Część 3 15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 1
15
KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE
15.1. WARUNEK KONIECZNY STATYCZNEJ WYZNACZALNOŚCI
PAASKICH KONSTRUKCJI PRTOWYCH
Na wstępie przypomnijmy, że podział na konstrukcje statycznie wyznaczalne
i niewyznaczalne ma sens tylko wtedy, gdy w równaniach równowagi pomijamy deformacje konstrukcji.
Oznacza to, że w tym i w dalszych rozdziałach trzeciej części podręcznika akceptujemy zasadę
zesztywnienia.
Zasadnicze problemy konstrukcji statycznie wyznaczalnych omówimy przede wszystkim na przykła-
dach płaskich układów prętowych obciążonych w swej płaszczyznie.
W każdej płaskiej konstrukcji prętowej można wyszczególnić trzy rodzaje prętów, różniących się licz-
bą sił brzegowych. Pierwszą grupę stanowią pręty obustronnie przegubowo połączone z resztą konstruk-
cji, w których występują cztery nieznane
Rys. 15.1
siły brzegowe (rys. 15.1a). Liczbę tych prętów oznaczymy przez p1. Druga grupa, określona liczbą p2, to
pręty z jednej strony połączone przegubowo, a z drugiej utwierdzone, o pięciu składowych siłach brze-
gowych (rys. 15.1b). Pręty obustronnie utwierdzone w liczbie p3 mają sześć składowych sił brzegowych
(rys. 15.1c). Dla każdego z wyszczególnionych prętów można ułożyć trzy równania równowagi. Wobec
tego liczbę nieznanych sił brzegowych wyraża zależność:
(4 p1 - 3p1)+ (5p2 - 3p2) + (6p3 - 3p3)= p1+2 p2+3p3.
Poszczególne pręty są połączone między sobą w węzłach, dla których także można ułożyć równania
równowagi. Rozróżniamy dwa rodzaje węzłów. Pierwszy to węzły, w których wszystkie pręty są połą-
czone przegubowo (rys. 15.1d). Dla każdego takiego węzła można ułożyć tylko dwa równania równowagi
sił (równanie momentów jest spełnione tożsamościowo). Liczbę węzłów przegubowych oznaczymy przez
w1. Drugi rodzaj stanowią wszystkie inne węzły w liczbie w2, w których choćby dwa pręty są między
sobą połączone w sposób sztywny (rys. 15.1e, f). Dla każdego takiego węzła można ułożyć trzy równania
równowagi (dwie sumy rzutów sił i suma momentów). Ostatecznie liczba niewiadomych sił:
n = p1 + 2 p2 + 3p3 - 2w1 - 2w2 . (15.1)
Liczba n określa stopień statycznej niewyznaczalności konstrukcji. Trzeba dodać, że w liczbie prętów p1
oraz węzłów w1 i w2 należy uwzględnić wszystkie pręty i węzły podporowe. Przykłady zastosowania
wzoru (15.1) podano na rys. 15.2, na którym w nawiasach zaznaczono liczbę prętów podporowych.
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 3 15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 2
Rys. 15.2
W układach statycznie wyznaczalnych liczba n musi być równa zeru (por. np. rys. 15.2b):
n = p1 + 2 p2 + 3p2 + 2w1 - 3w2 = 0 . (15.2)
Stosownie do uwag z p. 14.10 przypominamy, że jest to tylko warunek konieczny. Mechaniczne stoso-
wanie wzorów (15.1) lub (15.2) prowadzi do istotnych błędów. Zdarza się bowiem tak, że w pewnych
fragmentach konstrukcja może być przesztywniona (statycznie niewyznaczalna), a w in-
nych - geometrycznie zmienna. Wówczas globalna wartość n dla całej konstrukcji jest różnicą między
stopniem statycznej niewyznaczalności fragmentu przesztywnionego n1 a liczbą stopni swobody części
geometrycznie zmiennej s1, tzn. n = n1 - s1. Przykłady takich pułapek ilustrują rys. 15.2d, e. Ogólnym
sposobem identyfikacji układów geometrycznie zmiennych jest badanie rzędu macierzy zgodności geo-
metrycznej (por. p. 14.10.4).
15.2. OBLICZANIE SIA WEWNTRZNYCH
W tym punkcie zilustrujemy analityczną postać metody statycznej i metodę kinematyczną. W meto-
dzie statycznej wykorzystuje się ogólną zasadę wyznaczania sił wewnętrznych, polegającą na badaniu
równowagi jednej myślowo wydzielonej części konstrukcji. Metoda kinematyczna opiera się na równaniu
pracy wirtualnej przy wirtualnym stanie przemieszczeń ułożonym dla układu ciał idealnie sztywnych
połączonych stosownie dobranymi więzami (równanie (14.8)).
Przyczyną pojawienia się reakcji podporowych R i sił wewnętrznych Y są obciążenia F. W równaniach
równowagi wielkości te występują zawsze w pierwszej potędze; tworzą zatem funkcje liniowe. Wobec
tego dla przyczyny (obciążenia) i skutków (reakcje, siły wewnętrzne) obowiązuje zasada superpozycji:
R(F1,..., Fm) = R1(F1) + R2(F2) +...+Rm(Fm),
ł
(15.3)
żł
Y(F1,..., Fm) = Y1(F1) + Y2(F2) +...+Ym(Fm),
ł
przy czym indeksy reakcji i sił wewnętrznych odpowiadają kolejnym numerom obciążeń.
Równania (15.3) są słuszne dla dowolnego materiału, również nieliniowego. Jedynym ograniczeniem
jest przyjęcie zasady zesztywnienia. Dla jasności trzeba jednak dodać, że zasada superpozycji na ogół nie
dotyczy naprężeń. Wyjątek stanowią układy kratowe i pewne inne przypadki szczególne. Rozszerzenie
zasady superpozycji nie tylko na naprężenia ale i na odkształcenie i przemieszczenie jest słuszne dla ma-
teriałów liniowo-sprężystych.
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 3 15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 3
15.2.1. Przykłady zastosowania metody statycznej
Przykład 1
Obliczyć siły w prętach kratownicy przedstawionej na rys. 15.3a.
Rys. 15.3
Rozwiązanie
Osie prętów kratownicy tworzą siatkę trójkątną, co przy trzech składowych reakcji świadczy o tym, że
konstrukcja jest geometrycznie niezmienna (s = 0)
i statycznie wyznaczalna (n = 0).
a. Obliczenie reakcji
x
"P = H0 - P = 0; H0 = P,
M4 = 3aV0 - 0,5aP - 2,5aP = 0; V0 = P,
"
M0 =-3aV4 + 2,5"2aP - 0,5aP = 0; V4 = 1,5P.
"
Sprawdzenie:
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 3 15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 4
,
z
"P = 25P -V0 -V4 = 0.
b. Obliczenie sił w prętach
Podzielimy kratownicę na dwie części przekrojem - (rys. 15.3b). Mamy do dyspozycji trzy rów-
nania równowagi, z których można wyznaczyć trzy siły: Z2, Z6 i Z9. Zakładamy pierwotnie, że siły te są
dodatnie, czyli zwroty ich odpowiadają rozciąganiu prętów. Rozważmy przykładowo równowagę prawej
części kratownicy. Ułożymy kolejno równanie równowagi momentów względem punktów 0, 1 i 5. Uzy-
skamy wówczas rozprzężenie układu równań liniowych względem niewiadomych Z9, Z6 i Z2:
Pa 5
ł ł
M0 = 3a "1,5P - 2a " 2,5P + Z9 " r0 = 0, Z9 = / r0 = P,
ł ł
"
ł łł
2 4
Pa
ł ł
M1 = 2a "1,5P - a " 2,5P - Z6 " r1 = 0, Z6 = / r1 = P,
ł ł
"
ł łł
2
ł- 3Pa 3 5
ł
M5 = a "15P + Z2 " r5 = 0, Z2 = / r5 =- P.
