spis treści
symbole
Matematyka
zgłoś błąd
w liceum
25 maj
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1

n

n
(a + b)n = an-kbk
k
k=0
matma235@o2.pl
Spis treści:
" Podstawy " Trygonometria
" Funkcja i jej własności " Geometria na płaszczyz
nie
" Funkcja kwadratowa
" Wielomiany " MATURA
spis treści
" Funkcje wymierne
" Funkcja wykładnicza
symbole
" Logarytmy
zgłoś błąd
" Ciągi i ich granice
" Granica i pochodna funkcji
25 maj
za duża czcionka?
Ten ebook jest z 25 maja 2006r.
Najnowsza wersja: www.matma.boo.pl www.matma235.prv.pl
kontakt z autorem: matma235@o2.pl
copyright
matma235@o2.pl
25 maj 2006r.
Podstawy
wzory, twierdzenia, definicje
" zbiory liczbowe
" przedziały liczbowe
" działania na przedziałach
" wartość bezwzględna
spis treści
" potęgowanie
symbole
" wzory skróconego mnożenia
zgłoś błąd
" rysowanie wektorów
25 maj
przykłady
matma235@o2.pl
" "
Dla przedziałów A = (-3, 2 i B = (1, 4 wyznacz A *" B, A )" B, A\B, B\A,
A , B .
spis treści
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Dla przedziałów A = (-3, 2 i B = (1, 4 wyznacz A *" B, A )" B, A\B, B\A, A , B .
Zaznaczamy przedziały na osi liczbowej i odczytujemy rozwiązanie:
B
A
spis treści
-3 1 2 4
symbole
suma: A *" B = (-3, 4
zgłoś błąd
część wspólna: A )" B = (1, 2
25 maj różnica: A\B = (-3, 1
różnica: B\A = (2, 4
dopełnienie: A = (-", -3 *" (2, ")
dopełnienie: B = (-", 1 *" (4, ")
matma235@o2.pl
.
spis treści
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Przedziały liczbowe
Przykłady:
2, 5 Przedział obustronnie domknięty, zawiera liczby od 2 do 5.
2 5
spis treści
(2, 5) Przedział obustronnie otwarty, zawiera liczby od 2 do 5, bez 2 i 5.
symbole
zgłoś błąd 2 5
2, 5) Przedział lewostronnie domknięty, zawiera liczby od 2 do 5,
25 maj bez 5.
2 5
(2, 5 Przedział prawostronnie domknięty, zawiera liczby od 2 do 5,
bez 2.
2 5
Nawiasy przy " zawsze okrągłe
2, ") Przedział lewostronnie domknięty, zawiera liczby większe
lub równe 2.
2
(-", 5) Przedział prawostronnie otwarty, zawiera liczby mniejsze od 5.
5
matma235@o2.pl
Działania na przedziałach
suma: A *" B
Suma przedziałów A i B to przedział zawierający wszystkie liczby z przedziałów A i B.
Przykład:
B
A
A = (1, 3) B = (2, 4) A *" B = (1, 4)
spis treści
1 2 3 4
symbole
część wspólna (iloczyn): A )" B
zgłoś błąd
Część wspólna przedziałów A i B to przedział zawierający liczby wspólne dla przedziałów A
i B.
25 maj
Przykład:
B
A
A = (1, 3) B = (2, 4) A )" B = (2, 3)
1 2 3 4
Różnica : A\B
Różnica przedziałów A i B to przedział zawierający liczby należące do przedziału A, ale nie
należące do przedziału B.
Przykład:
B
A
A = (1, 3) B = (2, 4) A\B = (1, 2
1 2 3 4
Dopełnienie: A
Dopełnienie przedziału A to przedział lub suma przedziałów zawierająca liczby, które nie
należą do przedziału A.
Przykład:
A A A
A = (1, 3) A = (-", 1 *" 3, ")
1 3
matma235@o2.pl
" "
Równania i nierówności z wartością bezwzględną
Rozwiąż równania:
|x| = 3 |x + 1| = 2 |x - 3| = 0

spis treści |x + 4| = -5 (x + 5)2 = 4
symbole
Rozwiąż nierówności:
zgłoś błąd
|x| < 3 |x - 4| < 2 |8 - 2x| 4
|x| > 2 |2x - 6| 4
25 maj
matma235@o2.pl
Rozwiąż równanie:
|x| = 3
Wartość bezwzględna z -3 i 3 jest równa 3, a więc:
spis treści
x = -3 lub x = 3
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Rozwiąż równanie:
|x + 1| = 2
Wartość bezwzględna z -2 i 2 jest równa 2, a więc:
spis treści
x + 1 = -2 lub x + 1 = 2
symbole
x = -2 - 1 x = 2 - 1
zgłoś błąd
x = -3 x = 1
25 maj
matma235@o2.pl
Rozwiąż równanie:
|x - 3| = 0
Wartość bezwzględna tylko z 0 jest równa 0, a więc:
spis treści
x - 3 = 0
symbole
x = 3
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Rozwiąż równanie:
|x + 4| = -5
Wartość bezwzględna nie może być ujemna, a więc równanie nie ma
spis treści rozwiązania.
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Rozwiąż równanie:

(x + 5)2 = 4
"
Zgodnie ze wzorem x2 = |x| możemy napisać (x + 5)2 = |x + 5|.
spis treści
|x + 5| = 4
symbole
zgłoś błąd
Wartość bezwzględna z -4 i 4 jest równa 4, a więc:
25 maj
x + 5 = -4 lub x + 5 = 4
x = -4 - 5 x = 4 - 5
x = -9 x = -1
matma235@o2.pl
Wartość bezwzględna
Wartość bezwzględna z dowolnej liczby jest dodatnia lub równa zero.

"
x gdy x 0
|x| = |x| = x2
-x gdy x < 0
spis treści
Przykłady:
symbole
|4| = 4 | - 4| = 4 |0| = 0
zgłoś błąd
1
| - 5| = 5 |1| =
2 2
25 maj
matma235@o2.pl
Rozwiąż nierówność:
|x| < 3
Nierówność z wartością bezwzględną można zastąpić układem nierówności bez wartości bez-
spis treści
względnej.
x < 3 i x > -3
symbole
zgłoś błąd
25 maj
-3 3
Rozwiązaniem jest część wspólna przedziałów:
x " (-3, 3)
matma235@o2.pl
Rozwiąż nierówność:
|x - 4| < 2
Nierówność z wartością bezwzględną można zastąpić układem nierówności bez wartości bez-
spis treści
względnej.
x - 4 < 2 i x - 4 > -2
symbole
x < 2 + 4 x > -2 + 4
zgłoś błąd
x < 6 x > 2
25 maj
2 6
Rozwiązaniem jest część wspólna przedziałów:
x " (2, 6)
matma235@o2.pl
Rozwiąż nierówność:
|8 - 2x| 4
Nierówność z wartością bezwzględną można zastąpić układem nierówności bez wartości bez-
spis treści
względnej.
8 - 2x 4 i 8 - 2x -4
symbole
-2x 4 - 8 -2x -4 - 8
zgłoś błąd
-2x -4 / : (-2) -2x -12 / : (-2)
25 maj x 2 x 6
2 6
Rozwiązaniem jest część wspólna przedziałów:
x " 2, 6
matma235@o2.pl
Rozwiąż nierówność:
|x| > 2
Nierówność z wartością bezwzględną można zastąpić układem nierówności bez wartości bez-
spis treści
względnej.
x > 2 lub x < -2
symbole
zgłoś błąd
25 maj
-2 2
Rozwiązaniem jest suma przedziałów:
x " (-", -2) *" (2, ")
matma235@o2.pl
Rozwiąż nierówność:
|2x - 6| 4
Nierówność z wartością bezwzględną można zastąpić układem nierówności bez wartości bez-
spis treści
względnej.
2x - 6 4 lub 2x - 6 -4
symbole
2x 4 + 6 2x -4 + 6
zgłoś błąd
2x 10 / : 2 2x 2 / : 2
25 maj x 5 x 1
1 5
Rozwiązaniem jest suma przedziałów:
x " (-", 1 *" 5, ")
matma235@o2.pl
Definicja funkcji
Funkcja f : X Y to przyporządkowanie, które każdemu elementowi zbioru X przypo-
rządkowuje dokładnie jeden element ze zbioru Y .
x - argumenty (liczby należące do X)
y - wartości (liczby należace do Y )
spis treści
Funkcję przedstawiamy najczęściej za pomocą wzoru lub wykresu.
symbole
zgłoś błąd
Możliwe zapisy wzoru funkcji:
25 maj
y = x2 f(x) = x2
matma235@o2.pl
Dziedzina funkcji
Dziedzina funkcji to zbiór zawierający wszystkie liczby, które możemy podstawić do wzoru
funkcji. Możemy ją też odczytać z wykresu funkcji.
Oznaczenia: D Df X
spis treści
symbole Przykłady:
"
zgłoś błąd
y = x D = 0, "), ponieważ nie można pierwiastkować liczb ujemnych.
1 1
y = D = R\{0}, ponieważ nie można dzielić przez 0 (x = 1 : x).
x
25 maj
y
D = -2, 5)
x
-2 5
matma235@o2.pl
Symbole matematyczne
x " 0, ") x należy do przedziału 0, ")
R liczby rzeczywiste, czyli wszystkie jakie znasz
x " R\{0} x należy do liczb rzeczywistych oprócz 0.
spis treści
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Zbiór wartości (przeciwdziedzina)
Zbiór wartości to zbiór zawierający wszystkie liczby, które możemy otrzymać ze wzoru funkcji.
Możemy go też odczytać z wykresu funkcji.
Oznaczenia: D-1 Y Wf
spis treści
symbole Przykłady:
zgłoś błąd
y = x2 D-1 = 0, "), ponieważ podnosząc do kwadratu
otrzymujemy liczby nieujemne.
25 maj
y = x + 1 D-1 = R, ponieważ możemy otrzymać dowolną liczbę
wstawiając odpowiednią za x.
y
4
D-1 = -2, 4)
x
-2
matma235@o2.pl
Miejsce zerowe
Miejsce zerowe to liczba, która podstawiona do wzoru funkcji daje wartość równą 0. Miejsce
zerowe możemy też odczytać z wykresu funkcji.
Przykłady:
spis treści
y = x + 2 x0 = -2, ponieważ podstawiając -2 za x otrzymujemy 0.
symbole
y = 2x - 6 x0 = 3, ponieważ podstawiając 3 za x otrzymujemy 0.
zgłoś błąd
y
25 maj
x0 = 1
x
1
matma235@o2.pl
Monotoniczność
Monotonicznoność oznacza najczęściej, że funkcja jest rosnąca, malejąca lub stała.
y
Przykłady:
f(x2)
spis treści
Funkcja Definicja
symbole
rosnąca: x1 x2x Dla każdego x1 < x2: f(x1) < f(x2)
zgłoś błąd
f(x1)
25 maj
y
f(x1)
Funkcja Definicja
malejąca: Dla każdego x1 < x2: f(x1) > f(x2)
x1 x2 x
f(x2)
y
c
Funkcja Definicja
stała: x Dla każdego x: f(x) = c
matma235@o2.pl
Różnowartościowość
Funkcja jest różnowartościowa, jeżeli nie ma takich dwóch liczb, dla których wartość funkcji
wynosi tyle samo.
Przykłady:
spis treści
symbole
y
zgłoś błąd
25 maj
funkcja różnowartościowa
x
y
1
funkcja nie jest różnowartościowa, ponieważ
x
dla -4 i 3 wartość wynosi tyle samo.
-4 3
matma235@o2.pl
Wzory, definicje, twierdzenia:
" Podstawy
" Funkcja kwadratowa
" Wielomiany
" Funkcje wymierne
spis treści
" Funkcja wykładnicza
" Logarytmy
symbole
" Ciągi i ich granice
zgłoś błąd
" Granica i pochodna funkcji
" Trygonometria
25 maj
matma235@o2.pl
Jeżeli czcionka wydaje ci się zbyt duża, zmień rozmiar okna. Kliknij w prawym górnym rogu
i wskaz
nikiem myszki przeciągnij prawy dolny róg. Wraz z rozmiarem okna zmienisz rozmiar
tekstu.
spis treści
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Parzystość i nieparzystość
Funkcja jest parzysta, jeżeli dla dowolnych liczb przeciwnych wartość funkcji wynosi tyle
samo. Lewa strona wykresu jest odbiciem prawej.
f(-x) = f(x)
y
spis treści
symbole
zgłoś błąd
2
Funkcja parzysta, ponieważ dla liczb przeciwnych
x
-3 3
25 maj (np -3, 3) wartość wynosi tyle samo.
Funkcja jest nieparzysta, jeżeli dla dowolnych liczb przeciwnych wartości funkcji są też prze-
ciwne. Lewa strona wykresu jest odwróconym odbiciem prawej.
f(-x) = -f(x)
y
4
Funkcja nieparzysta, ponieważ dla liczb przeciwnych
(np -5, 5) wartości też są przeciwne.
x
-5 5
-4
matma235@o2.pl
dalej
y
Funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.
x
Tak jest z większością funkcji.
spis treści
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Okresowość funkcji
Funkcja jest okresowa, jeżeli jej wykres da się podzielić na nieskończenie wiele identycznych
części.
y
spis treści
symbole
zgłoś błąd
x
25 maj
Okres funkcji - długość jednej części na jakie został podzielony wykres.
matma235@o2.pl
" " " "

y y y
spis treści
x x x
1 1 1
symbole
zgłoś błąd
25 maj
Dla powyższych funkcji określ dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, monotoniczność,
różnowartościowość, parzystość, okresowość.
matma235@o2.pl
Znajdz
dziedzinę funkcji.
"
f(x) = 3x + 9
Rozwiązanie:
Wyznaczamy dziedzinę wiedząc, że liczb ujemnych nie możemy pierwiastkować.
3x + 9 0
spis treści
symbole 3x -9 / : 3
zgłoś błąd
x -3
25 maj
Odp. D = -3, ")
matma235@o2.pl
Znajdz
dziedzinę funkcji.
"
f(x) = 4 - 2x
Rozwiązanie:
Wyznaczamy dziedzinę wiedząc, że liczb ujemnych nie możemy pierwiastkować.
4 - 2x 0
spis treści
symbole -2x -4 / : (-2)
zgłoś błąd
x 2
25 maj
Odp. D = (-", 2
matma235@o2.pl
Znajdz
dziedzinę funkcji.
5
f(x) =
2x + 6
Rozwiązanie:
dziedzina funkcji
spis treści
Mianownik nie może być równy 0, ponieważ nie wolno dzielić przez 0.
symbole
2x + 6 = 0
zgłoś błąd
2x = -6 / : 2
25 maj
x = -3
Odp. D = R\{-3}
matma235@o2.pl
Znajdz
dziedzinę funkcji.
4
f(x) =
x(x + 3)
Rozwiązanie:
dziedzina funkcji
spis treści
Mianownik nie może być równy 0, ponieważ nie wolno dzielić przez 0.
symbole
x(x + 3) = 0
zgłoś błąd
x = 0 lub x + 3 = 0
25 maj x = -3
Odp. D = R\{0, -3}
matma235@o2.pl
y
x
1
spis treści
symbole
Rozwiązanie:
zgłoś błąd
dziedzina D = -3, ")
25 maj zbiór wartości D-1 = -4, "
miejsce zerowe x0 H" -2, 1 lub x0 = 0 lub x0 H" 2, 1
monotoniczność funkcja jest przedziałami monotoniczna
rosnąca w przedziale -3, -1)
malejąca w przedziale (-1, 1)
rosnąca w przedziale (1, ")
różnowartościowość funkcja nie jest różnowartościowa
parzystość funkcja nie jest ani parzysta ani nieparzysta
okresowość funkcja nie jest okresowa
matma235@o2.pl
Funkcja liniowa
Funkcja liniowa to funkcja dana wzorem
y = ax + b
a  współczynnik kierunkowy
spis treści
b  współrzędna punktu przecięcia z osią OY
symbole
zgłoś błąd
Wykres funkcji liniowej:
25 maj
y y y
3 y = 2
2
1
1 x 1 x 1 x
a > 0 a < 0 a = 0
rosnąca malejąca stała
matma235@o2.pl
y
=
1
3
-
x
3
+
+
1
x
2
=
y
Proste równoległe i prostopadłe
y
2
Proste równoległe mają
spis treści
1 x
ten sam współczynnik kierunkowy.
-1
symbole
zgłoś błąd
25 maj
y
Proste prostopadłe mają
1 x
-1 współczynniki kierunkowe spełniające wzór:
-3
a1 � a2 = -1
1
np. -2 � = -1
2
matma235@o2.pl
2
+
x
2
1
=
-
y
x
2
=
y
y
=
-
2
x
1
-
-
1
x
3
2
=
y
" " " "
Dla funkcji
y = 3x - 2
spis treści
narysuj wykres, podaj dziedzinę, zbiór wartości, miejsce zerowe, monotoniczność.
symbole
Znajdz
równanie funkcji, której wykres jest równoległy do y = 2x + 4 i prze
zgłoś błąd
chodzi przez punkt A(3, 7).
25 maj
Znajdz
równanie funkcji, której wykres jest prostopadły do y = 3x - 2 i prze
chodzi przez punkt A(6, 3).
matma235@o2.pl
Dla funkcji
y = 3x - 2
narysuj wykres, podaj dziedzinę, zbiór wartości, miejsce zerowe, monotoniczność.
Rozwiązanie:
Dla wybranych dowolnie x np. -1,0,1 liczymy y:
spis treści
x = -1 y = 3 � (-1) - 2 = -3 - 2 = -5
symbole
x -1 0 1
x = 0 y = 3 � 0 - 2 = -2
zgłoś błąd y -5 -2 1
x = 1 y = 3 � 1 - 2 = 1
y
25 maj
1
-1 1 x
-2
-5
dziedzina D = R
zbiór wartości D-1 = R
Miejsce zerowe liczymy wstawiając 0 za y.
0 = 3x - 2
-3x = -2/ : (-3)
2
x0 =
3
monotoniczność funkcja jest rosnąca
matma235@o2.pl
Znajdz
równanie funkcji, której wykres jest równoległy do y = 2x + 4 i przechodzi przez
punkt A(3, 7).
Rozwiązanie:
y = ax + b
Musimy znalez
ć a i b.
spis treści
a = 2, ponieważ szukana funkcja jest równoległa do y = 2x + 4.
symbole
zgłoś błąd
y = 2x + b
25 maj
Wstawiając do równania współrzędne A(3, 7) znajdujemy b.
7 = 2 � 3 + b
7 - 6 = b
b = 1
Odp. y = 2x + 1
matma235@o2.pl
Znajdz
równanie funkcji, której wykres jest prostopadły do y = 3x - 2 i przechodzi przez
punkt A(6, 3).
Rozwiązanie:
y = ax + b
Musimy znalez
ć a i b.
spis treści
Współczynnik kierunkowy a liczymy ze wzoru.
symbole
zgłoś błąd a1 � a2= -1
3 � a = -1/ : 3
25 maj
1
a = -
3
y = -1x + b
3
Wstawiając do równania współrzędne punktu A(6, 3) znajdujemy b.
1
3 = - � 6 + b
3
3 = -2 + b
3 + 2 = b
b = 5
Odp. y = -1 x + 5
3
matma235@o2.pl
Rysowanie wektorów
Wektor rysujemy w postaci strzałki.
w = [a, b]

Rysowanie wektora:
spis treści
Zaznaczamy początek w dowolnym miejscu. Na podstawie współrzędnych [a, b] znajdujemy
symbole
koniec.
zgłoś błąd
Przykłady:
25 maj
[2, 3] 2 w prawo 3 do góry
[3, 1] 3 w prawo 1 do góry
[-2, 1] 2 w lewo 1 do góry
[3, -2] 3 w prawo 2 do dołu
[0, 2] 2 do góry
[-3, 0] 3 w lewo
matma235@o2.pl
Przesuwanie wykresu funkcji
Wykres funkcji
f(x - a) + b
otrzymujemy przez narysowanie funkcji f(x) i przesunięciu jej o wektor [a, b].
spis treści Przykłady:
symbole
y = |x - 3| + 2 rysujemy y = |x| i przesuwamy o wektor [3, 2]
zgłoś błąd y = (x - 2)2-4 y = x2 [2, -4]
y = (x + 1)3 + 2 y = x3 [-1, 2]
25 maj
y = (x + 5)2-3 y = x2 [-5, -3]
y = x2 + 1 y = x2 [0, 1]
y = (x - 2)2 y = x2 [2, 0]
2 2
y = -1 y = [-3, -1]
x+3 x
Pierwsza współrzędna wektora ma przeciwny znak niż liczba przy x, druga współrzędna ma
znak taki sam jak liczba na końcu.
matma235@o2.pl
" " " "
Narysuj wykres funkcji:
1
y = (x - 2)2 + 1 y = (x + 4)3 y = - 2
x+1
y = |x - 3| + 2
spis treści
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Narysuj wykres funkcji:
y = (x - 2)2 + 1
Rozwiązanie:
Wykres y = (x - 2)2 + 1 otrzymujemy przez przesunięcie y = x2 o wektor [2, 1].
x -2 -1 0 1 2
spis treści
y = x2 4 1 0 1 4
symbole
zgłoś błąd
25 maj
y
x
matma235@o2.pl
Narysuj wykres funkcji:
y = (x + 4)3
Rozwiązanie:
Wykres y = (x + 4)3 otrzymujemy przez przesunięcie y = x3 o wektor [-4, 0].
x -2 -1 0 1 2
spis treści
y = x3 -8 -1 0 1 8
symbole
zgłoś błąd
y
25 maj
x
matma235@o2.pl
Narysuj wykres funkcji:
1
y = - 2
x + 1
Rozwiązanie:
1 1
Wykres y = -2 otrzymujemy przez przesunięcie y = o wektor [-1, -2].
x+1 x
spis treści
1 1
x -2 -1 - 1 2
symbole 2 2
1 1 1
y = - -1 -2 2 1
zgłoś błąd
x 2 2
25 maj
y
x
matma235@o2.pl
Narysuj wykres funkcji:
y = |x - 3| + 2
Rozwiązanie:
Wykres y = |x - 3| + 2 otrzymujemy przez przesunięcie y = |x| o wektor [3, 2].
x -2 -1 0 1 2
spis treści
y = |x| 2 1 0 1 2
symbole
zgłoś błąd
25 maj
y
x
matma235@o2.pl
Równanie kwadratowe
ax2 + bx + c = 0 a = 0

Najpierw liczymy " (delta).
" = b2 - 4ac
spis treści
Pierwiastki równania kwadratowego liczymy w zależności od znaku delty.
symbole
zgłoś błąd
" "
-b - " -b + "
" > 0 dwa pierwiastki
x1 = x2 =
25 maj
2a 2a
-b
" = 0 jeden pierwiastek
x1 =
2a
" < 0 nie ma pierwiastków
Pierwiastki równania ax2 + bx + c = 0 są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej
y = ax2 + bx + c.
matma235@o2.pl
Wzory skróconego mnożenia
Wzóry: Przykłady:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (x + 3)2= x2 + 2 � x � 3 + 32 =
= x2 + 6x + 9
spis treści
symbole
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 (3x - 4)2= (3x)2 - 2 � 3x � 4 + 42 =
zgłoś błąd
= 9x2 - 24x + 16
25 maj
(a - b)(a + b) = a2 - b2 (3x - 2)(3x + 2)= (3x)2 - 22 = 9x2 - 4
x2 - 9= (x - 3)(x + 3)
" "
x2 - 5= (x - 5)(x + 5)
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (x + 2)3= x3 + 3 � x2 � 2 + 3 � x � 22 + 23 =
= x3 + 6x2 + 12x + 8
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 (2x - 1)3= (2x)3 - 3 � (2x)2 � 1+
+3 � 2x � 12 - 13 =
= 8x3 - 12x2 + 6x - 1
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) x3 + 27= x3 + 33 =
= (x + 3)(x2 - 3x + 9)
"
3
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) x3 - 5= x3 - ( 5)3 =
" " "
3 3 3
= (x - 5)(x2 + 5x + 25)
matma235@o2.pl
" " " "
Rozwiąż równania:
x2 - 4 = 0 2x2 - 16 = 0 x2 + 9 = 0
x2 - 3x = 0 -2x2 + 6x = 0
spis treści
Rozwiąż równania:
symbole
x2 - 4x - 5 = 0 x2 + 6x + 9 = 0 x2 + 2x + 5 = 0
zgłoś błąd
-x2 + 3x + 4 = 0 2x2 + 3x - 1 = 0
25 maj
matma235@o2.pl
Rozwiąż równanie:
x2 - 4 = 0
Rozwiązanie:
x2 - 4 = 0
x2 = 4
spis treści
x = 2 lub x = -2
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Rozwiąż równanie:
2x2 - 16 = 0
Rozwiązanie:
2x2 - 16 = 0
2x2 = 16/ : 2
spis treści
x2 = 8
symbole
" "
zgłoś błąd
x =
"8 lub x = -"8
x = 4 � 2 x = - 4 � 2
" "
25 maj
x = 2 2 x = -2 2
matma235@o2.pl
Rozwiąż równanie:
x2 + 9 = 0
Rozwiązanie:
x2 + 9 = 0
x2 = -9
spis treści
równanie nie ma rozwiązania
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Rozwiąż równanie:
x2 - 3x = 0
Rozwiązanie:
x2 - 3x = 0
x(x - 3) = 0
spis treści
x = 0 lub x - 3 = 0
symbole
x = 3
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Rozwiąż równanie:
-2x2 + 6x = 0
Rozwiązanie:
-2x2 + 6x = 0
x(-2x + 6) = 0
spis treści
x = 0 lub -2x + 6 = 0
symbole
-2x = -6/ : (-2)
zgłoś błąd
x = 3
25 maj
matma235@o2.pl
Rozwiąż równanie:
x2 - 4x - 5 = 0
Rozwiązanie:
x2-4x-5 = 0
Korzystamy ze wzorów na pierwiastki równania kwadratowego.
spis treści
a = 1 b = -4 c = -5
symbole
" = (-4)2 - 4 � 1 � (-5) = 16 + 20 = 36
zgłoś błąd
" "
" = 36 = 6
25 maj
-(-4) - 6 4 - 6 -2
x1 = = = = -1
2 � 1 2 2
-(-4) + 6 4 + 6 10
x2 = = = = 5
2 � 1 2 2
matma235@o2.pl
Rozwiąż równanie:
x2 + 6x + 9 = 0
Rozwiązanie:
x2 + 6x + 9 = 0
Korzystamy ze wzorów na pierwiastki równania kwadratowego.
spis treści
a = 1 b = 6 c = 9
symbole
" = 62 - 4 � 1 � 9 = 36 - 36 = 0
zgłoś błąd
-6 -6
x1 = = = -3
25 maj
2 � 1 2
matma235@o2.pl
Rozwiąż równanie:
x2 + 2x + 5 = 0
Rozwiązanie:
x2 + 2x + 5 = 0
Korzystamy ze wzorów na pierwiastki równania kwadratowego.
spis treści
a = 1 b = 2 c = 5
symbole
" = 22 - 4 � 1 � 5 = 4 - 20 = -16
zgłoś błąd
równanie nie ma pierwiastków
25 maj
matma235@o2.pl
Rozwiąż równanie:
-x2 + 3x + 4 = 0
Rozwiązanie:
-x2 + 3x + 4 = 0
Korzystamy ze wzorów na pierwiastki równania kwadratowego.
spis treści
a = -1 b = 3 c = 4
symbole
" = 32 - 4 � (-1) � 4 = 9 + 16 = 25
zgłoś błąd
" "
" = 25 = 5
25 maj
-3 - 5 -8
x1 = = = 4
2 � (-1) -2
-3 + 5 2
x2 = = = -1
2 � (-1) -2
matma235@o2.pl
Rozwiąż równanie:
2x2 + 3x - 1 = 0
Rozwiązanie:
2x2 + 3x-1 = 0
Korzystamy ze wzorów na pierwiastki równania kwadratowego.
spis treści
a = 2 b = 3 c = -1
symbole
" = 32 - 4 � 2 � (-1) = 9 + 8 = 17
zgłoś błąd
" "
" = 17
25 maj
" "
-3 - 17 -3 - 17
x1 = =
2 � 2 4
" "
-3 + 17 -3 + 17
x2 = =
2 � 2 4
matma235@o2.pl
Funkcja kwadratowa
wzory, twierdzenia, definicje
" Równanie kwadratowe
" Postać ogólna, kanoniczna, iloczynowa
" Wykres funkcji kwadratowej
" Nierówności kwadratowe
spis treści
symbole
zgłoś błąd
przykłady
25 maj
matma235@o2.pl
.
spis treści
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Postać ogólna, kanoniczna, iloczynowa
Postać ogólna: przykłady:
y = ax2 + bx + c y = 3x2 + 5x - 2
spis treści
y = 4x2 + 6x
y = x2 + 5
symbole
zgłoś błąd
Postać kanoniczną otrzymujemy licząc najpierw deltę, a następnie p i q.
25 maj
y = a(x - p)2 + q y = 6(x + 3)2 - 4
y = 2(x - 5)2
-b -"
p = q = y = x2 + 3
2a 4a
Postać iloczynową otrzymujemy z postaci ogólnej po obliczeniu pierwiastków. Jej wygląd
zależy od delty.
" > 0 y = a(x - x1)(x - x2) y = 2(x - 3)(x + 4)
y = x(x + 5)
" = 0 y = a(x - x1)2 y = (x - 3)2
y = 4x2
" < 0 nie istnieje
matma235@o2.pl
" " " "
Sprowadz
do postaci kanonicznej:
y = x2 + 4x - 3 y = -2x2 + 8x y = 3(x - 1)(x + 4)
Sprowadz
do postaci iloczynowej:
spis treści
y = x2 + 2x - 8 y = 3x2 - 6 y = 5x2 - 2x
symbole
Sprowadz
do postaci ogólnej:
zgłoś błąd
y = 2(x + 3)2 - 4 y = 2(x - 3)(x + 4)
25 maj
matma235@o2.pl
Sprowadz
do postaci kanonicznej:
y = x2 + 4x-3
Rozwiązanie:
liczymy deltę:
spis treści
a = 1 b = 4 c = -3
symbole
zgłoś błąd
" = 42 - 4 � 1 � (-3) = 16 + 12 = 28
25 maj
Wykorzystujemy wzory na p i q.
-4 -28
p = = -2 q = = -7
2 � 1 4 � 1
Postać kanoniczna:
2
y = x - (-2) + (-7)
y = (x + 2)2 - 7
matma235@o2.pl
Sprowadz
do postaci kanonicznej:
y = -2x2 + 8x
Rozwiązanie:
liczymy deltę:
spis treści
a = -2 b = 8 c = 0
symbole
zgłoś błąd
" = 82 - 4 � (-2) � 0 = 64 - 0 = 64
Wykorzystujemy wzory na p i q.
25 maj
-8 -8 -64 -64
p = = = 2 q = = = 8
2 � (-2) -4 4 � (-2) -8
Postać kanoniczna:
y = -2(x - 2)2 + 8
matma235@o2.pl
Sprowadz
do postaci kanonicznej:
y = 3(x - 1)(x + 4)
Rozwiązanie:
Najpierw sprowadzamy do postaci ogólnej:
spis treści
symbole
3(x - 1)(x + 4) = 3(x2 + 4x - x - 4) = 3(x2 + 3x - 4) = 3x2 + 9x-12
zgłoś błąd
25 maj liczymy deltę:
a = 3 b = 9 c = -12
" = 92 - 4 � 3 � (-12) = 81 + 144 = 225
Wykorzystujemy wzory na p i q.
-9 3 -225 -75 3
p = = - q = = = -18
2 � 3 2 4 � 3 4 4
Postać kanoniczna:
2
3 3
y = 3 x - - + -18
2 4
2
3 3
y = 3 x + - 18
2 4
matma235@o2.pl
Sprowadz
do postaci iloczynowej:
y = x2 + 2x-8
Rozwiązanie:
liczymy deltę:
spis treści
a = 1 b = 2 c = -8
symbole
" = 22 - 4 � 1 � (-8) = 4 + 32 = 36
zgłoś błąd
" "
" = 36 = 6
25 maj
liczymy pierwiastki.
-2 - 6 -2 + 6
x1 = x2 =
2 � 1 2 � 1
-8 4
x1 = x2 =
2 2
x1 = -4 x2 = 2
Postać iloczynowa:

y = x - (-4) (x - 2)
y = (x + 4)(x - 2)
matma235@o2.pl
Sprowadz
do postaci iloczynowej:
y = 3x2 - 6
Rozwiązanie:
Prościej jest nie liczyć z delty, tylko przekształcać:
spis treści y = 3(x2 - 2)
symbole
Korzystamy ze wzoru a2 - b2 = (a - b)(a + b):
zgłoś błąd
" "
y = 3(x - 2)(x + 2)
25 maj
matma235@o2.pl
Sprowadz
do postaci iloczynowej:
y = 5x2 - 2x
Rozwiązanie:
Prościej jest nie liczyć z delty, tylko przekształcać:

2
spis treści
y = 5x x -
5
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Sprowadz
do postaci ogólnej:
y = 2(x + 3)2 - 4
Rozwiązanie:
Korzystamy ze wzoru (a + b)2 = a2 + 2ab + b2:
spis treści y = 2(x2 + 2 � x � 3 + 32) - 4
symbole
y = 2(x2 + 6x + 9) - 4
zgłoś błąd
y = 2x2 + 12x + 18 - 4
y = 2x2 + 12x + 14
25 maj
matma235@o2.pl
Narysuj wykres funkcji kwadratowej i podaj jej własności:
y = x2 - 6x + 10
Rozwiązanie:
Sprowadzamy funkcję do postaci kanonicznej: y = (x - 3)2 + 1
spis treści
y
Rysujemy wykres y = x2 i przesuwamy go o wektor [3, 1].
symbole
zgłoś błąd
25 maj
x -2 -1 0 1 2
y = x2 4 1 0 1 4
1
3
x
dziedzina D = R
zbiór wartości D-1 = 1, ")
miejsce zerowe nie istnieją
monotoniczność funkcja jest przedziałami monotoniczna
malejąca w przedziale (-", 3)
rosnąca w przedziale (3, -")
wierzchołek W (3, 1)
najmniejsza wartość ymin = 1 dla x = 3
największa wartość nie istnieje
różnowartościowość funkcja nie jest różnowartościowa
parzystość funkcja nie jest ani parzysta ani nieparzysta
matma235@o2.pl
y = x2 - 6x + 10
a = 1 b = -6 c = 10
" = (-6)2 - 4 � 1 � 10 = 36 - 40 = -4
-(-6) 6 -(-4) 4
spis treści
p = = = 3 q = = = 1
2 � 1 2 4 � 1 4
symbole
zgłoś błąd postać kanoniczna:
2
y = x - 3 + 1
25 maj
matma235@o2.pl
Znajdz
najmniejszą i największą wartość funkcji
y = x2 - 4x + 5
na przedziale 1, 4 .
Rozwiązanie:
Znajdujemy wartości funkcji na krańcach przedziału:
spis treści
x = 1 y = 12 - 4 � 1 + 5 = 1 - 4 + 5 = 2 A(1, 2)
symbole x = 4 y = 42 - 4 � 4 + 5 = 16 - 16 + 5 = 5 B(4, 5)
zgłoś błąd
znajdujemy współrzędne wierzchołka: W (2, 1).
Rysujemy przybliżony wykres funkcji na podstawie punktów A(1, 2) B(4, 5) W (2, 1).
25 maj
y
B
5
A
W
1
1 2 4 x
Z wykresu odczytujemy, że w przedziale 1, 4 :
- najmniejsza wartość ymin = 1 dla x = 2
- największa wartość ymax = 5 dla x = 4
matma235@o2.pl
y = x2 - 4x + 5
a = 1 b = -4 c = 5
" = (-4)2 - 4 � 1 � 5 = 16 - 20 = -4
spis treści
współrzędne wierzchołka:
symbole
zgłoś błąd -(-4) 4 -(-4) 4
p = = = 2 q = = = 1
2 � 1 2 4 � 1 4
25 maj
W (2, 1)
matma235@o2.pl
Znajdz
najmniejszą i największą wartość funkcji
y = -x2 + 2x + 2
na przedziale -1, 4 .
Rozwiązanie:
Znajdujemy wartości funkcji na krańcach przedziału:
spis treści
x = -1 y = -(-1)2 + 2 � (-1) + 2 = -1 - 2 + 2 = -1 A(-1, -1)
symbole x = 4 y = -42 + 2 � 4 + 2 = -16 + 8 + 2 = -6 B(4, -6)
zgłoś błąd
znajdujemy współrzędne wierzchołka: W (1, 3).
Rysujemy przybliżony wykres funkcji na podstawie punktów A(-1, -1) B(4, -6) W (1, 3).
25 maj
y
3
W
-1 x
-11 4
A
B
-6
Z wykresu odczytujemy, że w przedziale -1, 4 :
- najmniejsza wartość ymin = -6 dla x = 4
- największa wartość ymax = 3 dla x = 1
matma235@o2.pl
y = -x2 + 2x + 2
a = -1 b = 2 c = 2
" = 22 - 4 � (-1) � 2 = 4 + 8 = 12
spis treści
współrzędne wierzchołka:
symbole
-2 -2 -12 -12
zgłoś błąd
p = = = 1 q = = = 3
2 � (-1) -2 4 � (-1) -4
25 maj
W (1, 3)
matma235@o2.pl
Znajdz
najmniejszą i największą wartość funkcji
y = x2 + 4x - 2
na przedziale -1, 1 .
Rozwiązanie:
Znajdujemy wartości funkcji na krańcach przedziału:
spis treści
x = -1 y = (-1)2 + 4 � (-1) - 2 = 1 - 4 - 2 = -5 A(-1, -5)
symbole x = 1 y = 12 + 4 � 1 - 2 = 1 + 4 - 2 = 3 B(1, 3)
zgłoś błąd
znajdujemy współrzędne wierzchołka: W (-2, -6).
Rysujemy przybliżony wykres funkcji na podstawie punktów A(-1, -5) B(1, 3)
25 maj
W (-2, -6).
y
3
B
-1 1 x
-5
A
W
Z wykresu odczytujemy, że w przedziale -1, 1 :
- najmniejsza wartość ymin = -5 dla x = -1
- największa wartość ymax = 3 dla x = 1
matma235@o2.pl
y = x2 + 4x - 2
a = 1 b = 4 c = -2
" = 42 - 4 � 1 � (-2) = 16 + 8 = 24
spis treści
współrzędne wierzchołka:
symbole
-4 -4 -24 -24
zgłoś błąd
p = = = -2 q = = = -6
2 � 1 2 4 � 1 4
25 maj
W (-2, -6)
matma235@o2.pl
Nierówności kwadratowe
Przykłady:
x2 + 3x - 5 > 0 - 2x2 + 4x + 2 0 x2 - 5x 0 - 3x2 + 4x + 2 < 0
Nierówności kwadratowe rozwiązujemy najczęściej tak:
1. liczymy deltę
spis treści
2. znajdujemy miejsca zerowe, jeśli są
symbole 3. rysujemy parabolę przechodzącą przez miejsca zerowe
dla a > 0 ramiona w górę
zgłoś błąd
dla a < 0 ramiona w dół
25 maj 4. zaznaczamy na zielono dla znaków:
< część wykresu pod osią x
> część wykresu nad osią x
5. dla znaków
zaznaczamy w miejscach zerowych
< > zaznaczamy w miejscach zerowych
6. rysujemy przedział odpowiadający zielonej części wykresu
7. zapisujemy rozwiązanie
matma235@o2.pl
" " " "
Rozwiąż nierówności:
x2 - 3x - 10 < 0 x2 - 3x - 10 > 0 x2 - 3x - 10 0
-x2 + 2x + 3 0 -2x2 - x + 3 < 0
spis treści
Rozwiąż nierówności:
symbole
x2 - 3x 0 -2x2 + 5x > 0 x2 - 7 < 0
zgłoś błąd
Rozwiąż nierówności:
25 maj 3x2 + 6x + 10 > 0 -2x2 + 8x + 8 0 x2 + 2x + 5 < 0
matma235@o2.pl
Rozwiąż nierówność:
x2 - 3x - 10 < 0
Rozwiązanie:
nierówności kwadratowe
a = 1 b = -3 c = -10
spis treści
" = (-3)2 - 4 � 1 � (-10) = 9 + 40 = 49
symbole
" "
zgłoś błąd
" = 49 = 7
25 maj
-(-3) - 7 3 - 7 -(-3) + 7 3 + 7
x1 = = = -2 x2 = = = 5
2 � 1 2 2 � 1 2
x
-2 5
rozwiązaniem jest przedział:
x " (-2, 5)
matma235@o2.pl
Rozwiąż nierówność:
x2 - 3x - 10 > 0
Rozwiązanie:
nierówności kwadratowe
a = 1 b = -3 c = -10
spis treści
" = (-3)2 - 4 � 1 � (-10) = 9 + 40 = 49
symbole
" "
zgłoś błąd
" = 49 = 7
25 maj
-(-3) - 7 3 - 7 -(-3) + 7 3 + 7
x1 = = = -2 x2 = = = 5
2 � 1 2 2 � 1 2
x
-2 5
rozwiązaniem jest suma dwóch przedziałów:
x " (-", -2) *" (5, ")
matma235@o2.pl
Rozwiąż nierówność:
x2 - 3x - 10 0
Rozwiązanie:
nierówności kwadratowe
a = 1 b = -3 c = -10
spis treści
" = (-3)2 - 4 � 1 � (-10) = 9 + 40 = 49
symbole
" "
zgłoś błąd
" = 49 = 7
25 maj
-(-3) - 7 3 - 7 -(-3) + 7 3 + 7
x1 = = = -2 x2 = = = 5
2 � 1 2 2 � 1 2
x
-2 5
rozwiązaniem jest suma dwóch przedziałów:
x " (-", -2 *" 5, ")
matma235@o2.pl
Rozwiąż nierówność:
-x2 + 2x + 3 0
Rozwiązanie:
nierówności kwadratowe
a = -1 b = 2 c = 3
spis treści
" = (2)2 - 4 � (-1) � 3 = 4 + 12 = 16
symbole
" "
zgłoś błąd
" = 16 = 4
25 maj
-2 - 4 -6 -2 + 4 2
x1 = = = 3 x2 = = = -1
2 � (-1) -2 2 � (-1) -2
x
-1 3
rozwiązaniem jest przedział:
x " -1, 3
matma235@o2.pl
Rozwiąż nierówność:
-2x2 - x + 3 < 0
Rozwiązanie:
nierówności kwadratowe
a = -2 b = -1 c = 3
spis treści
" = (-1)2 - 4 � (-2) � 3 = 1 + 24 = 25
symbole
" "
zgłoś błąd
" = 25 = 5
25 maj
-(-1) - 5 1 - 5 -4 -(-1) + 5 6 3 3
x1 = = = = 1 x2 = = = = -
2 � (-2) -4 -4 2 � (-2) -4 -2 2
x
1
-3
2
rozwiązaniem jest suma dwóch przedziałów:

x " -", -3 *" (1, ")
2
matma235@o2.pl
Rozwiąż nierówność:
x2 - 3x 0
Rozwiązanie:
nierówności kwadratowe
zamiast liczyć deltę prościej jest policzyć pierwiastki w ten sposób:
spis treści
symbole x2 - 3x 0
zgłoś błąd
x(x - 3) 0
25 maj
x1 = 0 lub x - 3 = 0
x2 = 3
x
0 3
rozwiązaniem jest suma dwóch przedziałów:
x " (-", 0 *" 3, ")
matma235@o2.pl
Rozwiąż nierówność:
-2x2 + 5x > 0
Rozwiązanie:
nierówności kwadratowe
zamiast liczyć deltę prościej jest policzyć pierwiastki w ten sposób:
spis treści
symbole -2x2 + 5x > 0

zgłoś błąd
5
-2 x2 - x > 0
2

25 maj
5
-2x x - > 0
2
5
x1 = 0 lub x - = 0
2
5
x2 = = 21
2 2
21 x
0
2
rozwiązaniem jest przedział:

1
x " 0, 2
2
matma235@o2.pl
Rozwiąż nierówność:
x2 - 7 < 0
Rozwiązanie:
nierówności kwadratowe
zamiast liczyć deltę prościej jest policzyć pierwiastki korzystając ze wzoru
spis treści
a2 - b2 = (a - b)(a + b):
symbole
x2 - 7 < 0
zgłoś błąd
" "
(x - 7)(x + 7) < 0
25 maj
" "
x - 7= 0 lub x + 7= 0
" "
x1= 7 x2= - 7
" "
x
- 7 7
rozwiązaniem jest przedział:
" "
x " - 7, 7
matma235@o2.pl
Rozwiąż nierówność:
3x2 + 6x + 10 > 0
Rozwiązanie:
nierówności kwadratowe
a = 3 b = 6 c = 10
spis treści
symbole " = 62 - 4 � 3 � 10 = 36 - 120 = -84
zgłoś błąd
" < 0, a więc nie ma miejsc zerowych.
25 maj
x
wszystkie liczby spełniają tą nierówność
matma235@o2.pl
Rozwiąż nierówność:
-2x2 + 8x - 8 0
Rozwiązanie:
nierówności kwadratowe
a = -2 b = 8 c = -8
spis treści
symbole " = 82 - 4 � (-2) � (-8) = 64 - 64 = 0
zgłoś błąd
-8 -8
x1 = = = 2
2 � (-2) -4
25 maj
2
x
rozwiązanie:
x = 2
matma235@o2.pl
Rozwiąż nierówność:
x2 + 2x + 5 < 0
Rozwiązanie:
nierówności kwadratowe
a = 1 b = 2 c = 5
spis treści
" = 22 - 4 � 1 � 5 = 4 - 20 = -16
symbole
" < 0, a więc nie ma miejsc zerowych.
zgłoś błąd
25 maj
x
nie ma liczb spełniających tą nierówność
matma235@o2.pl
Wielomiany
Przykłady:
y = x5 - 2x3 + 5x + 4 wielomian stopnia 5
y = 2x3 + 4x2 - 2 wielomian stopnia 3
y = x2 - 3x + 5 wielomian stopnia 2
y = 5x - 2 wielomian stopnia 1
spis treści
y = 8 wielomian stopnia 0
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Dzielenie wielomianów
Z dzieleniem wielomianów jest tak samo, jak z dzieleniem liczb:
6 : 3 = 2 ponieważ 2 � 3 = 6
(x3 - 8x2 + 15x - 8) : (x - 1) = x2 - 7x + 8 ponieważ
(x2 - 7x + 8)(x - 1) = x3 - x2 - 7x2 + 7x + 8x - 8 = x3 - 8x2 + 15x - 8
spis treści
Dzielenie krok po kroku:
symbole
zgłoś błąd
Krok I
25 maj
(x3-8x2+15x-8) : (x - 1) zaczynamy
dalej
matma235@o2.pl
Krok II
(x3-8x2+15x-8) : (x - 1) = x2 dzielimy x3 na x
spis treści
symbole
zgłoś błąd
Krok III
25 maj
(x3-8x2+15x-8): (x - 1) = x2 mnożymy x2 razy x - 1
-x3 + x2 wyniki zapisujemy z przeciwnymi
znakami
Krok IV
(x3-8x2+15x-8) : (x - 1) = x2 dodajemy i spisujemy 15x
-x3 + x2
= -7x2+15x
dalej
matma235@o2.pl
Krok V
(x3-8x2+15x-8) : (x - 1) = x2 - 7x dzielimy -7x2 na x
-x3 + x2
= -7x2+15x
spis treści
symbole
zgłoś błąd
Krok VI
25 maj
(x3-8x2+15x-8) : (x - 1) = x2 - 7x mnożymy -7x razy x - 1
-x3 + x2 wyniki zapisujemy z przeciwnymi
= -7x2+15x znakami
7x2 - 7x
Krok VII
(x3-8x2+15x-8) : (x - 1) = x2 - 7x dodajemy i spisujemy -8
-x3 + x2
= -7x2+15x
7x2 - 7x
= 8x-8
dalej
matma235@o2.pl
Krok VIII
(x3-8x2+15x-8) : (x - 1) = x2 - 7x + 8 dzielimy 8x na x
-x3 + x2
= -7x2+15x
7x2 - 7x
spis treści
= 8x-8
symbole
zgłoś błąd
Krok IX
25 maj
(x3-8x2+15x-8) : (x - 1) = x2 - 7x + 8 mnożymy 8 razy x - 1
-x3 + x2 wyniki zapisujemy z przeciwnymi
= -7x2+15x znakami
7x2 - 7x
= 8x-8
-8x+8
Krok X
(x3-8x2+15x-8) : (x - 1) = x2 - 7x + 8 dodajemy
-x3 + x2 nie otrzymaliśmy reszty
= -7x2+15x
7x2 - 7x
= 8x-8
-8x+8
= =
matma235@o2.pl
Wielomiany
wzory, twierdzenia, definicje
" wielomiany
" pierwiastek wielomianu
" dzielenie wielomianów
" rozkład wielomianu na czynniki
spis treści
" twierdzenie B�zout
symbole
" twierdzenie o pierwiastkach wymiernych
zgłoś błąd
" krotność pierwiastka wielomianu
" nierówność wielomianowa
25 maj
przykłady
matma235@o2.pl
.
spis treści
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
" " "
Wykonaj dzielenie:
(x3 + x2 - 22x - 40) : (x - 5) (2x3 - 5x2 + 8x - 3) : (2x - 1)
(6x3 - 19x2 + 13x - 2) : (3x - 2) (x4 - 5x3 + 10x2 - 15x + 9) : (x - 3)
spis treści
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Wykonaj dzielenie:
(x3 + x2 - 22x - 40) : (x - 5)
Rozwiązanie:
dzielenie wielomianów
spis treści
symbole (x3 + x2-22x-40) : (x - 5) = x2 + 6x + 8
-x3+5x2
zgłoś błąd
= 6x2-22x
25 maj -6x2+30x
= 8x-40
-8x+40
= =
matma235@o2.pl
Wykonaj dzielenie:
(2x3 - 5x2 + 8x - 3) : (2x - 1)
Rozwiązanie:
dzielenie wielomianów
spis treści
symbole (2x3-5x2+8x-3) : (2x - 1) = x2 - 2x + 3
-2x3 +x2
zgłoś błąd
= -4x2+8x
25 maj 4x2-2x
= 6x-3
-6x+3
= =
matma235@o2.pl
Wykonaj dzielenie:
(6x3 - 19x2 + 13x - 2) : (3x - 2)
Rozwiązanie:
dzielenie wielomianów
spis treści
symbole (6x3-19x2+13x-2) : (3x - 2) = 2x2 - 5x + 1
-6x3 + 4x2
zgłoś błąd
= -15x2+13x
25 maj 15x2-10x
= 3x-2
-3x+2
= =
matma235@o2.pl
Wykonaj dzielenie:
(x4 - 5x3 + 10x2 - 15x + 9) : (x - 3)
Rozwiązanie:
dzielenie wielomianów
spis treści
symbole (x4-5x3+10x2-15x+9) : (x - 3) = x3 - 2x2 + 4x - 3
-x4+3x3
zgłoś błąd
= -2x3+10x2
25 maj -2x3 - 6x2
= 4x2-15x
-4x2+12x
= -3x+9
3x-9
= =
matma235@o2.pl
Rozkład wielomianu na czynniki
Rozwiązując równanie wielomianowe lub nierówność wielomianową rozkładamy wielomian na
iloczyn czynników, do których zaliczamy:
" wyrażenia liniowe np. (x + 3), (x - 5), (2x - 1)
" wyrażenia kwadratowe z " < 0 np. (x2 + 9), (x2 + 7), (x2 + 2x + 8)
" potęgi x np. x, x2, x3
spis treści
symbole
Z wielomianu rozłożonego na czynniki łatwo jest odczytać pierwiastki.
zgłoś błąd
Przykłady:
x3 - x2 - 17x - 15 = (x - 5)(x + 3)(x + 1)
25 maj
pierwiastki: x1 = 5 x2 = -3 x3 = -1
x4 + 6x3 + 16x2 + 32x = x(x + 4)(x2 + 2x + 8)
pierwiastki: x1 = 0 x2 = -4 nie ma (" < 0)
x5 - 4x4 + 9x3 - 36x2 = x2(x2 + 9)(x - 4)
pierwiastki: x1 = 0 nie ma x2 = 4
matma235@o2.pl
Pierwiastek wielomianu
Pierwiastek wielomianu to miejsce zerowe wielomianu, czyli liczba dla której wartość wielo-
mianu jest równa zero.
Przykłady:
w(x) = x4 - x2 x0 = 1 ponieważ w(1) = 14 - 12 = 1 - 1 = 0
spis treści
w(x) = x3 - 8 x0 = 2 ponieważ w(2) = 23 - 8 = 8 - 8 = 0
symbole
w(x) = x5 - x4 + x2 + x x0 = 0 ponieważ w(0) = 05 - 04 + 02 + 0 = 0
zgłoś błąd
Najłatwiej jest odczytać pierwiastki z wielomianu rozłożonego na czynniki.
25 maj
matma235@o2.pl
Twierdzenie B�zout
Jeżeli x0 jest pierwiastkiem wielomianu w(x), to wielomian w(x) dzieli się przez x - x0.
Jeżeli wielomian w(x) dzieli się przez x - x0, to x0 jest pierwiastkiem wielomianu w(x).
Przykład:
w(x) = x3 + x2 - 2 w(1) = 13 + 12 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0
spis treści
Liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu x3 + x2 - 2, a więc ten wielomian możemy podzielić
symbole
na x - 1 i nie otrzymamy reszty.
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych
Jeżeli wielomian
w(x) = ax3 + bx2 + cx + d
ma współczynniki a, b, c, d całkowite, to jego pierwiastków całkowitych należy szukać po-
śród dzielników ostatniego współczynnika d. Twierdzenie to jest prawdziwe dla wielomianów
spis treści
dowolnego stopnia.
symbole
Przykład:
zgłoś błąd
w(x) = x3 - 2x2 + 3x - 6
25 maj
dzielniki -6 to: -1, 1, -2, 2, -3, 3, -6, 6
Jeżeli wielomian w(x) ma pierwiastek całkowity, to jest nim jeden z tych dzielników.
Jeżeli wielomian
w(x) = ax3 + bx2 + cx + d
ma współczynniki a, b, c, d całkowite, to jego pierwiastków wymiernych należy szukać pośród
p
liczb postaci
q
p  dzielnik ostatniego współczynnika d
q  dzielnik pierwszego współczynnika a
matma235@o2.pl
" " "
Równanie kwadratowe to równanie wielomianowe stopnia drugiego.
Rozwiąż przekształcając równanie:
x3 - 5x2 = 0 x3 - 9x = 0 x3 + 4x = 0
spis treści
x3 + 3x2 + 2x = 0 2x3 + 2x2 - 12x = 0
symbole
Rozwiąż przekształcając równanie:
zgłoś błąd
x3 + 1 = 0 x3 - 8 = 0 2x4 + 4x = 0
25 maj
Rozwiąż przekształcając równanie:
x3 + 2x2 + 3x + 6 = 0 2x3 - 6x2 - 3x + 9 = 0
Rozwiąż korzystając z dzielników:
x3 - 2x2 - 5x + 6 = 0 x3 - 4x2 - 3x + 18 = 0
x3 - x2 - 3x - 9 = 0
matma235@o2.pl
Rozwiąż przekształcając równanie:
x3 - 5x2 = 0
Rozwiązanie:
Rozkładamy wielomian na czynniki:
spis treści
symbole
x3 - 5x2 = 0
zgłoś błąd
x2(x - 5) = 0
25 maj
pierwiastki: x1 = 0 x2 = 5
matma235@o2.pl
Rozwiąż przekształcając równanie:
x3 - 9x = 0
Rozwiązanie:
Rozkładamy wielomian na czynniki:
spis treści
symbole
x3 - 9x = 0
zgłoś błąd
x(x2 - 9) = 0
x(x2 - 32) = 0
25 maj
Korzystamy z a2 - b2 = (a - b)(a + b).
x(x - 3)(x + 3) = 0
pierwiastki: x1 = 0 x2 = 3 x3 = -3
matma235@o2.pl
Rozwiąż przekształcając równanie:
x3 + 4x = 0
Rozwiązanie:
Rozkładamy wielomian na czynniki:
spis treści
symbole
x3 + 4x = 0
zgłoś błąd
x(x2 + 4) = 0
25 maj
pierwiastki: x1 = 0 nie ma
matma235@o2.pl
Rozwiąż przekształcając równanie:
x3 + 3x2 + 2x = 0
Rozwiązanie:
Rozkładamy wielomian na czynniki:
spis treści
symbole
x3 + 3x2 + 2x = 0
zgłoś błąd
x(x2 + 3x + 2) = 0
25 maj
x2 + 3x + 2 = 0
"=32 - � 1 � 2 = 9 - 8 = 1
" "4
" = 1 = 1
-3-1 -4
x1= = = -2
2�1 2
-3+1 -2
x2= = = -1
2�1 2

postać iloczynowa: x - (-2) x - (-1) = (x + 2)(x + 1)
x(x + 2)(x + 1) = 0
pierwiastki: x1 = 0 x2 = -2 x3 = -1
matma235@o2.pl
Rozwiąż przekształcając równanie:
2x3 + 2x2 - 12x = 0
Rozwiązanie:
Rozkładamy wielomian na czynniki:
spis treści
symbole
2x3 + 2x2 - 12x = 0
zgłoś błąd
2(x3 + x2 - 6x) = 0
2x(x2 + x - 6) = 0
25 maj
x2 + x - 6 = 0
"=12 - � 1 � (-6) = 1 + 24 = 25
" "4
" = 25 = 5
-1-5 -6
x1= = = -3
2�1 2
-1+5 4
x2= = = 2
2�1 2

postać iloczynowa: x - (-3) (x - 2) = (x + 3)(x - 2)
2x(x + 3)(x - 2) = 0
pierwiastki: x1 = 0 x2 = -3 x3 = 2
matma235@o2.pl
Rozwiąż przekształcając równanie:
x3 + 1 = 0
Rozwiązanie:
Rozkładamy wielomian na czynniki:
spis treści x3 + 1 = 0
symbole
x3 + 13 = 0
zgłoś błąd
Korzystamy z a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
25 maj
(x + 1)(x2 - x + 1) = 0
x2 - x + 1 = 0
"=(-1)2 - 4 � 1 � 1 = 1 - 4 = -3
" < 0, nie ma pierwiastków
(x + 1)(x2 - x + 1) = 0
pierwiastki: x1 = -1 nie ma
matma235@o2.pl
Rozwiąż przekształcając równanie:
x3 - 8 = 0
Rozwiązanie:
Rozkładamy wielomian na czynniki:
spis treści x3 - 8 = 0
symbole
x3 - 23 = 0
zgłoś błąd
Korzystamy z a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
25 maj
(x - 2)(x2 + 2x + 4) = 0
x2 + 2x + 4 = 0
"=22 - 4 � 1 � 4 = 4 - 16 = -12
" < 0, nie ma pierwiastków
(x - 2)(x2 + 2x + 4) = 0
pierwiastki: x1 = 2 nie ma
matma235@o2.pl
Rozwiąż przekształcając równanie:
2x4 + 4x = 0
Rozwiązanie:
Rozkładamy wielomian na czynniki:
spis treści
symbole
2x4 + 4x = 0
zgłoś błąd
2(x4 + 2x) = 0
2x(x3 + 2) = 0
25 maj

"
3
2x x3 + ( 2)3 = 0
Korzystamy z a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)

" " "
2
3 3 3
2x x + 2 x2 - 2x + 2 = 0

" " "
3 3 3
2x x + 2 x2 - 2x + 4 = 0
" "
3 3
x2 -
"2x 4 = 0
2+
" " " "
3 3 3 3 3
"= 2 - 4 � 1 � 4 = 4 - 4 4 = -3 4
" < 0, nie ma pierwiastków

