Czy 11 jest największą liczbą na świecie

Zapis odczytu wygłoszonego na
Czy 11 jest największą liczbą na świecie?
XXXVIII Szkole Matematyki
Poglądowej, Nieskończoność,
Tomasz BARTNICKI, Zielona Góra
styczeń 2007.
Wstęp
Drogi Czytelniku, zanim rozpoczniesz lekturę tego artykułu, chcielibyśmy, abyś
odpowiedział na jedno bardzo proste pytanie. Jaka jest największa liczba, którą
znasz? Jeśli takie pytanie wydało Ci się głupie i chcesz je zbyć milczeniem lub
rzucić coś w rodzaju nie ma przecież największej liczby , to spieszymy
z wyjaśnieniami. To, że wśród liczb (np. naturalnych) nie możemy wskazać
największej, wiedzą wszyscy. Przecież do każdej, nawet bardzo dużej, liczby
zawsze możemy dodać 1, pomnożyć ją przez 2, podnieść do trzeciej potęgi lub
dopisać silnię i otrzymać liczbę jeszcze większą. Nie o takie sztuczki nam jednak
chodzi. Nie chodzi nam również o nieskończone liczby kardynalne bądz
porządkowe. Pytanie postawione na początku dotyczy wyłącznie liczb, które
rzeczywiście istnieją w otaczającym nas świecie, czyli bądz to wyrażają jakąś
konkretną wielkość (np. fizyczną), bądz też zaistniały w matematyce jako
element jakiegoś wzoru, równania, nierówności lub dowodu twierdzenia i są
powszechnie rozpoznawane, często mają swoje nazwy, a niejednokrotnie
nadajemy im nazwiska wybitnych matematyków.
Ponawiamy więc pytanie. Jaka jest największa liczba, którą znasz? Sięgnij zatem,
Czytelniku, do najgłębszych zakamarków swojego umysłu i przywołaj całą swą
wiedzę matematyczną. Przypomnij sobie wszystkie prace, artykuły, książki (lub
czasopisma), które czytałeś bądz tylko przeglądałeś i odpowiedz szczerze na
postawione pytanie. Czytając ten artykuł, będziesz mógł porównywać swój
wynik z kilkoma znanymi dużymi liczbami, a na zakończenie z absolutnym
rekordem w tej dyscyplinie, bowiem poznasz największą liczbę na świecie.
Miejsce trzecie
Jednym z najważniejszych problemów w teorii liczb było określenie, jak gęsto są
rozmieszczone liczby pierwsze pośród wszystkich liczb naturalnych. W 1896 roku
Jacques Hadamard i Charles de la Vall�e Poussin udowodnili niezależnie
twierdzenie o liczbach pierwszych, które mówi, że
Ą(x)
lim = 1,
x"
x/ ln(x)
gdzie Ą(x) jest funkcją zliczającą liczby pierwsze niewiększe od x. Wiadomo
x
ponadto, że dla x 17 zachodzi nierówność Ą(x) > . Twierdzenie powyższe
ln(x)
może być również zapisane w postaci
Ą(x)
lim = 1,
x"
Li(x)

