7. Parametry rozkładu
PiS15 W02: ZMIENNE LOSOWE I
8. Funkcja kwantylowa i kwantyle
1. Zmienna losowa i jej rozkład
9. Do samodzielnego rozwiązania
2. Niezależne zmienne losowe
Przykład 1
Przykład 2
3. Pomiary bezpośrednie i ich skale
4. Dystrybuanty i ich własności
Przykład 3
5. Zmienna losowa typu dyskretnego i jej rozkład
Przykład 4
6. Zmienna losowa typu ciągłego i jej rozkład
Przykład 5
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I 1 K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I 2
Współrzędne Xi wektora l. nazywamy zm. l. brzegowymi.
1. Zmienna losowa i jej rozkład
Jeżeli zbiór &! jest skończony, to każda funkcja X: &! R
Niech dana będzie przestrzeń probabilistyczna (&!, B, P).
jest zm. l.
Zmienną losową (ozn. zm. l.) o wartościach rzeczywistych
Zbiór wartości zm. l. X
(ang. real-valued random variable) nazywamy funkcję X
określoną na zbiorze &! i przyjmującą wartości rzeczywiste:
X(&!) = {x"Rn: "�"&! x = X(�)}
X: &! R, nazywamy jej obrazem.
spełniającą dla każdego x"R warunek {�"&!: X(�) d" x}" B. Niech dana będzie przestrzeń probabilistyczna (&!, B, P)
oraz określona na niej rzeczywista zm. l. X. Ponadto niech
Ogólniej wektor X = (X1,& , Xn) taki, że X: &! Rn, tj. dla
B(R) będzie rodziną zbiorów borelowskich na prostej.
i = 1, 2,& , n, Xi: &! R, nazywamy wektorem losowym lub
Funkcja PX określona w następujący sposób:
wielowymiarową zm. l., jeżeli
"x "R..."x "R{�" &! : X1(�) d" x1,..., X (�) d" xn}" B
&!
&!
&!
"A"B(R) PX(A) = P{�"&!: X(�)"A}
n
1 n .
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I 3 K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I 4
spełnia aksjomaty prawdop. Kołmogorowa. Nazywamy ją Przykład 1. Określić zm. l. opisującą wynik badania jakości
rozkładem prawd. rzeczywistej zm. l. X. pewnej partii wyrobów.
Rozwiązanie. Jako zm. l. wystarczy obrać funkcję przyjmują-
cą dwie wartości, np. 1, jeżeli wylosowany wyrób � okaże się
2. Niezależne zmienne losowe
wadliwy oraz 0, jeżeli okaże się dobry. Funkcję tę można za-
Rzeczywiste zm. l. X1, X2,& , Xn określone na tej samej
pisać wzorem:
przestrzeni (&!, B, P) nazywamy niezależnymi zm. l., gdy dla
0, dla wyrobu dobrego
ńł
każdego ciągu zbiorów borelowskich B1, B2,& Bn
X (�) = �ł
n n
, gdzie �"&!.
w p. p.
ół1,
P{�"&! : (�)" Bi )} = &!
&! &!
&! &!
&!
I(Xi "P{�"&! : Xi (�)" Bi}.
i=1 i=1
Zm. l. X z przykładu 1 nazywa się zm. l. zero-jedynkową.
Uwaga.
Tak określona zm. l. może być modelem dowolnego doświad-
1. Dla x, x1, x2 " R (gdzie x1 < x2) zdarz. jest również zbiór czenia dychotomicznego, tj. takiego którego wynik zaliczyć
można jedynie do dwóch wykluczających się kategorii.
{�"&!: X(�) < x}, który ozn. X < x oraz zbiór X e" x i in.
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I 5 K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I 6
Przykład 2. Określić dwie zm. l. Z1 i Z2 opisujące wynik zali-
3. Pomiary bezpośrednie i ich skale
czenia przedmiotu i zbadać ich niezależność.
Pomiar bezpośredni - doświadczenie polegające na przy-
-
-
-
Rozwiązanie. Zm. l. Z1 i Z2 są funkcjami
porządkowaniu liczb przedmiotom (obiektom) lub wydarze-
Z1, Z2: {A, B, C, D, E, F} R,
niom zgodnie z pewnym zbiorem reguł określających jed-
które określamy następująco:
nostki pomiaru, przyrządy pomiarowe, warunki pomiaru, itp.
