BADANIA OPERACYJNE
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO
SYSTEMU MASOWEJ OBSAUGI
M/M/1/ "
Materiały pomocnicze do wykładu
adam.kadzinski@put.poznan.pl
Plik: BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc 1 / 19
A. KADZICSKI, ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSAUGI M/M/1/ "
POJCIE SYSTEMU M/M/1/ "
ź
" 2 1
Strumień Kolejka Stanowisko Strumień
zgłoszeń obsługi wyjściowy
Poissona
PRZYKAADY
- Stanowisko diagnostyczne;
- Mały warsztat samochodowy;
- Myjnia samochodowa;
- Automat telefoniczny;
- Gabinet lekarski specjalistyczny;
- Kiosk.
Plik: BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc 2 / 19
A. KADZICSKI, ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSAUGI M/M/1/ "
ZAAOŻENIA M/M/1/ "
ź
" 2 1
Strumień Kolejka Stanowisko Strumień
zgłoszeń obsługi wyjściowy
Poissona
- Strumień zgłoszeń jest strumieniem Poissona o intensywności , czyli odstępy między
zgłoszeniami opisuje rozkład wykładniczy o funkcji gęstości prawdopodobieństwa:
f (t) = " e-"t
- Stanowisko obsługowe ma jeden kanał obsługi;
- Czas obsługi zgłoszeń opisuje rozkład wykładniczy o funkcji gęstości prawdopodobieństwa:
f ( ) = ź "e- ź "
- Kolejka posiada nieograniczoną liczbę miejsc przeznaczonych na oczekiwanie zgłoszeń
(obiektów).
Plik: BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc 3 / 19
A. KADZICSKI, ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSAUGI M/M/1/ "
POSZUKIWANE
ź
" 2 1
Strumień Kolejka Stanowisko Strumień
zgłoszeń obsługi wyjściowy
Poissona
% Stany systemu;
% Graf stanów systemu;
% Stacjonarne prawdopodobieństwa stanów systemu;
% Średnia liczba zgłoszeń w systemie;
% Średnia liczba zgłoszeń oczekujących w kolejce;
% Średnia liczba obsługiwanych zgłoszeń w systemie.
Plik: BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc 4 / 19
A. KADZICSKI, ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSAUGI M/M/1/ "
ROZWIZANIA
% Stany systemu
S0 - w systemie nie ma zgłoszeń,
S1 - jedno zgłoszenie znajduje się w systemie i następuje jego obsługa na pierwszym
i jedynym kanale obsługowym, kolejka nie występuje,
S2 - dwa zgłoszenia znajdują się w systemie, pierwsze jest obsługiwane, drugie czeka
w kolejce,
Sk - k zgłoszeń znajduje się w systemie, pierwsze jest obsługiwane, pozostałe k - 1
zgłoszeń oczekuje w kolejce.
% Graf stanów systemu
S0 S1 S2 . . . Sk-1 Sk . . .
Sk+1
ź ź ź ź ź ź ź
STANY
STANY
BEZ KOLEJKI Z KOLEJK
Rys. 1. Graf stanów
Plik: BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc 5 / 19
A. KADZICSKI, ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSAUGI M/M/1/ "
% Stacjonarne prawdopodobieństwa stanów systemu
1.
. . .
S0 S1
ź
ź
p0(t + "t) = p0(t)"(1- " "t)+ p1(t)" ź " "t + o("t)
gdzie: o("t) - prawdopodobieństwo, że w przedziale "t nastąpi co najmniej dwukrotna zmiana stanu
systemu; jest bardzo małe i dalej będzie pomijane.
p0(t + "t)- p0(t)
= - p0(t)" + p1(t)" ź
lim
"t
"t0
p0(t + "t)- p0(t)
= - p0(t)" + p1(t)" ź
lim
"t
"t0
Plik: BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc 6 / 19
A. KADZICSKI, ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSAUGI M/M/1/ "
Wykorzystując definicję pochodnej
dp0(t) p0(t + "t)- p0(t)
=
lim
dt "t
"t 0
otrzymuje się
dp0(t)
= - p0(t)" + p1(t)" ź
dt
Dla warunków ustalonych:
dp0(t)
= 0; p0(t) = p0; p1(t) = p1;
dt
stąd
0 = - p0 " + p1 " ź
oraz
p1 = p0 "
p1 = p0 " , a gdy przyjmie się, że = , to (1)
ź ź
Plik: BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc 7 / 19
A. KADZICSKI, ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSAUGI M/M/1/ "
2.
