przez funkcję użyteczności całkowi-
tej postaci:
U(C1,C2) = ln(C1) + 2ln(C2).
Dochód w okresie bieżącym wynosi m1 > 0, a dochód w okresie przyszłym m2 > 0. Sto-
pa procentowa wynosi r > 0.
Problem maksymalizacji użyteczności całkowitej możemy zatem opisać w następują-
cy sposób:
U(C1,C2) = ln(C1) + 2ln(C2) max (11)
C1,C2
przy danej międzyokresowej linii ograniczenia budżetowego:
C2 = m2 + m1(1 + r) - C1(1 + r). (12)
6
Współczynniki nachylenia obu krzywych są sobie równe tylko w punkcie styczności.
8
Wielomian Lagrange a ma zatem następującą postać:
Ś = ln(C1) + 2ln(C2) + (C2 + C1(1 + r) - m2 - m1(1+ r)). (13)
Aby równanie 13 osiągało maksimum warunkowe, muszą być spełnione następujące
warunki konieczne7:
"Ś 1
= + (1 + r) = 0 (14a)
"C1 C1
"Ś 2
(14b)
= + = 0
"C2 C2
"Ś
= C2 + C1(1 + r) - m2 - m1(1 + r) = 0 (14c)
"
Z równań 14a 14b po przekształceniach otrzymujemy:
-1
(15a)
= ,
C1(1 + r)
-2
= . (15b)
C2
Z porównania stronami równań 15a i 15b otrzymujemy:
1 2
= .
(16)
C1(1 + r) c2
Po przekształceniach równanie 16 przyjmuje postać:
(17)
2C1(1 + r) - C2 = 0.
Aby wyznaczyć optymalną strukturę konsumpcji bieżącej i konsumpcji przyszłej, mu-
simy rozwiązać następujący układ równań:
2C1(1 + r) - C2 = 0
ńł
(18)
łC (1 + r) + C2 = m1(1 + r) + m2
ół 1
Wyznaczniki Cramera dla powyższego układu równań są postaci:
2(1 + r) ( -1)
W = = 2(1+ r) + (1 + r) = 3(1 + r) > 0 (19a)
(1 + r) 1
7
Przyjmujemy, że spełnienie warunków koniecznych oznacza, że warunek dostateczny jest również
spełniony.
9
0 ( -1)
W1 = = m1(1 + r) + m2 > 0
(19b)
m1(1 + r) + m2 1
()
2(1 + r) 0
W2 = = 2 m1(1 + r) + m2 1 + r > 0 (19c)
()( )
(1 + r) m1(1 + r) + m2
()
Wyznacznik W układu równań 19 jest dodatnio określony, a zatem ten układ rów-
nań ma dokładnie jedno rozwiązanie. Rozwiązaniem tego układu równań jest optymalna
struktura konsumpcji bieżącej i przyszłej8:
W1 m1(1 + r) + m2 m1 m2
C1E = = = + (20a)
W 31 + r) 3 3(1 + r)
(
2 m1(1 + r) + m2 1 + r
W2 ()( ) 2m1(1 + r) 2m2
E
C2 = = = + (20b)
W 31 + r) 3 3
(
Ponieważ S = m1 C1, to w punkcie E poziom oszczędności wyniesie:
m1 m2
(21)
SE = m1 - C1E = m1 - - .
3 3(1+ r)
Poziom oszczędności (a zarazem funkcja oszczędności) jest opisany wzorem:
2m1 m2
SE = - . (22)
3 3(1+ r)
Z równania 20a wynika, że optymalny poziom konsumpcji bieżącej zależy od m1, m2
oraz r. Aby określić kierunek zależności między konsumpcją bieżącą i poszczególnymi
zmiennymi wpływającymi na konsumpcję bieżącą, musimy zbadać monotoniczność C1E
względem wszystkich zmiennych. Różniczkując C1E względem m1, otrzymujemy:
"C1E 1
= > 0. (23a)
"m1 3
A zatem wzrost dochodu bieżącego powoduje (przy założeniu ceteris paribus) wzrost
konsumpcji bieżącej.