Z1(A) = 5; Z2(�) = 0 dla � "{F},
Wynikiem pomiaru są dwa rodzaje wielkości, te które mówią
Z1(B) = 4,5; Z2(�) = 1 dla � " &!\{F}, o liczebności zbioru obiektów, i te, które charakteryzują sto-
pień nasilenia zjawiska wyrażony w pewnej skali pomiarowej.
Z1(C) = 4;
Z1(D) = 3,5;
Skala pomiarowa - zbiór W możliwych wyników pomiaru.
-
-
-
Z1(E) = 3;
Zwykle skala jest podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych wy-
Z1(F) = 2. rażonych w pewnych jednostkach miary.
Zm. l. Z1 jest określona zgodnie z systemem ocen w szkolnic-
Wyróżniamy następujące skale pomiarowe: dychotomicz-
twie wyższym, a Z2 informuje o zaliczeniu przedmiotu.
na, nominalna, porządkowa, przedziałowa i ilorazowa.
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I 7 K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I 8
Dystrybuantami brzegowymi (marginal distribution func-
4. Dystrybuanty i ich własności
tion) zm. l. X i Y nazywamy funkcje FX i FY , gdzie
Dystrybuantą (ang. cumulative distribution function
FX = limy"F(x, y), FY = limx"F(x, y).
(CDF)) zm. l. X nazywamy funkcję rzeczywistą zmiennej rze-
czywistej FX: R R, określoną wzorem:
Twierdzenie o dystrybuancie
FX (x) = P(X d" x) = P{�"&!: X(�) d" x}.
Funkcja F(x) jest dystrybuantą zm. l. o wartościach rzeczywi-
Uwaga. Podana definicja dystrybuanty jest zgodna z nor-
stych wtedy i tylko wtedy, gdy
mą PN-ISO 3534-1. W literaturze naukowej często dystrybu-
1. jest funkcją niemalejącą, to znaczy spełnia formułę
anta jest definiowana wzorem FX (x) = P(X < x).
Dla dwuwymiarowej zm. l. (X, Y) funkcję FX,Y, określoną "(x1, x2"R) (x1< x2 �! F(x1) d" F(x2));
dla każdej pary liczb rzeczywistych (x, y), wzorem:
lim F(x) = 0 lim F(x) = 1,
2. ma własności graniczne ,
x-" x+"
R2 (x, y) a FX ,Y (x, y) = P(X d" x,Y d" y)
nazywamy dystrybuantą łączną (the join CDF.)
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I 9 K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I 10
3. jest funkcją co najmniej prawostronnie ciągłą1, tj. Przykład 3. Niech rozkład ocen z zaliczenia przedmiotu bę-
def dzie równomierny.
F(x+) = limF(x + �) = F(x)
"x"R, "� >0, .
a) Określić dwie różne zm. l. opisujące to doświadczenie.
�0
b) Wyznaczyć dystrybuanty F1 i F2.
c) Czy zm. l. opisujące to doświadczenie są niezależne ?
Rozwiązanie. a) Niech &! = {A, B, C, D, F}, gdzie zdarzenia
elementarne oznaczają otrzymaną ocenę przez losowo wybra-
nego studenta. Zm. l. Z1 i Z2 określamy jak w przykładzie 2.
Rys. 1. Graficzne przedstawienie własności dystrybuanty
1
Przyjęta co najmniej prawostronna ciągłość jest zgodna z obowiązującą normą PN-ISO 3534-1:2002.
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I 11 K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I 12
b) Dystrybuanty zm. l. Z1 i Z2 są określone wzorami: c) Sprawdzamy niezależność Z1 i Z2, np. czy
F1(3)F2(0) = F1,2(3, 0).
0 dla x < 2,
ńł
F1(3) = P(Z1 d" 3) = P{E, F} = 1/3,
�ł
�ł
1/ 6 dla x "[2; 3),
F2(0) = P(Z2 d" 0) = P{F} = 1/6,
�ł
P(Z1 d" 3, Z2 d" 0) = P{F} = 1/6, czyli F1(3) F2(0) `" F(1, 2)(3, 0).
