m�n m, n " N
m�n m n
�ł łł
a11 a12 . . . a1n
�ł śł
�ł a21 a22 . . . a2n śł
śł
�ł
�ł śł
�ł �ł
am1 am2 . . . amn
A, B, C, X
i- j- aij.
A [aij]m�n [aij] ,
A B aij = bij i "
{1, 2, . . . , m} , j " {1, 2, . . . , n} .
1 0
A = 2 � 2,
6 3
1
B = 1 � 4,
2 3 1
2
�ł łł
2 3 7
�ł śł
�ł śł
1 2 5
�ł śł
C = 4 � 3. c12 = 3, c23 = 5.
�ł śł
0 3 3
�ł �ł
0 4 2
m�n,
 m � n 0m�n 0,
�ł łł
0 0 . . . 0
�ł śł
�ł śł
0 0 . . . 0
�ł śł
0 = .
�ł śł
�ł �ł
0 0 . . . 0
(m = n)
(a11, a22, . . . ann)
�ł łł
a11 a12 . . . a1n
�ł śł
�ł a12 a22 . . . a2n śł
śł
�ł
A = .
�ł śł
�ł �ł
an1 an2 . . . ann
n e" 2,
0
�ł łł
a11 0 . . . 0
�ł śł
�ł śł
a12 a22 . . . 0
�ł śł
A = .
�ł śł
�ł �ł
an1 an2 . . . ann
�ł łł
a11 a12 . . . a1n
�ł śł
�ł śł
0 a22 . . . a2n śł
�ł
A = .
�ł śł
�ł �ł
0 0 . . . ann
n,
0,
�ł łł
a11 0 . . . 0
�ł śł
�ł 0 a22 . . . 0 śł
�ł śł
A = .
�ł śł
�ł �ł
0 0 . . . ann
n,
1 In I
�ł łł
1 0 . . . 0
�ł śł
�ł śł
0 1 . . . 0
�ł śł
I = .
�ł śł
�ł �ł
0 0 . . . 1
m � n Aij, i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n
m n
A
�ł łł
A11 A12 . . . A1n
�ł śł
�ł A12 A22 . . . A2n śł
śł
�ł
A =
�ł śł
�ł �ł
Am1 Am2 . . . Amn
Ai1, Ai2, . . . , Ain i-
A1j, A2j, . . . , Amj j-
�ł łł
0 0 0
0 0 0 0
�ł śł
, .
�ł 0 0 0 �ł
0 0 0 0
0 0 0
�ł łł
1 -2 7
5 4
�ł śł
, .
�ł 0 5 8 �ł
34
-7
3
9 5 -4
�ł łł
�ł łł
5 0 0 0
1 2 7 �ł śł
4
�ł śł
4 0 0
�ł śł
5
�ł śł
,
0
�ł -5 8 �ł
�ł śł
-5 5 2 0
�ł �ł
7
0 0 4
4 77 11 7
�ł łł
4 0 0 0
�ł śł
1
�ł śł
0 0 0
2
�ł śł
�ł śł
0 0 64 0
�ł �ł
0 0 0 -5
�ł łł
1 0 0
�ł śł
�ł 0 1 0 �ł
0 0 1
�ł łł
1
4 -5 7 3 1
2
�ł śł
1
A = 3 4 2 1 -7
�ł �ł
2
7 19 6 1 0 11
A = [aij]m�n , B = [bij]m�n . A B
C = [cij]m�n ,
cij = aij ą bij,
i " {1, 2, . . . , m} , j " {1, 2, . . . , n} .
C = A ą B.
�ł łł �ł łł
c11 c12 . . . c1n a11 ą b11 a12 ą b12 . . . a1n ą b1n
�ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł
c12 c22 . . . c2n śł �ł a12 ą b12 a22 ą b22 . . . a2n ą b2n śł
�ł
= .
�ł śł �ł śł
�ł �ł �ł �ł
cm1 cm2 . . . cmn am1 ą bm1 am2 ą bm2 . . . amn ą bmn
�ł łł �ł łł
2
3 1 0 1 1 -3 4
3
�ł śł �ł śł
2
A = -5 1 4 �ł �ł 14 9 11 0 �ł
, B = .
�ł
3
2 -4 21 3 -4 3 1 -2
2
�ł łł �ł łł
2 11
3 + 1 + 1 0 - 3 1 + 4 2 -3 5
3 3
�ł śł �ł śł
2 44
A + B = = .
�ł + 14 -5 + 9 1 + 11 4 + 0 �ł �ł 4 12 4 �ł
3 3
7
2 - 4 -4 + 3 21 + 1 3 - 2 -2 -1 1
2 2
A = [aij]m�n , ą
A ą B = [bij]m�n
bij = ą � aij,
 i " {1, 2, . . . , m} , j " {1, 2, . . . , n} .
B = ą � A.
�ł łł �ł łł
b11 b12 . . . b1n ą � a11 ą � a12 . . . ą � a1n
�ł śł �ł śł
�ł b12 b22 . . . b2n śł �ł ą � a12 ą � a22 . . . ą � a2n śł
śł �ł śł
�ł
= .
�ł śł �ł śł
�ł �ł �ł �ł
bm1 bm2 . . . bmn ą � am1 ą � am2 . . . ą � amn
1 4
A = .
-2 1
1 4 3 � 1 3 � 4 3 12
3 � A = 3 � = = .
-2 1 3 � (-2) 3 � 1 -6 3
5 6 2 3 -7 1
A = , B = .
-5 2 -1 4 1 3
3 � A - 4 � B.
5 6 2 3 -7 1
3 � A - 4 � B =3 � - 4 � =
-5 2 -1 4 1 3
15 18 6 12 -28 4 3 46 2
- = .
-15 6 -3 16 4 12 -31 2 -15
A = [aij]m�n , B = [bij]n�k . A B
C = [cij]m�k ,
cij = ai1b1j + ai2b2j + . . . + ainbnj
i " {1, 2, . . . , m} , j " {1, 2, . . . , k} .
C = A � B.
A � B
A B.
A B.
�ł łł
5 2
1 3 12
�ł śł
A = , B = .
1 0
�ł �ł
-2 21 -2
1 1
1 � 5 + 3 � 1 + 12 � 1 1 � 2 + 3 � 0 + 12 � 1 20 14
AB = = .
-2 � 5 + 21 � 1 + (-2) � 1 -2 � 2 + 21 � 0 + (-2) � 1 9 -6
A m � n B C n � k,