,
ł ł
"
ł łł
2 4
Wartość siły Z9 można uważać za iloraz momentu sił zewnętrznych rozważanej części kratownicy
względem punktu 0 i ramienia siły Z9 względem tego punktu:
Z9 = M0(P)/r0. Punkt 0 jest punktem przecięcia osi pozostałych dwóch prętów przekroju - , tzn. prę-
tów Z2 i Z6. Podobnie obliczamy Z6 = M1(P)/r1 oraz Z2 = M5(P)/r5. Ogólnie można zapisać, że
Mk (P)
Zi = . (15.4)
rk (i)
Przedstawiony wyżej sposób wyznaczania sił w prętach kratownicy nosi nazwę metody Rittera, a
punkt k nazywa się punktem Rittera.
Wszystkie siły w prętach kratownicy, łącznie z reakcjami, można również obliczyć z równań równo-
wagi myślowo wyciętych węzłów kratownicy, czyli za pomocą tzw. metody równoważenia węzłów. Jest
to najogólniejsza metoda analityczna rozwiązywania kratownic. W naszym zadaniu otrzymujemy (rys.
15.3c):
Węzeł "0": Px = H0 + Z7 + Z1 " cosą = 0
"
Pz = -V0 - Z1 " siną = 0,
"
Węzeł "1": Px = - P - Z1 + Z1 " cosą + Z2 " cosą + Z9 " cosą = 0
"
Pz = Z8 + Z1 " siną - Z2 " siną = 0,
"
Węzeł "2":
x
"P =-Z2 "cosą + Z3 + Z11 "cos45o = 0
z
"P = Z10 + Z2 "siną = +Z11 "cos45o = 0,
Węzeł "3": Px = -Z3 = 0
"
Pz = Z4 = 0,
"
Węzeł "4":
x
"P =-Z5 - Z5 - Z11 "cos45o = 0
z
"P = V4 - Z4 - Z11 "cos45o = 0,
Węzeł "5": Px = Z5 - Z6 - Z9 " cosą = 0
"
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 3 15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 5
Pz = 25P - Z10 - Z9 " siną = 0,
,
"
Węzeł "6": Px = Z6 - Z7 = 0
"
Pz = -Z8 = 0.
"
W powyższych równaniach występuje jedenaście niewiadomych sił w prętach Zi
(i = 1, 2, ..., 11) oraz trzy reakcje podporowe H0, V0 i V0. Aączna liczba równań odpowiada zatem liczbie
niewiadomych. Rozwiązanie tego układu istnieje, jeżeli jego wyznacznik główny jest różny od zera. Ze-
rowa wartość tego wyznacznika świadczy o tym, że układ jest geometrycznie zmienny. W rozważanym
zadaniu otrzymujemy rozwiązanie jednoznaczne, a obliczane wartości sił w prętach kratownicy zamiesz-
czono w tablicy I (kolumna 4).
Tablica I
Zi "li Zi " Zi " li
Nr li Ai Zi
Zi "li0 Ei
Zi " "li0
Ei " Ai Ei " Ai
[m] [m2] [kN] [m] [kN/m2] [m] [m] [m]
[-]
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 3,35 0 0 1107 -7,4910-4
0 0
210-2 -44,70
2 3,35 33,50 0 -0,02
1107 -5,6110-4
0 0
210-2
3 3,00 0 -0,707
0,03 1107 0 0 -21210-4
210-2
4 3,00 0 -0,707
0 1107 0 0 0
210-2
5 3,00 30,00 -0,707 15,0010-4 -10,6010-4
0 2108 0
310-4
6 3,00 20,00 0 0 2108 0 0
310-4 10,0010-4
7 3,00 20,00 0 0 2108 0 0
310-4 10,0010-4
8 1,50 0 0 0 2108 0 0 0
210-4
9 3,35 11,20 0 0 2108 0 0
210-4 9,3810-4
10 3,00 45,00 -0,707 -0,08 22,5010-4 -15,9010-4
2108 0
310-4
11 4,24 1,000 0 1107
210-2 -42,40 9,0510-4 9,0510-4 56510-4
-17,4510-4 35310-4
Przykład 2
Wyznaczyć reakcje i siły wewnętrzne w belce przedstawionej na rys. 15.4a.
Rys. 15.4
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 3 15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 6
Rozwiązanie
Obciążenie belki określa funkcja ciągła:
x
(a) qz (x) = q(x) = q1 + q2 .
l
a. Obliczenie reakcji (rys. 15.4a)
Px = HB 0,
"
l
MB = VAl -
"
+"q(x)(l - x)dx = 0,
0
l
11 1
x
VA = + q2 ł l - x dx = q1l + q2l,
ł
1
+"łq l ł( ) 2 6
ł łł
l
0
l
M = VBl -
A
"
+"q(x)x dx = 0,
0
1 1 1 1 1
ł
VB = q1l2 + q2l2ł = q1l + q2l.
ł ł
ł łł
l 2 3 2 3
Sprawdzenie:
l l
1 x
ł ł
z 1
"P = VA +VB -
+"q(x)dx = q1l + 2 q2l -+"łq + q2 l łdx = 0.
ł łł
0 0
b. Obliczenie sił wewnętrznych (rys. 15.4b)
Dokonamy myślowego rozcięcia belki przekrojem ąŹ -Ź ą, usytuowanym w odległości x od lewej
podpory. Na płaszczyznach przekroju występują siły wewnętrzne N(x), Q(x) i M(x). W celu wyznaczenia
tych sił zbadamy równowagę jednej z części belki. Przykładowo dla lewej części otrzymujemy równania:
x
"P = N (x) = 0,
x
z
"P =-VA + "dx + Q(x) = 0,
+"q(x)
0
skąd
x
x 1 x2
(b) Q(x) = VA - + q2 łdx = VA - q1x - q2 ,
ł
1
+"łq l ł
ł łł
2 l
0
x
MC = VA " x -
"
+"q(x)(x - x)dx - M (c) = 0,
0
skąd
1 1 x3
(c) M (x) = VAx - q1x2 - q2 .
2 6 l
Wykresy funkcji Q(x) i M(x) przedstawiono na rys. 15.4c, d. Aatwo zauważyć, że stosownie do wzo-
rów (14.26) wartość bezwzględna funkcji obciążenia q(x) jest pochodną funkcji siły poprzecznej Q(x), a
siła poprzeczna Q(x) jest z kolei pochodną funkcji momentu zginającego M(x). Oznacza to, że wykres
q(x) jest wykresem tangensa kąta nachylenia stycznej do krzywej Q(x), a wykres Q(x) jest wykresem tan-
gensa kąta nachylenia stycznej do krzywej M(x). Zilustrowano to rysunkami 15.4c, d. Ekstremum funkcji
M(x) wypada dla przekroju x = x0, w którym siła poprzeczna jest równa zeru: Q(x0) = 0.
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 3 15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 7
Warto zwrócić uwagę, że jeżeli wykres M(x) odłożymy po stronie włókien rozciąganych, to od lewej
strony ku prawej wykres M(x) opada, gdy Q(x) > 0, natomiast wznosi się, gdy Q(x) < 0. Jest to ogólna
prawidłowość słuszna dla prętów zginanych poprzecznie.
W przypadku szczególnym, gdy q2 = 0 i q1 `" 0, otrzymujemy rozwiązanie dla belki równomiernie
obciążonej (q1 = q = const, por. rys. 15.5a). Dla q2 `" 0, q1 = 0 (obciążenie trójkątne) wykresy sił
wewnętrznych obrazuje rysunek 15.5b.
Rys. 15.5
Przykład 3
Obliczyć reakcje i siły wewnętrzne w belce wspornikowej, obciążonej siłami skupionymi (rys. 15.6a).
Rys. 15.6
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 3 15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 8
Rozwiązanie
a. Obliczenie reakcji
b.
Px = 0 ,
"
Pz = V0 - P1 - P2 - P3 + P4 = 0; V0 = P + 3P + 2P - 3P = 3P,
"
M = M0 + P1 " a +P2 " 2a + P3 " 3a - P4 " 4a = - Pa.
A
"
M0 = - Pa - 3P " 2a - 2P " 3a + 3P " 4a = - Pa.
c. Obliczenie sił wewnętrznych
d.
