Przykład 10.5. Auk swobodnie podparty obciążony prostopadle do swojej
płaszczyzny.
Rysunek 10.5.1. przedstawia belkę łukową, ciągłą, podpartą i obciążoną przestrzennie.
Kierunek obciążenia jest prostopadły do płaszczyzny łuku. Obciążenie jest równomiernie
rozłożone na połowie łuku. Ma stałą gęstość q przypadającą na jednostkę długości łuku.
Narysować wykresy momentów gnących, sił normalnych i sił tnących w każdym punkcie osi
łuku.
z
y
C
A
B
x
Rysunek 10.5.1. Rysunek aksonometryczny: belka łukowa, ciągła, podparta i obciążona
przestrzennie. Obciążenie przedstawione jako ścianka wybudowana na części łuku,
schematycznie uniesiona nad jego poziom dla lepszej widoczności. Podpory wyobrażone są
jako pręty dwuprzegubowe, nieskończenie sztywne, przenoszące jedynie siłę osiową, w tym
wypadku - składową reakcji. Trzy pręty połączone w punkcie A są więc odpowiednikiem
podpory nieprzesuwnej, dwa pręty w punkcie B definiują podporę przesuwną w kierunku x,
zaś pręt w punkcie C określa podparcie przesuwne w płaszczyznie xy zaś nieprzesuwne w
kierunku z.
z
b
q y
HAX
A
C
n
P
HAY
VC
VA
ą
B
x
HBY
VB
Rysunek 10.5.2. Auk uwolniony myślowo od więzów. Układy współrzędnych, przyjęte
zwroty reakcji oraz oznaczenia punktów używane w obliczeniach.
Rozwiązanie.
Analiza obciążenia
Obciążenie przedstawione na rysunku to obciążenie równomierne na jednostkę długości
łuku . Wypadkowa elementarna qdl jest wektorem równoległym do osi z. Jak w poprzednich
zadaniach, wypadkowa elementarna jest przyłożona do łuku w punkcie P określonym kątem
ą w cylindrycznym układzie współrzędnych ą,r,z, jednak wypadkowa obciążenia
przypadającego na pewien odcinek łukowy przyłożona jest w środku ciężkości tego
odcinka. Obliczmy wypadkową obciążenia na ćwiartce CB łuku (jej znajomość jest przydatna
do kontroli wyników lub do obliczania reakcji, w dalszym ciągu rozwiązania nie będziemy
jednak wykorzystywali bezpośrednio wyników zapisanych równaniami (1-3), pozostawiając
czytelnikowi użycie ich do skontrolowania wartości sił wewnętrznych w punktach
charakterystycznych)
Ą / 2
Ą
(1)
dQ = q dl = qRdą Qz = Q a" Q = qRdą = qR Qx = Qy = 0
+"
2
0
Współrzędne punktu przyłożenia wypadkowej xQ i yQ obliczymy posługując się wzorem
wyprowadzonym na wykładzie z Mechaniki dotyczącym układu sił równoległych:
Ą / 2 Ą / 2
+"qdl R cosą +"q R2 cosądą
(2)
2R 2R
0 0
xQ = = = yQ =
Q ĄqR 2 Ą Ą
2
Obliczenie reakcji
Kierunki i zwroty wektorów sił założone są wstępnie jak na rysunku 10.5.2, w równaniach
poniżej występują tylko ich długości. Reakcje obliczymy pisząc takie równania równowagi,
że w każdym z nich wystąpi tylko jedna niewiadoma reakcja. Pozwoli to na obliczenie tej
reakcji z zapisanego równania.
Aby obliczyć VC zapisano sumę momentów względem osi x:
Ą / 2 Ą / 2
(3)
-VC R +
+"qRdą Rsin ą = 0 -VC R + qR2 +"sin ądą = 0 VC=qR
0 0
Aby obliczyć VB zapisano sumę momentów względem osi równoległej do y i poprowadzonej
przez punkt A:
Ą / 2 Ą / 2
(4)
-VB 2R -VC R + (1+ cosą)dą = 0
+"qRdą(R + R cosą) = 0 -VB 2R -VC R + qR2 +"
0 0
Ą
- 2VB -VC + qR(1+ Ą / 2) = 0 VB = qR = 0.7854qR (5)
4
Suma rzutów na oś pionową pozwala obliczyć VA (wykorzystano tu (1),(3) i (5)):
Ą Ą
(6)
VA + VB + VC - qR = 0 VA = qRł -1ł = -0.2146qR
ł ł
2 4
ł łł
Należy zauważyć, że reakcja w punkcie A jest skierowana przeciwnie niż założono (wskazuje
na to jej ujemna wartość). Mimo to, w dalszych wzorach będzie ona zawsze występowała z
takim znakiem jaki nakazuje założenie o jej kierunku z Rys. 10.5.2.
Pozostałe reakcje są oczywiście zerowe, co łatwo samodzielnie wykazać.
Zapisanie równań sił wewnętrznych
Wprowadzmy oś normalną n, styczną i binormalną b (normalna do płaszczyzny łuku) w
dowolnym przekroju Ą wyznaczonym punktem P na osi łuku. Osie te zaznaczono na
Rysunku 10.5.2. Oś n tworzy z osią x kąt ą, który został wybrany jako zmienna niezależna.
