Maria Nowotny-Różańska
Zespół Fizyki, Akademia Rolnicza
do użytku wewnętrznego
ĆWICZENIE 5
Wyznaczanie przyśpieszenia ziemskiego
przy pomocy wahadła matematycznego i fizycznego
Kraków, 02.2007
Spis treści:
I. CZ
ŚĆ TEORETYCZNA........................................................................................................................... 2
PR
DKOŚĆ I PRZYŚPIESZENIE W RUCHU POST
POWYM.................................................................................... 2
RUCH OBROTOWY .......................................................................................................................................... 2
PRAWO GRAWITACJI ....................................................................................................................................... 4
PRZYŚPIESZENIE ZIEMSKIE.............................................................................................................................. 4
RUCH HARMONICZNY..................................................................................................................................... 4
WAHADA
O MATEMATYCZNE .......................................................................................................................... 6
WAHADA
O FIZYCZNE...................................................................................................................................... 7
1. Wahadło fizyczne - obręcz .................................................................................................................... 7
2. Wahadło fizyczne - pręt......................................................................................................................... 8
II. CEL ĆWICZENIA ..................................................................................................................................... 9
III. WYKONANIE ĆWICZENIA.................................................................................................................. 9
A. POMIAR PRZYŚPIESZENIA ZIEMSKIEGO PRZY POMOCY WAHADA
A MATEMATYCZNEGO. .............................. 9
B. POMIAR PRZYŚPIESZENIA ZIEMSKIEGO PRZY POMOCY WAHADA
A FIZYCZNEGO - OBR
CZY......................... 9
C. POMIAR PRZYŚPIESZENIA ZIEMSKIEGO PRZY POMOCY WAHADA
A FIZYCZNEGO - PR
TA.............................. 9
IV. OPRACOWANIE WYNIKÓW ............................................................................................................... 9
LITERATURA UZUPEA
NIAJ
CA............................................................................................................ 10
ZAKRES WYMAGANYCH WIADOMOŚCI:
Zasady dynamiki dla ruchu postępowego i obrotowego (pojęcie siły, masy, momentu siły,
momentu bezwładności). Prawo grawitacji, przyspieszenie ziemskie. Wahadło
matematyczne i fizyczne. Ruch harmoniczny. Okres drgań wahadła matematycznego i
fizycznego.
 2
I. CZ
ŚĆ TEORETYCZNA
Prędkość i przyśpieszenie w ruchu postępowym
Prędkość (oznaczana literą v) jest to miara szybkości zmian położenia ciała. Jest to
wielkość wektorowa, (tzn. posiada wartość, kierunek, zwrot ). Podstawową jednostką
prędkości w układzie SI jest m/s. Wyróżniamy prędkość średnią, która odpowiada
dowolnemu, skończonemu przedziałowi czasu "t, oraz prędkość chwilową, gdy "t dąży do
zera:
"s dS
vchwil = lim = (1)
"t0
"t dt
Przyśpieszenie (oznaczane literą a ) jest miarą szybkości zmian prędkości ciała
zachodzących w czasie. Przyśpieszenie jest również wielkością wektorową, a jego
2
jednostką jest m/s . Podobnie jak w przypadku prędkości, rozróżniamy przyśpieszenie
średnie dla dowolnego, skończonego przedziału czasu "t, oraz przyśpieszenie chwilowe,
gdy "t dąży do zera:
"vchwil dv
a = lim = (2)
chwil
"t0
"t dt
Korzystając z definicji prędkości chwilowej, możemy przyśpieszenie zapisać jako
drugą pochodną drogi po czasie:
2
d S
a = (3)
chwil
2
dt
Ruch obrotowy
Bryła sztywna porusza się ruchem obrotowym wokół pewnej osi, jeśli wszystkie
punkty tego ciała poruszają się po współosiowych okręgach leżących w płaszczyznach
prostopadłych do osi obrotu. Każda zmiana w ruchu obrotowym spowodowana jest
przyłożeniem do bryły sztywnej siły F , dającej niezerowy moment M siły w kierunku osi
obrotu. Momentem siły M , nazywamy iloczyn wektorowy ramienia siłyr oraz siły F :

M = r � F (4)
gdzie M jest wektorem leżącym na osi obrotu. (Rys.1).
Rys.1. Bryła sztywna z zaznaczoną przyłożoną siłą, ramieniem siły i wektorem momentu
siły.
