LISTA ZADAC NR 4 Z MATEMATYKI DYSKRETNEJ Funkcje, moc zbioru 1. Zbadać czy podane relacje sÄ… funkcjami? JeÅ›li tak, to sprawdzić czy sÄ… surjekcjami oraz czy sÄ… injekcjami a) R = {(x, y) " R2 : x2 = y2}. b) R = {(x, y) " R × (R+ *"{0}) : x2 = y2}. c) R = {(x, y) " N × Z : x3 = y2}. d) R = {(x, y) " (R+ *"{0}) × R : log2 x - y = 0} . e) R = {(x, y) " R2 :[x]- y = 0}. JeÅ›li dana relacja jest bijekcjÄ…, wyznaczyć funkcjÄ™ odwrotnÄ…. ax + b 2. Czy relacja xR y Ô! y = , gdzie a,b,c,d " R i ad - bc `" 0 jest funkcjÄ… w zbiorze cx + d R × R ? JeÅ›li nie, to jaki jest najwiÄ™kszy podzbiór X ‚" R , dla którego relacja ta, ale zawarta w zbiorze X × R bÄ™dzie funkcjÄ…? Czy funkcja ta jest injekcjÄ…? Czy jest surjekcjÄ…? JeÅ›li nie to wyznacz zbiór Y ‚" R , taki aby funkcja R ‚" X ×Y byÅ‚a surjekcjÄ…. Relacja R ‚" X ×Y jest bijekcjÄ…, a zatem relacja do niej odwrotna jest także funkcjÄ… (również bijekcjÄ…). Wyznacz wzór funkcji odwrotnej. Narysuj wykresy funkcji R i funkcji odwrotnej dla a = 2,b = 9,c = 1, d = 3. 3. Dane sÄ… zbiory D = {(x, y) " R2 : x2 + y2 d" 1}, Z = [0,5] oraz relacja R ‚" D × Z , okreÅ›lona nastÄ™pujÄ…co (x, y)R z Ô! z = 5 - x2 - y2 . Czy relacja ta jest funkcjÄ…? JeÅ›li tak, to czy jest surjekcjÄ…? Czy jest injekcjÄ…? 4. Niech funkcja f : R R bÄ™dzie okreÅ›lona wzorem f (x) = 3x2 - 3x + 2 . Znalezć: a) f ({1, 2}) . b) f ([-2, -1]) . c) f ((- ", - 2]) . -1 d) f ({0, 2,8}) . -1 e) f ([2,8]) . -1 f) f ((- ", - 6) ) . 5. Niech A bÄ™dzie zbiorem n elementowym, a B zbiorem m- elementowym. Ile istnieje a) relacji binarnych zawartych w A× B ? b) funkcji ze zbioru A do zbioru B? c) funkcji różnowartoÅ›ciowych (injekcji) z A do B? d) funkcji wzajemnie jednoznacznych (bijekcji) z A do B? 6. Uzasadnić, że nastÄ™pujÄ…ce zbiory sÄ… przeliczalne: zbiór liczb caÅ‚kowitych ujemnych, zbiór liczb caÅ‚kowitych, zbiór liczb naturalnych nieparzystych, zbiór liczb wymiernych. 7.Uzasadnić równoliczność zbiorów: ëÅ‚- Ä„ Ä„ öÅ‚ a) , ~ (a, b) ~ R . b) (0,1) ~ (0,1)2. ìÅ‚ ÷Å‚ 2 2 íÅ‚ Å‚Å‚ 8. JakÄ… moc majÄ… zbiory A = {x " R : x > 5}, B = {n" N : 4 | n} . Jakiej mocy sÄ… zbiory A *" B , A )" B oraz A× B . Odpowiedz uzasadnij. Dorota Majorkowska-Mech