Część 1 3. ZASADA PRACY WIRTUALNEJ 1
3.
ZASADA PRACY WIRTUALNEJ
W rozdziale 1. omówiliśmy teorię stanu naprężenia. Wprowadziliśmy tam pojęcia sił powierzchnio-
wych i masowych, tworzących obciążenie ciała. W dalszym ciągu zdefiniowaliśmy wektor i tensor naprę-
żenia oraz wyprowadziliśmy równania różniczkowe równowagi łączące tensor naprężenia i wektor naprę-
żenia lub siły powierzchniowe. Na podstawie równań równowagi momentów wykazaliśmy symetrię ten-
sora naprężenia.
W rozdziale 2. omówiliśmy teorię stanu odkształcenia. Zdefiniowaliśmy w nim wektor przemieszcze-
nia i tensor odkształcenia. Wyprowadziliśmy również związki geometryczne (kinematyczne) łączące
wektor przemieszczenia z tensorem odkształcenia.
Na koniec dodajmy, że wprowadzenie opisanych wyżej pojęć dotyczących stanów naprężenia i od-
kształcenia było możliwe dzięki założeniu ciągłości materii tworzących badane ciała.
Obecnie pokażemy, że stany naprężenia i obciążeń oraz odkształcenia i przemieszczenia są związane
pewną bardzo ogólną zasadą, niezależną od rodzaju materiału. Zasada ta ma podstawowe znaczenie w
mechanice ciał sztywnych i ciał odkształcalnych. Wyjątkowa doniosłość zasady prac wirtualnych jest
głównym powodem wydzielenia omawianej problematyki w osobnym rozdziale. Dalsze rozważania do-
tyczące szczegółów wyprowadzenia będą prowadzone z założeniem małych deformacji, tzn. przy akcep-
tacji liniowych związków kinematycznych (geometrycznych) definiujących tensor odkształcenia Cau-
chy ego.
SpoÅ›ród dowolnych ukÅ‚adów funkcji Ãij (x1, x2, x3) opisujÄ…cych stan naprężenia można wyodrÄ™bnić
takie, które speÅ‚niajÄ… równania różniczkowe równowagi we wnÄ™trzu ciaÅ‚a (Ãji,j +Gi = 0) oraz naprężenio-
we warunki brzegowe na powierzchni ograniczającej ciało (à n = pi(n) ). Układ naprężeń spełniający te
ji j
wymagania nazywamy układem statycznie dopuszczalnym. Istotne jest to, że statycznie dopuszczalnych
ukÅ‚adów Ãij jest nieskoÅ„czenie wiele, gdyż do okreÅ›lenia szeÅ›ciu funkcji
Ãij(x1, x2, x3) dysponujemy tylko trzema równaniami różniczkowymi równowagi wewnÄ™trznej.
Pole odkształceń jest kinematycznie dopuszczalne, jeśli spełnia ono związki kinematyczne
µij = (ui, j + u ) / 2 , a przemieszczenia ui(x1, x2, x3) speÅ‚niajÄ… kinematyczne warunki brzegowe.
j,i
Rozważmy obecnie ciało o objętości V ograniczone zamkniętą powierzchnią S. Obliczmy pracę
określoną wyrażeniem:
(a) I = Å"u dS + Å" u dV = pudS +i i
i i
+"p +"G +"+"GudV ,
SV S V
przy czym wielkoÅ›ci µij(x1, x2, x3) oraz ui(x1, x2, x3) tworzÄ… dowolny ukÅ‚ad kinematycznie dopuszczalny,
a Ãij(x1, x2, x3) jest dowolnym statycznie dopuszczalnym polem naprężeÅ„, bÄ™dÄ…cym w równowadze
z siłami powierzchniowymi pi(x1, x2, x3) oraz masowymi Gi(x1, x2, x3).