" " "
3 3 3
2x x + 2 x2 - 2x + 4 = 0
"
3
pierwiastki: x1 = 0 x2 = - 2 nie ma
matma235@o2.pl
Rozwiąż przekształcając równanie:
x3 + 2x2 + 3x + 6 = 0
Rozwiązanie:
Rozkładamy wielomian na czynniki:
spis treści
symbole
x3 + 2x2 + 3x + 6 = 0
zgłoś błąd
x2(x + 2) + 3(x + 2) = 0
(x2 + 3)(x + 2) = 0
25 maj
pierwiastki: nie ma x1 = -2
matma235@o2.pl
Rozwiąż przekształcając równanie:
2x3 - 6x2 - 4x + 12 = 0
Rozwiązanie:
Rozkładamy wielomian na czynniki:
spis treści
symbole
2x3 - 6x2 - 4x + 12 = 0
zgłoś błąd
2x2(x - 3) - 4(x - 3) = 0
(2x2 - 4)(x - 3) = 0
25 maj
2(x2 - 2)(x - 3) = 0
"

2 x2 - ( 2)2 (x - 3) = 0
Korzystamy z a2 - b2 = (a - b)(a + b)
" "
2(x - 2)(x + 2)(x - 3) = 0
" "
pierwiastki: x1 = 2 x2 = - 2 x3 = 3
matma235@o2.pl
Rozwiąż korzystając z dzielników:
x3 - 2x2 - 5x + 6 = 0
Rozwiązanie:
Rozkładamy wielomian na czynniki, korzystając z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych.
spis treści
symbole
x3 - 2x2 - 5x + 6 = 0
zgłoś błąd
Dzielniki 6 to: -1, 1, -2, 2, -3, 3, -6, 6
25 maj
w(-1) = (-1)3 - 2(-1)2 - 5(-1) + 6 = -1 - 2 + 5 + 6 = 8
w(1) = 13 - 2 � 12 - 5 � 1 + 6 = 1 - 2 - 5 + 6 = 0
Liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu, a więc zgodnie z twierdzeniem B�zout wielomian
x3 - 2x2 - 5x + 6 dzieli się na x - 1 bez reszty.
(x3 - 2x2 - 5x + 6) : (x - 1) = x2 - x - 6
x3 - 2x2 - 5x + 6 = (x - 1)(x2 - x - 6)
(x - 1)(x2 - x - 6) = 0
x2 - x - 6 = (x + 2)(x - 3)
(x - 1)(x + 2)(x - 3) = 0
pierwiastki: x1 = 1 x2 = -2 x3 = 3
matma235@o2.pl
(x3-2x2-5x-6) : (x - 1) = x2 - x - 6
-x3 +x2
= -x2-5x
x2 -x
= -6x+6
6x-6
spis treści
= =
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
x2 - x - 6 = 0
" = (-1)2 - 4 � 1 � (-6) = 1 + 24 = 25
" "
" = 25 = 5
spis treści -(-1) - 5 1 - 5 -4
x1= = = = -2
symbole 2 � 1 2 2
zgłoś błąd
-(-1) + 5 1 + 5 6
x2= = = = 3
2 � 1 2 2
25 maj

postać iloczynowa: x - (-2) (x - 3) = (x + 2)(x - 3)
x2 - x - 6 = (x + 2)(x - 3)
matma235@o2.pl
Rozwiąż korzystając z dzielników:
x3 - 4x2 - 3x + 18 = 0
Rozwiązanie:
Rozkładamy wielomian na czynniki, korzystając z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych.
spis treści
symbole
x3 - 4x2 - 3x + 18 = 0
zgłoś błąd
Dzielniki 18 to: -1, 1, -2, 2, -3, 3, -6, 6, -9, 9, -18, 18
25 maj
w(-1) = (-1)3 - 4(-1)2 - 3(-1) + 18 = -1 - 4 + 3 + 18 = 16
w(1) = 13 - 4 � 12 - 3 � 1 + 18 = 1 - 4 - 3 + 18 = 12
w(-2) = (-2)3 - 4(-2)2 - 3(-2) + 18 = -8 - 16 + 6 + 18 = 0
Liczba -2 jest pierwiastkiem wielomianu, a więc zgodnie z twierdzeniem B�zout wielomian
x3 - 4x2 - 3x + 18 dzieli się na x - (-2) = x + 2 bez reszty.
(x3 - 4x2 - 3x + 18) : (x + 2) = x2 - 6x + 9
x3 - 4x2 - 3x + 18 = (x + 2)(x2 - 6x + 9)
(x + 2)(x2 - 6x + 9) = 0
x2 - 6x + 9 = (x - 3)2
(x + 2)(x - 3)2 = 0
pierwiastki: x1 = -2 x2 = 3
matma235@o2.pl
(x3-4x2 - 3x+18) : (x + 2) = x2 - 6x + 9
-x3-2x2
= -6x2 - 3x
6x2+12x
= 9x+18
-9x-18
spis treści
= =
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
x2 - 6x + 9 = 0
" = (-6)2 - 4 � 1 � 9 = 36 - 36 = 0
-(-6) 6
x1= = = 3
2 � 1 2
spis treści
symbole
postać iloczynowa: (x - 3)2
zgłoś błąd
x2 - 6x + 9 = (x - 3)2
25 maj
matma235@o2.pl
Rozwiąż korzystając z dzielników:
x3 - x2 - 3x - 9 = 0
Rozwiązanie:
Rozkładamy wielomian na czynniki, korzystając z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych.
spis treści
symbole
x3 - x2 - 3x-9 = 0
zgłoś błąd
Dzielniki -9 to: -1, 1, -3, 3, -9, 9
25 maj
w(-1) = (-1)3 - (-1)2 - 3(-1) - 9 = -1 - 1 + 3 - 9 = -8
w(1) = 13 - 12 - 3 � 1 - 9 = 1 - 1 - 3 - 9 = -12
w(-3) = (-3)3 - (-3)2 - 3(-3) - 9 = -27 - 9 + 9 - 9 = -35
w(3) = 33 - 32 - 3 � 3 - 9 = 27 - 9 - 9 - 9 = 0
Liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu, a więc zgodnie z twierdzeniem B�zout wielomian
x3 - x2 - 3x - 9 dzieli się na x - 3 bez reszty.
(x3 - x2 - 3x - 9) : (x - 3) = x2 + 2x + 3
x3 - x2 - 3x - 9 = (x - 3)(x2 + 2x + 3)
(x - 3)(x2 + 2x + 3) = 0
x2 + 2x + 3 = 0
"= 22 - 4 � 1 � 3 = 4 - 12 = -8 < 0, nie ma pierwiastków
(x - 3)(x2 + 2x + 3) = 0
matma235@o2.pl
pierwiastki: x1 = 3 nie ma
(x3 - x2-3x-9) : (x - 3) = x2 + 2x + 3
-x3+3x2
= 2x2-3x
-2x2+6x
= 3x-9
-3x+9
spis treści
= =
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Zbiory liczbowe
Liczby naturalne: N
0,1,2,3,4,. . .
Liczby całkowite: C
0,-1,1,-2,2,-3,3,. . .
spis treści
Liczby wymierne: W
symbole
p
Liczby, które możemy przedstawić w postaci , gdzie p i q są liczbami całkowitymi.
zgłoś błąd
q
1
Przykłady: 0, 5, -4, , -2 , 41
2 3 5
25 maj
Liczby niewymierne: R\W
" " "
Przykłady: 2, 5, Ą, 1 - 7
Liczby rzeczywiste: R
Wszystkie liczby jakimi się posługujemy w szkole średniej.
matma235@o2.pl
Nierówność wielomianowa
Przykłady:
x4 - 2x3 + 5x > 0 -2x3 + 3x2 - 4 0 x(x - 3)2(x + 4)3 > 0
Nierówności wielomianowe rozwiązujemy najczęściej tak:
1. rozkładamy wielomian na czynniki
spis treści
2. odczytujemy pierwiastki
symbole 3. odczytujemy krotność pierwiastków
4. zaznaczymy pierwiastki na osi liczbowej
zgłoś błąd
5. rysujemy przybliżony wykres wielomianu zaczynając zawsze od prawej
25 maj strony
od góry, jeżeli wielomian zaczyna się od liczby dodatniej
od dołu, jeżeli wielomian zaczyna się od liczby ujemnej
6. rysowany wykres
 przecina oś dla pierwiastków o krotności nieparzystej
 odbija się od osi dla pierwiastków o krotności parzystej
7. zaznaczamy na zielono dla znaków:
< część wykresu pod osią x
> część wykresu nad osią x
8. dla znaków
zaznaczamy w miejscach zerowych
< > zaznaczamy w miejscach zerowych
9. rysujemy przedział odpowiadający zielonej części wykresu
10. zapisujemy rozwiązanie
matma235@o2.pl
Krotność pierwiastka wielomianu
Krotność pierwiastka to wartość potęgi przy x lub nawiasie, jeżeli wielomian jest rozłożony
na czynniki.
Przykłady:
spis treści
x2(x + 1)3(x - 2)4
symbole
zgłoś błąd
pierwiastki: x1 = 0 x2 = -1 x3 = 2
krotność: 2 3 4
25 maj
x(x - 2)5(x + 3)
pierwiastki: x1 = 0 x2 = 2 x3 = -3
krotność: 1 5 1
matma235@o2.pl
" " "
Rozwiąż nierówności:
x(x - 3)(x + 2) > 0 x(x + 1)2(x - 2)3 0
-x2(x - 1) < 0 -2x(x + 1)(x + 5)4(x - 3) 0
spis treści
Rozwiąż nierówności:
symbole
x3 + 2x2 - 3x > 0 x3 + 3x2 + 3x + 9 0
zgłoś błąd -2x3 + 18x2 - 48x + 32 > 0
25 maj
matma235@o2.pl
Rozwiąż nierówność:
x(x - 3)(x + 2) > 0
Rozwiązanie:
Nierówności wielomianowe
x(x - 3)(x + 2) > 0
spis treści
pierwiastki: x1 = 0 x2 = 3 x3 = -2
symbole
krotność: 1 1 1
zgłoś błąd
25 maj
-2 0 3
x " (-2, 0) *" (3, ")
matma235@o2.pl
Rozwiąż nierówność:
x(x + 1)2(x - 2)3 0
Rozwiązanie:
Nierówności wielomianowe
x(x + 1)2(x - 2)3 0
spis treści
pierwiastki: x1 = 0 x2 = -1 x3 = 2
symbole
krotność: 1 2 3
zgłoś błąd
25 maj
-1 0 2
x " (-", 0 *" 2, ")
matma235@o2.pl
Rozwiąż nierówność:
-x2(x - 1) < 0
Rozwiązanie:
Nierówności wielomianowe
-x2(x - 1) < 0
spis treści
pierwiastki: x1 = 0 x2 = 1
symbole
krotność: 2 1
zgłoś błąd
25 maj
0 1
x " (1, ")
matma235@o2.pl
Rozwiąż nierówność:
-2x(x + 1)(x + 5)4(x - 3) 0
Rozwiązanie:
Nierówności wielomianowe
spis treści
-2x(x + 1)(x + 5)4(x - 3) 0
symbole
zgłoś błąd
pierwiastki: x1 = 0 x2 = -1 x3 = -5 x = 3
krotność: 1 1 4 1
25 maj
-5 -1 0 3
x " {-5} *" -1, 0 *" 3, ")
matma235@o2.pl
Rozwiąż nierówność:
x3 + 2x2 - 3x > 0
Rozwiązanie:
Nierówności wielomianowe
x3 + 2x2 - 3x > 0
spis treści
x(x2 + 2x - 3) > 0
symbole
x2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)
zgłoś błąd
x(x + 3)(x - 1) > 0
25 maj
pierwiastki: x1 = 0 x2 = -3 x3 = 1
krotność: 1 1 1
-3 0 1
x " (-3, 0) *" (1, ")
matma235@o2.pl
x2 + 2x - 3
" = 22 - 4 � 1 � (-3) = 4 + 12 = 16
" "
" = 16 = 4
-2 - 4 -6
spis treści
x1= = = -3
2 � 1 2
symbole
zgłoś błąd
-2 + 4 2
x2= = = 1
2 � 1 2
25 maj

postać iloczynowa: x - (-3) (x - 1) = (x + 3)(x - 1)
x2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)
matma235@o2.pl
Rozwiąż nierówność:
x3 + 3x2 + 3x + 9 0
Rozwiązanie:
Nierówności wielomianowe
x3 + 3x2 + 3x + 9 0
spis treści
symbole
x2(x + 3) + 3(x + 3) 0
zgłoś błąd
(x2 + 3)(x + 3) 0
25 maj
pierwiastki: nie ma x1 = -3
krotność: 1
-3
x " (-", -3
matma235@o2.pl
Rozwiąż nierówność:
-2x3 + 18x2 - 48x + 32 > 0
Rozwiązanie:
Nierówności wielomianowe
-2x3 + 18x2 - 48x + 32 > 0
spis treści
symbole
-2(x3 - 9x2 + 24x - 16) > 0
zgłoś błąd
x3 - 9x2 + 24x - 16 = (x - 1)(x2 - 8x + 16)
25 maj
-2(x - 1)(x2 - 8x + 16) > 0
x2 - 8x + 16 = (x - 4)2
-2(x - 1)(x - 4)2 > 0
pierwiastki: x1 = 1 x2 = 4
krotność: 1 2
1 4
x " (-", 1)
matma235@o2.pl
x3 - 9x2 + 24x-16
Dzielniki -16 to: -1, 1, -2, 2, -4, 4, -8, 8, -16, 16
w(-1) = (-1)3 - 9(-1)2 + 24(-1) - 16 = -1 - 9 - 24 - 16 = -50
w(1) = 13 - 9 � 12 + 24 � 1 - 16 = 1 - 9 + 24 - 16 = 0
spis treści
Liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu, a więc zgodnie z twierdzeniem B�zout wielomian
symbole
x3 - 9x2 + 24x - 16 dzieli się na x - 1 bez reszty.
zgłoś błąd
(x3-9x2+24x-16) : (x - 1) = x2 - 8x + 16
25 maj
-x3 +x2
= -8x2+24x
8x2 -8x
= 16x-16
-16x+16
= =
x3 - 9x2 + 24x - 16 = (x - 1)(x2 - 8x + 16)
matma235@o2.pl
x2 - 8x + 16
" = (-8)2 - 4 � 1 � 16 = 16 - 16 = 0
-(-8) 8
x1= = = 4
2 � 1 2
spis treści
symbole
postać iloczynowa: (x - 4)2
zgłoś błąd
x2 - 8x + 16 = (x - 4)2
25 maj
matma235@o2.pl
Funkcje wymierne
Funkcja wymierna to funkcja postaci:
w(x)
y =
p(x)
spis treści
w(x), p(x)  wielomiany
symbole
zgłoś błąd Przykłady:
25 maj x2 + 3 x + 5 x3 + x2 - 1
y = y = y =
x2 - 3x + 1 x - 2 5x2 + 4
matma235@o2.pl
Dziedzina funkcji wymiernej
Dziedzinę funkcji wymiernej wyznaczamy znajdując pierwiastki mianownika.
Przykłady:
5
y = dla x = 2 mianownik jest równy 0
spis treści
x - 2
symbole
D = R\{2} �! wszystkie liczby rzeczywiste oprócz 2.
zgłoś błąd
2x + 4
y = dla x = 3 lub x = -3 mianownik jest równy 0
25 maj
x2 - 9
D = R\{-3, 3} �! wszystkie liczby rzeczywiste oprócz -3, 3.
matma235@o2.pl
Hiperbola
Najprostsze funkcje wymierne.
Przykłady:
1 2 -2
y = y = y =
x x x
spis treści
symbole
Wykres tych funkcji to hiperbola.
zgłoś błąd
y y y
25 maj
x x x
Asymptota to prosta do której wykres się zbliża, lecz jej nie dotyka.
Oś x to asymptota pozioma hiperboli.
Oś y to asymptota pionowa hiperboli.
matma235@o2.pl
" "
Rozwiąż równania:
6 4 6 x+2 2x-5 4
= 2 + = 4 + =
x+1 x x+1 x x-4 x2
Rozwiąż nierówności:
spis treści 10 2x 3x+2
2 <
x+3 x+1 x+4
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Narysuj wykres funkcji i wypisz jej własności:
1
y =
x
Rozwiązanie:
spis treści
1 1
x -2 -1 - 1 2
symbole
2 2
1 1 1
zgłoś błąd
y = - -1 -2 2 1
x 2 2
25 maj
y
x
własności funkcji
matma235@o2.pl
y
spis treści
symbole
x
zgłoś błąd
25 maj
dziedzina D = R\{0}
zbiór wartości D-1 = R\{0}
miejsce zerowe nie ma
monotoniczność funkcja jest przedziałami monotoniczna
malejąca w przedziałach (-", 0) i (0, ")
różnowartościowość funkcja jest różnowartościowa
parzystość funkcja jest nieparzysta
okresowość funkcja nie jest okresowa
matma235@o2.pl
Narysuj wykres funkcji i wypisz jej własności:
-2
y =
x
Rozwiązanie:
spis treści
x -2 -1 1 2
symbole
-2
y = 1 2 -2 -1
zgłoś błąd
x
25 maj
y
x
własności funkcji
matma235@o2.pl
y
spis treści
symbole
x
zgłoś błąd
25 maj
dziedzina D = R\{0}
zbiór wartości D-1 = R\{0}
miejsce zerowe nie ma
monotoniczność funkcja jest przedziałami monotoniczna
rosnąca w przedziałach (-", 0) i (0, ")
różnowartościowość funkcja jest różnowartościowa
parzystość funkcja jest nieparzysta
okresowość funkcja nie jest okresowa
matma235@o2.pl
Narysuj wykres funkcji i wypisz jej własności:
1
y = + 1
x
Rozwiązanie:
1 1
spis treści Wykres y = + 1 otrzymujemy przez przesunięcie y = o wektor [0, 1].
x x
symbole
1 1
x -2 -1 - 1 2
2 2
zgłoś błąd
1 1 1
y = - -1 -2 2 1
x 2 2
25 maj
y
x
własności funkcji
matma235@o2.pl
y
1
spis treści
symbole
-1
x
zgłoś błąd
25 maj
dziedzina D = R\{0}
zbiór wartości D-1 = R\{1}
miejsce zerowe x0 = -1
monotoniczność funkcja jest przedziałami monotoniczna
malejąca w przedziałach (-", 0) i (0, ")
różnowartościowość funkcja jest różnowartościowa
parzystość funkcja jest ani parzysta ani nieparzysta
okresowość funkcja nie jest okresowa
matma235@o2.pl
Narysuj wykres funkcji i wypisz jej własności:
1
y =
x - 2
Rozwiązanie:
1 1
spis treści
Wykres y = otrzymujemy przez przesunięcie y = o wektor [2, 0].
x-2 x
symbole
1 1
x -2 -1 - 1 2
2 2
zgłoś błąd
1 1 1
y = - -1 -2 2 1
x 2 2
25 maj
y
x
własności funkcji
matma235@o2.pl
y
spis treści
symbole
2
x
zgłoś błąd
25 maj
dziedzina D = R\{2}
zbiór wartości D-1 = R\{0}
miejsce zerowe nie ma
monotoniczność funkcja jest przedziałami monotoniczna
malejąca w przedziałach (-", 2) i (2, ")
różnowartościowość funkcja jest różnowartościowa
parzystość funkcja jest ani parzysta ani nieparzysta
okresowość funkcja nie jest okresowa
matma235@o2.pl
Narysuj wykres funkcji i wypisz jej własności:
2
y = - 1
x + 3
Rozwiązanie:
2 2
spis treści
Wykres y = -1 otrzymujemy przez przesunięcie y = o wektor [-3, -1].
x+3 x
symbole
x -2 -1 1 2
zgłoś błąd
2
y = -1 -2 2 1
x
25 maj
y
x
własności funkcji
matma235@o2.pl
y
spis treści
symbole
-3
x
zgłoś błąd -1
25 maj
dziedzina D = R\{-3}
zbiór wartości D-1 = R\{-1}
miejsce zerowe x0 = -1
monotoniczność funkcja jest przedziałami monotoniczna
malejąca w przedziałach (-", -3) i (-3, ")
różnowartościowość funkcja jest różnowartościowa
parzystość funkcja jest ani parzysta ani nieparzysta
okresowość funkcja nie jest okresowa
matma235@o2.pl
Narysuj wykres funkcji i wypisz jej własności:
x + 3
y =
x + 2
Rozwiązanie:
spis treści
x+3 x+2+1 x+2 1 1 1
y = = = + = 1 + = + 1
x+2 x+2 x+2 x+2 x+2 x+2
symbole
1 1
Wykres y = + 1 otrzymujemy przez przesunięcie y = o wektor [-2, 1].
x+2 x
zgłoś błąd
1 1
x -2 -1 - 1 2
25 maj
2 2
1 1 1
y = - -1 -2 2 1
x 2 2
y
x
własności funkcji
matma235@o2.pl
y
1
spis treści
symbole
-3 -2
x
zgłoś błąd
25 maj
dziedzina D = R\{-2}
zbiór wartości D-1 = R\{1}
miejsce zerowe x0 = -3
monotoniczność funkcja jest przedziałami monotoniczna
malejąca w przedziałach (-", -2) i (-2, ")
różnowartościowość funkcja jest różnowartościowa
parzystość funkcja jest ani parzysta ani nieparzysta
okresowość funkcja nie jest okresowa
matma235@o2.pl
Narysuj wykres funkcji i wypisz jej własności:
2x - 3
y =
x - 1
Rozwiązanie:
spis treści 2(x-1)+2-3 2(x-1)-1 2(x-1) -1 -1 -1
2x-3
y = = = = + = 2 + = + 2
x-1 x-1 x-1 x-1 x-1 x-1 x-1
symbole
-1 -1
Wykres y = + 2 otrzymujemy przez przesunięcie y = o wektor [1, 2].
x-1 x
zgłoś błąd
1 1
x -2 -1 - 1 2
2 2
25 maj
-1 1 1
y = 1 2 -2 -1 -
x 2 2
y
x
własności funkcji
matma235@o2.pl
y
2
spis treści
symbole
zgłoś błąd
1
x
25 maj
dziedzina D = R\{1}
zbiór wartości D-1 = R\{2}
1
miejsce zerowe x0 = 1
2
monotoniczność funkcja jest przedziałami monotoniczna
rosnąca w przedziałach (-", 1) i (1, ")
różnowartościowość funkcja jest różnowartościowa
parzystość funkcja jest ani parzysta ani nieparzysta
okresowość funkcja nie jest okresowa
matma235@o2.pl
Funkcje wymierne
wzory, twierdzenia, definicje
" funkcje wymierne
" dziedzina funkcji wymiernej
" hiperbola
spis treści
symbole
zgłoś błąd
przykłady
25 maj
matma235@o2.pl
Rozwiąż równanie:
6
= 2
x + 1
Rozwiązanie:
Wyznaczamy dziedzinę: D : x " R\{-1}
Przenosimy wszystko na lewą stronę:
spis treści
symbole
6
- 2 = 0
zgłoś błąd
x + 1
Sprowadzamy wszystkie ułamki do wspólnego mianownika:
25 maj
6 2(x + 1)
- = 0
x + 1 x + 1
6 - 2(x + 1)
= 0
x + 1
Do wyznaczenia rozwiązania wystarczy znalezienie pierwiastków licznika:
6 - 2(x + 1) = 0
6 - 2x - 2 = 0
4 - 2x = 0
-2x = -4 / : (-2)
x = 2
Liczba 2 należy do dziedziny.
Odp. x = 2
matma235@o2.pl
Rozwiąż równanie:
4 6
+ = 4
x x + 1
Rozwiązanie:
Wyznaczamy dziedzinę: D : x " R\{0, -1}
Przenosimy wszystko na lewą stronę:
spis treści
symbole
4 6
+ - 4 = 0
zgłoś błąd
x x + 1
Sprowadzamy wszystkie ułamki do wspólnego mianownika:
25 maj
4(x + 1) 6x 4x(x + 1)
+ - = 0
x(x + 1) (x + 1)x x(x + 1)
4(x + 1) + 6x - 4x(x + 1)
= 0
x(x + 1)
Do wyznaczenia rozwiązania wystarczy znalezienie pierwiastków licznika:
4(x + 1) + 6x - 4x(x + 1) = 0
4x + 4 + 6x - 4x2 - 4x = 0
-4x2 + 6x + 4 = 0
1
x1 = 2 x2 = -
2
Liczby 2 i -1 należą do dziedziny.
2
1
Odp. x1 = 2 x2 = -
2
matma235@o2.pl
-4x2 + 6x + 4 = 0
" = 62 - 4 � (-4) � 4 = 36 + 64 = 100
" "
" = 100 = 10
-6 - 10 -16
x1= = = 2
spis treści
2 � (-4) -8
symbole
-6 + 10 4 1
zgłoś błąd
x2= = = -
2 � (-4) -8 2
25 maj
matma235@o2.pl
Rozwiąż równanie:
x + 2 2x - 5 4
+ =
x x - 4 x2
Rozwiązanie:
Wyznaczamy dziedzinę: D : x " R\{0, 4}
Przenosimy wszystko na lewą stronę:
spis treści
symbole
x + 2 2x - 5 4
+ - = 0
zgłoś błąd
x x - 4 x2
Sprowadzamy wszystkie ułamki do wspólnego mianownika:
25 maj
(x + 2) � x(x - 4) (2x - 5) � x2 4 � (x - 4)
+ - = 0
x � x(x - 4) (x - 4) � x2 x2 � (x - 4)
(x + 2)x(x - 4) + (2x - 5)x2 - 4(x - 4)
= 0
x2(x - 4)
Do wyznaczenia rozwiązania wystarczy znalezienie pierwiastków licznika:
(x + 2)x(x - 4) + (2x - 5)x2 - 4(x - 4) = 0
" "
2 - 2 13 2 + 2 13
x1 = 1 x2 = x2 =
3 3
Rozwiązania x1, x2, x3 należą do dziedziny.
matma235@o2.pl
(x + 2)x(x - 4) + (2x - 5)x2 - 4(x - 4) = 0
(x + 2)(x2 - 4x) + 2x3 - 5x2 - 4x + 16 = 0
x3 - 4x2 + 2x2 - 8x + 2x3 - 5x2 - 4x + 16 = 0
x3 + 2x3 - 4x2 + 2x2 - 5x2 - 8x - 4x + 16 = 0
spis treści
3x3 - 7x2 - 12x + 16 = 0
symbole
zgłoś błąd
Rozkładamy wielomian na czynniki, korzystając z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych.
25 maj
3x3 - 7x2 - 12x + 16 = 0
Dzielniki 16 to: -1, 1, -2, 2, -4, 4, -8, 8, -16, 16
w(-1) = 3(-1)3 - 7(-1)2 - 12(-1) + 16 = -3 - 7 + 12 + 16 = 18
w(1) = 13 - 7 � 12 - 12 � 1 + 16 = 3 - 7 - 12 + 16 = 0
Liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu, a więc zgodnie z twierdzeniem B�zout wielomian
3x3 - 7x2 - 12x + 16 dzieli się na x - 1 bez reszty.
3x3 - 7x2 - 12x + 16 = (x - 1)(3x2 - 4x - 16)
(x - 1)(3x2 - 4x - 16) = 0
x1 = 1 3x2 - 4x - 16 = 0
" "
2 - 2 13 2 + 2 13
x2 = x3 =
3 3
matma235@o2.pl
(3x3-7x2-12x+16) : (x - 1) = 3x2 - 4x - 16
-3x3+3x2
= -4x2-12x
4x2 - 4x
= -16x+16
16x-16
spis treści
= =
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
3x2 - 4x - 16 = 0
" = (-4)2 - 4 � 3 � (-16) = 16 + 192 = 208
" " " "
" = 208 = 16 � 13 = 4 13
" " " "
-(-4) - 4 13 4 - 4 13 2(2 - 2 13) 2 - 2 13
spis treści x1= = = =
2 � 3 2 � 3 2 � 3 3
symbole
" " " "
-(-4) + 4 13 4 + 4 13 2(2 + 2 13) 2 + 2 13
zgłoś błąd
x2= = = =
2 � 3 2 � 3 2 � 3 3
25 maj
matma235@o2.pl
Rozwiąż równanie:
10
2
x + 3
Rozwiązanie:
Wyznaczamy dziedzinę: D : x " R\{-3}
Przenosimy wszystko na lewą stronę:
spis treści
symbole
10 -2x + 4
- 2 0 po uproszczeniu: 0
zgłoś błąd
x + 3 x + 3
25 maj Zamiast ułamka możemy napisać iloczyn. Otrzymujemy
nierówność wielomianową.
(-2x + 4)(x + 3) 0
-2(x - 2)(x + 3) 0
pierwiastki: x1 = 2 x2 = -3
krotność: 1 1
Liczba -3 nie należy do dziedziny co zaznaczamy
x
-3 2
x " (-3, 2
matma235@o2.pl
10
- 2 0
x + 3
Sprowadzamy do wspólnego mianownika:
10 2(x + 3)
- 0
x + 3 x + 3
spis treści
symbole
10 - 2(x + 3)
0
zgłoś błąd
x + 3
10 - 2x - 6
25 maj 0
x + 3
-2x + 4
0
x + 3
matma235@o2.pl
Rozwiąż równanie:
2x 3x + 2
<
x + 1 x + 4
Rozwiązanie:
Wyznaczamy dziedzinę: D : x " R\{-1, -4}
Przenosimy wszystko na lewą stronę:
spis treści
symbole
2x 3x + 2 -x2 + 3x - 2
- < 0 po uproszczeniu: < 0
zgłoś błąd
x + 1 x + 4 (x + 1)(x + 4)
25 maj
Zamiast ułamka możemy napisać iloczyn. Otrzymujemy
nierówność wielomianową.
(-x2 + 3x - 2)(x + 1)(x + 4) < 0
-x2 + 3x - 2 = -(x - 1)(x - 2)
-(x - 2)(x - 1)(x + 1)(x + 4) < 0
pierwiastki: x1 = 2 x2 = 1 x3 = -1 x4 = -4
krotność: 1 1 1 1
Liczby -1, -4 nie należą do dziedziny co zaznaczymy . Przy liczbach 1, -1 też jest ze
względu na znak <.
-4 -1 1 2
x " (-", -4) *" (-1, 1) *" (2, ")
matma235@o2.pl
2x 3x + 2
- < 0
x + 1 x + 4
Sprowadzamy wszystkie ułamki do wspólnego mianownika:
2x(x + 4) (3x + 2)(x + 1)
- < 0
(x + 1)(x + 4) (x + 4)(x + 1)
spis treści
symbole
2x(x + 4) - (3x + 2)(x + 1)
< 0
zgłoś błąd
(x + 1)(x + 4)
2x2 + 8x - (3x2 + 3x + 2x + 2)
25 maj
< 0
(x + 1)(x + 4)
2x2 + 8x - 3x2 - 3x - 2x - 2
< 0
(x + 1)(x + 4)
-x2 + 3x - 2
< 0
(x + 1)(x + 4)
matma235@o2.pl
-x2 + 3x - 2
" = 32 - 4 � (-1) � (-2) = 9 - 8 = 1
" "
" = 1 = 1
-3 - 1 -4
x1= = = 2
spis treści 2 � (-1) -2
symbole
-3 + 1 -2
x2= = = 1
zgłoś błąd
2 � (-1) -2
25 maj postać iloczynowa: -(x - 2)(x - 1)
-x2 + 3x - 2 = -(x - 2)(x - 1)
matma235@o2.pl
Potęgowanie
Wzory: Przykłady:
a0 = 1 20 = 1 50 = 1 (-3)0 = 1
a1 = a 21 = 2 51 = 1 (-3)1 = -3
1 1 1 1
spis treści
a-x = 2-1 = 5-4 = (-3)-8 =
ax 2 54 (-3)8
symbole
x

a -x b
3 1 10 7
zgłoś błąd
= (2 )-1 = ( )-3 = (2 )3 (- )-2 = (- )2
3 2 2 1 7 10
b a
"
"
1 1
25 maj n
n
a = a 92 = 9 = 3
"
1
3
83 = 8 = 2
" "
"
m 3
n
n 3
n 2
a = ( a)m = am 9 = ( = 33 = 27
"9) " "
2
3
3 3
3
4 = ( 4)2 = 42 = 16
ax � ay = ax+y 23 � 25 = 23+5 = 28
34 � 3-3 = 34+(-3) = 31 = 3
ax
25
= ax-y = 25-3 = 22 = 4
23
ay
34 1 1
= 34-6 = 3-2 = =
36 32 9
(ax)y = ax�y (23)4 = 23�4 = 212 = 4096
1 1
(32 2 )2 = 32 2 �2 = 35 = 243
" "
(a � b)x = ax � bx (3 5)2 = 32 � ( 5)2 = 9 � 5 = 45

a x ax
32 9
= (3)2 = =
5 52 25
b bx
"
"
( 3)2 3
matma235@o2.pl 3
( )2 = =
2 22 4
Funkcja wykładnicza
Funkcja wykładnicza o podstawie a > 0 i a = 1:

y = ax
spis treści
Dla a > 1 funkcja wykładnicza jest rosnąca:
symbole
y
zgłoś błąd
Przykłady:
25 maj y = 3x
1
y = 5x
x y = (21 )x
2
Dla 0 < a < 1 funkcja wykładnicza jest malejąca:
y
Przykłady:
y = (1)x
2
1
y = (2)x
3
x
y = (0, 4)x
funkcja wykładnicza jest różnowartościowa
matma235@o2.pl
" " "
Oblicz:
(1 )0 2-3 (2)-2 (22)-2
3 3 3
1 1 3
(1, 5)-3 812 (0, 04)2 162
2 3
spis treści
3
8 82 (0, 16)-1,5
symbole
Oblicz:
zgłoś błąd
1 1 1 2
1
2 3 3
23 � 2 � 2-2 2 � 43 � 2-4 4 � 83 �
4
"
1 1 1
25 maj
3 2
82 � 32 9 � 27
"
41,5
3
matma235@o2.pl
Oblicz:
0
1
3
Rozwiązanie:
Na podstawie wzorów:
spis treści
symbole
0
1
zgłoś błąd
= 1
3
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz:
2-3
Rozwiązanie:
Na podstawie wzorów:
spis treści
1 1
symbole
2-3 = =
23 8
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz:
-2
2
3
Rozwiązanie:
Na podstawie wzorów:
spis treści
symbole
-2 2
2 3 9 1
zgłoś błąd
= = = 2
3 2 4 4
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz:
-2
2
2
3
Rozwiązanie:
Na podstawie wzorów:
spis treści
symbole
-2 -2 2
2 8 3 9
zgłoś błąd
2 = = =
3 3 8 64
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz:
1, 5-3
Rozwiązanie:
Na podstawie wzorów:
spis treści
-3 -3 3
1 3 2 8
symbole
1, 5-3 = 1 = = =
2 2 3 27
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz:
1
2
81
Rozwiązanie:
Na podstawie wzorów:
spis treści
"
1
2
81 = 81 = 9
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz:
1
2
(0, 04)
Rozwiązanie:
Na podstawie wzorów:
spis treści
1 "
2
symbole 1 4 4 4 2
"
(0, 04)2 = = = =
zgłoś błąd 100 100 10
100
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz:
3
2
16
Rozwiązanie:
Na podstawie wzorów:
spis treści
" 3
3
symbole
2
16 = 16 = 43 = 64
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz:
2
3
8
Rozwiązanie:
Na podstawie wzorów:
spis treści
" 2
2
3
symbole
3
8 = 8 = 22 = 4
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz:
3
2
8
Rozwiązanie:
Na podstawie wzorów:
spis treści
" 3 " 2 "
" " " " " "
3
symbole
2
8 = 8 = 8 � 8 = 8 8 = 8 4 � 2 = 8 4 � 2 = 8 � 2 2 = 16 2
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz:
(0, 16)-1,5
Rozwiązanie:
Na podstawie wzorów:
spis treści
1 3
-1,5 1,5 1 2 2 3
symbole
16 100 100 100 100
(0, 16)-1,5 = = = = = =
zgłoś błąd
100 16 16 16 16
" 3
3
25 maj
100 10 1000 40 5
= " = = = 15 = 15
4 64 64 8
16
matma235@o2.pl
Oblicz:
1
23 � 22 � 2-2
Rozwiązanie:
Na podstawie wzorów:
spis treści
"
1 1 1 1 1
23 � 22 � 2-2 = 23+ 2 -2 = 21 2 = 21+ 2 = 21 � 22 = 2 2
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz:
1
23 � 43 � 2-4
Rozwiązanie:
Na podstawie wzorów:
spis treści
"
3
1 1 1 1 1 1 1
3
+6-4
3 3
symbole 2 �43�2-4 = 23 � 22 �2-4 = 23 �26�2-4 = 2 = 22 3 = 22+ 3 = 22�23 = 4 2
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz:
1 2 1
3
4 � 83 �
4
Rozwiązanie:
Na podstawie wzorów:
spis treści
1 2
3 3 -1 2
symbole 1 2 1 2 6
3 3
4 � 83 � = 22 � 23 � 4-1 = 23 � 2 � 22 = 23 � 22 � 2-2 =
zgłoś błąd 4
"
" 2 3 "
2 2
3 3
= 23 +2-2 = 23 = 2 = 22 = 4
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz:
"
1
2
8 � 32
41,5
Rozwiązanie:
Na podstawie wzorów:
spis treści
"
symbole 1 1 1 3 1 3 5 8
+
2 2 2 2
82 � 32 (23) � 322 22 � (25)2 2 2 24
= = = = = = 24-3 = 21 = 2
zgłoś błąd
41,5 (22)1,5 23 23 23 23
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz:
1 1
3
9 � 272
"
3
Rozwiązanie:
Na podstawie wzorów:
spis treści
symbole
1 1
3 2 2 3 2 + 3 4 + 9 13
1 1
2 6
32 � 33
93 � 272 33 � 3 33 2 36 6 3 13 1
zgłoś błąd -
6 2
" = = = = = = 3 =
1 1 1 1 1
2 2
3 32 32 3 3 32
"
" 2 3 "
13 3 10 5 2 2
25 maj 3 3
-
6 6 6 3
= 3 = 3 = 33 = 31 3 = 31 � 3 = 3 3 = 3 32 = 3 9
matma235@o2.pl
Rozwiąż równanie:
4x+2 = 83x-1
Rozwiązanie:
Wykorzystując wzory, należy doprowadzić potęgi w równaniu do jednakowych podstaw:
4x+2 = 83x-1
spis treści
symbole
(22)x+2 = (23)3x-1
zgłoś błąd
22(x+2) = 23(3x-1)
22x+4 = 29x-3
25 maj
Funkcja wykładnicza jest różnowartościowa, a więc możemy zapisać:
2x + 4 = 9x - 3
2x - 9x = -3 - 4
-7x = -7 / : (-7)
x = 1
matma235@o2.pl
Rozwiąż równanie:
"
(0, 25)2x-1 = ( 8)x+4
Rozwiązanie:
Wykorzystując wzory, należy doprowadzić potęgi w równaniu do jednakowych podstaw:
"
spis treści (0, 25)2x-1 = ( 8)x+4
2x-1
symbole
25 1
= (82 )x+4
zgłoś błąd
100
2x-1
1 1
25 maj
= (82 )x+4
4
2x-1 1
4-1 = (82 )x+4
1
4-1(2x-1) = 82 (x+4)
1
4-2x+1 = 82 x+2
1
(22)-2x+1 = (23)2 x+2
1
22(-2x+1) = 23( 2 x+2)
3
2-4x+2 = 22 x+6
Funkcja wykładnicza jest różnowartościowa, a więc możemy zapisać:
3
-4x + 2 = x + 6
2
dalej
matma235@o2.pl
3
-4x + 2 = x + 6
2
3
-4x - x = 6 - 2
2
1
-4x - 1 x = 4
spis treści 2
1 1
symbole
-5 x = 4 / : (-5 )
2 2
zgłoś błąd
1
x = 4 : (-5 )
25 maj
2

11
x = 4 : -
2

2
x = 4 � -
11
8
x = -
11
matma235@o2.pl
Rozwiąż równanie:
"
92x+3 = 3 27
Rozwiązanie:
Wykorzystując wzory, należy doprowadzić potęgi w równaniu do jednakowych podstaw:
"
spis treści 92x+3 = 3 27
1
symbole
(32)2x+3 = 3 � 272
zgłoś błąd
1
2
32(2x+3) = 3 � (33)
3
25 maj 2
34x+6 = 3 � 3
1
34x+6 = 3 � 31 2
1
34x+6 = 31+1 2
1
34x+6 = 32 2
Funkcja wykładnicza jest różnowartościowa, a więc możemy zapisać:
1
4x + 6 = 2
2
1
4x = 2 - 6
2
1
4x = -3 / : 4
2
1
x = -3 : 4
2
7 1
x = - �
2 4
matma235@o2.pl
7
x = -
8
Rozwiąż nierówność:
33x-1 < 32x+4
Rozwiązanie:
Podstawy potęg są jednakowe i większe od 1. Funkcja wykładnicza jest więc rosnąca, dlatego
nie odwracamy znaku nierówności.
spis treści
3x - 1 < 2x + 4
symbole
3x - 2x < 4 + 1
zgłoś błąd
x < 5
25 maj
matma235@o2.pl
Rozwiąż nierówność:
(0, 2)4x-1 < (0, 2)x+2
Rozwiązanie:
Podstawy potęg są jednakowe i mniejsze od 1. Funkcja wykładnicza jest więc malejąca,
dlatego odwracamy znak nierówności.
spis treści
4x - 1 > x + 2
symbole
4x - x > 2 + 1
zgłoś błąd
3x > 3 / : 3
25 maj
x > 1
matma235@o2.pl
Rozwiąż nierówność:
(0, 125)x 4x-3
Rozwiązanie:
Wykorzystując wzory, należy doprowadzić potęgi w nierówności do jednakowych podstaw:
x
125
spis treści
(22)x-3
1000
symbole
x
zgłoś błąd 1
22(x-3)
8
25 maj
(8-1)x 22x-6
8-x 22x-6
(23)-x 22x-6
2-3x 22x-6
Podstawy potęg są jednakowe i większe od 1. Funkcja wykładnicza jest więc rosnąca, dlatego
nie odwracamy znaku nierówności.
-3x 2x - 6
-3x - 2x -6
-5x -6 / : (-5)
6
x
5
1
x 1
5
matma235@o2.pl
Rozwiąż nierówność:
4x-2 2x-3
2 9
>
3 4
Rozwiązanie:
Wykorzystując wzory, należy doprowadzić potęgi w nierówności do jednakowych podstaw:
spis treści
4x-2 2x-3
2 9
symbole
>
3 4
zgłoś błąd
2x-3
4x-2 2
2 3
25 maj
>
3 2
4x-2 2(2x-3)
2 3
>
3 2
4x-2 4x-6
2 3
>
3 2
4x-6
4x-2 -1
2 2
>
3 3
4x-2 -1(4x-6)
2 2
>
3 3
4x-2 -4x+6
2 2
>
3 3
Podstawy potęg są jednakowe i mniejsze od 1. Funkcja wykładnicza jest więc malejąca,
dlatego odwracamy znak nierówności.
matma235@o2.pl
4x - 2 < -4x + 6
dalej
4x - 2 < -4x + 6
4x + 4x < 6 + 2
8x < 8 / : 8
x < 1
spis treści
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Rozwiąż nierówność:
1-x
"
"
2 2
4( 8)x-3
16
Rozwiązanie:
Wykorzystując wzory, należy doprowadzić potęgi w nierówności do jednakowych podstaw:
spis treści
1-x
"
symbole
"
2 2
zgłoś błąd
4( 8)x-3
16
1-x
25 maj 1
1 2 � 22
2
22 � (8 )x-3
24
1-x
1
1 21+ 2
22 � 82 (x-3)
24
1-x
1
1 21 2
22 � (23)2 (x-3)
24
3 1
22 � 22 (x-3) (21 2 -4)1-x
3 9 1
2
22+ 2 x- (2-2 2 )(1-x)
3 1 1
22+ 2 x-4 2 2-2 2 (1-x)
Podstawy potęg są jednakowe i większe od 1. Funkcja wykładnicza jest więc rosnąca, dlatego
nie odwracamy znaku nierówności.
3
2 + x - 41 -21(1 - x)
2 2 2
matma235@o2.pl
dalej
3 1 1
2 + x - 4 -2 (1 - x)
2 2 2
1 3 1 1
2 - 4 + x -2 + 2 x
2 2 2 2
1 3 1 1
-2 + x -2 + 2 x
spis treści 2 2 2 2
3 1 1 1
symbole
x - 2 x -2 + 2
2 2 2 2
zgłoś błąd
3 5
x - x 0
25 maj
2 2
2
- x 0
2
-x 0 / : (-1)
x 0
matma235@o2.pl
Logarytmy
wzory, twierdzenia, definicje
" logarytm
" wykres funkcji logarytmicznej
" wzory
spis treści
symbole
zgłoś błąd
przykłady
25 maj
matma235@o2.pl
Logarytm
Przykłady:
log2 8 logarytm o podstawie 2 z 8
log4 16 logarytm o podstawie 4 z 16
log 1000 logarytm dziesiętny z 1000 (ma w podstawie 10)
spis treści
symbole
logarytm o podstawie a z liczby b:
zgłoś błąd
loga b
25 maj
warunki dla podstawy a: a > 0 i a = 1

warunki dla liczby b: b > 0
Definicja logarytmu:
loga b = x jeżeli ax = b
Przykłady:
log2 8 = 3 dlatego, że 23 = 8
log4 16 = 2 dlatego, że 42 = 16
log 1000 = 3 dlatego, że 103 = 1000
matma235@o2.pl
Wzory
Wzory: Przykłady:
loga 1 = 0 log3 1 = 0 log 1 1 = 0
2
1
loga a = 1 log3 3 = 1 log 1 = 1
2
2
spis treści
loga ak = k log2 23 = 3 log5 53 = 3
symbole
zgłoś błąd
loga xk = k loga x log3 25 = 5 log3 2 log 34 = 4 log 3
log 7
1
2
25 maj aloga x = x 3log3 5 = 5 (1) = 7
2
loga(x � y) = loga x + loga y log2(3 � = log2 3 + log2 5
"5) "
log3(9 3) = log3 9 + log3 3
x
loga = loga x - loga y log2 3 = log2 3 - log2 5
5
y
"
"
log3 93 = log3 3 - log3 9
logc b
log11 3
loga b = log2 3 =
log11 2
logc a
log15 3
c  dowolna liczba spełniająca warunki log2 3 =
log15 2
1
1
loga b = log3 8 =
log8 3
logb a
matma235@o2.pl
Wykres funkcji logarytmicznej
Wykres funkcji logarytmicznej:
y = loga x
zależy od podstawy a.
spis treści
Dla a > 1 funkcja logarytmiczna jest rosnąca:
symbole
y
zgłoś błąd
Przykłady:
y = log2 x
25 maj
y = log5 x
1
x
y = log"2 x
Dla 0 < a < 1 funkcja logarytmiczna jest malejąca:
y
Przykłady:
y = log0,3 x
y = log 1 x
2
1
x
Funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa
matma235@o2.pl
" " "
Oblicz:
log3 9 log3 1 log2 0, 5 log4 4
3
"
log5 5 log3 1 log 100 log 0, 1
"
log 1000 log5 0, 04
spis treści
symbole
Oblicz:
" "
" "
5 10 10
zgłoś błąd
log2 2 2 log3 9 27 log5 25 log
1000
Oblicz:
25 maj
log4 8 log25 5 log"10 100 log2"2 4
matma235@o2.pl
Oblicz:
log3 9
Rozwiązanie:
Wykoszystując wzory, doprowadzamy logarytm do postaci: loga ak = k
spis treści
log3 9 = log3 32 = 2
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz:
1
log3
3
Rozwiązanie:
Wykoszystując wzory, doprowadzamy logarytm do postaci: loga ak = k
spis treści
1
log3 = log3 3-1 = -1
symbole
3
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz:
log2 0, 5
Rozwiązanie:
Wykoszystując wzory, doprowadzamy logarytm do postaci: loga ak = k
spis treści
1
log2 0, 5 = log2 = log 2-1 = -1
symbole
2
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz:
log4 4
Rozwiązanie:
Wykoszystując wzory, doprowadzamy logarytm do postaci: loga ak = k
spis treści
log4 4 = log4 41 = 1
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz:
"
log5 5
Rozwiązanie:
Wykoszystując wzory, doprowadzamy logarytm do postaci: loga ak = k
spis treści "
1 1
log5 5 = log5 52 =
symbole
2
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz:
log3 1
Rozwiązanie:
Wykoszystując wzory, doprowadzamy logarytm do postaci: loga ak = k
spis treści
log3 1 = log3 30 = 0
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz:
log 100
Rozwiązanie:
Wykoszystując wzory, doprowadzamy logarytm do postaci: loga ak = k
spis treści
log 100 = log 102 = 2
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz:
log 0, 1
Rozwiązanie:
Wykoszystując wzory, doprowadzamy logarytm do postaci: loga ak = k
spis treści
1
log 0, 1 = log = log 10-1 = -1
symbole
10
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz:
"
log 1000
Rozwiązanie:
Wykoszystując wzory doprowadzamy logarytm do postaci: loga ak = k
spis treści "
1 1 3 3
2
log 1000 = log 10002 = log(103) = log 102 =
symbole
2
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz:
log5 0, 04
Rozwiązanie:
Wykoszystując wzory doprowadzamy logarytm do postaci: loga ak = k
spis treści
4 1
log5 0, 04 = log5 = log5 = log5 25-1 = log5(52)-1 = log5 5-2 = -2
symbole
100 25
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz:
"
log2 2 2
Rozwiązanie:
Wykorzystujemy loga(x � y) = loga x + loga y, a następnie za pomocą wzorów, doprowa-
dzamy logarytm do postaci: loga ak = k
spis treści
" "
symbole 1 1 1
log 2 2 = log2 2 + log2 2 = 1 + log2 22 = 1 + = 1
zgłoś błąd 2 2
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz:
"
log3 9 27
Rozwiązanie:
Wykorzystujemy loga(x � y) = loga x + loga y, a następnie za pomocą wzorów, doprowa-
dzamy logarytm do postaci: loga ak = k
spis treści
" "
1 1
symbole
2
log3 9 27 = log3 9 + log3 27 = log3 32 + log3 27 = 2 + log3(33)2 =
zgłoś błąd
3 3 1 1
= 2 + log3 32 = 2 + = 2 + 1 = 3
2 2 2
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz:
"
5
log5
25
Rozwiązanie:
x
Wykorzystujemy loga = loga x - loga y, a następnie za pomocą wzorów, doprowadzamy
y
spis treści
logarytm do postaci: loga ak = k
symbole
"
zgłoś błąd
"
5 1 1 1
log5 = log5 5 - log5 25 = log5 52 - log5 52 = - 2 = -1
25 2 2
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz:
"
10 10
log
1000
Rozwiązanie:
x
Wykorzystujemy loga = loga x - loga y i loga(x � y) = loga x + loga y, a następnie
y
spis treści
za pomocą wzorów, doprowadzamy logarytm do postaci: loga ak = k
symbole
"
zgłoś błąd
" "
10 10
log = log 10 10 - log 1000 = log 10 + log 10 - log 103 =
1000
25 maj
1 1 1 1
= 1 + log 102 - 3 = 1 + - 3 = 1 - 3 = -1
2 2 2
matma235@o2.pl
Oblicz:
log4 8
Rozwiązanie:
logc b
Wykorzystujemy loga b = , a następnie za pomocą wzorów,
logc a
doprowadzamy logarytm do postaci: loga ak = k
spis treści
symbole
log2 8 log2 23 3
zgłoś błąd
log4 8 = = =
log2 4 log2 22 2
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz:
log25 5
Rozwiązanie:
logc b
Wykorzystujemy loga b = , a następnie za pomocą wzorów,
logc a
doprowadzamy logarytm do postaci: loga ak = k
spis treści
symbole
log5 5 1 1
zgłoś błąd
log25 5 = = =
log5 25 log5 52 2
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz:
log"10 100
Rozwiązanie:
logc b
Wykorzystujemy loga b = , a następnie za pomocą wzorów,
logc a
doprowadzamy logarytm do postaci: loga ak = k
spis treści
symbole
log 100 log 102 2 1 2
zgłoś błąd
log"10 100 = " = = = 2 : = 2 � = 4
1
log 10 log 102 1 2 1
2
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz:
log2"2 4
Rozwiązanie:
logc b
Wykorzystujemy loga b = loga(x � y) = loga x + logb y, a następnie za pomocą
logc a
wzorów, doprowadzamy logarytm do postaci: loga ak = k
spis treści
symbole
log2 4 log2 22 log2 22 2
zgłoś błąd
log2"2 4 = " = " = = =
1
1
2 1 +
log2 2 2 log2 2 + log2 2 log2 2 + log2 2
2
25 maj
1 3 2 4 1
= 2 : 1 = 2 : = 2 � = = 1
2 2 3 3 3
matma235@o2.pl
Wzory, definicje, twierdzenia (Logarytmy)
" Logarytm
" Wzory
" Wykres funkcji logarytmicznej
spis treści
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
" " "
Rozwiąż równanie:
log2 x = 3 log0,5 x = 4
Rozwiąż równanie:
spis treści
2 + log3(2x + 1) = log3(5x + 22) log2(x + 1) + log2(x + 3) = 3
symbole
log5(x - 1) - log5(4x + 1) = log5 x-5
5
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Rozwiąż równanie:
log2 x = 3
Rozwiązanie:
Korzystamy z definicji logarytmu:
log2 x = 3
spis treści
symbole
x = 23
zgłoś błąd
x = 8
25 maj
matma235@o2.pl
Rozwiąż równanie:
log0,5 x = 4
Rozwiązanie:
Korzystamy z definicji logarytmu:
spis treści
log0,5 x = 4
symbole
zgłoś błąd x = 0, 54
4
1
25 maj
x =
2
1
x =
16
matma235@o2.pl
Rozwiąż równanie:
2 + log3(2x + 1) = log3(5x + 22)
Rozwiązanie:
Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny. Logarytmować możemy tylko liczby dodatnie, dlatego:
2x + 1 > 0 i 5x + 22 > 0
spis treści
2x > -1 / : 2 5x > -22 / : 5
22
symbole
x > -1 x > -
2 5
zgłoś błąd
x > -42
5
25 maj
x
-42 -1
5 2
D = (-1 , ")
2
2 + log3(2x + 1) = log3(5x + 22)
x = 1
Rozwiązanie należy do dziedziny.
Odp. x = 1
matma235@o2.pl
2 + log3(2x + 1) = log3(5x + 22)
Korzystamy z loga ak = k
log3 32 + log3(2x + 1) = log3(5x + 22)
log3 9 + log3(2x + 1) = log3(5x + 22)
spis treści
symbole
Korzystamy z loga(x � y) = loga x + loga y:
zgłoś błąd
log3 9(2x + 1) = log3(5x + 22)
25 maj
Funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa, więc możemy opuścić logarytmy:
9(2x + 1) = 5x + 22
18x + 9 = 5x + 22
18x - 5x = 22 - 9
13x = 13 / : 13
x = 1
matma235@o2.pl
Rozwiąż równanie:
log2(x + 1) + log2(x + 3) = 3
Rozwiązanie:
Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny. Logarytmować możemy tylko liczby dodatnie, dlatego:
x + 1 > 0 i x + 3 > 0
spis treści
x > -1 x > -3
symbole
zgłoś błąd
x
-3 -1
25 maj
D = (-1, ")
log2(x + 1) + log2(x + 3) = 3
x1 = -5 x2 = 1
Tylko x1 = 1 należy do dziedziny.
Odp. x = 1
matma235@o2.pl
log2(x + 1) + log2(x + 3) = 3
Korzystamy z loga(x � y) = loga x + loga y:
log2(x + 1)(x + 3) = 3
spis treści
Korzystamy z definicji logarytmu:
symbole
zgłoś błąd
(x + 1)(x + 3) = 23
25 maj
(x + 1)(x + 3) = 8
x2 + 3x + x + 3 = 8
x2 + 3x + x + 3 - 8 = 0
x2 + 4x - 5 = 0
" = 42 - 4 � 1 � (-5) = 16 + 20 = 36
" "
" = 36 = 6
-4 - 6 -10
x1= = = -5
2 � 1 2
-4 + 6 2
x2= = = 1
2 � 1 2
x1 = -5 x2 = 1
matma235@o2.pl
Rozwiąż równanie:
x - 5
log5(x - 1) - log5(4x + 1) = log5
5
Rozwiązanie:
spis treści Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny. Logarytmować możemy tylko liczby dodatnie, dlatego:
x-5
symbole
x - 1 > 0 i 4x + 1 > 0 i > 0 / � 5
5
zgłoś błąd x > 1 4x > -1 / : 4 x - 5 > 0
x > -1 x > 5
4
25 maj
x
-1
1 5
4
D = (5, ")
x - 5
log5(x - 1) - log5(4x + 1) = log5
5
x1 = 0 x2 = 6
Tylko x2 = 6 należy do dziedziny.
Odp. x = 6
matma235@o2.pl
x - 5
log5(x - 1) - log5(4x + 1) = log5
5
x - 5
log5(x - 1) = log5 + log5(4x + 1)
5
Korzystamy z loga(x � y) = loga x + loga y:
spis treści
x - 5
symbole
log5(x - 1) = log5 � (4x + 1)
5
zgłoś błąd
Funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa, więc możemy opuścić logarytmy:
25 maj
x - 5
x - 1 = � (4x + 1) / � 5
5
5(x - 1) = (x - 5)(4x + 1)
5x - 5 = 4x2 + x - 20x - 5
5x - 5 = 4x2 - 19x - 5
5x - 5 - 4x2 + 19x + 5 = 0
-4x2 + 24x = 0
-4(x2 - 6x) = 0
-4x(x - 6) = 0
x1 = 0 x2 = 6
matma235@o2.pl
" " "
Rozwiąż nierówności:
log3(x - 3) > 2 log0,5(3x - 2) -1
log3(2x - 7) 2 - log3(8 - x) log 1 (4x + 1) > -2 - log 1 (2x - 3)
3 3
spis treści
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Rozwiąż nierówność:
log3(x - 3) > 2
Rozwiązanie:
Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny. Logarytmować możemy tylko liczby dodatnie, dlatego:
spis treści x - 3 > 0
symbole
x > 3
zgłoś błąd
D = (3, ")
25 maj
log3(x - 3) > 2
x " (12, ")
Zaznaczamy na jednym rysunku dziedzinę i rozwiązanie nierówności:
x
3 12
Rozwiązanie to część wspólna:
x " (12, ")
matma235@o2.pl
log3(x - 3) > 2
Korzystamy z loga ak = k
log3(x - 3) > log3 32
Podstawy logarytmów są jednakowe i większe od 1. Funkcja logarytmiczna jest więc rosnąca,
spis treści dlatego nie odwracamy znaku nierówności.
symbole
x - 3 > 32
zgłoś błąd
x - 3 > 9
25 maj
x > 9 + 3
x > 12
x " (12, ")
matma235@o2.pl
Rozwiąż nierówność:
log0,5(3x - 2) -1
Rozwiązanie:
Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny. Logarytmować możemy tylko liczby dodatnie, dlatego:
spis treści 3x - 2 > 0
symbole
3x > 2 / : 3
zgłoś błąd
2
x >
3

25 maj
2
D = , "
3
log0,5(3x - 2) -1

x " -", 11
3
Zaznaczamy na jednym rysunku dziedzinę i rozwiązanie nierówności:
2
11 x
3 3
Rozwiązanie to część wspólna:

2 1
x " , 1
3 3
matma235@o2.pl
log0,5(3x - 2) -1
Korzystamy z loga ak = k
log0,5(3x - 2) log0,5 0, 5-1
spis treści
Podstawy logarytmów są jednakowe i mniejsze od 1. Funkcja logarytmiczna jest więc male-
symbole
jąca, dlatego odwracamy znak nierówności.
zgłoś błąd
3x - 2 0, 5-1
25 maj
-1
1
3x - 2
2
3x - 2 2
3x 2 + 2
3x 4 / : 3
4
x
3
1
x 1
3

1
x " -", 1
3
matma235@o2.pl
Rozwiąż nierówność:
log3(2x - 7) 2 - log3(8 - x)
Rozwiązanie:
Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny.