Pochodna C1E względem m2 wynosi:
"C1E 1
= > 0. (23b)
"m2 31 + r)
(
8
Rozwiązanie na wzorach ogólnych pozwala na wyznaczenie zarówno poziomu, jak i funkcji kon-
sumpcji bieżącej i konsumpcji przyszłej.
10
Dodatni znak pochodnej 23b oznacza, że (przy założeniu ceteris paribus) wzrost do-
chodów przyszłych powoduje wzrost konsumpcji bieżącej.
Pochodna C1E względem stopy procentowej wynosi:
"C1E -m2
= < 0. (23c)
"r 31 + r)2
(
Ujemny znak pochodnej 23c oznacza, że (przy założeniu ceteris paribus) wzrost stopy
procentowej powoduje spadek konsumpcji bieżącej.
Z równania 20b wynika, że optymalny poziom konsumpcji przyszłej zależy od m1, m2
E
oraz r. Wartości pochodnych C2 względem poszczególnych zmiennych wynoszą odpo-
wiednio:
E
"C2 2(1 + r)
= > 0 (24a)
"m1 3
E
"C2 2
= > 0 (24b)
"m2 3
E
"C2 2m1
(24c)
= > 0
"r 3
E
Dodatnie wartości pochodnych C2 względem wszystkich zmiennych oznaczają, że
E
wzrost m1 lub/i m2 lub/i r powoduje wzrost konsumpcji w okresie przyszłym (C2 ).
Z równania 22 wynika, że poziom oszczędności SE zależy od tego samego zestawu
E
zmiennych co C1E oraz C2 . Wartości pochodnych SE względem tych zmiennych wynoszą
odpowiednio:
"SE 2
= > 0 (25a)
"m1 3
"SE 1
= - < 0 (25b)
"m2 31 + r)
(
"SE m2
= > 0 (25c)
"r 31 + r)2
(
Poziom oszczędności odpowiadający punktowi optimum jest zatem rosnącą funkcją
dochodów bieżących i stopy procentowej oraz malejącą funkcją dochodów przyszłych.
"2SE -2m2
Ponieważ = < 0 , to wraz ze wzrostem stopy procentowej oszczędno-
"r2 31 + r)3
(
ści rosną coraz szybciej.
11
2. Wybór między konsumpcją
i czasem wolnym
2.1. Założenia modelu
Przedmiotem wyboru konsumenta w tym modelu jest konsumpcja i czas wolny. W na-
szej analizie wielkość konsumpcji oznaczać będziemy symbolem C, a czas wolny symbo-
lem R. Przyjmujemy, że w każdym okresie konsument może na pracę i wypoczynek prze-
znaczyć N jednostek czasu (czyli N = R + L, gdzie L podaż pracy jednostki). Zakładamy
ponadto, że:
1) konsument dysponuje dochodem pozapłacowym M > 0,
2) nominalna stawka płac wynosi w > 0,
3) cena konsumpcji wynosi p > 0,
4) dochody z pracy i dochody pozapłacowe są w całości przeznaczane na konsumpcję.
Przy powyższych założeniach możemy zapisać następujące równanie linii ogranicze-
nia budżetowego w tym modelu:
(26)
pC = wL + M .
Ponieważ przedmiotem wyboru jest czas wolny, z równania 26 musimy wyelimino-
wać czas pracy (L). Wiemy, że N = R + L, a zatem L = N R. Po podstawieniu do równania
26 i po przekształceniach otrzymujemy postać analityczną linii ograniczenia budżetowe-
go w tym modelu9:
w w M
C = - R + N + , (27)
p p p
gdzie:
w
płaca realna (realna stawka płac),
p
M
realny dochód pozapłacowy10.
p
Linia ograniczenia budżetowego (będąca wykresem równania 27) jest zbiorem
wszystkich kombinacji konsumpcji i czasu wolnego, które są osiągalne dla konsumen-
ta przy danych warunkach brzegowych, tzn. dochodach pozapłacowych, zasobie czasu
9
Równania 26 i 27 są równoważne.