. . .
S0 S1 S2
ź ź ź
p1(t + "t) = p1(t)"[1- ( + ź)" "t]+ p0(t)" " "t + p2(t)" ź " "t
p1(t + "t)- p1(t)
= - p1(t)"( + ź)+ p0(t)" + p2(t)" ź
"t
Dla warunków ustalonych:
0 = - p1 "( + ź)+ p0 " + p2 " ź
Wykorzystując równanie (1)
0 = - p0 " "( + ź)+ p0 " + p2 " ź
Plik: BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc 8 / 19
A. KADZICSKI, ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSAUGI M/M/1/ "
Stąd
1
p2 = " p0 " "( + ź)- p0 "
ź ź
a gdy
=
ź
mamy
Ą# + ź ń#
p2 = p0 " " -1Ą#
ó#
ź
Ł# Ś#
a dalej
Ą# ń#
p2 = p0 " " + 1 -1Ą#
ó#ź
Ł# Ś#
Stąd zależność na prawdopodobieństwo stacjonarne p2 przedstawia zależność:
p2 = p0 " 2
(2)
Plik: BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc 9 / 19
A. KADZICSKI, ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSAUGI M/M/1/ "
3.
. . .
S1 S2
S3 . . .
ź
ź ź ź
p2(t + "t) = p2(t)"[1- ( + ź)" "t]+ p1(t)" " "t + p3(t)" ź " "t
p2(t + "t)- p2(t)
= - p2(t)"( + ź)+ p1(t)" + p3(t)" ź
"t
Dla warunków ustalonych:
0 = - p2 "( + ź)+ p1 " + p3 " ź
stąd:
+ ź
p3 = p2 " - p1 "
ź ź
Plik: BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc 10 / 19
A. KADZICSKI, ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSAUGI M/M/1/ "
Wykorzystując równania (1) i (2)
+ ź
p3 = p0 " 2 " - p0 " " ,
ź ź
a gdy = , mamy:
ź
# ś#
2
p3 = p0 " 2 " ś# + 1 -1ź# = p0 " " ( + 1 -1)
ź
# #
Stąd zależność na prawdopodobieństwo stacjonarne p3 przedstawia zależność:
p3 = p0 " 3
(3)
Na podstawie zależności (1),(2) i (3), można zauważyć, że obowiązuje zależność rekurencyjna:
pk +1 = pk "
a stąd
k
pk +1 = p0 " "
(4)
k +1
i pk +1 = p0 " (5)
Plik: BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc 11 / 19
A. KADZICSKI, ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSAUGI M/M/1/ "
Porządkując wykonane obliczenia można zapisać, że:
p1 = p0 "
#
2 #
p2 = p0 "
#
3
p3 = p0 " #
#
M
#
(6)
Ź#
k -1
pk -1 = p0 "
#
k
#
pk = p0 "
#
k +1
pk +1 = p0 "
#
#
M
#
Plik: BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc 12 / 19
A. KADZICSKI, ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSAUGI M/M/1/ "
Oczywiście obowiązuje tu również warunek, że:
"
pi = 1 (7)
"
i=0
Wykorzystując równania (6) i (7) można zapisać, że:
2 k
p0 + p0 " + p0 " + L + p0 " + L =1
-1
Ą# ń#
ó# Ą#
ó#1+ 2 +K+ k + Ą#
a stąd p0 =
1+ 44K Ą#
44424 3
ó#
a0
ó# Ą#
(suma nieskoncz. ciagu geometr.)
1-q
Ł# Ś#
gdzie: a0 - pierwszy wyraz nieskończonego ciągu geometrycznego,
q - iloraz nieskończonego ciągu geometrycznego.