Równania sił wewnętrznych zmieniają się w punktach przyłożenia sił skupionych. Równania te ukła-
damy, dokonując kolejno przekrojówą1,ą2,ą3 i ą4 , usytuowanych w poszczególnych przedziałach, w
których obciążenie q(x) jest funkcją ciągłą. W rozważanym zadaniu w każdym z tych przedziałów obcią-
żenie to jest równe zeru (q(x) = 0). Ostatecznie otrzymujemy:
0 < x < a:
ńł
łQ(x) = V0 = 3P = const, M (x) = M0 +V0 " x = P(-a + 3x);
ł
ła < x < 2a:
łQ(x) = V0 - P1 = 2P = const, M (x) = M0 - P0 +V0 " x - P1(x - a) = 2Px;
ł
ł2a < x < 3a:
ł
(d)
łQ(x) = V0 - P1 - P2 = -P = const,
ł
łM(x) = M0 +V1 " x - P1(x - a) - P2 "(x - 2a) = P(6a - x);
ł
ł3a < x < 4a:
łQ(x) = V0 - P1 - P2 - P3 = - P4 = -3P = const,
ł
łM(x) = M0 +V0 " x - P1(x - a) - P2(x - 2a) - P3(x - 3a) = 3P(4a - x).
ół
Wykresy funkcji Q(x) i M(x) przedstawiają rys. 15.6b, c. Widzimy, że funkcja Q(x) jest nieciągła,
l p
gdyż dla x = ka, (k = 1, 2, 3, 4) przyjmuje dwie wartości: lewostronną Q (ka) i prawostronną Q (ka).
l p
Różnica tych wartości Q (ka) -Q (ka) = Pk i odpowiada sile skupionej przyłożonej w tym punkcie.
Moment zginający jako całka z funkcji sił poprzecznych Q(x) jest ciągłą linią łamaną. W związku z
tym ekstremalna wartość momentu wypada w tym przekroju, w którym siła poprzeczna zmienia znak,
tzn. w punkcie 2:
Mmax = M(2a) = - Pa + 3P "2a - Pa = 4Pa .
Aatwo zauważyć, że różnica tangensów kątów załamania łk-1 oraz łk wykresu momentu zginającego
w punkcie x = ka jest równa sile skupionej przyłożonej
w tym punkcie (por. rys. 15.6c). Spostrzeżenie to ma duże znaczenie przy wyznaczaniu przemieszczeń
belek sprężystych.
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 3 15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 9
Przykład 4
Obliczyć belkę ciągłą przegubową przedstawioną na rys. 15.7a.
Rozwiązanie
a. Wyznaczenie reakcji podporowych
Występuje pięć składowych reakcji podporowych: V1, V4, V8, H8 i M8. Do dyspozycji mamy trzy
równania równowagi dla całej belki oraz dwa warunki zerowania się momentów zginających w przegu-
bach 5 i 7: (M5 = M7 = 0). Równania te wystarczają do wyznaczenia niewiadomych reakcji podporowych:
(e) Px = H8 - 30 = 0,
"
(f) M5 = V1 " 7,5 - 20" 3" 6 - 12 +V4 "1,5 = 0,
(g) M7 = V1 "11,5 - 20 " 3"10 - 12 +V4 "5,5 - 32 " 2 = 0,
(h) M5 = M5 + 32 " 2 - 45" 4 -V8 " 7 - M8 = 0,
"
(i) M7 = M7 -V8 " 3 - M8 = 0.
"
Z równań (f) i (g) można wyznaczyć reakcje V1 i V4, a z równań (h) oraz (i) reakcje V8 i M8. Ostatecznie
otrzymujemy:
V1= 43 kN, V4 = 33 kN, V8 = -29 kN, H8 = 30 kN, M8 = 87kN"m.
Rys. 15.7
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 3 15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 10
Te same wyniki uzyskamy, jeżeli belkę ciągłą podzielimy na trzy belki składowe. Belka 5-7 opiera się
na belkach 1-5 i 7-8. Taka dekompozycja zadania bardzo ułatwia zarówno obliczenie reakcji podporo-
wych, jak i sił wewnętrznych pod warunkiem przestrzegania odpowiedniej sekwencji obliczeń belek skła-
dowych: najpierw liczymy belkę 5-7 a następnie belki 1-5 i 7-8 obciążone reakcjami przegubów V5 i V7
(por. rys. 15.7b). Równowaga belki 5-7 wymaga, by V5 = V7 = 16 kN. Dzięki tej informacji wartości V8 i
M8 można obliczyć w głowie : V8 = V7 - 45 = -29 kN, M8 = - (V7 - 45)3 = 87kN"m. Aatwo sprawdzić,
że obliczenie reakcji V1 i V4 dla belki 1-5 prowadzi również do wartości wyznaczonych wcześniej.
b. Wyznaczenie sił wewnętrznych
Ograniczymy się tylko do obliczenia sił wewnętrznych w charakterystycznych punktach belki. Prze-
bieg funkcji między tymi punktami określimy na podstawie zależności różniczkowych (14.25) i obliczeń
pomocniczych.
Siły poprzeczne:
l
Q1 = 0; Q1p = V1 = 43 kN,
l
Q2 = Q3 = Q4 = 43- 20"3 = -17 kN,
p l
Q4 = Q5; Q6 = -17 + 33 = 16 kN,
p l
Q6 = Q7 = 16 - 32 = -16 kN,
p l
Q7 = Q8 = -16 + 45 = 29 kN = -V8,
P
Q8 = 0.
Momenty zginające:
2
x0 2152
,
M1 = 0, M(x0) = 43" x0 - 20" = 43"2,15- 20" = 46,2 kN " m,
2 2
M2 = 43"3- 20"32 "0,5 = 39 kN " m,
1 P 1
M3 = 43"4,5 - 60"3 = 13,5 kN " m, M3 = M3 -12 = 1,5 kN " m,
M4 =-16"1,5 =-24 kN " m, M5 = 0, M6 = 16"2 = 32 kN " m,
M7 = 0, M8 = 30kN " m.
Siły normalne:
N(x) = H8 = 30 kN = const.
Wykresy sił wewnętrznych podano na rys. 15.7c, d, e.
Przykład 5
Wyznaczyć siły wewnętrzne w układzie trójprzegubowym przedstawionym na rys. 15.8.
Rozwiązanie
a. Obliczenie reakcji podporowych
Cztery składowe reakcji VA, HA,VB , HB obliczamy z trzech równań równowagi dla całego układu
oraz jednego równania wyrażającego zerową wartość momentu zginającego w przegubie C (MC = 0).
200
MB = VA "8 - 10" 4 " 6 + 20" 2 = 0, VA = = 25 kN,
"
8
120
M =-VB "8 + 20" 2 + 10" 4 " 2 = 0, VB = = 15 kN,
A
"
8
1
MC = VA "4 -10"4 "2 - HA "4 = 0, HA = "(15"4 - 80) = 5 kN,
2
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 3 15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 11
HB = 5 + 20 = 25 kN.
x
"P = HA - HB + 20 = 0,
Rys. 15.8
b. Obliczenie sił wewnętrznych
W obliczeniach elementów łukowych i prętów o osi załamanej bardzo użyteczne są wzory wynikające
z rys. 15.8b:
N = N0 cosą - Q0 siną ,
ł
(15.5)
żł
Q = N0 siną + Q0 cosą,
ł
gdzie N0 i Q0 oznaczają siły normalną i poprzeczną, obliczone jak dla belki poziomej. Dla łuku kołowego
AC mamy:
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 3 15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 12
X = R(1 - sin a), Y = R cosa,
N0 = - 5 kN, Q0=VC= VA - qX = 25 - 40(1 - sin a) = - 15 +40sin a,
skąd
N(ą) =-5"cosą - (-15+ 40"siną)siną,
ńł
łQ(ą) =-5"siną + (-15+ 40"siną)cosą,
ł
ł
(j)
ł X2 1
łM(ą) =VA " X - q 2 - HA "Y = R(1- siną)łVA - 2qR(1- siną)łł - HARcosą =
ł śł
ł ł
ł
ł = 20" (1- siną)(1+ 4siną) - cosą .
