Próbny egzamin maturalny z matematyki
1
Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom podstawowy
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA
POZIOM PODSTAWOWY
Numer
Liczba
Etapy rozwiązania zadania
Uwagi dla egzaminatorów
zadania
punktów
Końce przedziału muszą być
poprawnie ustalone.
1.1 Zapisanie dziedziny funkcji f: 7,
ł 2 .
1
Akceptujemy zapisy typu:
x ∈ ł 7, 2 , ł 7 ń x ń 2 .
1
Miejsca zerowe mogą być odczytane
1.2 Podanie miejsc zerowych funkcji: x = ł , 4 x = .
1
z wykresu, nie wymagamy zapisu
4
stosownych obliczeń.
Naszkicowanie wykresu funkcji
y
8
7
6
1
Jeśli dziedzina została poprawnie
5
wyznaczona, to akceptujemy wykres
1.3
4
1
3
nawet bez wyraźnie oznaczonych
2
końców łamanej.
1
x
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
Końce przedziału muszą być
poprawnie ustalone.
1.4 Zapisanie zbioru wartości funkcji: 1,
ł 7 .
1
Akceptujemy zapisy typu:
y ∈ ł ,
1 7 , ł1 ń y ń 7 .
Próbny egzamin maturalny z matematyki
2
Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom podstawowy
2.1 Obliczenie: Ω = 6 6 = 36 .
1
Obliczenie A , gdzie A jest zdarzeniem, że utworzona liczba jest 2.2
1
większa od 52: A = 1 4 +1 6 = 10 .
Zdający może narysować tabelę
10
5
o wymiarach 6 na 6 i odczytać
2.3 Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P( ) A =
=
.
1
rozwiązanie. Za prawidłową
36 18
odpowiedź przyznajemy komplet
punktów.
II sposób rozwiązania (metoda drzewa):
Narysowanie drzewa z zaznaczeniem istotnych gałęzi.
2
2.1
1
5
6
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
2.2 Zapisanie
prawdopodobieństw na istotnych gałęziach drzewa.
1
Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A: 2.3
1 1
1
5
P( )
A =
4 + =
.
1
6 6
6 18
Próbny egzamin maturalny z matematyki
3
Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom podstawowy
siną
3.1 Wykorzystanie związku tgą =
w przekształcaniu tożsamości.
1
cosą
1 sin2
ł
ą
Punkt przyznajemy za poprawne
3.2 Przekształcenie lewej strony tożsamości do postaci:
.
cosą
1
wymnożenie nawiasów na dowolnym
3
etapie rozwiązania tego zadania.
2
2
ą +
ą =
3.3 Wykorzystanie związku 1
sin
cos
w przekształcaniu
1
tożsamości.
Sformułowanie wniosku: śPodana równość jest tożsamością” lub Wniosek musi być konsekwencją
3.4
1
sformułowanie równoważne.
wykonanych przekształceń.
3 ( 7
1+ 2 )
Wystarczy zapis
4
S =
(nie
7
Obliczenie sumy 7 początkowych wyrazów ciągu geometrycznego: 3
musi być to oddzielny zapis, może
4.1
1
S =
(1 7
+
=
.
1
występować, np. jako jedna ze stron
7
) 129
2
4
4
równania w czynności 4.3).
Zdający nie musi obliczyć wartości
sumy S .
7
4
Zapisanie sumy 7 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego 3
Nie musi to być oddzielny zapis, może
4.2
2 + 6 r
1
występować, np. jako jedna ze stron
w zależności od
4
r: S =
7 .
równania w czynności 4.3.
7
2
3
3
2 + 6
2 + 6
4.3
r
1
r
129
Ułożenie równania z niewiadomą
4
4
r:
7 = (
7
1+ 2 ) .
1
Może też być:
7 =
.
2
4
2
4
9
4.4 Rozwiązanie równania: r = .
1
7
Próbny egzamin maturalny z matematyki
4
Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom podstawowy
Przyznajemy 1pkt za przedstawienie
metody rozwiązania nierówności
kwadratowej: np. zapisania podanej
5.1 Przekształcenie nierówności do postaci: x( x ł 4) < 0 .
1
nierówności w postaci: x ł 2 < 2 lub narysowanie wykresu funkcji
y = ( x ł 2)2 ł 4 , itp.
Dopuszczamy przedstawienie zbioru
rozwiązań na osi liczbowej, o ile
5.2 Rozwiązanie nierówności: x ∈ ( , 0 4) .
1
zdający wyraźnie zaznaczy przedział
otwarty.
Lewa strona równania musi mieć
5
5.3 Przedstawienie równania w postaci, np. 2
x ( x + 6) ł 4( x + 6) = 0 .
1
postać sumy iloczynów, w których
występuje ten sam czynnik.
Przedstawienie równania w postaci iloczynu czynników liniowych, 5.4 np. ( x +6)( x + 2)( x ł 2) = 0.