"
dt
gdzie Li(x) = nazywamy przesuniętym logarytmem całkowym. Badając
2 ln t
początkowe wartości funkcji Ą(x) i Li(x) można by sądzić, że Ą(x) < Li(x) i co
więcej, że różnica między obiema funkcjami rośnie nieograniczenie. Jednak
w 1914 roku John Littlewood udowodnił zaskakujący fakt, że różnica
Li(x) - Ą(x), wraz ze wzrostem x, zmienia swój znak nieskończenie wiele razy.
Niestety, dowód nijak nie określał żadnej wartości x, dla której Ą(x) Li(x),
więc naturalnym stało się pytanie o najmniejszą wartość x = s0, która spełnia tę
nierówność. Ponieważ liczba s0 leżała poza zasięgiem możliwości ludzkich
obliczeń (jest tak nadal, nawet z wykorzystaniem współczesnych komputerów)
zaczęto poszukiwać jakiegokolwiek jej górnego oszacowania. Pierwszy podał je
w 1933 roku Stanley Skewes, który wykazał, że
e79 1034
s0 < ee H" 1010 ,
lecz w jego dowodzie pojawił się jeden istotny mankament: założenie
prawdziwości hipotezy Riemanna (do dziś nieudowodnionej). Dopiero w kolejnym
dowodzie Skewesa z 1955 roku założenie to zostało usunięte, ale za to górne
oszacowanie stało się lepsze :
101000
s0 < 1010 .
32
Dla formalności należy dodać, iż obecnie wiadomo, że s0 < 1.397162914 � 10316
(Demichel, 2005).
Miejsce drugie
Widać, że do zapisu liczb większych, niż te z poprzedniego rozdziału, tradycyjna
notacja potęgowa staje się dość kłopotliwa, gdyż musielibyśmy budować coraz
wyższe wieże wykładników. Hugo Steinhaus zaproponował wygodną notację
uogólnioną pózniej przez Leo Mosera, która nazywana jest dziś notacją
Steinhausa-Mosera. Polega ona na tym, że liczbę naturalną n zapisujemy
w wielokącie foremnym, a wielkość takiego wyrażenia zależy zarówno od wartości
n, jak i od liczby boków wielokąta i jest zdefiniowana następująco:

= nn,
n
n = n w n trójkątach,

n = n w n kwadratach.
W oryginalnym pomyśle Steinhausa konstrukcja ta kończyła się w tym miejscu,
a zamiast pięciokąta używany był okrąg. Moser uogólnił ją definiując n zapisane
w k-kącie, jako n zapisane w n (k - 1)-kątach.
Nietrudno zauważyć, że liczba 1 zapisana w dowolnym wielokącie zawsze da
w wyniku 1. Spróbujmy obliczyć, ile wynosi wartość liczby 2 zapisywanej
w kolejnych wielokątach.