Zgodnie z I-szą zasadą dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego jeśli momenty
wszystkich sił działających na ciało (bryłę sztywną) równoważą się wzajemnie, to ciało
pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem obrotowym jednostajnym (tzn. ze stałą co
do wielkości i kierunku prędkością kątową � ).
Natomiast wg II-giej zasady dynamiki Newtona jeśli na ciało działa
niezrównoważony moment siły, to ciało porusza się ruchem obrotowym jednostajnie
 3
zmiennym z przyśpieszeniem kątowym � , które jest wprost proporcjonalne do wartości
tego momentu, a odwrotnie proporcjonalne do momentu bezwładności I:
M
� = (5)
I
Przyśpieszenie kątowe � jest miarą szybkości zmian prędkości kątowej ciała
zachodzących w czasie. Jest to wektor leżący na osi obrotu. Rozróżniamy przyśpieszenie
kątowe średnie dla dowolnego, skończonego przedziału czasu, oraz przyśpieszenie
chwilowe, gdy "t dąży do zera:
"� d�
�chwil = lim = (6)
"t0
"t dt
Aby obliczyć moment bezwładności I należy podzielić bryłę sztywną na bardzo
wiele (N) elementów o masach mi (Rys.2). Każdy z nich jest odległy od osi obrotu bryły o
ri. Moment bezwładności wyrazi się wtedy wzorem:
2
I = m1r12 + m2 r22 +...+mN rN
Rys.2. Bryła sztywna z zaznaczoną osią obrotu, elementami masy mi oraz ich
odległościami ri od osi obrotu.
Wprowadzając znak Ł powyższą sumę możemy zapisać następująco:
N
I = ri 2
"m
i
i=1
Moment bezwładności ciała zależy zarówno od kształtu bryły sztywnej jak i od
położenia osi obrotu. Jeśli znamy moment bezwładności bryły IS względem osi
przechodzącej przez środek ciężkości bryły, to możemy, korzystając z twierdzenia
Steinera, znalez
ć moment bezwładności I względem dowolnej osi równoległej do
poprzedniej. Jest on równy:
2
I = IS + md (7)
gdzie d oznacza odległość pomiędzy osią przechodzącą przez środek ciężkości S oraz
nową osią (Rys.3).
Rys.3. Ilustracja twierdzenia Steinera
 4
Prawo grawitacji
Każde dwa ciała przyciągają się z siłą grawitacji F , której wartość jest wprost
proporcjonalna do iloczynu mas tych ciał m1, m2, a odwrotnie proporcjonalna do kwadratu
odległości pomiędzy nimi:
m1m2 r
F=- G (8)
r2 r
gdzie G jest współczynnikiem proporcjonalności zwanym stałą grawitacji i wynosi
-11 2 2
6.67 10 Nm /kg . Kierunek siły F pokrywa się z linią łączącą środki mas m1 i m2.
Jeśli rozpatrzymy układ obejmujący Ziemię (M) oraz badane ciało (m) znajdujące
się na powierzchni Ziemi, to siłę grawitacji możemy zapisać wzorem:
M m
F =G
R2
gdzie R jest promieniem Ziemi. Wzór ten można zapisać w innej postaci:
M
F =mG =mggr (9)
R2
gdzie ggr jest wielkością stałą w danym punkcie Ziemi, i nosi nazwę przyśpieszenia
grawitacyjnego. Wartość przyśpieszenia grawitacyjnego na powierzchni Ziemi nie jest
stała, gdyż Ziemia jest nieco spłaszczona na biegunach i ma kształt zbliżony do elipsoidy.
Przyśpieszenie ziemskie
Na każde ciało znajdujące się w polu ciężkości Ziemi działa siła ciężkości Q
(inaczej zwana ciężarem ciała), która nadaje ciału przyśpieszenie gz zwane
przyśpieszeniem ziemskim:
Q
gZ = (10)
m
Przyśpieszenie ziemskie jest to zatem takie przyśpieszenie, z którym poruszają się
wszystkie ciała swobodnie spadające na powierzchnię Ziemi, bez względu na swoją masę.
Siła ciężkości Q jest wypadkową kilku sił, wśród których dominuje siła grawitacji.
