7. Szczególna teoria względności.
Wybór i opracowanie zadań 7.1-7.9: Barbara Kościelska
Więcej zadań z tej tematyki znajduje się w II części skryptu.
7.1. Czy można znalezć taki układ odniesienia, w którym Chrzest Polski i Bitwa pod
Grunwaldem zaszłyby:
a) w tym samym miejscu,
b) w tym samym czasie?
7.2. W tym samym miejscu korony słonecznej w obrębie 12 s nastąpiły dwa wybuchy.
Rakieta poruszająca się ze stałą prędkością względem Słońca zarejestrowała obydwa te
zdarzenia w odstępie 13 s.
a) Z jaką prędkością porusza się rakieta?
b) Ile wynosi odległość przestrzenna między wybuchami w układzie związanym z
poruszającą się rakietą?
7.3. Dwie cząstki o jednakowych prędkościach v = 0,75 c poruszają się po jednej prostej i
padają na tarczę. Jedna z nich uderzyła w tarczę o "t= 10-8 s pózniej niż druga. Obliczyć
odległość między tymi cząstkami w locie w układzie odniesienia związanym z nimi.
7.4. Długość nieruchomego pociągu jest dokładnie taka sama jak długość tunelu i wynosi L0.
Pociąg ten jedzie z prędkością v. Jak długo będzie trwał przejazd pociągu przez tunel według
pasażera siedzącego w pociągu oraz według turysty stojącego koło tunelu? Czas przejazdu
określamy jako odstęp czasu pomiędzy momentem, kiedy czoło pociągu mija wlot tunelu i
chwilą gdy koniec ostatniego wagonu znajduje się przy końcowej krawędzi tunelu.
7.5. Mezony , które powstają w górnych warstwach atmosfery poruszają się w kierunku
Ziemi z prędkością v = 0,9c (c-prędkość światła w próżni). Po przebyciu drogi L (mniejszej
niż grubość atmosfery) mezony rozpadają się. Obliczyć:
(a) czas życia mezonu mierzony w układzie związanym z Ziemią oraz w układzie związanym
z mezonem,
(b) grubość warstwy atmosfery, jaką przebędzie mezon, mierzoną w układzie mierzonym z
mezonem.
7.6. Układ K porusza się z prędkością u względem nieruchomego układu odniesienia K. W
układzie K pręt poruszający się względem niego z prędkością v = 2u ma długość L. Jaka jest
długość tego pręta w układzie K ? Długość spoczynkowa pręta w obu układach jest taka
sama.
7.7. Sztywny pręt o długości L2 = 1,5 m znajduje się w spoczynku względem układu K2. Jaka
będzie długość L1 i orientacja pręta 1 w układzie K1, jeżeli w układzie K2 pręt tworzy kąt 2 =
45 z osią x2 i układ ten porusza się z prędkością v = 0,98c.
7.8.* Jaką maksymalną prędkość musi mieć cząstka, aby jej energia kinetyczna mogła być
napisana w postaci E = 0,5m0v2 z błędem nie przekraczającym 1%.
7.9. Dowieść, że cząstka o ładunku q poruszająca się prostopadle do pola magnetycznego o
indukcji B będzie zataczać okrąg o promieniu R = (2E0EK + EK2)1/2/(qcB), gdzie E0 jest
energią spoczynkową, a EK energią kinetyczną cząstki.
Rozwiązania:
7.1.R. Załóżmy, że Gniezno, w którym odbył się w roku 966 (chwila czasu t1) Chrzest Polski,
ma w przestrzeni w układzie współrzędnych związanym z Ziemią położenie x1, natomiast w
chwili czasu t2 (1410 rok) odbyła się w punkcie o współrzędnej x2 Bitwa pod Grunwaldem.