A (B + C) = AB + AC.
A B m � n C n � k,
(A + B) C = AC + BC.
A m � n, B n � k ą
A (ąB) = (ąA) B = ą (AB) .
A m�n B n�k C
k � l,
(AB) C = A (BC) .
A m � n,
AIn = ImA = A.
A = [aij]m�n . A
B = [bij]n�m
bij = aji,
i " {1, 2, . . . , m} , j " {1, 2, . . . , n} .
B = AT .
�ł łł
-5 2 1
�ł śł
�ł śł
-1 6 2
�ł śł
A = .
�ł śł
2 0 1
�ł �ł
2 64 5
�ł łł
-5 -1 2 2
�ł śł
AT = .
�ł 2 6 0 64 �ł
1 2 1 5
A B m � n,
(A + B)T = AT + BT .
A m � n ą " R,
T
AT = A oraz (ąA)T = ąAT
A m � n, B n � k,
(AB)T = BT AT
A det A
A n = 1 (A = [a11]) ,
det A = a11,
A n e" 2,
det A = (-1)1+1 a11 det A11 + (-1)1+2 a12 det A12 + . . . + (-1)1+n a1n det A1n,
Aij n - 1, A
i- j-
�ł łł
a11 a12 . . . a1n
�ł śł
�ł a12 a22 . . . a2n śł
śł
�ł
A = ,
�ł śł
�ł �ł
an1 an2 . . . ann
 det A
�ł łł
a11 a12 . . . a1n
�ł śł
�ł a12 a22 . . . a2n śł
śł
�ł
det
�ł śł
�ł �ł
an1 an2 . . . ann
a11 a12 . . . a1n
a12 a22 . . . a2n
.
an1 an2 . . . ann
n = 2
a b
det = ad - cb.
c d
n = 3
�ł łł
a b c a b c a b
�ł śł
det = = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi.
�ł d e f d e f d e
�ł
g h i g h i g h
A = [aij] n e" 2.
aij A
Dij = (-1)i+j det Aij,
Aij n - 1, A i-
j-
�ł łł
-4 2 1
�ł śł
A = .
�ł 4 2 3 �ł
2 1 0
4 2
D13 = (-1)1+3 � = 1 � 0 = 0,
2 1
-4 2
D23 = (-1)2+3 � = -1 � (-8) = 8.
2 1
 A = [aij] n e" 2.
i, j " {1, 2, . . . , n} . A
det A = ai1Di1 + ai2Di2 + . . . + ainDin,
det A = a1jD1j + a2jD2j + . . . + anjDnj.
A
i-
i- A
j-
j-
�ł łł
-4 2 1
�ł śł
A = ,
�ł 4 2 3 �ł
2 1 0
det A 2-
3-
2 1 -4 1 -4 2
det A = 4 � (-1)2+1 + 2 � (-1)2+2 + 3 � (-1)2+3 =
1 0 2 0 2 1
= -4 � (-1) + 2 � (-2) + (-3) � (-8) = 24.
4 2 -4 2 -4 2
det A = 1 � (-1)1+3 + 3 � (-1)2+3 + 0 � (-1)3+3 =
2 1 2 1 4 2
= 1 � 0 + (-3) � (-8) + 0 = 24.
a11 0 . . . 0
a12 a22 . . . 0
= a11 � a22 � . . . � ann,
an1 an2 . . . ann
a11 a12 . . . a1n
0 a22 . . . a2n
= a11 � a22 � . . . � ann.
0 0 . . . ann
�ł łł �ł łł
a11 c � a12 . . . a1n a11 a12 . . . a1n
�ł śł �ł śł
�ł a12 c � a22 . . . a2n śł �ł a12 a22 . . . a2n śł
śł śł
�ł �ł
det = c � det ,
�ł śł �ł śł
�ł �ł �ł �ł
an1 c � an2 . . . ann an1 an2 . . . ann
�ł łł �ł łł
a11 a12 . . . a1n a11 a12 . . . a1n
�ł śł �ł śł
�ł c � a12 c � a22 . . . c � a2n śł �ł a12 a22 . . . a2n śł
śł śł
�ł �ł
det = c � det
�ł śł �ł śł
�ł �ł �ł �ł
an1 an2 . . . ann an1 an2 . . . ann
A = [aij]n�n .
a11
1 a11 = 0
A a11
�ł łł �ł łł
a11 a12 . . . a1n 1 a12 . . . a1n
�ł śł �ł śł
a12
�ł śł �ł śł
a12 a22 . . . a2n śł k1 a22 . . . a2n śł
a11
�ł �ł
det k1 = = a11 � det .
�ł śł a11 �ł śł
�ł �ł �ł �ł
an1
an1 an2 . . . ann an2 . . . ann
a11
�ł łł
1 a12 . . . a1n
a12
w2 = w2 - w1 �
�ł śł
a12 a11
�ł a22 . . . a2n śł
śł
a11
�ł
a11 � det =
�ł śł
�ł �ł
an1
wn = wn - w1 �
an1 a11
an2 . . . ann
a11
�ł łł
1 a12 . . . a1n
�ł śł
�ł 0 a 22 . . . a 2n śł
śł
�ł
= a11 � det .
�ł śł
�ł �ł
0 a n2 . . . a nn
1
a 22
a11 = 0.
1
�ł łł
1 4 2
�ł śł
det .
�ł 3 5 7 �ł
-4 -2 1
1 4 2 1 4 2
w2 = w2 - 3 � w1
= -7 1
=
3 5 7 0
w3 = w3 + 4 � w1
-4 -2 1 0 14 9
1 4 2 1 4 2
w3 = w3 + 2 � w2 = -7 1 -77
=
0 -7 1 0
0 14 9 0 0 11
 A n.
A A-1,
AA-1 = A-1A = In,
In n.
2 1
A = ,
5 3
3 -1
A-1 = .
-5 2
2 1 3 -1 1 0
AA-1 = =
5 3 -5 2 0 1
3 -1 2 1 1 0
A-1A = = .
-5 2 5 3 0 1
A
A
det A = 0.
A
det A = 0 A = [aij] n