�ł2 / 6 dla x "[3; 3,5),
0 dla y < 0,
ńł
�ł
Stąd wniosek, że zm. losowe Z1 i Z2 nie są niezależne.
�ł3/
�ł
�ł1/
F1(x) = 6 dla x "[3,5; 4),
�ł
F2(y) = 6 dla y "[0,1),
�ł
�ł
�ł
4 / 6 dla x "[4; 4,5),
�ł
�ł 1 dla y e"1.
ół
�ł
�ł
5/ 6 dla x "[4,5; 5),
�ł
�ł
1 dla x e" 5.
ół
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I 13 K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I 14
5. Zmienna losowa typu dyskretnego i jej rozkład Funkcja prawdopodobieństwa
Niech X: &! R będzie zm. l. typu dyskretnego.
Zm. l. X określoną na (&!, B, P) nazywamy zm. l. typu dys-
kretnego (discrete R.V.), jeżeli jej obraz X(&!) jest zbiorem co
Funkcją prawdopodobieństwa (probability mass function
najwyżej przeliczalnym.
PMF) nazywamy funkcję fX: R [0, 1] określoną wzorem:
Dystrybuanta FX rzeczywistej zm. l. X jest wówczas funk-
fX(x) = P(X = x) = P{�"&!: X(�) = x}.
cją przedziałami stałą. Skoki ma tylko w punktach nieciągło-
Jeżeli obraz X(&!) = {x1, x2, ... } oraz fX(xk) = pk, to PMF
ści x1, x2,& , xn,& .
jest podawana w postaci ciągu par {(xk, pk): k = 1, 2,& }lub
Skoki w tych punktach mają wartości p1, p2,& , pn,& ,
dwuwierszowej tablicy
gdzie pi = P(X = xi) = P{�"&!: X(�) = xi} oraz Łpi = 1.
x1 x2 x3 ...
�ł �ł
Zm. l. typu dyskretnego jest modelem pomiarów w sła-
�ł �ł
fX =
bych skalach. Modele jakościowego odbioru partii produktów
�ł
.
p1 p2 p3 ...�ł
�ł łł
oraz rzutu kostką są przykładami zm. l. tego typu.
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I 15 K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I 16
otrzymujemy poprzez zsumowanie prawd. po wszystkich
Dla wektora l. (X, Y) z obrazami X(&!) i Y(&!), możemy
wartościach pozostałej zm. l., tj.
rozważać zdarzenia dla każdej pary ich wartości (xi, yj), gdzie
xi,"X(&!), yj"Y(&!), tj.
fX(xi) = Łj fX,Y(xi, yj), fY(yj) = Łi fX,Y(xi, yj).
Elementy pij łącznej funkcji prawd. zwykle umieszczamy w
{�"&!: X(�) = xi, Y(�) = yj} (krótko {X = xi, Y = yj}).
tablicy dwudzielczej.
Prawdop. P(X = xi, Y = yj) określa łączny rozkład pary (X, Y).
Tablica 1. Schemat tablicy dwudzielczej
Funkcję fX,Y: R2 [0, 1] określoną wzorem
X \ Y y1 y2 ... ym fX
fX,Y(xi, yj) = P(X = xi, Y = yj) ,
x1 p11 p12 ... p1m
p1"
nazywamy łączną funkcją prawd. (the join PMF) dla pary X i
x2 p21 p22 ... p2m
p2"
Y.
... ... ... ... ... &
Brzegowe f. prawd. fX i fY ( marginal PMFs)
xn pn1 pn2 ... pnm
pn"
fY ... 1
fX(xi) = P(X = xi) = pi" , fY(yj) = P(Y = yj) = p" j, p" 1 p" 2 p" m
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I 17 K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I 18
Twierdzenie (o funkcji prawd. niezależnych zm. l.). Zm. l. wynoszą p. Rozważamy dwóch studentów A i B. Dla studenta
X1, X2,& , Xn o rozkładach typu dyskretnego są niezależne
A niech p = 0,9; natomiast dla studenta B niech p = 0,7.
wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu x1, x2,& , xn war-
a) Dla rozważanych studentów wyznaczyć funkcje prawd.
tości zm. l.
oraz dystrybuanty liczby zaliczonych przedmiotów.