Wiemy, że w układzie współrzędnych związanym z Ziemią oba zdarzenia zaszły w innych
miejscach i innym czasie. Załóżmy, że istnieje jakiś inny układ odniesienia, poruszający się
względem naszego z prędkością v. Przyjmijmy, że w tym nowym układzie współrzędnych
Chrzest Polski miał miejsce w punkcie x1' w chwili czasu t1', zaś Bitwa pod Grunwaldem w
punkcie x2' w chwili t2'.
(a) Zgodnie z transformacją Lorentza:
x1 - vt1 x2 - vt2
' '
(1) x1 = , x2 = .
2 2
v v
# ś# # ś#
1- 1-
ś# ź# ś# ź#
c c
# # # #
W nowym układzie współrzędnych oba zdarzenia miałyby zajść w tym samym miejscu, czyli:
' '
x1 = x2 .
Wówczas prawe strony równań (1) też będą sobie równe:
x1 - vt1 x2 - vt2
= ,
2 2
v v
# ś# # ś#
1- 1-
ś# ź# ś# ź#
c c
# # # #
x - vt = x - vt ,
1 1 2 2
skąd:
x - x
2 1
(2) v = .
t - t
2 1
Układ, w którym oba zdarzenia zaszłyby w tym samym miejscu przestrzeni musiałby
poruszać się względem naszego układu z prędkością v opisaną wzorem (2).
(b) Zgodnie z transformacją Lorentza:
v v
t1 - x1 t2 - x2
' '
c2 , c2 .
(3) t1 = t2 =
2 2
v v
# ś# # ś#
1- 1-
ś# ź# ś# ź#
c c
# # # #
W nowym układzie współrzędnych oba zdarzenia miałyby zajść w tym samym czasie, czyli:
' '
t1 = t2 .
Wówczas prawe strony równań (3) też będą sobie równe:
v v
t1 - x1 t2 - x2
c2 c2 ,
=
2 2
v v
# ś# # ś#
1- 1-
ś# ź# ś# ź#
c c
# # # #
v v
t1 - x1 = t2 - x2 ,
c2 c2
skąd:
t2 - t1
(4) v = c2 .
x2 - x1
Otrzymana prędkość (4) nowego układu współrzędnych jest większa od prędkości światła w
próżni, czyli układ, w którym oba zdarzenia zaszłyby w tym samym czasie nie istnieje.
7.2.R. Oznaczmy współrzędną miejsca w którym zaszły na Słońcu dwa wybuchy przez x1, a
przedział czasu między nimi t2 - t1 = "t = 12 s (gdzie t1 i t2 są chwilami czasu, w których
nastąpił odpowiednio pierwszy i drugi wybuch. Przyjmijmy, że w układzie związanym z
rakietą wybuchy na Słońcu nastąpiły w miejscach o współrzędnych x1' oraz x2', w chwilach
czasu odpowiednio t1' oraz t2' (t2' - t1' = "t' =13 s).
(a) Zgodnie z transformacją Lorentza:
v v
t1 - x1 t2 - x2
' '
c2 , c2 .
t1 = t2 =
2 2
v v
# ś# # ś#
1- 1-
ś# ź# ś# ź#
c c
# # # #
Wówczas czas między wybuchami w układzie współrzędnych związanym z rakietą:
v v
t2 - x1 - t1 - x1 t2 - t1
' '
c2 c2
t2 - t1 = = ,
2 2
v v
# ś# # ś#
1- 1-
ś# ź# ś# ź#
c c
# # # #
czyli:
"t
"t' = ,
2
v
# ś#
1-
ś# ź#
c
# #
skąd prędkość, z jaką porusza się rakieta:
"t2
(1) v = c 1- .
"t'2
(a) Zgodnie z transformacją Lorentza:
x1 - vt1 x1 - vt2
' '
x1 = , x2 = .
2 2
v v
# ś# # ś#
1- 1-
ś# ź# ś# ź#
c c
# # # #
Wówczas odległość między wybuchami w układzie współrzędnych związanym z rakietą:
x1 - vt1 - x1 + vt2 v(t2 - t1) v "t
' '
x1 - x2 = = = .