[]
ół
Potwierdzeniem poprawności uzyskanego wyniku jest to, że jest spełniona zależność (14.28)3:
dM 1 dM
= - " = -5(siną + 3" cosą - 8 " siną cosą) = Q(ą).
ds R dą
Na odcinku pochyłym CE kąt ą = ą1 i jest ujemny: cosą1 = 080; siną1 = -060. Wobec tego:
, ,
p l
NC = ND = -5"0,8 - (-15) "(-0,6) = -13 kN,
p l
QC = QD = -5"(-0,6) + (-15) "(0,8) = -9 kN,
MC = 0,
p l
ND = NE = -25" 0,8 - (-15) " (-0,6) = -29 kN,
p l
QD = QE = -25" (-0,6) + (-15) " (0,8) = 3 kN,
MD = VB "1,3 - HB " 2 = 15"1,33 - 25" 2 = -30 kN " m.
QEB = HB = 25 kN = const,
Na odcinku EB mamy: NEB = VB = -15 kN = const,
ME =-HB "1 =-25 kN " m.
Wykresy sił wewnętrznych przedstawia rys. 15.9.
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 3 15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 13
Rys. 15.9
Przykład 6
Wyznaczyć reakcje podporowe i siły wewnętrzne w płaskim łuku kołowym utwierdzonym całkowicie
w punkcie A i obciążonym w punkcie B siłą P, prostopadłą do płaszczyzny łuku. Temat zadania objaśnia
rys. 15.10a.
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 3 15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 14
Rys. 15.10
Rozwiązanie
a. Obliczenie reakcji
Poszukujemy składowych reakcji w przekroju utwierdzonym. Są to trzy siły RX, RY i RZ oraz trzy
momenty CX, CY i CZ, odniesione do globalnego układu osi X, Y, Z. Wykorzystujemy sześć równań rów-
nowagi (por. p. 14.1):
X Y Z
"P =-RX = 0, "P =-RY = 0, "P =-RZ + P = 0,
M =-CX + P "r = 0,
Xi
"
MYi = CY - P "r = 0,
"
MZi =-CZ = 0,
"
skąd
RX = RY = 0, CZ = 0 oraz RZ = P, CX = P " r, CY = - P " r .
Siły te zaznaczono na rys. 15.10b z uwzględnieniem aktualnych zwrotów.
b. Siły wewnętrzne
Siły wewnętrzne wyznaczymy z równań równowagi wyciętej części pręta (rys.15.10b). Dodatnie
zwroty tych sił pokrywają się ze zwrotami osi lokalnego układu współrzędnych x, y z, względem którego
układamy równania równowagi:
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 3 15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 15
Px = N = 0, Py = Qy = 0, Pz = Qz - P = 0,
" " "
Mxi = M - P " r(1 - cosą) - P " r siną = 0,
"
M = M - P " r siną + P " r siną + P " r cosą = 0,
yi y
"
Mzi = Mz = 0.
"
Na podstawie powyższego dostajemy:
ńł
Qz = P,
ł
(k)
łM =- P r "cosą,
y
łM = Pr(1- siną).
ół
Pozostałe siły wewnętrzne są równe zeru. Wykresy funkcji M (ą) i M(ą) przedstawia rys. 15.10d.
y
15.2.2. Przykłady zastosowania metody kinematycznej.
Linie wpływu wielkości statycznych
Metoda kinematyczna opiera się na wykorzystaniu zależności (14.8a), przedstawiającej równanie pra-
cy wirtualnej dla układu ciał idealnie sztywnych:
i
( i )
"F " d ds = 0.
+"
s
Równanie to mówi, że praca obciążeń rzeczywistych na wirtualnych przemieszczeniach układu jest
równa zeru. Nieodkształcalność elementów tego układu wynika z przyjęcia zasady zesztywnienia.
Rys. 15.11
Dla ilustracji podejścia kinematycznego rozważymy belkę swobodnie podpartą z rys. 15.11, poddaną
obciążeniu q(x) = q = const (por. również rys. 15.5a). W przekroju usytuowanym w odległości x od lewej
podpory usuniemy więz uniemożliwiający obrót przekroju i jednocześnie jako obciążenie zewnętrzne
wprowadzimy reakcję tego więzu, czyli moment zginający M(x). Dzięki temu belka staje się układem
dwóch tarcz sztywnych o jednym stopniu swobody, poddanym działaniu obciążenia q i dwóch momen-
tów skupionych M(x) (por. rys. 15.11b). Dopuszczalną kinematykę wirtualną tego układu określa jedno-
znacznie bardzo małe przemieszczenie " (rys. 15.11c). Pracę obciążeń zewnętrznych na wirtualnych
przemieszczeniach można zapisać jako iloczyn momentów tych obciążeń względnych biegunów obrotu
obu tarcz i odpowiednich kątów obrotu. Stosownie do równania (14.8a) mamy:
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 3 15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 16
1 1
(l) q " x " " x "I + q(l - x) " (l - x) "II - M(x) "I - M (x) "II = 0.
2 2
Ponieważ przemieszczenie " jest bardzo małe, I = " / x oraz "II = " / (l - x). Wobec tego równanie
(l) można zapisać w postaci:
1 " 1 " "
"
q " " x2 " + q " (l - x)2 " - M (x) " - M(x) " = 0,
2 x 2 (l - x) x (l - x)
skąd po podzieleniu przez " oraz po prostych przekształceniach otrzymujemy wzór na moment zginają-
cy:
1 1 1
M (x) = q x(l - x) = q lx - q x2 ,
2 2 2
który pokrywa się z równaniem (c) z przykładu 2 dla q2 = 0.
Zwróćmy uwagę na interesujące własności metody kinematycznej:
- w celu obliczenia wybranej wielkości statycznej (siły wewnętrznej lub oddziaływania podpory) na-
leży usunąć ten więz, którego reakcją jest poszukiwana wielkość statyczna;
- uzyskany w ten sposób układ o jednym stopniu swobody ma kinematykę niezależną od obciążenia;
- do wyznaczenia wybranej siły wewnętrznej nie potrzeba obliczać reakcji podpór lub innych sił
wewnętrznych; otrzymujemy zawsze jedno równanie jednej niewiadomej.
Z powyższego wynika, że równanie (14.8a) stanowi po prostu pewną kombinację liniową równań
równowagi. Opisane własności metody kinematycznej wykorzystuje się również w układach statycznie
niewyznaczalnych.
W dalszym ciągu zastosujemy metodę kinematyczną do wyznaczenia wybranych reakcji podporowych
i sił wewnętrznych w przykładach rozwiązanych już w p. 15.2.1, gdzie stosowano metodę statyczną.
Obliczymy reakcję podporową V4 w kratownicy z przykładu 1. W tym celu trzeba usunąć pionowy
pręt podporowy i przyłożyć reakcję tego więzu, czyli siłę V4. Otrzymujemy jedną tarczę sztywną o jed-
nym stopniu swobody, określonym przez bardzo mały kąt (rys. 15.12a, b). Równanie (14.8a) przyj-
muje postać:
1
,
- P " " a " + 25" P " 2a " -V4 " 3a " = 0,
2
skąd V4 = 1,5 P. Aatwo zauważyć, że równanie pracy wirtualnej w tym przypadku odpowiada sumie mo-
mentów sił względem punktu 0.
Rys. 15.12
W celu obliczenia siły Z10 trzeba usunąć pręt 2-5. Otrzymujemy w ten sposób układ czterech tarcz
sztywnych o jednym stopniu swobody (rys. 15.12c). Określenie kinematyki tego układu wymaga nieco
więcej uwagi. Okazuje się, że tarcza III pozostaje nieruchoma, a kinematykę określa przemieszczenie "
punktu 5 (rys. 15.12d). Zależność (14.8a) prowadzi do równania:
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 3 15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 17
1 "
- P " " a " + 25" P " " - Z10 " " = 0,
,
2 2a
skąd
Z10 = 2,25 P = 2,25"20 = 45 kN.
Wyznaczymy obecnie siłę poprzeczną w przedziale 2-3 dla belki wspornikowej z przykładu 3. Należy
umożliwić tylko pionowe przemieszczenia względne obu części belki w tym przedziale. Odpowiada to
wprowadzeniu podpory ślizgowej (rys. 15.13a). Kinematykę wirtualną tego układu ilustruje
rys. 15.13b. Na podstawie równania (14.8a) możemy napisać:
- Q23 " " + 3 P " " + 2 P " " - 3 P " " = 0, skąd Q23 = 2P .