�ł łł
T
D11 D12 . . . D1n
�ł śł
�ł D21 D22 . . . D2n śł
śł
1
�ł
A-1 = ,
�ł śł
det A
�ł �ł
Dn1 Dn2 . . . Dnn
Dij aij A.
A B
ą = 0. A-1, AT , AB, ąA An n " N

-1
det (A-1) = (det A)-1 (A-1)-1 = A AT = (A-1)T
1
(AB)-1 = B-1A-1 (ąA)-1 = A-1 (An)-1 = (A-1)n
ą
�ł łł
2 5 7
�ł śł
A = .
�ł 6 3 4 �ł
5 -2 -3
det A
2 5 7 2 5 7 2 5
det A = = =
6 3 4 6 3 4 6 3 -18 + 100 - 84 - 105 + 16 + 90 = -1.
5 -2 -3 5 -2 -3 5 -2
3 4
D11 = (-1)1+1 = -1,
-2 -3
6 4
D12 = (-1)1+2 = 38,
5 -3
6 3
D13 = (-1)1+3 = -27,
5 -2
5 7
D21 = (-1)2+1 = 1,
-2 -3
2 7
D22 = (-1)2+2 = -41,
5 -3
2 5
D23 = (-1)2+3 = 29,
5 -2
5 7
D31 = (-1)3+1 = -1,
3 4
2 7
D32 = (-1)3+2 = 34,
6 4
2 5
D33 = (-1)3+3 = -24.
6 3
�ł łł �ł łł �ł łł
T
-1 38 -27 -1 1 -1 1 -1 1
�ł śł �ł śł �ł śł
A-1 = -1 = = .
1 �ł �ł -41 34 �ł �ł -38 41 -34 �ł
38
�ł -41 29 -1
-1 34 -24 -27 29 -24 27 -29 24
 A A-1
A
�ł łł
a11 a12 . . . a1n 1 0 . . . 0
�ł śł
�ł a12 a22 . . . a2n 0 1 . . . 0 śł
�ł śł
.
�ł śł
�ł �ł
an1 an2 . . . ann 0 0 . . . 1
[A|I]
[I|B]
"
"
"
B
A.
�ł łł
2 2 3
�ł śł
A =
1
�ł -1 0 �ł
-1 2 1
 m n x1, x2, . . . , xn, m, n " N
ńł
�ł a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
�ł
�ł
�ł
�ł
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
,
�ł
�ł
�ł
�ł
ół
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
aij, bi " R i " {1, 2, . . . , m} j " {1, 2, . . . , n} .
(x1, x2, . . . , xn)
AX = B,
�ł łł �ł łł �ł łł
a11 a12 . . . a1n x1 b1
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł a12 a22 . . . a2n śł �ł śł �ł śł
śł x2 b2
�ł �ł śł �ł śł
A = , X = , B = .
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
am1 am2 . . . amn xn bm
A X
B
ńł
�ł x - y = 0
�ł
.
y + z = 2
�ł
ół
z = -5
 B = 0,
AX = 0
B
X = 0.
AX = B,
A
�ł łł
det A1
�ł śł
�ł det A1 śł
śł
1
�ł
X = ,
�ł śł
det A
�ł �ł
det An
n A, Aj j " {1, 2, . . . , n} A,
j- B.
det A1 det A2 det An
x1 = , x2 = , . . . , x2 = .
det A det A det A
ńł
�ł x - y - z = 1
�ł
.
3x + 4y - 2z = -1
�ł
ół
3x - 2y - 2z = 1
X = A-1B.
 A
A
1 A rz A.
�ł łł
1 -1 0 2 1
�ł śł
A =
�ł 3 1 1 3 2 �ł
-1 -3 -1 1 0
1 -1 0
= 0,
3 1 1
-1 -3 -1
1 -1 2
= 0,
3 1 3
-1 -3 1
1 -1 1
= 0
3 1 2
-1 -3 0
3
rz A d" 2. 2.
1 -1
= 4 = 0,

