Temat 1
Zmiany grawitacji wywołane przez jednorodne bryły wychylenie linii pionu
y
x z
xdxdydz
Dgx = Gs
Z 3/ 2
(x2 + y2 + z2)
0 0 0
y
x z
ydxdydz
Dg = Gs
y
3/ 2
(x2 + y2 + z2)
0 0 0
z
y
x z
zdxdydz
Dgz = Gs
3/ 2
(x2 + y2 + z2)
y 0 0 0
Y
s
x
Rozwiązanie całek:
X
ł
z + y2 + z2 y + y2 + z2
ę ś
ę z + x2 + y2 + z2 y + x2 + y2 + z2 yz ś
Dgx = Gs ln + z ln + xarctg
ęy ś
y z
x2 + y2 + z2 ś
ę
ę x2 + y2 x2 + y2 ś
ł
x + x2 + z2 z + x2 + z2
ę ś
ę x + x2 + y2 + z2 z + x2 + y2 + z2 xz ś
Dgy = Gs ln + x ln + yarctg
ęy ś
z x
x2 + y2 + z2 ś
ę
ę x2 + y2 x2 + y2 ś
ł
y + x2 + z2 x + x2 + y2
ę ś
ę y + x2 + y2 + z2 x + x2 + y2 + z2 xy ś
Z
Dgz = Gs ln + y ln + zarctg
ęx ś
x y
x2 + y2 + z2 ś
ę
ę x2 + y2 y2 + z2 ś
O y1 y2 Y
x1
x2
z1
s
z2
Zmiana granic dla prostopadłościanu nieprzylegającego do osi układu XYZ z uwzględnieniem
dodatkowo wprowadzonych oznaczeń (r,s,F1, t,u,F2, p,q,F3):
Dla kierunku osi X:
y1 y2 y1 y2 z1 z2 z1 z2
r1 = ; r2 = ; r1ó = ; r2ó = s1 = ; s2 = ; s1ó = ; s2ó =
x2 x2 x1 x1 x2 x2 x1 x1
ł
s + r2 + s2 r + r2 + s2
ę ś
rs
s + r2 + s2 +1 r + r2 + s2 +1
ś
F1(r, s) = Gęr ln + s ln + arctg
ę r s
r2 + s2 +1ś
ę ś
r2 +1 s2 +1
ó ó ó ó ó ó ó ó
Dgx = s{x2[F1(r2, s2) + aF1(r1, s2) + bF1(r2, s1) + cF1(r1, s1)]- x1[F1(r2, s2) + aF1(r1, s2) + bF1(r2, s1) + cF1(r1, s1)
Podobnie dla kierunku osi Y:
x1 x2 x1 x2 z1 z2 z1 z2
t1 = ; t2 = ; t1ó = ; t2ó = u1 = ; u2 = ; u1ó = ; u2ó =
y2 y2 y1 y1 y2 y2 y1 y1
ł
t + t2 + u2 u + t2 + u2
ę ś
tu
t + t2 + u2 +1 u + t2 + u2 +1
ś
F2(t,u) = Gęu ln + t ln + arctg
u t
ę
t2 + u2 +1ś
ę ś
u2 +1 t2 +1
ó ó ó ó ó ó ó ó
Dgy = s{y2[F2(t2,u2) + dF2(t1,u2) + eF2(t2,u1) + fF2(t1,u1)]- y1[F2(t2,u2) + dF2(t1,u2) + eF2(t2,u1) + fF2(t1,u1)
oraz osi Z:
x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2
p1 = ; p2 = ; p1ó = ; p2ó = q1 = ; q2 = ; q1ó = ; q2ó =
z2 z2 z1 z1 z2 z2 z1 z1
ł
q + p2 + q2 p + p2 + q2
ę ś
q + p2 + q2 +1 p + p2 + q2 +1 pq
ś
F3( p,q) = Gę pln + qln + arctg
ę
p q
p2 + q2 +1ś
ę ś
p2 +1 q2 +1
ę ś
ó ó ó ó ó ó ó ó
Dgz = s{z2[F3( p2, q2) + gF3( p1, q2) + hF3( p2, q1) + iF3( p1, q1)]- z1[F3( p2, q2) + gF3( p1, q2) + hF3( p2, q1) + iF3( p1, q1)
gdzie: G = 6.67710-11kg-1m3s-2
s = gęstość [kg m-3]
a,b,c,d,e,f ,g,h,i współczynniki (równe 1 lub -1), zależne od położenia osi względem bryły
Różne przypadki położenia osi układu XYZ względem bryły:
1)
2)
a = -1; b = -1; c = 1 a = 1; b = -1; c = -1
d = -1; e = -1; f = 1 d = -1; e = -1; f = 1
g = -1; h = -1; i = 1 g = -1; h = 1; i = -1
x2
x2
x1
x1
O
y1 y2
y1 y2 O
3)
a = -1; b = -1; c = 1 a = 1; b = -1; c = -1
d = 1; e = -1; f = -1
4) d = 1; e = -1; f = -1
g = 1; h = -1; i = -1 g = 1; h = 1; i = 1
x2
x2
O
y1 y2
O
y1 y2
x 1
x1
Obliczenie przyrostów składowych odchylenia linii pionu:
Dgx óó
óó
Dx = - r - dla składowej południkowej (kierunek osi X),
g
Dgy
óó óó
Dh = - r - dla składowej poprzecznej (kierunek osi Y),
g
Przykład: Dla bryły o gęstości sb = 2.2 g/cm3 i rozmiarze 2km2km0.1km
Obliczyć wartości przyrostu odchylenia linii pionu w kierunku osi X, w zależności
od odległości od boku bryły o kształcie prostopadłościanu (z podstawą kwadratu (a)
i wysokością (h)) i o gęstości s
(przypadek nr 2 położenia osi: przyjąć z1>0, np. z1= 0.01 m )
a
Z
Dgx óó
óó
Dx = - r (przyjąć g = g52 = 9.812436 m/s2)
g
h
X
odległość od bryły
300
50 100 150 200
450 m
Y
a/2
X
odległość od bryły
a
300
50 100 150 200
450 m
a/2
Wykres wartości Dx w zależności od odległości (d) od ściany bryły
(prostopadłościanu o rozmiarach aah)
Dx []
wykres wychylenia l.p. od strony północnej
dla bryły (2x2x0.1 km, s=2.2g/cm3)
d [m]
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
EL zmiany skorne wywolane przez promienie sloneczneWYKŁAD 10 promieniowanie jonizujące i niejonizujące zmiany wywołane w układach ożywionychMat 6 Grawitacja dolnyzmiany w sprawozdaniach finzmiany plastyczneEfekt substytucyjny i dochodowy zmiany?nywentylacja grawitacyjna w budynkach mieszkalnychprasa zmiany w Wytycznych Resuscytacji 2010 w stosunku do Wytycznych 2005Astma wywołana przez związki chemiczne o małej masie cząsteczkowej część Izmiany?finicyjneGrawitacja i co dalejwięcej podobnych podstron