10
Realny dochód pozapłacowy mierzy siłę nabywczą dochodu pozapłacowego w ujęciu nominalnym.
12
przeznaczanego na pracę i wypoczynek (N) oraz nominalnej stawce płac. Z równania 27
wynika, że nachylenie linii ograniczenia budżetowego wynosi:
dC w
= C' (R) = - . (28)
dR p
w
Wyrażenie to płaca realna (realna stawka płac). Płaca realna mierzy siłę na-
p
bywczą płacy nominalnej. Z równania 28 wynika, że wykresem równania 27 jest ujemnie
nachylona linia prosta. Jej ilustrację graficzną przedstawiono na rysunku 4.
Rysunek 4. Linia ograniczenia budżetowego w modelu wyboru między konsumpcją i czasem wolnym
Z równania 27 wynika, że jeśli R = 0, czyli N = L, to maksymalna wartość konsumpcji
w M m
wyniesie N + . Jeśli natomiast L = 0, czyli R = N, to wartość konsumpcji wyniesie .
p p p
Jak wynika z równania 27, nachylenie linii ograniczenia budżetowego zależy od nomi-
nalnej i realnej stawki płac. Wzrost (spadek) nominalnej (realnej) stawki płac powoduje
spadek (wzrost) nachylenia linii ograniczenia budżetowego, a linia ograniczenia budże-
towego stanie się bardziej stroma (płaska).
Położenie linii ograniczenia budżetowego zależy od dochodów pozapłacowych oraz
zasobu czasu, który konsument może przeznaczyć na pracę i wypoczynek. Z równania
27 wynika, że wzrost dochodów pozapłacowych przesuwa linię ograniczenia budżeto-
wego równolegle w lewo. Wzrost parametru N powoduje przesunięcie linii ograniczenia
budżetowego równolegle w prawo.
13
Celem konsumenta jest maksymalizacja użyteczności całkowitej z konsumpcji bieżą-
cej i konsumpcji przyszłej. Przyjmujemy, że funkcja użyteczności całkowitej z konsump-
cji i czasu wolnego U(C, R) opisuje preferencje dobrze zachowujące się11. Krzywa
obojętności będąca jej warstwicą jest zatem ujemnie nachylona i wypukła do początku
układu współrzędnych. Ma ona taki sam kształt jak krzywa obojętności przedstawiona
na rysunku 3.
2.2. Rozwiązanie modelu
Jak wspomniano w podtemacie 2.1, celem konsumenta jest maksymalizacja użytecz-
ności całkowitej z konsumpcji i czasu wolnego. Przy podejmowaniu decyzji dotyczącej
wyboru struktury konsumpcji i czasu wolnego konsument musi brać pod uwagę waru-
nek brzegowy, czyli linię ograniczenia budżetowego. A zatem również w tym modelu szu-
kamy maksimum warunkowego.
Problem wyboru w tym modelu możemy zapisać w następujący sposób:
U(C, R) max (29)
C, R
przy warunku brzegowym:
w w M
C = - R + N + . (30)
p p p
Wielomian Lagrange a w prezentowanym modelu ma następującą postać:
ł w w M ł
&! = U(C, R) + ł + R - N - (31)
łC ł,
p p p
ł łł
gdzie:
ł mnożnik Lagrange a określony w zbiorze liczb rzeczywistych (nieposiadający inter-
pretacji ekonomicznej).
Aby wielomian Lagrange a (31) osiągał maksimum warunkowe, muszą być spełnione
następujące warunki konieczne12:
"&! "U(C, R)
= + ł = 0 (32a)
"C "C
"&! "U(C, R) w
(32b)
= + ł = 0
"R "R p
11
Oznacza to, że funkcja U(C, R) ma te same własności matematyczne co funkcje użyteczności w oma-
wianych wcześniej modelach. Więcej informacji na temat tego modelu studenci mogą znalezć w: Tokarski,
2011: 103 111.