= 22 = 4
2
oraz

= 44 = 256,
2 =
4

jednak wyznaczając wartość 2 w pięciokącie otrzymamy liczbę 256 umieszczoną
w 256 trójkątach. Próba jej wyliczenia i zapisania w tradycyjny sposób nie może
się oczywiście udać, bowiem już w pierwszym kroku musimy obliczyć 256256,
następnie otrzymaną liczbę podnieść do niej samej i tak 256 razy. Steinhaus
nazwał tę liczbę MEGA i uznał, że dalsza zabawa w pisanie coraz większych liczb
przestaje być ciekawa. Moser posunął się w tym wyścigu jeszcze krok dalej
i zdefiniował liczbę
MOSER = 2 w MEGA-kącie.
Możemy mieć wątpliwości co do tego, czy liczba wymyślona przez Mosera nie jest
tworem sztucznym, bo na wstępie tego artykułu zastrzegliśmy przecież, że
rozważania nasze ograniczymy wyłącznie do liczb mających jakieś realne
zastosowanie. Zgadzamy się z tym po części, jednak argument za uznaniem
MOSERA jest taki, że zarówno notacja Steinhausa-Mosera, jak i sama liczba są
powszechnie przyjęte i znane matematykom, a jako jej realne zastosowanie
możemy uznać to, że przyjmiemy ją za punkt odniesienia dla jeszcze większych
liczb, o których mowa będzie w kolejnym rozdziale.
Miejsce pierwsze i rekord świata
Aby dobrze zrozumieć, co wyraża największa liczba na świecie, konieczne będzie
krótkie wprowadzenie, które zaczniemy od prostej obserwacji
matematyczno-socjologicznej.
Sześć osób na przyjęciu
Wyobrazmy sobie, że w jakimś miejscu (np. na przyjęciu) spotyka się pewna
grupa ludzi i, jak to w życiu zwykle bywa, niektórzy z nich znają się, zaś inni są
sobie obcy. Możemy założyć, że relacja bycia znajomym jest określona dla każdej
pary osób (albo się znają, albo nie znają) i jest symetryczna (jak ja znam ciebie,
to i ty znasz mnie). Jeśli spojrzymy teraz na dowolną grupę złożoną z sześciu
osób i przeanalizujemy układ znajomości pomiędzy nimi, to łatwo dojdziemy do
następującego spostrzeżenia:
33
Fakt 1. Wśród dowolnych sześciu osób zawsze znajdziemy:
albo trzy osoby, które znają się wzajemnie (każda z każdą),
albo trzy osoby, które nie znają się wcale (żadna z żadną).
Dowód. Aby udowodnić ten fakt przeformułujemy go na język teorii grafów
następująco: każdą z sześciu osób utożsamiamy z innym wierzchołkiem grafu,
a następnie każdą parę wierzchołków (osób) łączymy krawędzią. Powstanie w ten
sposób graf, który nazywamy grafem pełnym (lub kliką) na sześciu wierzchołkach
i oznaczamy przez K6. Układ znajomości przedstawiamy w ten sposób, że każdej
krawędzi nadajemy jeden z dwóch kolorów: czerwony jeśli osoby umieszczone
w wierzchołkach, które ona łączy, znają się lub niebieski jeśli osoby te nie znają
się. Wystarczy teraz pokazać, że przy dowolnym takim czerwono-niebieskim
kolorowaniu krawędzi, zawsze znajdziemy trzy wierzchołki połączone
krawędziami w jednym kolorze (tworzące czerwoną lub niebieską klikę K3).
Rys. 1. Jednokolorowa klika K3
Ustalmy w pokolorowanym już grafie dowolny wierzchołek v i zauważmy, że skoro
w grafie K6
wychodzi z niego pięć krawędzi, to co najmniej trzy z nich muszą być w tym
samym kolorze, powiedzmy czerwonym. Oznaczmy wierzchołki na drugich
końcach tych krawędzi przez a, b, c i przeanalizujmy kolorowanie powyższego
układu (rysunek 1). Ponieważ krawędzie va, vb oraz vc są czerwone, to nadanie
koloru czerwonego którejkolwiek z krawędzi ab, bc lub ac spowoduje pojawienie
się trójkąta w tym kolorze (odpowiednio vab, vbc lub vac), a więc wszystkie one
muszą otrzymać kolor niebieski, ale to z kolei prowadzi do powstania niebieskiego
trójkąta abc, co kończy dowód.
Warto jeszcze zauważyć, że w powyższym twierdzeniu liczby sześć nie możemy
zmniejszyć, gdyż w grupie pięcioosobowej możemy tak dobrać układ znajomości,
aby uniknąć monochromatycznego trójkąta (tak jak na rysunku 2).
Rys.2. Kolorowanie grafu K5 bez
Twierdzenie Ramseya
jednokolorowej kliki K3
Nasuwa się pytanie, czy twierdzenie o sześciu osobach można uogólnić. Czy, jeżeli
zamiast żądać pojawienia się jednokolorowej kliki trzyosobowej, zażądamy, aby
taka klika składała się z czterech osób, to czy w odpowiednio dużej grupie musi
się ona pojawić. Co wreszcie z ogólnym przypadkiem dowolnej kliki Kk? W 1930
ukazała się praca Franka Ramseya, w której udowodnił on bardzo daleko idące