D = 31, 8
2
spis treści
symbole
log3(2x - 7) 2 - log3(8 - x)
zgłoś błąd

x " (-", 5 *" 61, "
2
25 maj
Zaznaczamy na jednym rysunku dziedzinę i rozwiązanie nierówności:
x
31 61
5 8
2 2
Rozwiązanie to część wspólna:

1 1
x " 3 , 5 *" 6 , 8
2 2
matma235@o2.pl
log3(2x - 7) 2 - log3(8 - x)
log3(2x - 7) + log3(8 - x) 2
Korzystamy z loga(x � y) = loga x + loga y:
log3(2x - 7)(8 - x) 2
spis treści
symbole
Korzystamy z loga ak = k
zgłoś błąd
log3(2x - 7)(8 - x) log3 32
25 maj
Podstawy logarytmów są jednakowe i większe od 1. Funkcja logarytmiczna jest więc rosnąca,
dlatego nie odwracamy znaku nierówności.
(2x - 7)(8 - x) 32
(2x - 7)(8 - x) 9
16x - 2x2 - 56 + 7x 9
16x - 2x2 - 56 + 7x - 9 0
-2x2 + 23x - 65 0

x " (-", 5 *" 61, "
2
matma235@o2.pl
-2x2 + 23x - 65 0
Rozwiązujemy nierówność kwadratową:
" = 232 - 4 � (-2) � (-65) = 529 - 520 = 9
" "
spis treści
" = 9 = 3
symbole
-23 - 3 -26 2 1
x1= = = 6 = 6
zgłoś błąd
2 � (-2) -4 4 2
-23 + 3 -20
25 maj
x2= = = 5
2 � (-2) -4
61 x
5
2

1
x " (-", 5 *" 6 , "
2
matma235@o2.pl
Rozwiąż nierówność:
1 1
log (4x + 1) > -2 - log (2x - 3)
3 3
Rozwiązanie:
Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny.

1
D= 1 , "
2
spis treści
symbole
log 1 (4x + 1) -2 - log 1 (2x - 3)
zgłoś błąd
3 3

3
x " - , 2
4
25 maj
Zaznaczamy na jednym rysunku dziedzinę i rozwiązanie nierówności:
x
-3 11
2
4 2
Rozwiązanie to część wspólna:

x " 11, 2
2
matma235@o2.pl
1 1
log (4x + 1) > -2 - log (2x - 3)
3 3
Wyznaczamy dziedzinę. Logarytmować możemy tylko liczby dodatnie, dlatego:
4x + 1 > 0 i 2x - 3 > 0
4x > -1 / : 4 2x > 3 / : 2
spis treści
1 3
x > - x >
symbole 4 2
x > 11
zgłoś błąd
2
25 maj
x
-1 11
4 2

D = 11, "
2
matma235@o2.pl
log 1 (4x + 1) > -2 - log 1 (2x - 3)
3 3
log 1 (4x + 1) + log 1 (2x - 3) > -2
3 3
Korzystamy z loga(x � y) = loga x + loga y:
log 1 (4x + 1)(2x - 3) > -2
spis treści
3
symbole
Korzystamy z loga ak = k
zgłoś błąd
-2
1
25 maj
1
log (4x + 1)(2x - 3) > log 1
3 3
3
Podstawy logarytmów są jednakowe i mniejsze od 1. Funkcja logarytmiczna jest więc male-
jąca, dlatego odwracamy znaku nierówności.
-2
1
(4x + 1)(2x - 3) <
3
8x2 - 12x + 2x - 3 < 32
8x2 - 10x - 3 < 9
8x2 - 10x - 3 - 9 < 0
8x2 - 10x - 12 < 0

3
x " - , 2
4
matma235@o2.pl
8x2 - 10x - 12 < 0
Rozwiązujemy nierówność kwadratową:
" = (-10)2 - 4 � 8 � (-12) = 100 + 384 = 484
" "
spis treści
" = 484 = 22
symbole
-(-10) - 22 10 - 22 12 3
x1= = = - = -
zgłoś błąd
2 � 8 16 16 4
-(-10) + 22 10 + 22 32
25 maj
x2= = = = 2
2 � 8 16 16
3
x
-
2
4

3
x " - , 2
4
matma235@o2.pl
Wzory, definicje, twierdzenia (Ciągi i ich granice)
" Monotoniczność ciągu
" Ciąg arytmetyczny
" Ciąg geometryczny
" Kapitalizacja odsetek
spis treści
" Nieskończony ciąg geometryczny
symbole " Proste granice
" Odgadywanie prostych granic
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Monotoniczność ciągu
Definicja ciągu rosnącego
Dla każdego n naturalnego: an+1 - an > 0
Przykłady:
3, 6, 9, 12,. . . an = 3n
spis treści
1, 4, 9, 16,. . . an = n2
1, 3, 5, 7,. . . an = 2n - 1
symbole
zgłoś błąd
Definicja ciągu malejącego
25 maj
Dla każdego n naturalnego: an+1 - an < 0
Przykłady:
-3, -6, -9, -12, . . . an = -3n
-1, -4, -9, -16, . . . an = -n2
-1, -3, -5, -7, . . . an = -2n + 1
matma235@o2.pl
Ciąg arytmetyczny
a1  pierwszy wyraz ciągu
r  różnica ciągu arytmetycznego
Definicja:
Kolejny wyraz ciągu arytmetycznego powstaje przez dodanie do poprzedniego różnicy r.
spis treści
an+1 = an + r
symbole
zgłoś błąd
Przykłady:
a1 = 2 r = 3 2, 5, 8, 11, 14, 17, . . .
25 maj
a1 = -4 r = 2 -4, -2, 0, 2, 4, 6, . . .
a1 = 5 r = -4 5, 1, -3, -7, -11, -15, . . .
n ty wyraz ciągu arytmetycznego
an = a1 + (n - 1)r
suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
a1 + an
Sn = � n
2
własność ciągu arytmetycznego
an-1 + an+1
an =
2
matma235@o2.pl
Ciągi i ich granice
wzory, twierdzenia, definicje
" monotoniczność ciągu
" ciąg arytmetyczny
" ciąg geometryczny
" kapitalizacja odsetek
spis treści
" nieskończony ciąg geometryczny
symbole
" proste granice ciągu
zgłoś błąd
25 maj
przykłady
matma235@o2.pl
" " " " "
Dla poniższych ciągów arytmetycznych podaj pierwszy wyraz a1 i różnicę r. Oblicz wartość
a30 i a40.
2, 5, 8, 11, 14, . . . 10, 7, 4, 1, -2, . . .
spis treści
Dla poniższych ciągów arytmetycznych oblicz sumę pierwszych dwudziestu wyrazów.
symbole
3, 5, 7, 9, 11, . . . -4, -1, 2, 5, 8, . . .
zgłoś błąd
Zbadaj, czy ciąg jest arytmetyczny.
an = 3n + 2 an = n2
25 maj
Zbadaj monotoniczność ciągów arytmetycznych.
an = 5n - 2 an = 3 - 2n
Wyznacz ciąg arytmetyczny mając dane.
a2 = 5 a3 = 7 a5 = 18 a6 = 21
Wyznacz ciąg arytmetyczny mając dane.
a5 = 12 a8 = 18 a11 = 30 a15 = 42
matma235@o2.pl
Dla poniższych ciągów arytmetycznych podaj pierwszy wyraz a1 i różnicę r. Oblicz wartość
a30 i a40.
2, 5, 8, 11, 14, . . .
Rozwiązanie:
spis treści a1 = 2
Korzystamy z definicji
symbole
a2 = a1 + r
zgłoś błąd
5 = 2 + r
25 maj
5 - 2 = r
r = 3
Korzystamy z an = a1 + (n - 1)r
a30 = 2 + (30 - 1) � 3 = 2 + 29 � 3 = 89
a40 = 2 + (40 - 1) � 3 = 2 + 39 � 3 = 119
matma235@o2.pl
Dla poniższych ciągów arytmetycznych podaj pierwszy wyraz a1 i różnicę r. Oblicz wartość
a30 i a40.
10, 7, 4, 1, -2, . . .
Rozwiązanie:
spis treści a1 = 10
Korzystamy z definicji
symbole
a2 = a1 + r
zgłoś błąd
7 = 10 + r
25 maj
7 - 10 = r
r = -3
Korzystamy z an = a1 + (n - 1)r
a30 = 10 + (30 - 1) � (-3) = 10 + 29 � (-3) = 10 - 87 = -77
a40 = 10 + (40 - 1) � (-3) = 10 + 39 � (-3) = 10 - 117 = -107
matma235@o2.pl
Dla poniższych ciągów arytmetycznych oblicz sumę pierwszych dwudziestu wyrazów.
3, 5, 7, 9, 11, . . .
Rozwiązanie:
spis treści
a1 + an
Korzystamy z Sn = � n
symbole
2
a1 + a20
zgłoś błąd
S20 = � 20
2
a1 = 3
25 maj
a20 liczymy korzystając z an = a1 + (n - 1)r.
Najpierw trzeba jednak policzyć r.
a2= a1 + r
5 = 3 + r
5 - 3 = r
r = 2
a20 = 3 + (20 - 1) � 2 = 3 + 19 � 2 = 41
a1 + a20 3 + 41 44
S20 = � 20 = � 20 = � 20 = 22 � 20 = 440
2 2 2
matma235@o2.pl
Dla poniższych ciągów arytmetycznych oblicz sumę pierwszych dwudziestu wyrazów.
-4, -1, 2, 5, 8, . . .
Rozwiązanie:
spis treści
a1 + an
Korzystamy z Sn = � n
symbole
2
a1 + a20
zgłoś błąd
S20 = � 20
2
a1 = -4
25 maj
a20 liczymy korzystając z an = a1 + (n - 1)r.
Najpierw trzeba jednak policzyć r.
a2= a1 + r
-1 = -4 + r
-1 + 4 = r
r = 3
a20 = -4 + (20 - 1) � 3 = -4 + 19 � 3 = 53
a1 + a20 -4 + 53 49
S20 = � 20 = � 20 = � 20 = 49 � 10 = 490
2 2 2
matma235@o2.pl
Zbadaj, czy ciąg jest arytmetyczny.
an = 3n + 2
Rozwiązanie:
spis treści
Korzystamy z definicji
symbole
an+1 = an + r
zgłoś błąd
r = an+1 - an
Ciąg jest ciągiem arytmetycznym, jeżeli an+1 - an jest stałe (niezależne od n).
25 maj
an = 3n + 2
an+1 = 3(n + 1) + 2 = 3n + 3 + 2 = 3n + 5
an+1 - an = 3n + 5 - (3n + 2) = 3n + 5 - 3n - 2 = 5 - 2 = 3
Odp. Ciąg an = 3n + 2 jest arytmetyczny.
matma235@o2.pl
Zbadaj, czy ciąg jest arytmetyczny.
an = n2
Rozwiązanie:
Korzystamy z definicji
an+1 = an + r
spis treści
symbole r = an+1 - an
zgłoś błąd
Ciąg jest ciągiem arytmetycznym, jeżeli an+1 - an jest stałe (niezależne od n).
25 maj
an = n2
an+1 = (n + 1)2 = n2 + 2n + 1
an+1 - an = n2 + 2n + 1 - n2 = 2n + 1 (zależne od n)
Odp. Ciąg an = n2 nie jest arytmetyczny.
matma235@o2.pl
Zbadaj monotoniczność ciągu arytmetycznego.
an = 5n - 2
Rozwiązanie:
spis treści
Korzystamy z definicji
symbole
zgłoś błąd
an = 5n - 2
an+1 = 5(n + 1) - 2 = 5n + 5 - 2 = 5n + 3
25 maj
an+1 - an = 5n + 3 - (5n - 2) = 5n + 3 - 5n + 2 = 3 + 2 = 5 > 0
Odp. Ciąg an = 5n - 2 jest rosnący.
matma235@o2.pl
Zbadaj monotoniczność ciągu arytmetycznego.
an = 3 - 2n
Rozwiązanie:
spis treści
Korzystamy z definicji
symbole
zgłoś błąd
an = 3 - 2n
an+1 = 3 - 2(n + 1) = 3 - 2n - 2 = 1 - 2n
25 maj
an+1 - an = 1 - 2n - (3 - 2n) = 1 - 2n - 3 + 2n = 1 - 3 = -2 < 0
Odp. Ciąg an = 3 - 2n jest malejący.
matma235@o2.pl
Wyznacz ciąg arytmetyczny mając dane.
a2 = 5 a3 = 7
Rozwiązanie:
spis treści
Wyznaczyć ciąg arytmetyczny oznacza, że należy podać jego pierwszy wyraz a1 i różnicę r.
symbole
Korzystamy z definicji
zgłoś błąd
a3 = a2 + r
7 = 5 + r
25 maj
7 - 5 = r
r = 2
a2 = a1 + r
5 = a1 + 2
5 - 2 = a1
a1 = 3
Odp. a1 = 3 r = 2
matma235@o2.pl
Wyznacz ciąg arytmetyczny mając dane.
a5 = 18 a6 = 21
Rozwiązanie:
spis treści
Wyznaczyć ciąg arytmetyczny oznacza, że należy podać jego pierwszy wyraz a1 i różnicę r.
symbole
Korzystamy z definicji
zgłoś błąd
a6 = a5 + r
21 = 18 + r
25 maj
21 - 18 = r
r = 3
a1 policzymy z an = a1 + (n - 1)r
a5 = a1 + (5 - 1)r
18 = a1 + 4 � 3
18 = a1 + 12
18 - 12 = a1
a1 = 6
Odp. a1 = 6 r = 3
matma235@o2.pl
Wyznacz ciąg arytmetyczny mając dane.
a5 = 12 a8 = 18
Rozwiązanie:
Wyznaczyć ciąg arytmetyczny oznacza, że należy podać jego pierwszy wyraz a1 i różnicę r.
spis treści

symbole
a5 = 12
zgłoś błąd
a8 = 18
25 maj
Korzystamy z an = a1 + (n - 1)r

a5 = 12 a1 = 12 - 4r
a8 = 18 3r = 18 - 12 / : 3

a1 + (5 - 1)r = 12 a1 = 12 - 4 � 2
a1 + (8 - 1)r = 18 r = 2

a1 + 4r = 12 a1 = 4
a1 + 7r = 18 r = 2

a1 = 12 - 4r
12 - 4r + 7r = 18
Odp. a1 = 4 r = 2
matma235@o2.pl
Wyznacz ciąg arytmetyczny mając dane.
a11 = 30 a15 = 42
Rozwiązanie:
Wyznaczyć ciąg arytmetyczny oznacza, że należy podać jego pierwszy wyraz a1 i różnicę r.
spis treści

symbole
a11 = 30
zgłoś błąd
a15 = 42
25 maj
Korzystamy z an = a1 + (n - 1)r

a11 = 30 a1 = 30 - 10r
a15 = 42 4r = 42 - 30 / : 4

a1 + (11 - 1)r = 30 a1 = 30 - 10 � 3
a1 + (15 - 1)r = 42 r = 3

a1 + 10r = 30 a1 = 0
a1 + 14r = 42 r = 3

a1 = 30 - 10r
30 - 10r + 14r = 42
Odp. a1 = 0 r = 3
matma235@o2.pl
Ciąg geometryczny
a1  pierwszy wyraz ciągu
q  iloraz ciągu geometrycznego
Definicja:
Kolejny wyraz ciągu geometrycznego powstaje po pomnożeniu poprzedniego wyrazu przez
spis treści
iloraz q.
an+1 = an � q
symbole
zgłoś błąd
Przykłady:
a1 = 3 q = 2 3, 6, 12, 24, 48, . . .
25 maj
a1 = -2 q = -4 -2, 8, -32, 128, -512, . . .
1 1 1
a1 = 9 q = 9, 3, 1, , , . . .
3 3 9
a1 = 2 q = 1 2, 2, 2, 2, 2, . . .
n ty wyraz ciągu geometrycznego
an = a1 � qn-1
suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego
1 - qn
Sn = a1 � dla q = 1 Sn = n � a1
1 - q
własność ciągu geometrycznego
a2 = an-1 � an+1
n
matma235@o2.pl
" " " " "
Dla poniższych ciągów geometrycznych podaj pierwszy wyraz a1 i iloraz q.
Oblicz wartość a9 i a12.
3, 6, 12, . . . 8, 4, 2, . . .
spis treści
Dla poniższych ciągów geometrycznych oblicz sumę pierwszych dziesięciu wyrazów.
symbole
2, 6, 18, . . . 16, 8, 4, . . .
zgłoś błąd
Zbadaj, czy ciąg jest geometryczny.
an = 3n an = 2n
25 maj
Wyznacz ciąg geometryczny mając dane.
a2 = 10 a3 = 20 a4 = 16 a5 = 2
Wyznacz ciąg geometryczny mając dane.
a3 = 9 a5 = 81 a4 = 1 a7 = 8
matma235@o2.pl
Dla poniższego ciągu geometrycznego podaj pierwszy wyraz a1 i iloraz q.
Oblicz wartość a9 i a12.
3, 6, 12, . . .
Rozwiązanie:
spis treści a1 = 3
Korzystamy z definicji
symbole
a2 = a1 � q
zgłoś błąd
6 = 3 � q / : 3
25 maj
q = 2
Korzystamy z an = a1 � qn-1
a9 = 3 � 29-1 = 3 � 28 = 3 � 256 = 768
a12 = 3 � 212-1 = 3 � 211 = 3 � 2048 = 6144
matma235@o2.pl
Dla poniższego ciągu geometrycznego podaj pierwszy wyraz a1 i iloraz q.
Oblicz wartość a9 i a12.
8, 4, 2, . . .
Rozwiązanie:
spis treści a1 = 8
Korzystamy z definicji
symbole
a2 = a1 � q
zgłoś błąd
4 = 8 � q / : 8
25 maj
4 1
q = =
8 2
Korzystamy z an = a1 � qn-1
9-1 1 8 1 8 1
1
a9 = 8 � = 8 � = 8 � = =
2 2 256 256 32
1 12-1 1 11 1 8 1
a12 = 8 � = 8 � = 8 � = =
2 2 2048 2048 256
matma235@o2.pl
Dla poniższego ciągu geometrycznego oblicz sumę pierwszych dziesięciu wyrazów.
2, 6, 18, . . .
Rozwiązanie:
1 - qn
Korzystamy z Sn = a1 �
spis treści
1 - q
symbole a1 = 2
Korzystamy z definicji
zgłoś błąd
a2 = a1 � q
25 maj
6 = 2 � q / : 2
q = 3
1 - 310 1 - 59049 -59048
S10 = 2 � = 2 � = 2 � = 59048
1 - 3 -2 -2
matma235@o2.pl
Dla poniższego ciągu geometrycznego oblicz sumę pierwszych dziesięciu wyrazów.
16, 8, 4, . . .
Rozwiązanie:
1 - qn
Korzystamy z Sn = a1 �
spis treści
1 - q
symbole a1 = 16
Korzystamy z definicji
zgłoś błąd
a2 = a1 � q
25 maj
8 = 16 � q / : 16
8 1
q = =
16 2
1 10

1
1 - 1 -
1 1 1
2 210
S10 = 16 � = 16 � = 16� 1 - : = 16� 1 - � 2 =
1 1
1 - 210 2 1024
2 2

1024 1 1023 32 � 1023 1023 31
= 32 � - = 32 � = = = 31
1024 1024 1024 1024 32 32
matma235@o2.pl
Zbadaj, czy ciąg jest geometryczny.
an = 3n
Korzystamy z definicji
an+1 = an � q / : an
an+1
spis treści
q =
an
symbole
an+1
zgłoś błąd
Ciąg jest ciągiem geometrycznym, jeżeli jest stałe (niezależne od n)
an
an = 3n
25 maj
an+1 = 3n+1
an+1 3n+1 3n � 3
= = = 3
an 3n 3n
Odp. Ciąg an = 3n jest geometryczny.
matma235@o2.pl
Zbadaj, czy ciąg jest geometryczny.
an = 2n
Korzystamy z definicji
an+1 = an � q / : an
an+1
spis treści
q =
an
symbole
an+1
zgłoś błąd
Ciąg jest ciągiem geometrycznym, jeżeli jest stałe (niezależne od n)
an
an = 2n
25 maj
an+1 = 2(n + 1)
an+1 2(n + 1) n + 1 n 1 1
= = = + = 1 + (zależne od n)
an 2n n n n n
Odp. Ciąg an = 2n nie jest geometryczny.
matma235@o2.pl
Wyznacz ciąg geometryczny mając dane.
a2 = 10 a3 = 20
Rozwiązanie:
spis treści
Wyznaczyć ciąg geometryczny oznacza, że należy podać jego pierwszy wyraz a1 i iloraz q.
symbole
Korzystamy z definicji
zgłoś błąd
a3 = a2 � q
20 = 10 � q / : 10
25 maj
q = 2
a2 = a1 � q
10 = a1 � 2 / : 2
a1 = 5
Odp. a1 = 5 q = 2
matma235@o2.pl
Wyznacz ciąg geometryczny mając dane.
a4 = 16 a5 = 2
Rozwiązanie:
spis treści
Wyznaczyć ciąg geometryczny oznacza, że należy podać jego pierwszy wyraz a1 i iloraz q.
symbole
Korzystamy z definicji
zgłoś błąd
a5 = a4 � q
2 = 16 � q / : 16
25 maj
2 1
q = =
16 8
a1 policzymy z an = a1 � qn-1
4-1
1
a4 = a1 �
8
3
1
16 = a1 �
8
1
16 = a1 � / � 512
512
a1 = 8192
1
Odp. a1 = 8192 q =
8
matma235@o2.pl
Wyznacz ciąg geometryczny mając dane.
a3 = 9 a5 = 81
Rozwiązanie:

a3 = 9
spis treści
a5 = 81
symbole
zgłoś błąd
Korzystamy z an = a1 � qn-1

25 maj
a1 � q3-1 = 9
a1 � q5-1 = 81

a1 � q2 = 9 / : q2
a1 � q4 = 81
ńł
9
�ł
�ł a1 =
�ł
q2
�ł
9
�ł
ół
� q4 = 81
q2
ńł
9
�ł
�ł
a1 =
q2
�ł
ół
9 � q2 = 81 / : 9
ńł
9
�ł
�ł
a1 =
q2
�ł
ół
q2 = 9
matma235@o2.pl
dalej
Równanie q2 = 9 ma dwa rozwiązania q = -3 lub q = 3.
ńł ńł
9 9
�ł �ł
a1 = a1 =
q2 lub q2
ół ół
q = -3 q = 3
ńł ńł
9
9
�ł �ł
a1 =
a1 =
spis treści
(-3)2
32
ół ół
symbole
q = 3
q = -3

zgłoś błąd
a1 = 1 a1 = 1
q = -3 q = 3
25 maj
Odp. Rozwiązaniem są dwa ciągi geometryczne:
a1 = 1, q = -3 lub a1 = 1, q = 3.
matma235@o2.pl
Wyznacz ciąg geometryczny mając dane.
a4 = 1 a7 = 8
Rozwiązanie:

a4 = 1
spis treści
a7 = 8
symbole
zgłoś błąd
Korzystamy z an = a1 � qn-1

25 maj
a1 � q4-1 = 1
a1 � q7-1 = 8

a1 � q3 = 1 / : q3
a1 � q6 = 8
ńł
1
�ł
�ł a1 =
�ł
q3
�ł
1
�ł
ół
� q6 = 8
q3
ńł
1
�ł
�ł
a1 =
q3
�ł
ół
q3 = 8
ńł
1 1
�ł
a1 = =
23 8
ół
q = 2
matma235@o2.pl
1
Odp. Rozwiązaniem jest ciąg geometryczny: a1 = , q = 2
8
Kapitalizacja odsetek
Przykład:
Na koncie jest 200 zł. Co roku bank dopisuje 5%.
czas konto odsetki
początek 200
spis treści
po roku 210 10
po 2 latach 220,5 10,5
symbole
po 3 latach 231,53 11,03
zgłoś błąd
po 4 latach 243,11 11,58
. . .
25 maj
. . .
. . .
Jak widać odstetki dopisywane co roku przez bank, zwiekszają się. Nazywamy to kapitalizacją
odsetek.
Do policzenia, ile będziemy mieć na koncie np. po 20 latach, możemy wykorzystać wzór:
K = K0 � (1 + p)n
K0  kapitał początkowy
p  procent dopisywany
n  ile razy dopisano odsetki
matma235@o2.pl
" " " " "
Wpłacasz 6000 zł na konto oprocentowane na 5% w skali roku. Ile będzie
pieniędzy na koncie po 7 latach, jeżeli odsetki dopisywane są raz w roku?
Wpłacasz 8000 zł na konto oprocentowane na 4% w skali roku. Ile będzie
spis treści
pieniędzy na koncie po 5 latach, jeżeli odsetki dopisywane są co pół roku?
symbole
Wpłacasz 4000 zł na konto oprocentowane na 8% w skali roku. Ile będzie
zgłoś błąd
pieniędzy na koncie po 9 latach, jeżeli odsetki dopisywane są co kwartał?
25 maj
matma235@o2.pl
Wpłacasz 6000 zł na konto oprocentowane na 5% w skali roku. Ile będzie pieniędzy na koncie
po 7 latach, jeżeli odsetki dopisywane są raz w roku?
Rozwiązanie:
Korzystamy z K = K0 � (1 + p)n
spis treści
K0= 6000
5
symbole p = 5% = = 0, 05
100
n = 7
zgłoś błąd
K = 6000 � (1 + 0, 05)7 = 6000 � (1, 05)7 H" 6000 � 1, 4071 = 8442, 6
25 maj
Odp. Po 7 latach na koncie będzie 8442,6 zł.
matma235@o2.pl
Wpłacasz 8000 zł na konto oprocentowane na 4% w skali roku. Ile będzie pieniędzy na koncie
po 5 latach, jeżeli odsetki dopisywane są co pół roku?
Rozwiązanie:
Korzystamy z K = K0 � (1 + p)n
spis treści
K0= 8000
symbole
Odsetki są dopisywane co pół roku czyli 2 razy w roku. 4% w skali roku oznacza, że co pół
zgłoś błąd
roku dopisywane jest tylko 4% : 2 = 2%.
2
p = 2% = = 0, 02
100
25 maj
Odsetki są dopisywane 2 razy w roku, więc w ciągu 5 lat będą dopisywane 2 � 5 = 10 razy.
n = 10
K = 8000 � (1 + 0, 02)10 = 8000 � (1, 02)10 H" 8000 � 1, 22 = 9760
Odp. Po 5 latach na koncie będzie 9760 zł.
matma235@o2.pl
Wpłacasz 4000 zł na konto oprocentowane na 8% w skali roku. Ile będzie pieniędzy na koncie
po 9 latach, jeżeli odsetki dopisywane są co kwartał?
Rozwiązanie:
Korzystamy z K = K0 � (1 + p)n
spis treści
K0= 4000
symbole
Odsetki są dopisywane co kwartał (trzy miesiące) czyli 4 razy w roku. 8% w skali roku
zgłoś błąd
oznacza, że co kwartał dopisywane jest tylko 8% : 4 = 2%.
2
p = 2% = = 0, 02
100
25 maj
Odsetki są dopisywane 4 razy w roku, więc w ciągu 9 lat będą dopisywane 4 � 9 = 36 razy.
n = 36
K = 4000 � (1 + 0, 02)36 = 4000 � (1, 02)36 H" 4000 � 2, 0399 = 8159, 6
Odp. Po 9 latach na koncie będzie 8159,6 zł.
matma235@o2.pl
Nieskończony ciąg geometryczny
Suma nieskończonego ciągu geometrycznego
a1
S =
1 - q
spis treści
Wzór jest prawdziwy, jeżeli -1 < q < 1.
symbole
Przykłady:
zgłoś błąd
1 1 1 1
1
1 + + + + � � � a1 = 1 q = S = = 2
1
1-
25 maj
2 4 8 2 2
1
1 1 1 1 1 1
3
2
+ + + + � � � a1 = q = S = =
1
1- 4
2 6 18 54 2 3 3
1 1 1
8
8 - 4 + 2 - 1 + - + � � � a1 = 8 q = - S = = 51
1
3
1-(- )
2 4 2 2
matma235@o2.pl
" " " " "
Oblicz sumę nieskończonego ciągu geometrycznego
5 4 8
15 + 5 + + � � � 2 + + + � � �
3 5 25
Zamień ułamki okresowe dziesiętne na ułamki zwykłe
spis treści
0, (3) 2, (7) 0, (12) 0, 2(5)
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz sumę nieskończonego ciągu geometrycznego
5
15 + 5 + + � � �
3
Rozwiązanie:
spis treści
a1 = 15
symbole
Korzystamy z definicji
a2 = a1 � q
zgłoś błąd
5 = 15 � q / : 15
25 maj
5
q =
15
1
q =
3
1
q = spełnia nierówności: -1 < q < 1.
3
a1
Korzystamy z S =
1 - q
15 2 3 45 1
S = = 15 : = 15 � = = 22
1
1 - 3 2 2 2
3
matma235@o2.pl
Oblicz sumę nieskończonego ciągu geometrycznego
4 8
2 + + + � � �
5 25
Rozwiązanie:
spis treści
a1 = 2
symbole
Korzystamy z definicji
a2 = a1 � q
zgłoś błąd
4
= 2 � q / : 2
25 maj
5
4
q = : 2
5
4 1 4 2
q = � = =
5 2 10 5
2
q = spełnia nierówności: -1 < q < 1.
5
a1
Korzystamy z S =
1 - q
2 3 5 10 1
S = = 2 : = 2 � = = 3
2
1 - 5 3 3 3
5
matma235@o2.pl
Zamień ułamek okresowy dziesiętny na ułamek zwykły
0, (3)
Rozwiązanie:
spis treści
0, (3) = 0, 3333 . . .
symbole
= 0, 3 + 0, 03 + 0, 003 + 0, 0003 + � � �
zgłoś błąd
3 3 3 3
= + + + + � � �
10 100 1000 10000
25 maj
Otrzymaliśmy nieskończony ciąg geometryczny
3
a1 =
10
3 1 3 1
� = dlatego q =
10 10 100 10
a1
Korzystamy z S =
1 - q
3
3 9 3 10 3 1
10
S = = : = � = =
1
1 - 10 10 10 9 9 3
10
1
Odp. 0,(3)=
3
matma235@o2.pl
Zamień ułamek okresowy dziesiętny na ułamek zwykły
2, (7)
Rozwiązanie:
spis treści
2, (7) = 2, 7777 . . .
symbole
= 2 + 0, 7 + 0, 07 + 0, 007 + 0, 0007 + � � �
zgłoś błąd
7 7 7 7
= 2 + + + + + � � �
10 100 1000 10000
25 maj

nieskończony ciąg geometryczny
7
a1 =
10
7 1 7 1
� = dlatego q =
10 10 100 10
a1
Korzystamy z S =
1 - q
7
7 9 7 10 7
10
S = = : = � =
1
1 - 10 10 10 9 9
10
7 7
2, (7) = 2 + = 2
9 9
7
Odp. 2, (7) = 2
9
matma235@o2.pl
Zamień ułamek okresowy dziesiętny na ułamek zwykły
0, (12)
Rozwiązanie:
spis treści
0, (12) = 0, 121212 . . .
symbole
= 0, 12 + 0, 0012 + 0, 000012 + � � �
zgłoś błąd
12 12 12
= + + + � � �
100 10000 1000000
25 maj
Otrzymaliśmy nieskończony ciąg geometryczny
12
a1 =
100
12 1 12 1
� = dlatego q =
100 100 10000 100
a1
Korzystamy z S =
1 - q
12
12 99 12 100 12
100
S = = : = � =
1
1 - 100 100 100 99 99
100
12
Odp. 0,(12)=
99
matma235@o2.pl
Zamień ułamek okresowy dziesiętny na ułamek zwykły
0, 2(5)
Rozwiązanie:
spis treści
0, 2(5) = 0, 25555 . . .
symbole
= 0, 2 + 0, 05 + 0, 005 + 0, 0005 + 0, 00005 + � � �
zgłoś błąd
2 5 5 5 5
= + + + + + � � �
10 100 1000 10000 100000
25 maj

nieskończony ciąg geometryczny
5
a1 =
100
5 1 5 1
� = dlatego q =
100 10 1000 10
a1
Korzystamy z S =
1 - q
5
5 9 5 10 5 1
100
S = = : = � = =
1
1 - 100 10 100 9 90 18
10
2 1 36 10 46 23
0, 2(5) = + = + = =
10 18 180 180 180 90
23
Odp. 0,2(5)=
90
matma235@o2.pl
Proste granice
Przykłady granic, których wynik jest oczywisty.
lim n = " dla 3n2, 5n3, 8n5, n7, . . . też "
n"
lim (-n) = -" dla -3n2, -5n3, -8n5, -n7, . . . też -"
n"
spis treści
symbole
1 -2 3 8 -9
lim = 0 dla , , , , . . . też 0
zgłoś błąd
n"
n n n2 n n3
25 maj
Jeżeli a > 1 to lim an = "
n"
n n
1 5
lim 2n = " dla 8n, 2n, 1 , , . . . też "
n"
3 4
Jeżeli |a|< 1 to lim an = 0
n"
n n n
1 2 3 4
lim = 0 dla - , (0, 3)n, - , , . . . też 0
n"
2 3 5 7n
matma235@o2.pl
Odgadywanie prostych granic
ciąg granica
lim n = " 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . "
n"
spis treści lim (-n) = " -1, -2, -3, -4, -5, -6, . . . -"
n"
symbole
1 1 1 1 1 1 1
zgłoś błąd
lim = 0 , , , , , , . . . 0
n"
n 1 2 3 4 5 6
25 maj
lim 2n = " 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . . "
n"
n
1 1 1 1 1 1 1
lim = 0 , , , , , , . . . 0
n"
2 2 4 8 16 32 64
matma235@o2.pl
" " " " "
Oblicz granice:
2 4 3
lim lim lim
n" n" - 2n n2 + 5n
n"
n + 4 6
Oblicz granice:
spis treści
5n2 + 3n - 2 4n + 2 n5 - 2n3 + 5
symbole
lim lim lim
n" n" - 2n + 4 n3
n" - n + 2
2n2 + 5 7n2
zgłoś błąd
Oblicz granice:
2n + 4n 8n - 5 4n+1 + 5 � 3n
25 maj
lim lim lim
n" n" n"
5n + 3n 2n + 6n 8 � 4n-1 - 7
matma235@o2.pl
Oblicz granice:
2
lim
n"
n + 4
Rozwiązanie:
Wyciągamy przed nawias największą potęgę.
spis treści
symbole 0
zgłoś błąd
2 2 1 2 2
n2 =
lim = lim lim = lim � = 0 � = 0
4 4 4
n" n" n" n"
n + 4 n + n 1 + n 1 + 1
n n n n
25 maj
0
Korzystamy z prostych granic.
matma235@o2.pl
Oblicz granice:
4
lim
n" - 2n
6
Rozwiązanie:
Wyciągamy przed nawias największą potęgę.
spis treści
symbole
zgłoś błąd 4 4 4
=
lim = lim lim =
6 2n 6
n" - 2n n - n - 2
n" n"
6
n n n
25 maj
1 4 4
= lim � = 0 � = 0
6
n"
n - 2 -2
n
0
0
Korzystamy z prostych granic.
matma235@o2.pl
Oblicz granice:
3
lim
n"
n2 + 5n
Rozwiązanie:
Wyciągamy przed nawias największą potęgę.
spis treści
symbole
zgłoś błąd 3 3 3
=
lim = lim n2 5n lim =
5
n" n" n"
n2 + 5n n2 � 1 +
n2 � +
n
n2 n2
25 maj
1 3 3
= lim � = 0 � = 0
n"
n2 5 1
1 +
n
0
0
Korzystamy z prostych granic.
matma235@o2.pl
Oblicz granice:
5n2 + 3n - 2
lim
n"
2n2 + 5
Rozwiązanie:
Wyciągamy przed nawias największą potęgę.
spis treści
symbole
zgłoś błąd
0 0

5n2 3n 2
3 2
n2 � + -
5n2 + 3n - 2 n2 n2 n2 5 + - 5 1
25 maj
n n2
=
lim = lim 2n2 5 lim = = 2
5
n" n" n"
2n2 + 5 2 + 2 2
n2 � +
n2
n2 n2
0
Korzystamy z prostych granic.
matma235@o2.pl
Oblicz granice:
4n + 2
lim
n" - 2n + 4
7n2
Rozwiązanie:
Wyciągamy przed nawias największą potęgę.
spis treści
symbole

4n 2
zgłoś błąd
n � +
4n + 2
lim = lim 7n2 n n =
2n 4
n" - 2n + 4
n"
7n2
n2 � - +
n2 n2 n2
25 maj
0
0
2
4 +
1 4
n
=
lim � = 0 � = 0
2 4
n"
n - + 7
7
n n2
0 0
Korzystamy z prostych granic.
matma235@o2.pl
Oblicz granice:
n5 - 2n3 + 5
lim
n" - n + 2
n3
Rozwiązanie:
Wyciągamy przed nawias największą potęgę.
spis treści
symbole

zgłoś błąd
2n3 5
n5 n5 - +
n5 - 2n3 + 5 n5 n5 n5
lim = lim =
n 2
25 maj n" - n + 2
n"
n3
n3 n3 - +
n3 n3 n3
0
0
"
2 5
1 - +
1
n2 n5
=
lim n2 � = " � = "
1 2
n"
1 - + 1
n2 n3
0 0
Korzystamy z prostych granic.
matma235@o2.pl
Oblicz granice:
2n + 4n
lim
n"
5n + 3n
Rozwiązanie:
Wyciągamy przed nawias największą potęgę.
spis treści
symbole
0 0
zgłoś błąd
2n 4n
n 2 n
4n + + 1
2n + 4n 4 1
4
4n 4n
lim = lim = lim 3 n = 0 � = 0
25 maj
3n
n" n" n"
5n + 3n 5 1
5n 5n + 1 +
5n 5n 5
0
Korzystamy z prostych granic.
matma235@o2.pl
Oblicz granice:
8n - 5
lim
n"
2n + 6n
Rozwiązanie:
Wyciągamy przed nawias największą potęgę.
spis treści
symbole
" 0
zgłoś błąd
8n 5
n 1 n
8n - 1
8n - 5 8 - 5
1
8n 8n
lim = lim = lim n 8 = " � = "
25 maj
6n
2
n" n" n"
2n + 6n 6 1
6n 2n + + 1
6n 6n 6
0
Korzystamy z prostych granic.
matma235@o2.pl
Oblicz granice:
4n+1 + 5 � 3n
lim
n"
8 � 4n-1 - 7
Rozwiązanie:
Na początku rozkładamy składniki ułamka, a następnie wyciągamy przed nawias największą
spis treści
potęgę.
symbole
4n 5�3n
zgłoś błąd
4n �4 +
4n+1 + 5 � 3n 4n � 4 + 5 � 3n
4n 4n
=
lim lim = lim =
n" n" n" 7
8 � 4n-1 - 7 8 � 4n � 4-1 - 7
25 maj
4n 8�4n�4-1 -
4n 4n
0
3 n
4 + 5
4
4
= lim 1 n = = 2
1
n"
2
8 � - 7
4 4
0
Korzystamy z prostych granic.
matma235@o2.pl
Upraszczanie
Przykłady:
5n 3n2
= 5 = 3
n n2
spis treści
6n5 6n2 � n3 4n7 4n � n6

= =
symbole = 6n3 = 4n6
n2 n2 n n
zgłoś błąd
n3 n3 1 3n2 3n2 3

25 maj
= =
= =
n5 n3 � n2 n2 n6 n2 � n4 n4
matma235@o2.pl
Proste granice przy x "
Przykłady granic, których wynik jest oczywisty.
lim x = " dla 2x, 5x2, 7x3, . . . też "
x"
lim (-x) = -" dla -2x, -5x2, -7x3, . . . też -"
x"
spis treści
symbole
1 1 5 7 9
lim = 0 dla , - , , - , . . . też 0
zgłoś błąd
x"
x 2x x2 x3 x4
25 maj
matma235@o2.pl
Odgadywanie prostych granic przy x "
x 1 2 3 4 "
lim 2x = "
x"
2x 2 4 6 8 "
spis treści
symbole
x 1 2 3 4 "
zgłoś błąd
lim (-2x) = -"
n"
-2x -2 -4 -6 -8 -"
25 maj
x 1 2 3 4 "
1
lim = 0
1 1 1 1 1
n"
2x
0
2x 2 4 6 8

x 1 2 3 4 "
5
lim - = 0
5 5 5
n"
x2
- -5 -5 - - 0
x2 1 4 9 16
matma235@o2.pl
Proste granice przy x -"
Przykłady granic, których wynik jest oczywisty.
nieparzyste

lim x = -" dla x3, x5, 2x7, . . . też -"
x-"
spis treści
parzyste

symbole
lim x2 = " dla x4, x6, 3x8, . . . też "
zgłoś błąd
x-"
1 1 1 2 3
25 maj
lim = 0 dla - , , - , , . . . też 0
x-"
x x2 x3 x4 x5
matma235@o2.pl
Odgadywanie prostych granic przy x -"
x -1 -2 -3 -4 -"
lim x3 = "
x-"
x3 -1 -8 -27 -64 -"
spis treści
symbole
x -1 -2 -3 -4 -"
zgłoś błąd
lim x2 = -"
n-"
x2 1 4 9 16 "
25 maj
x -1 -2 -3 -4 -"
1
lim = 0
1 1
n-"
x
-1 -1 - -1 0
2x 1 2 3 4
x -1 -2 -3 -4 -"
1
lim = 0
1 1 1 1 1
n-"
x2
- 0
x2 1 4 9 16
matma235@o2.pl
" " " " " "
Oblicz granice:
lim (x2 - 5x + 2) lim (-2x3 + x2 - 4)
x" x"


lim 2x3 - 3x lim -3x2 5x2 + 7
spis treści
x" x"
symbole
Oblicz granice:
zgłoś błąd
2x3 - 4x + 5 x5 - 2x3 + 3x
lim lim
25 maj
x" - 8x + 4 x2
x" - 1
7x3
x3 - 8x2 -3x5 + 2x3 - 1
lim lim
x" - 3x + 2 5x + 7
x"
2x4
matma235@o2.pl
Oblicz granice:
lim (x2 - 5x + 2)
x"
Rozwiązanie:
Wyciągamy przed nawias największą potęgę:
spis treści

symbole
x2 5x 2
lim (x2 - 5x + 2) = lim x2 - + =
zgłoś błąd
x" x"
x2 x2 x2
0 0
25 maj
"

5 2
=
lim x2 1 - + = " � 1 = "
x"
x x2
Korzystamy z prostych granic przy x "
matma235@o2.pl
Oblicz granice:
lim (-2x3 + x2 - 4)
x"
Rozwiązanie:
Wyciągamy przed nawias największą potęgę:
spis treści

symbole
-2x3 x2 4
lim (-2x3 + x2 - 4) = lim x3 + - =
zgłoś błąd
x" x"
x3 x3 x3
0 0
25 maj
"

1 4
=
lim x3 -2 + - = " � (-2) = -"
x"
x x3
Korzystamy z prostych granic przy x "
matma235@o2.pl
Oblicz granice:

lim 2x3 - 3x
x"
Rozwiązanie:
Wyciągamy przed nawias największą potęgę:
spis treści
symbole


zgłoś błąd

2x3 3x 3
lim 2x3 - 3x = lim x3 - =
lim x3 2 - = "
x" x" x"
x3 x3 x2
25 maj
"
0
Korzystamy z prostych granic przy x "
matma235@o2.pl
Oblicz granice:


lim -3x2 5x2 + 7
x"
Rozwiązanie:
Wyciągamy przed nawias największą potęgę:
spis treści
symbole
zgłoś błąd




5x2 7
lim -3x2 5x2 + 7 = lim -3x2 x2 +
25 maj
x" x"
x2 x2



7
= -3x2 x2 5 + = -" � " = -"
lim
x"
x2
-" "
0
Korzystamy z prostych granic przy x "
matma235@o2.pl
Oblicz granice:
2x3 - 4x + 5
lim
x" - 8x + 4
7x3
Rozwiązanie:
Wyciągamy przed nawias największą potęgę:
spis treści
symbole
0 0
zgłoś błąd

4x 5
4 5
x3 2x3 - +
2x3 - 4x + 5 x3 x3 x3 2
2
- +
x2 x3
25 maj
=
lim = lim lim =
8 4
8x 4
x" - 8x + 4 7 - + 7
x" x"
7x3
x3 7x3 - +
x2 x3
x3 x3 x3
0 0
Korzystamy z prostych granic przy x "
matma235@o2.pl
Oblicz granice:
x5 - 2x2 + 3x
lim
x" - 1
x2
Rozwiązanie:
Wyciągamy przed nawias największą potęgę:
spis treści
symbole

2x2 3x
zgłoś błąd
x5 x5 - +
x5 - 2x2 + 3x x5 x5 x5
lim = lim x2 1
x" - 1
x"
x2
x2 -
25 maj
x2 x2
0 0
"
2 3
1 - +
1
x3 x4
=
lim x3 � = " � = "
1
x"
1 - 1
x2
0
Korzystamy z prostych granic przy x "
matma235@o2.pl
Oblicz granice:
x3 - 8x2
lim
x" - 3x + 2
2x4
Rozwiązanie:
Wyciągamy przed nawias największą potęgę:
spis treści
symbole

8x2
zgłoś błąd
x3 x3 -
x3 - 8x2 x3 x3
lim = lim =
3x 2
x" - 3x + 2
x"
2x4
x4 2x4 - +
25 maj
x4 x4 x4
0
0
8
1
1
1 -
x
=
lim � = 0 � = 0
3 2
x"
x - + 2
2
x3 x4
0 0
Korzystamy z prostych granic przy x "
matma235@o2.pl
Oblicz granice:
-3x5 + 2x3 - 1
lim
x"
5x + 7
Rozwiązanie:
Wyciągamy przed nawias największą potęgę:
spis treści
symbole

2x3 1
zgłoś błąd
x5 -3x5 - -
-3x5 + 2x3 - 1 x5 x5 x5

lim = lim =
5x 7
x" x"
5x + 7
x +
25 maj
x x
0 0
"
2 1
-3 - -
-3
x2 x5
=
lim x4 � = " � = -"
7
x"
5 + 5
x
0
Korzystamy z prostych granic przy x "
matma235@o2.pl
Oblicz granice:
lim (x3 - 2x + 4)
x-"
Rozwiązanie:
Wyciągamy przed nawias największą potęgę:
spis treści

symbole
x3 2x 4
lim (x3 - 2x + 4) = lim x3 - + =
zgłoś błąd
x-" x-"
x3 x3 x3
0 0
25 maj
-"

2 4
=
lim x3 1 - + = -" � 1 = -"
x-"
x2 x3
Korzystamy z prostych granic przy x -"
matma235@o2.pl
Oblicz granice:
lim (x4 - 2x2 + 5x)
x-"
Rozwiązanie:
Wyciągamy przed nawias największą potęgę:
spis treści

symbole
x4 2x2 5x
lim (x4 - 2x2 + 5x) = lim x4 - + =
zgłoś błąd
x-" x-"
x4 x4 x4
25 maj 0 0
"

2 5
=
lim x4 1 - + = " � 1 = "
x-"
x2 x3
Korzystamy z prostych granic przy x -"
matma235@o2.pl
Oblicz granice:
lim (-3x + 5)
x-"
Rozwiązanie:
Wyciągamy przed nawias największą potęgę:
spis treści

symbole
-3x 5
lim (-3x + 5) = lim x - =
zgłoś błąd
x-" x-"
x x
0
25 maj
-"

5
=
lim x -3 - = -" � (-3) = "
x-"
x
Korzystamy z prostych granic przy x -"
matma235@o2.pl
Oblicz granice:
lim (-5x2 - 3x + 1)
x-"
Rozwiązanie:
Wyciągamy przed nawias największą potęgę:
spis treści

symbole
-5x2 3x 1
lim (-5x2 - 3x + 1) = lim x2 - + =
zgłoś błąd
x-" x-"
x2 x2 x2
0 0
25 maj
"

3 1
=
lim x2 -5 - + = " � (-5) = -"
x-"
x x2
Korzystamy z prostych granic przy x -"
matma235@o2.pl
Oblicz granice:

lim 6x2 - 3x + 1
x-"
Rozwiązanie:
Wyciągamy przed nawias największą potęgę:
spis treści

symbole


6x2 3x 1
zgłoś błąd
lim 6x2 - 3x + 1 = lim x2 - + =
x-" x-"
x2 x2 x2
25 maj


3 1
=
lim x2 6 - + = "
x-"
x x2
"
0 0
Korzystamy z prostych granic przy x -"
matma235@o2.pl
Oblicz granice:

lim x x4 - 2x3
x-"
Rozwiązanie:
Wyciągamy przed nawias największą potęgę:
spis treści

symbole


x4 2x3
zgłoś błąd
lim x x4 - 2x3 = lim x x4 - =
x-" x-"
x4 x4
25 maj


2
=
lim x x4 1 - = -" � " = -"
x-"
x
"
-"
0
Korzystamy z prostych granic przy x -"
matma235@o2.pl
Oblicz granice:
2x2 - 3x + 1
lim
x-" - 5
4x2
Rozwiązanie:
Wyciągamy przed nawias największą potęgę:
spis treści
symbole

3x 1
zgłoś błąd
x2 2x2 - +
2x2 - 3x + 1 x2 x2 x2
lim = lim
5
x-" - 5
x-"
4x2
x2 4x2 -
25 maj
x2 x2
0 0
3 1
2 - +
2 1
x x2
=
lim = =
5
x-"
4 - 4 2
x2
0
Korzystamy z prostych granic przy x -"
matma235@o2.pl
Oblicz granice:
x4 + 2x3 + 3x
lim
x-" - 5x
x3
Rozwiązanie:
Wyciągamy przed nawias największą potęgę:
spis treści
symbole

2x3 3x
zgłoś błąd
x4 x4 - +
x4 + 2x3 + 3x x4 x4 x4
lim = lim x3 5x
x-" - 5x
x-"
x3
x3 -
25 maj
x3 x3
0 0
-"
2 3
1 - +
1
x x3
=
lim x � = -" � = -"
5
x-"
1 - 1
x2
0
Korzystamy z prostych granic przy x -"
matma235@o2.pl
Oblicz granice:
-3x2 + 1
lim
x-" - 2x3 + x2
x5
Rozwiązanie:
Wyciągamy przed nawias największą potęgę:
spis treści
symbole

1
zgłoś błąd
x2 -3x2 +
-3x2 + 1 x2 x2
lim = lim x5 2x3 x2
x-" - 2x3 + x2
x-"
x5
x5 - +
25 maj
x5 x5 x5
0
0
1
-3
1 -3 +
x2
=
lim � = 0 � = 0
2 1
x-"
x3 - + 1
1
x2 x3
0 0
Korzystamy z prostych granic przy x -"
matma235@o2.pl
Oblicz granice:
-5x5 + 3x
lim
x-" - 2
x2
Rozwiązanie:
Wyciągamy przed nawias największą potęgę:
spis treści
symbole

3x
zgłoś błąd
x5 -5x5 +
-5x5 + 3x x5 x5
lim = lim x2 2
x-" - 2
x-"
x2
x2 -
25 maj
x2 x2
0
-"
3
-5 +
-5
x4
=
lim x3 � = -" � = "
2
x-"
1 - 1
x2
0
Korzystamy z prostych granic przy x -"
matma235@o2.pl
Granica i pochodna funkcji
wzory, twierdzenia, definicje
" wyrażenia nieoznaczone
" granica funkcji w "
" granica funkcji w -"
" granica właściwa funkcji w punkcie
spis treści
symbole " definicja pochodnej funkcji
" proste pochodne
zgłoś błąd
" działania na pochodnych
" styczna do krzywej
25 maj
" badanie monotoniczności za pomocą pochodnej
" ekstrema
przykłady
matma235@o2.pl
Wzory, definicje, twierdzenia (Granica i pochodna funkcji)
" Proste granice przy x "
" Proste granice przy x -"
" Wyrażenia nieoznaczone
" Definicja pochodnej funkcji
spis treści
" Proste pochodne
symbole " Działania na pochodnych
" Styczna do krzywej
zgłoś błąd
" Badanie monotoniczności za pomocą pochodnej
" Ekstrema
25 maj
matma235@o2.pl
" " " " " "
Oblicz granice:
lim (x3 - 2x + 4) lim (x4 - 2x2 + 5x)
x-" x-"

lim (-3x + 5) lim -5x2 - 3x + 1
spis treści
x-" x-"

symbole
lim 6x2 - 3x + 1 lim x x4 - 2x3
x-" x-"
zgłoś błąd
Oblicz granice:
25 maj
2x2 - 3x + 1 x4 + 2x3 + 3x
lim lim
x-" - 5 x3
x-" - 5x
4x2
-3x2 + 1 -5x5 + 3x
lim lim
x-" - 2x3 + x2 x2
x-" - 2
x5
matma235@o2.pl
Wyrażenia nieoznaczone
Przy liczeniu granicy funkcji możemy otrzymać wyrażenie nieoznaczone:
0 "
0 � " " - " - " + "
0 "
spis treści
Należy wtedy zacząć liczyć od początku, przekształcając funkcję w inny sposób.
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
" " " " " "
Granica właściwa funkcji w punkcie
Oblicz granice:
lim x2 lim (x3 - 4x + 1)
x5 x2
spis treści
symbole Oblicz granice:
zgłoś błąd
x2 - 1 x + 2
lim lim
x1 - 1 x2
x-2 - 4
x
25 maj
x3 - 8 x2 - 4x + 3
lim lim
x2 - 2 x
x3 - 3
x
x2 - 4x + 4 x4 - 1
lim lim
x2 - x - 2 x
x1 - 1
x2
matma235@o2.pl
Oblicz granice:
lim x2
x5
Rozwiązanie:
Dla prostych funkcji granice liczymy tak:
spis treści
lim x2 = 52 = 25
symbole
x5
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz granice:
lim (x3 - 4x + 1)
x2
Rozwiązanie:
Dla prostych funkcji granice liczymy tak:
spis treści
lim (x3 - 4x + 1) = 23 - 4 � 2 + 1 = 8 - 8 + 1 = 1
symbole
x2
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz granice:
x2 - 1
lim
x1 - 1
x
Rozwiązanie:
0
Jeżeli za x podstawimy 1 to otrzymamy wyrażenie nieoznaczone
0
spis treści
Liczymy inaczej:
symbole
zgłoś błąd x2 - 1 (x - 1)(x + 1)

=
lim lim = lim (x + 1) = 1 + 1 = 2
x1 - 1 x
x1 - 1
x1
x
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz granice:
x + 2
lim
x-2 - 4
x2
Rozwiązanie:
0
Jeżeli za x podstawimy -2 to otrzymamy wyrażenie nieoznaczone
0
spis treści
Liczymy inaczej:
symbole
x + 2 x + 2 1 1 1
zgłoś błąd
=
lim lim = lim = = -
x-2 - 4 (x x
x-2 - 2)(x + 2)
x-2 - 2 -2 - 2 4
x2
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz granice:
x3 - 8
lim
x2 - 2
x
Rozwiązanie:
0
Jeżeli za x podstawimy 2 to otrzymamy wyrażenie nieoznaczone
0
spis treści
Liczymy inaczej:
symbole
zgłoś błąd x3 - 8 (x - 2)(x2 + 2x + 4)

=
lim lim =
x2 - 2 x - 2
x2
x
25 maj
= lim (x2 + 2x + 4) = 22 + 2 � 2 + 4 = 4 + 4 + 4 = 12
x2
matma235@o2.pl
Oblicz granice:
x2 - 4x + 3
lim
x3 - 3
x
Rozwiązanie:
0
Jeżeli za x podstawimy 3 to otrzymamy wyrażenie nieoznaczone
0
spis treści
Liczymy inaczej:
symbole
zgłoś błąd
x2 - 4x + 3
"= (-4)2 - 4 � 1 � 3 = 16 - 12 = 4
25 maj
" "
" = 4 = 2
-(-4) - 2 4 - 2 2
x1= = = = 1
2 � 1 2 2
-(-4) + 2 4 + 2 6
x2= = = = 3
2 � 1 2 2
postać iloczynowa: (x - 1)(x - 3)
x2 - 4x + 3 (x - 1)(x - 3)
lim = lim = lim (x - 1) = 3 - 1 = 2
x3 - 3 x
x3 - 3
x3
x
matma235@o2.pl
Oblicz granice:
x2 - 4x + 4
lim
x2 - x - 2
x2
Rozwiązanie:
0
Jeżeli za x podstawimy 2 to otrzymamy wyrażenie nieoznaczone
0
spis treści
Liczymy inaczej:
symbole
x2 - 4x + 4 = (x - 2)2
zgłoś błąd
x2 - x - 2 = (x + 1)(x - 2)
25 maj
x2 - 4x + 4 (x - 2)2 x - 2 2 - 2 0
lim = lim = lim = = = 0
x2 - x - 2 (x + 1)(x - 2) x + 1 2 + 1 3
x2 x2
x2
matma235@o2.pl
x2 - 4x + 4
"= (-4)2 - 4 � 1 � 4 = 16 - 16 = 0
-(-4) 4
x1= = = 2
2 � 1 2
spis treści
postać iloczynowa: (x - 2)2
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
x2 - x - 2
"= (-1)2 - 4 � 1 � (-2) = 1 + 8 = 9
" "
" = 9 = 3
-(-1) - 3 1 - 3 -2
x1= = = = -1
2 � 1 2 2
spis treści
symbole
-(-1) + 3 1 + 3 4
x2= = = = 2
zgłoś błąd
2 � 1 2 2

postać iloczynowa: x - (-1) (x - 2) = (x + 1)(x - 2)
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz granice:
x4 - 1
lim
x1 - 1
x
Rozwiązanie:
0
Jeżeli za x podstawimy 1 to otrzymamy wyrażenie nieoznaczone
0
spis treści
Liczymy inaczej:
symbole
zgłoś błąd x4 - 1 (x2)2 - 1 (x2 - 1)(x2 + 1)

=
lim = lim lim =
x1 - 1 x x
x1 - 1
x1 - 1
x
25 maj
(x
- 1)(x + 1)(x2 + 1)
=
lim = lim (x + 1)(x2 + 1) =
x1 x1
x - 1
= (1 + 1)(12 + 1) = 2 � 2 = 4
matma235@o2.pl
Definicja pochodnej funkcji
Jeżeli istnieje skończona granica
f(x0 + h) - f(x0)
f (x0) = lim
h0 h
spis treści
to nazwywamy ją pochodną funkcji w punkcje x0.
symbole
Określenie, funkcja jest różniczkowalna w punkcie x0, oznacza, że funkcja ma pochodną w
zgłoś błąd
punkcie x0.
25 maj
matma235@o2.pl
" " " " " "
Korzystając z definicji, oblicz pochodną funkcji f w punkcie x0
f(x) = 4x x0 = 3 f(x) = 3x2 + 4 x0 = 5
"
3
f(x) = x0 = 4 f(x) = x x0 = 1
x+2
spis treści
Oblicz pochodną funkcji:
symbole
zgłoś błąd f(x) = 5x f(x) = x4
f(x) = 3x7 f(x) = 5x - 3
25 maj
f(x) = x5 + x2 + 4 f(x) = 6x4 - 3x2 + 5x
"
"
3
f(x) = 3 x f(x) = x2
"
2 4
f(x) = f(x) = + x
x3 x
Oblicz pochodną funkcji:
x 3x+4 x2-2x
f(x) = f(x) = f(x) =
x+3 2x-1 x3
matma235@o2.pl
Proste pochodne
Wzory: Przykłady:
(c) = 0 (2) = 0
(100) = 0
spis treści
(ax) = a (x) = 1
symbole
(3x) = 3
zgłoś błąd
(xn) = nxn-1 (x3) = 3x2
25 maj
(x5) = 5x4
a
1
a
1
= - = -
x x2
x x2
3
3
= -
x x2
"
1
x = "
2 x
matma235@o2.pl
Działania na pochodnych
Wzory: Przykłady:

=
(f + g) = f + g (x2 + x3) = (x2) + (x3) 2x + 3x2
spis treści
=
(f - g) = f - g (x4 - x) = (x4) - (x) 4x3 - 1
symbole
zgłoś błąd
(c � f) = c � f (5x3) = 5 � (x3) = 5 � 3x2 = 15x2
" " "
25 maj
(f � g) = f g + fg (x2 x) = (x2) x + x2( x) =
"
1
= "
2x x + x2 � =
2 x
"
x2
= 2x x + "
2 x
" "
f f g - fg x2 (x2) x - x2( x)
= " = " =
g g2 x ( x)2
"
"
2x x - x2 1

2 x
=
=
x
"
1
"
x(2 x - x )
"
x
2 x
= = 2 x - "
x 2 x
matma235@o2.pl
Korzystając z definicji, oblicz pochodną funkcji f w punkcie x0
f(x) = 4x x0 = 3
Rozwiązanie:
spis treści
Definicja pochodnej
symbole
f(3) = 4 � 3 = 12
zgłoś błąd
f(3 + h) = 4 � (3 + h) = 12 + 4h
f(3 + h) - f(3) 12 + 4h - 12 4h
25 maj
= =
f (3) lim = lim = lim 4
h0 h h0 h h0 h
matma235@o2.pl
Korzystając z definicji, oblicz pochodną funkcji f w punkcie x0
f(x) = 3x2 + 4 x0 = 5
Rozwiązanie:
spis treści
Definicja pochodnej
symbole
f(5) = 3 � 52 + 4 = 3 � 25 + 4 = 79
zgłoś błąd

=
f(5 + h) = 3 � (5 + h)2 + 4 3(25 + 10h + h2) + 4 =
25 maj
= 75 + 30h + 3h2 + 4 = 79 + 30h + 3h2
f(5 + h) - f(5) 79 + 30h + 3h2 - 79 h(30 + 3h)
=
f (5) lim = lim = lim =
h0 h h0 h h0 h

=
= lim (30 + 3h) 30 + 3 � 0 = 30
h0
matma235@o2.pl
Korzystając z definicji, oblicz pochodną funkcji f w punkcie x0
3
f(x) = x0 = 4
x + 2
Rozwiązanie:
spis treści
Definicja pochodnej
symbole
3 3 1
f(4) = = =
4+2 6 2
zgłoś błąd
3 3
f(4 + h) = =
4+h+2 6+h
25 maj
6 6+h
3 1
-
-
f(4 + h) - f(4)
2(6+h) 2(6+h)
6+h 2
=
f (4) lim = lim = lim =
h0 h h0 h h0 h
6 - 6 - h 1 -h 1 -1
= lim � = lim � = lim =
h0 2(6 + h) h 2(6 + h) h 2(6 + h)
h0 h0
-1 1
=
= -
2(6 + 0) 12
matma235@o2.pl
Korzystając z definicji, oblicz pochodną funkcji f w punkcie x0
"
f(x) = x x0 = 1
Rozwiązanie:
Definicja pochodnej
spis treści
"
symbole
f(1) = 1 = 1
"
zgłoś błąd
f(1 + h) = 1 + h
25 maj
"
f(1 + h) - f(1) 1 + h - 1
=
f (1) lim = lim =
h0 h h0 h
" " "
( 1 + h - 1)( 1 + h + 1) ( 1 + h)2 - 12
= lim " = " =
lim
h0 h0
h( 1 + h + 1) h( 1 + h + 1)
1 + h - 1 h 1
= lim " = lim " = lim " =
h0 h0 h0
h( 1 + h + 1) h( 1 + h + 1) 1 + h + 1
1 1
= " =
2
1 + 0 + 1
matma235@o2.pl
Oblicz pochodną funkcji
f(x) = 5x
Rozwiązanie:

=
f (x) = (5x) 5
spis treści
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz pochodną funkcji
f(x) = x4
Rozwiązanie:

=
f (x) = (x4) 4x3
spis treści
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz pochodną funkcji
f(x) = 3x7
Rozwiązanie:

=
f (x) = (3x7) = 3(x7) 3 � 7x6 = 21x6
spis treści
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz pochodną funkcji
f(x) = 5x - 3
Rozwiązanie:

=
f (x) = (5x - 3) = (5x) - (3) 5 - 0 = 5
spis treści
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz pochodną funkcji
f(x) = x5 + x2 + 4
Rozwiązanie:
spis treści

= =
f (x) = (x5 + x2 + 4) (x5) + (x2) + (4) 5x4 + 2x + 0 = 5x4 + 2x
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz pochodną funkcji
f(x) = 6x4 - 3x2 + 5x
Rozwiązanie:
spis treści

=
f (x) = (6x4 - 3x2 + 5x) (6x4) - (3x2) + (5x) =
symbole

zgłoś błąd = - 3(x2) + 5(x) 6 � 4x3 - 3 � 2x + 5 � 1 = 24x3 - 6x + 5
=
6(x4)
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz pochodną funkcji
"
f(x) = 3 x
Rozwiązanie:
" "
1 3
= = " "
f(x) = (3 x) 3( x) 3 � =
spis treści
2 x 2 x
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz pochodną funkcji
"
3
f(x) = x2
Rozwiązanie:
2 2 2 1
"
1 2
3
-1
3 3 3
= =
f(x) = ( x2) (x2)3 = x x = x- =
spis treści
3 3
symbole
2 1 2 1 2
zgłoś błąd = " "
� = � =
1
3
x3 3 3 x 3 3 x
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz pochodną funkcji
2
f(x) =
x3
Rozwiązanie:

spis treści 2 -6
= =
f (x) = (2x-3) 2 � (-3)x-3-1 = -6x-4 =
symbole x3 x4
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz pochodną funkcji
"
4
f(x) = + x
x
Rozwiązanie:

" "
spis treści 4 4 4 1
= =
f (x) = + x + ( x) - + "
symbole x x x2 2 x
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz pochodną funkcji
x
f(x) =
x + 3
Rozwiązanie:

x (x) (x + 3) - x(x + 3)
spis treści
=
f(x) = =
x + 3 (x + 3)2
symbole
zgłoś błąd
1 � (x + 3) - x � 1 x + 3 - x 3

= =
=
(x + 3)2 x2 + 6x + 9 x2 + 6x + 9
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz pochodną funkcji
3x + 4
f(x) =
2x - 1
Rozwiązanie:
spis treści

3x + 4 (3x + 4) (2x - 1) - (3x + 4)(2x - 1)
symbole
=
f(x) = =
2x - 1 (2x - 1)2
zgłoś błąd
3 � (2x - 1) - (3x + 4) � 2 6x - 3 - 6x - 8 -11

25 maj
= =
=
(2x - 1)2 4x2 - 4x + 1 4x2 - 4x + 1
matma235@o2.pl
Oblicz pochodną funkcji
x2 - 2x
f(x) =
x3
Rozwiązanie:

spis treści
x2 - 2x (x2 - 2x) x3 - (x2 - 2x)(x3)

=
f(x) = =
symbole
x3 (x3)2
zgłoś błąd
(2x
- 2) � x3 - (x2 - 2x) � 3x2
=
(x3)2
25 maj
2x4
- 2x3 - 3x4 + 6x3 -x4 + 4x3
=
=
x6 x6
matma235@o2.pl
" " " " " "
Zastosowanie pochodnej
Znajdz
równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = x3 w punkcie o
współrzędnej x0 = 2.
spis treści
Zbadaj monotoniczność funkcji:
symbole
f(x) = x3 + 6x f(x) = -2x5 - x3
zgłoś błąd
f(x) = x3 - 12x f(x) = -2x3 - 3x2 + 12x + 5
25 maj
matma235@o2.pl
Styczna do krzywej
y
spis treści
f(x)
symbole
zgłoś błąd
x
25 maj
Równanie stycznej
y - f(x0) = f (x0)(x - x0)
matma235@o2.pl
Znajdz
równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = x3 w punkcie o współrzędnej x0 = 2.
Rozwiązenie:
y - f(x0) = f (x0)(x - x0)
x0 = 2
f(2) = 23 = 8
spis treści

=
symbole f (x) = (x3) 3x2
f (2) = 3 � 22 = 12
zgłoś błąd
y - 8 = 12(x - 2)
25 maj
y - 8 = 12x - 24
y = 12x - 24 + 8
y = 12x - 16
matma235@o2.pl
Badanie monotoniczności funkcji za pomocą pochodnej
Jeżeli dla każdego x " (a, b)
f (x) > 0
to funkcja f(x) jest rosnąca w przedziale (a,b).
spis treści
symbole
zgłoś błąd
Jeżeli dla każdego x " (a, b)
f (x) < 0
25 maj
to funkcja f(x) jest malejąca w przedziale (a,b).
matma235@o2.pl
Zbadaj monotoniczność funkcji
f(x) = x3 + 6x
Rozwiązanie:
f(x) = x3 + 6x

=
f (x) = (x3 + 6x) 3x2 + 6 = 3(x2 + 2) > 0 dla wszystkich x " R
spis treści
symbole
zgłoś błąd f (x) > 0 dla x " R co oznacza, że funkcja jest rosnąca.
25 maj
matma235@o2.pl
Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym
przyprostokątna naprzeciw ą przyprostokątna przy ą
sin ą = cos ą =
przeciwprostokątna przeciwprostokątna
przyprostokątna naprzeciw ą przyprostokątna przy ą
spis treści
tg ą = ctg ą =
przyprostokątna przy ą przyprostokątna naprzeciw ą
symbole
zgłoś błąd
25 maj
Przykłady:
a
b
sin ą =
sin � =
c
c
�
b a
cos ą = cos � =
c
c c
a
a
b
tg ą =
tg � =
b
a
ą
b a
ctg ą = ctg � =
b
a b
matma235@o2.pl
Wartości funkcji trygonometrycznych 0ć%, 30ć%, 45ć%, 60ć%, 90ć%.
ą 0ć% 30ć% 45ć% 60ć% 90ć%
" "
spis treści 1 2 3
sin ą 0 1
2 2 2
" "
symbole
3 2 1
cos ą 1 0
2 2 2
zgłoś błąd
"
"
3
tg ą 0 1 3 -
3
25 maj "
"
3
ctg ą - 3 1 0
3
matma235@o2.pl
Miara kąta na podstawie wartości funkcji trygonometrycznych
Przykład
Dla jakiego kąta ą sin ą = 0, 32 ?
Uruchamiamy kalkulator w Windows XP
spis treści
Start Wszystkie programy Akcesoria Kalkulator
symbole
w menu: Widok Naukowy
zgłoś błąd
Wpisujemy 0,32 zaznaczamy Inv i naciskamy sin
25 maj
ą H" 18, 66ć%
W ten sposób wykorzystaliśmy funkcję arcsin, która jest funkcją odwrotną do sin. Na innych
kalkulatorach często jest oznaczana jako sin-1.
Podobnie postępujemy z funkcją cos, tg.
matma235@o2.pl
" " " "

�
45ć%
4
c
a
�
4
c
spis treści 8
ą
60ć% 30ć%
symbole
a
b
b
zgłoś błąd
� =? � =? ą =?
25 maj
a =? b =? a =?
b =? c =? c =?
W prostokącie przekątna o długości 4 cm tworzy z krótszym bokiem kąt 70ć%. Oblicz
pole prostokąta.
Kij o długości 1,5 m wbity w ziemię rzuca cień na 4 m. Oblicz pod jakim kątem
padają promienie słoneczne.
matma235@o2.pl
Trygonometria
" Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym
" Wartości funkcji trygonometrycznych 0ć%, 30ć%, 45ć%, 60ć%, 90ć%
" Wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta
" Miara kąta na podstawie wartości funkcji trygonometrycznej
spis treści
" Miara łukowa kąta
" Definicja funkcji trygonometrycznej dowolnego kąta
symbole
" Wykres funkcji trygonometrycznej:
zgłoś błąd
" y = sin x y = cos x y = tg x y = ctg x
" Wzory redukcyjne
25 maj
" Tożsamości trygonometryczne
" Znaki funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach
matma235@o2.pl
�
� =?
4
a
a =?
b =?
60ć%
b
spis treści
Rozwiązanie:
symbole
suma kątów w trójkącie wynosi 180ć%.
zgłoś błąd
90ć% + 60ć% + � = 180ć%
25 maj
� = 180ć% - 150ć%
� = 30ć%
a b
sin 60ć% = cos 60ć% =
4 4
"

3 a 1 b
= � 4 = � 4
2 4 2 4
"
4 3 1
= a � 4 = b
2 2
"
a = 2 3 b = 2
matma235@o2.pl
�
c
� =?
8
b =?
30ć%
c =?
b
spis treści
Rozwiązanie:
symbole
suma kątów w trójkącie wynosi 180ć%.
zgłoś błąd
90ć% + 30ć% + � = 180ć%
25 maj
� = 180ć% - 120ć%
� = 60ć%
8 8
sin 30ć% = tg 30ć% =
c b
"
1 8 3 8
= =
2 c 3 b
mnożymy na krzyż mnożymy na krzyż
" "
c = 16 3b = 24 / : 3
" "
24 3 24 3
" "
b = � =
3
3 3
"
b = 8 3
matma235@o2.pl
45ć%
c
ą =?
4
a =?
c =? ą
a
spis treści
Rozwiązanie:
symbole
suma kątów w trójkącie wynosi 180ć%.
zgłoś błąd
90ć% + 45ć% + ą = 180ć%
25 maj
ą = 180ć% - 135ć%
ą = 45ć%
Trójkąt ma dwa kąty po 45ć%, a więc jest to trójkąt równoramienny a = 4.
4
cos 45ć% =
c
"
2 4
=
2 c
mnożymy na krzyż
" "
2c = 8 / : 2
" "
8 2 8 2
" "
c = � =
2
2 2
"
c = 4 2
matma235@o2.pl
 W prostokącie przekątna o długości 4 cm tworzy z krótszym bokiem kąt 70ć%. Oblicz
pole prostokąta.
Rozwiązanie:
70ć%
4
b
spis treści
symbole
a
zgłoś błąd
25 maj
a b
sin 70ć% = cos 70ć% =
4 4

a b
0, 94 = � 4 0, 34 = � 4
4 4
0, 94 � 4 = a 0, 34 � 4 = b
a = 3, 76 b = 1, 36
P = a � b = 3, 76 � 1, 36 H" 5, 11 cm2
Odp. Pole prostokąta wynosi 5,11 cm2.
matma235@o2.pl
Wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta
Dla typowych kątów wartości funkcji trygonometrycznych są tutaj.
Dla dowolnego kąta wartości funkcji trygonometrycznych najłatwej policzyć na kalkulatorze.
Przykład:
spis treści
sin 20ć%
symbole
zgłoś błąd
Uruchamiamy kalkulator w Windows XP
Start Wszystkie programy Akcesoria Kalkulator
25 maj
w menu: Widok Naukowy
Wpisujemy 20 i naciskamy sin
matma235@o2.pl
Kij o długości 1,5 m wbity w ziemię rzuca cień na 4 m. Oblicz pod jakim kątem padają
promienie słoneczne.
Rozwiązanie:
spis treści
1,5 m
symbole
ą
zgłoś błąd
4 m
25 maj
1, 5
tg ą =
4
tg ą H" 0, 375
Na kalkulatorze można policzyć:
ą H" 20, 6ć%
Odp. Promienie słoneczne padają pod kątem 20,6ć%.
matma235@o2.pl
Miara łukowa kąta
Miarą łukową kąta nazywamy stosunek długości łuku, opartego na tym kącie, do promienia
okręgu. Miarę łukową kąta podajemy w radianach.
spis treści
symbole
l l
ą
ą =
zgłoś błąd
r r
25 maj
Warto zapamiętać:
Ą
360ć% = 2Ą 180ć% = Ą 90ć% =
2
Znak miary kąta zależy od jego kierunku.
ą
ą
ą > 0 ą < 0
matma235@o2.pl
Trygonometria
wzory, twierdzenia, definicje
" funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym
" wartości funkcji trygonometrycznych 0ć%, 30ć%, 45ć%, 60ć%, 90ć%
" miara kąta na podstawie wartości funkcji trygonometrycznej
" miara łukowa kąta
spis treści
" definicja funkcji trygonometrycznej dowolnego kąta
symbole
" wzory redukcyjne
zgłoś błąd
" wartość funkcji trygonometrycznej dowolnego kąta
" wykres funkcji trygonometrycznej: y = sin x y = cos x y = tg x y = ctg x
25 maj
" znaki funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach
" tożsamości trygonometryczne
przykłady
matma235@o2.pl
" " " "
Zamień miarę stopniową na łukową
30ć% 135ć% 210ć%
Zamień miarę łukową na stopniową.
spis treści Ą 5Ą
13Ą
3 6 4
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Zamień 30ć% na miarę łukową.
Rozwiązanie:
Układamy proporcję:
ą - 30ć%
spis treści 2Ą - 360ć%
ą 30ć%
symbole
= � 2Ą
2Ą 360ć%
zgłoś błąd
1
ą = � 2Ą
25 maj
12
Ą
ą =
6
matma235@o2.pl
Zamień 135ć% na miarę łukową.
Rozwiązanie:
Układamy proporcję:
ą - 135ć%
spis treści 2Ą - 360ć%
ą 135ć%
symbole
= � 2Ą
2Ą 360ć%
zgłoś błąd
3
ą = � 2Ą
25 maj
8
3Ą
ą =
4
matma235@o2.pl
Zamień 210ć% na miarę łukową.
Rozwiązanie:
Układamy proporcję:
ą - 210ć%
spis treści 2Ą - 360ć%
ą 210ć%
symbole
= � 2Ą
2Ą 360ć%
zgłoś błąd
7
ą = � 2Ą
25 maj
12
7Ą
ą =
6
matma235@o2.pl
Ą
Zamień na miarę stopniową.
3
Rozwiązanie:
Wiedząc, że Ą = 180ć%:
Ą 180ć%
spis treści = = 60ć%
3 3
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
5Ą
Zamień na miarę stopniową.
6
Rozwiązanie:
Wiedząc, że Ą = 180ć%:
5Ą 5 � 180ć%
spis treści
= = 150ć%
6 6
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Zamień 13 Ą na miarę stopniową.
4
Rozwiązanie:
Wiedząc, że Ą = 180ć%:
3 7Ą 7 � 180ć%
spis treści
1 Ą = = = 315ć%
4 4 4
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Definicja funkcji trygonometrycznej dowolonego kąta
Rysujemy kąt ą w układzie współrzędnych. Na drugim ramieniu wybieramy punkt
P = (x, y) odległy o r od początku układu współrzędnych.
y
P
spis treści
r
y
symbole
ą
zgłoś błąd
x
x
25 maj
y x
sin ą = cos ą =
r r
y x
tg ą = ctg ą =
x y

r = x2 + y2
Taka definicja umożliwia obliczanie funkcji trygonometrycznych dla kątów większych od 90ć%,
częgo nie da się z tego.
matma235@o2.pl
" " " "
Znajdz
wartości podstawowych funkcji trygonometrycznych kąta, którego pierwsze ramię
zawiera oś 0X, a drugie przechodzi przez punkt P .
P = (2, 3) P = (-2, -1)
spis treści
Znajdz
, korzystając z definicji, wartości podstawowych funkcji trygonometrycznych kąta
symbole
135ć% 225ć% 120ć% 330ć%
zgłoś błąd
Oblicz, korzystając ze wzorów redukcyjnych
sin 120ć% cos(-135ć%) tg 180ć% ctg(-240ć%)
25 maj
tg 270ć% ctg(-300ć%) cos 315ć% sin(-360ć%)
ctg 420ć% tg(-840ć%) sin 1390ć% cos(-1485ć%)
Oblicz, korzystając ze wzorów redukcyjnych

Ą 3Ą
sin cos tg -2Ą ctg (-2Ą)
3 4 3
Oblicz, korzystając ze wzorów redukcyjnych
cos 135ć% + tg 330ć%
5Ą 4Ą 1
sin tg + cos 2 Ą
4 3 2
ctg 225ć% sin 840ć%
matma235@o2.pl
Znajdz
wartości podstawowych funkcji trygonometrycznych kąta, którego pierwsze ramię
zawiera oś 0X, a drugie przechodzi przez punkt P = (2, 3).
Rozwiązanie:
y
3 P = (2, 3)
spis treści
symbole
ą
zgłoś błąd
2 x
25 maj
Korzystamy z definicji funkcji trygonometrycznych.
x = 2 y = 3

" "
r = 22 + 32 = 4 + 9 = 13
" "
3 3 13 3 13
sin ą = " = " � " =
13
13 13 13
" "
2 2 13 2 13
cos ą = " = " � " =
13
13 13 13
3
tg ą = = 1, 5
2
2
matma235@o2.pl
ctg ą =
3
Znajdz
wartości podstawowych funkcji trygonometrycznych kąta, którego pierwsze ramię
zawiera oś 0X, a drugie przechodzi przez punkt P = (-2, -1).
Rozwiązanie:
y
spis treści
symbole
-2 ą
zgłoś błąd
x
-1
25 maj
P =(-2,-1)
Korzystamy z definicji funkcji trygonometrycznych.
x = -2 y = -1
"
"
r = (-2)2 + (-1)2 = 4 + 1 = 5
" "
-1 -1 5 - 5
" " "
sin ą = = � =
5
5 5 5
" "
-2 -2 5 -2 5
" " "
cos ą = = � =
5
5 5 5
-1 1
tg ą = =
-2 2
matma235@o2.pl
-2
ctg ą = = 2
-1
ą 0ć% 30ć% 45ć% 60ć% 90ć% 120ć% 135ć% 150ć%
" " " "
1 2 3 3 2 1
sin ą 0 1
2 2 2 2 2 2
" " " "
3 2 1 2 3
cos ą 1 0 -1 - -
2 2 2 2 2 2
" "
" "
3 3
spis treści tg ą 0 1 3 - - 3 -1 -
3 3
" "
" "
symbole
3 3
ctg ą - 3 1 0 - -1 - 3
3 3
zgłoś błąd
25 maj ą 180ć% 210ć% 225ć% 240ć% 270ć% 300ć% 315ć% 330ć% 360ć%
" " " "
1 2 3 3 2 1
sin ą 0 - - - -1 - - - 0
2 2 2 2 2 2
" " " "
3 2 1 2 3
cos ą -1 - - -1 0 1
2 2 2 2 2 2
" "
" "
3 3
tg ą 0 1 3 - - 3 -1 - 0
3 3
" "
" "
3 3
ctg ą - 3 1 0 - -1 - 3 -
3 3
matma235@o2.pl
Znajdz
, korzystając z definicji, wartości podstawowych funkcji trygonometrycznych kąta 120ć%
P
r
2
y
y
120ć%
60ć%
60ć%
spis treści
x
1
symbole
zgłoś błąd
Odcinki x, y, r tworzą trójkąt, który jest połową trójkąta równobocznego. Niech P będzie
25 maj odległe o 2 od początku układu współrzędnych r = 2. Patrząc na trójkąt równoboczny
widzimy, że x = -1. Z twierdzenia Pitagorasa liczymy y.
y2 + 12 = 22
y2 + 1 = 4
y2 = 3
"
y = 3
"
x = -1 y = 3 r = 2
Korzystamy z definicji funkcji trygonometrycznych.
"
3 1
sin 120ć% = cos 120ć% = -
2 2
" " "
"
3 -1 1 3 3
" � =
tg 120ć% = = - 3 ctg 120ć% = = - " " -
-1 3
3 3 3
matma235@o2.pl
Wyniki możemy sprawdzić w tabeli.
Znajdz
, korzystając z definicji, wartości podstawowych funkcji trygonometrycznych kąta 330ć%
x x
330ć%
30ć% 30ć%
y
spis treści 1
r
2
symbole
P
zgłoś błąd
Odcinki x, y, r tworzą trójkąt, który jest połową trójkąta równobocznego. Niech P będzie
25 maj
odległe o 2 od początku układu współrzędnych r = 2. Patrząc na trójkąt równoboczny
widzimy, że y = -1. Z twierdzenia Pitagorasa liczymy x.
x2 + 12 = 22
x2 + 1 = 4
x2 = 3
"
x = 3
"
x = 3 y = -1 r = 2
Korzystamy z definicji funkcji trygonometrycznych.
"
1 3
sin 330ć% = - cos 330ć% =
2 2
" " "
"
-1 1 3 3 3
" � =
tg 330ć% = = -" " - ctg 330ć% = = - 3
3 -1
3 3 3
matma235@o2.pl
Wyniki możemy sprawdzić w tabeli.
y = sin x
y
1
spis treści
symbole
x
-2Ą -Ą Ą
2Ą
zgłoś błąd
-1
25 maj
dziedzina D = R
zbiór wartości D-1 = -1, 1
miejsce zerowe x0 = kĄ k " C
monotoniczność funkcja jest przedziałami monotoniczna

Ą Ą
rosnąca w przedziałach - + 2kĄ, + 2kĄ k " C
2
Ą2
3Ą
malejąca w przedziałach + 2kĄ, + 2kĄ k " C
2 2
różnowartościowość funkcja nie jest różnowartościowa
parzystość funkcja nieparzysta
okresowość funkcja jest okresowa. Okres podstawowy T = 2Ą.
matma235@o2.pl
y = cos x
y
1
spis treści
symbole
-2Ą -Ą Ą x
2Ą
zgłoś błąd
-1
25 maj
dziedzina D = R
zbiór wartości D-1 = -1, 1
Ą
miejsce zerowe x0 = + kĄ k " C
2
monotoniczność funkcja jest przedziałami monotoniczna
malejąca w przedziałach (2kĄ, Ą + 2kĄ) k " C
rosnąca w przedziałach (Ą + 2kĄ, 2Ą + 2kĄ) k " C
różnowartościowość funkcja nie jest różnowartościowa
parzystość funkcja parzysta
okresowość funkcja jest okresowa. Okres podstawowy T = 2Ą.
matma235@o2.pl
y = tg x
y
spis treści
symbole
zgłoś błąd
1
25 maj
x
-Ą Ą
2Ą
-1
dziedzina D = R\{Ą + kĄ} k " C
2
zbiór wartości D-1 = R
miejsce zerowe x0 = kĄ k " C
monotoniczność funkcja jest przedziałami monotoniczna

Ą Ą
rosnąca w przedziałach - + kĄ, + kĄ k " C
2 2
różnowartościowość funkcja nie jest różnowartościowa
parzystość funkcja nieparzysta
okresowość funkcja jest okresowa. Okres podstawowy T = Ą.
matma235@o2.pl
y = ctg x
y
spis treści
symbole
zgłoś błąd
1
25 maj
x
-2Ą -Ą Ą
2Ą
-1
dziedzina D = R\{kĄ} k " C
zbiór wartości D-1 = R
Ą
miejsce zerowe x0 = + kĄ k " C
2
monotoniczność funkcja jest przedziałami monotoniczna
malejąca w przedziałach (kĄ, Ą + kĄ) k " C
różnowartościowość funkcja nie jest różnowartościowa
parzystość funkcja nieparzysta
okresowość funkcja jest okresowa. Okres podstawowy T = Ą.
matma235@o2.pl
Wzory redukcyjne
sin(k � 360ć% + ą) = sin ą tg(k � 180ć% + ą) = tg ą
cos(k � 360ć% + ą) = cos ą ctg(k � 180ć% + ą) = ctg ą
k - dowolna liczba całkowita
spis treści
symbole
sin(-ą) = - sin ą tg(-ą) = - tg ą
zgłoś błąd
cos(-ą) = cos ą ctg(-ą) = - ctg ą
25 maj
sin(90ć% + ą) = cos ą sin(180ć% + ą) = - sin ą sin(270ć% + ą) = - cos ą
cos(90ć% + ą) = - sin ą cos(180ć% + ą) = - cos ą cos(270ć% + ą) = sin ą
tg(90ć% + ą) = - ctg ą tg(180ć% + ą) = tg ą tg(270ć% + ą) = - ctg ą
ctg(90ć% + ą) = - tg ą ctg(180ć% + ą) = ctg ą ctg(270ć% + ą) = - tg ą
sin(90ć% - ą) = cos ą sin(180ć% - ą) = sin ą sin(270ć% - ą) = - cos ą
cos(90ć% - ą) = sin ą cos(180ć% - ą) = - cos ą cos(270ć% - ą) = - sin ą
tg(90ć% - ą) = ctg ą tg(180ć% - ą) = - tg ą tg(270ć% - ą) = ctg ą
ctg(90ć% - ą) = tg ą ctg(180ć% - ą) = - ctg ą ctg(270ć% - ą) = tg ą
Minimalny zestaw wzorów redukcyjnych
matma235@o2.pl
Minimalny zestaw wzorów redukcyjnych
Nie wszystkie wzory są potrzebne, aby rozwiązać każde zadanie. Poniższe wzory wystarczą
do znalezienia funkcji trygonometrycznej każdego kąta. Tylko te wzory będę wykorzystywał
w zadaniach.
spis treści
symbole
sin(k � 360ć% + ą) = sin ą tg(k � 180ć% + ą) = tg ą
zgłoś błąd
cos(k � 360ć% + ą) = cos ą ctg(k � 180ć% + ą) = ctg ą
k - dowolna liczba całkowita
25 maj
sin(-ą) = - sin ą tg(-ą) = - tg ą
cos(-ą) = cos ą ctg(-ą) = - ctg ą
sin(180ć% - ą) = sin ą sin(180ć% + ą) = - sin ą
cos(180ć% - ą) = - cos ą cos(180ć% + ą) = - cos ą
tg(180ć% - ą) = - tg ą tg(180ć% + ą) = tg ą
ctg(180ć% - ą) = - ctg ą ctg(180ć% + ą) = ctg ą
Wszystkie wzory redukcyjne
matma235@o2.pl
Oblicz, korzystając ze wzorów redukcyjnych sin 120ć%.
Rozwiązanie:
"
3
= =
sin 120ć% = sin(180ć% - 60ć%) sin 60ć%
2
spis treści
symbole Wynik możemy sprawdzić w tabeli.
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz, korzystając ze wzorów redukcyjnych cos(-135ć%).
Rozwiązanie:
"
2
= = =
cos(-135ć%) cos 135ć% = cos(180ć% - 45ć%) - cos 45ć% -
2
spis treści
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz, korzystając ze wzorów redukcyjnych tg 180ć%.
Rozwiązanie:

= =
tg 180ć% = tg(180ć% + 0ć%) tg 0ć% 0
spis treści
Wynik możemy sprawdzić w tabeli.
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz, korzystając ze wzorów redukcyjnych ctg(-240ć%).
Rozwiązanie:
"
3
= = =
ctg(-240ć%) - ctg 240ć% = - ctg(180ć% + 60ć%) - ctg 60ć% -
3
spis treści
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz, korzystając ze wzorów redukcyjnych tg 270ć%.
Rozwiązanie:

= =
tg 270ć% = tg(180ć% + 90ć%) tg 90ć% -
spis treści
Nie ma rozwiązania.
symbole
Wynik możemy sprawdzić w tabeli.
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz, korzystając ze wzorów redukcyjnych ctg(-300ć%).
Rozwiązanie:

= =
ctg(-300ć%) - ctg 300ć% = - ctg(180ć% + 120ć%) - ctg 120ć% =
"
3
=
spis treści = - ctg(180ć% - 60ć%) = -(- ctg 60ć%) = ctg 60ć%
3
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz, korzystając ze wzorów redukcyjnych cos 315ć%.
Rozwiązanie:

=
cos 315ć% = cos(180ć% + 135ć%) - cos 135ć% = - cos(180ć% - 45ć%) =
"
2
= =
= -(- cos 45ć%) cos 45ć%
spis treści
2
symbole
zgłoś błąd
Wynik możemy sprawdzić w tabeli.
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz, korzystając ze wzorów redukcyjnych sin(-360ć%).
Rozwiązanie:

= =
sin(-360ć%) - sin 360ć% = - sin(360ć% + 0ć%) - sin 0ć% = 0
spis treści
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz, korzystając ze wzorów redukcyjnych ctg 420ć%.
Rozwiązanie:
"
3
= =
ctg 420ć% = ctg(2 � 180ć% + 60ć%) ctg 60ć%
3
spis treści
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz, korzystając ze wzorów redukcyjnych tg(-840ć%).
Rozwiązanie:

= =
tg(-840ć%) - tg 840ć% = - tg(4�180ć%+120ć%) - tg 120ć% = - tg(180ć%-60ć%) =
"

spis treści
=
= -(- tg 60ć%) = tg 60ć% 3
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz, korzystając ze wzorów redukcyjnych sin 1380ć%.
Rozwiązanie:

=
sin 1380ć% = sin(3 � 360ć% + 300ć%) sin 300ć% = sin(180ć% + 120ć%) =
"
3
= - sin(180ć% - 60ć%) sin 60ć%
= =
spis treści
2
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz, korzystając ze wzorów redukcyjnych cos(-1485ć%).
Rozwiązanie:
"
2
= = =
cos(-1485ć%) cos 1485ć% = cos(4 � 360ć% + 45ć%) cos 45ć%
2
spis treści
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Ą
Oblicz, korzystając ze wzorów redukcyjnych sin .
3
Rozwiązanie:
Wiedząc, że Ą = 180ć%:
Ą 180ć%
spis treści
= = 60ć%
3 3
symbole
"
zgłoś błąd
Ą 3
=
sin = sin 60ć%
3 2
25 maj
matma235@o2.pl
3Ą
Oblicz, korzystając ze wzorów redukcyjnych sin .
4
Rozwiązanie:
Wiedząc, że Ą = 180ć%:
3Ą 3 � 180ć%
spis treści
= = 135ć%
4 4
symbole
"
zgłoś błąd
3Ą 2
= =
sin = sin 135ć% = sin(180ć% - 45ć%) sin 45ć%
4 2
25 maj
matma235@o2.pl

2Ą
Oblicz, korzystając ze wzorów redukcyjnych tg - .
3
Rozwiązanie:
Wiedząc, że Ą = 180ć%:
2Ą 2 � 180ć%
spis treści
= = 120ć%
3 3
symbole
zgłoś błąd

2Ą
= =
tg - = tg(-120ć%) - tg 120ć% = - tg(180ć% - 60ć%) -(- tg 60)ć% =
3
25 maj
"

=
= tg 60ć% 3
matma235@o2.pl
Oblicz, korzystając ze wzorów redukcyjnych ctg(-2Ą).
Rozwiązanie:
Wiedząc, że Ą = 180ć%:
spis treści
2Ą = 2 � 180ć% = 360ć%
symbole

zgłoś błąd
=
ctg(-2Ą) = ctg(-360ć%) - ctg 360ć% = - ctg(2 � 180ć% + 0ć%) = - ctg 0ć% = -
25 maj
Nie ma rozwiązania.
matma235@o2.pl
Oblicz, korzystając ze wzorów redukcyjnych
cos 135ć% + tg 330ć%
ctg 225ć% sin 840ć%
Rozwiązanie:
spis treści
"
2
symbole
= =
cos 135ć% = cos(180ć% - 45ć%) - cos 45ć% -
2
zgłoś błąd "
3
= = =
tg 330ć% = tg(180ć% + 150ć%) tg 150ć% = tg(180ć% - 30ć%) - tg 30ć% -
3
25 maj

= =
ctg 225ć% = ctg(180ć% + 45ć%) ctg 45ć% 1
"
3
= = =
sin 840ć% = sin(2 � 360ć% + 120ć%) sin 120ć% = sin(180ć% - 60ć%) sin 60ć%
2
" " " " " "
2 3 2 3 -3 2-2 3
cos 135ć% + tg 330ć% - - -3 2 -
2 3 6 6 6
= " = " = " =
3 3
ctg 225ć% sin 840ć% 1 � 3
2 2 2
" " " " " " " "
-3 2 - 2 3 3 -3 2 - 2 3 2 -6 2 - 4 3 3
" � =
= : = � = " "
6 2 6
3 6 3 3
" " "
-6 6 - 12 6(- 6 - 2) - 6 - 2
= = =
18 6 � 3 3
matma235@o2.pl
Oblicz, korzystając ze wzorów redukcyjnych
5Ą 4Ą 1
sin tg + cos 2 Ą
4 3 2
Rozwiązanie:
spis treści
Wiedząc, że Ą = 180ć%:
symbole
5Ą 5�180ć%
sin = sin = sin 225ć%
4 4
zgłoś błąd
"
2
= =
sin 225ć% = sin(180ć% + 45ć%) - sin 45ć% -
25 maj
2
4Ą 4�180ć%
tg = tg = tg 240ć%
3 3
"

= =
tg 240ć% = tg(180ć% + 60ć%) tg 60ć% 3
1
cos 2 Ą = cos(21 � 180ć%) = cos(5 � 180ć%) = cos 450ć%
2 2 2

= =
cos 450ć% = cos(360ć% + 90ć%) cos 90ć% 0
" "
"
5Ą 4Ą 2 6
sin tg + cos 21 Ą = - � 3 + 0 = -
4 3 2 2 2
matma235@o2.pl
Tożsamości trygonometryczne
sin2 ą + cos2 ą = 1
sin ą cos ą
spis treści
tg ą = ctg ą =
cos ą sin ą
symbole
zgłoś błąd
tg ą � ctg ą = 1
25 maj
matma235@o2.pl
Znaki funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach
ćwiartka I II III IV
3
Ą Ą 3
ą " 0, , Ą Ą, Ą Ą, 2Ą
spis treści
2 2 2 2
symbole
sin ą + + - -
zgłoś błąd
cos ą + - - +
25 maj
tg ą + - + -
ctg ą + - + -
Znaki funkcji trygonometrycznych widać także na wykresach:
y = sin x y = cos x y = tg x y = ctg x
ćwiartki w układzie współrzędnych
y
II I
x
III IV
matma235@o2.pl
" " " "
Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ą, jeżeli:
"
1 Ą 2 3
sin ą = gdy < ą < Ą cos ą = - gdy Ą < ą < Ą
3 2 2 2
"
3 1
tg ą = - 5 gdy Ą < ą < 2Ą ctg ą = 2 gdy 0 < ą < Ą
2 2
spis treści
Wykaż tożsamość:
symbole
(ctg2 ą + 1) sin2 ą = 1 (sin ą + cos ą)2 + (sin ą - cos ą)2 = 2
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ą, jeżeli:
1 Ą
sin ą = gdy < ą < Ą
3 2
Rozwiązanie:
"
2 2
spis treści
cos ą = -
3
symbole
zgłoś błąd
sin ą
tg ą =
cos ą
25 maj
" " "
1
1 1 3 1 1 2
3
"
tg ą = = : -2 2 = � - " - " - " "2 -
= = � =
2 2 3 3 3 4
2 2 2 2 2 2 2
-
3
tg ą � ctg ą = 1

" "
2 2
- � ctg ą = 1 : -
4 4

" " "
"
2 4 4 4 2 4 2
ctg ą = 1 : - = 1 � -" -" -"
= = � = - = -2 2
4 2 2
2 2 2
" "
"
2 2 2
Odp. cos ą = - , tg = - , ctg = -2 2
3 4
matma235@o2.pl
 sin2 ą + cos2 ą = 1
2
1
+ cos2 ą = 1
3
1
+ cos2 ą = 1
9
spis treści
1
cos2 ą = 1 -
symbole
9
zgłoś błąd
8
cos2 ą =
9
25 maj
8 8
cos ą = - lub cos ą =
9 9

Ą Ą
< ą < Ą czyli ą " , Ą co oznacza, że cos ą < 0
2 2

" " "
8 8 4�2
cos ą = - = - = - = -2 2
9 3 3 3
"
2 2
cos ą = -
3
matma235@o2.pl
Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ą, jeżeli:
"
2 3
cos ą = - gdy Ą < ą < Ą
2 2
Rozwiązanie:
"
2
spis treści
sin ą = -
2
symbole
zgłoś błąd
sin ą
tg ą =
cos ą
25 maj
"
2
-
2
"
tg ą = = 1
2
-
2
tg ą � ctg ą = 1
1 � ctg ą = 1
ctg ą = 1
"
2
Odp. sin ą = - , tg = 1, ctg = 1
2
matma235@o2.pl
 sin2 ą + cos2 ą = 1
2
"
- 2
sin2 ą + = 1
2
2
sin2 ą + = 1
spis treści 4
1
symbole
sin2 ą + = 1
2
zgłoś błąd
1
sin2 ą = 1 -
2
25 maj
1
sin2 ą =
2

1 1
sin ą = - lub sin ą =
2 2

3 3
Ą < ą < Ą czyli ą " Ą, Ą co oznacza, że sin ą < 0
2 2

" "
1 1 1 2
sin ą = - = -" - " "2 -
= � =
2 2
2 2 2
"
2
sin ą = -
2
matma235@o2.pl
Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ą, jeżeli:
"
3
tg ą = - 5 gdy Ą < ą < 2Ą
2
Rozwiązanie:
"
tg ą = - 5
"

sin ą
spis treści
= - 5 � cos ą
cos ą
symbole "
sin ą = - 5 cos ą
zgłoś błąd
sin2 ą + cos2 ą = 1
25 maj "
(- 5 cos ą)2 + cos2 = 1
5 cos2 ą + cos2 ą = 1
6 cos2 ą = 1 / : 6

1 1
cos ą = - lub cos ą =
6 6
3
3
Ą < ą < 2Ą czyli ą " Ą, 2Ą co oznacza, że cos ą > 0
2 2

" "
1 1 1
" " "6 6
cos ą = = = � =
6 6
6 6 6
" "
" "
6 30
sin ą = - 5 cos ą = - 5 � = -
6 6
tg ą � ctg ą = 1
" "
- 5 � ctg ą = 1/ : 5
" "
1 1 5
ctg ą = -" - " "5 -
= � =
5
5 5 5
" " "
30 6 5
Odp. sin ą = - , cos ą = , ctg = -
matma235@o2.pl 6 6 5
Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ą, jeżeli:
1
ctg ą = 2 gdy 0 < ą < Ą
2
Rozwiązanie:
ctg ą = 2

cos ą
= 2 � sin ą
spis treści
sin ą
symbole
cos ą = 2 sin ą
zgłoś błąd
sin2 ą + cos2 ą = 1
25 maj
sin2 ą + (2 sin ą)2 = 1
sin2 ą + 4 sin2 ą = 1
5 sin2 ą = 1 / : 5

1 1
sin ą = - lub sin ą =
5 5

1 1
0 < ą < Ą czyli ą " 0, Ą co oznacza, że sin ą > 0
2 2

" "
1 1 1
" " "5 5
sin ą = = = � =
5 5
5 5 5
" "
5 2 5
cos ą = 2 sin ą = 2 � =
5 5
tg ą � ctg ą = 1
tg ą � 2 = 1/ : 2
1
tg ą =
2
" "
5 2 5 1
Odp. sin ą = , cos ą = , tg =
5 5 2
matma235@o2.pl
Wykaż tożsamość:
(ctg2 ą + 1) sin2 ą = 1
Rozwiązanie:
Zazwyczaj tożsamości udowadniamy wychodząc od strony bardziej  skomplikowanej i przez
kolejne przekształcenia dochodząc do strony  prostszej .
spis treści

symbole
cos2
ą
L = (ctg2 ą + 1) sin2 ą =
+ 1 sin2 ą = cos2 ą + sin2 ą =
1
zgłoś błąd
sin2 ą
25 maj
L=P
matma235@o2.pl
Wykaż tożsamość:
(sin ą + cos ą)2 + (sin ą - cos ą)2 = 2
Rozwiązanie:
Zazwyczaj tożsamości udowadniamy wychodząc od strony bardziej  skomplikowanej i przez
kolejne przekształcenia dochodząc do strony  prostszej .
spis treści
symbole
L = (sin ą + cos ą)2 + (sin ą - cos ą)2 =
zgłoś błąd

= ą + 2 sin ą cos ą + cos2 ą + sin2 ą - 2 sin ą cos ą + cos2 ą =
sin2
= sin2 ą + cos2 ą + sin2 ą + cos2 ą =
25 maj

=
1 + 1 = 2
L=P
matma235@o2.pl
Geometria na płaszczyz
nie
wzory, twierdzenia, definicje
" okrąg i koło
" trójkąt
" twierdzenie Pitagorasa
spis treści
" twierdzenie cosinusów
symbole
" twierdzenie sinusów
zgłoś błąd
" kwadrat " równoległobok " trapez
" prostokąt " romb " deltoid
25 maj
" czworokąt wpisany w okrąg
" czworokąt opisany na okręgu
" obwód wielokąta
" przystawanie wielokątów
" podobieństwo wielokątów
" twierdzenie Talesa
przykłady
matma235@o2.pl
Okrąg i koło
A A
spis treści
symbole
okrąg o środku A koło o środku A
zgłoś błąd
25 maj
promień średnica cięciwa
matma235@o2.pl
Spis treści
1. Podstawowe symbole i oznaczenia 29. Funkcja potęgowa
2. Alfabet grecki 30. Funkcja wykładnicza
3. Liczby arabskie i rzymskie 31. Funkcja logarytmiczna
4. Podwielokrotności i wielokrotności miar 32. Funkcje trygonometryczne
5. Liczby 33. Funkcje cyklometryczne (kołowe)
6. Logika matematyczna 34. Podstawowe pojęcia geometrii
spis treści 7. Zbiory 35. Współrzędne punktu, odległość. Wektor
8. Działania na liczbach i wyrażeniach 36. Prosta
symbole
9. Funkcja i jej własności 37. Półprosta, odcinek
zgłoś błąd 10. Granica funkcji 38. A
amana
11. Pochodna funkcji 39. Płaszczyzna
12. Ekstremum funkcji 40. Prosta płaszczyzna
25 maj
13. Styczna i asymptota wykresu funkcji 41. Kąt
14. Punkt przegięcia wykresu funkcji 42. Okrąg, koło
15. Przebieg zmienności funkcji 43. Elipsa, hiperbola, parabola
16. Przekształcenie wykresu funkcji 44. Wielokąt
17. Całka nieoznaczona 45. Trójkąt
18. Całka oznaczona 46. Czworokąt
19. Ciągi 47. Przekształcenia geometryczne płaszczyzny
20. Równanie i nierówności z jedną niewiadomą 48. Wielościan
21. Funkcja liniowa 49. Bryły obrotowe
22. Funkcja kwadratowa 50. Kombinatoryka
23. Wielomiany 51. Doświadczenie losowe
24. Równania drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi 52. Zdarzenia losowe
25. Układy równań z dwiema niewiadomymi 53. Prawdopodobieństwo
26. Układ dwóch równań drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi 54. Zmienna losowa
27. Nierówności drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi 55. Statystyka
28. Funkcja wymierna
Tabele
 Zamiana stopni na radiany i odwrotnie
 Wartości sinusów i cosinusów
 Wartości tangensów i cotangensów
 Kwadraty, pierwiastki liczb
 Kwadraty, sześciany i pierwiastki liczb
matma235@o2.pl
 Jednostki długości, powierzchni, objętości, masy i czasu
RECENZJE
 Uważamy, że Tablice Matematyczne są nowatorską i w pełni profesjonalną pro-
pozycją, która zostanie życzliwie przyjęta przez uczniów i nauczycieli. . . 
mgr Elżbieta Bańkowska
mgr Dorota Stankiewicz
spis treści
(IV LO w Gdyni)
symbole
zgłoś błąd
 . . . Trafny dobór materiału, przejrzysty układ, klarowność tekstu, wyśmienita
szata graficzna, jak i inne walory sprawiają, że TABLICE są bardzo przydatne
25 maj
w nauczaniu matematyki w zakresie szkoły średniej . . . 
prof.dr. hab. Tadeusz Stanisz
(Akademia Ekonomiczna w Krakowie)
 . . . Uważam, że książka jest poważną propozycją w znakomity sposób uzupeł-
niającą podręcznik do nauki matematyki . . . 
dr. Leon Gulgowski
(Uniwersytet Gdański)
 . . . Treść zawarta w omawianej książce jest poprawna merytorycznie, a sposób
jej podania czyni tą książkę wartościową pod względem dydaktycznym . . . 
dr. Jerzy Bednarczuk
(Uniwersytet Warszawski)
matma235@o2.pl
wzory, twierdzenia, definicje
1logika
spis treści
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
" "
Narysuj wykres funkcji i wypisz jej własności:
1 -2 1
y = y = y = + 1
x x x
1 2 x+3
y = y = - 1 y =
x-2 x+3 x+2
2x-3
spis treści
y =
x-1
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
wzajemne położenie dwóch okręgów
r1
|AB| > r1 + r2
r2 B okręgi wzajemnie zewnętrzne
A
spis treści
symbole
zgłoś błąd
r1
okręgi styczne zewnętrznie |AB| = r1 + r2
r2
25 maj A B
r1
okręgi przecinające się |r1 - r2| < |AB| < r1 + r2
r2
A B
A r1
okręgi styczne wewnętrznie |AB| = |r1 - r2|
Br2
A r1
okręgi nie są styczne |AB| < |r1 - r2|
Br2 i większy zawiera mniejszy
matma235@o2.pl
A
uk okręgu, wycinek i odcinek koła
spis treści
symbole
ą ą
r r
zgłoś błąd
25 maj
ą ą
l = � 2Ąr P = � Ąr2
360ć% 360ć%
długość łuku pole wycinka
Ą H" 3, 14
ą
r
odcinek koła
pole odcinka koła = pole wycinka koła - pole trójkąta
matma235@o2.pl
Długość okręgu i pole koła
spis treści
symbole
zgłoś błąd
25 maj
l = 2Ąr P = Ąr2
Ą H" 3, 14
matma235@o2.pl
Długość okręgu i pole koła
spis treści
A
r r
symbole
zgłoś błąd
25 maj
l = 2Ąr P = Ąr2
Ą H" 3, 14
matma235@o2.pl
" " " " " " " " " "
Znajdz
miary kątów ą i �.

spis treści
symbole
ą � ą
zgłoś błąd
70ć%
60ć%
25 maj
�

ą
110ć%
70ć%
�
ą
�
matma235@o2.pl
Znajdz
miary kątów ą i �.
ą �
spis treści
60ć%
symbole
zgłoś błąd
25 maj
Kąty wpisane ą i � oparte są na tym samym łuku, dlatego są równe.
ą = �
Kąt wpisany ą jest oparty na tym samym łuku co kąt środkowy 60ć%, dlatego jest dwa razy
mniejszy.
60ć%
ą = = 30ć%
2
Odp. ą = 30ć%, � = 30ć%.
matma235@o2.pl
Znajdz
miary kątów ą i �.
ą
O
70ć%
spis treści
�
symbole
A B
zgłoś błąd
Kąt wpisany ą jest oparty na tym samym łuku co kąt środkowy 70ć%, dlatego jest dwa razy
25 maj
mniejszy.
70ć%
ą = = 35ć%
2
Trójkąt AOB jest równoramienny (|OA| = |OB|, bo to są promienie okręgu). W trójkącie
równoramiennym kąty przy podstawie są równe.
70ć%
� �
Suma kątów w trójkącie jest równa 180ć%.
� + � + 70ć% = 180ć%
2� = 180ć% - 70ć%
� = 55ć%
Odp. ą = 35ć%, � = 55ć%.
matma235@o2.pl
Okrąg i koło
" okrąg, koło, promień, średnica, cięciwa
" kąty w okręgu
" twierdzenie o kątach wpisanych
" twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym
spis treści
" okrąg opisany na trójkącie
symbole
" okrąg wpisany w trójkąt
zgłoś błąd
" okrąg opisany na czworokącie
" okrąg wpisany w czworokąt
25 maj
" wzajemne położenie prostej i okręgu
" wzajemne położenie dwóch okręgów
" długość okręgu i pole koła
" łuk okręgu, wycinek i odcinek koła
matma235@o2.pl
C
O
70ć%
70ć%
�
ą ą ą
A B
spis treści
symbole
zgłoś błąd
Trójkąt AOB jest równoramienny (|OA| = |OB|, bo to są promienie okręgu). W trójkącie
równoramiennym kąty przy podstawie są równe.
25 maj
ą + ą + 70ć% = 180ć%
2ą = 180ć% - 70ć%
ą = 55ć%
Trójkąt ABC jest oparty na średnicy AC dlatego kąt ABC = 90ć%.
ą + � = 90ć%
55ć% + � = 90ć%
� = 90ć% - 55ć%
� = 35ć%
Odp. ą = 55ć%, � = 35ć%.
matma235@o2.pl
ą
110ć%
�
spis treści
symbole
Kąt wpisany ą jest oparty na tym samym łuku co kąt środkowy 110ć%, dlatego jest dwa razy
zgłoś błąd
mniejszy.
110ć%
25 maj
ą = = 55ć%
2
ą
250ć%
250ć% + 110ć% = 360ć%
�
Kąt wpisany � jest oparty na tym samym łuku co kąt środkowy 250ć%, dlatego jest dwa razy
mniejszy.
250ć%
� = = 125ć%
2
matma235@o2.pl
Twierdzenie Pitagorasa
W każdym trójkącie prostokątnym:
c
b
spis treści
a2 + b2 = c2
symbole
a
zgłoś błąd
25 maj
Przykłady:
5 c = ?
3 4
a = ? 6
a2 + 32 = 52 62 + 42 = c2
a2 = 25 - 9 c2 = 36 + 16
" " " "
a = 16 = 4 c = 52 = 4 � 13 = 2 13
matma235@o2.pl
" " " " " " " " " "
Przez punkt A poprowadzono styczną do okręgu o promieniu 3cm. Odległość punktu A
od środka okręgu wynosi 5cm. Znajdz
odległość punktu A od punktu styczności.
spis treści
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Przez punkt A poprowadzono styczną do okręgu o promieniu 3 cm. Odległość punktu A od
środka okręgu wynosi 5cm. Znajdz
odległość punktu A od punktu styczności.
Rozwiązanie:
a
spis treści 3
A
symbole
5
zgłoś błąd
25 maj
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:
a2 + 32 = 52
a2 = 25 - 9
a2 = 16
"
a = 16 = 4
Odp. Punkt A odległy jest od punktu styczności o 4 cm.
matma235@o2.pl
" " " " " " " " " "
Okrąg o promieniu 4 cm jest styczny zewnętrznie do okręgu o promieniu 2 cm. Poprowa-
dzono prostą styczną do tych okręgów. Oblicz odległości między punktami styczności.
spis treści
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Nierówność trójkąta
Dowolny bok trójkąta ma mniejszą długość od sumy długości pozostałych boków.
Przykłady:
spis treści
5
symbole 6
3 2
3
2
zgłoś błąd
4 5 4
25 maj
3 < 4 + 2 6 < 2 + 5 5 < 3 + 4
4 < 3 + 2 5 < 2 + 6 4 < 3 + 5
2 < 3 + 4 2 < 6 + 5 3 < 5 + 4
matma235@o2.pl
Wysokość trójkąta
Wysokość to odcinek łączący wierzchołek trójkąta z podstawą lub jej przedłużeniem pod
kątem prostym. Każdy trójkąt ma trzy wyskokości.
Przykłady:
spis treści
symbole
zgłoś błąd
25 maj
Wysokości lub ich przedłużenia przecinają się w jednym punkcie.
matma235@o2.pl
Środkowa trójkąta
Środkowa to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku.
spis treści
symbole
zgłoś błąd
25 maj
Środkowe przecinają się w jednym punkcie.
Nazywamy go środkiem ciężkości trójkąta.
Środek ciężkości dzieli każdą środkową w stosunku 2:1.
x x 2 a 2 q 2
p
b
= = =
a y 1 b 1 p 1
q
y
matma235@o2.pl
symetralna
Symetralna boku trójkąta to prosta prostopadła do boku i przechodząca przez jego środek.
spis treści
symbole
zgłoś błąd
25 maj
Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu
opisanego na tym trójkącie.
matma235@o2.pl
dwusieczna
Dwusieczna kąta to półprosta dzieląca go na dwa równe kąty.
spis treści
symbole
zgłoś błąd
25 maj
Dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu
wpisanego w ten trójkąt.
Twierdzenie o dwusiecznej
matma235@o2.pl
Twierdzenie o dwusiecznej
a
b
spis treści
symbole
c
d
zgłoś błąd
Dwusieczna dzieli bok trójkąta na odcinki c i d o długościach spełniających równanie:
25 maj
c d
=
a b
matma235@o2.pl
" " " " " " " " " "
Kąt przy wierzchołku trójkąta równoramiennego ma 100ć%. Oblicz pozostałe kąty.
Oblicz wysokość trójkąta równoramiennego o podstawie 6 cm i ramieniu 4 cm.
Oblicz pole trójkąta równoramiennego o kącie przy wierzchołku 120ć% i ramieniu 6 cm.
spis treści
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Trójkąt równoramienny
b b
b b
b b
spis treści a a a
symbole
a  podstawa
zgłoś błąd
b  ramiona
25 maj
W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe.
ą ą
Wysokość dzieli podstawę i kąt przy wierzchołku trójkąta równoramiennego na dwie równe
części.
ą ą

odcinki o równej długości
matma235@o2.pl
Kąt przy wierzchołku trójkąta równoramiennego ma 100ć%. Oblicz pozostałe kąty.
Rozwiązanie:
100ć%
spis treści
ą ą
symbole
zgłoś błąd
Kąty w trójkącie
25 maj
ą + ą + 100ć% = 180ć%
2ą = 180ć% - 100ć%
2ą = 80ć% / : 2
ą = 40ć%
Odp. Kąty w trójkącie mają miarę 40ć%, 40ć%, 100ć%.
matma235@o2.pl
Oblicz wysokość trójkąta równoramiennego o podstawie 6 cm i ramieniu 4 cm.
4 4
h
3 3
spis treści
6
symbole
zgłoś błąd
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:
25 maj
h2 + 32 = 42
h2 + 9 = 16
h2 = 16 - 9
h2 = 7
"
h = 7 cm
"
Odp. Wysokość trójkąta równoramiennego wynosi 7 cm.
matma235@o2.pl
Pole trójkąta
h
a
h
h h
a
spis treści a a
symbole
a  podstawa
zgłoś błąd
h  wysokość
25 maj
1
P = ah
2

wzór Herona: P = p(p - a)(p - b)(p - c)
c
b
1
p = (a + b + c)  połowa obwodu
2
a
1
b
P = ab sin ą
2
ą
a
matma235@o2.pl
Oblicz pole trójkąta równoramiennego o kącie przy wierzchołku 120ć% i ramieniu 6 cm.
60ć% 60ć%
6
h
d
spis treści
a
symbole
zgłoś błąd
d h
sin 60ć% = cos 60ć% =
6 6
25 maj
"
3 d 1 h
= =
2 6 2 6

"
2d = 6 3 : 2 2h = 6 : 2
"
d = 3 3 cm h = 3 cm
" "
Podstawa: a = 2 � d = 2 � 3 3 = 6 3 cm
" " "
1 1
Pole: P = ah = � 6 3 � 3 = 3 3 � 3 = 9 3 cm2
2 2
"
Odp. Pole trójkąta wynosi 9 3 cm2.
matma235@o2.pl
Trójkąt prostokątny
c
a, b  przyprostokątne
b
spis treści
c  przeciwprostokątna
symbole
a
zgłoś błąd
25 maj
twierdzenie Pitagorasa
funkcje trygonometryczne
matma235@o2.pl
" " " " " " " " " "
Oblicz kąty trójkąta prostokątnego, który jest jednocześnie trójkątem równoramiennym.
W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość 4 cm, a kąt przy niej 30ć%.
Oblicz pole i obwód tego trójkąta.
spis treści
Oblicz wszystkie wysokości w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych 3 cm i 4 cm.
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Oblicz kąty trójkąta prostokątnego, który jest jednocześnie trójkątem równoramiennym.
Rozwiązanie:
spis treści
symbole
ą ą
zgłoś błąd
25 maj
Kąty w trójkącie
ą + ą + 90ć% = 180ć%
2ą = 180ć% - 90ć%
ą = 90ć% / : 2
ą = 45ć%
Odp. Kąty w trójkącie mają miarę 45ć%, 45ć%, 90ć%.
matma235@o2.pl
c
3
4
spis treści
symbole Twierdzenie Pitagorasa
zgłoś błąd
42 + 32 = c2
25 maj
c2 = 16 + 9
c2 = 25
"
c2 = 25 = 5 cm
matma235@o2.pl
Przystawanie wielokątów
Dwie figury nazywamy przystającymi, gdy można je nałożyć na siebie tak, aby dokładnie się
pokryły.
spis treści
symbole
przystające
zgłoś błąd
trójkąty:
25 maj
przystające
prostokąty:
przystające
pięciokąty:
matma235@o2.pl
Cechy przystawania trójkątów
Przystawanie wielokątów
c
b
b
c
(bbb) bok  bok  bok
a a
odpowiednie boki trójkątów są równe
spis treści
symbole
zgłoś błąd
b
b
25 maj (bkb) bok  kąt  bok
ą
odpowiednie dwa boki trójkątów są równe ą
a a
i kąt między nimi.
(kbk) kąt  bok  kąt
�
ą
odpowiednie dwa kąty trójkątów są równe
ą
�
a a
i bok do nich przyległy
matma235@o2.pl
Podobieństwo wielkokątów
Wielkokąty są podobne, jeżeli ich kąty są odpowiednio równe, a boki proporcjonalne w skali
równej k.
d
�
c
d �
c
spis treści

ł
ł
symbole
e
zgłoś błąd e
b
ą
�
b
ą
a
�
25 maj
a
a b c d e
= = = = = k
a b c d e
Przykład:
24
100ć%
8
60ć%
15
100ć%
4
60ć%
5
100ć%
60ć%
2.5
18
6
3
80ć%
80ć%
80ć%
120ć% 120ć% 120ć%
2
4
12
12 18 24 15 2 3 4 2, 5 1
= = = = 3 = = = =
4 6 8 5 12 18 24 15 6
1
k = 3 k =
matma235@o2.pl
6
" " " " " " " " " "
Sprawdz
, czy trójkąty są podobne.

spis treści
6 12 4 10
symbole
4 8 3 9
zgłoś błąd
6 6
9 8
25 maj
Trójkąt o bokach 2, 5, 6 jest podobny do trójkąta, którego najkrótszy bok wynosi 8.
Oblicz pozostałe boki tego trójkąta.
Sprawdz
, czy trójkąty są podobne.

