Szczecin, 17-09-2010
Egzamin z matematyki
rok I, semestr II
Teoria
2 pkt. Zadanie I. Podać definicję iloczynu skalarnego dwóch wektorów i jego trzy dowolne własności.
1
- -
Obliczyć kąt między wektorami u = (1, 2, -1), v = (1, 0, ).
2
2 pkt. Zadanie II. Podać definicję pochodnej cząstkowej pierwszego rzędu funkcji f względem y w
"f y
punkcie (x0, y0). Korzystając z definicji obliczyć pochodną (-1, 1), gdzie f(x, y) = .
"y x
2 pkt. Zadanie III. Podać definicję obszaru normalnego względem osi Oy. W podanej całce iterowanej
zmienić kolejność całkowania
Ą
3 sin x
dx f(x, y)dy
0 0
2 pkt. Zadanie IV. Podać ogólną postać równania różniczkowego jednorodnego względem x i y. Sto-
sując odpowiednie podstawienie sprowadzić je do równania o zmiennych rozdzielonych.
2 pkt. Zadanie V. Podać kryterium całkowe zbieżności szeregów. Korzystając z tego kryterium zbadać
zbieżność szeregu liczbowego
"
1
4 + n2
n=1
Zadania
2 pkt. Zadanie 1. Obliczyć długość łuku krzywej
"
1
y = (x - 3) x, gdzie x " [0, 1]
3
2 pkt. Zadanie 2. Znalezć rzut punktu A(1, 2, -3) na płaszczyznę : 2x - 3y + 5z - 1 = 0
2 pkt. Zadanie 3. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych
z = x2 + xy + y2 - 3 ln x - 3 ln y
3 pkt. Zadanie 4. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami
z = x2 + y2, x2 + y2 = 2x, x2 + y2 = 2y, z = 0
6 pkt. Zadanie 5. Rozwiązać równania różniczkowe
a. y(5) + 3y(3) - 4y = ex c. (1 + 3x2 sin y)dx - xctgydy = 0.
b. y + 4y + 4y = e-2xtg2x
3 pkt. Zadanie 6. Znalezć przedział zbieżności szeregu potęgowego oraz wyznaczyć jego sumę we-
wnątrz tego przedziału.
"
(n + 1)xn+2
2n
n=0
2 pkt. Zadanie 7. Rozwinąć w szereg Fouriera względem cosinusów funkcję
x
f(x) = 2 - , 0 < x < Ą
Ą
1
xą+1
8. dx = -ctgx + C
1. xądx = , ą = -1
ą+1
sin2 x
1 1 1 x
2. dx = ln |x| + C 9. dx = arctg + C
x
a2+x2 a a
ax
1 x
3. axdx = + C "
10. dx = arcsin + C
ln a
a
a2-x2
"
4. exdx = ex + C
1
"
11. dx = ln |x + x2 + k| + C
x2+k
5. sin xdx = - cos x + C
1
12. sinn xdx = - sinn-1 x cos x+n-1 sinn-2 xdx
n n
6. cos xdx = sin x + C
1
13. cosn xdx = cosn-1 x sin x+n-1 cosn-2 xdx
n n
1
7. dx = tgx + C
cos2 x
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
egzamin air092010 studenciegzamin air092008 studenciegzamin air!062010 studenciegzamin air022011 studenciegzamin air(062010 studenciegzamin air!062008 studenciegzamin air 022011 studenciEgzamin wimic 09 10 informacje27 12 10H egzamin analiza 09 1egzamin air 062007egzamin 3 termin( 09 2007kol pol sem2 AiR 09egzamin 02 09 13technik teleinformatyk egzamin praktyczny 09 zadanie1egz kon ETI AiR 09 10wyk 2 air 09technik teleinformatyk egzamin praktyczny 09 zadanie3więcej podobnych podstron