uogólnienie naszych rozważań, a szczególnym przypadkiem była odpowiedz na
postawione wcześniej pytanie.
Twierdzenie 1 (Ramsey (1930)). Dla każdej liczby naturalnej k istnieje taka
liczba naturalna n, że wśród dowolnych n osób zawsze znajdziemy:
albo k osób, które znają się wzajemnie (każda z każdą),
albo k osób, które nie znają się wcale (żadna z żadną).
Najmniejsze takie n, którego istnienie gwarantuje powyższe twierdzenie,
oznaczamy przez R(k) i nazywamy k-tą liczbą Ramseya.
Można powiedzieć trochę filozoficznie, że twierdzenie Ramseya mówi o
nieuchronności pojawiania się pewnych regularności w dużych strukturach. Dla
każdego małego obiektu matematycznego możemy zawsze znalezć odpowiednio
dużą strukturę, w której obiekt ten musi się pojawić, i co więcej nawet próba
zniszczenia go przez rozbicie tej struktury na mniejsze musi skończyć się
niepowodzeniem.
Liczby Ramseya i kosmici
Pojawia się nam następny naturalny problem: czy istnieje jakiś jawny wzór na
kolejne liczby Ramseya, a jeśli nie, to czy można je chociaż efektywnie
wyznaczać. Wiadomo, że R(2) = 2 (dwie osoby znają się, bądz nie znają), a na
początku tego rozdziału pokazaliśmy, że R(3) = 6, ale już wykazanie, że
R(4) = 18 nie jest sprawą łatwą. Po pierwsze musimy pokazać, że istnieje
dwukolorowanie krawędzi grafu K17, w którym unikniemy jednokolorowej kliki
K4. Okazuje się, że kolorowanie takie jest wyznaczone jednoznacznie
(z dokładnością do permutacji wierzchołków), a otrzymujemy je w ten sposób, że
wierzchołkom grafu przypisujemy liczby {0, 1, . . . , 16} z ciała Z17, krawędz zaś
34
malujemy na czerwono, wtedy i tylko wtedy, gdy różnica liczb na jej końcach jest
kwadratem w tym ciele. Wykazanie, że w grafie K18 takie kolorowanie jest
niemożliwe jest sprawą znacznie trudniejszą.
A ile wynosi R(5)? Otóż, zaskakujące jest, że dokładna wartość piątej liczby
Ramseya nie jest dotąd znana. Wiadomo tylko, że 43 R(5) 49, co na
pierwszy rzut oka wydaje się nieprawdopodobne. Któż z nas teraz nie zakrzyknie:
od czego mamy nowoczesne komputery?! Czy przebadanie kolorowań grafu
pełnego na zaledwie 43 wierzchołkach może w dzisiejszych czasach stanowić
jakąkolwiek trudność? Gdy, jednak, przyjrzymy się problemowi bliżej i dokonamy
43
kilku obliczeń sprawa staje się jasna. Zauważmy, że graf K43 ma = 903
2
krawędzie, więc chcąc przeanalizować ich wszystkie możliwe dwukolorowania,
musielibyśmy rozpatrzyć 2903 (czyli około 10271) przypadków, a to już znacznie
przekracza możliwości, nawet najszybszych, superkomputerów. Z kolejnymi
liczbami Ramseya sprawa wygląda jeszcze gorzej: 102 R(6) 165,
205 R(7) 540, 282 R(8) 1870. Naiwnością byłoby również sądzić, że
mogą one się wyrażać jakimkolwiek jawnym wzorem.
Aby oddać skalę trudności problemu znajdowania liczb Ramseya warto
przypomnieć opowiastkę, którą często zwykł przytaczać Paul ErdQs, a trudno
chyba o większy autorytet w tej dziedzinie (opublikował on przeszło 100 prac
dotyczących teorii Ramseya).
Wyobrazmy sobie, że wrogo nastawiona i znacznie potężniejsza
militarnie obca cywilizacja, napada na Ziemię i żąda od ludzi
wyznaczenia dokładnej wartości liczby R(5), gdyż w przeciwnym
razie zniszczy planetę. Co powinniśmy zrobić, aby nie dopuścić do
zagłady? Powinniśmy zmobilizować wszystkich matematyków,
informatyków i programistów, zaprogramować wszystkie komputery
na świecie i spróbować znalezć żądaną wartość. A co, jeśli kosmici
zażądają wyznaczenia liczby R(6)? Wówczas powinniśmy
spróbować... zniszczyć najezdzców.
Musimy pogodzić się z tym, że, prawdopodobnie, nigdy nie poznamy, ile wynosi
szósta, siódma i następne liczby Ramseya, co wcale nie znaczy, że ludzie
zaprzestaną swych wysiłków, w próbach ich wyznaczenia.
Grafy Ramseya w przestrzeni
W dotychczasowych rozważaniach grafy traktowaliśmy w sposób abstrakcyjny,
czyli jako parę złożoną z pewnego skończonego zbioru V (wierzchołki) i z kolekcji
jego dwuelementowych podzbiorów E (krawędzie), natomiast tradycyjny rysunek
grafu na płaszczyznie (punkty połączone liniami) służył nam jedynie do lepszej
wizualizacji prezentowanych problemów, ale w żaden sposób nie
wykorzystywaliśmy jego geometrycznych własności.