Rys. 15.13
Korzyści metody kinematycznej najlepiej widać na przykładzie belki ciągłej (przykład 4). Na rysunkach
15.14b-h przedstawiono kinematyki wirtualne do wyznaczenia wielkości V4 ,V8, M8,Q3,Q4 oraz N45 .
Nowym elementem jest podpora teleskopowa, którą wprowadzamy w celu wyznaczenia siły normalnej. Z
rysunku 15.14 wynika równanie pracy wirtualnej:
30" " = N45 " " = 0, skąd N45 = 30 kN.
Omówimy obecnie wykorzystanie faktu, że kinematyki wirtualne obowiązują dla dowolnego obciąże-
nia konstrukcji. Jeżeli przemieszczenia wirtualne przyjmiemy w ten sposób, że mnożnik poszukiwanej
wielkości statycznej jest równy jedności, to rzędne przemieszczeń wirtualnych (x) odpowiadają tzw.
linii wpływu tej wielkości statycznej. Linie wpływu są więc odpowiednio przeskalowaną kinematyką
wirtualną służącą do wyznaczenia poszukiwanej wielkości statycznej. Dla układów statycznie wyzna-
czalnych są to zawsze funkcje odcinkowo-liniowe. Linie wpływu zależą tylko od wymiarów geometrycz-
nych i warunków brzegowych. Sens linii wpływu objaśnimy na przykładzie reakcji V4. Stosownie do
podanych uwag rzędne linii wpływu reakcji V4 są równe pionowym przemieszczeniom wirtualnym przy
założeniu, że " = 1 (rys. 15.4b). Otrzymane w ten sposób wartości funkcji (x) interpretujemy jako war-
tości reakcji V4 wywołane przez pionową siłę P = 1, usytuowaną w odległości x od początku układu
współrzędnych. Jeśli działa większa liczba sił skupionych Pi, momentów skupionych Mi oraz obciążeń
ciągłych q(x) i m(x) rozłożonych odpowiednio w przedziałach (a, b) i (c, d), to wartość siły V4 wynosi:
b d
dj
d
V4 = "i + M " + "(x)ds + " dx,
i j
"P "
+"q(x) +"m(x) dx
dx
j
i j
a c
gdzie j oznaczają rzędne wypadające w punktach przyłożenia sił skupionych Pj , a d dx - warto-
j j
ści tangensa kąta nachylenia stycznej do linii (x) w punktach przyłożenia momentów skupionych Mj.
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 3 15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 18
Rys. 15.14
Przytoczymy sposoby przeskalowania niektórych dalszych wykresów. Na rysunku 15.14d mnożni-
kiem momentu zginającego M8 w równaniu pracy wirtualnej jest kąt = 1. Z proporcji geometrycznej
wynika zatem, że rzędna linii wpływu w przegubie 7 wynosi 7 =-3 m. W przypadku momentu M2
wymagamy, by suma kątów I i II była równa jedności (I + II = 1). Suma ta jest bowiem mnożnikiem
momentu M2 w równaniu pracy wirtualnej. Mamy więc:
" "
+ = 1, skąd " = 2 = 15 m.
,
3 3
Dla siły poprzecznej trzeba tak dobrać Q3 i kąt , by wzajemne przemieszczenie pionowe obu części
belki w punkcie 3 było równe 1, czyli
1
"45 + "1,5 = 1, skąd = m-1.
,
6
Wobec tego rzędne z lewej i prawej strony punktu 3 wynoszą (rys. 15.14f):
1 1
l p
3 =- "45 =-075, 3 = "15 = 0,25.
, , ,
6 6
Znaki rzędnych wynikają z umowy znaku siły poprzecznej i definicji rzędnej linii wpływu. Obliczymy
teraz wartość Q3 na podstawie linii wpływu z rys. 15.14f:
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 3 15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 19
3
075 1 1
,
Q3 =- ,
ł ł
+"20" 45 " x dx =- 6 " (-12) + 32 "ł - 2 025ł =-17 kN.
ł łł
,
0
Warto dodać, że linie wpływu najczęściej wyznacza się jednak metodą statyczną. Dotyczy to przede
wszystkim łuków i ram, ponieważ badanie kinematyki wirtualnej układu jest nieco bardziej złożone. Sta-
tyczna metoda wyznaczania linii wpływu jest dokładnie omówiona w każdym podręczniku mechaniki
budowli.
Rys. 15.15
Na zakończenie obliczymy jeszcze reakcję poziomą HA i moment zginający ME w konstrukcji trój-
przegubowej rozważanej w przykładzie 5. Odpowiednie kinematyki obrazuje rys. 15.15a, b. Dla porząd-
ku umówimy się, że dodatnie kąty i dodatnie momenty zginające mają zwroty zgodne z ruchem wska-
zówek zegara. Z rysunku 15.15a wynika, że I =-II = . Wobec tego równanie (14.8a) przyjmuje
postać:
(-HA "8) "I + (10" 4 " 2) "II ) = 0,
skąd
80 - 40
HA = = 5kN.
8
Przy wyznaczaniu momentu ME zależności między kątami obrotu poszczególnych tarcz sztywnych są
następujące:
I =-II = , - 7 "II = 1"III, III = 7 .
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 3 15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 20
Równanie (14.8a) przyjmuje postać:
10"4 "2I + (-20"6) "II - ME "II + ME "II + ME "III = 0.
Po uwzględnieniu zależności między kątami otrzymujemy:
80 + 120
80" + 120" + ME " ( + 7 ) = 0, skąd ME = = 25 kN " m.
8
Widać, że wyznaczone wartości HA i ME pokrywają się z rezultatami przykładu 5.
15.3. OBLICZANIE PRZEMIESZCZEC
KONSTRUKCJI LINIOWO-SPRŻYSTYCH
15.3.1. Wiadomości ogólne
Dysponujemy wieloma metodami wyznaczania przemieszczeń uogólnionych w konstrukcjach linio-
wo-sprężystych. Są to metody:
- całkowania równania różniczkowego linii ugięcia,
- obciążenia krzywiznami (metoda Mohra)
oraz metody energetyczne wykorzystujące:
- twierdzenie Clapeyrona,
- twierdzenie o minimum energii dopełniającej (twierdzenie Castigliano (14.20)),
- równania pracy wirtualnej przy wirtualnym stanie sił (14.6).
Pierwsze dwie metody zilustrowano w rozdziale 9. Tutaj omówimy przede wszystkim zastosowanie
równania pracy wirtualnej (14.6), gdyż obowiązuje ono dla największej klasy zadań. Dodamy tu, że
twierdzenie Castigliano obejmuje w zasadzie tylko wpływy mechaniczne i prowadzi w końcu do takich
samych zależności jak równanie (14.6), natomiast twierdzenie Clapeyrona jest ograniczone do bardzo
rzadko występujących przypadków szczególnych.
Równanie (14.6) ma postać:
x
+"(q u + qyv + qw + mx + myy + mzz ) ds =
s
= " + Qyy + Qzz + M + M k + M k ) ds,
y z
y z
+"(N
s
przy czym w układach liniowo-sprężystych rzeczywiste odkształcenia uogólnione opisują wzory:
Qy 0
ł
N Qz 0
= + 0, y = + y , z = + z ,
ł
EA (GA / ky ) (GA / kz )
ł
(15.6)
żł
M
M Mz 0 ł
y
0
= +0, k = + k , k = + k
y
GJs EJy yz ł
EJz z
ł
lub krócej
Yi
ei = + ei0, i = 1, 2, ..., 6, (15.6a)
Di
gdzie Yi oraz Di oznaczają siły wewnętrzne oraz odpowiednie sztywności przekroju.
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 3 15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 21
Rys. 15.16
Komentarza wymagają dodatkowe człony oznaczone indeksem 0. Człony te wyrażają odkształcenia
uogólnione wywołane przez czynniki niemechaniczne (temperaturę, skurcz) lub wstępne deformacje
technologiczne (błędami wykonania). Uwzględnienie tych ostatnich służy do wyznaczenia przemieszczeń
realnej konstrukcji względem projektowanej (idealnej) konfiguracji osi prętów przy założeniu idealnego
wykonania konstrukcji.
