EKSTREMA LOKALNE
Silne ekstrema lokalne
Definicja
Niech X przestrzeń topologiczna,
f : X R,
x0 X .
z def .
* *
x0
1 f ma w silne minimum lokalne
: $ V Top *(x0) : f (x0) < f (x) dla x V
istnieje takie
sąsiedztwo
punktu x
0
z def .
* *
x0
2 f ma w silne maksimum lokalne : $ V Top *(x0) : f (x0) > f (x) dla x V
Słabe ekstrema lokalne
Definicja
* *
x0
1 f ma w słabe minimum lokalne
: $ V Top*(x0) : f (x0) Ł f (x) dla x V
* *
x0 : $ V Top*(x0) : f (x0) ł f (x) dla x V
2 f ma w słabe maksimum lokalne
Niech * oznacza następujące ogólne założenia
U TopRn
* f :U R
x U
0
Twierdzenie (warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego)
Zakładamy, że zachodzi * oraz dodatkowo:
f D(x0)
x0
, tzn. f jest różniczkowalna w
i
f ma ekstremum lokalne w x .
0
Teza:
dx f = 0
0
(pierwsza różniczka funkcji f w punkcie x jest równa 0).
0
Uwaga
Macierz pochodnych cząstkowych odpowiadająca danej różniczce jest równa zero wtedy i tylko
wtedy, gdy wszystkie pochodne cząstkowe tworzące macierz są równe zero,
śf
dx f = 0 = 0 " j = 1,..., n
0
śxj
Definicja
Punktem stacjonarnym funkcji różniczkowalnej f nazywamy taki punkt x , w którym różniczka jest
0
dx f = 0
równa 0; czyli
0
1
Dygresja (przypomnienie z algebry)
Definicja
(X , )
Niech - przestrzeń unormowana nad ciałem K
g : X K.
Wtedy g jest formą kwadratową, jeśli$ G L (X , K),G - symetryczne i takie, że
2
g(h) = G(h,h) " h X.
Definicja
g(h) > 0 " h X \{0}
g określona dodatnio
g(h) < 0 " h X \{0}
g określona ujemnie
g(h) ł 0 " h X
g półokreślona dodatnio
g półokreślona ujemnie g(h) Ł 0 " h X
Twierdzenie Sylwestera (o określoności formy kwadratowej)
Zał: A macierz formy kwadratowej g
A = [aij] , gdzie aij R dla i, j = 1,..., n
i, j=1,...,n
dk = det[aij] dla k = 1,..., n
i, j=1,...,k
minory wyznaczniki
główne podmacierzy
Teza: 1 forma g jest określona dodatnio
" k = 1,..., n: dk > 0.
(wszytskie minory (wyznaczniki) główne są większe od zera)
2 forma g jest określona ujemnie " k =1,..., n : (-1)k dk > 0.
Twierdzenie (o półokreśloności formy kwadratowej)
Zał: A macierz formy kwadratowej
A = [aij] , gdzie aij R dla i, j = 1,..., n
i, j=1,...,n
dk = det[aij] dla k =1,..., n
i, j=1,...,k
Teza: 1 g półokreślona dodatnio
" k =1,..., n : dk ł 0
2 g półokreślona ujemnie " k = 1,..., n : (-1)k dk ł 0
Koniec dygresji
2
Twierdzenie (warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego)
Zał: Zachodzi * oraz
f D2(x0)
tzn. funkcja f jest dwukrotnie rózniczkowalna w punkcie x
0.
2
dx f = 0 Ł dx f -
Teza: 1 Jeśli określona dodatnio f ma w x minimum lokalne.
0
0 0
2
dx f = 0 Ł dx f -
2 Jeśli określona ujemnie f ma w x maximum lokalne.
0
0 0
Dowód (szkic):
Ad. 1,
1 2
2
f (x0 + h) = f (x0) + dx f (h) + dx f (h) + o(h )
0 0
123
4 4
2
z zał.=0
1 2
2
f (x0 + h) - f (x0) = dx f (h) + o(2 )> 0
h
0
2424 1 3
1 3
jest określona dowodzi się
dodatnio >0 że jest >0
x0
więc w punkcie jest ekstremum (minimum) lokalne.
Ą%
Wniosek (warunek wystarczjący istnienia ekstremum lokalnego)
Zał: Zachodzi* oraz
f C2m(U ),
" j =1,...,2m -1: dxj f = 0.
0
2m
Teza: 1 Jeśli dx f jest określona dodatnio, to f ma w punkcie x minimum lokalne.