2 2 2
v v v
# ś# # ś# # ś#
1- 1- 1-
ś# ź# ś# ź# ś# ź#
c c c
# # # # # #
gdzie v jest prędkością rakiety opisaną równaniem (1).
7.3.R. Niech x1 i x2 oznaczają współrzędne cząstek w układzie odniesienia związanym z
tarczą, natomiast x1' i x2' współrzędne cząstek u układzie odniesienia związanym z nimi.
Zgodnie z transformacją Lorentza:
x1 - vt x2 - vt
' '
x1 = , x2 = .
2 2
v v
# ś# # ś#
1- 1-
ś# ź# ś# ź#
c c
# # # #
Wówczas odległość między cząstkami w układzie odniesienia związanym z nimi:
x2 - vt - x1 + vt x2 - x1
' '
(1) x2 - x1 = = .
2 2
v v
# ś# # ś#
1- 1-
ś# ź# ś# ź#
c c
# # # #
Odległość między cząstkami w układzie związanym z tarczą:
(2) x2 - x1 = v "t ,
gdzie "t jest czasem zmierzonym pomiędzy uderzeniami cząstek o tarczę w układzie
współrzędnych związanym z tarczą. Wstawiając (2) do (1) otrzymamy:
v "t
' '
x2 - x1 = = 3,4 m .
2
v
# ś#
1-
ś# ź#
c
# #
7.4.R. Odpowiedz: według obu obserwatorów (pasażera pociągu i turysty stojącego koło
tunelu) czas przejazdu pociągu wynosi:
2
# ś#
L
0
ś#1+ 1- # v ś# ź#
t = .
ś# ź#
ś# ź#
v c
# #
# #
7.5.R. Odpowiedz:
(a) Czas życia mezonu mierzony w układzie związanym z Ziemią:
L
t = .
v
Czas życia mezonu mierzony w układzie związanym z mezonem:
2
L v
# ś#
t = 1- .
ś# ź#
v c
# #
(b)
2
v
# ś#
L = L 1- .
ś# ź#
atm. 0
c
# #
7.6.R. Długość L' pręta w układzie K' wynosi:
2
v'
# ś#
(1) L'= L 1- ,
ś# ź#
0
c
# #
gdzie v' jest prędkością pręta w układzie K', a L0 jego długością spoczynkową. Długość L0
pręta możemy obliczyć znając jego długość L oraz prędkość 2u w układzie K:
L
(2) L = .
0
2
2u
# ś#
1-
ś# ź#
c
# #
Prędkość pręta w układzie K':
2u - u u
(3) v'= = .
2 2
2u 2u
1- 1-
2 2
c c
Podstawiając (2) i (3) do (1) otrzymamy:
2
u
# ś#
1-
ś# ź#
c
# #
L'= L .
2
u
1- 2# ś#
ś# ź#
c
# #
7.7.R. Długość L1 pręta rozkładamy na dwie
składowe L1x i L1y, równoległe odpowiednio do
osi x1 i y1 układu K1. Wówczas otrzymamy:
2 2
(1) L1 = L1 + L1 .
x y
Składowa L1y jest prostopadła do kierunku
wektora prędkości v układu K2, i mierzona z
układu K1 nie będzie doznawać skrócenia.
Czyli:
(2) L = L = L sin ,
1y 2 y 2 2
gdzie L2y jest składową długości pręta L2 równoległą do osi y2 układu K2. Składowa L1x jest
równoległa do kierunku wektora prędkości v układu K2, i mierzona z układu K1 ulegnie
skróceniu:
2 2
v v
# ś# # ś#
(3) L = L 1- = L cos 1- ,
ś# ź# ś# ź#
1x 2 x 2 2
c c
# # # #
gdzie L2x jest składową długości pręta L2 równoległą do osi x2 układu K2. Podstawiając (2) i
(3) do (1) otrzymamy:
2
v
# ś#
2
L = L 1- cos = 1,08m.