Wektor siły przekrojowej rozłożymy na trzy składowe na osiach lokalnego układu
współrzędnych n,,b. Jej składowa na osi to siła normalna N, na osi n to tnąca Tn, na osi b
tnąca Tb (poprzeczna).
Siłę normalną i siły tnące będziemy obliczali jako rzuty na oś styczną (tnące - odpowiednio
na oś normalną n i b) wypadkowej wszystkich sił po prawej stronie przekroju Ą,
zredukowanej do punktu P (P jest biegunem redukcji).
Moment przekrojowy M rozłożymy na trzy składowe: Moment skręcający Ms rzut M na oś
, moment gnący Mb rzut M na oś b oraz moment gnący poprzeczny Mn rzut M na oś n.
Zauważmy, że we wszystkich zadaniach płaskich 10.1. do 10.4. występował jedynie moment
Mb, mimo, że oś b nie została tam wyraznie zdefiniowana.
Moment skręcający wyznaczymy jako moment wszystkich sił po prawej stronie przekroju P,
otrzymany przy ich redukcji do punktu P (moment jest obliczony względem osi
przechodzącej przez P).
Momenty gnące wyznaczymy jako momenty wszystkich sił po prawej stronie przekroju P,
otrzymane przy ich redukcji do punktu P (momenty te są obliczane następujące: Mb wokół
osi b poprowadzonej przez P, Mn wokół osi n poprowadzonej w punkcie P).
3
Zapis równań dla sił normalnych i tnących
Ponieważ wszystkie siły na prawo od P (na lewo także...) są prostopadłe do n oraz do więc
Siły normalne i tnące Tn są równe zeru na całym łuku. Pozostaje do określenia zmienność
tnącej poprzecznej Tb w funkcji kąta ą.
Równanie (7) jest zapisem rzutu reakcji VB i sumy rzutów (całki) wszystkich elementarnych
wypadkowych dQ=qRd pomiędzy zerem (punkt B) a wartością bieżącą zmiennej
niezależnej ą - na oś binormalną b (siły tnącej poprzecznej Tb). Jest ono ważne tylko dla
ą mniejszego niż Ą/2. Dla siły tnącej poprzecznej przyjęto znak + gdy jej rzut jest
skierowany z lewej strony przekroju od dołu do góry lub z prawej od góry do dołu. Znak
w sytuacji odwrotnej.
ą
(7)
Ą
ł
TBC (ą) = -VB +
ł
+"qRd TBC (ą) = qRłą - ł dla ą< Ą/2
4
ł łł
0
Dla ą większego niż Ą/2 pojawia się dodatkowo reakcja w punkcie C, który teraz jest na
prawo od przekroju P:
Ą / 2
Ą
(8)
TCA(ą) = -VB -VC +
ł -1ł
+"qRd TCA(ą) = qRł ł dla ą>Ą/2
4
ł łł
0
Podsumowując, zapiszemy tnące poprzeczne w dwu przedziałach:
TBC (ą) dla 0 d" ą < Ą / 2
ńł
(9)
T(ą) =
łT dla Ą / 2 d" ą < Ą
(ą)
ół CA
Wykresy tnącej poprzecznej Tb jako funkcji kąta ą odmierzanego na osi poziomej
przedstawia rysunek 10.5.5:
Rysunek 10.5.3. Wykres tnącej poprzecznej Tb jako funkcji kąta ą1 odkładanego na osi
poziomej. Przyjęto q=1, R=1. Uwaga! Kąt ą1 jest odmierzany od podpory A do podpory B
(wystarczy zastąpić we wszystkich wzorach wynikowych kąt ą kątem -ą+Ą). Dzięki temu
wartości na wykresie dotyczą punktu na łuku, którego rzut na oś poziomą wypada w punkcie
ą1. Podpora A wypada w zerze, B - dla ą1=Ą.
4
Zapis równania dla momentu skręcającego
Wszystkie oznaczenia potrzebne do obliczenia momentu elementarnej wypadkowej pionowej
względem lokalnych osi stycznej i normalnej podane są na Rys.10.5.4. Zaznaczono też na
nim odpowiednie kąty i odległości pojawiające się we wzorach poniżej.
n
P
C
Ms
ą
d
Mn
ą-
ł
qRd
A
B
Rysunek 10.5.4. Rzut łuku. Układy współrzędnych, przyjęte zwroty momentów oraz
oznaczenia wielkości używane w obliczeniach.