3 1
rz A = 2.
 A
�ł łł
1 0 . . . 0 a 1r+1 . . . a 1n
�ł śł
�ł
0 1 . . . 0 a 2r+1 . . . a 2n śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
0
�ł śł
�ł
0 0 . . . 1 a rr+1 . . . a 4n śł
�ł �ł
0 0 . . . 0 0 . . . 0
rz A = r.
�ł łł
1 -1 0 2 1
�ł śł
A = .
�ł 3 1 1 3 2 �ł
-1 -3 -1 1 0
�ł łł �ł łł
1 -1 0 2 1 1 -1 0 2 1
w2 = w2 - 3w1 �ł
�ł śł śł
rz = rz =
�ł 3 1 1 3 2 �ł �ł 0 4 1 -3 -1 �ł
w3 = w3 + w1
-1 -3 -1 1 0 0 -4 -1 3 1
�ł łł �ł łł
1 5 3
1 -1 0 2 1 w3 = w3 + w2 1 0
4 4 4
�ł śł �ł śł
1 1
rz = rz = 2.
�ł 0 4 1 -3 -1 w1 = w1 + w2 �ł 0 1 -3 -1 �ł
�ł
4 4 4 4
1
0 -4 -1 3 1 w2 = w1 0 0 0 0 0
4
AX = B
rz A = rz [A|B] = r.
" r = n A
" r < n A
n - r
rz A = rz [A|B]
ńł
�ł 4x - y = 7
�ł
.
3x + y = 14
�ł
ół
2x + 3y = 0
ńł
�ł
5x + 3y - z = 3
�ł
�ł
�ł
�ł
2x + y - z = 1
.
�ł
3x - 2y + 2z = -4
�ł
�ł
�ł
ół
x - y + 2z = -2
ńł
�ł
3u + x + y + 2z = 2
�ł
�ł
�ł
�ł
-u + x + 2y + z = 1
.
�ł
6u + 2x + 2y + 4z = 4
�ł
�ł
�ł
ół
-3u + 3x + 6y + 3z = 3
 R3
(x, y, z)
R3 := {(x, y, z) : x, y, z " R} .
R3
" A, B, C, P, Q
A = (x, y, z) A x, y, z
" A = (xa, ya, za) B = (xb, yb, zb)
AB A
A B AB
AB := [xb - xa, yb - ya, zb - za] .
AA
:= [0, 0, 0] .
"
 A = (xa, ya, za) B = (xb, yb, zb)
Ż
AB AB AB
||AB||
||AB|| := (xb - xa)2 + (yb - ya)2 + (zb - za)2.
AB P Q
AB P Q AB
AB A B
AB
AB
a, u, v
A, B, C k
A, B, C " k K, L, M, N
Ą K, L, M, N " Ą
u, v u v
u, v u v
ą, � ąu + �v =
u1 = [x1, y1, z1] u2 = [x2, y2, z2]
ą
u1 u2 u1 + u2
u1 + u2 := [x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2].
u1 u2 u1 - u2
u1 - u2 := [x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2].
u ą ą � u1
ą � u1 := [ą � x1, ą � y1, ą � z1].
u v
w ą, �
u + v = v + u
u + (v + w) = (v + u) + w
u + = u
 u + -u = -u u
1 � u = u
(ą�) � u = ą � (� � u)
(ą + �) � u = ą � u + � � u
ą � (u + v) = ą � u + ą � v
u = [x, y, z]
||u|| = x2 + y2 + z2.
u v
ą
||u|| e" 0 ||u|| = 0 �! u =
||ąu|| = |ą| � ||u||
||u + v|| d" ||u|| + ||v||
|||u|| - ||v||| d" ||u - v||
x, y, z
O = (0, 0, 0)
Oxyz Ox Oy Oz
Ox Oy Oz