ś# ź#
1 2 2
c
# #
Orientacja pręta w układzie K1 będzie określona wzorem:
L
tan
1y
2
tan = = ,
1
2
L
1x v
# ś#
1-
ś# ź#
c
# #
skąd po podstawieniu wartości liczbowych:
= 78,7.
1
7.8.R.* Oznaczmy przez Ekl energię kinetyczną w ujęciu klasycznym, zaś przez Erel energię
kinetyczną w ujęciu relatywistycznym. Wówczas:
1
2
(1) Ekl = m v ,
0
2
2
m c 1
2 2 2 2
0
(2) Erel = mc - m c = - m c = m c ( -1) .
0 0 0
2 2
v v
# ś# # ś#
1- 1-
ś# ź# ś# ź#
c c
# # # #
Rozwijając pierwszy składnik równania (2) w szereg dwumianowy i biorąc pod uwagę
pierwsze trzy składniki rozwinięcia otrzymamy:
2 4
1 1 v 3 v
# ś# # ś#
=1+ + .
ś# ź# ś# ź#
2
2 c 8 c
# # # #
v
# ś#
1-
ś# ź#
c
# #
Podstawiając powyższe rozwinięcie do równania (2) otrzymamy:
2 4
1 v 3 v m0c2v2 3m0c2v4
# ś# # ś#
Erel = m0c2(1+ + -1) = + ,
ś# ź# ś# ź#
2 c 8 c 2c2 8c4
# # # #
4 4
1 3m v 3m v
2
0 0
(3) E = m v + = E + .
rel 0 kl
2 2
2 8c 8c
Dzieląc równanie (3) stronami przez Ekl otrzymamy:
2
E 3 v
# ś#
rel
= 1+ ,
ś# ź#
E 4 c
# #
kl
czyli aby energia kinetyczna mogła być zapisana klasycznie z błędem nie większym niż 1%:
2
3 v
# ś#
d" 0,01,
ś# ź#
4 c
# #
v d" 0,12c .
7.9.R. Cząstka o ładunku q poruszająca się prostopadle do pola magnetycznego o indukcji B
będzie poruszać się po okręgu o promieniu R. Mamy więc:
mv2
= qvB ,
R
mv = p = qBR ,
gdzie p jest pędem cząstki. Wówczas:
p
(1) R = .
qB
Energię całkowitą E cząstki można wyrazić poprzez jej pęd:
2
(2) E2 = E0 + p2c2 ,
lub przez sumę energii spoczynkowej E0 i kinetycznej EK:
E = E0 + EK ,
skąd po podniesieniu stronami do kwadratu otrzymamy:
2 2
(3) E2 = E0 + 2E0EK + EK .
Z równań (2) i (3):
2 2 2
E0 + p2c2 = E0 + 2E0EK + EK ,
1
2
(4) p = 2E0EK + EK .
c
Podstawiając (4) do (1) otrzymamy:
2
2E0EK + EK
R = .
qcB
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
pawlikowski, fizyka, szczególna teoria względnościWYKŁ08 Szczeg teoria względności9 szczególna teoria wzglednosciCzy ogólna teoria względności dopuszcza perpetuum mobile pierwszego rodzajuOgólna teoria względnościteoria względności 2WZWF teoria wzglednosciCZĘŚĆ 6C WSTĘP DO SZCZEGÓLNEJ TEORII WZGLĘDNOŚCIWyklad 15 podstawy szczegolnej teorii wzglednosciF2 W11 Teoria względności wstępF3 teoria wzglednosciCZĘŚĆ 6A WSTĘP DO SZCZEGÓLNEJ TEORII WZGLĘDNOŚCITeoria względnościteoria wzglednosciwięcej podobnych podstron