Ostatnim krokiem do poznania największej liczby na świecie będzie spojrzenie na
twierdzenie Ramseya w sposób geometryczny. Będziemy rozważać grafy pełne,
których wierzchołki będą umieszczone we wszystkich wierzchołkach
wielowymiarowej kostki jednostkowej w przestrzeni euklidesowej dowolnego
wymiaru (na prostej będą to końce odcinka, na płaszczyznie wierzchołki
kwadratu, w przestrzeni trójwymiarowej wierzchołki sześcianu itd.). Ogólnie
n
w przestrzeni Rn wierzchołków tych będzie 2n (a więc powstanie nam graf K2 )
i będą nimi wszystkie punkty, których współrzędne tworzą ciąg zerojedynkowy.
Wiemy z poprzedniego rozdziału, że R(4) = 18, a więc, jeśli krawędzie grafu
pełnego, który ma co najmniej 18 wierzchołków, pomalujemy dwoma kolorami,
to musi się pojawić jednokolorowa klika K4. Jeżeli rozważać będziemy tylko
kolorowania grafów pełnych związanych z kostkami jednostkowymi, to
zauważymy, że w przestrzeni R4 graf taki ma tylko 16 wierzchołków, a więc
możemy jego krawędzie tak pokolorować, by uniknąć jednokolorowej kliki K4,
natomiast już w przestrzeni R5 w grafie na 32 wierzchołkach klika taka pojawi się
w każdym dwukolorowaniu.
35
Zażądajmy dodatkowej własności: aby klika K4 była nie tylko jednokolorowa, ale
na dodatek, aby wszystkie jej wierzchołki leżały w jednej płaszczyznie
(nazywamy ją płaską). Możemy teraz postawić pytanie: jakiego wymiaru musi
być kostka jednostkowa, aby w dowolnym dwukolorowaniu krawędzi grafu
pełnego z nią powiązanego zawsze pojawiła się płaska i monochromatyczna
kopia kliki K4? Zauważmy, że klasyczne twierdzenie Ramseya nie mówi nam nic
o jakichkolwiek geometrycznych własnościach, a więc nie mamy żadnej pewności,
że powyższe pytanie ma w ogóle odpowiedz wyrażającą się skończoną liczbą.
W 1971 roku Ron Graham i Bruce Rothschild opublikowali pracę, w której
udowodnili twierdzenie, bardzo głęboko uogólniające wiele dotychczasowych
rezultatów typu ramseyowskiego. Twierdzenie Ramseya, którego szczególna
wersja pojawiła się w poprzednim rozdziale, było tylko drobnym wnioskiem
płynącym z ich ogólnych rozważań. Twierdzenie Grahama-Rothschilda dawało
również pozytywną odpowiedz na postawione wcześniej pytanie, mianowicie
istnieje taka liczba naturalna n, że w dowolnym dwukolorowaniu krawędzi grafu
pełnego powiązanego z n-wymiarową kostką jednostkową zawsze pojawi się
płaska i jednokolorowa klika K4. Oznaczmy najmniejsze n o tej własności przez
RG(1, 2, 2). Nadmiar parametrów w RG ma na celu pokazanie, że jest to
w istocie szczególny (najmniejszy nietrywialny) przypadek ogólnego twierdzenia.
Oznaczają one kolejno: 1 kolorujemy obiekty jednowymiarowe (krawędzie),
2 obiekt, który musi się pojawić, jest dwuwymiarowy (płaska klika K4),
2 używamy dwóch kolorów.
Nasuwa się naturalne pytanie, czy znana jest dokładna wartość RG(1, 2, 2),
a jeśli nie, to czy można ją jakoś sensownie oszacować. Ron Graham pokusił się o
wyliczenie konkretnej wartości jej górnego oszacowania, które wynikało
bezpośrednio z dowodu ich głównego twierdzenia i zamieścił ten wynik
w opublikowanej wspólnie z Rothschildem pracy. Jednak szerzej znany stał się
dopiero w 1977 roku, kiedy to Martin Gardner na łamach swojej popularnej
rubryki w Scientific American opisał całą historię. Wiadomo więc, że
RG(1, 2, 2) LG,
gdzie LG nazywana jest liczbą Grahama, lecz zanim poznamy jej wartość,
konieczne będzie zapoznanie się ze specjalną notacją.
Notacja strzałkowa Knutha
Gdy, na początku swojej edukacji, poznajemy nowe działanie arytmetyczne
staramy się je zdefiniować za pomocą działań poznanych wcześniej. Mnożenie
dwóch liczb naturalnych m � n definiuje się jako n-krotne dodawanie składnika m,
z kolei potęgowanie mn, jako n-krotne mnożenie czynnika m. Donald Knuth
wpadł na pomysł, aby procedurę tę uogólnić definiując kolejne działania jako
wielokrotne złożenia poprzednich. Punktem wyjścia niech będzie zwykłe
potęgowanie:
m ę! n = mn = m � � m,
�
n razy
które zapisujemy za pomocą pojedynczej strzałki (tak jak tradycyjny zapis
używany w informatyce). Kolejne działania notować będziemy podobnie
(zwiększając tylko liczbę strzałek) i definiować rekurencyjnie:
m
.
.
.
m ę!ę! n = m ę! m ę! � � � ę! m = mm ,