P(X1 = x1, X2 = x2,& , Xn = xn) = i P(Xi = xi) . b) Podać najbardziej prawd. liczby zaliczonych przedmio-
tów przez studentów A i B.
c) Obliczyć prawd. uzyskania promocji przez studentów A
Przykład 4. Uzyskanie promocji na następny semestr, przez
i B.
studenta pewnego kierunku studiów, jest związane z zalicze-
niem przez niego, w ustalonym terminie, co najmniej sześciu
Rozwiązanie. Oznaczenia: X i Y oznaczają losowe liczby za-
przedmiotów spośród ośmiu. Zakładamy, że zaliczenie przez
liczonych przedmiotów odpowiednio przez studentów A i B.
studenta jednego przedmiotu nie zależy od wyników zalicze-
Zm. l. X i Y przyjmują wartości ze zbioru {0, 1, 2,..., 8}.
nia przez niego innych przedmiotów. Ponadto zakładamy, że
prawd. zaliczenia poszczególnych przedmiotów są równe i
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I 19 K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I 20
Tablica. Funkcje prawd. i dystrybuanty
a) Zdarzenie X = x zajdzie, jeśli student A zaliczy x przedmio-
tów i pozostałe, tj. 8 - x nie zaliczy. Może tego dokonać na  8
x P(X = x) FX(x) P(Y = x) FY(x)
po x sposobów, czyli prawd. zdarzenia X = x dla x"{0, 1,& ,
0 1E-08 1E-08 0,00006561 0,00006561
8} wyraża się wzorem:
1 7,2E-07 7,3E-07 0,00122472 0,00129033
8
�ł �ł
2 2,27E-05 2,34E-05 0,01000188 0,01129221
x
�ł �ł
P(X = x) = p (1- p)8-x
�ł
3 0,000408 0,000432 0,04667544 0,05796765
x�ł
�ł łł
4 0,004593 0,005024 0,1361367 0,19410435
Podobnie dla studenta B. Funkcje prawd. oraz dystrybuanty
5 0,033067 0,038092 0,25412184 0,44822619
zm. l. X i Y, tj. dla p = 0,9 i p = 0,7 są zestawione w tablicy.
6 0,148803 0,186895 0,29647548 0,74470167
7 0,382638 0,569533 0,19765032 0,94235199
8 0,430467 1 0,05764801 1
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I 21 K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I 22
b) Najbardziej prawd. jest, że student A zaliczy 8 przedmio-
6. Zmienna losowa typu ciągłego i jej rozkład
tów i prawdop. tego zdarzenia wynosi 0,430, natomiast dla
Zm. l. X o wartościach rzeczywistych nazywamy zm. l. ty-
studenta B najbardziej prawd. jest, że zaliczy on 6 przedmio-
pu ciągłego (continuous random variable), jeśli jej dystrybu-
tów. Prawdop. tego zdarzenia wynosi 0,296.
anta F jest funkcją absolutnie ciągłą, tj. istnieje taka funkcja f
c) Studenci A i B uzyskają promocje, jeżeli X e" 6 i Y e" 6.
e" 0, że dla każdego x"R
Prawd. tych zdarzeń można obliczyć dwoma sposobami:
x
F(x) = f (u)du
I: P(X e" 6) = P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8);
+"
.
-"
II: P(X e" 6) = 1 - P(X < 6) = 1 - P(X d" 5) = 1 - F(5).
Obraz X(&!) zm. l. typu ciągłego jest zbiorem nieprzeli-
Podstawiając dane otrzymujemy P(X e" 6) = 0,961908, oraz
czalnym, a prawd., że przyjmie szczególną wartość x wynosi
P(Y e" 6) = 0,55177381, czyli prawd. uzyskania promocji
zero, tj. P(X = x) = 0.
przez studentów wynoszą odpowiednio 0,9619 i 0,5518.
Zm. l. typu ciągłego zwykle jest modelem pomiaru wielko-
ści fizycznych, np.: temperatury lub gęstości materiału.