Moment wszystkich sił na prawo od P obliczony wokół osi poprowadzonej przez punkt P
zapisuje się następująco (znaki dodatnie gdy wektor momentu skierowany jest od przekroju):
ą
(10)
MsBC (ą) = -VB(R - R cos ą)+ - R cos(ą - ))qRd
+"(R
0
po prostych przekształceniach otrzymuje się:
1 (11)
MsBC (ą) = qR2(Ącosą - Ą + 4ą - 4sin ą)
4
Kiedy punkt P znajdzie się na lewo od punktu C, moment wszystkich sił po prawej stronie
punktu P będzie zawierał dodatkowo reakcje w punkcie C. Aby uniknąć tej dodatkowej siły w
równaniu określmy kąt ł liczony od punktu A zgodnie z ruchem wskazówek zegara i
obliczmy moment wszystkich sił na lewo od P obliczony względem osi poprowadzonej
przez punkt P w funkcji kąta ł. Tak jest łatwiej gdyż po lewej stronie uwzględniamy tylko
reakcję VA:
(12)
Ą
MsAC (ą) = VA(R - R cos ł) = qRł -1ł(R - R cos ł)
ł ł
4
ł łł
Zestawienie wzorów dla dwu odcinków łuku podano poniżej:
(13)
MsBC (ą) dla 0 d" ą < Ą / 2
ńł
Ms(ą) =
łMs ą + Ą) dla Ą / 2 d" ą < Ą
(-
ół AC
5
Wykresy momentu skręcającego jako funkcja kąta ą odmierzanego na osi poziomej
przedstawia rysunek 10.5.5:
Rysunek 10.5.5. Wykres momentu skręcającego jako funkcja kąta ą1 odkladanego na osi
poziomej. Przyjęto q=1, R=1. Uwaga! Kąt ą1 jest odmierzany od podpory A do podpory B
(wystarczy zastąpić we wszystkich wzorach wynikowych kąt ą kątem -ą+Ą). Dzięki temu
wartości na wykresie dotyczą punktu na łuku, którego rzut na oś poziomą wypada w punkcie
ą1. Podpora A wypada w zerze, B - dla ą1=Ą.
Zapis równania dla momentu gnącego
Moment wszystkich sił na prawo od P obliczony względem osi n poprowadzonej przez P
zapisuje się następująco (znaki dodatnie gdy rozciągane są dolne włókna łuku):
ą
(14)
MnBC (ą) = VB Rsin ą - R sin(ą - )qRd
+"
0
po prostych przekształceniach otrzymuje się:
(15)
Ą
MnBC (ą) = qR2 ł sin ą -1+ cosął
ł ł
4
ł łł
Moment wszystkich sił na lewo od punktu C zawiera jedynie reakcję VA. Do zapisu momentu
sił z lewej strony punktu P użyjemy kąta ł zdefiniowanego dla równania (12):
(16)
Ą
MnAC (ł)= VAR sin ł = qRł -1łR sin ł
ł ł
4
ł łł
Zestawienie wzorów dla dwu odcinków łuku podano poniżej:
(17)
MnBC (ą) dla 0 d" ą < Ą / 2
ńł
Mn(ą) =
łMn ą + Ą) dla Ą / 2 d" ą < Ą
(-
ół AC
Wykresy momentu skręcającego jako funkcja kąta ą odmierzanego na osi poziomej
przedstawia rysunek 10.5.5:
6
Rysunek 10.5.6. Wykres momentu gnącego jako funkcji kąta ą1 odmierzanego na osi
poziomej. Przyjęto q=1, R=1. Uwaga! Kąt ą1 jest odmierzany od podpory A do podpory B
(wystarczy zastąpić we wszystkich wzorach wynikowych kąt ą kątem -ą+Ą). Dzięki temu
wartości na wykresie dotyczą punktu na łuku, którego rzut na oś poziomą wypada w punkcie
ą1. Podpora A wypada w zerze, B - dla ą1=Ą.
Wykresy sił wewnętrznych
Wykresy sił wewnętrznych przedstawione jako narysowane na osi łuku zebrano na rysunku
10.5.7:
Tb=0.7854 qR
Tb=0.2146 qR Tb=-0.7854 qR
a.
Msmax=-0.2392 qR2
Dla ą=1.3315
b.
7
Mn=-0.2146 qR2
Mnmax=0.2715 qR2
Dla ą=0.6658
c.
Rysunek 10.5.7. Wykres sił tnących (a), normalnych (b) i momentów zginających (c).
Wartości dodatnie tnącej - na zewnątrz osi łuku. Wykres tnącej należy sobie wyobrazić jako
wykreślony w płaszczyznie prostopadłej do płaszczyzny łuku (na powierzchni cylindra, o
półkolu w podstawie. Również wykres momentów gnących powinien być wykreślony w
płaszczyznie prostopadłej do płaszczyzny łuku. Linia ciemna pogrubiona to oś łuku, linia
czerwona (szara na rysunku czarno-białym) to wykres. Przyjęto q=1, R=1.
8
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
93 Siły przekrojowe w załamanym pręcie płaskim obciążonym obciążeniem prostopadłym do płaszczyznySX007 Przykład Belka swobodnie podparta z bocznym stężeniem w punkcie przyłożenia obciążeniaMAGNUM DINAMIK INSTRUKCJA OBSŁUGI PROSTOWNIKÓW DO ŁADOWANIA I ROZRUCHU 440 PLobciazenie prostopadle104 Łuk ze ściągiem, obciążenie stycznePROSTO DO JADRACwiczenia do prosta i plaszczyznaAS Projektowanie swobodnie podpartych belekwięcej podobnych podstron