6 10
4 30ć%
3
30ć%
6
2
60ć%
60ć%
5
10
W słoneczny dzień chłopiec o wzroście 1, 6 m rzuca cień o długości 2 m. Oblicz wysokość
drzewa, które rzuca cień o długości 12 m.
matma235@o2.pl
(bbb) bok  bok  bok
Jeżeli boki trójkątów są proporcjonalne, to trókąty są podobne.
c b
c
b
spis treści
symbole
a
a
zgłoś błąd
25 maj
a b c
= = = k
a b c
k  skala podobieństwa
matma235@o2.pl
(bbb) bok  kąt  bok
Jeżeli trójkąty mają jeden kąt równy, a ramiona tego kąta są proporcjonalne, to trójkąty są
podobne.
spis treści
b
b
symbole
ą
ą
zgłoś błąd
a
a
25 maj
a b
= = k
a b
matma235@o2.pl
(bbb) kąt  kąt  kąt
Jeżeli kąty trójkątów są równe, to trójkąty są podobne.
ł
ł
spis treści
ą �
ą �
symbole
zgłoś błąd
W praktyce, jeżeli trójkąty mają dwa kąty równe, to trzeci też musi być równy.
25 maj
ą �
ą �
matma235@o2.pl
Sprawdz
, czy trójkąty są podobne.
6 12
4 8
spis treści
6
9
symbole
Cecha podobieństwa bok  bok  bok
zgłoś błąd
Przyrównujemy odpowiednie boki do siebie:
25 maj
 najdłuższe
12 3
=
8 2
 najkrótsze
6 3
=
4 2
 pozostałe
9 3
=
6 2
Odp. Odpowiednie boki są proporcjonalne, zatem trójkąty są podobne.
matma235@o2.pl
Sprawdz
, czy trójkąty są podobne.
4 10
3 9
spis treści
6
8
symbole
Cecha podobieństwa bok  bok  bok
zgłoś błąd
Przyrównujemy odpowiednie boki do siebie:
25 maj
 najdłuższe
10
9
 najkrótsze
4
3
 pozostałe
8 4
=
6 3
Odp. Odpowiednie boki nie są proporcjonalne, zatem trójkąty nie są podobne.
matma235@o2.pl
Trójkąt o bokach 2, 5, 6 jest podobny do trójkąta, którego najkrótszy bok wynosi 8. Oblicz
pozostałe boki tego trójkąta.
Rozwiązanie:
spis treści
8 b
6
2
symbole
zgłoś błąd
5 a
25 maj
cecha bok  bok  bok
Przyrównujemy najkrótsze boki do siebie i obliczamy skalę podobieństwa.
8
k = = 4
2
a b
= 4 = 4
5 6
a = 4 � 5 b = 4 � 6
a = 20 b = 24
Odp. Pozostałe boki mają długości 20, 24.
matma235@o2.pl
Sprawdz
, czy trójkąty są podobne
6
3
60ć%
60ć%
spis treści
5
10
symbole
zgłoś błąd
Rozwiązanie:
25 maj
cecha podobieństwa bok  kąt  bok
Trójkąty mają kąt o tej samej mierze. Przyrównujemy do siebie ramiona tych kątów.
 najdłuższe
10
= 2
5
 najkrótsze
6
= 2
3
Odp. Trójkąty mają jeden równy kąt, a jego ramiona są proporcjonalne, zatem trójkąty są
podobne.
matma235@o2.pl
Sprawdz
, czy trójkąty są podobne
10
4 30ć%
30ć%
6
2
spis treści
symbole
zgłoś błąd
Rozwiązanie:
25 maj
cecha podobieństwa bok  kąt  bok
Trójkąty mają kąt o tej samej mierze. Przyrównujemy do siebie ramiona tych kątów.
 najdłuższe
10 5
=
4 2
 najkrótsze
6
= 3
2
Odp. Trójkąty mają jeden równy kąt, ale jego ramiona nie są proporcjonalne, zatem trójkąty
nie są podobne.
matma235@o2.pl
W słoneczny dzień chłopiec o wzroście 1, 6 m rzuca cień o długości 2 m. Oblicz wysokość
drzewa, które rzuca cień o długości 12 m.
h
spis treści
symbole
ą
ą
zgłoś błąd
2 m
12 m
25 maj
Trójkąty mają te same kąty, ponieważ:
 są to trójkąty prostokątne
 kąt padania ą promieni słonecznych jest taki sam dla drzewa jak i dla chłopca.
Trójkąty o tych samych kątach na podstawie cechy kąt  kąt  kąt są podobne, a więc ich
odpowiednie boki są proporcjonalne.
1, 6 2
=
h 12

h � 2 = 1, 6 � 12 : 2
h = 9, 6
Odp. Drzewo ma wysokość 9,6 m.
matma235@o2.pl
1
,
6 m
Funkcja i jej własności
wzory, twierdzenia, definicje
" definicja funkcji
Pojęcia opisujące funkcję:
" dziedzina " różnowartościowość
spis treści
" zbiór wartości (przeciwdziedzina) " parzystość i nieparzystość
symbole " miejsce zerowe " okresowość
" monotoniczność
zgłoś błąd
" funkcja liniowa
25 maj
" proste równoległe i prostopadłe
" przesuwanie wykresu funkcji
przykłady
matma235@o2.pl
" " " "
Znajdz
dziedzinę funkcji.
" "
5
f(x) = 3x + 9 f(x) = 4 - 2x f(x) =
2x+6
4
f(x) =
x(x+3)
spis treści
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Funkcja wykładnicza
wzory, twierdzenia, definicje
" funkcja wykładnicza
" potęgowanie
spis treści
symbole
przykłady
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
" " "
Rozwiąż równania:
" "
4x+2 = 83x-1 (0, 25)2x-1 = ( 8)x+4 92x+3 = 3 27
spis treści
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
" " "
Rozwiąż nierówności:
33x-1 < 32x+4 (0, 2)4x-1 < (0, 2)x+2 (0, 125)x 4x-3
1-x
"
2 4x-2 2x-3 "
9 2 2
> 4( 8)x-3
3 4 16
spis treści
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Cechy podobieństwa trójkątów
bok  bok  bok bok  kąt  bok kąt  kąt  kąt
spis treści
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Ten ebook jest z 25 maja 2006r.
Najnowsza wersja: www.matma.boo.pl www.matma235.prv.pl
spis treści
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Twierdzenie Talesa
Jeżeli ramiona kąta przetniemy prostymi równoległymi, to otrzymamy odcinki proporcjonalne.
spis treści
c
symbole
b
zgłoś błąd
a b c
= =
a
a b c
25 maj
a c
b
Przykład:
2
1 3 2
= =
3
2 6 4
1
2 6 4
matma235@o2.pl
Wyznacz długości odcinków x, y.
Rozwiązanie:
3
6
spis treści
4
symbole
zgłoś błąd
y
x
2
25 maj
Na podstawie twierdzenia Talesa przyrównujemy do siebie odpowiednie odcinki.
4 6 4 3
= =
2 x 2 y
mnożymy na krzyż
4x = 2 � 6 4y = 2 � 3
6 3
x = 3 y = =
4 2
matma235@o2.pl
Wyznacz długości odcinków x, y.
Rozwiązanie:
2
spis treści
y
symbole
5
zgłoś błąd
x
3 6
25 maj
Na podstawie twierdzenia Talesa przyrównujemy do siebie odpowiednie odcinki.
5 2 y 2
= =
x 6 3 6
mnożymy na krzyż
2x = 5 � 6 / : 2 6y = 6 / : 6
x = 15 y = 1
matma235@o2.pl
" " " " " " " " " "
Wyznacz długości odcinków x, y.

3
spis treści
6 2
symbole
y
4
zgłoś błąd
5
y
x x
2 3 6
25 maj
Podziel konstrukcyjnie odcinek na trzy równe części.
Podziel konstrukcyjnie odcinek w stosunku 2:3.
matma235@o2.pl
Podziel konstrukcyjnie odcinek na trzy równe części.
Rozwiązanie:
Konstrukcje w geometrii wykonujemy wykorzystując tylko cyrkiel i linijkę.
Rysujemy odcinek.
spis treści
symbole
zgłoś błąd
A B
25 maj
Rysujemy półprostą.
A B
dalej
matma235@o2.pl
Zaznaczamy cyrklem na półprostej trzy równe odcinki o dowolnej długości.
E
D
C
spis treści
symbole
zgłoś błąd
A B
25 maj
Przez punkty E i B prowadzimy prostą.
E
D
C
A B
dalej
matma235@o2.pl
Przez punkty C i D prowadzimy proste równoległe do pierwszej.
E
D
C
spis treści
symbole
zgłoś błąd
A B
25 maj
Odcinek AB został podzielony na trzy części. To że są równe wynika z twierdzenia Talesa.
matma235@o2.pl
Podziel konstrukcyjnie odcinek w stosunku 2:3.
Rozwiązanie:
Dzielimy odcinek na 5 części podobnie jak tutaj.
spis treści
symbole
zgłoś błąd
25 maj
A B
C
Odcinek AB został podzielony na pięć części. To że są równe wynika z twierdzenia Talesa.
Punkt C dzieli odcinek AB w stosunku 2:3.
matma235@o2.pl
okrąg opisany na trójkącie
a
R
spis treści
ą
symbole
zgłoś błąd
25 maj
a
a  dowolny bok
promień: R =
ą  kąt naprzeciw tego boku
2 sin ą
Trójkąt oparty na średnicy jest prostokątny.
Środek okręgu opisanego na trójkącie znajdujemy rysując symetralne boków trójkąta.
matma235@o2.pl
okrąg wpisany w trójkąt
promień okręgu:
c
b 2P
spis treści
r = P - pole trójkąta
a + b + c
symbole
r
zgłoś błąd
a
25 maj
Środek okręgu wpisanego w trójkąt znajdujemy rysując dwusieczne kątów trójkąta.
matma235@o2.pl
twierdzenie cosinusów
Jeżeli mamy długość dwóch boków trójkąta i kąt jaki tworzą, to możemy wyznaczyć długość
trzeciego.
spis treści
b
symbole c
zgłoś błąd
ł
a
25 maj
c2 = a2 + b2 - 2ab cos ł
przykłady
matma235@o2.pl
" " " " " " " " " "
twierdzenie cosinusów

4
spis treści c = ? c = ?
3 4
120ć%
5
150ć%
30ć%
symbole
5 3
c = ?
zgłoś błąd
25 maj
Dwa boki trójkąta mają długość 3 cm i 4 cm i tworzą kąt 60ć%. Oblicz długość trzeciego.
matma235@o2.pl
4
c = ?
30ć%
5
spis treści
symbole Rozwiązanie:
zgłoś błąd
twierdzenie cosinusów
25 maj
c2 = 52 + 42 - 2 � 5 � 4 � cos 30ć%
"
3
c2 = 25 + 16 - 40 �
2
"
c2 = 41 - 20 3

"
c = 41 - 20 3
matma235@o2.pl
3 4
120ć%
c = ?
spis treści
symbole Rozwiązanie:
zgłoś błąd
twierdzenie cosinusów
25 maj
c2 = 32 + 42 - 2 � 3 � 4 � cos 120ć%
c2 = 9 + 16 - 24 cos 120ć%
cos(180ć% - ą) = - cos ą
1
=
cos 120ć% = cos(180ć% - 60ć%) = - cos 60ć% -
2

1
c2 = 25 - 24 � -
2
c2 = 25 + 12
c2 = 37
"
c = 37
matma235@o2.pl
c = ?
5
150ć%
3
spis treści
symbole Rozwiązanie:
zgłoś błąd
twierdzenie cosinusów
25 maj
c2 = 32 + 52 - 2 � 3 � 5 � cos 150ć%
c2 = 9 + 25 - 30 cos 150ć%
cos(180ć% - ą) = - cos ą
"
3
=
cos 150ć% = cos(180ć% - 30ć%) = - cos 30ć% -
2

"
3
c2 = 34 - 30 � -
2
"
c2 = 25 + 15 3

"
c = 25 + 15 3
matma235@o2.pl
4
c
30ć%
3
spis treści
symbole Rozwiązanie:
zgłoś błąd
twierdzenie cosinusów
25 maj
c2 = 32 + 42 - 2 � 3 � 4 � cos 60ć%
1
c2 = 9 + 16 - 24 �
2
c2 = 25 - 12
"
c = 13
"
Odp. Trzeci bok ma długość 13 cm.
matma235@o2.pl
twierdzenie sinusów
Dzieląc długość dowolnego boku trójkąta przez sinus kąta naprzeciwko otrzymujemy ten sam
wynik.
ą
c
b
spis treści
symbole
ł
�
zgłoś błąd
a
25 maj
a b c
= =
sin ą sin � sin ł
przykłady
matma235@o2.pl
" " " " " " " " " "
twierdzenie sinusów

spis treści
45ć%
c
b b 3
120ć%
symbole
75ć% 60ć% 45ć% 15ć%
zgłoś błąd
a
4
25 maj
b =? c =? a =? b =?
"
W trójkącie dwa boki mają długość 6 cm i 3 6 cm. Naprzeciw boku o długości 6 cm jest
kąt o mierze 45ć%. Oblicz pozostałe kąty trójkąta.
matma235@o2.pl
"
ą
6
3 6
ł
45ć%
twierdzenie sinusów
spis treści
"
symbole
6 3 6
=
zgłoś błąd
sin 45ć% sin ł
"
25 maj 6 3 6
" =
2
sin ł
2
"
"
2
6 sin ł = � 3 6
2
" " "
3 12 3 4 � 3 3 � 2 3
6 sin ł = = =
2 2 2
"

6 sin ł = 3 3 : 6
"
3 3
sin ł =
6
"
3
sin ł =
2
matma235@o2.pl
Matura z matematyki
Na razie nie ma rozwiązania tego zadania. Planuję jednak je napisać. Ten ebook pochodzi z
spis treści 25 maja, może w aktualnej wersji już jest.
symbole
Najnowsza wersja: www.matma.boo.pl www.matma235.prv.pl
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Matura z matematyki  maj 2005
" " " "
Zadanie 1 (3 pkt)
W pudełku są trzy kule białe i pięć kul czarnych. Do pudełka można albo dołożyć jedną kulę
białą albo usunąć z niego jedną kulę czarną, a następnie wylosować z tego pudełka jedną
spis treści
kulę. W którym z tych przypadków wylosowanie kuli białej jest bardziej prawdopodobne?
symbole
Wykonaj odpowiednie obliczenia.
zgłoś błąd
Zadanie 2 (4 pkt)
25 maj
n+2
Dany jest ciąg (an), gdzie an = dla n = 1, 2, 3 . . . Wyznacz wszystkie wyrazy tego
3n+1
1
ciągu większe od
2
Zadanie 3 (4 pkt)
Dany jest wielomian W (x) = x3 + kx2 - 4
a) Wyznacz współczynnik k tego wielomianu wiedząc, że wielomian ten jest podzielny
przez dwumian x + 2.
b) Dla wyznaczonej wartości k rozłóż wielomian na czynniki i podaj wszystkie jego
pierwiastki.
Zadanie 4 (5 pkt)
Na trzech półkach ustawiono 76 płyt kompaktowych. Okazało się, że liczby płyt na półkach
górnej, środkowej i dolnej tworzą rosnący ciąg geometryczny. Na środkowej półce stoją 24
płyty. Oblicz, ile płyt stoi na półce górnej, a ile płyt stoi na półce dolnej.
matma235@o2.pl
Matura z matematyki  maj 2005
" " " "
Zadanie 5 (4 pkt)
Sklep sprowadza z hurtowni kurtki płacąc po 100 zł za sztukę i sprzedaje średnio 40 sztuk
miesięcznie po 160 zł. Zaobserwowano, że każda kolejna obniżka ceny sprzedaży kurtki o 1 zł
spis treści
zwiększa sprzedaż miesięczną o 1 sztukę. Jaką cenę kurtki powinien ustalić sprzedawca, aby
symbole
jego miesięczny zysk był największy?
zgłoś błąd
Zadanie 6 (6 pkt)
25 maj
Dane są zbiory liczb rzeczywistych:
A = {x : |x + 2| < 3}

B = x : (2x - 1)3 8x3 - 13x2 + 6x + 3
Zapisz w postaci przedziałów liczbowych zbiory A, B, A )" B, oraz B - A.
matma235@o2.pl
Matura z matematyki  maj 2005
" " " "
Zadanie 7 (5 pkt)
W poniższej tabeli przedstawiono wyniki sondażu przeprowadzonego w grupie uczniów, do-
tyczącego czasu przeznaczonego dziennie na przygotowywanie zadań domowych.
spis treści
symbole
zgłoś błąd
Czas
1 2 3 4
(w godzinach)
25 maj
Liczba
5 10 15 10
uczniów
a) Naszkicuj diagram słupkowy ilustrujący
wyniki tego sondażu
b) Oblicz średnią liczbę godzin, jaką
uczniowie przeznaczają dziennie na
przygotowanie zadań domowych.
c) Oblicz wariancję i odchylenie
standardowe czasu przeznaczonego
dziennie na przygotowanie zadań
domowych. Wynik podaj z dokładnością
do 0, 01.
matma235@o2.pl
Matura z matematyki  maj 2005
" " " "
C
Zadanie 8 (6 pkt)
Z kawałka materiału o kształcie i wymiarach czworo-
D
kąta ABCD (patrz na rysunek obok) wycięto okrągłą
spis treści
serwetkę o promieniu 3 dm. Oblicz, ile procent całego
symbole 10 dm
O
materiału stanowi jego niewykorzystana część. Wynik 6, 3 dm
zgłoś błąd
podaj z dokładnością 0, 01 procenta.
3 dm
25 maj
B
A
Zadanie 9 (6 pkt)
Rodzeństwo w wieku 8 i 10 lat otrzymało razem w spadku 84100 zł. Kwotę tę złożono w
banku, który stosuje kapitalizację roczną przy rocznej stopie procentowej 5%. Każde z dzieci
otrzyma swoją część spadku z chwilą osiągnięcia 21 lat. Życzeniem spadkodawcy było takie
podzielenie kwoty spadku, aby w przyszłości obie wypłacone części spadku zaokrąglone do
1 zł były równe. Jak należy podzielić kwotę 84100 zł między rodzeństwo? Zapisz wszystkie
wykonane obliczenia.
Zadanie 10 (7 pkt)
W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych popro-
wadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości h i tworzą kąt o mierze 2ą. Oblicz objętość
tego ostrosłupa.
matma235@o2.pl
Matura z matematyki
matura poprawkowa styczeń 2006 podstawowa rozszerzona
matura próbna grudzień 2005 podstawowa rozszerzona
spis treści matura maj 2005 podstawowa rozszerzona
symbole
matura maj 2003 podstawowa rozszerzona
zgłoś błąd
matura styczeń 2003 podstawowa rozszerzona
matura maj 2002 podstawowa rozszerzona
25 maj
matura próbna wrzesień 2001 podstawowa
Zadania i rozwiązania napisałem na podstawie oryginalnych arkuszy egzaminacyjnych i modeli
odpowiedzi dostępnych na stronach CKE.
matma235@o2.pl
Matura z matematyki  maj 2005
" " " "
Zadanie 11 (3 pkt)
Wyznacz dziedzinę funkcji f(x) = logx -3 (x3 + 4x2 - x - 4) i zapisz ją w postaci sumy
2
przedziałów liczbowych.
spis treści
symbole
Zadanie 12 (4 pkt)
zgłoś błąd
"
Dana jest funkcja: f(x) = cos x - 3 sin x, x " R.
a) Naszkicuj wykres funkcji f.
25 maj
b) Rozwiąż równanie: f(x) = 1.
y
2
1
x
Ą
3Ą 3Ą
-2Ą - -Ą -Ą Ą
2Ą
2 2
2 2
-1
-2
matma235@o2.pl
Matura z matematyki  maj 2005
" " " "
Zadanie 13 (4 pkt)
Rzucamy n razy dwiema symetrycznymi sześciennymi kostkami do gry. Oblicz, dla jakich n
prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej raz tej samej liczby oczek na obu kostkach jest
spis treści
671
mniejsze od .
symbole
1296
zgłoś błąd
Zadanie 14 (5 pkt)
1 + 4 + 7 + . . . + (3n - 2)
25 maj
Oblicz: lim
n"
5 + 7 + 9 + . . . + (2n + 3)
matma235@o2.pl
Matura z matematyki  maj 2005
" " " "
Zadanie 15 (4 pkt)
W dowolnym trójkącie ABC punkty M i N są odpowiednio środkami boków AC i BC
C
Rys. 1
spis treści
symbole
M N
zgłoś błąd
A B
25 maj
Zapoznaj się uważnie z następującym rozumowaniem:
Korzystając z własności wektorów i działań na wektorach, zapisujemy równości:
-- - - -
- - - -
(1) MN = MA + AB + BN
oraz
-- - -
- - -
(2) MN = MC + CN
Po dodaniu równości (1) i (2) stronami otrzymujemy:
-- - - - - -
- - - - - -
2 � MN = MA + MC + AB + BN + CN
- - - -
- - - -
MC = -MA oraz CN = -BN , więc:
-- - - - - -
- - - - - -
2 � MN = MA - MA + AB + BN - BN
-- -
- - - -
2 � MN = 0 + AB + 0
-- -
- -
1
MN = � AB
2
Wykorzystując własności iloczynu wektora przez liczbę, ostatnią równość można zinterpreto-
wać następująco:
matma235@o2.pl odcinek łączący środki dwóch boków dowolnego trójkąta jest równo-
legły do trzeciego boku tego trójkąta, zaś jego długość jest równa
połowie długości tego boku.
Matura z matematyki  maj 2005
" " " "
Zadanie 16 (5 pkt)
Sześcian o krawędzi długości a przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy
Ą
i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem .Sporządz
odpowiedni rysunek. Oblicz pole
spis treści
3
otrzymanego przekroju.
symbole
zgłoś błąd
Zadanie 17 (7 pkt)

" "
3 3
Wykaż, bez użycia kalkulatora i tablic, że 5 2 + 7 - 5 2 - 7 jest liczbą całkowitą.
25 maj
Zadanie 18 (8 pkt)
Pary liczb (x, y) spełniające układ równań:

-4x2 + y2 + 2y + 1 = 0
-x2 + y + 4 = 0
są współrzędnymi wierzchołków czworokąta wypukłego ABCD.
a) Wyznacz współrzędne punktów: A, B, C, D.
b) Wykaż, że czworokąt ABCD jest trapezem równoramiennym.
c) Wyznacz równanie okręgu opisanego na czworokącie ABCD.
Zadanie 19 (10 pkt)
1
Dane jest równanie: x2 + (m - 5)x + m2 + m + = 0.
4
Zbadaj, dla jakich wartości parametru m stosunek sumy pierwiastków rzeczywistych równania
do ich iloczynu przyjmuje wartość najmniejszą. Wyznacz tę wartość.
matma235@o2.pl
spis treści
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Matura próbna z matematyki  grudzień 2005
" " " " "
Zadanie 1 (4 pkt)
Wielomian P (x) = x3 - 21x+ 20 rozłóż na czynniki liniowe, to znaczy zapisz go w postaci
iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego.
spis treści
symbole
Zadanie 2 (4 pkt)
zgłoś błąd
W roku 2005 na uroczystości urodzin zapytano jubilata, ile ma lat. Jubilat odpowiedział:
 Jeśli swój wiek sprzed 10 lat pomnożę przez swój wiek za 11 lat, to otrzymam rok mojego
25 maj
urodzenia . Ułóż odpowiednie równanie, rozwiąż je i zapisz, w którym roku urodził się ten
jubilat.
Zadanie 3 (5 pkt)

x + 2 dla x -1, 1)
Funkcja f(x) jest określona wzorem: f(x) =
-(x - 1)2 dla x " 1, 3
a) Sprawdz
, czy liczba a = (0, 25)-0,5 należy do dziedziny funkcji f(x).
b) Oblicz f(2) oraz f(3).
c) Sporządz
wykres funkcji f(x).
d) Podaj rozwiązanie równania f(x) = 0.
e) Zapisz zbiór wartości funkcji f(x).
matma235@o2.pl
Matura próbna z matematyki  grudzień 2005
" " " " "
Zadanie 4 (6 pkt)
W układzie współrzędnych są dane dwa punkty: A = (-2, 2) i B = (4, 4).
a) Wyznacz równanie prostej AB.
spis treści
b) Prosta AB oraz prosta o rówaniu 9x - 6y - 26 = 0 przecinają się w punkcie C.
symbole
Oblicz współrzędne punktu C.
zgłoś błąd
c) Wyznacz równanie symetralnej odcinka AB.
25 maj
Zadanie 5 (5 pkt)
Nieskończony ciąg liczbowy (an) jest określony wzorem an = 4n - 31, n = 1, 2, 3, . . .
Wyrazy ak, ak+1, ak+2 danego ciągu (an), wzięte w takim porządku, powiększono: wyraz
ak o 1, wyraz ak+1 o 3 oraz wyraz ak+2 o 23. W ten sposób otrzymano trzy pierwsze wyrazy
pewnego ciągu geometrycznego. Wyznacz k oraz czwarty wyraz tego ciągu geometrycznego.
Zadanie 6 (4 pkt)
Do szkolnych zawodów szachowych zgłosiło się 16 uczniów, wśród których było dwóch fa-
worytów. Organizatorzy zawodów zamierzają losowo podzielić szachistów na dwie jednakowo
liczne grupy eliminacyjne, Niebieską i Żółtą. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polega-
jącego na tym, że faworyci tych zawodów nie znajdą się w tej samej grupie eliminacyjnej.
Końcowy wynik obliczeń zapisz w postaci ułamka nieskracalnego.
matma235@o2.pl
Matura próbna z matematyki  grudzień 2005
" " " " "
Zadanie 7 (3 pkt)
c - 3
Aby wyznaczyć wszystkie liczby całkowite c, dla których liczba postaci jest także
c - 5
spis treści
liczbą całkowitą można postąpić w następujący sposób:
symbole
a) Wyrażenie w liczniku ułamka zapisujemy w postaci sumy, której jednym ze składników
zgłoś błąd
jest wyrażenie z mianownika:
25 maj
c - 3 (c - 5) + 2
=
c - 5 c - 5
b) Zapisujemy powyższy ułamek w postaci sumy liczby 1 oraz pewnego ułamka:
c - 5 + 2 c - 5 2 2
= + = 1 +
c - 5 c - 5 c - 5 c - 5
2
c) Zauważmy, że ułamek jest liczbą całkowitą wtedy i tylko wtedy, gdy liczba
c - 5
(c - 5) jest całkowitym dzielnikiem liczby 2, czyli (c - 5) " {-1, 1, -2, 2}.
d) Rozwiązujemy kolejno równania c - 5 = -1, c - 5 = 1, c - 5 = -2, c - 5 = 2,
c - 3
i otrzymujemy odpowiedz
: liczba postaci jest całkowita dla:
c - 5
c = 4, c = 6, c = 3, c = 7.
Rozumując analogicznie, wyznacz wszystkie liczby całkowite x, dla których liczba postaci
x
jest liczbą całkowitą.
x - 3
matma235@o2.pl
Matura próbna z matematyki  grudzień 2005
" " " " "
Zadanie 8 (5 pkt)
W kwadrat ABCD wpisano kwadrat EF GH, jak pokazano na poniższym rysunku. Wie-
2
dząc, że |AB| = 1 oraz tangens kąta AEH równa się , oblicz pole kwadratu EF GH.
spis treści
5
symbole
zgłoś błąd
D G C
25 maj
F
H
A E B
Zadanie 9 (7 pkt)
Liczbę naturalną tn nazywamy n-tą liczbą trójkątną, jeżeli jest ona sumą n kolejnych, po-
czątkowych liczb naturalnych. Liczbami trójkątnymi są zatem: t1 = 1, t2 = 1 + 2 = 3,
t3 = 1 + 2 + 3 = 6, t4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10, t5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15. Stosując
tę definicję:
a) wyznacz liczbę t17.
b) ułóż odpowiednie równanie i zbadaj, czy liczba 7626 jest liczbą trójkątną.
matma235@o2.pl
c) wyznacz największą czterocyfrową liczbę trójkątną.
Matura próbna z matematyki  grudzień 2005
" " " " "
Zadanie 10 (7 pkt)
"
Pole powierzchni całkowitej prawidłowego ostrosłupa trójkątnego równą się 144 3, a pole
"
jego powierzchni bocznej 96 3. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
spis treści
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Matura próbna z matematyki  grudzień 2005
" " "
Zadanie 11 (6 pkt)
5
Wyznacz wszystkie liczby całkowite k, dla których funkcja f(x) = x2 - 2k � x + 2k +
4
przyjmuje wartości dodatnie dla każdego x "R.
spis treści
symbole
Zadanie 12 (5 pkt)
zgłoś błąd
y
25 maj
-2 1
x
Powyższy rysunek przedstawia fragment wykresu pewnej funkcji wielomianowej W (x) stop-
nia trzeciego. Jedynymi miejscami zerowymi tego wielomianu są liczby (-2) oraz 1, a po-

chodna W (-2) = 18.
a) Wyznacz wzór wielomianu W (x).
b) Wyznacz równanie prostej stycznej do wykresu tego wielomianu w punkcie
o odciętej x = 3.
matma235@o2.pl
Matura próbna z matematyki  grudzień 2005
" " "
Zadanie 13 (5 pkt)

x-4 ,
Sporządz
wykres funkcji f(x) = a następnie korzystając z tego wykresu, wyznacz
x-2

spis treści
x-4
wszystkie wartości parametru k, dla których równanie = k, ma dwa rozwiązania,
x-2
symbole
których iloczyn jest liczbą ujemną.
zgłoś błąd
Zadanie 14 (4 pkt)
25 maj
5 7
Niech A, B �" &! będą zdarzeniami losowymi, takimi że P (A) = oraz P (B) = .
12 11
Zbadaj, czy zdarzenia A i B są rozłączne.
Zadanie 15 (5 pkt)
2 2 2
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny postaci: 2, , , , . . . Wyznacz
p-1 (p-1)2 (p-1)3
wszystkie wartości p, dla których granicą ciągu jest liczba:
a) 0.
b) 2.
Zadanie 16 (7 pkt)
Dane jest równanie postaci (cos x-1)�(cos x+p+1) = 0, gdzie p " R jest parametrem.
a) Dla p = -1 wypisz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału 0; 5 .
b) Wyznacz wszystkie wartości parametru p, dla których dane równanie
ma w przedziale -Ą; Ą trzy różne rozwiązania.
matma235@o2.pl
Matura próbna z matematyki  grudzień 2005
" " "
Zadanie 17 (4 pkt)
W trójkącie prostokątnym ABC ( BCA = 90ć%) dane są długości przyprostokątnych:
|BC| = a i |CA| = b. Dwusieczna kąta prostego tego trójkąta przecina przeciwprosto-
spis treści
"
a�b
kątną AB w punkcie D. Wykaż, że długość odcinka CD jest równa � 2. Sporządz

symbole
a+b
pomocniczy rysunek uwzględniając podane oznaczenia.
zgłoś błąd
Zadanie 18 (8 pkt)
25 maj
"
Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu R = 5 2,
wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma długość 10, zaś iloczyn sinusów
3
wszystkich jego kątów wewnętrznych jest równy .
8
Zadanie 19 (6 pkt)
Korzystając z zasady indukcji matematycznej, udowodnij, że każda liczba naturalna n 5
spełnia nierówność 2n > n2 + n - 1.
matma235@o2.pl
Zadanie 1 (4 pkt)
Wielomian P (x) = x3 - 21x+ 20 rozłóż na czynniki liniowe, to znaczy zapisz go w postaci
iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego.
Rozwiązanie:
rozkład wielomianu na czynniki
spis treści
P (x) = x3 - 21x + 20
symbole
= x3 - x - 20x + 20
zgłoś błąd
= x(x2 - 1) - 20(x - 1)
25 maj

= - 1)(x + 1) - 20(x - 1)
x(x
= (x - 1)(x(x + 1) - 20)
= (x - 1)(x2 + x - 20)
Obliczamy pierwiastki wyrażenia x2 + x - 20.
" = 12 - 4 � 1 � (-20) = 1 + 80 = 81
" "
" = 81 = 9
-1 - 9 -10
x1 = = = -5
2 � 1 2
-1 + 9 8
x2 = = = 4
2 � 1 2
postać iloczynowa: (x - (-5)) (x - 4) = (x + 5)(x - 4).
Odp. P (x) = (x - 1)(x + 5)(x - 4).
matma235@o2.pl
Zadanie 2 (4 pkt)
W roku 2005 na uroczystości urodzin zapytano jubilata, ile ma lat. Jubilat odpowiedział:
 Jeśli swój wiek sprzed 10 lat pomnożę przez swój wiek za 11 lat, to otrzymam rok mojego
urodzenia . Ułóż odpowiednie równanie, rozwiąż je i zapisz, w którym roku urodził się ten
jubilat.
Rozwiązanie:
spis treści
x  obecny wiek jubilata
symbole
x - 10  wiek jubilata 10 lat temu
zgłoś błąd
x + 11  wiek jubilata za 11 lat
2005 - x  rok urodzenia jubilata
25 maj
(x - 10)(x + 11) = 2005 - x
x2 + 11x - 10x - 110 = 2005 - x
x2 + x - 110 - 2005 + x = 0
x2 + 2x - 2115 = 0
Obliczamy pierwiastki:
" "
" = 22 - 4 � 1 � (-2115) = 4 + 8460 = 8464 " = 8464 = 92
-2 - 92 -94 -2 + 92 90
x1 = = = -47 x2 = = = 45
2 � 1 2 2 � 1 2
Jubilat ma 45 lat i urodził się w roku 2005-45=1960.
Odp. Jubilat urodził się w 1960 roku.
matma235@o2.pl
Zadanie 5 (5 pkt)
Nieskończony ciąg liczbowy (an) jest określony wzorem an = 4n - 31, n = 1, 2, 3, . . .
Wyrazy ak, ak+1, ak+2 danego ciągu (an), wzięte w takim porządku, powiększono: wyraz
ak o 1, wyraz ak+1 o 3 oraz wyraz ak+2 o 23. W ten sposób otrzymano trzy pierwsze wyrazy
pewnego ciągu geometrycznego. Wyznacz k oraz czwarty wyraz tego ciągu geometrycznego.
spis treści
Rozwiązanie:
symbole
zgłoś błąd
an = 4n - 31
ak = 4k - 31
25 maj
ak+1 = 4(k + 1) - 31 = 4k + 4 - 31 = 4k - 27
ak+2 = 4(k + 2) - 31 = 4k + 8 - 31 = 4k - 23
trzy pierwsze wyrazy ciągu geometrycznego:
ak + 1 = 4k - 31 + 1 = 4k - 30
ak+1 + 3 = 4k - 27 + 3 = 4k - 24
ak+2 + 23 = 4k - 23 + 23 = 4k
korzystamy z własności ciągu geometrycznego:
(4k - 24)2 = (4k - 30) � 4k
16k2 - 192k + 576 = 16k2 - 120k
16k2 - 192k + 576 - 16k2 + 120k = 0
-192k + 576 + 120k = 0
-72k + 576 = 0
-72k = -576 / : (-72)
matma235@o2.pl
k = 8
dalej
Dla k = 8 trzy pierwsze wyrazy ciągu geometrycznego wynoszą:
4k - 30 = 4 � 8 - 30 = 2
4k - 24 = 4 � 8 - 24 = 8
4k = 4 � 8 = 32
iloraz ciągu geometrycznego:
spis treści
symbole
8 = 2 � q
zgłoś błąd
q = 4
czwarty wyraz ciągu geometrycznego: 32 � 4 = 128.
25 maj
Odp. k = 8, a czwarty wyraz ciągu geometrycznego: 128.
matma235@o2.pl
Zadanie 6 (4 pkt)
Do szkolnych zawodów szachowych zgłosiło się 16 uczniów, wśród których było dwóch fa-
worytów. Organizatorzy zawodów zamierzają losowo podzielić szachistów na dwie jednakowo
liczne grupy eliminacyjne, Niebieską i Żółtą. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polega-
jącego na tym, że faworyci tych zawodów nie znajdą się w tej samej grupie eliminacyjnej.
Końcowy wynik obliczeń zapisz w postaci ułamka nieskracalnego.
spis treści
symbole
Rozwiązanie:
zgłoś błąd
16 uczniów dzielimy na dwie grupy wybierając 8 uczniów do grupy Niebieskiej. Ci co zostaną
będą w grupie Żółtej. 8 osób z 16 można wybrać na tyle sposobów:
25 maj

16 16! 8! � 9 � 10 � 11 � 12 � 13 � 14 � 15 � 16
8
|&!| = C16 = = = = 12870
8 (16 - 8)! � 8! 8! � 1 � 2 � 3 � 4 � 5 � 6 � 7 � 8
Dwóch faworytów możemy przydzielić do grupy Niebieskiej i Żółtej na 2 sposoby. Pierwszy
do Niebieskiej drugi do Żółtej lub odwrotnie. Pozostałych 14 uczniów dzielimy na dwie grupy
wybierając 7 uczniów do grupy Niebieskiej. Ci co zostaną będą w grupie Żółtej. W ten sposób
możemy wybrać grupy na tyle sposobów:

14 14!
7
|A| = 2 � C14 = 2 � = 2 � =
7 (14 - 7)! � 7!
7! � 8 � 9 � 10 � 11 � 12 � 13 � 14
= 2 � = 6864
7! � 1 � 2 � 3 � 4 � 5 � 6 � 7
|A| 6864 8
P (A) = = =
|&!| 12870 15
matma235@o2.pl
8
Odp.Prawdopodobieństwo, że faworyci zostaną rozdzieleni wynosi P (A) = .
15
x
x - 3
Rozwiązanie:
a) Wyrażenie w liczniku ułamka zapisujemy w postaci sumy, której jednym ze składników
jest wyrażenie z mianownika:
spis treści
symbole
x (x - 3) + 3
=
zgłoś błąd
x - 3 x - 3
b) Zapisujemy powyższy ułamek w postaci sumy liczby 1 oraz pewnego ułamka:
25 maj
x - 3 + 3 x - 3 3 3
= + = 1 +
x - 3 x - 3 x - 3 x - 3
3
c) Zauważmy, że ułamek jest liczbą całkowitą wtedy i tylko wtedy, gdy liczba
x - 3
(x - 3) jest całkowitym dzielnikiem liczby 3, czyli (x - 3) " {-1, 1, -3, 3}.
d) Rozwiązujemy kolejno równania x - 3 = -1, x - 3 = 1, x - 3 = -3, x - 3 = 3,
3
i otrzymujemy odpowiedz
: liczba postaci jest całkowita dla:
x - 3
x = 2, x = 4, x = 0, x = 6.
matma235@o2.pl
Zadanie 8 (5 pkt)
W kwadrat ABCD wpisano kwadrat EF GH, jak pokazano na poniższym rysunku. Wie-
2
dząc, że |AB| = 1 oraz tangens kąta AEH równa się , oblicz pole kwadratu EF GH.
5
Rozwiązanie:
Trójkąt AEH jest przystający do trójkąta BF E, dlatego |EB|=|AH|.
spis treści
Jeżeli |AB| = 1 i |AH| = a to |EB| = a i |AE| = 1 - a.
symbole
zgłoś błąd
a
D G C
tg ą =
1 - a
25 maj
2 a
=
F
5 1 - a
2(1 - a) = 5a
2 - 2a = 5a
H
7a = 2 / : 7
c
a
2
a =
7
ą
2 5
A E B
1 - a = 1 - =
a
1 - a
7 7
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:
2 2 2
5
+ = c2
7 7
4 25
+ = c2
49 49
29
c2 =
49
29
Odp. Pole kwadratu EF GH wynosi P = .
49
matma235@o2.pl
Zadanie 9 (7 pkt)
Liczbę naturalną tn nazywamy n-tą liczbą trójkątną, jeżeli jest ona sumą n kolejnych, po-
czątkowych liczb naturalnych. Liczbami trójkątnymi są zatem: t1 = 1, t2 = 1 + 2 = 3,
t3 = 1 + 2 + 3 = 6, t4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10, t5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15. Stosując
tę definicję:
a) wyznacz liczbę t17.
spis treści
b) ułóż odpowiednie równanie i zbadaj, czy liczba 7626 jest liczbą trójkątną.
symbole
c) wyznacz największą czterocyfrową liczbę trójkątną.
zgłoś błąd
Rozwiązanie:
25 maj
a) wyznacz liczbę t17.
t1 = 1
t2 = 1 + 2 = 3
t3 = 1 + 2 + 3 = 6
t4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10
t5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
tn = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + . . . + n
Ciąg 1, 2, 3, 4, 5, . . . , n jest to ciąg arytmetyczny, którego suma wynosi:
1 + n
tn = � n n " N+
2
Zatem
1 + 17
t17 = � 17 = 9 � 17 = 153
2
dalej
matma235@o2.pl
b) ułóż odpowiednie równanie i zbadaj, czy liczba 7626 jest liczbą trójkątną.
1 + n
tn = � n
2
1 + n
� n = 7626
spis treści
2
symbole n + n2
= 7626 / � 2
zgłoś błąd 2
n + n2 = 15252
25 maj
n2 + n - 15252 = 0
Rozwiązujemy równanie kwadratowe.
" = 12 - 4 � 1 � (-15252) = 1 + 61008 = 61009
" "
" = 61009 = 247
-1 - 247 -248
n1 = = = -124
2 � 1 2
-1 + 247 246
n2 = = = 123
2 � 1 2
n " N+ dlatego tylko 123 jest poprawnym rozwiązaniem.
Odp. Liczba t123 = 7626 jest liczbą trójkątną.
dalej
matma235@o2.pl
c) wyznacz największą czterocyfrową liczbę trójkątną.
tn 9999
1 + n
� n 9999 / � 2
2
n + n2 19998
spis treści
symbole n2 + n - 19998 0
zgłoś błąd
Rozwiązujemy nierówność kwadratową.
25 maj
" = 12 - 4 � 1 � (-19998) = 1 + 79992 = 79993
" "
" = 79993 H" 282, 8
-1 - 282, 8 -283, 8
n1 = = = -141, 9
2 � 1 2
-1 + 282, 8 281, 8
n2 = = = 140, 9
2 � 1 2
n " N+, dlatego największą liczbą naturalną spełnającą tę nierówność jest 140.
1 + 140 141 � 140
t140 = � 140 = = 9870
2 2
Odp. Największą czterocyfrową liczbą trójkątną jest t140 = 9870.
matma235@o2.pl
Zadanie 10 (7 pkt)
"
Pole powierzchni całkowitej prawidłowego ostrosłupa trójkątnego równą się 144 3, a pole
"
jego powierzchni bocznej 96 3. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Rozwiązanie:
"
spis treści pole całkowite: Pc = 144 3
"
pole boczne: Pb = 96 3
symbole
" "
pole podstawy: Pp = Pc - Pb = 144 3 = 48 3
zgłoś błąd
25 maj
H
h
x
a
"
krawędz
podstawy: a = 8 3
wyskokość ściany bocznej: h = 8
odcinek w podstawie: x = 4
"
wysokość ostrosłupa: H = 4 3
objętość ostrosłupa:
1
V = � Pp � H
3
" "
1 1
V = � 48 3 � 4 3 = � 192 � 3 = 192
3 3
Odp. Objętość ostrosłupa wynosi V = 192.
matma235@o2.pl
Podstawą w ostrosłupie trójkątnym prawidłowym jest trójkąt równoboczny, który ma pole
"
równe Pp = 48 3.
h
sin 60ć% =
a
"
spis treści
3 h
=
symbole
a a
2 a
"
h
zgłoś błąd
2h = a 3 / : 2
"
60ć% a 3
25 maj
h =
a
2
1
Pp = � a � h
2
"
"
1 a 3
48 3 = � a �
2 2
"
"
a2 3
48 3 = / � 4
4
" " "
192 3 = a2 3 / : 3
" "
a = 192 = 64 � 3
"
a = 8 3
matma235@o2.pl
W ostrosłupie są trzy ściany o jednakowych polach, zatem pole jednej ściany:
" "
Ps = Pb : 3 = 96 3 : 3 = 32 3
Ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równoramiennymi.
spis treści
symbole
zgłoś błąd
1
Ps = ah
2
25 maj
" "
1
h
32 3 = � 8 3 � h
2
" "
32 3 = 4 3 � h
h = 8
"
8 3
matma235@o2.pl
x
" tg 30ć% = "
4 3 4 3
"
"
8 3
3 x
spis treści
x = "
3
" 4 3
symbole

4 3
" "
30ć%
zgłoś błąd
3x = 3 � 4 3 : 3
"
x = 4
8 3
25 maj
matma235@o2.pl
twierdzenie Pitagorasa
x2 + H2 = h2
spis treści
42 + H2 = 82
symbole
H h H2 = 64 - 16
zgłoś błąd
H2 = 48
25 maj " "
H = 48 = 16 � 3
"
x
H = 4 3
matma235@o2.pl
Zadanie 3 (5 pkt)

x + 2 dla x " -1, 1)
Funkcja f(x) jest określona wzorem: f(x) =
-(x - 1)2 dla x " 1, 3
a) Sprawdz
, czy liczba a = (0, 25)-0,5 należy do dziedziny funkcji f(x).
b) Oblicz f(2) oraz f(3).
spis treści
c) Sporządz
wykres funkcji f(x).
symbole
d) Podaj rozwiązanie równania f(x) = 0.
zgłoś błąd
e) Zapisz zbiór wartości funkcji f(x).
25 maj
Rozwiązanie:
a) Sprawdz
, czy liczba a = (0, 25)-0,5 należy do dziedziny funkcji f(x).
potęgowanie
- 1
2
"
1 1
2
a = (0, 25)-0,5 = = 4 = 4 = 2
4
2 " 1, 3 , dlatego 2 należy do dziedziny funkcji.
b) Oblicz f(2) oraz f(3).
2 " 1, 3 , dlatego f(2) = -(2 - 1)2 = -1.
3 " 1, 3 , dlatego f(3) = -(3 - 1)2 = -22 = -4.
dalej
matma235@o2.pl
c) Sporządz
wykres funkcji f(x).

x + 2 dla x " -1, 1)
f(x) =
-(x - 1)2 dla x " 1, 3
spis treści
punkty:
f(-1) = -1 + 2 = 1 (-1, 1)
symbole
f(0) = 0 + 2 = 2 (0, 2)
zgłoś błąd
f(1) = -(1 - 1)2 = 0 (1, 0)
f(2) = -(2 - 1)2 = -1 (2, -1)
25 maj
f(3) = -(3 - 1)2 = -4 (3, -4)
y
3
-1 3
x
-4
matma235@o2.pl
dalej
d) Podaj rozwiązanie równania f(x) = 0.
Z wykresu możemy odczytać, że f(1) = 0.
e) Zapisz zbiór wartości funkcji f(x).
Z wykresu możemy odczytać zbiór wartości funkcji: y " -4, 0 *" 1, 3).
spis treści
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Zadanie 4 (6 pkt)
W układzie współrzędnych są dane dwa punkty: A = (-2, 2) i B = (4, 4).
a) Wyznacz równanie prostej AB.
b) Prosta AB oraz prosta o rówaniu 9x - 6y - 26 = 0 przecinają się w punkcie C.
Oblicz współrzędne punktu C.
c) Wyznacz równanie symetralnej odcinka AB.
spis treści
symbole
Rozwiązanie:
zgłoś błąd
a) Wyznacz równanie prostej AB.
25 maj Rówananie prostej przechodzącej przez punkty A = (xA, yA), B = (xB, yB):
(y - yA)(xB - xA) - (yB - yA)(x - xA) = 0
dla A = (-2, 2) i B = (4, 4)
(y - 2) (4 - (-2)) - (4 - 2) (x - (-2)) = 0
(y - 2) � 6 - 2 � (x + 2) = 0
6y - 12 - 2x - 4 = 0
6y - 2x - 16 = 0

6y = 2x + 16 : 6
2 16
y = x +
6 6
1 8
y = x +
3 3
1 8
Odp. Równanie prostej AB: y = x + .
3 3
matma235@o2.pl
dalej
b) Prosta AB oraz prosta o rówaniu 9x - 6y - 26 = 0 przecinają się w punkcie C.
Oblicz współrzędne punktu C.
Rozwiązujemy układ równań:
ńł
1 8
�ł
y = x +
3 3
ół
spis treści
9x - 6y - 26 = 0
ńł
symbole
1 8
�ł
�ł
y = x +
�ł
zgłoś błąd
3 3

1 8
�ł
�ł
9x
25 maj ół - 6 x + - 26 = 0
3 3
ńł
1 8
�ł
y = x +
3 3
ół
9x - 2x - 16 - 26 = 0
ńł
1 8
�ł
y = x +
3 3

ół
7x = 42 : 7
ńł
1 8
�ł
y = � 6 +
3 3
ół
x = 6
ńł
2
�ł
y = 2 + 2
3
ół
x = 6
ńł
2
�ł
y = 4
3
ół
matma235@o2.pl
x = 6
2
Odp. Punkt C ma współrzędne: C = (6, 4 ) dalej
3
c) Wyznacz równanie symetralnej odcinka AB.
Symetralna odcinka AB musi byc prostopadła do AB i przechodzić przez jego środek.
1 8
Równanie prostej AB: y = x + .
3 3
Szukane równanie: y = ax + b.
spis treści
współczynniki kierunkowe prostych prostopadłych:
symbole
1
zgłoś błąd � a = -1
3
a = -3
25 maj
y = -3x + b
Szukamy współrzędnych środka odcinka AB na podstawie wzoru:

xA + xB yA + yB
S = ,
2 2
A = (-2, 2) i B = (4, 4)

-2 + 4 2 + 4
S = ,
2 2
S = (1, 3)
Podstawiając współrzędne środka odcinka AB do rówanania y = -3x + b znajdujemy b.
3 = -3 � 1 + b
3 = -3 + b
b = 6
matma235@o2.pl
Odp. Równanie symetralnej odcinka AB: y = -3x + 6.
Zadanie 1 (3 pkt)
W pudełku są trzy kule białe i pięć kul czarnych. Do pudełka można albo dołożyć jedną kulę
białą albo usunąć z niego jedną kulę czarną, a następnie wylosować z tego pudełka jedną
kulę. W którym z tych przypadków wylosowanie kuli białej jest bardziej prawdopodobne?
Wykonaj odpowiednie obliczenia.
Rozwiązanie:
spis treści
symbole
W pierwszym wypadku w pudelku znajdą się 4 kule białe i 5 czarnych. Prawdopodobieństwo
zgłoś błąd
wylosowania kuli białej:
4
p1 =
25 maj
9
W drugim wypadku w pudelku znajdą się 3 kule białe i 4 czarnych. Prawdopodobieństwo
wylosowania kuli białej:
3
p2 =
7
Porównujemy oba prawdopodobieństwa, sprowadzając do jednakowego mianownika:
4 4 � 7 28 3 3 � 9 27
p1 = = = p2 = = =
9 9 � 7 63 7 7 � 9 63
p1 > p2
Odp. Prawdopodobieństwo w pierwszym wypadku jest większe.
matma235@o2.pl
Zadanie 2 (4 pkt)
n+2
Dany jest ciąg (an), gdzie an = dla n = 1, 2, 3 . . . Wyznacz wszystkie wyrazy tego
3n+1
1
ciągu większe od
2
Rozwiązanie:
spis treści
n + 2 1
> � 3n + 1
symbole
3n + 1 2
zgłoś błąd
3n + 1 > 0 dla n = 1, 2, 3 . . . dlatego nie odwracamy znaku nierówności

1
25 maj
n + 2 > (3n + 1) � 2
2
2(n + 2) > 3n + 1
2n + 4 > 3n + 1
2n - 3n > 1 - 4

-n > -3 : (-1)
n < 3
Rozwiązanie nierówności dla n = 1, 2, 3 . . . to n = 1 lub n = 2
1 1 + 2 3 2 + 2 4
Wyrazy większe od : a1 = = a2 = =
2 3 � 1 + 1 4 3 � 2 + 1 7
matma235@o2.pl
Zadanie 3 (4 pkt)
Dany jest wielomian W (x) = x3 + kx2 - 4
a) Wyznacz współczynnik k tego wielomianu wiedząc, że wielomian ten jest podzielny
przez dwumian x + 2.
b) Dla wyznaczonej wartości k rozłóż wielomian na czynniki i podaj wszystkie jego
pierwiastki.
spis treści
symbole
Rozwiązanie:
zgłoś błąd
a) Wyznacz współczynnik k tego wielomianu wiedząc, że wielomian ten jest podzielny
przez dwumian x + 2.
25 maj
Zgodnie z twierdzeniem B�zout jeżeli wielomian W (x) jest podzielny przez x + 2 to -2
jest pierwiastkiem tego wielomianu, czyli:
W (-2) = 0
(-2)3 + k(-2)2 - 4 = 0
-8 + 4k - 4 = 0

4k = 12 : 4
k = 3
dalej
matma235@o2.pl
b) Dla wyznaczonej wartości k rozłóż wielomian na czynniki i podaj wszystkie jego
pierwiastki.
dzielimy wielomian:
(x3+3x2-4) : (x + 2) = x2 + x - 2
spis treści
-x3-2x2
symbole
= x2 -4
-x2-2x
zgłoś błąd
= -2x-4
25 maj 2x+4
= =
W (x) = (x + 2)(x2 + x - 2)
Znajdujemy pierwiastki wielomianu: x2 + x - 2.
" = 12 - 4 � 1 � (-2) = 1 + 8 = 9
" "
" = 9 = 3
-1 - 3 -4 -1 + 3 2
x1 = = = -2 x2 = = = 1
2 � 1 2 2 � 1 2
postać iloczynowa: (x - (-2)) (x - 1) = (x + 2)(x - 1).
W (x) = (x + 2)(x + 2)(x - 1) = (x + 2)2(x - 1)
Odp. W (x) = (x + 2)2(x - 1)
matma235@o2.pl
Zadanie 4 (5 pkt)
Na trzech półkach ustawiono 76 płyt kompaktowych. Okazało się, że liczby płyt na półkach
górnej, środkowej i dolnej tworzą rosnący ciąg geometryczny. Na środkowej półce stoją 24
płyty. Oblicz, ile płyt stoi na półce górnej, a ile płyt stoi na półce dolnej.
Rozwiązanie:
spis treści
x  liczba płyt ustawionych na górnej półce
symbole
24  liczba płyt ustawionych na środkowej półce
zgłoś błąd
24
q= - iloraz ciągu geometrycznego
x
24
25 maj
24 �  liczba płyt ustawionych na dolnej półce
x
24
x + 24 + 24 � = 76
x

576
x + 24 + = 76 � x�
x
x2 + 24x + 576 = 76x
x2 + 24x - 76x + 576 = 0
x2 - 52x + 576 = 0
Znajdujemy pierwiastki wielomianu: x2 - 52x + 576
" = (-52)2 - 4 � 1 � 576 = 2704 - 2304 = 400
" "
" = 400 = 20
52 - 20 32 52 + 20 72
x1 = = = 16 x2 = = = 36
2 � 1 2 2 � 1 2
Odp. Jeżeli liczby płyt mają tworzyć rosnący ciąg geometryczny możliwe jest tylko jedno
matma235@o2.pl
24
rozwiązanie: górna  16, środkowa  24, dolna  24 � = 36.
16
Zadanie 5 (4 pkt)
Sklep sprowadza z hurtowni kurtki płacąc po 100 zł za sztukę i sprzedaje średnio 40 sztuk
miesięcznie po 160 zł. Zaobserwowano, że każda kolejna obniżka ceny sprzedaży kurtki o 1 zł
zwiększa sprzedaż miesięczną o 1 sztukę. Jaką cenę kurtki powinien ustalić sprzedawca, aby
jego miesięczny zysk był największy?
spis treści
Rozwiązanie:
symbole
160 - 100 = 60  zysk na jednej kurtce
zgłoś błąd
x  o tyle złoty obniżono cenę kurtki
60 - x  cena kurtki po obniżce
25 maj
40 + x  tyle kurtek sprzedaje sklep po obniżce o x zł
(40 + x)(60 - x)  tyle miesięcznie zarabia sklep po zmianie ceny
Przychód sklepu opisuje funkcja:
f(x) = (40 + x)(60 - x)
f(x) = 2400 - 40x + 60x - x2
f(x) = -x2 + 20x + 2400
Wykres tej funkcji to parabola z ramionami skierowanymi w dół. Największą wartość osiąga
-b
w wierzchołku dla xw = .
2a
-20
xw = = 10
2 � (-1)
Odp O 10 zł należy obniżyć cenę kurtki, a więc jej cena wyniesie 150 zł.
matma235@o2.pl
Zadanie 6 (6 pkt)
Dane są zbiory liczb rzeczywistych:
A = {x : |x + 2| < 3}