Gęstość sił powierzchniowych pi jest wektorem naprężenia na powierzchni ciała. Dla współrzędnych
pi obowiązują więc zależności (1.7):
(b) pi = Ã Å" n ,
ji j
gdzie nj (j = 1, 2, 3) są kosinusami kierunkowymi normalnych do powierzchni S0. Pierwszą z całek wy-
stępujących we wzorze (a) po wykorzystaniu (b) można zapisać w postaci:
(c) pudS = ui )n dS = Ajn dS ,
i i ji j j
+" +"(Ã +"
S S S
gdzie
(d) Aj = Ã ui
ji
i oznacza współrzędne pewnego wektora, określonego na powierzchni ciała.
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Alma Mater
Część 1 3. ZASADA PRACY WIRTUALNEJ 2
Wykorzystamy obecnie znany wzór Greena-Gaussa-Ostrogradskiego na zamianę całki powierzch-
niowej na objętościową:
(e) Ajn dS = Aj,jdV ,
j
+" +"
S V
skÄ…d
(f)
ji j ji j ji,j ji
+"(Ã ui )n dS = +"(Ã ui ), dV =+"(Ã ui + Ã ui,j )dV .
S V V
Uzyskany rezultat podstawimy do zależności (a):
(g) I = pudS +
i i i i ji ji
+" +"GudV =+"[(Ã ,j + Gi )ui]dV ++"Ã ui,jdV .
S V V V
Wyrażenie w nawiasie à + Gi na podstawie równań różniczkowych równowagi (1.9) jest równe zeru.
ji, j
Różna od zera pozostaje zatem tylko druga całka objętościowa. Przekształcimy ją następująco:
(h)
ji j ji ij
+"Ã ui, dV = +"Ã (µij + Éij)dV =+"Ã µijdV .
V V V
We wzorze (h) wykorzystaliÅ›my symetriÄ™ tensora naprężenia Ãij = Ãji, rozkÅ‚ad gradientu przemiesz-
czeń na tensor odkształcenia i tensor obrotu oraz fakt, że iloczyn tensora symetrycznego i skośnie syme-
trycznego jest równy zeru, tzn. ÃijÉij = 0
Po podstawieniu wzoru (h) do zależności (a) otrzymujemy poszukiwane równanie pracy wirtualnej, sta-
nowiÄ…ce esencjÄ™ zasady pracy wirtualnej:
pudS + (3.1)
i i i i ij
+" +"GudV = +"Ã µijdV .
S V V
Równanie (3.1) jest bardzo ogólne, gdyż pomiędzy wielkościami statycznymi i kinematycznymi nie
musi zachodzić żaden związek przyczynowy. Od pól naprężeń i przemieszczeń wymagamy jedynie, by
były odpowiednio statycznie i kinematycznie dopuszczalne. Przy wyborze tych pól mamy zatem bardzo
dużo swobody. Zazwyczaj jest tak, że jedno z omawianych pól jest rzeczywiste, a drugie fikcyjne (wy-
myślone, uprzednio przygotowane), czyli wirtualne. Stąd właśnie pochodzi nazwa zasady.
Można przyjąć, że wielkoÅ›ci statyczne pi, Gij oraz Ãij sÄ… wielkoÅ›ciami rzeczywistymi, a wielkoÅ›ci ui
oraz µij tworzÄ… pewien dowolnie obrany (wirtualny) ukÅ‚ad kinematycznie dopuszczalny. Równanie (3.1)
odnosi się wówczas do tzw. wirtualnego stanu przemieszczeń i jest pewną kombinacją równań równo-
wagi służącą do wyznaczania rzeczywistych wielkości statycznych. Wówczas równanie pracy wirtualnej
można zapisać w postaci:
pudS + (3.2)
i i i i ij
+" +"GudV = +"Ã µijdV ,
S V V
gdzie wielkości wirtualne zaznaczono nadkreśleniem.
