Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki 1 Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY Etapy rozwiązania zadania Uwagi I metoda rozwiązania ( PITAGORAS ): Sporządzenie rysunku w układzie współrzędnych: np. " Rysunek musi zawierać daną prostą oraz punkty A i B. Inne elementy mogą, ale nie y A 12 muszą być uwzględnione. 11 10 " Współrzędne punktu C można odczytać 9 C z rysunku, ale zdający musi sprawdzić, np. 8 7 przez wstawienie do równania prostej 6 1.1 1 prawidłowość odczytu. Przyznajemy pełna 5 C pulę punktów. 4 3 " W przypadku, gdy zdający poda odczytane 2 współrzędne punktu C i nie dokona 1 0 sprawdzenia z warunkami zadania otrzymuje 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 x 1 punkty tylko w czynnościach 1.1 i 1.5. 2 B 3 Wprowadzenie oznaczenia współrzędnych punktu C, np. 1 22 1.2 1 C = (22 - 3y, y) lub C = (x,- x + ) . 3 3 Wykorzystanie twierdzenia Pitagorasa i zapisanie warunku 2 2 2 prostopadłości odcinków AC i BC: AC + BC = AB , w którym 2 2 2 1.3 1 AC =10y2 -168y + 720 , BC = 10y2 - 92y + 260 , AB = 260 2 1 2 1 lub AC = 10x2 + 64y + 232 , BC = 10x2 -164 +1108 . () () 9 9 Doprowadzenie do równania kwadratowego z jedną niewiadomą: 1.4 1 np. y2 -13y + 36 = 0 lub x2 - 5x - 50 = 0 . Rozwiązanie równania i zapisanie odpowiedzi: C = 10, 4 lub ( ) 1.5 1 C = (-5,9 . ) Nr Liczba punktów czynności Nr zadania Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki 2 Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony II metoda rozwiązania ( WEKTORY ): Rysunek musi zawierać daną prostą oraz punkty 1.1 Sporządzenie rysunku w układzie współrzędnych. 1 A i B. Inne elementy mogą, ale nie muszą być uwzględnione. Wprowadzenie oznaczeń pomocniczych i wyznaczenie wektorów:
Wykorzystanie warunku prostopadłości wektorówCA , CB i zapisanie równania: np. 1.3 1 (-24 + 3y + 3y + 12 - y - y = 0 , gdzie y to rzędna punktu C )(-16 ) ( )(-2 ) 1 lub -( )( - x + x +14 x - 28 = 0 , gdzie x to odcięta punktu C. 2 + x 6 ) ( )( ) 9 Doprowadzenie do równania kwadratowego z jedną niewiadomą : 1.4 1 np. y2 -13y + 36 = 0 lub x2 - 5x - 50 = 0 . Rozwiązanie równania i zapisanie odpowiedzi: 1.5 1 C = 10, 4 lub C = ( ) (-5,9 . ) III metoda rozwiązania ( KONSTRUKCJA ): Rysunek musi zawierać daną prostą oraz punkty 1.1 Sporządzenie rysunku w układzie współrzędnych. 1 A i B. Inne elementy mogą, ale nie muszą być uwzględnione. Zapisanie równania okręgu o środku w punkcie S = 2,5 , który jest ( ) 1 1 środkiem odcinka AB i promieniu r = AB = 260 : 1.2 2 2 1 2 22 # x ( - 2 + y - 5 = 260 . ) ( )1 ś# ś#ź# 2 # # Zapisanie układu równań: x + 3y = 22 ż# # 1.3 1 2 # 22 # x ( - 2 + y - 5 = 260 . ) ( )1 ś# # ś#ź# 2 # # # Doprowadzenie obliczeń do postaci równania kwadratowego, 1.4 1 np.: y2 -13y + 36 = 0 lub x2 - 5x - 50 = 0 . Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki 3 Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony Rozwiązanie równania i zapisanie odpowiedzi: 1.5 1 C = 10, 4 lub C = ( ) (-5,9 . ) Ogólnie, rozwiązanie powinno mieć postać: 1.1 Sporządzenie rysunku w układzie współrzędnych. 