Metoda Eulera
Wezmy równanie różniczkowe w postaci:
y (x)=f(x,y) dla a<=x<=b
y(a)=ya
Takie równanie wraz z podanym warunkiem początkowym nazywamy zagadnieniem
początkowym Cauchy ego.
Niech xi=a+ih, i=0,1,& ,N, gdzie h=(b-a)/N. Pochodną y (x) przybliżamy ilorazem
różnicowym pierwszego rzędu opartym na węzłach x i x+h. Jeżeli funkcja f jest ciągła na
przedziale [a,b] i posiada pochodną, to ze wzoru Taylora otrzymamy:
y(x + h) - y(x) h
y'(x) = + y"(x) , gdzie x [x, x + h].
h 2
Wykorzystując warunek początkowy dla x=xi i odrzucając resztę we wzorze Taylora
dostajemy:
y(xi+1) = y(xi ) + hf (xi , y(xi ))
y(a) = ya
Schemat metody Eulera:
yi+1 = yi + hf (xi , yi )
y0 = ya
Przykład:
Oblicz y(0,3) dla y spełniającego równanie:
y (x)=x2+y
y(0)=0,1
Rozwiązanie:
Przyjmujemy h=0,1
x0=0
y0=0,1
x1=x0+h=0,1
y1=y(0,1)=y0+h(x02+y0)=0,1+0,1(02+0,1)=0,11
x2=x1+h=0,2
y2=y(0,2)= y1+h(x12+y1)=0,11+0,1(0,01+0,11)=0,122
x3=0,3
y3=0,122+0,1(0,04+0,122)=0,1382.
Odpowiedz: y(0,3)=0,1382.
Metoda Rungego-Kutty
Metody Rungego-Kutty to metody numerycznego rozwiązywania równania różniczkowego
pierwszego rzędu w postaci:
y =f(x,y).
Rozwiązaniem takiego zagadnienia jest funkcja f(x,y(x))=y (x) dla x [a,b] . Rozwiązanie to
nie jest jednoznczne, dlatego by uzyskać jednoznaczne rozwiązanie konieczne jest zadanie na
przykład warunku początkowego:
y(a)=ya.
Takie zagadnienie nosi nazwę zagadnienia Cauchy ego [1].
Metoda Rungego-Kutty jest zdefiniowana wzorem:
yi+1 = yi + hf(xi , yi ,h) , i=0,1,& ,N-1
y0=ya
gdzie:
r
f(x, y, h) = ki
ci
i=1
dla i=1,2,& ,r.
r r
ki = ki (x, y, h) = f ć x + h , y + h k j
bij bij
j=1 j=1
Ł ł
Rząd metody Rungego-Kutty jest równy r. Najczęściej stosuje się metodę Rungego-Kutty
czwartego rzędu (RK4), dla której powyższe wzory przyjmują postać:
1
f(x, y,h) = (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ) ,
6
k1 = f (x, y) ,
1 1
k2 = f (x + h, y + hk1) ,
2 2
1 1
k3 = f (x + h, y + hk2 ) ,
2 2
k4 = f (x + h, y + hk3) .
Metoda Rungego-Kutty drugiego rzędu (zmodyfikowana metoda Eulera):
1
f(x, y, h) = (k1 + k2 ) ,
2
k1 = f (x, y) ,
k2 = f (x + h, y + hk1) .
Przykład:
y'=y-x2, y0=1, h=0,01.
Obliczymy wartość rozwiązania y w punkcie x=0,1.
Dla metody RK4:
y(0,1)= 1,104845
Dla metody RK2:
k1=1, k2=1,09, Ć=1,045, yi=1,1045
y(0,1)=1,104821
Rozwiązanie dokładne to funkcja y=2+2x+x2-ex, która w punkcie x=0,1 przyjmuje wartość
1,104829.
1. Jankowscy, Janina i Michał. Przegląd Metod i Algorytmów Numerycznych, cz.1.
Warszawa : Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1981. ISBN 83-204-0226-3.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
ćw 17 Metoda Rungego Kuttyrungego Kuttyrungego Kutty32 Wyznaczanie modułu piezoelektrycznego d metodą statycznącałkowanie num metoda trapezówMetoda kinesiotapingu w wybranych przypadkach ortopedycznychD Kierzkowska Metoda na wagę złotaBadanie czystości metodą klasycznąMetoda symbolicznaMetoda HahnaPrzystawka do spawania aluminium metoda TIG cz3PORÓWNANIE TECHNOLOGI ŁĄCZENIA MASZYN METODĄ KLEJENIA METODAMetoda 10 10 10więcej podobnych podstron