Jeżeli z kolei wielkoÅ›ci kinematyczne ui oraz µij sÄ… rzeczywiste, a wielkoÅ›ci statyczne pi, Gi oraz Ãij
tworzą pewien dowolnie przyjęty (wirtualny) układ statycznie dopuszczalny, to równanie (3.1) odnosi się
do tzw. wirtualnego stanu naprężeń i służy zazwyczaj do obliczania rzeczywistych wielkości kinema-
tycznych. Wtedy zasadę prac wirtualnych można zapisać następująco:
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Alma Mater
Część 1 3. ZASADA PRACY WIRTUALNEJ 3
pudS + (3.3)
i i i i ij
+" +"GudV = +"Ã µijdV .
S V V
Równanie (3.1) może, rzecz jasna, zawierać wyłącznie wielkości rzeczywiste, tzn. naprężenia, prze-
mieszczenia i odkształcenia wywołane przez działanie sił powierzchniowych i masowych. Odpowiada to
twierdzeniu Clapeyrona, które będzie przedstawione w rozdziale 6. W końcu oba pola kinematyczne i
statyczne, mogą być wirtualne. Przydatność takiej postaci zasady pracy wirtualnej wydaje się jednak zni-
koma.
Podkreślić trzeba raz jeszcze, że postać równania (3.1) jest ważna dla ośrodka ciągłego uformowanego
z dowolnego materiału, wykazującego małe odkształcenia i małe przemieszczenia. W przypadku dużych
deformacji równanie pracy wirtualnej ma nieco inną postać, uwzględniającą inne miary odkształceń i
naprężeń.
Zasada prac wirtualnych jest także słuszna, jeżeli zamiast wielkości skończonych wstawimy ich przy-
rosty lub prędkości, spełniające wymagania dopuszczalności. Na przykład w mechanice ciał plastycznych
bardzo użyteczne jest równanie mocy wirtualnej, w którym występują rzeczywiste wielkości statyczne i
& &
wirtualne pola prÄ™dkoÅ›ci przemieszczeÅ„ ui oraz prÄ™dkoÅ›ci odksztaÅ‚ceÅ„ µij :
&
&ii ij
pudS + &i (3.4)
i
+"+"GudV = +"Ã µijdV .
S V V
Dla układów ciał sztywnych, których odkształcenia są z założenia równe zeru, prawa strona równania
(3.1) znika, co prowadzi do zależności:
pudS + (3.5)
i i i i
+" +"GudV = 0
S V
lub
(3.6)
k
"P "k = 0 .
k
Wzory (3.5) i (3.6) obowiązują jednak tylko dla bardzo małych przemieszczeń. Iloczyn Pk i "k ma sens
pewnej pracy (siÅ‚a × przemieszczenie liniowe lub moment × kÄ…t obrotu). Symbolem Pk oznaczono uogól-
nione siły wypadkowe, tzn. siły skupione lub momenty statyczne sił, a symbol "k oznacza rzut wektora
przemieszczenia liniowego (lub kÄ…towego) na kierunek danego wektora wypadkowego Pk .
Bardziej ogólna jest postać, w której przemieszczenia są zastąpione prędkościami przemieszczeń.
Wówczas przemieszczenia mogą być dowolnie duże. W tym przypadku
&i
pudS0 + &i (3.7)
i i 0
+" +"GudV = 0 .
S0 V0
lub
&
(3.8)
k
"P "k = 0 .
k
&
Iloczyn Pk i "k ma teraz sens pewnej mocy (siÅ‚a × prÄ™dkość liniowa lub moment × prÄ™dkość kÄ…ta obro-
&
tu). Symbol "k oznacza rzuty wektorów prędkości liniowych (lub kątowych) na kierunek linii działania
siły Pk.
Zakres zastosowań zasady prac wirtualnych jest niezwykle duży. Przekonamy się o tym, studiując
dalsze rozdziały.
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Alma Mater
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
2011 03 29 12 48 502011 03 29 12 48 58863 03ALL L130310?lass101Mode 03 Chaos Mode2009 03 Our 100Th Issuejezyk ukrainski lekcja 03en 48DB Movie 03 Mysterious Adventureswięcej podobnych podstron