1
Przyznajemy punkty w czynności 5.3,
5.4 i 5.5, gdy zdający podaje
wszystkie pierwiastki wielomianu
5.5 Wyznaczenie wszystkich rozwiązań równania: x = ł6, x = ł2, x = 2 .
1
W ( x)
3
2
= x + 6 x ł 4 x ł 24 bez jakichkolwiek obliczeń (np. przez
zastosowanie tw. o pierwiastkach
wymiernych wielomianu).
5.6 Podanie odpowiedzi: x = 2 .
1
Próbny egzamin maturalny z matematyki
5
Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom podstawowy
Przyznajemy punkt, gdy z dalszego
6.1 Zapisanie, które boki trójkąta są równej długości: AC = BC .
1
toku rozumowania wynika, że zdający
poprawnie wybrał równe boki trójkąta.
Wystarczy, że zdający poda
6.2 Wyznaczenie równania prostej AB: 5
y = ł x ł .
1
współczynnik kierunkowy prostej AB.
Zapisanie równania rodziny prostych prostopadłych do prostej Wystarczy, że zdający poda
AB:
6.3
współczynnik kierunkowy prostej
y = x + b .
1
prostopadłej do prostej AB.
6.4 Wyznaczenie równania osi symetrii trójkąta: 1
y = x ł .
1
II sposób rozwiązania: (z własności symetralnej) 6.1 Oznaczenie dowolnego punktu leżącego na poszukiwanej symetralnej, 1
np. P = ( x, y) i zapisanie własności AP = BP .
Wyznaczenie długości odcinków AP i BP i zapisanie równania: 6
6.2
(
1
x + )2 + ( y + )2 = x + ( y + )2
2
4
1
5 .
Doprowadzenie równania do postaci równania pierwszego stopnia z 6.3 dwiema niewiadomymi, np. 8 x + 2 y +17 =10 y + 25.
1
6.4 Zapisanie odpowiedzi: y = x ł1.
1
III sposób rozwiązania:
6.1 Zapisanie, które boki trójkąta są równej długości: AC = BC .
1
6.2 Wyznaczenie współrzędnych środka odcinka AB: D = ( 2,
ł ł3).
1
Przyznajemy punkt, gdy z toku
Zauważenie, że prosta przechodząca przez punkty rozumowania wynika, że zdający
6.3
C i D jest osią
1
symetrii trójkąta ABC.
stosując tę metodę poprawnie wybrał
równe boki trójkąta.
6.4 Wyznaczenie równania osi symetrii trójkąta: 1
y = x ł .
1
Próbny egzamin maturalny z matematyki
6
Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom podstawowy
Jeśli zdający rozpatruje ostrosłup
prawidłowy inny niż czworokątny, to
oceniamy czynność 7.1, za czynności
7.2 i 7.3 nie przyznajemy punktów.
Pozostałą część rozwiązania tego
zadania oceniamy według schematu.
7.1
H
1
ą
d
a
7
Obliczenie wysokości ostrosłupa: H = 2 .
Obliczenie długości przekątnej podstawy ostrosłupa: d = 4 3
7.2
1
albo długości krawędzi podstawy: a = 2 6 .
7.3 Obliczenie objętości ostrosłupa: V = 16 .
1
Oznaczenie długości krawędzi sześcianu, np. b i zapisanie równania: 7.4
1
3
b = 16 .
Zdający może podać wynik w postaci,
7.5 Obliczenie długości krawędzi sześcianu:
3
b = 2 2 .
1
np.
3
b = 16 lub wartość przybliżoną
pierwiastka.
8.1 Obliczenie kapitału końcowego: K = 91029 = 9261.
3
1
Zapisanie równania z niewiadomą K – kapitałem początkowym: 0
8
8.2
3
⎛
5 ś
1
K 1+
= 9261.
0 ś
ź
⎝
100
8.3 Obliczenie kwoty K : 8000 zł.
0
1
Próbny egzamin maturalny z matematyki
7
Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom podstawowy
Wprowadzenie oznaczeń, np. takich jak na poniższym rysunku: x = PB , h –wysokość odciętego trójkąta.
C
F
9
9.1
1
h
A
D
P
x
B
Wykorzystanie podanej proporcji do wyznaczenia długości odcinków: AD = 6 , DB = 12 .
1
1 1
9.2 Zapisanie równania: x h = 1815.
1
2
4 2
Zapisanie zależności między x i h z wykorzystaniem podobieństwa 9.3
h
15
5
trójkątów CDB i FPB: =
= .
1
x
12
4
9.4 Obliczenie długości odcinka PB: PB = 3 6 cm.
1
Próbny egzamin maturalny z matematyki
8
Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom podstawowy
II sposób rozwiązania:
Wprowadzenie oznaczeń, np. takich jak na poniższym rysunku: x = PB , h –wysokość odciętego trójkąta.