1 1.2 Przedstawienie metody pozwalającej wyznaczyć punkt C. 1 W metodzie II i III przestawione zostały czynności 1.2 i 1.3 i zapisane w kolejności takiej, Zapisanie warunków algebraicznych wynikających z obranej 1.3 1 jaka będzie miała miejsce w trakcie rozwiązania metody rozwiązania. tą metodą. 1.4 Doprowadzenie do równania kwadratowego z jedną niewiadomą. 1 1.5 Wyznaczenie współrzędnych punktów C. 1 a Przyznajemy punkt również wtedy, gdy zdający Zapisanie wzoru funkcji g w postaci g(x) = + 2 dla x `" -3. 2.1 1 nie zapisze dziedziny funkcji g. x + 3 Wyznaczenie współczynnika a z równania g(- 4) = 6 : a = -4 . 2.2 1 -4 -2x -10 2 Doprowadzenie nierówności + 2 < 4 do postaci < 0 . 2.3 1 x + 3 x + 3 Wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności g(x)<4 : 2.4 1 x " -5 *" (- ", ) (-3, " . ) Zapisanie podstawy logarytmu: p = 2 . 3 3.1 1 Obliczenie wartości funkcji f dla argumentu x = 0,125 : f (0,125)= -3 . 3.2 1 Narysowanie wykresu funkcji y = f (x - 4). 3.3 1 Narysowanie wykresu funkcji g W tej czynności oceniamy poprawność y wykonania przekształcenia y = f (x) . Punkt 7 6 przyznajemy trównież wtedy, gdy zdający y = log2(x - 4) 5 niepoprawnie wykona przesunięcie, ale 4 3 poprawnie wykona przekształcenie y = f (x) . 2 3.4 1 1 Jeśli zdający od razu narysuje wykres funkcji g, 0 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 x to przyznajemy punkt w czynnościach 3.3 i 3.4. 1 2 y = log2(x - 4) 3 y = log2 x 4 5 6 Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki 4 Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony Podanie miejsca zerowego funkcji g: x = 5 . Czynność 3.5 oceniamy konsekwentnie do 3.5 1 uzyskanej przez zdającego funkcji g. a a 4.1 1 2 Wyrażenie funkcji tgą w zależności od a i H: tgą = = . H 2H h Wyrażenie funkcji cosą w zależności od a i h: cosą = . 4.2 1 a Wykorzystanie wyznaczonych zależności i doprowadzenie podanego w treści zadania związku a2 = H " h do zależności z jedną zmienną ą : a 4.3 1 a h 2 np. = tgą stąd H = , = cosą stąd h = a cosą ; H 2tgą a po podstawieniu otrzymujemy 2tgą = cosą . Doprowadzenie zależności do postaci równania, w którym jest tylko Ą ś# 4.4 1 jedna funkcja trygonometryczna, np.: 2siną =1- sin2 ą dla ą"#0, . ś# ź# 2 # # Rozwiązanie równania, np. dokonanie podstawienia t = siną 4 4.5 i rozwiązanie równania kwadratowego t2 + 2t -1 = 0 : 1 t =-1- 2 oraz t =-1+ 2 . Jeśli zdający nie wskaże właściwego rozwiązania 4.6 1 spełniającego warunki zadania, to nie otrzymuje Odrzucenie ujemnego pierwiastka i podanie odpowiedzi: siną = 2 -1. punktu za tę czynność. II sposób rozwiązania (czynności 4.3 i 4.4) Zapisanie wyrażenia a2 = H " h w postaci proporcji 4.3 1 1 a a h h 2 = ! 2" = . H a H a Wykorzystanie funkcji trygonometrycznych do zapisania proporcji 1 a h 2 w postaci równania jednej zmiennej: 2" = 2" tgą , = cos ą stąd 4.4 1 H a a h Ą ś# = , 2" tgą= cos ą, sin2 ą+ 2sin ą-1 = 0 dla ą"#0, . ś# ź# H a 2 # # Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki 5 Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony Sporządzenie rysunku dla n = 4. y 1 9 16 5.1 1 4 16 1 16 5 1 2 3 0 x 4 4 4 Obliczenie sumy pól czterech prostokątów: 2222 5.2 1 1 1 2 1 3 1 4 15 1 "# ś# + "# ś# + "# ś# + "# ś# = . ś# ź# ś# ź# ś# ź# ś# ź# 4 4 4 4 4 4 4 4 32 # # # # # # # # Obliczenie sumy pól wszystkich n prostokątów w postaci: 22 2 Wystarczy, że zdający poprawnie zapisze lewą 5.3 1 1 1 2 1 n 12 + 22 +...