Niewielki udział mają również siła odśrodkowa i siła wyporu powietrza. Siła odśrodkowa
Fo, działająca na ciała znajdujące się na powierzchni Ziemi, jest skutkiem ruchu
obrotowego Ziemi wokół własnej osi. Wartość siły odśrodkowej działającej na ciało o
masie m zależy od prędkości kątowej � (która jest stała we wszystkich punktach Ziemi)
oraz odległości r danego ciała od osi obrotu Ziemi. Kierunek siły odśrodkowej jest zawsze
prostopadły do osi obrotu Ziemi, a jej wartość rośnie w miarę przesuwania się od bieguna,
gdzie wynosi zero, do równika, gdzie przyjmuje wartość maksymalną.
Siła odśrodkowa jest mała w porównaniu z siłą grawitacji Ziemi. Nawet na równiku
stosunek tych dwóch sił wynosi zaledwie 1:288. Przyśpieszenie ziemskie dla Krakowa
2
wynosi 9.981 m/s .
Wartość siły ciężkości związana jest również z budową wewnętrzną Ziemi, a w
szczególności z budową skorupy ziemskiej. Nauka, która bada związek siły ciężkości
(i przyśpieszenia ziemskiego) z figurą i budową wewnętrzną Ziemi nazywa się
grawimetrią. Precyzyjny pomiar siły ciężkości w różnych punktach Ziemi dostarcza
informacji o rozkładzie gęstości ośrodka w rejonie obserwacji, umożliwiając badania
struktur geologicznych i poszukiwanie złóż kopalin. Podstawową wielkością mierzoną w
grawimetrii jest przyśpieszenie ziemskie. Jego wartość można zmierzyć m.in. przy pomocy
wahadła matematycznego, fizycznego czy bardziej skomplikowanych przyrządów zwanych
grawimetrami.
Ruch harmoniczny
 5
Ruch harmoniczny jest ruchem drgającym, odbywającym się pod wpływem siły F,
która w każdej chwili jest wprost proporcjonalną do wychylenia x ciała z położenia
równowagi:
F = -k �" x (11)
gdzie k jest współczynnikiem proporcjonalności. Poprzez wychylenie rozumiemy
odległość drgającego ciała od położenia równowagi. Znak minus oznacza, że zwrot siły
jest przeciwny do kierunku wychylenia.
Przykładem ciała poruszającego się ruchem harmonicznym może być ciężarek
drgający na sprężynie (Rys.4). Jego drgania odbywają się pod wpływem siły sprężystości
sprężyny. Siła ta zgodnie z prawem Hooke a jest wprost proporcjonalna do wydłużenia
sprężyny.
Rys.4. Ciężarek zawieszony na sprężynie w różnych fazach drgań
Korzystając z II - giej zasady dynamiki Newtona i różniczkowej definicji
przyśpieszenia (3), równanie ruchu harmonicznego (11) można przedstawić następująco:
2
d x
- k�" x = m (12)
2
dt
Rozwiązaniem powyższego równania różniczkowego jest funkcja okresowa w
postaci:
x = A �" sin �t + Ć0 (13)
( )
gdzie A i Ćo to stałe całkowania. A jest amplitudą, tzn. maksymalnym wychyleniem z
położenia równowagi, zaś Ćż - fazą początkową. Wyrażenie (�t+Ć) jest fazą drgania
harmonicznego. Wielkość � nazywana jest częstością drgania harmonicznego i związana
jest z okresem drgań T następująco:
2Ą
� = (14)
T
Okres drgań T jest to czas jednego pełnego drgnienia.
Częstotliwość ruchu harmonicznego f jest to liczba pełnych drgań zachodzących w
jednostce czasu.
1 �
f = = (15)
T 2Ą
Korzystając ze wzorów (1), (3) i (13) możemy wyliczyć prędkość i przyśpieszenie
w ruchu harmonicznym:
dx d
v = = sin �t + Ć A �"� �" cos �t + Ć (16)
( ) ( )
[A ]=
0 0
dt dt
Gdy cos(�t+Ćo)=1, prędkość przyjmuje wartość maksymalną v :
max
vmax = A �"�
 6
Zatem ciało posiada prędkość maksymalną gdy sin(�t+Ćż) = 0, tzn, gdy przechodzi
przez położenie równowagi.
Przyśpieszenie w ruchu harmonicznym wyraża się wzorem:
2 2
d x d
2 2
a = = A sin �t + Ć = -A �"� �" sin �t + Ć = -� �" x (17)
( ) ( )
[ ]
0 0
2 2
dt dt
Ciało posiada maksymalne przyśpieszenie, gdy sin(�t+�o)=1, tzn., gdy ciało
znajduje się w odległości A od położenia równowagi.