n razy
m ę!ę!ę! n = m ę!ę! m ę!ę! � � � ę!ę! m,

n razy
a w ogólności
k k-1 k-1 k-1

m ę!ę! � � � ę! n = m ę! � � � ę! m ę! � � � ę! m � � � m ę! � � � ę! m .

n razy
Ponieważ działania strzałkowe nie są łączne, to ustalamy dodatkowo, że
w przypadku braku nawiasów wykonujemy je w kolejności od prawej do lewej
36
(analogicznie jak przy wielokrotnym potęgowaniu). Aby nieco oswoić się z taką
notacją wykonajmy kilka prostych obliczeń. Aatwo zauważyć, że 2 ę!ę! � � � ę! 2 jest
zawsze równe 4, niezależnie od liczby strzałek, nietrudno też obliczyć, że
3 ę! 3 = 33 = 27. Nieco dłuższe rachunki musimy wykonać, aby obliczyć
3 ę!ę! 3 = 3 ę! 3 ę! 3 = 3 ę! 27 = 327 = 7 625 597 484 987.
Jeśli liczba rzędu siedmiu bilionów nas nie przeraża, to spróbujmy policzyć
3 ę!ę!ę! 3 = 3 ę!ę! 3 ę!ę! 3 = 3 ę!ę! 7 625 597 484 987
i tu niestety nasza moc obliczeniowa staje się niewystarczająca, gdyż w kolejnym
kroku musielibyśmy napisać przeszło siedem i pół biliona trójek przedzielonych
pojedynczymi strzałkami, co w tradycyjnym zapisie oznacza wieżę potęgową o
wysokości 7 625 597 484 987 zbudowaną z trójek. Oczywiście trudna jest
jakakolwiek próba wyobrażenia sobie wielkości tej liczby. Możemy, chyba, tylko
czuć ją intuicyjnie widząc jej zapis w postaci wieży potęgowej.
Liczba Grahama
Jeśli chcesz, Czytelniku, poznać wielkość liczby Grahama musisz pójść krok dalej
i spróbować ogarnąć (choć jest to prawdopodobnie niewykonalne) wielkość liczby
G0 = 3 ę!ę!ę!ę! 3, a następnie wykonać krok drugi (który jest już chyba krokiem
w otchłań nieskończoności) i poznać liczbę zdefiniowaną następująco:
G1 = 3 ę!ę! � � � ę!ę! 3.