= [1, 0, 0] = [0, 1, 0] = [0, 0, 1]
Ox Oy Oz






u, v u v
u ć% v
u ć% v = ||u|| � ||v|| � cos Ć,
Ć u v






u1 = [x1, y1, z1]
u2 = [x2, y2, z2]
u1 ć% u2 = x1x2 + y1y2 + z1z2.
u v w
ą
u ć% v = v ć% u
 (ąu) ć% v = ą (u ć% v)
u ć% u = ||u||2
(u + v) ć% w = u ć% w + v ć% w
|u ć% v| d" ||u|| � ||v|| �! u v
u Ą" v �! u ć% v = 0
u = [x1, y1, z1] v = [x2, y2, z2] w = [x3, y3, z3]
(u, v, w)
x1 y1 z1
> 0.
x2 y2 z2
x3 y2 z3
u, v, w
u v
u v Oxyz
w = u � v
w u v
||w|| = ||u|| � ||v|| � sin Ć,
Ć u v
u, v, w Oxyz
u v
u � v =
u � v
u v
u � v
u = [x1, y1, z1]
v = [x2, y2, z2]
u � v = ,
x1 y1 z1
x2 y2 z2
, ,
 u v
w ą
u � v = -(v � u)
(ąu) � v = u � (ąv) = ą(u � v)
(u + v) � w = u � w + v � w
u � (v + w) = u � v + u � w
||u � v|| d" ||u|| � ||v|| �! u Ą" v
u v �! u � v = 0
u � v
u v







w = u � v
u, v, w
(u, v, w) := (u � v) ć% w.
u = (x1, y1, z1) v =
(x2, y2, z2) w = (x3, y3, z3)
x1 y1 z1
(u, v, w) = .
x2 y2 z2
x3 y3 z3
u v
w r ą
(u, v, w) = (v, w, u) = (w, u, v)
 (u, v, w) = -(v, u, w)
(u + r, v, w) = (u, v, w) + (r, v, w)
(ąu, v, w) = ą(u, v, w)
u, v, w �! (u, v, w) = 0
|(u, v, w)| d" ||u||�||v||�||w|| �!
u, v, w