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I 23 K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I 24
Gęstością prawd. (krótko gęstością, ang. probability densi-
Graficzną interpretacją całki dla a, b"R i a < b, jest pole ob-
ty function - PDF) zm. l. X ciągłej, nazywamy funkcję f(x) szaru ograniczonego wykresem gęstości f(x), osią odciętych i
całkowalną w sensie Lebesque a, która występuje pod zna-
prostymi x = a, x = b.
kiem całki określającej jej dystrybuantę.
Funkcje CDF, PDF i PMF charakteryzujące rozkład zm. l.
X nazywamy jej charakterystykami funkcyjnymi.
Krzywą gęstości nazywamy wykres gęstości prawd. f(x).
Jeżeli gęstość jest różna od zera tylko w przedziale (a, b), to
Przykład 5. Sprawdzić, czy funkcja
mówimy, że rozkład jest skoncentrowany w tym przedziale.
ńł
Własności. Funkcja f(x) jest gęstością pewnej ciągłej zm. l.
�łcx(1- x) dla x"[0,1],
f (x) =
�ł
wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia dwa warunki:
gdzie c jest pewną stałą.
�ł 0 dla x "[0,1],
ół
1. f (x) e" 0 dla x " R - warunek nieujemności,
może być PDF np. stanu zasobów paliwa na stacji paliw, w
+"
losowej chwili. Wyznaczyć jej dystrybuantę. Sporządzić wy-
f (x)dx =1
+"
2. - warunek unormowania.
-"
kresy tych funkcji. Jakie zdarzenie może nas zainteresować ?
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I 25 K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I 26
Jeżeli dana jest dystrybuanta F(x) zm. l. X typu ciągłego, to
7. Parametry rozkładu
gęstość:
Parametrem rozkładu zm. l. X nazywamy wielkość stałą od
dFX (x)
której zależy jej rozkład. Najczęściej stosowane rozkłady za-
f (x) =
. leżą od jednego lub dwóch parametrów. Zapis ą"J, gdzie
dx
J ą" R oznacza, że parametr ą jest dowolną stałą ze zbioru J.
Jeśli dystrybuanta F(x) i gęstość (lub funkcja prawdop.)
Charakterystyką funkcyjną zm. l. X nazywamy każdą
f(x) zm. l. X zależą od parametrów ą i �, to stosowany jest za-
funkcję w pełni charakteryzującą jej rozkład.
pis
Wprowadzone funkcje CDF, PDF i PMF charakteryzujące
F(x; ą, �) i f (x; ą, �),
rozkład zm. l. X są jej charakterystykami funkcyjnymi.
z podaniem zakresów wartości parametrów. Zapis ten podkre-
śla, że funkcje CDF, PDF i PMF są rodzinami funkcji zależ-
nymi od parametrów. Ustalenie wartości parametrów jest za-
daniem statystyki matematycznej.
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I 27 K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I 28
medianą (ang. median), natomiast kwantyle x0,25 i x0,75 odpo-
8. Funkcja kwantylowa i kwantyle
wiednio kwartylem dolnym i górnym.
Niech F będzie dystrybuantą zm. l. X. Funkcją kwantylową
Zastosowanie: Kwantyle rozkładów zm. l. mają zastosowanie
(ICDF) nazywamy funkcję F-1 określoną wzorem
w statystyce m. in. do konstrukcji przedziałów ufności dla
F-1(p) = inf {x"R: F(x) e" p} dla p"(0, 1)
nieznanych parametrów oraz do wyznaczania obszarów kry-
tycznych przy testowaniu hipotez statystycznych.
Jeżeli F jest funkcją ciągłą i rosnącą, to F-1 jest funkcją od-
wrotną w zwykłym sensie (inverse cumulative distribution
Do najczęściej stosowanych kwantyli należą kwantyle
function) i wówczas
rozkładów:
normalnego,
x = F-1(p)
t-Studenta,
oznaczamy xp i nazywamy kwantylem rzędu p.
chi-kwadrat,
Kwantyle rzędów 0,25; 0,50 i 0,75 nazywamy kwartylami,
F-Snedecora.
przy czym kwantyl x0,5 nazywamy kwartylem środkowym lub
Wartości tych kwantyli są stablicowane.