B = x : (2x - 1)3 8x3 - 13x2 + 6x + 3
Zapisz w postaci przedziałów liczbowych zbiory A, B, A )" B, oraz B - A.
spis treści
Rozwiązanie:
symbole
zgłoś błąd
A = {x : |x + 2| < 3}
25 maj
|x + 2| < 3
Nierówność z wartością bezwzględną można zastąpić układem nierówności bez wartości bez-
względnej.
x + 2 < 3 i x + 2 > -3
x < 3 - 2 x > -3 - 2
x < 1 x > -5
-5 1
Rozwiązaniem jest część wspólna przedziałów:
A = (-5, 1)
dalej
matma235@o2.pl

B = x : (2x - 1)3 8x3 - 13x2 + 6x + 3
rozwiązujemy nierówność kwadratową:
(2x - 1)3 8x3 - 13x2 + 6x + 3
8x3 - 12x2 + 6x - 1 8x3 - 13x2 + 6x + 3
spis treści
8x3 - 12x2 + 6x - 1 - 8x3 + 13x2 - 6x - 3 0
symbole
x2 - 4 0
zgłoś błąd
(x - 2)(x + 2) 0
25 maj
x1 = 2 x2 = -2
B
A
-5 -2 1 2
B = -2, 2
część wspólna: A )" B = -2, 1)
różnica: B - A = 1, 2
matma235@o2.pl
 Zadanie 7 (5 pkt)
W poniższej tabeli przedstawiono wyniki sondażu przeprowadzonego w grupie uczniów, do-
tyczącego czasu przeznaczonego dziennie na przygotowywanie zadań domowych.
Czas
1 2 3 4
spis treści
(w godzinach)
symbole
Liczba
zgłoś błąd
5 10 15 10
uczniów
25 maj
a) Naszkicuj diagram słupkowy ilustrujący wyniki tego sondażu.
15
10
5
1 2 3 4
matma235@o2.pl
czas w godzinach
dalej
liczba uczniów
b) Oblicz średnią liczbę godzin, jaką uczniowie przeznaczają dziennie na przygotowanie zadań
domowych.
Liczba wszystkich uczniów:
5 + 10 + 15 + 10 = 40
A
ączna liczba godzin przeznaczonych na naukę przez wszystkich uczniów:
spis treści
symbole
5 � 1 + 10 � 2 + 15 � 3 + 10 � 4 = 110
zgłoś błąd
110
Średnia liczba godzin:

= = 2, 75
25 maj
40
c) Oblicz wariancję i odchylenie standardowe czasu przeznaczonego dziennie na przygotowanie
zadań domowych. Wynik podaj z dokładnością do 0, 01.
Wariancja:
5 � (1 - 2, 75)2 + 10 � (2 - 2, 75)2 + 15 � (3 - 2, 75)2 + 10 � (4 - 2, 75)2
�2 =
40
15, 3125 + 5, 625 + 0, 9375 + 15, 625
�2 =
40
37, 5
�2 = = 0, 9375 H" 0, 94
40
Odchylenie standardowe:

� = 0, 9375 H" 0, 97
matma235@o2.pl
4.Liczymy, ile procent przypada na niewykorzystaną część:
SABCD - Sk 20, 64 dm2
= � 100% H" 42, 21%
SABCD 48, 9 dm2
Odp. Niewykorzystana część stanowi 42, 21% całego materiału.
spis treści
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Zadanie 9 (6 pkt)
Rodzeństwo w wieku 8 i 10 lat otrzymało razem w spadku 84100 zł. Kwotę tę złożono w
banku, który stosuje kapitalizację roczną przy rocznej stopie procentowej 5%. Każde z dzieci
otrzyma swoją część spadku z chwilą osiągnięcia 21 lat. Życzeniem spadkodawcy było takie
podzielenie kwoty spadku, aby w przyszłości obie wypłacone części spadku zaokrąglone do
1 zł były równe. Jak należy podzielić kwotę 84100 zł między rodzeństwo? Zapisz wszystkie
spis treści
wykonane obliczenia.
symbole
Rozwiązanie:
zgłoś błąd
Korzystamy ze wzoru na kapitalizację odsetek.
25 maj 5
p = 5% = = 0, 05  procent dopisywany co rok
100
x  kwota wpłacona dla ośmioletniego dziecka
21 - 8 = 13  tyle lat zostało ośmiolatkowi do 21
x � (1 + 0, 05)13  tyle otrzyma w wieku 21 lat
84100 - x  kwota wpłacona dla dziesięcioletniego dziecka
21 - 10 = 11  tyle lat zostało dziesięciolatkowi do 21
(84100 - x) � (1 + 0, 05)11  tyle otrzyma w wieku 21 lat
W wieku 21 lat dzieci mają dostać tyle samo:
x � (1 + 0, 05)13 = (84100 - x) � (1 + 0, 05)11

x � 1, 0513 = (84100 - x) � 1, 0511 : 1, 0511
x � 1, 052 = 84100 - x
x � 1, 1025 + x = 84100

2, 1025x = 84100 : 2, 1025
x = 40000 84100 - 40000 = 44100
matma235@o2.pl
Odp. Dla ośmiolatka należy wpłacić 40000 zł, a dla dziesiąciolatka 44100 zł.
Zadanie 10 (7 pkt)
W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych popro-
wadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości h i tworzą kąt o mierze 2ą. Oblicz objętość
tego ostrosłupa.
W W
Rozwiązanie:
spis treści
symbole
ą ą
zgłoś błąd
h h
H
25 maj
D C
K
L K L
1 1
a a
2 2
A B
a
wysokości ścian bocznych: |KW | = |LW | = h
1
a
H
2
sin ą = � h cos ą = � h
h h

1
a = h sin ą � 2 H = h cos ą
2
a = 2h sin ą
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie kwadrat, którego długość boku policzy-
liśmy: a = 2h sin ą. Pole podstawy: Pp = a2 = (2h sin ą)2 = 4h2 sin2 ą
Objętość ostrosłupa:
matma235@o2.pl 1 1 4
V = � Pp � H = � 4h2 sin2 ą � h cos ą = h3 sin2 ą � cos ą
3 3 3
Matura poprawkowa z matematyki  styczeń 2006
" " " " "
Zadanie 1 (3 pkt)
" 3
1
"
3 3 - 4
9
Dane są liczby: a = " i b = 27 �
spis treści
3-5
1 + 2 3
"
symbole
a) Przedstaw liczbę a w postaci x + y 3, gdzie x i y są liczbami wymiernymi.
zgłoś błąd
b) Zapisz liczbę b w postaci potęgi liczby 3 o wykładniku ułamkowym.
c) Suma liczb a i b stanowi 80% pewnej liczby c. Wyznacz liczbę c.
25 maj
Zadanie 2 (3 pkt)
Po Wiadomościach z kraju i ze świata telewizja TVG ma nadać pięć reklam: trzy reklamy
różnych proszków do prania oraz dwie reklamy różnych past do zębów. Kolejność nadawania
reklam jest ustalona losowo. Oblicz prawdopodobieństwo, że dwie reklamy produktów tego
samego rodzaju nie będą nadane bezpośrednio jedna po drugiej. Wynik podaj w postaci
nieskracalnego ułamka zwykłego.
Zadanie 3 (3 pkt)
Dana jest funkcja f : R R określona wzorem f(x) = ax + 4.
a) Wyznacz wartość a, dla której miejscem zerowym funkcji f jest liczba -1.
b) Wyznacz wartość a, dla której prosta będąca wykresem funkcji f jest nachylona do
osi OX pod kątem 60ć%.
c) Wyznacz wartość a, dla której równanie ax + 4 = 2a + 4 ma nieskończenie wiele
rozwiązań.
matma235@o2.pl
Matura poprawkowa z matematyki  styczeń 2006
" " " " "
Zadanie 4 (4 pkt)
W pewnej firmie pracownicy zostali zaszeregowani do trzech grup uposażeń. Liczbę pracow-
ników i płace (w euro) w poszczególnych grupach przedstawia diagram słupkowy:
spis treści
symbole
14
zgłoś błąd
13
12
11
25 maj
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
400 480 540
Płaca miesięczna [w euro]
a) Wyznacz średnią płacę miesięczną w tej firmie.
b) Oblicz wariancję i odchylenie standardowe miesięcznej płacy w tej firmie. Odchylenie
standardowe podaj z dokładnością do 0,1.
matma235@o2.pl
Liczba pracowników
Matura poprawkowa z matematyki  styczeń 2006
" " " " "
Zadanie 5 (3 pkt)
Zauważ, że:
spis treści
12 = 1
symbole
22 = 1 + 2 + 1
zgłoś błąd
32 = 1 + 2 + 3 + 2 + 1
25 maj 42 = 1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1
Stosując wzór na sumę kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego uzasadnij, że:
n2 = 1 + 2 + 3 + . . . + (n - 1) + n + (n - 1) + . . . + 3 + 2 + 1
matma235@o2.pl
Matura poprawkowa z matematyki  styczeń 2006
" " " " "
Zadanie 6 (6 pkt)
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej f. Na podstawie wykresu
spis treści
symbole
y
5
zgłoś błąd
4
25 maj
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
x
-1
-2
-3
-4
-5
a) zapisz w postaci sumy przedziałów liczbowych zbiór rozwiązań nierówności f(x) 3,
b) określ i zapisz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale 0, 3 ,
c) zapisz wzór funkcji f w postaci iloczynowej.
matma235@o2.pl
Matura poprawkowa z matematyki  styczeń 2006
" " " " "
Zadanie 7 (6 pkt)
5 - 3n
Dany jest ciąg (an) o wyrazie ogólnym an = n = 1, 2, 3, . . .
7
spis treści
a) Sprawdz
na podstawie definicji, czy ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym.
symbole
b) Oblicz, dla jakiej wartości x liczby a4, x2 + 2, a11 są kolejnymi wyrazami tego
zgłoś błąd
samego ciągu geometrycznego.
25 maj
Zadanie 8 (6 pkt)
Wysokość walca jest o 6 większa od średnicy jego podstawy, a pole jego powierzchni całko-
witej jest równe 378Ą. Oblicz objętość walca.
Zadanie 9 (8 pkt)

3
Dane są zbiory liczb rzeczywistych: A = x : 1 i B = {x : |x + 1| < 3}.
x
a) Zaznacz te zbiory na osi liczbowej
b) Przedstaw zbiory A *" B i A\B w postaci sumy przedziałów liczbowych.
Zadanie 10 (8 pkt)
W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary 60ć% i 30ć%, a długość
wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządz
odpowiedni rysunek i oznacz jego elementy.
Oblicz pole trapezu oraz długość jego podstaw.
matma235@o2.pl
Zadanie 1 (3 pkt)
" 3
1
"
3 3 - 4
9
Dane są liczby: a = " i b = 27 �
3-5
1 + 2 3
"
a) Przedstaw liczbę a w postaci x + y 3, gdzie x i y są liczbami wymiernymi.
b) Zapisz liczbę b w postaci potęgi liczby 3 o wykładniku ułamkowym.
spis treści
c) Suma liczb a i b stanowi 80% pewnej liczby c. Wyznacz liczbę c.
symbole
Rozwiązanie:
zgłoś błąd
"
a) Przedstaw liczbę a w postaci x + y 3, gdzie x i y są liczbami wymiernymi.
25 maj
" " " " "
3 3 - 4 3 3 - 4 1 - 2 3 (3 3 - 4)(1 - 2 3)

a = " = " � " = " =
1 + 2 3 1 + 2 3 1 - 2 3 1 - (2 3)2
" " " "
"
3 3 - 6 � 3 - 4 + 8 3 -22 + 11 3 -22 11 3
= = = + = 2 - 3
1 - 4 � 3 -11 -11 -11
b) Zapisz liczbę b w postaci potęgi liczby 3 o wykładniku ułamkowym.
3 3 -3
1
" " " "
9-1 32
3-6
9
=
b = 27 � 9 � 3 � = 3 3 � = 3 3 � =
3-5 3-5 3-5 3-5
" " " "
1 1
2
= 3 3 � 3-6-(-5) = 3 3 � 3-1 = 3 3 � = 3 = 3
3
dalej
matma235@o2.pl
c) Suma liczb a i b stanowi 80% pewnej liczby c. Wyznacz liczbę c.
" " "
1
a + b = 2 - 3 + 32 = 2 - 3 + 3 = 2
80% z c = 2
80
� c = 2
spis treści
100

symbole
8 8
� c = 2 :
zgłoś błąd
10 10
10
c = 2 �
25 maj
8
20
c =
8
c = 2, 5
matma235@o2.pl
Zadanie 2 (3 pkt)
Po Wiadomościach z kraju i ze świata telewizja TVG ma nadać pięć reklam: trzy reklamy
różnych proszków do prania oraz dwie reklamy różnych past do zębów. Kolejność nadawania
reklam jest ustalona losowo. Oblicz prawdopodobieństwo, że dwie reklamy produktów tego
samego rodzaju nie będą nadane bezpośrednio jedna po drugiej. Wynik podaj w postaci
nieskracalnego ułamka zwykłego.
spis treści
symbole
Rozwiązanie:
zgłoś błąd
Na tyle sposobów można nadać pięć reklam w dowolnej kolejności:
25 maj
&! = 5! = 1 � 2 � 3 � 4 � 5 = 120
Warunki zadania będą spełnione tylko wtedy, jeżeli reklamy będą nadawane w następującej
kolejności:
proszek  pasta  proszek  pasta  proszek
W powyższym zestawie reklamy proszków można ustawić na 3! sposobów, a reklamy pasty
na 2! sposobów. Zatem cały ciąg pięciu reklam można wyemitować na tyle sposobów:
A = 3! � 2! = 6 � 2 = 12
Prawdopodobieństwo takiej sytuacji:
12 1
P (A) = =
120 10
matma235@o2.pl
Zadanie 3 (3 pkt)
Dana jest funkcja f : R R określona wzorem f(x) = ax + 4.
a) Wyznacz wartość a, dla której miejscem zerowym funkcji f jest liczba -1.
b) Wyznacz wartość a, dla której prosta będąca wykresem funkcji f jest nachylona do
osi OX pod kątem 60ć%.
c) Wyznacz wartość a, dla której równanie ax + 4 = 2a + 4 ma nieskończenie wiele
spis treści
rozwiązań.
symbole
zgłoś błąd
Rozwiązanie:
a) Wyznacz wartość a, dla której miejscem zerowym funkcji f jest liczba -1.
25 maj
0 = a � (-1) + 4
0 = -a + 4
a = 4
b) Wyznacz wartość a, dla której prosta będąca wykresem funkcji f jest nachylona do
osi OX pod kątem 60ć%.
Współczynnik kierunkowy a funkcji liniowej y = ax + b jest równy tg ą, gdzie ą jest kątem
pod jakim wykres funkcji liniowej jest nachylony do osi OX.
"

=
a = tg 60ć% 3
dalej
matma235@o2.pl
c) Wyznacz wartość a, dla której równanie ax + 4 = 2a + 4 ma nieskończenie wiele
rozwiązań.
ax + 4 = 2a + 4
ax - 2a = 4 - 4
a(x - 2) = 0
spis treści
Dla a = 0 nie ma znaczenia co wstawimy za x, bo iloczyn i tak będzie równy zero. Zatem
symbole
dla a = 0 równanie ma nieskończeni wiele rozwiązań.
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Zadanie 4 (4 pkt)
W pewnej firmie pracownicy zostali zaszeregowani do trzech grup uposażeń. Liczbę pracow-
ników i płace (w euro) w poszczególnych grupach przedstawia diagram słupkowy:
14
13
12
spis treści
11
10
symbole
9
8
zgłoś błąd
7
6
5
25 maj
4
3
2
1
400 480 540
Płaca miesięczna [w euro]
a) Wyznacz średnią płacę miesięczną w tej firmie.
b) Oblicz wariancję i odchylenie standardowe miesięcznej płacy w tej firmie. Odchylenie
standardowe podaj z dokładnością do 0,1.
Rozwiązanie:
a) Wyznacz średnią płacę miesięczną w tej firmie.
Liczba wszystkich pracowników
12 + 6 + 2 = 20
Suma wszystkich wypłat (ilość pieniędzy, które idą na wypłaty):
12 � 400 + 6 � 480 + 2 � 540 = 8760
matma235@o2.pl
8760
Średnia płaca miesięczna: a = = 438 dalej
20
Liczba pracowników
b) określ i zapisz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale 0, 3
y
5
4
3
spis treści
2
symbole
1
zgłoś błąd
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
x
25 maj
-1
-2
-3
-4
-5
W przedziale 0, 3 największa wartość to 4 a najmniejsza to 0.
dalej
matma235@o2.pl
c) zapisz wzór funkcji f w postaci iloczynowej.
y
5
4
3
2
spis treści
1
symbole
zgłoś błąd -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
x
-1
-2
25 maj
-3
-4
-5
miejsca zerowe funkcji to: x1 = -1 x2 = 3
postać iloczynowa:
f(x) = a(x - (-1))(x - 3)
f(x) = a(x + 1)(x - 3)
Wykres zawiera np. punkt (1, 4). Dzięki jemu obliczymy współczynnik a:
4 = a(1 + 1)(1 - 3)

4 = a � 2 � (-2) : (-4)
a = -1
matma235@o2.pl
Odp. Postać iloczynowa funkcji: y = -(x + 1)(x - 3)
 Zadanie 7 (6 pkt)
5 - 3n
Dany jest ciąg (an) o wyrazie ogólnym an = n = 1, 2, 3, . . .
7
a) Sprawdz
na podstawie definicji, czy ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym.
b) Oblicz, dla jakiej wartości x liczby a4, x2 + 2, a11 są kolejnymi wyrazami tego
samego ciągu geometrycznego.
spis treści
symbole Rozwiązanie:
zgłoś błąd
a) Sprawdz
na podstawie definicji, czy ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym.
definicja ciągu arytmetycznego
25 maj
5 - 3n 5 - 3(n + 1)
an = an+1 =
7 7
5 - 3(n + 1) 5 - 3n 5 - 3(n + 1) - (5 - 3n
an+1 - an = - = =
7 7 7)
5 - 3n - 3 - 5 + 3n 3
= = -
7 7
dalej
matma235@o2.pl
b) Oblicz, dla jakiej wartości x liczby a4, x2 + 2, a11 są kolejnymi wyrazami tego
samego ciągu geometrycznego.
5 - 3n
an =
7
spis treści
5 - 3 � 4 5 - 12 5 - 3 � 11 5 - 33
a4 = = = -1 a11 = = = -4
symbole
7 7 7 7
zgłoś błąd
Korzystamy z własności ciągu geometrycznego.
25 maj
(x2 + 2)2 = a4 � a11
(x2 + 2)2 = -1 � (-4)
(x2 + 2)2 = 4
(x2 + 2)2 = 4
x2 + 2 = 2 lub x2 + 2 = -2
x2 = 0 x2 = -4
x = 0 nie ma rozwiązania
Odp. Dla x = 0 liczby a4, x2 + 2, a11 tworzą ciąg geometryczny.
matma235@o2.pl
Zadanie 8 (6 pkt)
Wysokość walca jest o 6 większa od średnicy jego podstawy, a pole jego powierzchni całko-
witej jest równe 378Ą. Oblicz objętość walca.
Rozwiązanie:
spis treści
symbole
zgłoś błąd
H
25 maj
r
2r  średnica podstawy
H = 2r + 6  wysokość jest o 6 większa od średnicy podstawy
Pc = 2Ąr2 + 2ĄrH  pole powierzchni całkowitej
378Ą = 2Ąr2 + 2ĄrH

378Ą = 2Ąr2 + 2Ąr(2r + 6) : Ą
378 = 2r2 + 4r2 + 12r

0 = 6r2 + 12r - 378 : 6
0 = r2 + 2r - 63
dalej
matma235@o2.pl
r2 + 2r - 63 = 0
Obliczamy pierwiastki:
" "
" = 22 - 4 � 1 � (-63) = 4 + 252 = 256 " = 256 = 16
-2 - 16 -18 -2 + 16 14
spis treści
r1 = = = -9 r2 = = = 7
2 � 1 2 2 � 1 2
symbole
zgłoś błąd
Tylko rozwiązanie r2 = 7 jest poprawne (długość musi być dodatania).
25 maj
H = 2r + 6
H = 2 � 7 + 6
H = 20
Objętość walca:
V = Ąr2 � H
V = Ą � 72 � 20
V = 980Ą
matma235@o2.pl
Zadanie 9 (8 pkt)

3
Dane są zbiory liczb rzeczywistych: A = x : 1 i B = {x : |x + 1| < 3}.
x
a) Zaznacz te zbiory na osi liczbowej
b) Przedstaw zbiory A *" B i A\B w postaci sumy przedziałów liczbowych.
spis treści
Rozwiązanie:
symbole
a) Zaznacz te zbiory na osi liczbowej
zgłoś błąd

3
A = x : 1
25 maj x
3
1
x
3
- 1 0
x
3 x
- 0
x x
3 - x
0 dziedzina: x = 0

x
zamiast ułamka możemy napisać iloczyn.
(3 - x)x 0 dla x = 0

dalej
matma235@o2.pl
Rozwiązujemy nierówność kwadratową.
(3 - x)x 0 dla x = 0

x1 = 3 x2 = 0
spis treści
symbole
x
0 3
zgłoś błąd
25 maj
rozwiązaniem jest suma dwóch przedziałów: A = (-", 0) *" 3, ")
B = {x : |x + 1| < 3}
|x + 1| < 3
Nierówność z wartością bezwzględną można zastąpić układem nierówności bez wartości bez-
względnej.
x + 1 < 3 i x + 1 > -3
x < 3 - 1 x > -3 - 1
x < 2 x > -4
-4 2
Rozwiązaniem jest część wspólna przedziałów:
B = (-4, 2)
matma235@o2.pl
dalej
A = (-", 0) *" 3, ") B = (-4, 2)
B
A A
spis treści
-4 0 2 3
symbole
zgłoś błąd
b) Przedstaw zbiory A *" B i A\B w postaci sumy przedziałów liczbowych.
Z rysunku odczytujemy rozwiązanie:
25 maj
suma: A *" B = (-", 2) *" 3, ")
różnica: A\B = (-", -4 *" 3, ")
matma235@o2.pl
Zadanie 10 (8 pkt)
W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary 60ć% i 30ć%, a długość
wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządz
odpowiedni rysunek i oznacz jego elementy.
Oblicz pole trapezu oraz długość jego podstaw.
b
Rozwiązanie:
spis treści
c
d
symbole
(a + b)h
6 6
Pole trapezu: P =
zgłoś błąd
2
60ć% 30ć%
25 maj
y
x

a
Czworokąt jest opisany na opisany na okręgu, jeżeli suma jego przeciwległych boków jest
równa. Czyli a + b = c + d.
6 6
sin 60ć% = sin 30ć% =
c d
"

3 6 1 6
= � c = � d
2 c 2 d
" "

3 3 1 1
� c = 6 : � d = 6 :
2 2 2 2
2 2
c = 6 � " d = 6 �
1
3
" "
"
12 12 3 12 3
" " "
c = = � = = 4 3 d = 12
3
3 3 3
"
matma235@o2.pl
a + b = c + d = 4 3 + 12 dalej
Pole trapezu:
"
" "
(a + b)h (4 3 + 12) � 6
P = = = (4 3 + 12) � 3 = 12 3 + 36
2 2
b
spis treści
c
d
symbole
6 6
zgłoś błąd
b
60ć% 30ć%
y
25 maj x

a
6 6
tg 60ć% = tg 30ć% =
x y
"

"
6 3 6
3 = � x = � y
x 3 y
" "

" "
3 3
3 � x = 6 : 3 y = 6 :
3 3
6 3
x = " y = 6 � "
3 3
" " " "
6 6 3 6 3 18 3 18 3
" " " " "
x = = � = y = = =
3 3
3 3 3 3 3
" "
x = 2 3 y = 6 3
a = x + b + y
" "
matma235@o2.pl a - b = 2 3 + 6 3
" "
a - b = 8 3 a + b = 4 3 + 12 dalej
 "
a - b = 8 3
"
a + b = 4 3 + 12
"
a = 8 3 + b
" "
8 3 + b + b = 4 3 + 12
ńł
"
spis treści
�ł
a = 8 3 + b
symbole

" "
ół
2b = 4 3 + 12 - 8 3 : 2
zgłoś błąd
"
a = 8 3 + b
25 maj
"
b = 6 - 2 3
" "
a = 8 3 + 6 - 2 3
"
b = 6 - 2 3
"
a = 6 + 6 3
"
b = 6 - 2 3
" " "
Odp. Pole trapezu wynosi 12 3 + 36, a jego podstawy 6 + 6 3, 6 - 2 3.
matma235@o2.pl
Matura poprawkowa z matematyki  styczeń 2006
" " "
Zadanie 11 (6 pkt)
Wyznacz dziedzinę i naszkicuj wykres funkcji f danej wzorem f(m) = x1 �x2, gdzie x1, x2
są różnymi pierwiastkami równania (m + 2)x2 - (m + 2)2x + 3m + 2 = 0, w którym
spis treści
m " R\{-2}.
symbole
zgłoś błąd
Zadanie 12 (4 pkt)
Rozwiąż układ równań
25 maj

|x| - y = 1
x2 + (y + 1)2 = 8
Zadanie 13 (5 pkt)
Wyznacz dziedzinę funkcji f(x) = logx(4x - 12 � 2x + 32)
Zadanie 14 (4 pkt)
Dany jest ciąg trójkątów równobocznych takich, że bok następnego trókąta jest wysokością
poprzedniego. Oblicz sumę pól wszystkich tak utworzonych trójkątów, przyjmując, że bok
pierwszego trójkąta ma długość a (a > 0).
Zadanie 15 (4 pkt)
Rozwiąż równanie:
Ą
1
+ ctg x + cos + x = 0
sin x 2
matma235@o2.pl
Matura poprawkowa z matematyki  styczeń 2006
" " "
Zadanie 16 (4 pkt)
Para (&!, P ) jest przestrzenią probabilistyczną, a A �" &! i B �" &! są zdarzeniami niezależ-
nymi. Wykaż, że jeżeli P (A *" B) = 1, to jedno z tych zdarzeń jest zdarzeniem pewnym tj.
spis treści
P (A) = 1 lub P (B) = 1.
symbole
zgłoś błąd
Zadanie 17 (5 pkt)
Rysunek przedstawia wykres pochodnej funcji f.
25 maj
y
5
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
x
-1
-2
-3
-4
-5
a) Podaj maksymalne przedziały, w których funkcja f jest malejąca.
b) Wyznacz wartość x, dla której funkcja f osiąga maksimum lokalne. Odpowiedz
uzasadnij.
matma235@o2.pl
c) Wiedząc, że punkt A = (1, 2) należy do wykresu funkcji f, napisz równanie stycznej
do krzywej f w punkcie A.
Zadanie 11 (6 pkt)
Wyznacz dziedzinę i naszkicuj wykres funkcji f danej wzorem f(m) = x1 �x2, gdzie x1, x2
są różnymi pierwiastkami równania (m + 2)x2 - (m + 2)2x + 3m + 2 = 0, w którym
m " R\{-2}.
Rozwiązanie:
spis treści
(m + 2)x2 - (m + 2)2x + 3m + 2 = 0
symbole
Równanie ma różne pierwiastki, jeżeli " > 0.
zgłoś błąd
2
" = -(m + 2)2 - 4(m + 2)(3m + 2)
25 maj
Rozwiązujemy nierówność kwadratową:
(m + 2)4 - 4(m + 2)(3m + 2) > 0

(m + 2) (m + 2)3 - 4(3m + 2) > 0
(m + 2)(m3 + 6m2 + 12m + 8 - 12m - 8) > 0
(m + 2)(m3 + 6m2) > 0
m2(m + 2)(m + 6) > 0
pierwiastki: m1 = 0 m2 = -2 m3 = -6
krotność: 2 1 1
-6 2 0
m " (-", -6) *" (-2, 0) *" (0, ")
matma235@o2.pl
dalej
Korzystając ze wzorów Vi�te a:
3m + 2
x1 � x2 =
m + 2
3m + 2 3(m + 2) - 4 3(m + 2) 4 -4
f(m) = = = - = + 3
m + 2 m + 2 m + 2 m + 2 m + 2
spis treści
-4 -4
symbole
Wykres f(x) = + 3 otrzymujemy przez przesunięcie y = o wektor [-2, 3].
m + 2 m
zgłoś błąd
x -4 -1 1 4
25 maj
-4
y = 1 4 -4 -1
x
y
x
matma235@o2.pl
dalej
Po uwzględnieniu dziedziny m " (-", -6) *" (-2, 0) *" (0, ") wykres funkcji
3m + 2
f(m) =
m + 2
będzie wyglądał następująco:
spis treści
symbole
zgłoś błąd
25 maj
y
-6 -2
x
matma235@o2.pl
Zadanie 12 (4 pkt)
Rozwiąż układ równań

|x| - y = 1
x2 + (y + 1)2 = 8
spis treści
Rozwiązanie:
symbole
Korzystamy z definicji wartości bezwzględnej
zgłoś błąd
dla x 0 dla x < 0
25 maj
x - y = 1 - x - y = 1
x2 + (y + 1)2 = 8 x2 + (y + 1)2 = 8

x = 2 x = -2
y = 1 y = 1
matma235@o2.pl
dla x 0

x - y = 1
x2 + (y + 1)2 = 8

x = 1 + y
spis treści
symbole
(1 + y)2 + (y + 1)2 = 8

zgłoś błąd
x = 1 + y

25 maj
2(y + 1)2 = 8 : 2

x = 1 + y
(y + 1)2 = 4

x = 1 + y x = 1 + y
y + 1 = 2 y + 1 = -2

x = 1 + 1 = 2 x = 1 + (-3) = -2
y = 1 y = -3
Jeżeli x 0 to zostaje tylko rozwiązanie:

x = 2
y = 1
matma235@o2.pl
dla x < 0

- x - y = 1 � (-1)
x2 + (y + 1)2 = 8

x + y = -1
spis treści
x2 + (y + 1)2 = 8
symbole

zgłoś błąd
x = -1 - y
(-1 - y)2 + (y + 1)2 = 8
25 maj

x = -1 - y
(-(y + 1))2 + (y + 1)2 = 8

x = 1 + y

2(y + 1)2 = 8 : 2

x = 1 + y
(y + 1)2 = 4

x = -1 - y x = -1 - y
y + 1 = 2 y + 1 = -2

x = -1 - 1 = -2 x = -1 - (-3) = 2
y = -3 y = -3
matma235@o2.pl
Jeżeli x < 0 to zostaje tylko pierwsze rozwiązanie: x = -2 y = 1
Zadanie 13 (5 pkt)
Wyznacz dziedzinę funkcji f(x) = logx(4x - 12 � 2x + 32)
Rozwiązanie:
Korzystamy z definicji logarytmu:
spis treści
x > 0 x = 1 4x - 12 � 2x + 32 > 0

symbole
x " (-", 2) *" (3, ")
zgłoś błąd
Po uwzględnieniu wszystkich trzech warunków mamy dziedzinę f(x)
25 maj
x " (0, 1) *" (1, 2) *" (3, ")
matma235@o2.pl
 4x - 12 � 2x + 32 > 0
22x - 12 � 2x + 32 > 0
(2x)2 - 12 � 2x + 32 > 0
spis treści t = 2x t > 0
symbole
t2 - 12t + 32 > 0
zgłoś błąd
Rozwiązujemy nierówność kwadratową:
25 maj
" = (-12)2 - 4 � 1 � (32) = 144 + 128 = 16
" "
" = 16 = 4
-(-12) - 4 8 -(-12) + 4 16
t1= = = 4 t2= = = 8
2 � 1 2 2 � 1 2
t
4 8
t < 4 t > 8
2x < 4 2x > 8
2x < 22 2x > 23
x < 2 x > 3
x " (-", 2) *" (3, ")
matma235@o2.pl
Zadanie 14 (4 pkt)
Dany jest ciąg trójkątów równobocznych takich, że bok następnego trókąta jest wysokością
poprzedniego. Oblicz sumę pól wszystkich tak utworzonych trójkątów, przyjmując, że bok
pierwszego trójkąta ma długość a (a > 0).
Rozwiązanie:
"
spis treści
3
Wzór na wysokość trójkąta równobocznego: h = a
2
symbole
zgłoś błąd
bok pierwszego trójkąta a1 = a
" "
3 3
25 maj
wysokość pierwszego trójkąta h1 = a1 � = a
2 2
"
1
pole pierwszego trójkąta P1 = � a1 � h1 = a2 3
2 4
"
3
bok drugiego trójkąta a2 = h1 = a
2
" " "
3 3 3 3
wysokość drugiego trójkąta h2 = a2 � = a � = a
2 2 2 4
" "
1 1 3 3
pole drugiego trójkąta P2 = � a2 � h2 = � a � a3 = a2 3 �
2 2 2 4 4 4
Widzimy, że długość boku drugiego trójkąta powstaje przez pomnożenia boku pierwszego
"
3
przez zatem długości boków kolejnych trójkątów równobocznych tworzą nieskończony
2
"
3
ciąg geometryczny o ilorazie q = .
2
3
Widzimy, że pole drugiego trójkąta powstaje przez pomnożenia pola pierwszego przez
4
zatem pola kolejnych trójkątów równobocznych tworzą nieskończony ciąg geometryczny o
3
ilorazie q = .
4
dalej
matma235@o2.pl
Suma pól trójkątów:
P = P1 + P2 + P3 + . . . =
" " "
2
3 3
= a2 3 + a2 3 � + a2 3 � + . . . =
4 4 4 4 4

"
2
3 3
spis treści = a2 3 1 + + + . . . =
4 4 4
symbole
zgłoś błąd
w nawiasie mamy sumę nieskończonego ciągu geometrycznego
" "
"
25 maj 1
= a2 3 � = a2 3 � 4 = a2 3
4 3 4
1 -
4
"
Odp. Suma pól trójkątów wynosi P = a2 3.
matma235@o2.pl
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:
2
1
a + h2 = a2
2
1
a2 + h2 = a2
4
spis treści
1
symbole
a h2 = a2 - a2
4
h
zgłoś błąd
3
h2 = a2
4
25 maj

1 1
3
a a
2 2
h = a2
4
"
3
h = a
2
matma235@o2.pl
Zadanie 15 (4 pkt)
Rozwiąż równanie:
Ą
1
+ ctg x + cos + x = 0
sin x 2
Rozwiązanie:
spis treści
symbole
Ą
zgłoś błąd 1
+ ctg x + cos + x = 0
sin x 2
25 maj

Ą
= =
cos + x cos (90ć% + x) - sin x
2
1
+ ctg x - sin x = 0
sin x
1 cos x sin2 x
+ - = 0
sin x sin x sin x
1 - cos x - sin2 x
= 0
sin x
dziedzina: sin = 0 jeżeli x = kĄ dla k " C co widać na wykresie y = sin x

1 - cos x - sin2 x = 0
1 - cos x - (1 - cos2 x) = 0
cos x + cos2 x = 0
cos x � (cos x + 1) = 0
matma235@o2.pl
dalej
cos x � (cos x + 1) = 0 dla x = kĄ

cos x = 0 lub cos x + 1 = 0
Ą
x = + kĄ cos x = -1
2
x = Ą + 2kĄ = (2k + 1)Ą
spis treści
symbole
Jeżeli x = kĄ (wielokrotność Ą) to również x = (2k+1)Ą, dlatego ostateczną odpowiedzią

zgłoś błąd
są tylko
25 maj
Ą
x = + kĄ dla k " C
2
matma235@o2.pl
Zadanie 16 (4 pkt)
Para (&!, P ) jest przestrzenią probabilistyczną, a A �" &! i B �" &! są zdarzeniami niezależ-
nymi. Wykaż, że jeżeli P (A *" B) = 1, to jedno z tych zdarzeń jest zdarzeniem pewnym tj.
P (A) = 1 lub P (B) = 1.
Rozwiązanie:
spis treści
symbole
zgłoś błąd
P (A *" B) = P (A) + P (B) - P (A )" B)
25 maj
zdarzenia są niezależne, gdy P (A )" B) = P (A) � P (B)
1 = P (A) + P (B) - P (A) � P (B)
0 = P (A) - 1 + P (B) (1 - P (A))
0 = P (A) - 1 - P (B) (P (A) - 1)
0 = (P (A) - 1) � (1 - P (B))
P (A) - 1 = 0 lub 1 - P (B) = 0
P (A) = 1 lub P (B) = 1
matma235@o2.pl
Zadanie 17 (5 pkt)
Rysunek przedstawia wykres pochodnej funcji f.
y
5
4
a) Podaj maksymalne przedziały, w których
3
funkcja f jest malejąca.
2
spis treści
1
b) Wyznacz wartość x, dla której funkcja f
symbole
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
x
-1
osiąga maksimum lokalne. Odpowiedz
uzasadnij.
zgłoś błąd
-2
-3
c) Wiedząc, że punkt A = (1, 2) należy do wykresu
25 maj -4
funkcji f, napisz równanie stycznej
-5
do krzywej f w punkcie A.
Rozwiązanie:
a) Podaj maksymalne przedziały, w których funkcja f jest malejąca.
Pochodna f (x) < 0 dla x " (-", -4 *" 0, 4 co oznacza, że w tych przedziałach
funkcja f jest malejąca.
b) Wyznacz wartość x, dla której funkcja f osiąga maksimum lokalne. Odpowiedz
uzasadnij.
Funkcja osiąga maksimum lokalne (ekstremum) dla x = 0 ponieważ:
f (0) = 0
dla x < 0 f (x) > 0 czyli funkcja jest rosnąca
dla x > 0 f (x) < 0 czyli funkcja jest malejąca
dalej
matma235@o2.pl
c) Wiedząc, że punkt A = (1, 2) należy do wykresu funkcji f, napisz równanie stycznej do
krzywej f w punkcie A.
Równanie stycznej
y - f(x0) = f (x0)(x - x0)
spis treści
Funkcja f zawiera punkt A = (1, 2) zatem x0 = 1 i f(x0) = 2
symbole
Z wykresu odczytujemy f (x0) = f (1) = -2
zgłoś błąd
y - 2 = -2(x - 1)
25 maj
y = -2x + 2 + 2
y = -2x + 4
matma235@o2.pl
 Zadanie 18 (8 pkt)
Punkty A = (7, 8) i B = (-1, 2) są wierzchołkami trójkąta ABC, w którym
| BCA| = 90ć%.
a) Wyznacz współrzędne wierzchołka C, wiedząc, że leży on na osi OX.
b) Napisz równanie obrazu okręgu opisanego na trójkącie ABC w jednokładności o środku
w punkcie P = (1, 0) i skali k = -2. y
A = (7, 8)
spis treści
symbole
Rozwiązanie:
zgłoś błąd
a) Wyznacz współrzędne wierzchołka C,
wiedząc, że leży on na osi OX.
25 maj
B = (-1, 2)
C = (xC, 0) x
Równanie prostej przechodzącej przez punkty (x1, y1) i (x2, y2)
(y - y1)(x2 - x1) - (y2 - y1)(x - x1) = 0
Przekształcamy je do postaci kierunkowej
(y - y1)(x2 - x1) = (y2 - y1)(x - x1)
y2 - y1
y = (x - x1) + y1
x2 - x1
8 - 0 8
Współczynnik kierunkowy prostej CA: a1 = =
xC - 7 xC - 7
2 - 0 2
matma235@o2.pl Współczynnik kierunkowy prostej CB: a2 = =
xC - (-1) xC + 1
dalej
Proste prostopadłe mają współczynniki kierunkowe spełniające równanie:
a1 � a2 = -1
8 2
� = -1
xC - 7 xC + 1

16
spis treści = -1 � (xC - 7)(xC + 1)
(xC - 7)(xC + 1)
symbole

-(xC - 7)(xC + 1) = 16 � (-1)
zgłoś błąd
x2 + xC - 7xC - 7 = -16
C
25 maj
x2 - 6xC - 7 = -16
C
x2 - 6xC + 9 = 0
C
(xC - 3)2 = 0
xC = 3
Odp. Szukanym punktem jest C = (3, 0).
dalej
matma235@o2.pl
b) Napisz równanie obrazu okręgu opisanego na trójkącie ABC w jednokładności o środku
w punkcie P = (1, 0) i skali k = -2.
Na początek wyznaczymy równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC. Równanie okręgu
o środku (a, b) i promieniu r dane jest równaniem:
spis treści
(x - a)2 + (y - b)2 = r2
symbole
Korzystamy z tego, że średnica okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym to przeciwpro-
zgłoś błąd
stokątna tego trójkąta. Zatem środek okręgu to środek przeciwprostokątnej AB.
25 maj
A = (7, 8) B = (-1, 2)

7 + (-1) 8 + 2
S = ,
2 2
S = (3, 5)
dalej
matma235@o2.pl
y
2 y = 2 cos x
1
y = cos x
spis treści
x
symbole
Ą
3Ą 3Ą
-2Ą - -Ą -Ą Ą
2Ą
2 2
2 2
zgłoś błąd
-1
25 maj
-2
Ą
Funkcję f(x) = 2 cos(x + ) otrzymujemy przez przesunięcie f(x) = 2 cos x
3
Ą
o w lewo.
3
y

Ą
2 y = 2 cos x +
3
1
x
Ą
3Ą 3Ą
-2Ą - -Ą -Ą Ą
2Ą
2 2
2 2
-1
-2
dalej
matma235@o2.pl
Równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC
(x - 3)2 + (y - 5)2 = 25
Okrąg ten przekształcamy przez jednokładność o środku P = (1, 0) i skali k = -2. Otrzy-
many okrąg będzie miał dwa razy większy promień r = 10. Obrazem środka S = (3, 5)
spis treści
przekształconego przez jednokładność będzie punkt S = (-3, -10).
symbole
y
zgłoś błąd
S
25 maj
x
P
S
Szukany okrąg ma równanie
(x - (-3))2 + (y - (-10))2 = 102
(x + 3)2 + (y + 10)2 = 100
matma235@o2.pl
Zadanie 19 (6 pkt)
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym długość krawędzi podstawy jest równa a.
Kąt między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ma miarę 45ć%. Ostrosłup przecięto płasz-
czyzną przechodzącą przez krawędz
podstawy i środek przeciwległej jej krawędzi bocznej.
Sporządz
rysunek ostrosłupa i zaznacz otrzymany przekrój. Oblicz pole tego przekroju.
spis treści
Rozwiązanie:
symbole
W
zgłoś błąd "
a 2
|BS| =
4
25 maj
"
a 10
|CS| =
S
4
"
C
a 6
|KS| =
a
K
4
45ć%
A B
a
Pole trójkąta ASC
" "
1 1 a 6 a2 6
P = � |AC| � |KS| = � a � =
2 2 4 8
"
a2 6
Odp. Pole przekroju wynosi .
8
matma235@o2.pl
W ostrosłupie prawidłowym ściany boczne są trójkątami równoramiennymi
W
S
spis treści
symbole
45ć%
1 1
C B
zgłoś błąd a a
2 2
25 maj
1
a
2
cos 45ć% =
|BW |
"
1
a
2
2
= � |BW |
2 |BW |
" "

2 a 2
� |BW | = :
2 2 2
"
a 2 a a 2
" "
|BW | = � = =
2 2
2 2
Punkt S jest środkiem krawędzi BW zatem
" "
1 1 a 2 a 2
|BS| = |BW | = � =
2 2 2 4
matma235@o2.pl
W
S
"
a 2
x
4
spis treści
45ć%
symbole
C B
a
zgłoś błąd
25 maj
Korzystamy z twierdzenia cosinusów
2
" " "
a 2 a 2 2
x2 = a2 + - 2 �
4 4 2
a2 4a2
x2 = a2 + -
8 8
5a2
x2 =
8

"
5a2 10a2 a 10
x = = =
8 16 4
matma235@o2.pl
S
"
a 10
4
h
spis treści
symbole
1 1
C A
zgłoś błąd a a
K
2 2
25 maj
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa
"
2 2
1 a 10
h2 + a =
2 4
a2 10a2
h2 + =
4 16
10a2 a2
h2 = -
16 4
6a2
h2 =
16

"
6a2 a 6
h = =
16 4
matma235@o2.pl
Zadanie 20 (4 pkt)
Ciąg (an) określony jest rekurencyjnie w następujący sposób:
ńł
�ł a1 = 2
an
ół an+1 = dla dowolnego n 1
an + 1
spis treści
symbole
Wykaż, korzystając z zasady indukcji matematycznej, że ciąg (an) można określić za pomocą
zgłoś błąd
2
wzoru ogólnego an = , gdzie n 1.
2n - 1
25 maj
Rozwiązanie:
1. Dla n = 1
2
a1 = = 2
2 � 1 - 1
2
wzór an = jest prawdziwy.
2n - 1
2
2. Załóżmy, że wzór an = jest prawdziwy dla liczby k.
2n - 1
2
ak =
2k - 1
3. Korzystając z założenia udowodnimy, że jest on prawdziwy dla k + 1.
dalej
matma235@o2.pl
2 2 2
ak 2k-1
2k-1 2k-1
ak+1 = = = = =
2 2 2k-1 2k+1
ak + 1 + 1 +
2k-1 2k-1 2k-1 2k-1
2 2k-1 2 2
= � = =
2k-1 2k+1 2k+1 2(k+1)-1
spis treści
2
ak+1 =
symbole
2(k + 1) - 1
zgłoś błąd
1
25 maj Udowodniliśmy, że jeżeli wzór an = jest prawdziwy dla liczby k, to jest on prawdziwy
2n - 1
dla liczby k+1, co oznacza, że jeżeli jest prawdziwy dla 1, to jest on prawdziwy dla wszystkich
liczb naturalnych.
matma235@o2.pl
 Zadanie 11 (6 pkt)
5
Wyznacz wszystkie liczby całkowite k, dla których funkcja f(x) = x2 - 2k � x + 2k +
4
przyjmuje wartości dodatnie dla każdego x "R.
Rozwiązanie:
spis treści
5
f(x) = x2 - 2k � x + 2k +
symbole
4
zgłoś błąd Wprowadz
my zmienną pomocniczą t = 2k t > 0.
5
f(x) = x2 - tx + t +
25 maj
4
Funkcja kwadratowa przyjmuje wartości dodatnie dla każdego x "R, gdy jej wykres leży
całkowicie nad osią OX, co się dzieje, gdy nie ma pierwiastków, czyli " < 0.
5
" = (-t)2 - 4(t + ) = t2 - 4t - 5
4
t2 - 4t - 5 < 0
"
"t = 16 - 4(-5) = 16 + 20 = 36 "t = 6
-(-4) - 6 -(-4) + 6
t1 = = -1 t2 = = 5
2 2
t " (-1, 5) i t > 0 czyli
t " (0, 5)
-1 5 t
dalej
matma235@o2.pl
t " (0, 5)
0 < t < 5
0 < 2k < 5
spis treści Odp. Rozwiązaniem są liczby całkowite k = 2, 1, 0, -1, -2, . . .
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
 Zadanie 12 (5 pkt)
Powyższy rysunek przedstawia fragment wykresu pewnej funkcji wielomianowej W (x) stop-
nia trzeciego. Jedynymi miejscami zerowymi tego wielomianu są liczby (-2) oraz 1, a po-

chodna W (-2) = 18.
y
a) Wyznacz wzór wielomianu W (x).
spis treści
b) Wyznacz równanie prostej stycznej do wykresu
symbole
tego wielomianu w punkcie o odciętej x = 3.
zgłoś błąd
25 maj -2 1 x
Rozwiązanie:
Wielomian ma dla x = -2 pierwiastek o krotności 1, a dla x = 1 pierwiastek o krotności 2.
Wielomian ma więc postać
W (x) = a (x - (-2)) (x - 1)2 a = 0

W (x) = a(x + 2)(x - 1)2
W (x) = a(x + 2)(x2 - 2x + 1)
W (x) = a(x3 - 2x2 + x + 2x2 - 4x + 2)
W (x) = a(x3 - 3x + 2)
Obliczamy pochodną wielomianu
W (x) = a(3x2 - 3)

Jeżeli W (-2) = 18 to


W (-2) = a 3(-2)2 - 3

18 = a � 9 : 9
matma235@o2.pl
a = 2 dalej

W (x) = 2(x + 2)(x - 1)2 W (x) = 2(3x2 - 3) = 6x2 - 6
b) Wyznacz równanie prostej stycznej do wykresu tego wielomianu w punkcie o odciętej
x = 3.
Rówananie stycznej dla x0 = 3.
spis treści
symbole
zgłoś błąd

y - W (x0) = W (x0)(x - x0)
25 maj
W (3) = 2(3 + 2)(3 - 1)2 = 2 � 5 � 4 = 40

W (3) = 6 � 32 - 6 = 6 � 9 - 6 = 48
y - 40 = 48(x - 3)
y = 48x - 144 + 40
y = 48x - 104
matma235@o2.pl
Zadanie 13 (5 pkt)

x-4 ,
Sporządz
wykres funkcji f(x) = a następnie korzystając z tego wykresu, wyznacz
x-2

x-4
wszystkie wartości parametru k, dla których równanie = k, ma dwa rozwiązania,
x-2
których iloczyn jest liczbą ujemną.
spis treści
Rozwiązanie:
symbole
x-4
Na początku narysujemy wykres funkcji y = .
x-2
zgłoś błąd
x - 4 x - 2 - 2 x - 2 -2 -2
25 maj
y = = = + = + 1
x - 2 x - 2 x - 2 x - 2 x - 2
-2 -2
Wykres y = + 1 otrzymujemy przez przesunięcie y = o wektor [2, 1].
x-2 x
y
x -2 -1 1 2
-2
y = 1 2 -2 -1
x
x
dalej
matma235@o2.pl


x - 4

f(x) =

x - 2
Wartość bezwzględna zmienia wykres funkcji przenosząc na górę dolną część wykresu syme-
trycznie do osi OX.
spis treści
y
symbole
zgłoś błąd
f(x)
25 maj
2
y = k
1
x1 x2
x

x-4
Równanie = k ma dwa rozwiązania x1, x2 różnych znaków jeżeli k " (1, 2).
x-2
matma235@o2.pl
Zadanie 14 (4 pkt)
5 7
Niech A, B �" &! będą zdarzeniami losowymi, takimi że P (A) = oraz P (B) = .
12 11
Zbadaj, czy zdarzenia A i B są rozłączne.
Rozwiązanie:
Gdyby zdarzenia A i B były rozłączne (A )" B = ") to P (A )" B) = 0 co oznacza, że wzór
spis treści
symbole
P (A *" B) = P (A) + P (B) - P (A )" B)
zgłoś błąd
uprościłby się do postaci
25 maj
P (A *" B) = P (A) + P (B)
5 7 55 84 139
Ale P (A) + P (B) = + = + = czyli
12 11 132 132 132
139
P (A *" B) = > 1
132
Nie jest to możliwe, ponieważ wartość prawdopodobieństwa nigdy nie może być
większa od 1.
Tak więc przyjęcie założenia, że zdarzenia A i B są rozłączne prowadzi do fałszu. Zatem nie
mogą one być rozłączne.
matma235@o2.pl
Zadanie 15 (5 pkt)
2 2 2
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny postaci: 2, , , , . . . Wyznacz
p-1 (p-1)2 (p-1)3
wszystkie wartości p, dla których granicą ciągu jest liczba:
a) 0.
b) 2.
spis treści
Rozwiązanie
symbole
a)
zgłoś błąd
Ciąg
2 2 2
25 maj
2, , , , . . .
p - 1 (p - 1)2 (p - 1)3
możemy zapisać w takiej postaci:
2 3
1 1 1
2, 2 , 2 , 2 , . . .
p - 1 p - 1 p - 1
Taki ciąg jest zbieżny do 0 jeżeli


1


p - 1 < 1 dziedzina p = 1
1 1
< 1 i > -1
p-1 p-1
1 1
- 1 < 0 + 1 > 0
p-1 p-1
1 p-1 1 p-1
- < 0 + > 0
p-1 p-1 p-1 p-1
1-p+1 1+p-1
matma235@o2.pl < 0 > 0
p-1 p-1
dalej
2-p p
< 0 > 0
p-1 p-1
(2 - p)(p - 1) < 0 p(p - 1) > 0
rozwiązujemy nierówności kwadratowe
spis treści
symbole
zgłoś błąd
x x
1 2 0 1
25 maj
p " (-", 1) *" (2, ") p " (-", 0) *" (1, ")
0 1 2
część wspólna
p " (-", 0) *" (2, ")
b)
Ciąg
2 3
1 1 1
2, 2 , 2 , 2 , . . .
p - 1 p - 1 p - 1
jest zbieżny do 2 jeżeli
1
matma235@o2.pl
= 1 dalej
p - 1
1
= 1 dziedzina p = 1

p - 1
1
- 1 = 0
p - 1
1 p - 1
- = 0
spis treści p - 1 p - 1
1 - p + 1
symbole
= 0
p - 1
zgłoś błąd
2 - p
= 0
25 maj
p - 1
2 - p = 0
p = 2
Odp. Dla p " (-", 0) *" (2, ") ciąg ma granicę równą 0, a dla p = 2 ma granicę
równą 1.
matma235@o2.pl
Zadanie 16 (7 pkt)
Dane jest równanie postaci (cos x-1)�(cos x+p+1) = 0, gdzie p " R jest parametrem.
a) Dla p = -1 wypisz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału 0; 5 .
b) Wyznacz wszystkie wartości parametru p, dla których dane równanie
ma w przedziale -Ą; Ą trzy różne rozwiązania.
spis treści
Rozwiązanie:
symbole
a) Dla p = -1 wypisz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału 0; 5 .
zgłoś błąd
(cos x - 1) � (cos x + p + 1) = 0
25 maj
p = -1
(cos x - 1) � (cos x - 1 + 1) = 0
(cos x - 1) � cos x = 0
cos x - 1 = 0 lub cos x = 0
cos x = 1

5
W przedziale 0; 5 H" 0; � 3, 14 H" 0; 1, 6Ą rozwiązanie równań możemy odczytać
3,14
z wykresu y = cos x.
Ą
x = 0 lub x = lub x = 1, 5Ą
2
dalej
matma235@o2.pl
b) Wyznacz wszystkie wartości parametru p, dla których dane równanie
ma w przedziale -Ą; Ą trzy różne rozwiązania.
(cos x - 1) � (cos x + p + 1) = 0
cos x - 1 = 0 lub cos x + p + 1 = 0
spis treści
cos x = 1 cos x = -p - 1
symbole
zgłoś błąd
w przedziale x " -Ą, Ą z wykresu w przedziale x " -Ą, Ą na wykresie
y = cos x odczytujemy rozwiązanie y = cos x widzimy, że równanie
25 maj
ma dwa rozwiązania, jeżeli
x = 0 -1 -p - 1 < 1
-1 -p - 1 i -p - 1 < 1
p -1 + 1 i -p < 2
p 0 i p > -2
p " (-2, 0
(cos x - 1) � (cos x + p + 1) = 0
Pierwszy nawias daje jedno rozwiązanie niezależnie od p, dlatego drugi nawias musi dawać
dwa rozwiązania, co się dzieje gdy p " (-2, 0 .
matma235@o2.pl
Zadanie 17 (4 pkt)
W trójkącie prostokątnym ABC ( BCA = 90ć%) dane są długości przyprostokątnych:
|BC| = a i |CA| = b. Dwusieczna kąta prostego tego trójkąta przecina przeciwprosto-
"
a�b
kątną AB w punkcie D. Wykaż, że długość odcinka CD jest równa � 2. Sporządz

a+b
pomocniczy rysunek uwzględniając podane oznaczenia.
spis treści
B
Rozwiązanie:
symbole
D
zgłoś błąd
b
x
25 maj
45ć%
45ć%
a
C A
Dwusieczna dzieli kąt 90ć% na dwa kąty po 45ć%. Liczymy pola trójkątów CAD i CDB.
1 1
P CAD = � a � x � sin 45ć% P CDB = � b � x � sin 45ć%
2 2
" "
1 2 1 2
P CAD = a � x P CDB = � b � x �
2 2 2 2
" "
2 2
P CAD = ax P CDB = bx
4 4
1
P ABC = ab
2
1
P CAD + P CDB = ab
2
" "

2 2 1
ax + bx = ab � 4
4 4 2
matma235@o2.pl
dalej
" "

2 2 1
ax + bx = ab � 4
4 4 2
"
x � 2(b + a) = 2ab
2ab
x = "
spis treści
2(a + b)
symbole
"
ab
x = 2
zgłoś błąd
a + b
25 maj
matma235@o2.pl
Zadanie 18 (8 pkt)
"
Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu R = 5 2,
wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma długość 10, zaś iloczyn sinusów
3
wszystkich jego kątów wewnętrznych jest równy .
8
Rozwiązanie:
spis treści
Na podstawie twierdzenia o kącie środkowym
symbole

i wpisanym AOC = 2�
D
zgłoś błąd
O
�
25 maj � �
A 5 5 C
O
5
sin � = "
5 2
ł
"
C
ą
1 2
A
"
sin � = =
2
� 2
� = 45ć%
B
W czworokącie wpisanym w okrąg suma przeciwległych kątów wynosi 180ć%.
� + � = 180ć% ą + ł = 180ć%
� = 180ć% - � ł = 180ć% - ą
� = 135ć%
3
sin ą � sin � � sin ł � sin � =
8
3
sin ą � sin 135ć% � sin(180ć% - ą) � sin 45ć% =
8
matma235@o2.pl
dalej
"
2
5
"
5
"
2
2
5
0
1
3
sin ą � sin(180ć% - 45ć%) � sin(180ć% - ą) � sin 45ć% =
8
3
sin ą � sin 45ć% � sin ą � sin 45ć% =
8
" "
2 2 3
sin ą � � sin ą � =
2 2 8

1 3
spis treści sin2 ą � = � 2
2 8
symbole
3
sin2 ą =
4
zgłoś błąd

3
sin ą =
25 maj 4
"
3
sin ą =
2
ą = 60ć%
ł = 180ć% - ą
ł = 180ć% - 60ć%
ł = 120ć%
Odp. Kąty czworokąta to 45ć%, 135ć%, 60ć%, 120ć%.
matma235@o2.pl
Zadanie 19 (6 pkt)
Korzystając z zasady indukcji matematycznej, udowodnij, że każda liczba naturalna n 5
spełnia nierówność 2n > n2 + n - 1.
Rozwiązanie:
1. Dla n = 5
spis treści
25 > 52 + 5 - 1
symbole
32 > 29
zgłoś błąd
nierówność jest prawdziwa.
25 maj
2. Załóżmy, że nierówność jest prawdziwa dla liczby k
2k > k2 + k - 1
3. Korzystając z założenia udowodnimy, że jest ona prawdziwa dla k + 1

=
(k + 1)2 + k + 1 - 1 k2 + 2k + 1 + k =
= k2 + k - 1 + 2k + 2 < (2k + 2 < k2 + k - 1)
< k2 + k - 1 + k2 + k - 1 =
< 2 � (k2 + k - 1) = 2 � 2k = 2k+1
Ostatecznie otrzymujemy:
2k+1 > (k + 1)2 + (k + 1) - 1
Udowodniliśmy, że jeżeli nierówność 2n > n2 +n-1 jest prawdziwy dla liczby k, to jest ona
prawdziwa dla liczby k + 1, co oznacza, że jeżeli jest prawdziwa dla 5, to jest on prawdziwa
matma235@o2.pl
dla wszystkich liczb naturalnych.
2k + 2 < k2 + k - 1
0 < k2 - k - 3
rozwiązujemy nierówność kwadratową
spis treści
" = (-1)2 - 4 � 1 � (-3) = 1 + 12 = 13
symbole
" "
zgłoś błąd
-(-1) - 13 1 - 13
x1 = = H" -1, 3
2 � 1 2
25 maj
" "
-(-1) + 13 1 + 13
x1 = = H" 2, 8
2 � 1 2
x
-1, 3 2, 8