Omówimy przykładowo wpływ temperatury. Przyjmijmy, że temperatura wszyst-kich włókien w
chwili t1 podczas montażu danego pręta T(t1) = Tm (por. rys. 15.16c). Przypuśćmy, że po pewnym cza-
sie, w chwili t2 > t1 , nastąpiła stabilizacja rozkładu temperatur. Temperatura górnych skrajnych włókien
na całej szerokości przekroju bg jest stała i wynosi Tg (t2,zg ). Podobnie temperatura dolnych skrajnych
włókien wynosi Td (t2, zd ) . Rozkład temperatur na wysokości przekroju jest na ogół nieznany. Dlatego
zazwyczaj zakłada się, że rozkład ten jest liniowy i nie zależy od współrzędnej y (rys. 15.16d). Liniowy
rozkład temperatur spełnia tożsamościowo równanie przewodnictwa cieplnego dla procesu ustalonego w
czasie. Przyrost temperatury "T(z) = T(t2,z) - T(t1) na wysokości przekroju (rys. 15.16e) można rozło-
żyć na równomierne ogrzanie całego przekroju o wartości Tc (rys. 15.16f) oraz liniowe nierównomierne
ogrzanie, określone różnicą temperatur w dolnych i górnych skrajnych włóknach "Tv (rys. 15.16g). Ma-
my więc:
z
" T(z) = "Tc + "Tv " , (15.7)
h
gdzie
Tc = Td "ś + Tg "(1-ś ) - Tm,ł
ł
(15.8)
żł
Tv = Td - Tg ,
ł
ł
przy czym h jest wysokością przekroju, a ś = zg / h i określa położenie środka ciężkości przekroju.
W materiale izotropowym zmiana temperatury nie wywołuje zmiany kątów odkształcenia postaciowe-
go, lecz jedynie zmianę objętości. Mamy więc:
z
0 0
(a) x = z = ąT " "Tc + ąTv ,
h
0
(b) ł = 0,
xz
gdzie ąT oznacza współczynnik rozszerzalności liniowej.
0
Wpływ odkształceń w kierunku prostopadłym do osi pręta z jest nieznaczny
i nie bierze się go pod uwagę. Natomiast z budowy wzorów (a) i (b) wnioskujemy, że:
0 0 0 0
x = 0 + k " z, ł = z = 0, (15.9)
x y xz
0
gdzie 0 i są opisane wzorami:
x y
ł
0 = ąT " "Tc,
x
ł
(15.10)
żł
1
0
= ąT " "Tv " .ł
y
h ł
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 3 15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 22
Stosując wzory (15.9) i (15.10), trzeba pamiętać o założeniach upraszczających, które przyjęto przy
określeniu pola temperatury. Przy dowolnym rozkładzie temperatur na wysokości przekroju pręta stoso-
wanie klasycznej teorii prętów jest już nieuzasadnione.
15.3.2. Przykłady zastosowania równania pracy wirtualnej
do wyznaczania przemieszczeń
Do ilustracji obliczania przemieszczeń konstrukcji wykorzystamy przykłady 1-6, zamieszczone w
p. 15.2.1.
Rozważymy na wstępie belkę swobodnie podpartą z przykładu 2, poddaną działaniu obciążenia rów-
nomiernego (por. rys. 15.5a i 15.17a, b, c). Przyjmiemy, że belka ma przekrój stały (A = const, J = const)
oraz jest jednorodna (E = const, G = const). Wyznaczymy przemieszczenie pionowe "1 punktu 1, leżące-
go w połowie rozpiętości.
Rys. 15.17
Lewa strona równania (14.6) wyraża pracę wirtualnych sił zewnętrznych na przemieszczeniach rze-
czywistych. Ponieważ poszukujemy przemieszczenia rzeczywistego "1, trzeba przyjąć takie obciążenie
wirtualne, które wykonuje pracę tylko na tym przemieszczeniu. Będzie to siła pionowa P zaczepiona w
punkcie 1 (rys. 15.17d). Po prawej stronie równania występują rzeczywiste odkształcenia uogólnione,
wyrażone wzorami (15.6), oraz wirtualne siły wewnętrzne, będące w równowadze z obciążeniem P. W
układach statycznie wyznaczalnych istnieje tylko jedno statycznie dopuszczalne pole wirtualnych sił we-
wnętrznych. Są to siła poprzeczna Q (x) i moment zginający M (x), wywołane przez działanie obciąże-
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 3 15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 23
nia P na rozpatrywaną belkę statycznie wyznaczalną. Wykresy Q (x) i M (x) podano na rys. 15.17e, f.
Równanie (14.6) przyjmuje postać:
l
ł Q M łł
ł ł
0
(c) P " "1 = "ł " k + 0ł + M " + k dx.
łQ ł GA ł ł EJ ł śł
+"
ł łł ł łł
ł ł
0
0 0
Ponieważ na belkę działa tylko obciążenie rzeczywiste q, więc czynniki i k są równe zeru. Po
uwzględnieniu antysymetrii wykresów Q (x) i Q(x) , symetrii wykresów M (x) i M(x) oraz fakty, że GA
= const i EJ = const, otrzymujemy:
l/2 l/2
ł łł
k 1
P " "1 = 2ł Q(x) "Q(x) " dx + M(x) " M(x) "dxśł =
+" +"
ł EJ śł
GA
ł 0 0 ł
l/2 l/2
k 1 1 2 1 1 1
(d) 2 " P "ł ql - qxł "dx + " Px "ł qlx - qx2ł " dx.
ł ł ł ł
+"+"
ł łł ł łł
GA 2 2 EJ 2 2 2
0 0
Z budowy wzoru (d) wynika, że obie strony tego równania można podzielić przez P. Po podzieleniu
otrzymujemy:
l/2 1
2k 1 ql 2 1 1
łqlx
(e) 1" "1 = "ł - qxł dx + x " - qx2łdx.
ł ł ł ł
+"+"
ł łł ł łł
GA 2 2 EJ 2 2
0 2
W zależności (e) celowo pozostawiono nadkreślenia, by zaznaczyć wielkości wirtualne. Widzimy zatem,
że dla wygody obliczeń warto przyjąć, iż siła wirtualna P = 1. Ten chwyt rachunkowy można stosować
w każdym przypadku, gdyż zależności między obciążeniem wirtualnym a wirtualnymi siłami wewnętrz-
nymi są zawsze liniowe, co wynika z liniowości równań równowagi. Po wykonaniu całkowania równania
(e) otrzymujemy:
l/2 l/2
2k 1 qlx qx2 2 1 ql x2 qx3
1 " "1 = " - + " - =
GA 2 2 2 EJ 2 2 2 6
0 0
kql2 5 ql4
= + = "1(Q) + "1( M).
8GA 384 EJ
Ten sam wynik otrzymujemy, stosując całkowanie sposobem Wiereszczagina (por. dodatek):
2
łql2 łł
2k ql l 1 1 2 l 1 2 l q l l 2 l
ł
1 " "1 = "ł " " " + ł " " " " + "ł ł " " " śł.
ł ł ł ł
ł ł
GA 2 2 2 2łł EJ 8 2 2 3 4 8 2łł 2 3 8śł
ł
ł ł
Pierwszy składnik wzoru na "1 określa wpływ odkształceń postaciowych (sił poprzecznych) "1(Q), a
drugi - wpływ zginania (momentów zginających) "1(M). Określimy udział obu składników w wartości
ugięcia "1:
2
ł
5 ql4 ł 48EJ ł 96k iłł
ł ł
"1 = " " + = "1( M) " ł1+ (1+ ) " " śł,
ł ł
ł1 ł
ł
384 EJ ł 5 lłł śł
5GAl2 łł ł
ł ł
przy czym oznacza współczynnik Poissona, a i - promień bezwładności.