12
Przyjmujemy, że spełnienie warunków koniecznych oznacza, że warunek dostateczny jest również
spełniony.
14
"&! w w M
= C + R - N - = 0 (32c)
"R p p p
Warunek konieczny 32c to równanie linii ograniczenia budżetowego. Jest on spełnio-
ny dla każdego C, R e" 0. Z tego warunku wynika, że optymalna struktura konsumpcji
i czasu wolnego musi znajdować się na linii ograniczenia budżetowego.
Pochodne cząstkowe funkcji U(C, R) względem C oraz R są równe użytecznoś-
ciom krańcowym konsumpcji i czasu wolnego. Użyteczność krańcowa czasu wolnego
"U(C, R) "U(C, R)
muR = , a użyteczność krańcowa konsumpcji muC = . Po podsta-
"R "C
wieniu do równań 32a 32b otrzymujemy:
muC + ł = 0
(33a)
w
muR + ł = 0 (33b)
p
Po przekształceniach równań 33a 33b otrzymujemy warunek konieczny maksymali-
zacji użyteczności całkowitej z konsumpcji i czasu wolnego:
muR w
- = - . (34)
muC p
Lewa strona równania 34 to nachylenie krzywej obojętności, czyli krańcowa stopa
substytucji między konsumpcją i czasem wolnym (jest ona miarą nachylenia krzywej
obojętności). Prawa strona to nachylenie linii ograniczenia budżetowego. A zatem opti-
mum konsumenta w tym modelu znajduje się w punkcie styczności obu krzywych.
Oba warunki konieczne maksymalizacji użyteczności całkowitej z konsumpcji i czasu
wolnego (równania 32c i 34) są spełnione w punkcie E na rysunku 5. Współrzędne tego
punktu (CE, RE) to optymalna struktura konsumpcji i czasu wolnego.
15
Rysunek 5. Optymalna struktura konsumpcji i czasu wolnego
Odcinek REN to wielkość podaży pracy odpowiadająca punktowi E. Optymalna wiel-
kość konsumpcji, czasu wolnego oraz podaży pracy zależy od poziomu nominalnej stawki
płac oraz nominalnego i realnego poziomu dochodów pozapłacowych. Kierunki zależno-
ści zbadamy w przykładowym zadaniu w następnym podtemacie.
2.3. Przykład
Załóżmy, że preferencje konsumenta są opisane przez funkcję użyteczności całkowi-
tej z konsumpcji i czasu wolnego następującej postaci:
U(C, R) = C2R3.
Dochody pozapłacowe konsumenta wynoszą M > 0, stawka płac w > 0, cena konsump-
cji p > 0, a czas przeznaczany na pracę i wypoczynek N > 0 (gdzie: N = L + R).
Konsument dąży do maksymalizacji użyteczności całkowitej z konsumpcji i czasu
wolnego:
U(C, R) = C2R3 max (35)
C1, C2
przy danej linii ograniczenia budżetowego:
w w M
C = - R + N + . (36)
p p p
16
Aby wyznaczyć optymalny poziom konsumpcji i czasu wolnego, musimy zbudować
wielomian Lagrange a. Przy danej funkcji użyteczności ma on następującą postać:
ł w w M ł
&! = C2R3 + ł + R - N - (37)
łC ł.
p p p
ł łł
Aby wielomian Lagrange a osiągał maksimum warunkowe, muszą być spełnione na-
stępujące warunki konieczne:
"&!
= 2CR3 + ł = 0 (38a)
"C
"&! w
(38b)
= 3C2R2 + ł = 0
"R p
"&! w w M
(38c)
= C + R - N - = 0
"R p p p
oraz warunek dostateczny:
'"
(39)
H (Ś) > 0.
Sprawdzenie warunku dostatecznego pomijamy. Z równań 38a 38b po przekształce-
niach otrzymujemy:
(40a)
ł = - 2CR3
3C2R2
ł = - (40b)
w
p
Porównując stronami równania 40a 40b oraz dokonując pewnych przekształceń,
otrzymujemy:
3C
(41)
2R = .
w
p
Ostatecznie równanie 41 przyjmuje postać:
2 w
(42)
C = R.