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I 29 K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I 30
9. Do samodzielnego rozwiązania 2. (Dwie kostki) Doświadczenie polega na rzucie dwiema
prawidłowymi kostkami do gry. Zmienna losowa X jest równa
1. (Sprawdzanie elementów) Spośród 3 dobrych i 2 wadli-
i) sumie ilości wyrzuconych oczek,
wych elementów losujemy jednocześnie 3 elementy. Niech
ii) iloczynowi ilości wyrzuconych oczek,
X oznacza liczbę wylosowanych elementów wadliwych, a Y
iii) maksimum ilości wyrzuconych oczek,
liczbę wylosowanych elementów dobrych.
iv) minimum ilości wyrzuconych oczek,
a) Wyznaczyć PMF oraz CDF zm. l. X.
a) Wyznaczyć f. prawd. i sporządzić jej wykres.
b) Wyznaczyć PMF oraz CDF zm. l. Y.
b) Wyznaczyć dystrybuantę i sporządzić jej wykres.
c) Wyznaczyć łączną PMF i sprawdzić czy zm. l. X i Y są
c) Obliczyć prawd. zdarzeń: X d" 10; X e" 10.
niezależne.
0, gdy x < 0,
ńł
�ł
�ł
�ł0,1, gdy 0 d" x < 1,
0 1 2
�ł �ł
FX (x) =
�ł
�ł �ł
fX =
0,7, gdy 1 d" x < 2,
�ł
Odp.: a) PMF: �ł0,1 0,6 0,3�ł , CDF:
�ł
�ł łł
�ł 1, gdy x e" 2.
ół
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I 31 K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I 32
3. (O gęstości prawdopodobieństwa). Dana jest funkcja 4. (O dystrybuancie). Dobrać stałe a, b tak, aby podana
funkcja była dystrybuantą zm. l. X typu ciągłego a) Wyzna-
0 dla x < 0
ńł
�ł
czyć PDF zm. l. X.
f (x) = /10 dla 0 d" x d" b
�łx
b) Które zdarzenie X < �, czy X > � jest bardziej prawd. ?
i) �ł 0 dla x > b ,
ół
a +1, gdy x d" -1,
ńł
x dla 0 d" x < 1
ńł �ł
�łb(x
�ł2
F(x) = +1)2, gdy -1< x d"1,
�ł
f (x) = - x dla 1 d" x < b
�ł
�ł
ii) �ł ,
�ł
0 poza tym 1, gdy x >1.
ół ół
a) Dla jakiej wartości b dana funkcja jest gęstością pewnej
Odp.: a = - 1; b = ź.
zm. l. X ? Naszkicować krzywą gęstości.
b) Wyznaczyć i naszkicować dystrybuantę.
c) Obliczyć prawd. zdarzenia X > 1,5.
d) Ustalić x tak, aby P(X d" x) = 0,1; P(X e" x) = 0,1 ?
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I 33 K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I 34
5. (O zużyciu EE) Dzienne zużycie energii elektrycznej 6. Czas T eksploatacji (w jedn. czasu.) pewnych urządzeń jest
(w setkach kWh) pewnej firmy jest zm. l. X o gęstości: zm. l. typu ciągłego o rozkładzie zadanym funkcją
1
ńł 0 dla t d"1,
ńł
gdy 0 < x < 3,
(3 + 2x - x2 ),
�ł
�ł
f (x) =
9
�ł
F(t) =
�ł2(1-1/ t) dla 1< t d" b,
gdy x d" 0 lub x e" 3.
�ł
0,
�ł
ół
1 dla t > b
ół
Obliczyć prawd. zdarzenia,
a) że zużycie energii w ciągu losowo wybranego dnia bę-
a) Wyznaczyć tak stałą b, aby funkcja była dystrybuantą.
dzie: i) większe niż 50 kWh; ii) między 100 a 200 kWh,
b) Wyznaczyć gęstość czasu T eksploatacji urządzeń i spo-
b) że w ciągu 30 losowo wybranych dni będzie 10 dni,
rządzić krzywą gęstości.
w których zużycie energii przekroczy 200 kWh.
c) Obliczyć prawd. zdarzeń: -1 d" T d" 3/2; T > (1+ b)/2
i podać ich interpretację geometryczną.
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I 35 K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I 36


Wyszukiwarka