Jeżeli smukłość pręta s, określona stosunkiem l/i, jest duża, to drugi składnik nawiasu kwadratowego
w stosunku do jedności jest mały. Dlatego dla prętów cienkich (smukłych) wpływ odkształceń postacio-
wych pomijamy. Przy dominującym wpływie momentów zginających przemieszczenia można obliczać z
zależności przybliżonej:
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 3 15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 24
1 " " H" M "k ds. (15.11)
+"
s
Na rysunku 15.17g przedstawiono obciążenie wirtualne, które stosuje się przy obliczaniu kąta obrotu
przekroju w punkcie B. Obciążenie to jest momentem skupionym, wykonującym pracę na poszukiwanym
kącie obrotu "B. Wykres momentów wirtualnych M (x) podano na rys. 15.17g. Dla belki z rys. 15.17a
według zależności przybliżonej (15.11) otrzymujemy:
l
M(x) ql3
1 " "B = M (x) " dx = - .
+"
EJ 24EJ
0
Kąt "B jest ujemny, co oznacza, że ma zwrot niezgodny ze zwrotem wirtualnego momentu skupionego
działającego na podporze B (por. rys. 15.17a, g).
W nawiązaniu do przykładu 6 wyznaczymy kąt skręcania przekroju usytuowanego w punkcie B (por.
rys. 15.10). Należy zatem w tym punkcie przyłożyć wirtualny moment skręcający MB = 1 (rys. 15.18a)
i wyznaczyć wewnętrzne siły wirtualne. Aatwo stwierdzić, że tylko moment zginający M (ą) i moment
y
skręcający M (ą) są różne od zera. Z sumy rzutów momentów na lokalne osie x i y otrzymujemy (rys.
15.18b):
M (ą) = 1 " cosą, M (ą) = 1 " siną .
y
Wobec powyższego, stosownie do równania (14.6), można napisać:
Ą/2
ł łł
M (ą)
M(ą)
y
1 " "B = M k + M)ds = M (ą) + M (ą)
y
ł śłrdą =
y y
+"( +"
EJy ł
GJs śł
ł
ł
s 0
Ą/2
łcosą(- Pr cosą) siną " Pr(1- siną) łł
= r +
ł śłdą.
+"
EJy GJs śł
ł
ł ł
0
Jeżeli pręt jest jednorodny i pryzmatyczny, to EJy = const i EJs = const. Wówczas
Ą/2 Ą/2
ł łł
ł łł
11 Ą Ą 1
ł
"B = Pr2ł- " cos2ądą + " -sin2ą) dąśł = Pr2ł- +ł1- "
ł ł śł.
+" +"(siną
ł
ł EJy GJs śł 4EJy 4łł GJs śł
ł
ł ł
ł 0 0 ł
Obliczona wartość kąta skręcania jest ścisła tylko w tych przypadkach, gdy deformacja następuje bez
deplanacji przekroju (skręcanie swobodne). Ma to miejsce wówczas, gdy przekrój pręta jest kołowy lub
cylindryczny (rurowy). Jeżeli dla przykładu pręt ma przekrój cienkościenny otwarty, to trzeba najpierw
określić moment odpowiadający skręcaniu swobodnemu Mv(ą), a prawą stronę równania (14.6) zapisać
w postaci (14.9).
Wpływ czynników niemechanicznych zilustrujemy na przykładzie konstrukcji trójprzegubowej w
przykładzie 5 (rys. 15.8a).
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 3 15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 25
Rys. 15.18
Wyznaczymy poziome przemieszczenie punktu C wywołane kolejno przez:
1) osiadanie podpór,
2) zmianę temperatury,
3) błędy wykonania.
Wszystkie te czynniki uwzględniono na rys. 15.19a.
W celu wyznaczenia poszukiwanego przemieszczenia obciążamy konstrukcję jednostkową poziomą
siłą wirtualną zaczepioną w punkcie C. Obciążenie to łącznie z łatwymi do wyznaczenia reakcjami pod-
pór i wykresem momentów zginających przedstawiono na rys. 15.19b. Wykres sił normalnych N poda-
no na rys. 15.19c. Jak się okaże, wirtualne siły poprzeczne Q nie będą występowały w dalszych oblicze-
niach.
Rys. 15.19
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 3 15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 26
1. Osiadanie podpór
W układach statycznie wyznaczalnych osiadanie podpór nie wywołuje deformacji poszczególnych
prętów konstrukcji, czyli wszystkie uogólnione odkształcenia rzeczywiste ei (i = 1, 2, ..., 6) są równe
zeru. Zatem prawa strona wzoru (14.6) znika, a po lewej pozostają składniki prac zewnętrznych sił wirtu-
alnych na rzeczywistych przemieszczeniach "C, uA, vA, uB i VB:
P " "C + HA "uA +VA "vA + HB "uB +VB "vB = 0.
Uwzględniając wartości sił wirtualnych i znanych osiadań podpór otrzymujemy:
ł 1ł ł 1ł 1 1
1 " " + "(004) + - "(001) + "001+ "002 = 0, skąd "C = 001 m.
, , , , ,
C
ł- ł ł ł
ł 2łł ł 2łł 2 2
2. Zmiana temperatury
Przyjmijmy, że środek ciężkości wszystkich prętów wypada w połowie wysokości, czyli = 0,5.
Wysokości prętów są następujące: hAC = 0,3 m; hCE = 0,25 m;
-5 -1
hBE = 0,20 m. Współczynnik rozszerzalności termicznej ąT = 1,210 [C ]. Stosownie do umowy zna-
ku krzywizn otrzymujemy (Td = Tw = 18C, Tg = Tz = 30C, Tm = 10C):
Tc = Td " + Tg (1- ) - Tm = 18"0,5 + 30"0,5 -10 = 14oC,
Tv = Td - Tg = 18 - 30 = -12oC,
0 = ąT "Tc = 1.,2 "10-5 "14 = 1,68"10-4,
(-12)
0
k = ąT " Tv / hAC = 12 "10-5 " =-48"10-4 m-1,
, ,
AC
03
,
(-12)
0
k = 12 "10-5 " =-576"10-4 m-1,
, ,
CE
025
,
(-12)
0
k = 12 "10-5 " =-72 "10-4 m-1.
, ,
BE
020
,
Równanie (14.6) przyjmuje postać (por. rys. 15.19):
Ą/2
0
1 " "C = + Mk )ds = N (ą) "0 + M (ą) "k Edą +
AC
[]
+"(N +"
s 0
5 1
0 0
+ NCE "lCE "0 + k M (x2)dx2 + NBE "lBE " 0 + k M (x3)dx3 =
CE BE
+" +"
0 0
Ą/2
1
= " (siną + cosą) "1,68"10-4 + 4(siną + cosą -1) "(-4,8"10-4) 4dą +
[]
+"
2
0
ł- 1 1
ł
+ (-0,7 "5) "(1,68"10-4) + "5" "(-576"10-4) + (-05"1) "(168"10-4) +
, , ,
ł ł
ł
2łł 2
ł- 1 1
ł
+ "1" "(-7,2 "10-4) = -8,66"10-4 +1,23"10-4 - 2,64 "10-4 = 9,98"10-4 m.
ł ł
ł łł
2 2
3. Błędy wykonania
Promień łuku AC jest większy od wartości nominalnej R = 4 m o "R = 0,10 m. W związku z tym
zmiana krzywizny wynosi
1 1 1 1
0
k = - = - = 609 "10-3m-1.
,
AC
R + "R R 410 4
,
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 3 15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 27
Ponieważ kąt rozwarcia łuku nadal wynosi Ą/2, to względna zmiana długości:
(R + "R - R) "R 010
,
,
0 = = = = 0025.
AC
R R 4
Normalnie prosta oś pręta CE jest załamana w połowie długości (punkt D). Kąt załamania
0 =-3o =-0,052 rad . Krzywiznę tego pręta wyraża funkcja:
0
k = 0 " (x2 - a) = -0052 " (x2 - 25),
, ,
CE
gdzie (x2 - a) oznacza funkcję Diraca*), a znak minus wynika z umowy znaku krzywizny (rozciągane
są górne włókna). Równanie (14.6) przybiera postać:
Ą/2 5
0
1 " "c = N (ą) "0 + M (ą) " k Rdą + M (x2) "0 " (x2 - a)dx2 =
AC AC
[]
+" +"
0 0
Ą/2
1
= " (siną + cosą) "0025 + 4(siną + cosą -1) "609 "10-3 4dą + M (a) "0.