3 p
17
Podstawiając równanie 42 do równania 36, otrzymujemy:
2 w w w M
(43)
R = - R + N + .
3 p p p p
Po przekształceniach równania 43 otrzymujemy optymalny poziom czasu wolnego:
3 3M
(44)
R = RE = N + .
5 5w
Po podstawieniu równania 44 do równania 36 otrzymujemy optymalny poziom kon-
sumpcji:
2 w 2M
C = CE = N + . (45)
5 p 5w
Wiadomo, że N = L + R, a zatem w punkcie optimum również zachodzi ta zależność.
Optymalna wielkość podaży pracy LE wynosi zatem:
3 3M
LE = N - RE = N - N + . (46)
5 5w
Po przekształceniach równania 46 otrzymujemy optymalną wielkość podaży pracy:
2 3M
(46)
LE = N - .
5 5w
Z równania 44 wynika, że optymalna ilość czasu wolnego jest rosnącą funkcją zasobu
czasu N i dochodów pozapłacowych oraz malejącą funkcją stawki płac nominalnych. Po-
twierdzeniem tych zależności są dodatnie wartości pochodnych RE względem N i M oraz
ujemna wartość pochodnej RE względem w:
"RE 3
= > 0 (47a)
"N 5
"RE 3
= > 0 (47b)
"M 5w
"RE 3M
(47c)
= - < 0
"w 5w2
Z równania 45 wynika, że optymalna wielkość konsumpcji zależy od parametrów N, M
oraz w. Monotoniczność CE względem poszczególnych wielkości opisują równania 48a 48c.
"CE 2 w
= > 0 (48a)
"N 5 p
18
"CE 2
(48b)
= > 0
"M 5w
"CE 2N 2M N M
(48c)
= - > 0 dla >
"w 5p 5w2 p w2
Różniczkując równanie 46 względem N, M oraz w otrzymujemy:
"LE 2
= > 0 (49a)
"N 5
"LE -3
= < 0 (49b)
"M 5w
"LE 3M
= > 0 (49c)
"w 5w2
Dodatni znak pochodnej 49a oznacza, że wzrost (spadek) N powoduje wzrost (spadek)
podaży pracy. Ujemny znak pochodnej 49b oznacza z kolei, że wzrost dochodów pozapła-
cowych prowadzi do spadku podaży pracy. Z równania 49c wynika, że podaż pracy jest
rosnącą funkcją stawki płac nominalnych.
Elastyczność funkcji podaży pracy względem stawki płac nominalnych możemy
obliczyć ze wzoru13:
"LE w
(50)
E = .
LE , w
"w LE
2 3M
Dla funkcji LE = N - elastyczność podaży pracy względem stawki płac wynosi:
5 5w
3M
(51)
E = e" 0.
LE , w
M
ł
wł 2N - 3
ł ł
w
ł łł
13
Elastyczność podaży pracy względem stawki płac nominalnych to stosunek procentowej zmiany
podaży pracy do procentowej zmiany płac. Informuje ona, o ile procent wzrośnie podaż pracy, jeśli staw-
ka płac nominalnych wzrośnie np. o 1%.
19
Bibliografia
Tokarski T., 2011, Ekonomia matematyczna. Modele mikroekonomiczne, rozdz. 2 i 3, PTE, Warszawa.
20
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Rzutparteru Model (1)ARTYKUŁY ZWIĄZEK DYLEMATY WYBORUustawa o umowach miedzynarodowych 14 00Międzynarodowy Program Badań nad Zachowaniami SamobójczymiCoś między namimodel ekonometryczny zatrudnienie (13 stron),Modelowanie i symulacja systemów, Model dynamicznywypadniecie tarczy miedzykregowej w odcinku szyjnym kregosluJęazykoznawsto ogólne model sens tekstwięcej podobnych podstron