+ n2 1 "# ś# + "# ś# + ...+ "# ś# = . stronę podanej postaci. ś# ź# ś# ź# ś# ź# n n n n n n n3 # # # # # # Wykorzystanie podanej tożsamości i przekształcenie sumy do postaci: n(n +1)(2n +1) (n +1)(2n +1) 5.4 1 Sn = lub Sn = . 6n3 6n2 6.1 Zapisanie wielomianu w postaci: W(x) = x4 - 2x3 + x2 + x2 - 6x + 9 . 1 Zapisanie wielomianu w postaci sumy dwóch składników nieujemnych: 6.2 2 1 2 2 2 np. W(x)= x2(x -1) + (x - 3) lub W(x)= (x2 - x) + (x - 3) . Uzasadnienie, że oba składniki są nieujemne i nie mogą być jednocześnie równe 0, więc wielomian W(x) nie ma pierwiastków 6.3 1 6 rzeczywistych. II metoda rozwiązania: Obliczenie pochodnej wielomianu W x i jej miejsca zerowego: ( ) 6.1 1 3 W ' x = 2 2x - 3 x2 +1 , x = . ( ) ( ) ( ) 2 Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki 6 Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony 3 Uzasadnienie, że w punkcie x = wielomian W x osiąga lokalne ( ) 6.2 1 2 minimum. 3 Obliczenie wartości wielomianu W x dla x = albo jej oszacowanie ( ) 2 z dołu przez liczbę dodatnią i uzasadnienie, że wielomian W x nie ma ( ) 6.3 1 3 45 # ś# pierwiastków rzeczywistych: W = . ś# ź# 2 16 # # 7.1 Zapisanie równania f (x) = 1 w postaci: - cos2 x + cos x = 0 . 1 7.2 Zapisanie równań: cos x = 0 lub cos x = 1. 1 Zapisanie rozwiązań równania f (x) = 1 należących do przedziału 7.3 Ą 3Ą 1 0, 2Ą : x = 0 (" x = (" x = (" x = 2Ą . 2 2 Przedstawienie metody rozwiązania zadania, np. wprowadzenie Punkt otrzymuje też zdający, który pominął pomocniczej niewiadomej t = cos x i t " -1,1 i zapisanie funkcji 7.4 1 dziedzinę funkcji f. f t = -t2 + t +1 dla t " -1,1 . ( ) 7 Wystarczy, że zdający zapisze trójmian w postaci Obliczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli, będącej 2 1 7.5 1 1 5 ś# wykresem trójmianu kwadratowego f t = -t2 + t +1: tw = . ( ) kanonicznej: f (t) = -#t - ź# + . ś# 2 2 4 # # Zdający nie musi analizować znaku 1 Uwzględnienie faktu, że " -1,1 i współczynnik przy t2 jest ujemny, współczynnika przy t2 , o ile oblicza f (-1), 2 7.6 1 1 5 1 # ś# i obliczenie największej wartości funkcji f : fmax # ś# = f (1), f i wybiera największą z nich. ś# ź# ś# ź# 2 4 2 # # # # Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki 7 Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony I metoda rozwiązania: Sporządzenie rysunku D
Zdający może pominąć uzasadnienie, że punkt 8.1 1 P leży na wysokości DO. P C A O B 8 8.2 Obliczenie długości krawędzi bocznej ostrosłupa: a = 1. 1 Obliczenie objętości ostrosłupa ABCD, np. poprzez stwierdzenie, że 1 8.3 1 dany ostrosłup to naroże sześcianu o krawędzi długości 1: VABCD = . 6 Zapisanie równania z niewiadomą H szukaną odległością: Wystarczy że zdający zapisze, że objętość 2 ostrosłupa jest sumą objętości czterech 2 " 3 ( ) 1 1 1 1 8.4 1 ostrosłupów, których podstawami są ściany 3" " " H + " " H = . 3 2 3 4 6 danego ostrosłupa, a wysokością szukana odległość . 3 - 3 8.5 1 Obliczenie szukanej odległości: H = . 6 Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki 8 Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony II metoda rozwiązania: Sporządzenie rysunku: D