, ,
[]
+"
2
0
Wartość drugiego składnika stojącego poza całką wynika z własności filtracji funkcji . Po wykonaniu
całkowania otrzymujemy:
1 ł Ą łł 1
ł ł
"C = "ł2"0,025+4ł2- ł ł
"609"10-3śł"4+ł- ł
, "(-0,052) = 0,1209+0,013= 0,1339 m.
ł
ł łł ł łł
2 2 4
ł ł
Rozważmy teraz belkę wspornikową z rys. 15.20a. Mamy obliczyć ugięcia pionowe punktów 2, 3, 4 i
5. W tym celu należałoby ustawić kolejno w tych punktach siły wirtualne P = 1 i na podstawie równania
(14.6) obliczać wartości "2 - "5 . Istnieje wszelako inna, na ogół mniej pracochłonna możli-
wość - można obliczyć kąty obrotu cięciw linii ugięcia (rys. 15.20a). Znajomość tych kątów pozwala w
sposób czysto geometryczny wyznaczyć linię łamaną odpowiadającą położeniu cięciw po odkształceniu.
Uzyskujemy w ten sposób przybliżoną linię ugięcia, przy czym w punktach załamania wartości ugięć są
ścisłe. Wyznaczanie kształtu łamanej linii ugięcia można bardzo usprawnić, jeżeli przypomnimy sobie, że
różnica tangensów kątów załamania wykresu momentów zginających jest równa sile skupionej działają-
cej na belkę w tym punkcie (por. przykład 3). Dla małych kątów można przyjąć, że
tgł - tgł = ł - ł = i. Przybliżony kształt linii ugięcia odpowiada zatem kształtowi wykresu
i-1 i i-1 i
momentów zginających w belce obciążonej siłami skupionymi (tzw. ciężarkami sprężystymi) równymi
kątom i , które można traktować jako skoncentrowane krzywizny.
*)
Informacje o funkcji delta zawarto w p.21.3
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 3 15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 28
Rys. 15.20
Okazuje się zatem, że doszliśmy do pewnej odmiany metody obciążenia krzywiznami (metoda Mohra).
W celu spełnienia warunków brzegowych trzeba przyjąć odpowiedni zastępczy schemat statyczny belki,
zgodnie z zasadami podanymi w rozdziale 10. Omówiony sposób obliczania ugięć nosi nazwę metody
ciężarów sprężystych. Ciężarki sprężyste to różnice kątów obrotu cięciw i. Pozostaje jeszcze wyznacze-
nie wartości ciężarów. Wykorzystuje się tu równanie pracy wirtualnej (14.6). W celu obliczenia kąta ob-
rotu cięciwy i, i-1 należy obliczyć ugięcia "i oraz "i-1, a następnie różnicę "i -"i-1 podzielić przez od-
ległość sąsiednich punktów a i-1:
"i - "i-1
ł = .
i-1
ai-1
Operacje dzielenia przez ai-1 oraz odejmowania można przeprowadzić wcześniej przez wprowadzenie
pary sił wirtualnych o wartościach 1 ai-1 Podobnie obliczamy kąt obrotu sąsiedniej cięciwy:
"i +1 - "i
ł = ,
i
ai
co odpowiada przyłożeniu pary sił wirtualnych o wartościach 1 ai . Kąt i, odpowiadający dodatniej
krzywiznie (wydłużenie dolnych włókien), wynosi ł - ł . Aby wyznaczyć ten kąt, trzeba przyłożyć
i-1 i
dwie przeciwnie skierowane pary sił o wartościach 1 ai-1 oraz 1 ai . W rezultacie otrzymujemy trzy
siły wirtualne:
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 3 15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 29
1 1 1 1
- , + , - .
ai-1 ai-1 ai ai
Działają one odpowiednio w punktach i - 1, i, i + 1. Obciążenie to wraz z wykresem momentu wirtualne-
go Mi ilustruje rysunek 15.20b.
Przy obliczaniu ciężarów uwzględnimy tylko wpływ momentów zginających pochodzących od obcią-
żenia rzeczywistego (rys. 15.20c):
1 1 2 1
EJ 1 = M1 " M "dx = "a " "ł- "12 - "09ł Pa2 =-055Pa2,
, , ,
ł ł
+"
ł łł
a 2 3 3
1 1 1 2 2 1
EJ 2 = M2 " M "dx = "a " "ł- "12 - "09 - "27 + "33ł " Pa2 = -085 Pa2,
, , , , ,
ł ł
+"
ł łł
a 2 3 3 3 3
1 1 1 2 1
EJ 3 = M3 " M "dx = "a " "ł- "27 - "3" 3+ "27ł Pa2 = 2Pa2,
, ,
ł ł
+"
ł łł
a 2 3 3 3
1 1 1 2 1
EJ 4 = M4 " M "dx = "a " "ł- "3+ "27"2 - "24ł Pa2 = 1,9 Pa2.
,,
ł ł
+"
ł łł
a 2 3 3 3
Ugięcia punktów 2, 3, 4 i 5 w belce zastępczej obliczone jako momenty zginające spowodowane ciężar-
kami sprężystymi, ilustruje rys. 15.20d.
Rys. 15.21.
Na zakończenie obliczymy zbliżenie węzłów 3 i 5 w kratownicy z przykładu 1. Zmiany długości prę-
tów wynikają z działania obciążeń zewnętrznych przyłożonych w węzłach 1 i 5 oraz błędów wykonania:
pręt 2 jest o 2 cm za krótki, pręt 3 o 3 cm za długi, a pręt 10 o 8 cm za krótki (por. rys. 15.21a). Ponieważ
interesuje nas zbliżenie węzłów 3 i 5, przyjmujemy dwie jednostkowe siły wirtualne zaczepione w tych
węzłach. Linie działania tych sił pokrywają się z linią 3-5, a ich zwroty są przeciwne (rys. 15.21b). Jed-
noczesne działanie tak obranych sił wirtualnych pozwala na bezpośrednie wyznaczenie poszukiwanego
przemieszczenia z równania pracy wirtualnej (14.6). Siły wewnętrzne Zi pochodzące od obciążenia wir-
tualnego zestawiono w tablicy I (kolumna 5). Równanie (14.6) przyjmuje postać:
li li
12
1 " " = Ni " i " dx = (15.12)
i i i
" "Z " dx = "Z " "li ,
+" +"
i i=0
0 0
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 3 15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 30
przy czym "li oznacza wydłużenie pręta i:
Zli
i
"li = "li0 + , (15.13)
Ei Ai
gdzie "li0 jest tutaj wydłużeniem wynikającym z czynników niemechanicznych (np. błędy wykonania,
wpływ temperatury), Ai jest przekrojem pręta i, a Ei - modułem sprężystości tego pręta. Po podstawieniu
zależności (15.13) do wzoru (15.12) otrzymujemy:
Zli 0 P
i
1 " " = "li0 + " = " + " , (15.14)
i i
"Z "Z Ei Ai
i i
0 P
gdzie " oznacza przemieszczenie od wpływów niemechanicznych, a " - przemieszczenie wywołane
przez obciążenia zewnętrzne. Wzór (15.14) jest charakterystyczną postacią wzoru (14.6), przystosowaną
do obliczania przemieszczeń układów kratowych.
Sumowanie według wzoru (15.14) zawiera tablica I. Wzajemne zbliżenie węzłów 3 i 5 :
0 P
" = 0,0353 m; " = -0,001745 m.
Zatem
" = 0,035300 - 0,001745 = 0,033555 m H" 0,0336 m.
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
linie wplywulinie wplywuLinie wpływu w ramach statycznie wyznaczalnychLinie wpływu belka z teleskopemWykład 08 linie wpływu w układach statycznie niewyznaczalnychw5 Linie wpływuLINIE WPŁYWOWE W UKŁADACH STATYCZNIE WYZNACZALNYCH m mk lw 3 Kratownica linie wplywuzdom mechanika budowli linie wplywu preta kratownicy metoda ciezarow sprezystych11 mechanika budowli wykład 11 linie wplywu?lki ciaglejwięcej podobnych podstron