Dalej można więc zapisać, że:
-1 -1
Ą# ń# Ą# 1 ń#
p0 = + =
ó#1 1 - Ą# ó#1 - Ą#
Ł# Ś# Ł# Ś#
co daje ostatecznie zależność postaci:
p0 = 1-
(8)
Plik: BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc 13 / 19
A. KADZICSKI, ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSAUGI M/M/1/ "
Wykorzystując równania (6) i (8) można napisać równania (9) wyrażające prawdopodobieństwa
stacjonarne stanów systemu M/M/1/ " postaci:
p1 = (1- )"
#
2 #
p2 = (1- )"
#
p3 = (1- )" 3 #
#
M
#
(9)
Ź#
k -1
pk -1 = (1- )"
#
k
#
pk = (1- )"
#
k +1
pk +1 = (1- )"
#
#
M
#
Plik: BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc 14 / 19
A. KADZICSKI, ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSAUGI M/M/1/ "
% Średnia liczba zgłoszeń w systemie M/M/1/ "
Korzystając z zależności na wartość oczekiwaną zmiennej losowej typu dyskretnego, średnią
liczbę zgłoszeń w systemie można obliczyć wg formuły:
"
Lsys = " pi
"i
i =0
Rozpiszmy powyższą formułę bardziej szczegółowo do postaci:
Lsys = 0" p0 +1" p1 + 2" p2 +K+ k " pk +K
{ { {
2 k
"(1- )
"(1- ) "(1- )
oraz uwzględnijmy zależność (9):
2 k
Lsys =1" "(1- )+ 2" "(1- )+ L + k " "(1- )+ L
Plik: BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc 15 / 19
A. KADZICSKI, ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSAUGI M/M/1/ "
Można zauważyć, że powyższą zależność można zapisać w postaci:
" "
d d
i
Lsys = "(1- )" lub Lsys = "(1- )"
" " i
d d
i =1 i =1
13
2
a0
=
1-q 1-
co prowadzi w efekcie końcowym do zależności (10):
d # ś#
Lsys = "(1- )" ś# ź#
d
#1- #
1
po obliczeniu pochodnej: Lsys = "(1- )"
(1- )2
Lsys =
(10)
1-
Plik: BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc 16 / 19
A. KADZICSKI, ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSAUGI M/M/1/ "
% Średnia liczba zgłoszeń oczekujących w kolejce systemu M/M/1/ "
Średnia liczba zgłoszeń w kolejce zostanie obliczona jako różnica średniej liczby zgłoszeń w
systemie i średniej liczby zgłoszeń obsługiwanych, wg zależności:
Loczek = Lsys - Lobs (11)
Plik: BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc 17 / 19
A. KADZICSKI, ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSAUGI M/M/1/ "
% Średnia liczba zgłoszeń obsługiwanych w systemie M/M/1/ "
Korzystając z zależności na wartość oczekiwaną zmiennej losowej typu dyskretnego, średnią
liczbę zgłoszeń obsługiwanych w systemie dysponującym jednym kanałem obsługowym, można
obliczyć wg formuły:
1
Lobs = " piobs
"i
i =0
Po rozpisaniu powyższej zależności otrzymuje się:
"
Lobs = 0" p0obs +1" p1obs ale p1obs = pk
"
k =1
co skutkuje w następującym zapisie:
"
Lobs = 0" p0obs + pk
"
k =
113
2
suma nieskonczonego
ciagu geometrycznego
"(1- )
1-
i zależnością końcową (12)
Lobs. =
(12)
Plik: BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc 18 / 19
A. KADZICSKI, ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSAUGI M/M/1/ "
% Średnia liczba zgłoszeń oczekujących w kolejce systemu M/M/1/ " cd.
Teraz można powrócić do wyznaczenia średniej liczby zgłoszeń oczekujących w kolejce. Korzysta
się przy tym z zależności (10), (11) i (12):
2
- +
Loczek = - 13 =
2
1- 1-
{
zal. (12)
zal. (10)
otrzymując w końcu formułę (13) postaci:
2
Loczek. =
(13)
1-
Plik: BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc 19 / 19
A. KADZICSKI, ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSAUGI M/M/1/ "
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
BO OL Studia przypadkow v3BO LWK3Fakty nieznane , bo niebyłe Nasz Dziennik, 2011 03 16Bo gory moga ustapicAnalityka ChemicznaDSC PC1550 v3 0 obsanalitykakolokwium 1 BO przykladChemia analityczna wykładyBO Literaturaelementy analityczna ywięcej podobnych podstron