Korzystając z równania ruchu harmonicznego (11), oraz ze wzoru na
przyśpieszenie (17), możemy znalez
ć związek pomiędzy współczynnikiem k i częstością
ruchu harmonicznego �.
2
k = m�"� (18)
Wahadło matematyczne
Wahadłem matematycznym nazywamy wyidealizowany twór, utworzony z punktu
materialnego zawieszonego na nieważkiej i nierozciągliwej nici. Gdy punkt materialny
wychylimy z położenia równowagi będzie on wykonywał wahania wokół położenia
równowagi O. (Rys.5).
Rys. 5. Wahadło matematyczne.
Na punkt materialny działa siła ciężkości skierowana pionowo w dół. Gdy punkt
wychylimy z położenia równowagi, siłę Q = mg możemy rozłożyć na składową N, która
wywołuje naprężenie nici, oraz na składową Fs styczną do toru, która powoduje ruch
wahadła. Z rys. 5 widać, że:
FS = mg siną
Dla małych kątów ą możemy w przybliżeniu zapisać:
siną = ą
Wyrażając kąt ą w mierze łukowej ą = x/l, (gdzie x jest równe długości łuku OA
(rys.8), siłę FS możemy zapisać:
x
FS = mg (19)
l
Widać, że dla małych kątów ą siła ta jest wprost proporcjonalna do wychylenia x z
położenia równowagi, a więc jest siłą harmoniczną. Ruch punktu materialnego wokół
położenia równowagi jest więc ruchem harmonicznym. Możemy zatem zapisać:
x
mg = k �" x
l
Korzystając ze wzorów (14) oraz (18) dostajemy:
 7
2
g 4 
=
2
l T
Po przekształceniu otrzymujemy wzór na okres drgań wahadła matematycznego:
l
T = 2  (20)
g
Wahadło fizyczne
Wahadło fizyczne jest to bryła sztywna zawieszona na poziomej osi O
umieszczonej powyżej środka ciężkości bryły S (Rys.6).
Rys. 6. Bryła sztywna z zaznaczoną osią obrotu O i środkiem ciężkości S.
Jeśli wychylimy wahadło z położenia równowagi o mały kąt ą, to działa na niego
moment siły ciężkości względem osi obrotu O:
r r r
M = d � Q = d �" mg �" siną (21)
gdzie d oznacza ramię siły ciężkości.
Podobnie jak dla wahadła matematycznego, czynimy założenie, że dla małych
kątów ą:
x
siną E" ą =
d
gdzie x jest to wychylenie środka ciężkości S z położenia równowagi. Zatem moment siły
ciężkości wyraża się wzorem:
M = mgx (22)
Korzystając ze wzorów (5) i (17) można zapisać dla wahadła fizycznego:
2
a I I 4 
2
M = I �" � = I = - � x = - �" �" x (23)
2
d d d T
Porównując dwa ostatnie równania otrzymujemy:
2
4  Ix
-mgx = -
2
d �" T
Po przekształceniu znajdujemy wzór na okres drgań wahadła fizycznego dla małych
kątów ą:
I
T = 2  (24)
mgd
Rozważymy teraz dwa przykłady wahadeł fizycznych:
1. Wahadło fizyczne - obręcz
 8
Dla obręczy moment bezwładności względem osi obrotu przechodzącej przez
środek ciężkości S i prostopadłej do płaszczyzny obręczy (Rys.7) wynosi:
2
I = mr (25)
S
gdzie r jest to promień obręczy, a m jej masa.
Rys.7. Wahadło fizyczne - obręcz. O - punkt, przez który przechodzi oś obrotu.
Korzystając z twierdzenia Steinera (7) możemy obliczyć moment bezwładności
względem osi przechodzącej przez punkt O:
2
I0 = IS + md
W przypadku obręczy d = r, więc:
2 2 2
I0 = mr + mr = 2mr
Podstawiając IO do wzoru na okres drgań wahadła fizycznego (24) dostaniemy:
2r
T = 2  (26)
g
2. Wahadło fizyczne - pręt
Pręt zawieszamy na niewielkim pryzmacie (którego masę zaniedbujemy w
obliczeniach), umieszczonym w odległości d od środka ciężkości pręta (Rys.8).
O
d
l
S
.