8.1 1
P1 P C A O C1 B P1 jest rzutem punktu P na wysokość ściany bocznej DC1. 12 8.2 1 Obliczenie długości DC1: DC1 = AB = . 8 22 2 Wyznaczenie DO z trójkąta DOC1 : np. DO = DC1 2 - OC1 2 , gdzie 8.3 1 1 2 " 3 6 3 OC1 = " = , stąd DO = . 3 2 6 3 Zapisanie równania z niewiadomą H, np. z podobieństwa trójkątów PP1 OC1 "PP1D <" "DOC1 wynika proporcja = i PP1 = H , DP DC1 8.4 1 6 H 6 = . 32 - H 32 3 - 3 8.5 1 Obliczenie szukanej odległości: H = . 6 Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych: = 8!. 9 9.1 1 Obliczenie liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A, że jako pierwsze pójdą kobiety i żona będzie szła bezpośrednio przed Wystarczy zapis A = 3!"3! lub A = 36 . 9.2 1 mężem: A = 3!" 3!= 36 . Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki 9 Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony 3!"3! 1 Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P A = = . ( ) 9.3 1 8! 1120 Porównanie otrzymanego prawdopodobieństwa z 0,001, np.: 1 1 9.4 1 P(A)= < lub P(A) H" 0,0009 < 0,001. 1120 1000 Zapisanie układu pozwalającego wyznaczyć równanie prostej 1 =-a + b ż# 10 10.1 1 przechodzącej przez punkty (xn,0) , , (0, yn) : (-1,1 ) #0 = a(-1- n) + b . # 1 Wyznaczenie z układu niewiadomej b: np. b = 1+ . 10.2 1 n 1 n +1 Zapisanie wzoru szukanego ciągu: yn = 1+ albo yn = . 10.3 1 n n II metoda rozwiązania: Zapisanie współczynnika kierunkowego prostej XnP 10.1 1 11 (przechodzącej przez punkty xn,0 i P): a = = . ( ) -1-(-1- n n ) 1 Zapisanie równania prostej XnP : y = x +1 +1. 10.2 ( ) 1 n 1 n +1 Zapisanie wzoru szukanego ciągu: yn = 1+ albo yn = . 10.3 1 n n III metoda rozwiązania: Wprowadzenie oznaczeń: A = xn,0 , P = , C = 0, yn . ( ) (-1,1 ) ( ) 10.1 1
Wyznaczenie współrzędnych wektorów AP = n,1 , PC = 1, yn -1 . [ ] [ ] Zapisanie warunku równoległości wektorów:
10.2 1 AP || PC ! d AP, PC = 0 stąd n yn -1 = 0. ( )-1 () 1 n +1 Zapisanie wzoru szukanego ciągu: yn = 1+ albo yn = . 10.3 1 n n Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki 10 Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony IV metoda rozwiązania: Wprowadzenie oznaczeń: A = xn,0 , P = , C = 0, yn . ( ) (-1,1 ) ( ) 10.1 1 Wykorzystanie zależności: AP + PC = AC , 22 2 2 2 2 (-1- xn + 1- 0 + 0 +1 + yn -1 = 0 - xn + yn - 0 . ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Podstawienie xn =-1- n i doprowadzenie wyrażenia do postaci: 10.2 1 2 n" yn ( - n -1 = 0 . ) 1 n +1 Zapisanie wzoru szukanego ciągu: yn = 1+ albo yn = . 10.3 1 n n Przyjęcie oznaczeń, wykorzystanie definicji lub własności ciągu geometrycznego i zapisanie zależności między długościami boków 11.1 1 trójkąta prostokątnego, np.: a, b, c długości boków trójkąta prostokątnego i a < b < c , b = a " q , c = a " q2 lub b2 = ac . Wykorzystanie twierdzenie Pitagorasa i zapisanie równania, w którym 2 2 11.2 występują najwyżej dwie niewiadome, np.: a2 + (aq) = (aq2) lub 1 a2 + ac = c2 . 2 c c 11 11.3 Zapisanie równania, np.: q4 - q2 -1 = 0 lub # ś# - -1 = 0 . 1 ś# ź# a a # # c Wykonanie podstawienia t = q2 lub t = i rozwiązanie równania a 11.4 1 1- 5 1+ 5 t2 - t -1 = 0 : t = (" t = . 2 2 1+ 5 11.5 1 Obliczenie ilorazu ciągu: q = . 2