= u, v, w
n = [A, B, C]
P0 = (x0, y0, z0) Ą P0
n
Ą : A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0.
P Ą
Ą n
Ax + By + Cz + D = 0,
A2 + B2 + C2 > 0 A, B, C
 P0 = (x0, y0, z0) u =
[a1, b1, c1] v = [a2, b2, c2] Ą
u, v P0
ńł
�ł x = x0 + sa1 + ta2,
�ł
Ą =
y = y0 + sb1 + tb2, s, t " R.
�ł
ół
z = z0 + sc1 + tc2
P1 =
(x1, y1, z1) P2 = (x2, y2, z2) P3 = (x3, y3, z3)
x y z 1
x1 y1 z1 1
Ą : = 0.
x2 y2 z2 1
x3 y3 z3 1
l
Ą1 Ą2
l
Ą1 Ą2
Ą1 : A1x + B1y + C1z + D1 = 0, Ą2 : A2x + B2y + C2z + D2 = 0.
Ą
Ą : 1 (A1x + B1y + C1z + D1)) + 2 (A2x + B2y + C2z + D1) = 0,
1, 2
l P0 = (x0, y0, z0)
v = [a, b, c]
l : (x, y, z) = (x0, y0, z0) + t[a, b, c], t " R,
ńł
�ł x = x0 + at
�ł
l :
y = y0 + bt t " R
�ł
ół
z = z0 + ct
 l P0 = (x0, y0, z0)
v = [a, b, c], a, b, c = 0

x - x0 y - y0 z - z0
l : = = .
a b c
v
a, b, c
Ą1 : A1x + B1y + C1z + D1 = 0
Ą2 : A2x + B2y + C2z + D2 = 0
A1x + B1y + C1z + D1 = 0
l :
A2x + B2y + C2z + D2 = 0
l
v l l
A1x + B1y + C1z + D1 = 0
l :
A2x + B2y + C2z + D2 = 0
v = [A1, B1, C1] � [A2, B2, C2].
P Ą
p
P P Ą" Ą
P0 =
(x0, y0, z0) Ą : Ax + By + Cz + D = 0
|Ax0 + By0 + Cz0 + D|
d(P0, Ą) = "
A2 + B2 + C2
Ą1, Ą2
Ą1 : A1x + B1y + C1z + D1 = 0,
Ą2 : A2x + B2y + C2z + D2 = 0.
Ą1 Ą" Ą2 �! A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0,
 Ą1 Ą2 �! A1, B1, C1 A2, B2, C2
A2, B2, C2 = 0

A1 B1 C1
Ą1 Ą2 �! = = ,
A2 B2 C2
|A1A2 + B1B2 + C1C2|
cos (Ą1, Ą2) =
2 2 2 2
A2 + B1 + C1 � A2 + B2 + C2
1 2
2 2 2 2
A2 + B1 + C1 > 0 A2 + B2 + C2 > 0
1 2
Ą1 Ą2
Ą1 : Ax + By + C + D1 = 0, Ą2 : Ax + By + Cz + D2 = 0
|D1 - D2|
d(Ą1, Ą2) = " .
A2 + B2 + C2


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
wyklad z analizy matematycznej dla studentow na kierunku automatyka i robotyka agh
Matematyka dyskretna Wyklady z zadaniami dla studentow informatyki Broniowski Wojciech
Bobrowski Wykłady z analizy matematycznej dla studentów informatyki Politechniki Lubelskiej
skrót wykładu VI dla studentów
Wykład 12 dla studentów
Wykład 10 dla studentów
Wykład 14 dla studentów
Wykład 11 dla studentów
Matematyka dla studentów politechnik (spis posiadanych i szukanych)
2011 4 wyklad dla studentow
Wykład 2 dla studentów
Równania różniczkowe zwyczajne wykład dla studentów

więcej podobnych podstron