Rys.8. Wahadło fizyczne - pręt
Moment bezwładności pręta względem osi prostopadłej do niego i przechodzącej
przez środek ciężkości S wyraża się wzorem:
ml2
IS = (27)
12
 9
gdzie m jest to masa pręta, a l jego długość. W oparciu o twierdzenie Steinera (7)
znajdujemy moment bezwładności pręta względem osi przechodzącej przez punkt O, a
następnie korzystając ze wzoru (24), okres drgań:
2
IS + md
T = 2  (28)
mgd
II. CEL ĆWICZENIA
Celem ćwiczenia jest wyznaczenie przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy
wahadła matematycznego i fizycznego.
III. WYKONANIE ĆWICZENIA
A. Pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła matematycznego.
1. Mierzymy linijką długość l nici wahadła.
2. Przy pomocy suwmiarki mierzymy średnicę d kulki.
3. Wychylamy kulkę z położenia równowagi o niewielki kąt i delikatnie puszczamy. Jeżeli
drgania kulki zachodzą w płaszczyz
nie, a nić nie uderza o ograniczniki, rozpoczynamy
stoperem pomiar czasu trwania 100 okresów.
4. Pomiary opisane w punktach 1-3 powtarzamy dla trzech różnych długości nici.
B. Pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego - obręczy.
1. Zdejmujemy obręcz ze statywu. Mierzymy linijką conajmniej 5 razy średnicę zewnętrzną
obręczy w różnych miejscach. Następnie mierzymy dokładnie taką samą ilość razy
średnicę wewnętrzną. Obliczamy średnią arytmetyczną z tych pomiarów i otrzymaną
liczbę dzielimy przez dwa. W ten sposób znajdujemy średni promień r, równy
odległości d od środka ciężkości do osi obrotu.
2. Wychylamy obręcz z położenia równowagi i mierzymy stoperem czas trwania 100
okresów.
C. Pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego - pręta
1. Zdejmujemy pręt ze statywu i zmierzymy jego długość l.
2. Mierzymy odległość osi obrotu (ostrze pryzmatu) do końca pręta i obliczamy
odległość od osi obrotu do środka ciężkości d (przy szukaniu środka ciężkości nie
uwzględniać masy pryzmatu.
3. Mierzymy stoperem czas trwania 50 okresów.
IV. OPRACOWANIE WYNIKÓW
A.
1. Obliczyć długość wahadła matematycznego jako sumę długości nici l i promienia kulki
d/2.
2. Znalez
ć okres T jako czas pomiaru stu okresów podzielony przez 100.
3. Obliczyć przyśpieszenie ziemskie g ze wzoru:
2
4  l
g = (29)
2
T
podstawiając do niego wyliczoną długość wahadła l i okres T. Wzór (29) powstał z
przekształcenia wzoru (20).
4. Obliczyć w ten sam sposób przyśpieszenie ziemskie dla pozostałych długości wahadła.
 10
5. Dla jednej, wybranej długości wahadła, obliczyć błąd przyśpieszenia ziemskiego metodą
logarytmiczną lub metodą różniczki zupełnej. Błędy "l i "T oszacować jako błędy
maksymalne pojedynczego pomiaru.
ł.
ł.
ł.
ł.
1. Obliczyć przyśpieszenie ziemskie g ze wzoru:
2
8  r
(30)
g =
2
T
podstawiając do niego obliczoną wartość r i T. Wzór (30) powstał z przekształcenia
wzoru (26) na okres drgań wahadła fizycznego - obręczy.
C.
1. Obliczyć przyśpieszenie ziemskie g ze wzoru:
2 2
 l2 + 12d
( )
g = (31)
2
3T d
podstawiając wyznaczone wartości d, l i T. Wzór (31) powstał z przekształcenia wzoru
(28) na okres drgań wahadła fizycznego - pręta.
2. Obliczyć błąd przyśpieszenia ziemskiego metodą różniczki zupełnej. Błędy "l i "d i "T
przyjąć jako błędy maksymalne pojedynczego pomiaru.
LITERATURA UZUPEA
NIAJ
CA
1. Dryński Tadeusz., Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki, PWN, Warszawa 1978
2. Encyklopedia Fizyki., PWN, Warszawa 1974
3. Halliday D., Resnick R., Fizyka Tom 1, PWN, Warszawa 1974
4. Szczeniowski S., Fizyka Doświadczalna, Tom III, PWN, Warszawa 1980


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
cwicz5
LAK cwicz5 (1)
Cwicz5
cwicz5
Grafika cwicz5 14
cwicz5 przepis

więcej podobnych podstron