C
F
9.1
1
h
A
D
P
x
B
Wykorzystanie podanej proporcji do wyznaczenia długości odcinków: AD = 6 , DB = 12 .
P
2
2
9.2 Obliczenie proporcji:
DBC
"
= stąd P
= P
.
"
"
1
P
3
DBC
3 ABC
AB
" C
Stwierdzenie, że DBC
"
ź " PBF i wykorzystanie twierdzenia o
2
P
⎛ 12 ś
stosunku pól figur podobnych do zapisania proporcji: DBC
"
= ś
ź
P
ś PB ź
" PBF
⎝
9.3
2
1
2
P AB
" C
⎛ 12 ś
stąd 3
= ś
ź .
1
ś PB ź
P
⎝
4 AB
" C
2
144
9.4 Obliczenie długości odcinka
3
PB :
=
, PB = 3 6 .
1
2
1
PB
4
Próbny egzamin maturalny z matematyki
9
Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom podstawowy
III sposób rozwiązania: (czynności 9.3 oraz 9.4) Stwierdzenie, że DBC
"
ź " PBF i wykorzystanie twierdzenia
o stosunku pól figur podobnych do zapisania proporcji: 9.3
2
1
P AB
" C
P
8
2 6
2
DBC
"
3
k =
=
= stąd k =
.
P
1
3
3
PBF
"
P
4 AB
" C
Obliczenie długości odcinka PB:
9.4
DB =
3
k stąd PB = 12
= 3 6 .
1
PB
2 6
ż100 a +10 b = 20
T
ż⎪ (10) = 20
10.1 Zapisanie układu: ⎨
.
⎩900
1
Wystarczy zapis ⎨
a + 30 b = 90
T
⎪⎩ (30) = 90
ż
a = 1
⎪⎪
20
10.2 Rozwiązanie układu: ⎨
.
1
⎪
3
10
⎪ b =
⎩
2
1
Akceptujemy sam wzór bez podania
2
3
10.3 Zapisanie wzoru funkcji: T ( n) =
n +
n, n ∈ N .
1
20
2
założenia n ∈ N .
1
2
3
10.4 Zapisanie równania:
n +
n = 50 .
1
20
2
Zdający nie musi wyznaczyć
10.5 Rozwiązanie równania i wyznaczenie liczby kartek : 20.
1
ujemnego rozwiązania równania.
Próbny egzamin maturalny z matematyki
10
Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom podstawowy
D
C
F
A
B
11.1
1
11
E
Uzasadnienie, że trójkąty DCF, DAE i EBF są równoramienne (wykorzystanie założenia, że AB = BC = CD = DA i trójkąty AEB oraz BFC są równoboczne).
Obliczenie miary kąta
11.2
DAE lub FCD:
1
DAE =
FCD = 90° + 60° = 150° .
11.3 Obliczenie miary kąta EBF : EBF = 360° ł 2 60° ł 90° = 150° .
1
Zapisanie, że trójkąty
DCF, DAE i EBF są przystające (z cechy 11.4 przystawania bkb) i wyciągnięcie wniosku o równości boków trójkąta 1
DEF.
Próbny egzamin maturalny z matematyki
11
Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom podstawowy
Wprowadzenie oznaczeń i zapisanie zależności między liczbą dziewcząt i liczbą chłopców: np.
12.1 x – liczba dziewcząt,
1
y – liczba chłopców,
x ł 6 = y .
12.2 Zapisanie równania: x = 60%( x + y).
1
ż x = 0,6( x + y)
12.3 Zapisanie układu równań: ⎨
.
1
⎩ x ł 6 = y
Rozwiązanie układu i sformułowanie odpowiedzi: Wystarczy, że zdający poda liczby
12.
12.4
1
dziewcząt i chłopców.
x = 18 , 12
y =
. W klasie jest 30 osób w tym 12 chłopców.
II sposób rozwiązania:
Wprowadzenie oznaczeń :
12.1
x – liczba osób w klasie,
1
0,6 x – liczba dziewcząt, 0, 4 x – liczba chłopców.
12.2 Zapisanie równania: 0,6 x ł 6 = 0, 4 x .
1
12.3 Rozwiązanie równania: x = 30 .
1
12.4 Podanie odpowiedzi: W klasie jest 30 osób w tym 12 chłopców. 1
Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą niż przedstawiona w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
2009 MAJ OKE PP PR ODP id 20616 Nieznanybiologia 03 pp probna klucz2009 recycling id 2010369 NieznanyArkusz Maturalny Maj 2009 J J Polski PP Klucz2009 EGZ WSTEPNY NA AM id 20616 Nieznany2009 klucz bio pp2009 08 Little and Big id 20616 NieznanyCzas mistrzów matura próbna 2009 odp PP2009 Popovic et al JB id 206166 Nieznany2009 01 The Naked Wiki id 20616 Nieznanybiologia 06 pp probna2 kluczwięcej podobnych podstron