" "
1 - 13 1 + 13
k " -", *" , "
2 2
Z rozwiązania wynika, że dla każdego k 5 nierówność 2k+2 < k2+k-1 jest prawdziwa.
matma235@o2.pl
Zadanie 11 (3 pkt)
Wyznacz dziedzinę funkcji f(x) = logx -3 (x3 + 4x2 - x - 4) i zapisz ją w postaci sumy
2
przedziałów liczbowych.
Rozwiązanie:
spis treści
f(x) = logx -3 (x3 + 4x2 - x - 4)
2
symbole
Korzystamy z definicji logarytmu:
zgłoś błąd
x2 - 3 > 0 x2 - 3 = 1 x3 + 4x2 - x - 4 > 0

25 maj
" "
(x - + 3) > 0 x2 = 4 x2(x + 4) - (x + 4) > 0

"3)(x "
x1 = 3 x2 = - 3 x = 2 i x = 2 (x + 4)(x2 - 1) > 0

(x + 4)(x - 1)(x + 1) > 0
x1 = -4 x2 = 1 x3 = -1
" "
x
- 3 3
-4 -1 1
" "
x " -", - 3 *" 3, "
x " (-4, -1) *" (1, ")
" "
-4 -2 - 3 -1 1 2
3
" "
Odp. x " (-4, -2) *" (-2, - 3 ) *" ( 3, 2) *" (2, ")
matma235@o2.pl
b) Rozwiąż równanie: f(x) = 1.
"
cos x - 3 sin x = 1


Ą
2 cos x + = 1 : 2
3

Ą 1
cos x + =
spis treści 3 2
symbole
Na wykresie y = cos x widzimy, że takie równanie ma dwa rozwiązania
zgłoś błąd
Ą Ą Ą Ą
x + = - + 2kĄ lub x + = + 2kĄ k " C
25 maj
3 3 3 3
Ą Ą
x = - - + 2kĄ x = 2kĄ
3 3
2
x = - Ą + 2kĄ
3
matma235@o2.pl
Zadanie 13 (4 pkt)
Rzucamy n razy dwiema symetrycznymi sześciennymi kostkami do gry. Oblicz, dla jakich n
prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej raz tej samej liczby oczek na obu kostkach jest
671
mniejsze od .
1296
Rozwiązanie:
spis treści
Liczymy prawdopodobieństwo wyrzucenia tej samej liczby oczek na obu kostkach przy jed-
symbole
norazowym rzucie.
zgłoś błąd
liczba wszystkich możliwych wyników: &! = 6 � 6 = 36
25 maj na obu kostkach jest ta sama liczba oczek: A = {(1, 1), (2, 2), . . . , (6, 6)} A = 6
6 1
p = =
36 6
Wykorzystamy schemat Bernoulliego do policzenia prawdopodobieństwa zdarzenia przeciw-
nego (bo łatwiej), czyli nie wyrzucenia w n rzutach ani razu tej samej liczby oczek.

n
Pn(k) = pkqn-k
k
dalej
matma235@o2.pl

n
Pn(k) = pkqn-k
k
n  liczba wszystkich rzutów
k = 0  liczba rzutów w których wypadła ta sama liczba oczek
1
p =  prawdopodobieństwo wyniku z tą samą liczbą oczek na obu kostkach
6
5
spis treści
q = 1 - p =  prawdopodobieństwo wyniku z różną liczbą oczek na obu kostkach
6
symbole
0 n-0
n 1 5
zgłoś błąd
Pn(0) =
0 6 6
n
25 maj
n! 5
Pn(0) = �
(n - 0)!0! 6
n
5
Pn(0) = 1 �
6
n
5
Pn(0) =
6
Prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej raz tej samej liczby oczek na obu kostkach w
n rzutach jest zatem równe:
n
5
1 - Pn(0) = 1 -
6
dalej
matma235@o2.pl
 n
5 671
1 - <
6 1296
n
671 5
1 - <
1296 6
n
625 5
spis treści <
1296 6
symbole
4 n
5 5
zgłoś błąd
<
6 6
25 maj
4 > n
n < 4
n " {1, 2, 3}
Odp. Prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej raz tej samej liczby oczek na obu kost-
671
kach jest mniejsze od dla n " {1, 2, 3}.
1296
matma235@o2.pl
Zadanie 14 (5 pkt)
1 + 4 + 7 + . . . + (3n - 2)
Oblicz: lim
n"
5 + 7 + 9 + . . . + (2n + 3)
Rozwiązanie:
Licznik 1 + 4 + 7 + . . . + (3n - 2) jest sumą ciągu arytmetycznego w którym:
spis treści
symbole
pierwszy wyraz: a1 = 1
różnica r = 3
zgłoś błąd
wyraz ogólny an = 1 + (n - 1) � 3 = 3n - 2
25 maj
Suma tego ciągu wynosi:
1 + (3n - 2) 3n - 1 3 1
Sn = � n = � n = n2 - n
2 2 2 2
Mianownik 5 + 7 + 9 + . . . + (2n + 3) jest sumą ciągu arytmetycznego w którym:
pierwszy wyraz: a1 = 5
różnica r = 2
wyraz ogólny an = 5 + (n - 1) � 2 = 2n + 3
Suma tego ciągu wynosi:
5 + (2n + 3) 2n + 8
Sn = � n = � n = n2 + 4n
2 2
dalej
matma235@o2.pl
3 1
n2 - n
1 + 4 + 7 + . . . + (3n - 2)
2 2
lim = lim =
n" n"
5 + 7 + 9 + . . . + (2n + 3) n2 + 4n
0
3 1 n
3 1 1
n2 - - 3
2 2 n2 2 2 n

= lim = lim =
spis treści
4n 4
n" n"
n2 1 + 1 + 2
n2 n
symbole
zgłoś błąd
0
25 maj
matma235@o2.pl
Zadanie 15 (4 pkt)
--
-
Przeprowadzając anologiczne rozumowanie, ustal związek między wektorem MN oraz wek-
- -
- -
torami AB i DC , wiedząc, że czworokąt ABCD jest dowolnym trapezem, zaś punkty M
i N są odpowiednio środkami ramion AD i BC tego trapezu (Rys. 2).
D C
Rys. 2
spis treści
M N
symbole
zgłoś błąd
A B
25 maj
Podaj interpretację otrzymanego wyniku.
Rozwiązanie:
Korzystając z własności wektorów i działań na wektorach, zapisujemy równości:
-- - - -
- - - -
(1) MN = MA + AB + BN
oraz
-- -- - -
- - -
(2) MN = MD + DC + CN
Po dodaniu równości (1) i (2) stronami otrzymujemy:
-- - - - -- - -
- - - - - -
2 � MN = MA + AB + BN + MD + DC + CN
-- - - -
- - -
MD = -MA oraz CN = -BN , więc:
-- - - - - - -
- - - - - - -
2 � MN = MA + AB + BN - MA + DC - BN
-- - -
- - -
2 � MN = AB + DC
- -
-- - -
-
1
MN = � AB + DC
2
Wykorzystując własności iloczynu wektora przez liczbę, ostatnią równość można zinterpreto-
wać następująco:
odcinek łączący środki dwóch ramion dowolnego trapezu jest równo-
matma235@o2.pl
legły do podstaw tego trapezu, zaś jego długość jest równa połowie
sumy długości tych podstaw.
Zadanie 16 (5 pkt)
Sześcian o krawędzi długości a przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy
Ą
i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem .Sporządz
odpowiedni rysunek. Oblicz pole
3
otrzymanego przekroju.
Rozwiązanie: D
P
spis treści
N
Ą 180ć%
miara łukowa: = = 60ć% C
symbole
3 3
zgłoś błąd
przekrojem jest trapez
a
"
25 maj
podstawa trapezu: |AB| = a 2
"
2 3
A
wysokość trapezu: |KN| = a
3 T
60ć%
" "
a
K
2 3
podstawa trapezu: |CD| = a 2 -
3
B
a
Pole trapezu ABCD:
(|AB| + |CD|) � |KN|
P =
2
" "
"
"
2 3 2 3
a 2 + a 2 - � a
3 3
P =
2

" " "
"
2 3 3 6 1
P = a2 2 2 - � = 2a2 -
3 3 3 3
"
2 6 - 1 a2
matma235@o2.pl
P =
3
Rysując przekrój musimy najpierw odpowiedzieć na pytanie, czy będzie on przecinał krawędzie
sześcianu powyżej punktu P czy poniżej.
Odcinek KT jest połową przekątnej
P
kwadratu o boku a zatem
"
a 2
spis treści
|KT | =
a
2
symbole
zgłoś błąd
|T P | a
tg ą = = "
a 2
|KT |
T
2
25 maj
ą
2
a
K
"
tg ą = H" 1, 4
2 a
ą H" 54, 7ć%
Przekrój rysujemy pod kątem 60ć% zatem będzie przechodził powyżej punktu P .
matma235@o2.pl
Na początek obliczymy długość odcinka KS
x
N P
ctg 60ć% =
a
"

3 x
= � a
a
spis treści
3 a
"
symbole
a 3 60ć%
x =
zgłoś błąd
3 x
K S T
"
a 2
25 maj
Odcinek KT jest połową przekątnej kwadratu zatem ma długość |KT | = . Odcinek
2
NP ma zatem długość
" "
a 2 a 3
|NP | = |ST | = |KT | - x = -
2 3
Trójkąt CP D składa się z dwóch trójkątów równoramiennych zatem
D
|CD| = |CN| + |ND| = 2|NP |

" "
a 2 a 3 N
|CD| = 2 -
2 3

"
"
2 3
C P
|CD| = a 2 -
3
matma235@o2.pl
Zadanie 17 (7 pkt)

" "
3 3
Wykaż, bez użycia kalkulatora i tablic, że 5 2 + 7 - 5 2 - 7 jest liczbą całkowitą.
Rozwiązanie:

" "
3 3
spis treści
5 2 + 7 - 5 2 - 7
symbole
zgłoś błąd Trzeba było wpaść na to, że wyrażenia pod pierwiastkiem można zwinąć ze
wzorów skróconego mnożenia
25 maj
" " " " " "
5 2 + 7 = ( 2 + 1)3 ponieważ ( 2 + 1)3 = 2 2 + 6 + 3 2 + 1 = 5 2 + 7
" " " " " "
5 2 - 7 = ( 2 - 1)3 ponieważ ( 2 - 1)3 = 2 2 - 6 + 3 2 - 1 = 5 2 - 7


"
" " " " "
3 3
3 3
5 2 + 7- 5 2 - 7 = ( 2 + 1)3 - ( 2 - 1)3 = 2+1- 2 - 1 = 2
matma235@o2.pl
Zadanie 18 (8 pkt)
Pary liczb (x, y) spełniające układ równań:

-4x2 + y2 + 2y + 1 = 0
-x2 + y + 4 = 0
spis treści
są współrzędnymi wierzchołków czworokąta wypukłego ABCD.
symbole
a) Wyznacz współrzędne punktów: A, B, C, D.
zgłoś błąd
b) Wykaż, że czworokąt ABCD jest trapezem równoramiennym.
c) Wyznacz równanie okręgu opisanego na czworokącie ABCD.
25 maj
Rozwiązanie:
a) Wyznacz współrzędne punktów: A, B, C, D.

-4x2 + y2 + 2y + 1 = 0
-x2 + y + 4 = 0

-4x2 + (y + 1)2 = 0
-x2 + y + 4 = 0

(y + 1)2 = 4x2
-x2 + y + 4 = 0

y + 1 = 2x y + 1 = -2x
lub
y = x2 - 4 y = x2 - 4
matma235@o2.pl
dalej

y = 2x - 1 y = -2x - 1
y = x2 - 4 y = x2 - 4

x = -1 x = 3 x = -3 x = 1
y = -3 y = 5 y = 5 y = -3
spis treści
symbole
y
D C
zgłoś błąd
A = (-1, -3)
25 maj
B = (1, -3)
x
C = (3, 5)
D = (-3, 5)
A B
b) Wykaż, że czworokąt ABCD jest trapezem równoramiennym.
Trapez jest równoramienny, jeżeli odcinki AD i BC mają równe długości.
A = (-1, -3) D = (-3, 5)

"
"
|AD| = (-3 - (-1))2 + (5 - (-3))2 = (-2)2 + 82 = 4 + 64 = 68
B = (1, -3) C = (3, 5)

" " "
|BC| = (3 - 1)2 + (5 - (-3))2 = 22 + 82 = 4 + 64 = 68
matma235@o2.pl
Odcinki AD i BC są równe, zatem trapez ABCD jest równoramienny. dalej

y = 2x - 1
y = x2 - 4
2x - 1 = x2 - 4
0 = x2 - 4 - 2x + 1
spis treści
0 = x2 - 2x - 3
symbole
x2 - 2x - 3 = 0
zgłoś błąd
Wyznaczamy pierwiastki równania:
25 maj
"=(-2)2 - 4 � 1 � (-3) = 4 + 12 = 16
" "
" = 16 = 4
-(-2) - 4 2 - 4 -(-2) + 4 2 + 4
x1 = = = -1 x2 = = = 3
2 � 1 2 2 � 1 2

x1 = -1 x2 = 3
y1 = 2 � (-1) - 1 y2 = 2 � 3 - 1

x1 = -1 x2 = 3
y1 = -3 y2 = 5
matma235@o2.pl

y = -2x - 1
y = x2 - 4
-2x - 1 = x2 - 4
0 = x2 - 4 + 2x + 1
spis treści
0 = x2 + 2x - 3
symbole
x2 + 2x - 3 = 0
zgłoś błąd
Wyznaczamy pierwiastki równania:
25 maj
"=22 - 4 � 1 � (-3) = 4 + 12 = 16
" "
" = 16 = 4
-2 - 4 -6 -2 + 4 2
x1 = = = -3 x2 = = = 1
2 � 1 2 2 � 1 2

x1 = -3 x2 = 1
y1 = -2 � (-3) - 1 y2 = -2 � 1 - 1

x1 = -3 x2 = 1
y1 = 5 y2 = -3
matma235@o2.pl
prosta przechodząca przez punkty B = (1, -3) i C = (3, 5)
(y - (-3)) (3 - 1) - (5 - (-3)) (x - 1) = 0
(y + 3) � 2 - 8(x - 1) = 0
2y + 6 - 8x + 8 = 0

spis treści
2y = 8x - 14 : 2
symbole
y = 4x - 7
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Szukamy równania y = ax + b symetralnej odcinka BC. Wiemy, że jest ona prostopadła
do prostej y = 4x - 7 zawierającej bok BC więc:
a � 4 = -1
a = -1
4
spis treści
Symetralna boku BC przechodzi przez jego środek:
symbole
B = (1, -3) C = (3, 5)

zgłoś błąd
1 + 3 -3 + 5
S = ,
2 2
25 maj
S = (2, 1)
Symetralna boku BC y = -1 x + b zawiera punkt S zatem:
4
1
1 = - � 2 + b
4
1
1 = - + b
2
b = 11
2
Równanie symetralnej:
1 1
y = - x + 1
4 2
matma235@o2.pl
Zadanie 19 (10 pkt)
1
Dane jest równanie: x2 + (m - 5)x + m2 + m + = 0.
4
Zbadaj, dla jakich wartości parametru m stosunek sumy pierwiastków rzeczywistych równania
do ich iloczynu przyjmuje wartość najmniejszą. Wyznacz tę wartość.
Rozwiązanie:
spis treści 1
x2 + (m - 5)x + m2 + m + = 0
symbole 4

4
zgłoś błąd
Równanie ma pierwiastki rzeczywiste, gdy " 0, czyli dla m " -6,
3
Korzystając ze wzorów Vi�te a:
25 maj
1
x1 + x2 = -m + 5 x1 � x2 = m2 + m +
2
Stosunek tych wyrażeń daję funkcję:
-m + 5
f(m) =
1
m2 + m +
4
-m + 5
f(m) =
2
1
m +
2

4
Jej dziedzina m " -6, -1 *" -1,
2 2 3
dalej
matma235@o2.pl
-m + 5
f(m) =
2
1
m +
2
W celu wyznaczenia najmniejszej wartości tej funkcji obliczymy wartości na krańcach dzie-

1 1 4
dziny -6, - *" - , , a następnie badamy jej monotoniczność za pomocą pochodnej.
2 2 3
spis treści
-(-6) + 5 11 4
f(-6) =
2 = 2 =
symbole
1 11
11
-6 + -
2 2
zgłoś błąd
11
-4 + 5 11 36 12
3 3
25 maj
f(4 ) =
2 = 2 = � =
3
4 1 11
3 121 11
+
3 2 6
Badając monotoniczność funkcji w dziedzinie dochodzimy do wniosku, że najmniejsza wartość
funkcji znajduje się na krańcach dziedziny.
4
Funkcja f(m) osiąga najmniejszą wartość dla m = -6 i wynosi ona .
11
matma235@o2.pl
1
x2 + (m - 5)x + m2 + m + = 0
4
1
" = (m - 5)2 - 4 � 1 � (m2 + m + ) = m2 - 10m + 25 - 4m2 - 4m - 1 =
4
spis treści
= -3m2 - 14m + 24
symbole
zgłoś błąd
" 0
-3m2 - 14m + 24 0
25 maj
rozwiązujemy nierówność kwadratową
"
"m = (-14)2 - 4 � (-3) � 24 = 196 = 196 + 288 = 468 "m = 22
14 - 22 -8 4 14 + 22 36
m1 = = = m2 = = = -6
-6 -6 3 -6 -6
4
x
-6
3

4
m " -6,
3
matma235@o2.pl
-m + 5
f(m) =
2
1
m +
2
Pochodna tej funkcji:
m2 - 10m - 51
spis treści
f (m) =
4 4
1
m +
symbole
2
zgłoś błąd
Liczymy pierwiastki licznika:
25 maj m1 = -1 m2 = 101
2 2
+ +
Znak pochodnej zależy od licznika, dlatego rysujemy
1 x
- 101
przybliżony wykres wyrażenia w liczniku
2 - 2

1 1 4
Odczytujemy monotoniczność funkcji w dziedzinie m " -6, - *" - ,
2 2 3
ze znaku pochodnej.
wykres funkcji f(m) w dziedzinie
y

f (m) > 0 dla m " -6, -1 funkcja rośnie
2

4
f (m) < 0 dla m " -1 , funkcja maleje
2 3
12
11
4
matma235@o2.pl
11
1 4
x
-6
2 3
-m + 5
f(m) =
2
1
m +
2
Licząc pochodną funkcji korzystamy ze wzorów

-m + 5
spis treści
f (m) =
2 =
1
m +
symbole
2
zgłoś błąd

-m + 5
= =
1
m2 + m +
25 maj
4
1 1
(-m + 5) (m2 + m + ) - (-m + 5)(m2 + m + )
4 4
= =
2
1
m2 + m +
4
1
-1 � (m2 + m + ) - (-m + 5)(2m + 1)
= =
4
2
2
1
m +
2
1
-m2 - m - - (-2m2 - m + 10m + 5)
4
= =
4
1
m +
2
1
-m2 - m - + 2m2 + m - 10m - 5
4
= =
4
1
m +
2
m2 - 10m - 51
=
4 4
1
m +
matma235@o2.pl
2
1
m2 - 10m - 5 = 0
4
liczymy pierwiastki równania kwadratowego
"
" = (-10)2 - 4 � 51 = 100 + 21 = 121 " = 11
4
spis treści
symbole
10 - 11 1 10 + 11 21 1
zgłoś błąd
m1 = = - m2 = = = 10
2 2 2 2 2
25 maj
matma235@o2.pl
Matura z matematyki  maj 2003
" " " "
Zadanie 1 (4 pkt)
Lewa strona równania 1 + x2 + x4 + x6 + . . . + x2n + . . . = 3 jest sumą nieskończonego
ciągu geometrycznego o ilorazie x2. Z warunku zbieżności mamy x2 < 1. Zatem dziedziną
spis treści
równania jest przedział (-1, 1).
symbole
Równanie można zapisać w postaci 1 + x2(1 + x2 + x4 + . . .) = 3. Stąd 1 + 3x2 = 3.
zgłoś błąd
" "
6 6
Pierwiastkami ostatniego równania są liczby: x1 = - , x2 = należące do dziedziny.
3 3
25 maj
" "
6 6
Odpowiedz
: Rozwiązaniami równania są liczby x1 = - , x2 = .
3 3
Postępując w analogiczny sposób rozwiąż równanie: 1 + x + x2 + x3 + . . . + xn + . . . = 2.
Zadanie 2 (4 pkt)
Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji kwadratowej f.
a) Podaj miejsce zerowe f.
y
6
b) Podaj rozwiązanie nierówności
5
f(x) 0.
4
c) Podaj rozwiązanie równania
3
f(x) = 3
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
x
-1
matma235@o2.pl
Matura z matematyki  maj 2003
" " " "
Zadanie 3 (4 pkt)
Dane dotyczące wzrostu chłopców z klasy II B przedstawione są na diagramie.
spis treści
5
symbole a) Oblicz średni wzrost chłopców z klasy II B
4
(podaj wynik dokładny)
zgłoś błąd
3
2
b) Ilu chłopców z klasy II B ma wzrost
25 maj
wyższy od średniego? 1
0
wzrost w cm
Zadanie 4 (3 pkt)
Liczby 102, 105, 108, 111, . . . , są kolejnymi, początkowymi wyrazami pewnego ciągu
arytmetycznego (an). Zapisz wzór ogólny na n-ty wyraz tego ciągu. Oblicz wyraz a81.
Zadanie 5 (5 pkt)
Przed wejściem do przychodni lekarskiej znajdują się schody mające 8 stopni po 15 cm
wysokości każdy. Postanowiono zbudować podjazd dla niepełnosprawnych o nachyleniu 7ć%.
Oblicz długość podjazdu. Wynik podaj w zaokrągleniu do 10 cm.
matma235@o2.pl
liczba chłopców
164
165
166
167
168
169
170
171
172
Matura z matematyki  maj 2003
" " " "
Zadanie 6 (3 pkt)
Ciąg (an) określony jest wzorem
ńł
spis treści
a1 = 1
�ł
�ł
symbole
a2 = 2
zgłoś błąd �ł
ół
an+2 = 2n-1 + an + an+1 dla n " N\{0}
25 maj
Wyznacz czwarty wyraz tego ciągu.
y
Zadanie 7 (5 pkt)
3
Rysunek przedstawia fragment wykresu
2
funkcji liniowej f. Wykres funkcji g jest
1
obrazem wykresu funkcji f otrzyma-
nym za pomocą przesunięcia o wek-
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
x
tor = [2, 1]. Wyznacz miejsce zerowe -1
u
funkcji g.
Zadanie 8 (3 pkt)
Składka na ubezpieczenie zdrowotne jest równa 7,5% podstawy wymiaru składek na ubez-
pieczenie społeczne. Podstawa wymiaru składek na ubezpieczenie społeczne jest równa 60%
przeciętnego wynagrodzenia. Oblicz wysokość składki na ubezpieczenie zdrowotne przyjmu-
jąc, że przeciętne wynagrodzenie jest równe 1869,76 zł. Wynik podaj w zaokrągleniu do 1
grosza.
matma235@o2.pl
Matura z matematyki  maj 2003
" " " "
D
Zadanie 9 (3 pkt)
4m
Oblicz pole działki rekreacyjnej, której plan przedsta-
E
C
wiony jest na rysunku. Zakładamy, że kąty ABC i
spis treści 10m
ECD są kątami prostymi.
symbole
8m
zgłoś błąd
A 16m B
25 maj
Zadanie 10 (2 pkt)
Kupując los loterii można wygrać nagrodę główną, którą jest zestaw płyt kompaktowych lub
jedną z 10 nagród książkowych. Przy zakupie jednego losu prawdopodobieństwo wygrania
1
nagrody książkowej jest równe . Oblicz, ile losów jest pustych.
7
Zadanie 11 (4 pkt) D1 C1
Podstawą prostopadłościanu ABCDA1B1C1D1
jest prostokąt o bokach długości: |AD| = 3 i
A1
|AB| = 6. Wysokość prostopadłościanu ma dłu- B1
gość równą 6. Uzasadnij, za pomocą rachunków, że
trójkąt BAD1 jest prostokątny.
D C
A B
matma235@o2.pl
 Zadanie 1 (4 pkt)
Lewa strona równania 1 + x2 + x4 + x6 + . . . + x2n + . . . = 3 jest sumą nieskończonego
ciągu geometrycznego o ilorazie x2. Z warunku zbieżności mamy x2 < 1. Zatem dziedziną
równania jest przedział (-1, 1).
Równanie można zapisać w postaci 1 + x2(1 + x2 + x4 + . . .) = 3. Stąd 1 + 3x2 = 3.
" "
spis treści
6 6
Pierwiastkami ostatniego równania są liczby: x1 = - , x2 = należące do dziedziny.
3 3
symbole " "
6 6
Odpowiedz
: Rozwiązaniami równania są liczby x1 = - , x2 = .
zgłoś błąd 3 3
Postępując w analogiczny sposób rozwiąż równanie: 1 + x + x2 + x3 + . . . + xn + . . . = 2.
25 maj
Rozwiązanie:
1 + x + x2 + x3 + . . . + xn + . . . = 2
Lewa strona równania jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego o ilorazie x. Z wa-
runku zbieżności mamy x " (-1, 1). Zatem dziedziną równania jest przedział (-1, 1).
Równanie można zapisać w postaci 1 + x(1 + x + x2 + . . .) = 2. Stąd 1 + 2x = 2.
1
Pierwiastkiem ostatniego równania jest liczba: x = należąca do dziedziny.
2
1
Odpowiedz
: Rozwiązaniami równania jest liczba x = .
2
matma235@o2.pl

5y = 2x + 5 : 5
2
y = x + 1
5
2
Wzór funkcji g: y = x + 1
5
Wyznaczamy miejsce zerowe
spis treści
symbole
2
0 = x + 1
zgłoś błąd
5


2 2
25 maj
- x = 1 : -
5 5

5
x = -1 �
2
1
x = -2
2
1
Odp. x0 = -2
2
matma235@o2.pl
 Zadanie 8 (3 pkt)
Składka na ubezpieczenie zdrowotne jest równa 7,5% podstawy wymiaru składek na ubez-
pieczenie społeczne. Podstawa wymiaru składek na ubezpieczenie społeczne jest równa 60%
przeciętnego wynagrodzenia. Oblicz wysokość składki na ubezpieczenie zdrowotne przyjmu-
jąc, że przeciętne wynagrodzenie jest równe 1869,76 zł. Wynik podaj w zaokrągleniu do 1
grosza.
spis treści
symbole
Rozwiązanie:
zgłoś błąd
Podstawa wymiaru składki na ubezpieczenie zdrowotne:
25 maj
60
60% � 1869, 76 = � 1869, 76 = 1121, 856 H" 1121, 86
100
Składka na ubezpieczenie zdrowotne:
7, 5
7, 5% � 1121, 86 = � 1121, 86 = 84, 1394 H" 84, 14
100
Odp. Składka na ubezpieczenie zdrowotne wynosi 84zł 14gr.
matma235@o2.pl
 Zadanie 9 (3 pkt)
D
Oblicz pole działki rekreacyjnej, której plan przedsta-
4m
wiony jest na rysunku. Zakładamy, że kąty ABC i
E
C
ECD są kątami prostymi.
10m
8m
spis treści
symbole
A 16m B
Rozwiązanie:
zgłoś błąd
1
Pole trójkąta ECD: P = � 10 � 4 = 20 m2
25 maj
2
(16 + 10) � 8
Pole trapezu ABCE: P = = 104 m2
2
Pole całej działki: P = 20 + 104 = 124 m2
Odp. Działka rekreacyjna ma pole 124 m2.
matma235@o2.pl
Zadanie 10 (2 pkt)
Kupując los loterii można wygrać nagrodę główną, którą jest zestaw płyt kompaktowych lub
jedną z 10 nagród książkowych. Przy zakupie jednego losu prawdopodobieństwo wygrania
1
nagrody książkowej jest równe . Oblicz, ile losów jest pustych.
7
Rozwiązanie:
spis treści
symbole
n  liczba wszystkich losów
zgłoś błąd
10
 prawdopodobieństwo wygrania jednej nagrody książkowej
n
25 maj

10 1
= � n
n 7

1
10 = n � 7
7
70 = n
n = 70
Wszystkich losów jest 70. Za pomocą 11 losów można wygrać nagrodę, zatem losów pustych
jest 70 - 11 = 59.
Odp. Losów pustych jest 59.
matma235@o2.pl
 Zadanie 11 (4 pkt)
D1 C1
Podstawą prostopadłościanu ABCDA1B1C1D1
jest prostokąt o bokach długości: |AD| = 3 i
|AB| = 6. Wysokość prostopadłościanu ma dłu-
A1
B1
gość równą 6. Uzasadnij, za pomocą rachunków, że
trójkąt BAD1 jest prostokątny.
6
spis treści
symbole
D C
zgłoś błąd
3
25 maj
A B
Rozwiązanie:
6
"
wyznaczamy przekątną podstawy: |BD| = 3 5
wyznaczamy przekątną sześcianu: |BD1| = 9
"
wyznaczamy przekątną ściany bocznej: |AD1| = 3 5
Trójkąt ABD1 jest prostokątny, jeżeli jego boki spełniają twierdzenie Pitagorasa:
|AB|2 + |AD1|2 = |BD1|2
"
62 + (3 5)2 = 92
36 + 45 = 81
81 = 81
Odp. Boki trójkąta ABD1 spełniają twierdzenie Pitagorasa, zatem jest to trójkąt prosto-
kątny.
matma235@o2.pl
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa
D C 62 + 32 = |BD|2
36 + 9 = |BD|2
3
|BD|2 = 45
spis treści
" "
|BD| = 45 = 9 � 5
symbole
A B
6 "
zgłoś błąd |BD| = 3 5
25 maj
matma235@o2.pl
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa
"
D1
(3 5)2 + 62 = |BD1|2
45 + 36 = |BD1|2
6
|BD1|2 = 81
spis treści
"
|BD1| = 81
"
symbole
D B
3 5
|BD1| = 9
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa
D1 32 + 62 = |AD1|2
9 + 36 = |AD1|2
6
|AD1|2 = 45
spis treści
" "
|AD1| = 45 = 9 � 5
symbole
D A
"
3
zgłoś błąd |AD1| = 3 5
25 maj
matma235@o2.pl
Matura z matematyki  styczeń 2003
" " " "
Zadanie 1 (3 pkt)
Powierzchnia prostokątnej działki budowlanej równa się 1540 m2. Oblicz wymiary tej działki
wiedząc, że różnią się one o 9 m.
spis treści
symbole
Zadanie 2 (4 pkt)
zgłoś błąd
Na wspólne konto państwa Kowalskich wpływają pieniądze z ich dwóch pensji miesięcznych,
razem jest to kwota 3200 złotych. Na początku każdego miesiąca małżonkowie dzielą całość
25 maj
tej kwoty. Na diagramie kołowym pokazano strukturę planowanych, przez państwa Kowal-
skich, miesięcznych wydatków.
inne
(5%)
Korzystając z tych danych:
ubrania
a) Oblicz, ile procent danej kwoty stanowią
(12%)
miesięczne wydatki państwa Kowalskich
na wyżywienie.
gaz i energia
(14%)
b) Oblicz, ile pieniędzy wydają państwo
Kowalscy w ciągu miesiąca łącznie, na
gaz i energię oraz czynsz.
czynsz
wyżywienie
(400 zł)
matma235@o2.pl
Matura z matematyki  styczeń 2003
" " " "
Zadanie 3 (3 pkt)
"
Upraszczając pierwiastek kwadratowy z liczby 27 + 10 2, zapiszemy ją w postaci kwadratu
sumy dwóch liczb. Postępujemy następująco:
spis treści

symbole
" "
zgłoś błąd 27 + 10 2 = 25 + 10 2 + 2 =

" 2 " 2 "
"
25 maj
= 52 + 2 � 5 � 2 + 2 = 5 + 2 = 5 + 2
Przeanalizuj ten przykład, a następnie, stosując analogiczne postępowanie,

"
uprość 11 + 6 2.
Zadanie 4 (4 pkt)
5 160
Równanie prostej C = � F - , ustala zależność między temperaturą wyrażoną w
9 9
stopniach Celsjusza (C) oraz Fahrenheita (F ).
a) Oblicz, ile stopni w skali Fahrenheita (F ), ma wrząca w temperaturze 100ć% woda.
b) Wyznacz taką temperaturę, przy której liczba stopni w skali Celsjusza jest równa
liczbie stopni w skali Fahrenheita.
Zadanie 5 (4 pkt)
Dany jest trójkąt, którego dwa boki mają długości 8 cm i 12 cm, kąt zawarty między tymi
bokami ma miarę 120ć%. Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.
matma235@o2.pl
Matura z matematyki  styczeń 2003
" " " "
Zadanie 6 (5 pkt)
Do pewnego przepisu z książki kucharskiej należy przygotować 0, 25 litra płynu. Mamy do
wyboru trzy szklanki w kształcie walca o wewnętrznych wymiarach: pierwsza o średnicy 
spis treści
6 cm i wysokości 10 cm, druga  o średnicy 5, 8 cm i wysokości 9, 5 cm oraz trzecia  o
symbole
średnicy 6 cm i wysokości 9 cm.
zgłoś błąd
Której szklanki objętość jest najbliższa 0, 25 litra? Odpowiedz
uzasadnij.
25 maj
Zadanie 7 (6 pkt)
Funkcja f : R R jest określona wzorem: f(x) = x2 - 6x + 12.
a) Rozwiąż nierówność f(x) - 19 > 0.
b) Uzasadnij, że obrazem wykresu funkcji f, w symetrii względem prostej o równaniu
x = 6, nie jest parabola, określona równaniem y = (x - 9)2 + 6
Zadanie 8 (3 pkt)
Spośród wszystkich wierzchołków sześcianu wybieramy jednocześnie trzy wierzchołki. Ob-
licz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy wierzchołki trójkąta
równobocznego.
Zadanie 9 (3 pkt)
Wykaż, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów sinusów miar wszystkich jego kątów
wewnętrznych równa się 2.
matma235@o2.pl
Matura z matematyki  styczeń 2003
" " " "
Zadanie 10 (5 pkt)
Wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe, podzielne przez 6 są wyrazmi pewnego ciągu rosną-
cego.
spis treści
a) Zapisz wzór ogólny na n - ty wyraz tego ciągu arytmetycznego.
symbole
b) Oblicz, ile wyrazów ma ten ciąg.
zgłoś błąd
c) Oblicz sumę piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu
25 maj
matma235@o2.pl
 Zadanie 1 (3 pkt)
Powierzchnia prostokątnej działki budowlanej równa się 1540 m2. Oblicz wymiary tej działki
wiedząc, że różnią się one o 9 m.
Rozwiązanie:
spis treści
symbole
zgłoś błąd
x
25 maj
x + 9
x(x + 9) = 1540
x2 + 9x - 1540 = 0
Rozwiązujemy równanie kwadratowe
"
" = 92 - 4 � 1 � (-1540) = 81 + 6160 = 6241 " = 79
-9 - 79 -88 -9 + 79 70
x1 = = = -44 x2 = = = 35
2 2 2 2
Długość nie może być liczbą ujemną więc jedyne poprawne rozwiązanie to:
x = 35 x + 9 = 44
Odp. Działka ma wymiary 35 m na 44 m.
matma235@o2.pl
Zadanie 2 (4 pkt)
Na wspólne konto państwa Kowalskich wpływają pieniądze z ich dwóch pensji miesięcznych,
razem jest to kwota 3200 złotych. Na początku każdego miesiąca małżonkowie dzielą całość
tej kwoty. Na diagramie kołowym pokazano strukturę planowanych, przez państwa Kowal-
skich, miesięcznych wydatków.
spis treści inne
(5%) Korzystając z tych danych:
symbole
ubrania
a) Oblicz, ile procent danej kwoty stanowią
zgłoś błąd
(12%)
miesięczne wydatki państwa Kowalskich
na wyżywienie.
25 maj
gaz i energia
b) Oblicz, ile pieniędzy wydają państwo
(14%)
Kowalscy w ciągu miesiąca łącznie, na
gaz i energię oraz czynsz.
czynsz
wyżywienie
(400 zł)
Rozwiązanie:
Na początek obliczymy jaki procent 3200 zł stanowi czynsz  400 zł.
400 1 1
= = � 100% = 12, 5%
3200 8 8
Procent jaki stanowią miesięczne wydatki na wyżywienie:
100% - (5% + 12% + 14% + 12, 5%) = 100% - 43, 5% = 56, 5%
matma235@o2.pl
Odp. Na wyżywienie Kowalscy przeznaczają 56, 5%.
dalej
Na gaz i energię Kowalscy wydają:
14
14% z 3200 = � 3200 = 448
100
Razem z czynszem 448 + 400 = 848 zł.
spis treści
Odp. Kowalscy wydają na czynsz, gaz i energię łącznie 848 zł.
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
 Zadanie 3 (3 pkt)
"
Upraszczając pierwiastek kwadratowy z liczby 27 + 10 2, zapiszemy ją w postaci kwadratu
sumy dwóch liczb. Postępujemy następująco:

" "
27 + 10 2 = 25 + 10 2 + 2 =

spis treści
" 2 " 2 "
"
= 52 + 2 � 5 � 2 + 2 = 5 + 2 = 5 + 2
symbole
zgłoś błąd
Przeanalizuj ten przykład, a następnie, stosując analogiczne postępowanie,

"
25 maj
uprość 11 + 6 2.
Rozwiązanie:

" "
11 + 6 2 = 9 + 6 2 + 2 =

" 2 " 2 "
"
= 32 + 2 � 3 � 2 + 2 = 3 + 2 = 3 + 2
matma235@o2.pl
 Zadanie 4 (4 pkt)
5 160
Równanie prostej C = � F - , ustala zależność między temperaturą wyrażoną w
9 9
stopniach Celsjusza (C) oraz Fahrenheita (F ).
a) Oblicz, ile stopni w skali Fahrenheita (F ), ma wrząca w temperaturze 100ć% woda.
b) Wyznacz taką temperaturę, przy której liczba stopni w skali Celsjusza jest równa
spis treści
liczbie stopni w skali Fahrenheita.
symbole
Rozwiązanie:
zgłoś błąd
a) Oblicz, ile stopni w skali Fahrenheita (F ), ma wrząca w temperaturze 100ć% woda.
25 maj
5 160
C = � F -
9 9

5 160
100 = � F - � 9
9 9
900 = 5F - 160
900 + 160 = 5F
1060 = 5F / : 5
F = 212
Odp. Woda wrze w 212 stopniach Fahrenheita.
dalej
matma235@o2.pl
b) Wyznacz taką temperaturę, przy której liczba stopni w skali Celsjusza jest równa
liczbie stopni w skali Fahrenheita.
C = F

5 160
C = � C - � 9
spis treści
9 9
symbole
9C = 5C - 160
zgłoś błąd

4C = -160 : 4
25 maj
C = -40
Odp. Temperatura -40 stopni Celsjusza jest równa liczbie stopni w skali Fahrenheita.
matma235@o2.pl
 Zadanie 5 (4 pkt)
Dany jest trójkąt, którego dwa boki mają długości 8 cm i 12 cm, kąt zawarty między tymi
bokami ma miarę 120ć%. Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.
Rozwiązanie:
spis treści
120ć%
8 12
symbole
zgłoś błąd
c
"
25 maj
c = 4 19
liczymy promień okręgu opisanego na trójkącie:
"
4 19
R =
2 sin 120ć%
"
3
=
sin 120ć% = sin(180ć% - 60ć%) sin 60ć% =
2
"
4 19
R = "
3
2 �
2
" "
4 19 3
" "
R = �
3 3
"
4 57
R =
3
matma235@o2.pl
120ć%
8 12
c
spis treści
symbole W celu obliczenia c korzystamy z twierdzenia cosinusów
zgłoś błąd
c2 = 82 + 122 - 2 � 8 � 12 � cos 120ć%
25 maj
c2 = 64 + 144 - 192 � cos 120ć%
1
=
cos 120ć% = cos(180ć% - 60ć%) - cos 60ć% = -
2

1
c2 = 208 - 192 � -
2
c2 = 208 + 96
c2 = 304
" "
c = 304 = 16 � 19
"
c = 4 19
matma235@o2.pl
 Zadanie 6 (5 pkt)
Do pewnego przepisu z książki kucharskiej należy przygotować 0, 25 litra płynu. Mamy do
wyboru trzy szklanki w kształcie walca o wewnętrznych wymiarach: pierwsza o średnicy 
6 cm i wysokości 10 cm, druga  o średnicy 5, 8 cm i wysokości 9, 5 cm oraz trzecia  o
średnicy 6 cm i wysokości 9 cm.
Której szklanki objętość jest najbliższa 0, 25 litra? Odpowiedz
uzasadnij.
spis treści
symbole
Rozwiązanie:
zgłoś błąd
1litr = 1000cm3
0, 25l = 0, 25 � 1000cm3 = 250 cm3
25 maj
objętość walca: V = Ąr2 � h
1 1 1
r1 = � 6 = 3 cm r2 = � 5.8 = 2.9 cm r3 = � 6 = 3 cm
2 2 2
h1 = 10 cm h2 = 9.5 cm h3 = 9 cm
V1 = Ą � 32 � 10 V2 = Ą � 2.92 � 9, 5 V3 = Ą � 32 � 9
V1 H" 3, 14 � 90 V2 H" 3, 14 � 9 H" 79, 895 V3 H" 3, 14 � 81
V1 H" 282, 6 cm3 V2 H" 250, 9 cm3 V3 H" 254, 3 cm3
Odp. Szklanka o średnicy 5, 8 cm i wysokości 9, 5 cm ma objętość V H" 250, 9 cm3, która
jest najbliższa 0, 25 litra.
matma235@o2.pl
 Zadanie 7 (6 pkt)
Funkcja f : R R jest określona wzorem: f(x) = x2 - 6x + 12.
a) Rozwiąż nierówność f(x) - 19 > 0.
b) Uzasadnij, że obrazem wykresu funkcji f, w symetrii względem prostej o równaniu
x = 6, nie jest parabola, określona równaniem y = (x - 9)2 + 6
spis treści
Rozwiązanie:
symbole
a) Rozwiąż nierówność f(x) - 19 > 0.
zgłoś błąd
nierówności kwadratowe
25 maj
f(x) - 19 > 0
x2 - 6x + 12 - 19 > 0
x2 - 6x - 7 > 0
znajdujemy pierwiastki
" "
" = (-6)2 - 4 � 1 � (-7) = 36 + 28 = 64 " = 64 = 8
-(-6) - 8 6 - 8 -(-6) + 8 6 + 8
x1 = = = -1 x2 = = = 7
2 � 1 2 2 � 1 2
x
-1 7
x " (-", -1) *" (7, ") dalej
matma235@o2.pl
b) Uzasadnij, że obrazem wykresu funkcji f, w symetrii względem prostej o równaniu
x = 6, nie jest parabola, określona równaniem y = (x - 9)2 + 6
Znajdujemy współrzędne wierzchołka wykresu f(x) = x2 - 6x + 12
-(-6)
p = = 3
2 � 1
spis treści
symbole
" = (-6)2 - 4 � 1 � 12 = 36 - 48 = -12
zgłoś błąd
-(-12)
q = = 3
4 � 1
25 maj
W1(3, 3)
Współrzędne wierzchołka wykresu y = (x - 9)2 + 6 to W2(9, 6).
y
W2
W1
x
x = 6
Jak widać na wykresie, wierzchołki W1 i W2 nie są do siebie symetryczne względem prostej
x = 6. Zatem obrazem wykresu funkcji f, w symetrii względem prostej o równaniu x = 6,
matma235@o2.pl
nie jest parabola, określona równaniem y = (x - 9)2 + 6.
 Zadanie 8 (3 pkt)
Spośród wszystkich wierzchołków sześcianu wybieramy jednocześnie trzy wierzchołki. Ob-
licz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy wierzchołki trójkąta
równobocznego.
Rozwiązanie:
spis treści
Sześcian ma 8 wierzchołków, z których 3 różne wierzchołki możemy wybrać na tyle sposobów:
symbole
zgłoś błąd
8 8! 5! � 6 � 7 � 8 6 � 7 � 8 336
&! = = = = = = 56
3 (8 - 3)! � 3! 5! � 3! 1 � 2 � 3 6
25 maj
W ten sposób możemy otrzymać maksymalnie 8 trójkątów równobocznych:
Prawdopodobieństwo otrzymania wierzchołków trójkąta równobocznego:
A 8 1
P (A) = = =
matma235@o2.pl
56 7
&!
 Zadanie 9 (3 pkt)
Wykaż, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów sinusów miar wszystkich jego kątów
wewnętrznych równa się 2.
Rozwiązanie:
�
spis treści Mamy wykazać:
symbole
sin2 90ć% + sin2 ą + sin2 � = 2
zgłoś błąd
kąty w trójkącie
ą
25 maj
90ć% + ą + � = 180ć%
� = 180ć% - 90ć% - ą
� = 90ć% - ą
sin2 90ć% + sin2 ą + sin2 � = 2
Przekształcając lewą stronę udowadniamy, że jest równa prawej:
L = sin2 90ć% + sin2 ą + sin2 � =
= sin2 90ć% + sin2 ą + sin2(90 - ą) =

=
sin 90ć% 1

=
sin(90ć% - ą) cos ą
= 12 + sin2 ą + cos2 ą =
= 1 + 1 = 2 = P
matma235@o2.pl
L = P
 Zadanie 10 (5 pkt)
Wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe, podzielne przez 6 są wyrazmi pewnego ciągu rosną-
cego.
a) Zapisz wzór ogólny na n - ty wyraz tego ciągu arytmetycznego.
b) Oblicz, ile wyrazów ma ten ciąg.
c) Oblicz sumę piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu
spis treści
symbole
Rozwiązanie:
zgłoś błąd
a) Zapisz wzór ogólny na n - ty wyraz tego ciągu arytmetycznego.
25 maj Liczby dwucyfrowe podzielne przez 6 tworzą ciąg arytmetyczny
12, 18, 24, . . . , 90, 96
a1= 12  pierwszy wyraz ciągu
r = 6  różnica ciągu
wzór ogólny na n - ty wyraz tego ciągu arytmetycznego:
an = 12 + (n - 1) � 6
an = 12 + 6n - 6
an = 6n + 6
Odp. Wzór ogólny tego ciągu arytmetycznego an = 6n + 6.
dalej
matma235@o2.pl
b) Oblicz, ile wyrazów ma ten ciąg.
12, 18, 24, . . . , 90, 96
n - ty wyraz tego ciągu arytmetycznego
spis treści
an = a1 + (n - 1)r
symbole
96 = 12 + (n - 1) � 6
zgłoś błąd
96 = 12 + 6n - 6
25 maj
96 - 12 + 6 = 6n

6n = 90 : 6
n = 15
Odp. Ciąg ten ma 15 wyrazów.
c) Oblicz sumę piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu
suma wyrazów ciągu arytmetycznego
a1 + an
S = � n
2
12 + 96
S = � 15
2
S = 810
matma235@o2.pl
b) miejsce zerowe funkcji f miejsce zerowe
0 = -2x - 4
3

2 2
x = -4 :
3 3
3
x = -4 �
2
spis treści
x0 = -6
symbole
zgłoś błąd
Odp. Miejsce zerowe x0 = -6.
25 maj
matma235@o2.pl
 Zadanie 4 (5 pkt)
W pewnej szkole średniej po pierwszym półroczu przeprowadzono test z matematyki.
Tabelka przedstawia wyniki testu:
Ocena 1 2 3 4 5 6
Liczba uczniów 10 30 80 30 25 5
spis treści
a) Sporządz
diagram słupkowy przedstawiający zestawieni wyników testów.
symbole
b) Oblicz średnią arytmetyczną uzyskanych ocen.
zgłoś błąd
c) Oblicz, ilu uczniów uzyskało ocenę wyższą od średniej arytmetycznej ocen.
25 maj
Rozwiązanie:
a) Sporządz
diagram słupkowy przedstawiający zestawieni wyników testów.
80
70
60
50
40
30
20
10
0
1 2 3 4 5 6
ocena
dalej
matma235@o2.pl
liczba uczniów
b) Oblicz średnią arytmetyczną uzyskanych ocen.
Ocena 1 2 3 4 5 6
Liczba uczniów 10 30 80 30 25 5
spis treści
1 � 10 + 2 � 30 + 3 � 80 + 4 � 30 + 5 � 25 + 6 � 5 585
a = = = 3, 25
symbole
10 + 30 + 80 + 30 + 25 + 5 180
zgłoś błąd
Odp. Średnia arytmetyczna uzyskanych ocen to 3,25.
25 maj
c) Oblicz, ilu uczniów uzyskało ocenę wyższą od średniej arytmetycznej ocen.
Uczniowie z ocenami 4, 5, 6 uzyskali oceną wyższą od średniej. Uczniów tych jest 30 + 25 +
5 = 60.
Odp. Uczniów z ocenami wyższymi od średniej jest 60.
matma235@o2.pl
 Zadanie 5 (4 pkt)
Ania przeczytała książkę sience-fiction w ciągu 13 dni, przy czym każdego dnia czytała o taką
samą liczbę stron więcej, niż w dniu poprzednim. Ile stron miała ta książka, jeżeli wiadomo,
że w trzecim dniu Ania przeczytała 28 stron a w ostatnim 68?
Rozwiązanie:
spis treści
Liczby stron przeczytanych przez Anię każdego dnia, tworzą ciąg arytmetyczny.
symbole
W trzecim dniu Ania przeczytała 28 stron: a3 = 28
zgłoś błąd
W trzynastym dniu Ania przeczytała 68 stron: a13 = 68
Korzystamy z an = a1 + (n - 1)r
25 maj

a3 = 28 a1 = 28 - 2r
a13 = 68 10r = 68 - 28 / : 10

a1 + (3 - 1)r = 28 a1 = 28 - 2 � 4
a1 + (13 - 1)r = 68 r = 4

a1 + 2r = 28 a1 = 20
a1 + 12r = 68 r = 4

a1 = 28 - 2r
28 - 2r + 12r = 68
a1 = 20, czyli w pierwszym dniu Ania przeczytała 20 stron. Liczba stron w książce to
suma ciągu arytmetycznego.
20 + 68
S = � 13 = 44 � 13 = 572
2
matma235@o2.pl
Odp. Książka ma 572 strony.
 Zadanie 6 (3 pkt)
Jeżeli x1 = 2, x2 = 3 i x3 = -1 są miejscami
zerowymi wielomianu W (x) = ax3 + bx2 + cx + d, gdzie a = 0 oraz W (4) = 2, to

współczynnik a można wyznaczyć postępując w następujący sposób:
Wielomian W zapisujemy w postaci iloczynowej: W (x) = a(x - 2)(x - 3)(x + 1) i
wykorzystując warunek W (4) = 2 otrzymujemy równanie: 2 = a(4 - 2)(4 - 3)(4 + 1),
spis treści
1
stąd a = .
symbole
5
Postępując analogicznie, wyznacz współczynnik a wielomianu W (x) = ax3 +bx2 +cx+d,
zgłoś błąd
wiedząc, że jego miejsca zerowe to x1 = -2, x2 = 1, x3 = 2 oraz W (-1) = 3.
25 maj
Rozwiązanie:
Wielomian W (x) = ax3 + bx2 + cx + d zapisujemy w postaci iloczynowej, wiedząc, że
jego miejsca zerowe to x1 = -2, x2 = 1, x3 = 2 oraz W (-1) = 3.
W (x) = a (x - (-2)) (x - 1)(x - 2)
W (x) = a(x + 2)(x - 1)(x - 2)
wykorzystując warunek W (-1) = 3 otrzymujemy równanie:
3 = a(-1 + 2)(-1 - 1)(-1 - 2)
3 = a � 1 � (-2) � (-3)

3 = 6a : 6
3
= a
6
1
a =
2
matma235@o2.pl
 Zadanie 7 (4 pkt)
Planując czterotygodniowe wakacje, rodzina Kowalskich przeznaczyła pewną kwotę na wy-
żywienie. W pierwszym tygodniu wydano 30% zaplanowanej kwoty, w drugim tygodniu o 60
złoty mniej niż w pierwszym, w trzecim połowę reszty pieniędzy. Na czwarty tydzień zostało
270 złoty. Oblicz kwotę, którą rodzina Kowalskich przeznaczyła na wyżywienie.
Rozwiązanie:
spis treści
x  kwota przeznaczona na wyżywienie
symbole
zgłoś błąd
30
30% z x = x = 0, 3x  kwota wydana w pierwszym tygodniu
100
25 maj
0, 3x - 60  kwota wydana w drugim tygodniu
x - (0, 3x + (0, 3x - 60))  kwota która została Kowalskim po trzecim tygodniu
0, 5 [x - (0, 3x + (0, 3x - 60))]  kwota wydana w trzecim tygodniu
270  kwota wydana w czwartym tygodniu
x = 0, 3x + 0, 3x - 60 + 0, 5 [x - (0, 3x + (0, 3x - 60))] + 270
x = 0, 6x - 60 + 0, 5 [x - (0, 6x - 60)] + 270
x = 0, 6x - 60 + 0, 5 [x - 0, 6x + 60] + 270
x = 0, 6x - 60 + 0, 5 [0, 4x + 60] + 270
x = 0, 6x - 60 + 0, 2x + 30 + 270
x = 0, 8x + 240
x - 0, 8x = 240

0, 2x = 240 : 0, 2
x = 1200
matma235@o2.pl
Odp. Rodzina Kowalskich przeznaczyła 1200 zł na wyżywienie.
 Zadanie 8 (5 pkt)
Funkcja kwadratowa f(x) = ax2 + bx - 3, gdzie b > 0 posiada dwa różne miejsca zerowe,
których iloczyn jest równy (-3). Wiedząc, że funkcja ta przyjmuje najmniejszą wartość równą
(-4), wyznacz:
a) współczynnik a i b,
b) miejsca zerowe funkcji f.
spis treści
symbole
Rozwiązanie:
zgłoś błąd
a) wyznacz współczynnik a i b
25 maj
f(x) = ax2 + bx - 3
Korzystamy ze wzorów Vi�ta:
c
x1 � x1 =
a
-3
-3 =
a
a = 1
f(x) = x2 + bx - 3
Najmniejsza wartość dana jest wzorem:
"
q = -
4a

b2 - 4ac
-4 = - � (-4)
4 � 1
matma235@o2.pl
16 = b2 - 4 � 1 � (-3) dalej
16 = b2 - 4 � 1 � (-3)
16 = b2 + 12
b2 = 4
Przy założeniu b > 0 mamy rozwiązanie:
spis treści
b = 2
symbole
zgłoś błąd
f(x) = x2 + 2x - 3
25 maj
b) miejsca zerowe funkcji f.
równanie kwadratowe
" "
" = 22 - 4 � 1 � (-3) = 4 + 12 = 16 " = 16 = 4
-2 - 4 -6 -2 + 4 2
x1 = = = -3 x2 = = = 1
2 2 2 2
Odp. Funkcja f(x) = x2 + 2x - 3 ma miejsca zerowe x1 = -3, x2 = 1.
matma235@o2.pl
 Zadanie 9 (5 pkt)
Zaplanowano zalesić ugór w kształcie trójkąta równoramiennego, którego długość najdłuż-
szego boku, na planie w skali 1:1500, jest równy 12 cm i jeden z kątów ma miarę 120ć%. W
szkółce leśnej zamówiono sadzonki, w ilości pozwalającej obsadzić obszar wielkości 40 arów.
Oblicz, czy zamówiono ilość sadzonek jest wystarczająca do zalesienia ugoru.
spis treści Rozwiązanie:
symbole
6
tg 60ć% =
zgłoś błąd
60ć% 60ć%
h