G0 strzałek
Warto w tym miejscu przypomnieć liczbę MOSER z poprzedniego rozdziału
i porównać ją z olbrzymem napisanym powyżej. Otóż w porównaniu tym wielki
MOSER staje się bardzo małym i niegroznym moserkiem, gdyż liczba G1 jest od
niego znacznie, znacznie większa. Jeśli wykonaliśmy 2 kroki to kolejne nie
powinny już sprawić trudności. Niech
G2 = 3 ę!ę!ę! � � � ę!ę!ę! 3,

G1 strzałek
G3 = 3 ę!ę!ę!ę! � � � ę!ę!ę!ę! 3,

G2 strzałek
i tak dalej, aż po 64 krokach zatrzymamy się wreszcie, bo oto poznamy
największą liczbę na świecie, czyli Liczbę Grahama:
RG(1, 2, 2) LG = G63 = 3 ę!ę!ę!ę!ę! � � � ę!ę!ę!ę!ę! 3.

G62 strzałek
Warto odnotować ciekawostkę, że liczba Grahama została zauważona również
przez ludzi, którzy zawodowo zajmują się wszelkimi rekordowymi osiągnięciami,
trafiła bowiem w 1997 roku do Księgi Rekordów Guinnessa i, prawdopodobnie,
pozostanie ona tam jeszcze przez długie lata.
Na zakończenie rozwikłamy wreszcie zagadkę, skąd w tytule niniejszego artykułu
wzięło się przewrotne pytanie dotyczące liczby jedenaście. Związane jest ono
z tym, że najlepszym znanym dziś dolnym oszacowaniem liczby RG(1, 2, 2) jest
10 < RG(1, 2, 2)([1]), więc pierwszą możliwą jej dokładną wartością jest właśnie
11. Gdyby okazało się to prawdą i liczbę Grahama w pierwotnym oszacowaniu
RG(1, 2, 2) można byłoby zastąpić jedenastką, to musiałaby to być największa
liczba 11 jaką znamy.
Literatura
[1] G. Exoo, A Euclidean Ramsey Problems, Discrete & Computational
Geometry 8 (2003), 223-227
[2] H. J. Pr�mel, Large numbers, Knuth s arrow notation, and Ramsey Theory,
Synthese 133 (2002), 87-105
[3] http://en.wikipedia.org/wiki/Orders_of_magnitude_%28numbers%29
37

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Dlaczego facetom jest tak dobrze na świecie
11 Hitachi Mu Chip najmniejszy na świecie chip RFID
Największe pożary w enrgetyce na świecie
Jest na świecie miłość solo
Ćwiczenia 11 Zróżnicowanie rozwojowe na świecie
Tak jakoś dziwnie jest na świecie (Wolny)
Czy mamy najwyższe podatki na świecie
Jest na swiecie milosc solo viol
Największe więzienie kobiet na świecie
jest na swiecie milosc
Czy potrzebna jest zgoda na wykorzystanie wizerunku
Heller Czy fizyka jest nauką humanistyczną
Nasza Podróż i Największy Sekret na Ziemi CZ 3
Systemy emerytalne na świecie

więcej podobnych podstron