0
0
2m
2 Jeśli dx f jest określona ujemnie, to f ma w punkcie x maksimum lokalne.
0
0
Twierdzenie (silny warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego)
Zał: Zachodzi *oraz
f D2(x0).
2 2
x0 dx f = 0 Ł dx f ł 0 (tzn. dx f -
Teza: 1 f ma minimum w półokreślona dodatnio)
0 0 0
2 2
x0 dx f = 0 Ł dx f Ł 0 (dx f -
2 f ma maksimum w półokreślona ujemnie)
0 0 0
Wniosek
2
dx f x0 x0
Jeśli jest nieokreślona w punkcie stacjonarnym , to wtedy w nie istnieje ekstremum
0
lokalne funkcji f.
Uwaga
2
dx f nie wynika istnienie ekstremum lokalnego w x0.
Z półokreśloności formy
0
3
Przykład
Zbadać określoność drugiej różniczki funkcji f (x, y) = x3 + xy + 2y2 - 7x + 5y - 3
w punkcie P(3,1).
śf
= 3x2 + y - 7
śx
śf
= x + 4y + 5
śy
ś2 f ś śf
ć
= = 6x
śx2 śx śx
Ł ł
ć
ś2 f ś śf
= = 4
śy2 śy śy
Ł ł
ć
ś2 f ś śf ś śf ś2 f
ć
= = 1 = =
śxśy śx śy śy śx śyśx
Ł ł
Ł ł
Niech h = (h1, h2), h ą (0,0). Wtedy
ś2 f ś2 f ś2 f
2
dP f (h) = (P)h12 + 2 (P)h1h2 + (P)h22 = 18h12 + 2h1h2 + 4h22 =
śx2 śxśy śy2
2
= 17h12 +(h12 + 2h1h2 + h22)+ 3h22 = 17h12243 + (h1 + h23 > 0 h ą (0,0).
+ 3h22 1 )
bo zakładaliśmy, że
14 424
>0 ł0
2
Z powyższych rozważań wynika że, jest formą określoną dodatnio.
dP f
Przykład
Zbadać ekstrema funkcji:
1) f (x, y)= x4 + y4
Pierwsza różniczka funkcji f musi być równa 0 (szukamy punktów stacjonarnych):
śf
= 4x3
śx
śf
= 4y3
śy
4x3 = 0
(x, y) = (0,0) P0(0,0)- punkt stacjonarny
3
4y = 0
Obliczamy drugie pochode cząstkowe
ś2 f
= 12x2
śx2
ś2 f
= 12y2
śy2
ś2 f ś2 f
= 0 =
śxśy śyśx
4
Stąd
ł
12x2 0
2
dP f =
ę ś
0 12y2
oraz
0 0
ł
2
forma kwadratowa drugiej różniczki jest półokreślona w punkcie P , więc
0
dP f =
ę0 0ś
0
może tam istnieć ekstremum. Aby je znalezć sprawdzamy czy:
?
f (x, y) > f (0,0) "(x, y) ą (0,0).
x4 + y4 > 0 "(x, y) ą (0,0)
Ponieważ
zatem w P istnieje minimum lokalne funkcji f.
0
2)
f (x, y) = x3 + y3
Postępujemy tak jak w przykł 1).
śf
= 3x2
śx
śf
= 3y2
śy
3x2 = 0
(x, y) = (0,0) P0(0,0)- punkt stacjonarny
2
3y = 0
ś2 f
= 6x
śx2
ś2 f
= 6y
śy2
ś2 f ś2 f
= 0 =
śxśy śyśx
6x 0
ł
dP 2 f =
ę
0 6yś
0 0
ł
dP 2 f =
0
ę0 0ś forma kwadratowa jest półokreślona w punkcie P
0
w P może istnieć ekstremum, więc wracamy do badania funkcji z definicji
0
5
f(0,0)=0
?
y
y=x
x3 + y3 > 0
Jednak dla prostej y=x funkcja f przyjmuje wartość
f (x, x) = 2x3
P0
V*
x
czyli nie jest stałego znaku w okolicy punktu (0,0).
Mianowicie
x < 0 f (x, x) < 0
x > 0 f (x, x) > 0.
Stąd wnioskujemy, że funkcja nie ma ekstremów lokalnych, ponieważ P był jedynym punktem
0
podejrzanym o istnienie ekstremum.
opracował Marcin Uszko
6
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
ekstrema lokalne i monotoniczność funkcjiekstrema lokalne7 Ekstrema lokalneZnajdź przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcjiTwierdzenie o wartości średniej, lokalne i absolutne ekstremaTwierdzenie o wartości średniej, lokalne i absolutne ekstrema13 wyklad ekstremaUAS 13 zaoer4p2 5 13więcej podobnych podstron