"
h
6
6
25 maj
3 = � h
h
12
" "

h 3 = 6 : 3
" "
6 6 3 6 3
h = " = " � " =
3
3 3 3
"
h = 2 3 H" 3, 46
Skala 1:1500 oznacza, że 1 cm na planie to 1500 cm=15 m w rzeczywistości
12 � 15 m = 180 m
3, 46 � 15 m = 51, 9 m
Ugór ma rzeczywistości wymiary 180 m na 51,9 m. Obliczmy jego pole:
1
P = � 180 � 51, 9 = 4671 m2
2
1 ar = 100 m2 zatem 40 ar = 40�100 m2 = 4000 m2.
matma235@o2.pl
Odp. Pole ugoru jest większe od 40 arów, więc zamówiona ilość sadzonek jest niewystarcza-
jąca.
 Zadanie 10 (5 pkt)
Dane są dwie bryły: stożek, w którym długość promienia podstawy jest równa 4 dm i wysokość
18
ma długość dm oraz ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędz
podstawy ma
Ą
"
długość 4 3 dm. Wiedząc, że objętości tych brył są równe, wyznacz kąt nachylenia ściany
bocznej ostrosłupa do podstawy.
spis treści
Rozwiązanie:
symbole
zgłoś błąd
18
25 maj Ą
H
ą "
"
4
4 3
2 3
"
4 3
"
1 18 1
Objętość: V = � Ą � 42 � = 96 V = (4 3)2 � H = 16H
3 Ą 3
96 = 16H
H = 6
H
tg ą = "
2 3
"
6 3
" "
tg ą = = = 3
2 3 3
ą = 60ć%
matma235@o2.pl
Odp. Ostrosłup jest nachylony do ściany bocznej pod kątem 60ć%.
Matura próbna z matematyki  wrzesień 2001
" " " "
Zadanie 1 (3 pkt)
a) Rozwiąż nierówność x2 < 4x.
b) Ze zbioru rozwiązań tej nierówności wybierz i wypisz wszystkie liczby naturalne.
spis treści
symbole
oceny negatywne
Zadanie 2 (5 pkt)
zgłoś błąd
oceny pozytywne
Obok na wykresie, pokazano wyniki egzaminu
120
110
maturalnego z matematyki w pewnej szkole, w
109
106
25 maj
102
ciągu ostatnich 4 lat.
100
Korzystając z tych danych:
80
a) odczytaj i zapisz, w którym roku maturę
z matematyki zdawało najwięcej uczniów.
60
Ile ich było?
40
b) oblicz, ile procent uczniów zdało maturę
z matematyki w 2000 roku,
20
c) oblicz, ile procent uczniów nie zdało matury 8
7
5 6
z matematyki w ciągu całego omawianego
0
okresu 4 lat.
1997 1998 1999 2000
lata
Zadanie 3 (3 pkt)
Cena pewnego towaru wraz z 7% stawką podatku VAT była równa 64, 20 złotych. Oblicz
cenę tego towaru, gdyby stawka podatku VAT była równa 22% zamiast 7%.
matma235@o2.pl
liczba maturzystów
Matura próbna z matematyki  wrzesień 2001
" " " "
Zadanie 4 (3 pkt)
Aby obliczyć odsetki od kapitału bankowcy stosuję następujący wzór:
spis treści
kapitał � oprocentowanie
odsetki = liczba dni lokaty �
symbole
liczba dni w roku
zgłoś błąd
UWAGA: W zależności od banku przyjmuje się, że liczba dni w roku równa się 360 albo 365.
25 maj
Notuję się wówczas odsetki360 albo odsetki365.
Dysponujesz kapitałem 10 000 złotych, które chciałbyś ulokować na 60 dni. W dwóch bankach
oprocentowanie jest takie samo i równa się 15%, zaś liczbę dni w roku jeden bank przyjmuje
jako 360, drugi jako 365.
Stosując powyższy wzór oblicz odsetki od podanego kapitału w każdym z tych banków. Która
lokata jest korzystniejsza i o ile złotych?
Zadanie 5 (3 pkt)
W pewnym barze jeden pączek kosztuje p złotych, zaś jeden napój n złotych. Za 4 pączki i
5 napojów zapłacimy w tym barze 11,55 złotych.
a) Zapisz za pomocą równania koszt 4 pączów i 5 napojów w tym barze.
b) Oblicz, ile zapłacimy w tym barze za 1 napój, jeśli jeden pączek kosztuje 1,20 złotych.
matma235@o2.pl
Matura próbna z matematyki  wrzesień 2001
" " " "
Zadanie 6 (3 pkt)
W poniższej tabelce pokazano kurs sprzedaży marki niemieckiej w dniu 30.01.2001 r. w
wybranych 50 kantorach w naszym kraju.
spis treści
symbole
Kurs sprzedaży (w złotych) 1,99 2,01 2,02 2,05
zgłoś błąd
Liczba kantorów 30 15 3 2
25 maj
a) Uwzględniając podane liczby kantorów, oblicz średni kurs sprzedaży marki niemieckiej
w tym dniu.
b) Podaj liczbę kantorów, w których tego dnia kurs sprzedaży marki niemieckiej był niższy
od obliczonego średniego kursu sprzedaży.
Zadanie 7 (3 pkt)
Pewna firma specjalizująca się w kopaniu studni, oferuje klientom następujący sposób obli-
czenia kosztu robót ziemnych:
wykopanie pierwszego metra głębokości studni kosztuje 300 złotych, zaś wykopanie każdego
następnego metra głębokości kosztuje o 30 złotych więcej niż poprzedniego metra. Sprawdz
,
czy 7500 złotych wystarczy, aby zapłacić tej firmie za wydrążenie studni o głębokości 15
metrów.
Zadanie 8 (4 pkt)
Ciąg liczbowy (an) jest określony wzorem an = n + n2. Wykaż, że jest to ciąg rosnący.
matma235@o2.pl
Matura próbna z matematyki  wrzesień 2001
" " " "
Zadanie 9 (3 pkt)
Wierzchołkami trójkąta ABC są punkty A(-3, -4), B(-2, 1), C(3, 0).
spis treści
a) Sprawdz
, że |AB| = |BC|.
symbole b) Uzasadnij, że kąt ABC jest kątem prostym.
zgłoś błąd
Zadanie 10 (3 pkt)
25 maj
Na okręgu dany jest zbiór 5 różnych punktów. Ile jest różnych wielokątów, których wierz-
chołki należą do danego zbioru? (Wielokąty są różne, jeżeli różnią się przynajmniej jednym
wierzchołkiem.)
Zadanie 11 (3 pkt)
y
k
O x
A(12, -3)
Na rysunku powyżej, prosta k przechodzi przez punkt A(12, -3). Wiedząc, że stosunek pól
obu zakreskowanych trójkątów jest równy 4:
a) oblicz sumę pól tych trójkątów,
matma235@o2.pl
b) wyznacz równanie prostej k.
 Zadanie 1 (3 pkt)
a) Rozwiąż nierówność x2 < 4x.
b) Ze zbioru rozwiązań tej nierówności wybierz i wypisz wszystkie liczby naturalne.
Rozwiązanie
a) Rozwiąż nierówność x2 < 4x.
spis treści
symbole
x2 < 4x
zgłoś błąd
x2 - 4x < 0
x(x - 4) < 0
25 maj
x= 0 lub x - 4= 0
x= 4
x
0 4
Odp. x " (0, 4)
b) Ze zbioru rozwiązań tej nierówności wybierz i wypisz wszystkie liczby naturalne.
Odp. Liczby naturalne należące do zbioru x " (0, 4) to 1, 2, 3.
matma235@o2.pl
 Zadanie 2 (5 pkt)
oceny negatywne
Obok na wykresie, pokazano wyniki egzaminu
oceny pozytywne
maturalnego z matematyki w pewnej szkole, w
120
110
109
ciągu ostatnich 4 lat.
106
102
100
Korzystając z tych danych:
a) odczytaj i zapisz, w którym roku maturę
spis treści 80
z matematyki zdawało najwięcej uczniów.
symbole
60
Ile ich było?
zgłoś błąd
b) oblicz, ile procent uczniów zdało maturę
40
z matematyki w 2000 roku,
25 maj
c) oblicz, ile procent uczniów nie zdało matury
20
8
7
z matematyki w ciągu całego omawianego 5 6
0
okresu 4 lat.
1997 1998 1999 2000
lata
Rozwiązanie:
a) odczytaj i zapisz, w którym roku maturę z matematyki zdawało najwięcej uczniów. Ile ich
było?
w 1997 r. 5+110=115
w 1998 r. 7+109=116
w 1999 r. 8+102=110
w 2000 r. 6+106=112
Odp. Najwięcej osób zdawało maturę w 1998 roku i było ich wtedy 116.
dalej
matma235@o2.pl
liczba maturzystów
b) oblicz, ile procent uczniów zdało maturę z matematyki w 2000 roku.
6 osób nie zdało matury w 2000 r.
106 osób zdało
procent osób jakie zdało maturę:
106 106
spis treści
� 100% = � 100% = 0, 9464 � 100% = 94, 64%
6 + 106 112
symbole
zgłoś błąd
Odp. W 2000 r. 94,64% osób zdało maturę.
25 maj
c) oblicz, ile procent uczniów nie zdało matury z matematyki w ciągu całego omawianego
okresu 4 lat.
5 + 7 + 8 + 6 = 26 tyle osób nie zdało matury w ciągu tych 4 lat
110 + 109 + 102 + 106 = 427 tyle osób zdało
procent osób jaki nie zdało matury:
26 26
� 100% = � 100% = 0, 0574 = 5, 74%
26 + 427 453
Odp. W ciągu cały 4 lat 5,74% osób nie zdało matury.
matma235@o2.pl
 Zadanie 7 (3 pkt)
Pewna firma specjalizująca się w kopaniu studni, oferuje klientom następujący sposób obli-
czenia kosztu robót ziemnych:
wykopanie pierwszego metra głębokości studni kosztuje 300 złotych, zaś wykopanie każdego
następnego metra głębokości kosztuje o 30 złotych więcej niż poprzedniego metra. Sprawdz
,
czy 7500 złotych wystarczy, aby zapłacić tej firmie za wydrążenie studni o głębokości 15
spis treści
metrów.
symbole
Rozwiązanie:
zgłoś błąd
tyle kosztuje wykopanie kolejnych metrów:
25 maj
300, 330, 360, . . .
jak widać ceny tworzą ciąg arytmetyczny o którym
a1 = 300  pierwszy wyraz
r = 30  różnica ciągu
wyraz ogólny:
an = a1 + (n - 1)r
an = 300 + (n - 1) � 30
koszt wydrążenia 15 metrowej studni to suma 15 początkowych wyrazów tego ciągu
a1 + a15
S15 = � 15
2
a15 = 300 + (15 - 1) � 30 = 300 + 420 = 720
300 + 720
S15 = � 15 = 510 � 15 = 7650
2
matma235@o2.pl
Odp. Kwota 7500 zł nie wystarczy na wydrążenie studni.
 Zadanie 8 (4 pkt)
Ciąg liczbowy (an) jest określony wzorem an = n + n2. Wykaż, że jest to ciąg rosnący.
Rozwiązanie:
Ciąg jest rosnący, jeżeli dla każdego n naturalnego
spis treści
an+1 - an > 0
symbole
zgłoś błąd
an = n + n2

25 maj
=
an+1 = n + 1 + (n + 1)2 n + 1 + n2 + 2n + 1 = n2 + 3n + 2
an+1 - an = n2 + 3n + 2 - (n + n2) =
= n2 + 3n + 2 - n - n2 =
= 2n + 2 > 0 dla każdego n naturalnego
Odp. Wykazaliśmy, że an+1 - an > 0 dla każdego n naturalnego, zatem ciąg jest rosnący.
matma235@o2.pl
 Zadanie 9 (3 pkt)
Wierzchołkami trójkąta ABC są punkty A(-3, -4), B(-2, 1), C(3, 0).
a) Sprawdz
, że |AB| = |BC|.
b) Uzasadnij, że kąt ABC jest kątem prostym.
Rozwiązanie:
spis treści
a) Sprawdz
, że |AB| = |BC|.
symbole
zgłoś błąd Obliczamy odległości między punktami A = (-3, -4) i B = (-2, 1)

"
"
25 maj
|AB| = (-2 - (-3))2 + (1 - (-4))2 = 12 + 52 = 1 + 25 = 26
Obliczamy odległości między punktami B = (-2, 1) i C = (3, 0)
"
"
|BC| = (3 - (-2))2 + (0 - 1)2 = 52 + (-1)2 = 25 + 1 = 26
|AB| = |BC|
dalej
matma235@o2.pl
b) Uzasadnij, że kąt ABC jest kątem prostym.
Trójkąt ABC jest prostokąty, jeżeli boki spełniają twierdzenie Pitagorasa:
|AB|2 + |BC|2 = |AC|2
spis treści
Obliczamy odległości między punktami A = (-3, -4) i C = (3, 0)
symbole
" " "
zgłoś błąd
|AC| = (3 - (-3))2 + (0 - (-4))2 = 62 + 42 = 36 + 16 = 52
25 maj
" 2 " 2 " 2
26 + 26 = 52
26 + 26 = 52
52 = 52
Odp. Boki trójkąta spełniają twierdzenie Pitagorasa, zatem kąt ABC jest kątem prostym.
matma235@o2.pl
 Zadanie 10 (3 pkt)
Na okręgu dany jest zbiór 5 różnych punktów. Ile jest różnych wielokątów, których wierz-
chołki należą do danego zbioru? (Wielokąty są różne, jeżeli różnią się przynajmniej jednym
wierzchołkiem.)
Rozwiązanie:
spis treści
tyle trójkątów możemy wybrać z 5 punktów:
symbole

zgłoś błąd
5 5! 3! � 4 � 5 20
N1 = = = = = 10
3 (5 - 3)! � 3! 2! � 3! 2
25 maj
tyle czworokątów możemy wybrać z 5 punktów:

5 5! 4! � 5 5
N2 = = = = = 5
4 (5 - 4)! � 4! 1! � 4! 1
z 5 punktów możemy wybrać 1 pięciokąt.
10 + 5 + 1 = 16
Odp. Z 5 punktów możemy ułożyć 16 różnych wielokątów.
matma235@o2.pl
 Zadanie 11 (3 pkt)
Na rysunku powyżej, prosta k przechodzi przez punkt A(12, -3). Wiedząc, że stosunek pól
obu zakreskowanych trójkątów jest równy 4: y
a) oblicz sumę pól tych trójkątów,
k
b) wyznacz równanie prostej k.
spis treści
h
Rozwiązanie:
symbole
a
a) oblicz sumę pól tych trójkątów
zgłoś błąd
O a h x
A(12, -3)
25 maj
Trójkąty są podobne, ponieważ mają takie same kąty. Stosunek pól trójkątów podobnych jest
równy kwadratowi skali podobieństwa.
p2 = 4
p = 2
h = 3 h = 2 � h a = 2 � a a + a = 12
h = 6 a + 2a = 12
3a = 12 / : 3
a = 2 � 4 = 8 a = 4
1 1
pola trójkątów: P1 = � a � h P2 = � a � h
2 2
1 1
P1 = � 4 � 3 = 6 P2 = � 8 � 6 = 24
2 2
suma pól trójkątów: P = P1 + P2 = 6 + 24 = 30 dalej
matma235@o2.pl
b) wyznacz równanie prostej k.
y = ax + b
a = 8 zatem funkcja ma miejsce zerowe x0 = 8.
spis treści
0 = a � 8 + b
symbole
zgłoś błąd
Prosta zawiera punkt A = (12, -3)
25 maj
-3 = a � 12 + b

0 = a � 8 + b
- 3 = a � 12 + b

b = -8a
- 3 = 12a - 8a

b = -8a
4a = -3 / : 4

3
b = -8 � - = 6
4
3
a = -
4
Odp. Prosta ma równanie y = -3 x + 6.
4
matma235@o2.pl
Matura z matematyki  maj 2003
" " " "
Zadanie 12 (5 pkt)
Sprawdz
, czy funkcja f określona wzorem
spis treści
ńł
x(x-1)(x-2)
�ł
symbole
�ł dla x = 1 i x = 2

x2-3x+2
zgłoś błąd f(x) =
�ł 1 dla x = 1
ół
3 dla x = 2
25 maj
jest ciągła w punktach x = 1 i x = 2. Sformułuj odpowiedz
.
Zadanie 13 (3 pkt)
Niech &! będzie zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych i A �" &!, B �" &!. Oblicz
5 1 3
P (A )" B) wiedząc, że P (A *" B) = , P (A) = , P (B ) = . Sprawdz
, czy zdarzenia
8 2 4
A i B są zdarzeniami niezależnymi?
Zadanie 14 (4 pkt)
Odcinek CD jest obrazem odcinka AB w jednokładności o skali k < 0. Wiedząc, że
A(-2, 0), B(0, -2), C(3, 4), D(7, 0) wyznacz:
a) równanie prostej przechodzącej przez punkt A i jego obraz w tej jednokładności,
b) równanie prostej przechodzącej przez punkt B i jego obraz w tej jednokładności,
c) współrzędne środka tej jednokładności.
matma235@o2.pl
Matura z matematyki  maj 2003
" " " "
Zadanie 15 (5 pkt)
Dane są funkcje f, g i h określone wzorami: f(x) = 2x, g(x) = -x, h(x) = x - 2,
x " R.
spis treści
a) Naszkicuj wykres funkcji f.
symbole
b) Wyznacz wzór i naszkicuj wykres funkcji f ć% g.
zgłoś błąd
c) Wyznacz wzór i naszkicuj wykres funkcji h ć% f ć% g.
25 maj
Zadanie 16 (5 pkt)
Zawierając w kolekturze Toto-Lotka jeden zakład w grze  Expres-Lotek zakreślamy 5 spo-
śród 42 liczb. Oblicz prawdopodobieństwo trafienia co najmniej 4 spośród 5 wylosowanych
liczb. Wynik podaj w zaokrągleniu do 0,00001.
Zadanie 17 (5 pkt)
Rozwiąż równanie 2 cos2 x + 5 sin x - 4 = 0.
matma235@o2.pl
Matura z matematyki  maj 2003
" " " "
Zadanie 18 (5 pkt)
W tabeli podane są wartości funkcji f : (-3, 4) R dla trzech argumentów.
spis treści
x -2 0 3
symbole
f(x) 35 5 -1
zgłoś błąd
8 8
25 maj
y
Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f.
5
a) Wyznacz równanie stycznej do wykresu
4
funkcji f w punkcie o odciętej x = 0.
3
2
b) Wyznacz ekstremum funkcji f. Podaj
1
argument, dla którego funkcja f osiąga
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
ekstremum. x
-1
c) Podaj najmniejszą wartość funkcji f.
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
-11
-12
-13
-14
matma235@o2.pl
Matura z matematyki  maj 2003
" " " "
Zadanie 19 (4 pkt)
Funkcja f jest funkcją wykładniczą. Określ liczbę rozwiązań rówania f(x - 1) = m w
zależności od wartości parametru m. Odpowiedz
uzasadnij.
spis treści
symbole
Zadanie 20 (6 pkt)
zgłoś błąd
Udowodnij stosując zasadę indukcji matematycznej, że dla każdego całkowitego, dodatniego
n zachodzi równość:
25 maj
3 1
2 + 5 + 8 + . . . + (3n - 1) = n2 + n
2 2
Zadanie 21 (8 pkt)
W trójkącie ABC dane są: |AC| = 8, |BC| = 3, | ACB| = 60ć%. Oblicz objętość i pole
powierzchni całkowitej bryły powstałej po obrocie trójkąta ABC dookoła boku BC.
Zadanie 22 (10 pkt)
Rozwiąż równanie log3(log9 x) = log9(log3 x).
matma235@o2.pl
Zadanie 12 (5 pkt)
Sprawdz
, czy funkcja f określona wzorem
ńł
x(x-1)(x-2)
�ł
�ł dla x = 1 i x = 2

x2-3x+2
f(x) =
�ł 1 dla x = 1
ół
spis treści
3 dla x = 2
symbole
zgłoś błąd jest ciągła w punktach x = 1 i x = 2. Sformułuj odpowiedz
.
Rozwiązanie:
25 maj
Funkcja jest ciągła w x0 jeżeli ma skończoną granicę w x0 oraz
lim f(x) = f(x0)
xx0
x2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)
Dla x = 1 i x = 2:

x(x-1)(x-2)
x(x-1)(x-2)
= = x
(x-1)(x-2)
x2-3x+2
lim f(x) = lim x = 1 = f(1)
x1 x1
lim f(x) = lim x = 2 = f(2) = 3

x2 x2
Odp. Dla x = 1 funkcja jest ciągła, a dla x = 2 nie jest ciągła.
matma235@o2.pl
x2 - 3x + 2
postać ilocznowa
" "
" = (-3)2 - 4 � 1 � 2 = 9 - 8 = 1 " = 1 = 1
spis treści
-(-3) - 1 3 - 1 -(-3) + 1 3 + 1
symbole
x1 = = = 1 x2 = = = 2
2 � 1 2 2 � 1 2
zgłoś błąd
25 maj
x2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)
matma235@o2.pl
Zadanie 13 (3 pkt)
Niech &! będzie zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych i A �" &!, B �" &!. Oblicz
5 1 3
P (A )" B) wiedząc, że P (A *" B) = , P (A) = , P (B ) = . Sprawdz
, czy zdarzenia
8 2 4
A i B są zdarzeniami niezależnymi?
Rozwiązanie:
spis treści
Korzystamy z następujących własności prawdopodobieństwa:
symbole
zgłoś błąd
P (A *" B) = P (A) + P (B) - P (A )" B) P (B ) = 1 - P (B)
25 maj
P (B ) = 1 - P (B)
3
= 1 - P (B)
4
3
P (B) = 1 -
4
1
P (B) =
4
P (A *" B) = P (A) + P (B) - P (A )" B)
5 1 1
= + - P (A )" B)
8 2 4
4 2 5
P (A )" B) = + -
8 8 8
1
P (A )" B) =
8
Zdarzenia A, B �" &! są niezależne jeżeli:
P (A )" B) = P (A) � P (B)
1 1 1
P (A) � P (B) = � = = P (A )" B)
2 4 8
matma235@o2.pl
Odp. Zdarzenia A i B są niezależne.
Zadanie 14 (4 pkt)
Odcinek CD jest obrazem odcinka AB w jednokładności o skali k < 0. Wiedząc, że
A(-2, 0), B(0, -2), C(3, 4), D(7, 0) wyznacz:
a) równanie prostej przechodzącej przez punkt A i jego obraz w tej jednokładności,
b) równanie prostej przechodzącej przez punkt B i jego obraz w tej jednokładności,
c) współrzędne środka tej jednokładności.
spis treści
symbole
Rozwiązanie:
y
zgłoś błąd
a) równanie prostej przechodzącej
C
przez punkt A i jego obraz
25 maj
w tej jednokładności czyli
punkt D D
A
S x
y = 0
B
b) równanie prostej przechodzącej
przez punkt B i jego obraz
w tej jednokładności czyli
punkt C
y = 2x - 2
c) współrzędne środka tej jednokładności.
Środek jednokładności S to punkt przecięcia się prostych y = 0 i y = 2x - 2.

y = 0
y = 2x - 2
matma235@o2.pl dalej
0 = 2x - 2

-2x = -2 : (-2)
x = 1
Odp. Środek jednokładności S ma współrzędne (1, 0).
spis treści
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
równanie prostej przechodzącej przez punkty (x1, y1) i (x2, y2)
(y - y1)(x2 - x1) - (y2 - y1)(x - x1) = 0
Dla punktów B(0, -2) i C(3, 4)
spis treści
(y - (-2)) (3 - 0) - (4 - (-2)) (x - 0) = 0
symbole
(y + 2) � 3 - 6x = 0
zgłoś błąd
3y + 6 - 6x = 0

25 maj
3y = 6x - 6 : 3
y = 2x - 2
matma235@o2.pl
 Zadanie 15 (5 pkt)
Dane są funkcje f, g i h określone wzorami: f(x) = 2x, g(x) = -x, h(x) = x - 2,
x " R.
a) Naszkicuj wykres funkcji f.
b) Wyznacz wzór i naszkicuj wykres funkcji f ć% g.
c) Wyznacz wzór i naszkicuj wykres funkcji h ć% f ć% g.
spis treści
symbole
Rozwiązanie:
zgłoś błąd
a) Naszkicuj wykres funkcji f.
f(x) = 2x
25 maj
wykres
b) Wyznacz wzór i naszkicuj wykres funkcji f ć% g.
f ć% g = f(g(x)) = f(-x) = 2-x
wykres
c) Wyznacz wzór i naszkicuj wykres funkcji h ć% f ć% g.
h ć% f ć% g = h(f(g(x))) = h(f(-x)) = h(2-x) = 2-x - 2
wykres
matma235@o2.pl
x -2 -1 0 1 2
y = 2x 1 1
1 2 4
4 2
spis treści
y
symbole
zgłoś błąd
25 maj
x
matma235@o2.pl
 Zadanie 16 (5 pkt)
Zawierając w kolekturze Toto-Lotka jeden zakład w grze  Expres-Lotek zakreślamy 5 spo-
śród 42 liczb. Oblicz prawdopodobieństwo trafienia co najmniej 4 spośród 5 wylosowanych
liczb. Wynik podaj w zaokrągleniu do 0,00001.
Rozwiązanie:
spis treści
na tyle sposobów możemy wylosować 5 liczb z 42:
symbole

42 42! 37! � 38 � 39 � 40 � 41 � 42 102080160
zgłoś błąd
&! = = = = = 850668
5 (42 - 5)! � 5! 37! � 1 � 2 � 3 � 4 � 5 120
25 maj
na tyle sposobów możemy wybrać 5 liczb, tak aby 4 pochodziły z 5 wygrywających liczb, a
jedna pochodziła z tych 42-5=37 liczb, które nie trafiły do zestawy 5 liczb wygrywających:

5 37 5! 37! 4! � 5 36! � 37
A = = � = � = 5 � 37 = 185
4 1 (5 - 4)! � 4! (37 - 1)! � 1! 1 � 4! 36! � 1
jeżeli liczymy prawdobodobieństwo trafienia co najmniej 4 spośród 5 wylosowanych liczb,
to musimy wziąść pod uwagę zderzenie trafienia 5 spośród 5 wylosowanych liczb, a takie
zdarzenie może zajść tylko na 1 sposób:
B = 1
szukane prawdopodobieństwo:
A + B 185 + 1
P (A) = = H" 0, 00022
850668
&!
matma235@o2.pl
Odp. Prawdopodobieństwo trafienia 4 liczb w grze  Expres-Lotek wynosi P (A) H" 0, 00022
Zadanie 17 (5 pkt)
Rozwiąż równanie 2 cos2 x + 5 sin x - 4 = 0.
Rozwiązanie:
spis treści
2 cos2 x + 5 sin x - 4 = 0
symbole
2(1 - sin2 x) + 5 sin x - 4 = 0
zgłoś błąd
2 - 2 sin2 x + 5 sin x - 4 = 0
-2 sin2 x + 5 sin x - 2 = 0
25 maj
niech t = sin x
-2t2 + 5t - 2 = 0
równanie kwadratowe
" = 52 - 4 � (-2) � (-2) = 25 - 16 = 9
" "
" = 9 = 3
-5 - 3 -8 -5 + 3 -2 1
t1 = = = 2 t1 = = =
2 � (-2) -4 2 � (-2) -4 2
1
sin x = 2 sin x =
2
Ą Ą
nie ma rozwiązania x1 = + 2kĄ x2 = Ą - + 2kĄ
6 6
5
x2 = Ą + 2kĄ
6
Ą Ą
Odp. x1 = + 2kĄ x2 = + 2kĄ dla k " C
6 6
matma235@o2.pl
Zadanie 18 (5 pkt)
W tabeli podane są wartości funkcji f : (-3, 4) R dla trzech argumentów.
x -2 0 3
f(x) 35 5 -1
8 8
spis treści
Rozwiązanie:
symbole
zgłoś błąd
Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f.
y
5
a) Wyznacz równanie stycznej do wykresu
4
25 maj
funkcji f w punkcie o odciętej x = 0.
3
2
5
y =
1
8
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
x
-1
b) Wyznacz ekstremum funkcji f. Podaj
-2
argument, dla którego funkcja f osiąga
-3
ekstremum.
-4
-5
Funkcja dla x = 3 ma minimum f(3) = -1
-6
-7
-8
c) Podaj najmniejszą wartość funkcji f.
-9
-10
Najmniejsza wartość funkcji ymin = -1
-11
-12
-13
-14
matma235@o2.pl
a) Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie o odciętej x = 0.
x -2 0 3
f(x) 35 5 -1
8 8
spis treści
y
styczna do wykresu
5
symbole
4
y - f(x0) = f (x0)(x - x0)
zgłoś błąd
3
2
Z wykresu pochodnej odczytujemy, że
25 maj 1
dla x0 = 0 pochodna f (0) = 0, a z
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
x
5
-1
tabelki f(0) = .
8
-2
-3
5
-4
y - = 0 � (x - 0)
8
-5
5
-6
y =
-7
8
-8
-9
-10
-11
-12
-13
-14
matma235@o2.pl
b) Wyznacz ekstremum funkcji f. Podaj argument, dla którego funkcja f osiąga ekstremum.
y
5
x -2 0 3
4
3
f(x) 35 5 -1
8 8
2
1
spis treści
-5 -4 -3 -2 -1
symbole 1 2 3 4 5
x
-1
zgłoś błąd
-2
-3
-4
25 maj
-5
-6
-7
-8
-9
-10
-11
-12
-13
-14
x (-3, 0) (0, 3) (3, 4)
0 3
f (x) - +
0 -
0
5
f(x) -1
8
Z tabelki wynika, że funkcja ma dla x = 3 minimum równe f(3) = -1.
matma235@o2.pl
c) Podaj najmniejszą wartość funkcji f.
x (-3, 0) (0, 3) (3, 4)
0 3
f (x) - +
0 -
0
5
f(x) -1
8
spis treści
symbole
Z tabelki wynika, że w przedziale (-3, 3) funkcja maleje, a w (3, 4) rośnie. Zatem minimalną
zgłoś błąd
wartość funkcja ma dla x = 3 i wynosi ona ymin = -1.
25 maj
matma235@o2.pl
 Zadanie 19 (4 pkt)
Funkcja f jest funkcją wykładniczą. Określ liczbę rozwiązań rówania f(x - 1) = m w
zależności od wartości parametru m. Odpowiedz
uzasadnij.
Rozwiązanie:
funkcja wykładnicza
spis treści
symbole
f(x - 1) = m
zgłoś błąd
ax-1 = m a > 0 a = 1

25 maj
ax � a-1 = m

1
ax � = m � a
a
ax = m � a
Funkcja wykładnicza y = ax jest różnowartościowa i przyjmuje wartości w przedziale (0, "),
dlatego dla a > 0 i m " (0, ") równanie ma jedno rozwiązanie, a dla m " (-", 0
równanie nie ma rozwiązań.
matma235@o2.pl
Zadanie 20 (6 pkt)
Udowodnij stosując zasadę indukcji matematycznej, że dla każdego całkowitego, dodatniego
n zachodzi równość:
3 1
2 + 5 + 8 + . . . + (3n - 1) = n2 + n
2 2
spis treści
Rozwiązanie:
symbole
1. Dla n = 1
3 1
zgłoś błąd
2 + 5 + 8 + . . . + (3 � 1 - 1) = � 12 + � 1
2 2
3 1
2 = +
2 2
25 maj
2 = 2
równanie jest prawdziwe.
2. Załóżmy, że równanie jest prawdziwe dla liczby k
3 1
2 + 5 + 8 + . . . + (3k - 1) = k2 + k
2 2
3. Korzystając z założenia udowodnimy, że jest ono prawdziwe dla k + 1
3 1
2 + 5 + 8 + . . . + (3k - 1) + (3(k + 1) - 1) = (k + 1)2 + (k + 1)
2 2
2 + 5 + 8 + . . . + (3k - 1) + (3(k + 1) - 1) =
korzystamy z założenia
3 1
= k2 + k + (3(k + 1) - 1) =
2 2
3 1
= k2 + k + 3k + 2 =
2 2
3 3 1 1
= k2 + 3k + + k + =
2 2 2 2
matma235@o2.pl
dalej
3 3 1 1
= k2 + 3k + + k + =
2 2 2 2
3 1
= (k2 + 2k + 1) + (k + 1) =
2 2
3 1
= (k + 1)2 + (k + 1)
2 2
Ostatecznie otrzymujemy:
spis treści
3 1
2 + 5 + 8 + . . . + (3k - 1) + (3(k + 1) - 1) = (k + 1)2 + (k + 1)
2 2
symbole
zgłoś błąd
Udowodniliśmy, że jeżeli równanie
25 maj
3 1
2 + 5 + 8 + . . . + (3n - 1) = n2 + n
2 2
jest prawdziwe dla liczby k, to jest ono prawdziwe dla k + 1. Oznacza to, że jeżeli jest
prawdziwe dla 2, to jest ono prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych.
matma235@o2.pl
Zadanie 21 (8 pkt)
W trójkącie ABC dane są: |AC| = 8, |BC| = 3, | ACB| = 60ć%. Oblicz objętość i pole
powierzchni całkowitej bryły powstałej po obrocie trójkąta ABC dookoła boku BC.
Rozwiązanie:
C po obrocie
spis treści
60ć% 60ć%
symbole 3
8 l1 = 8
h2 = 3
zgłoś błąd l2
B
h1
l2
r
A
25 maj
Po obrocie trójkąta powstał duży stożek (promień  r, wysokość  h1 + h2), z którego
wycięto mniejszy stożek (promień  r, wysokość  h1).
wysokość: h1 = 1
"
promień: r = 4 3
bok AB: l2 = 7
Objętość całej bryły tu różnica objętości dwóch stożków
V = V1 - V2
1 1
V = � Ąr2 � (h1 + h2) - � Ąr2 � h1
3 3
1
V = � Ąr2 � (h1 + h2 - h1)
3
1
V = � Ąr2 � h2
3
"
1
V = � Ą(4 3)2 � 3
3
V = Ą � 16 � 3 = 48Ą
matma235@o2.pl
dalej
Pole całej bryły to suma pól bocznych dwóch stożków
Pb = Pb1 + Pb2
Pb = Ąrl1 + Ąrl2
" "
Pb = Ą � 4 3 � 8 + Ą � 4 3 � 7
" "
spis treści
Pb = 32 3Ą + 28 3Ą
symbole "
Pb = 60 3Ą
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
60ć%
l1 = 8
3
l2
h1
r
spis treści
symbole
r h1 + 3
zgłoś błąd
sin 60ć% = cos 60ć% =
8 8
"

25 maj
3 r 1 h1 + 3
= � 8 = � 8
2 8 2 8
"
8 3
= r 4 = h1 + 3
2
"
r = 4 3 h1 = 1
twierdzenie Pitagorasa
2
r2 + h2 = l2
1
"
2
(4 3)2 + 12 = l2
2
48 + 1 = l2
"
l2 = 49 = 7
l2 = 7
matma235@o2.pl
Zadanie 22 (10 pkt)
Rozwiąż równanie log3(log9 x) = log9(log3 x).
Rozwiązanie:
logarytm
logarytmować możemy tylko liczby dodatnie
spis treści
symbole
x > 0 log9 x > 0 log3 x > 0
zgłoś błąd
D = (1, ")
25 maj
sprowadzamy logarytmy do jednakowej podsawy, a następnie korzystając z
różnowartościowości funkcji logarytmicznej, opuszczamy je.
log3(log9 x) = log9(log3 x)
log3(log3 x)
log3(log9 x) =
log3 9

log3(log3 x)
log3(log9 x) = � 2
2
2 log3(log9 x) = log3(log3 x)
log3(log9 x)2 = log3(log3 x)
log2 x = log3 x
9
2
log3 x
= log3 x
log3 9
matma235@o2.pl
dalej
 2
log3 x
= log3 x
log3 9
2
log3 x
= log3 x
2
spis treści

log2 x
3
symbole
= log3 x � 4
4
zgłoś błąd
log2 x = 4 log3 x
3
25 maj
log2 x - 4 log3 x = 0
3
log3 x � (log3 x - 4) = 0
log3 x = 0 log3 x - 4 = 0
x = 1 log3 x = 4
log3 x = log3 34
x = 81
Odp. Jedynym rozwiązaniem należącym do dziedziny rozwiązania D = (1, ") jest x = 81.
matma235@o2.pl
x > 0 log9 x > 0 log3 x > 0
log9 x > log9 1 log3 x > log3 1
x > 1 x > 1
Dziedziną równania jest część wspólna rozwiązań nierówności
D = (1, ")
spis treści
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
Matura z matematyki  styczeń 2003
" "
Zadanie 11 (4 pkt)
Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f : R R, określonej wzorem
f(x) = (x - 1) � (5 - x), w przedziale 0, 7 .
spis treści
symbole
Zadanie 12 (4 pkt)
zgłoś błąd
Dane jest równanie postaci a2 � x - 1 = x + a, w którym niewiadomą jest x. Zbadaj liczbę
rozwiązań tego równania, w zależności od parametru a.
25 maj
Zadanie 13 (4 pkt)
Wyznacz te wartości parametru a oraz b, przy których funkcja g : R R, określona
wzorem
ńł
x2 + a
�ł
�ł
dla x = 2

x - 2
g(x) =
�ł
ół
b dla x = 2
jest ciągła w punkcie x = 2.
Zadanie 14 (5 pkt)
Suma n początkowych, kolejnych wyrazów ciągu (an), jest obliczana według wzoru
Sn = n2 + 3n, (n " N+). Wyznacz an. Wykaż, że ciąg (an) jest ciągiem arytmetycz-
nym.
matma235@o2.pl
Matura z matematyki  styczeń 2003
" "
Zadanie 15 (5 pkt)
Dziesiąty wyraz pewnego ciągu geometrycznego równa się 10. Oblicz iloczyn dziewiętnastu
początkowych, kolejnych wyrazów tego ciągu.
spis treści
symbole
Zadanie 16 (4 pkt)
zgłoś błąd
Rzucamy pięć razy symetryczną kostką sześcienną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia,
polegającego na tym, że  jedynka wypadnie co najmniej cztery razy.
25 maj
Zadanie 17 (5 pkt)
W układzie współrzędnych są dane punkty: A(-9, -2) oraz B(4, 2). Wyznacz współrzędne
punktu C, leżącego na osi OY , tak że kąt ACB jest kątem prostym.
Zadanie 18 (4 pkt)
Wybierz dwie dowolne przekątne sześcianu i oblicz cosinus kąta między nimi. Sporządz
od-
powiedni rysunek i zaznacz na nim kąt, którego cosinus obliczasz.
Zadanie 19 (5 pkt)
Trapez równoramienny, o obwodzie równym 20 cm, jest opisany na okręgu. Wiedząc, że
"
przekątna trapezu ma długość 41 cm, oblicz pole tego trapezu.
Zadanie 20 (10 pkt)
Funkcja h jest określona wzorem h(x) = log2(x2 - 4) - log2(x - 5). Wyznacz wszystkie
wartości parametru k, dla których równanie h(x) - log2 k = 0 ma dwa różne pierwiastki.
Zadanie 21 (10 pkt)
Na kuli o promieniu R = 4 cm opisujemy stożki o promieniu r i wysokości H. Spośród
matma235@o2.pl
wszystkich takich stożków wyznacz ten, który ma najmniejszą objętość. Oblicz tę objętość.
Oblicz promień i wysokość znalezionego stożka.
Zadanie 11 (4 pkt)
Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f : R R, określonej wzorem
f(x) = (x - 1) � (5 - x), w przedziale 0, 7 .
Rozwiązanie:
spis treści f(x) = (x - 1) � (5 - x)
symbole
f(x) = 5x - x2 - 5 + x
zgłoś błąd
f(x) = -x2 + 6x - 5
25 maj
Znajdujemy wartości funkcji na krańcach przedziału 0, 7 :
x = 0 y = -02 + 6 � 0 - 5 = -5 A(0, -5)
x = 7 y = -72 + 6 � 7 + 2 = -49 + 42 - 5 = -12 B(7, -12)
Znajdujemy współrzędne wierzchołka: W (3, 4). Zawiera się on w przedziale 0, 7 .
Na podstawie punktów A(0, -5), W (3, 4), B(7, -12) wybieramy wartość najmniejszą i
największą w przedziale 0, 7 .
- najmniejsza wartość ymin = -12 dla x = 7
- największa wartość ymax = 4 dla x = 3
matma235@o2.pl
f(x) = -x2 + 6x - 5
" = 62 - 4 � (-1) � (-5) = 36 - 20 = 16
współrzędne wierzchołka:
spis treści
-6 -6 -16 -16
symbole
p = = = 3 q = = = 4
2 � (-1) -2 4 � (-1) -4
zgłoś błąd
W (3, 4)
25 maj
matma235@o2.pl
Zadanie 12 (4 pkt)
Dane jest równanie postaci a2 � x - 1 = x + a, w którym niewiadomą jest x. Zbadaj liczbę
rozwiązań tego równania, w zależności od parametru a.
Rozwiązanie:
spis treści a2 � x - 1 = x + a
symbole
a2 � x - x = a + 1
zgłoś błąd
x � (a2 - 1) = a + 1
x � (a - 1) � (a + 1) = a + 1
25 maj
1. dla a = 1
x � (1 - 1) � (1 + 1) = 1 + 1
x � 0 = 2
nie ma rozwiązania.
2. dla a = -1
x � (-1 - 1) � (-1 + 1) = -1 + 1
x � (-2) � 0 = 0
x może być dowolną liczbą, czyli równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań.
dalej
matma235@o2.pl
3. dla a = -1 i a = 1


x � (a - 1) � (a + 1) = a + 1 : (a - 1)(a + 1)
a + 1
x =
(a - 1)(a + 1)
spis treści
symbole 1
x =
zgłoś błąd (a + 1)
równanie ma jedno rozwiązanie.
25 maj
Odp. Dla a = 1 równanie nie ma rozwiązania, dla a = -1 równanie ma nieskończenie wiele
rozwiązań, dla pozostałych a równanie ma jedno rozwiązanie.
matma235@o2.pl
Zadanie 13 (4 pkt)
Wyznacz te wartości parametru a oraz b, przy których funkcja g : R R, określona
wzorem
ńł
x2 + a
�ł
�ł
dla x = 2

x - 2
g(x) =
�ł
ół
spis treści
b dla x = 2
symbole
jest ciągła w punkcie x = 2.
zgłoś błąd
Rozwiązanie:
25 maj Funkcja jest ciągła w punkcie x = 2, jeżeli istnieje skończona granica w tym punkcie
22 + a = 4 + a
x2 + a
lim
x2 - 2
x
0
Dla a = -4 powyższa granica jest równa ą", a więc funkcja nie może być ciągła w x = 2.

Dla a = -4 mamy
x2 - 4 (x - 2)(x + 2)
lim = lim = lim (x + 2) = 2 + 2 = 4
x2 - 2 x
x2 - 2
x2
x
Funkcja jest ciągła w x = 2, jeżeli istnieje skończona granica w tym punkcie (a istnieje dla
a = -4) i granica ta jest równa wartości w tym punkcie. Z tego powodu b = 4.
Odp. Funkcja g jest ciągła w x = 2, jeżeli a = -4 i b = 4.
matma235@o2.pl
Zadanie 14 (5 pkt)
Suma n początkowych, kolejnych wyrazów ciągu (an), jest obliczana według wzoru
Sn = n2 + 3n, (n " N+). Wyznacz an. Wykaż, że ciąg (an) jest ciągiem arytmetycz-
nym.
Rozwiązanie:
spis treści
Suma n początkowych, kolejnych wyrazów ciągu (an)
symbole
zgłoś błąd Sn = a1 + a2 + . . . + an-1 + an = n2 + 3n
Suma n - 1 początkowych, kolejnych wyrazów ciągu (an)
25 maj
Sn-1 = a1 + a2 + . . . + an-1 = (n - 1)2 + 3(n - 1)
Wyznaczamy an
an = Sn - Sn-1

an = n2 + 3n - (n - 1)2 + 3(n - 1)
an = n2 + 3n - (n2 - 2n + 1 + 3n - 3)
an = n2 + 3n - n2 + 2n - 1 - 3n + 3
an = 2n + 2
Ciąg jest ciągiem arytmetycznym, jeżeli an+1 - an jest stałe (niezależne od n).
an+1 = 2(n + 1) + 2 = 2n + 2 + 2 = 2n + 4
an+1 - an = 2n + 4 - (2n + 2) = 2n + 4 - 2n - 2 = 2
matma235@o2.pl
Odp. Szukanym ciągiem jest an = 2n + 2, który jest ciągiem arytmetycznym.
 Zadanie 15 (5 pkt)
Dziesiąty wyraz pewnego ciągu geometrycznego równa się 10. Oblicz iloczyn dziewiętnastu
początkowych, kolejnych wyrazów tego ciągu.
Rozwiązanie:
Dziesiąty wyraz ciągu geometrycznego:
spis treści
symbole
a10 = a1 � q10-1
zgłoś błąd
a10 = a1 � q9
10 = a1 � q9
25 maj
iloczyn dziewiętnastu początkowych, kolejnych wyrazów tego ciągu
a1 � a1q � a1q2 � q1q3 � . . . � a1q18 = a19 � q1+2+3+...+18
1
1 + 2 + 3 + . . . + 18 jest to suma ciągu arytmetycznego
1 + 18
S = � 18 = 19 � 9
2
a19 � q1+2+3+...+18 = a19 � q19�9 = (a1 � q9)19 = 1019
1 1
Odp. Iloczyn dziewiętnastu początkowych, kolejnych wyrazów tego ciągu jest równy 1019.
matma235@o2.pl
 Zadanie 16 (4 pkt)
Rzucamy pięć razy symetryczną kostką sześcienną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia,
polegającego na tym, że  jedynka wypadnie co najmniej cztery razy.
Rozwiązanie:
Tyle otrzymamy wyników rzucając 5 razy symetryczną kostką o 6 ściankach:
spis treści
symbole
&! = 65
zgłoś błąd
Jeżeli  jedynka ma wypaść cztery razy, to przy pięciu rzutach musi wypaść jeszcze jedna inna
25 maj
niż  jedynka liczba. Może ona paść na 5 sposobów (2,3,4,5,6) i znalez
ć się na 5 sposobów
w wyniku (na pierwszym miejscu, na drugim,. . . ). Tyle otrzymamy wyników zawierających
cztery  jedynki :
A = 5 � 5 = 25
Jeżeli liczymy prawdopodobieństwo polegające na tym, że  jedynka wypadnie co najmniej
cztery razy, to musimy wziąść pod uwagę zdarzenie wylosowania  jedynki we wszystkich
pięciu rzutach, a takie zdarzenie może zajść tylko na 1 sposób:
B = 1
szukane prawdopodobieństwo:
A + B 25 + 1 26
P (A) = = = H" 0, 00334
65 7776
&!
Odp. Prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi 0, 00334.
matma235@o2.pl
Zadanie 17 (5 pkt)
W układzie współrzędnych są dane punkty: A(-9, -2) oraz B(4, 2). Wyznacz współrzędne
punktu C, leżącego na osi OY , tak że kąt ACB jest kątem prostym.
y
Rozwiązanie:
C1 = (0, yC)
spis treści
B = (4, 2)
symbole
zgłoś błąd
x
25 maj
C2 = (0, yC)
Jak widać na rysunku istnieją dwa punkty C1 i C2, dla których kąt ACB jest prosty.
Równanie prostej przechodzącej przez punkty (x1, y1) i (x2, y2)
(y - y1)(x2 - x1) - (y2 - y1)(x - x1) = 0
Przekształcamy je do postaci kierunkowej
(y - y1)(x2 - x1) = (y2 - y1)(x - x1)
y2 - y1
y = (x - x1) + y1
x2 - x1
-2 - yC -2 - yC
Współczynnik kierunkowy prostej CA: a1 = =
-9 - 0 -9
2 - yC 2 - yC
Współczynnik kierunkowy prostej CB: a2 = = dalej
matma235@o2.pl
4 - 0 4
A
=
(
-
9
,
-
2
)
Proste prostopadłe mają współczynniki kierunkowe spełniające równanie:
a1 � a2 = -1
-2 - yC 2 - yC
� = -1
-9 4
-(2 + yC) � (2 - yC)
spis treści
= -1
-36
symbole
2

4 - yC
zgłoś błąd = -1 � 36
36
2
4 - yC = -36
25 maj
2
-yC = -36 - 4
2
yC = 40
" " " "
y1 = 40 = 4 � 10 y1 = - 40 = - 4 � 10
" "
y1 = 2 10 y1 = -2 10
" "
Odp. Szukane punkty C są dwa: C1 = (0, 2 10) i C2 = (0, -2 10).
matma235@o2.pl
Zadanie 18 (4 pkt)
Wybierz dwie dowolne przekątne sześcianu i oblicz cosinus kąta między nimi. Sporządz
od-
powiedni rysunek i zaznacz na nim kąt, którego cosinus obliczasz.
Rozwiązanie:
spis treści e e
symbole
a
zgłoś błąd
a
ą
e e
ą
25 maj
a
d
d
przekrój sześcianu
a
"
przekątna podstawy: d = a 2
połowa przekątnej
"
1
przekroju sześcianu: e = a 3
2
Do wyznaczenie cos ą korzystamy z twierdzenia cosinusów
d2 = e2 + e2 - 2 � e � e � cos ą
d2 = 2e2 - 2e2 cos ą
" " "
(a 2)2 = 2(1 a 3)2 - 2(1 a 3)2 cos ą
2 2
1 1
2a2 = 2 � a2 � 3 - 2 � a2 � 3 cos ą
4 4
matma235@o2.pl
3 3
2a2 = a2 - a2 cos ą dalej
2 2
3 3
2a2 = a2 - a2 cos ą
2 2
3 3
a2 cos ą = a2 - 2a2
2 2

3 3
a2 cos ą = -1 a2 : a2
2 2 2
cos ą = -1
3
spis treści
1
symbole
Odp. Cosinus kąta między przekątnymi sześcianu wynosi cos ą = - .
3
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
d
a
spis treści
a
symbole
zgłoś błąd
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa
25 maj
d2 = a2 + a2
d2 = 2a2
"
d = 2a2
"
d = a 2
matma235@o2.pl
e e
a
ą
e e
spis treści
"
d = a 2
symbole
zgłoś błąd
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa
25 maj
(2e)2 = a2 + d2
"
4e2 = a2 + (a 2)2

4e2 = a2 + 2a2 : 4
3
e2 = a2
4

3
e = a2
4
"
1
e = a 3
2
matma235@o2.pl
Zadanie 19 (5 pkt)
Trapez równoramienny, o obwodzie równym 20 cm, jest opisany na okręgu. Wiedząc, że
"
przekątna trapezu ma długość 41 cm, oblicz pole tego trapezu.
Rozwiązanie:
b
"
spis treści
41
c c
symbole
h
zgłoś błąd
b
x x
25 maj

a
a + b = 10 b + x = 5
z twierdzenia Pitagorasa
"
h2 + (b + x)2 = ( 41)2
h2 + 52 = 41
h2 = 41 - 25
"
h = 16 = 4
Pole trapezu
(a + b)
P = � h
2
10
P = � 4 = 5 � 4 = 20 cm2
2
Odp. Trapez ma pole 20 cm2.
matma235@o2.pl
b
"
41
c c
h
b
x x
spis treści

symbole
a
zgłoś błąd
w czworokącie opisanym na okręgu suma boków przeciwległych jest równa
25 maj
a + b = 2c
obwód trapezu
a + b + 2c = 20
2c + 2c = 20

4c = 20 : 4
c = 5
a + b = 2c
a + b = 10
a = 10 - b
b + 2x = a
b + 2x = 10 - b

2b + 2x = 10 : 2
b + x = 5
matma235@o2.pl
 Zadanie 20 (10 pkt)
Funkcja h jest określona wzorem h(x) = log2(x2 - 4) - log2(x - 5). Wyznacz wszystkie
wartości parametru k, dla których równanie h(x) - log2 k = 0 ma dwa różne pierwiastki.
Rozwiązanie:
h(x) - log2 k = 0
spis treści
log2(x2 - 4) - log2(x - 5) - log2 k = 0
symbole
Wyznaczamy dziedzinę: x > 5 i k > 0
zgłoś błąd
25 maj log2(x2 - 4) = log2(x - 5) + log2 k
log2(x2 - 4) = log2(x - 5) � k
x2 - 4 = (x - 5) � k
x2 - 4 = kx - 5k
x2 - kx + 5k - 4 = 0
Szukamy k > 0, dla którego funkcja f(x) = x2 -kx+5k-4 będzie miała dwa pierwiastki
większe od 5 (ponieważ x > 5).
wykres f(x) powinien wykres będzie to tego podobny
być podobny do tego: jeżeli będą spełnione
y następujące warunki:
ńł
�ł " > 0
�ł
xw
xw > 5
5 x
�ł
ół
f(5) > 0
matma235@o2.pl
dalej
f(x) = x2 - kx + 5k - 4
" "
" > 0 dla k " (-", 10 - 2 21) *" (10 + 2 21, ")
xw > 5 dla k > 10
f(5) > 0 dla k " R
spis treści
symbole "
Część wspólna tych warunków to k " (10 + 2 21, "). Liczby z tego przedziały spełniają
zgłoś błąd
ograniczenie dla k > 0, które wyszło nam przy liczeniu dziedziny.
25 maj
"
Odp. Równanie h(x) - log2 k = 0 ma dwa różne pierwiastki dla k " (10 + 2 21, ").
matma235@o2.pl
log2(x2 - 4) - log2(x - 5) - log2 k = 0
Wyznaczamy dziedzinę. Logarytmować możemy tylko liczby dodatnie, dlatego:
x2 - 4 > 0
x2 > 4
spis treści
x " (-", -2) *" (2, ")
symbole
zgłoś błąd
x - 5 > 0
25 maj
x > 5
k > 0
Dziedziną jest część wspólna otrzymanych wyników:
x > 5 k > 0
matma235@o2.pl
f(x) = x2 - kx + 5k - 4
" = (-k)2 - 4 � 1 � (5k - 4) = k2 - 20k + 16
" > 0
spis treści
symbole
k2 - 20k + 16 > 0
zgłoś błąd
rozwiązujemy nierówność kwadratową
25 maj
"k = (-20)2 - 4 � 1 � 16 = 400 - 64 = 336
" " "
"
"k = 336 = 16 � 21 = 4 21
" "
" "
20 - 4 21 20 + 4 21
k1 = = 10 - 2 21 k2 = = 10 + 2 21
2 2
k1 k2 x
" "
" > 0 dla k " (-", 10 - 2 21) *" (10 + 2 21, ")
matma235@o2.pl
f(x) = x2 - kx + 5k - 4
wierzchołek paraboli
xw > 5
spis treści

-(-k)
> 5 � 2
symbole
2 � 1
zgłoś błąd
k > 10
25 maj
matma235@o2.pl
f(x) = x2 - kx + 5k - 4
f(5) > 0
52 - k � 5 + 5k - 4 > 0
spis treści
25 - 5k + 5k - 4 > 0
symbole
21 > 0
zgłoś błąd
Otrzymaliśmy nierówność prawdziwą niezależnie od k, zatem f(5) > 0 dla każdego k " R.
25 maj
matma235@o2.pl
Zadanie 21 (10 pkt)
Na kuli o promieniu R = 4 cm opisujemy stożki o promieniu r i wysokości H. Spośród
wszystkich takich stożków wyznacz ten, który ma najmniejszą objętość. Oblicz tę objętość.
Oblicz promień i wysokość znalezionego stożka.
Rozwiązanie:
spis treści
symbole
H
zgłoś błąd
25 maj
4 4
8r2
wysokość trójkąta: H = dla r > 4
r r
r2 - 16
1 1 8r2 8Ą r4
objętość stożka: V (r) = Ąr2H = Ąr2 =
3 3 r2 - 16 3 r2 - 16
"
objętość przyjmuje największą wartość dla r = 4 2 i H = 16.
Objętość stożka
"
1 1 1 512 2
V = Ąr2H = Ą � (4 2)2 � 16 = Ą � 32 � 16 = Ą = 170 Ą
3 3 3 2 3
"
Odp. Objętość stożka wynosi 1702Ą cm2, promień r = 4 2 cm, a wysokość H = 16 cm.
3
matma235@o2.pl
promień okręgu wpisanego w trójkąt
2P
r =
a + b + c
1
2 � � 2r � H
2
4 =
spis treści
H
2r + b + b
b b
symbole
2rH
4 =
zgłoś błąd
2r + 2b
4 4

rH
4 = � (r + b)
25 maj
r + b
4r + 4b = rH
r r
4b = rH - 4r
z twierdzenia Pitagorasa: b2 = H2 + r2
(4b)2 = (rH - 4r)2
16b2 = r2H2 - 8r2H + 16r2
16(H2 + r2) = r2H2 - 8r2H + 16r2
16H2 + 16r2 = r2H2 - 8r2H + 16r2

16H2 = r2H2 - 8r2H : H
16H = r2H - 8r2
8r2 = r2H - 16H

8r2 = (r2 - 16)H : (r2 - 16)
8r2
matma235@o2.pl H > 0 dla r > 4
H =
r2 - 16
szukamy ekstremum funkcji
8Ą r4
V (r) = dla r > 4
3 r2 - 16
8Ą 2r5 - 64r3

w tym celu najpierw liczymy pochodną, która wynosi V (r) = �
spis treści
3 (r2 - 16)2
symbole
szukamy dla jakiego r pochodna jest równa 0
zgłoś błąd
8Ą 2r5 - 64r3 8Ą 2r3(r2 - 32)

V (r) = � = � =
25 maj
3 (r2 - 16)2 3 (r2 - 16)2
" "
8Ą 2r3(r - 32)(r + 32)
= �
3 (r2 - 16)2
" "
dla r = 0, r = 32 i r = -32 pochodna jest równa zero, ale tylko r = 32 może być
promieniem okręgu wpisanego.
"

Sprawdzamy jaki znak ma pochodna V (x) wokół r = 32
" "

V (x) < 0 dla r < czyli funkcja jest malejąca dla r " 4, 32
"32 "

V (x) > 0 dla r > 32 czyli funkcja jest rosnąca dla r " 32, "
"
Funkcja V (x) dla r = 32 ma minimum i jest to jednocześnie minimalna wartość funkcji
"
dla r > 4, ze względu na monotoniczność funkcji wokół 32.
stożek ma więc najmniejszą objętość dla
"
" " "
8r2 8( 32)2 8 � 32
r = 32 = 16 � 2 = 4 2 H = = " = = 16
matma235@o2.pl
r2 - 16 16
( 32)2 - 16
licząc pochodną korzystamy ze wzorów

8Ą r4 8Ą r4

V (r) = = � =
3 r2 - 16 3 r2 - 16
8Ą (r4) � (r2 - 16) - r4 � (r2 - 16)
spis treści = � =
3 (r2 - 16)2
symbole
zgłoś błąd
8Ą 4r3 � (r2 - 16) - r4 � 2r
= � =
3 (r2 - 16)2
25 maj
8Ą 4r5 - 64r3 - 2r5 8Ą 2r5 - 64r3
= � = �
3 (r2 - 16)2 3 (r2 - 16)2
matma235@o2.pl
Matura z matematyki  maj 2002
" "
Zadanie 11 (4 pkt)
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie
spis treści
mx2 - 3(m + 1)x + m = 0
symbole
zgłoś błąd
nie ma rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.
25 maj
Zadanie 12 (4 pkt)
A i B są zdarzeniami losowymi i P (B) > 0. Wykaż, że
1 - P (A )
P (A/B)
P (B)
Zadanie 13 (4 pkt)
Sprawdz
, że przekształcenie P płaszczyzny dane wzorem P ((x, y)) = (x + 1, -y) jest
izometrią. Wyznacz równanie obrazu okręgu o równaniu x2 +y2 -2x = 0 w przekształceniu
P .
Zadanie 14 (4 pkt)
Zaznacz na płaszczyz
nie zbiór

F = (x, y) : x " R '" y " R '" log 1 (|x| - 1) -2 '" |y| > 0
2
matma235@o2.pl
Napisz równanie osi symetrii figury F .
Matura z matematyki  maj 2002
" "
Zadanie 15 (6 pkt)
Objętość walca jest równa 250Ą cm3. Przedstaw pole powierzchni całkowitej tego walca jako
funkcję długości promienia jego podstawy i określ dziedzinę tej funkcji. Wyznacz długość
spis treści
promienia takiego walca, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze.
symbole
zgłoś błąd
Zadanie 16 (7 pkt)
Naszkicuj w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji f(x) = 2x+1 oraz
25 maj

x+1
.
g(x) = Na podstawie wykonanego rysunku określ liczbę ujemnych rozwiązań rów-
x
nania f(x) = g(x).
Zadanie 17 (8 pkt)
Rozwiąż równanie 2 sin 2x + ctg x = 4 cos x dla x " 0, 2Ą . Ze zbioru rozwiązań tego
losujemy bez zwracania dwie liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że co najmniej
Ą
jedno z wylosowanych rozwiązań jest wielkrotnością liczby .
2
Zadanie 18 (10 pkt)
Rozwiąż nierówność
1 1 1
+ + + . . . > 2x - 0, (9)
2x 4x 8x
gdzie lewa strona tej nierówności jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego.
Zadanie 19 (10 pkt)
W trójkącie jeden z kątów ma miarę 120ć%. Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyra-
zami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30. Wyznacz stosunek długości promienia
matma235@o2.pl
okręgu opisanego na tym trójkącie do długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.
 Zadanie 11 (4 pkt)
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie
mx2 - 3(m + 1)x + m = 0
nie ma rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.
spis treści
Rozwiązanie:
symbole
mx2 - 3(m + 1)x + m = 0
zgłoś błąd
Dla m = 0 równanie nie jest kwadratowe i ma jedno rozwiązanie. Dlatego m = 0, a wtedy

25 maj
równanie kwadratowe nie ma rozwiązania, jeżeli
" < 0
-3(m + 1)2 - 4 � m � m < 0
9(m2 + 2m + 1) - 4m2 < 0
9m2 + 18m + 9 - 4m2 < 0
5m2 + 18m + 9 < 0
rozwiązujemy nierówność kwadratową
" "
"m = 182 - 4 � 5 � 9 = 324 - 180 = 144 " = 144 = 12
-18 - 12 -30 -18 + 12 6 3
m1 = = = -3 m1 = = - = -
2 � 5 10 2 � 5 10 5
dalej
matma235@o2.pl
 Zadanie 12 (4 pkt)
A i B są zdarzeniami losowymi i P (B) > 0. Wykaż, że
1 - P (A )
P (A/B)
P (B)
Rozwiązanie:
spis treści
1 - P (A )
symbole
P (A/B)
P (B)
zgłoś błąd
P (A)"B)
korzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe P (A/B) =
25 maj
P (B)

P (A )" B) 1 - P (A )
� P (B) dla P (B) > 0
P (B) P (B)
korzystamy ze wzoru P (A ) = 1 - P (A)
P (A )" B) P (A)
część wspólna A )" B zawiera się w zbiorze A dlatego jest to nierówność prawdziwa.
Wykonaliśmy ciąg równoważnych przekształceń, zatem nierówność wyjściowa
1 - P (A )
P (A/B)
P (B)
jest prawdziwa
matma235@o2.pl
 Zadanie 13 (4 pkt)
Sprawdz
, że przekształcenie P płaszczyzny dane wzorem P ((x, y)) = (x + 1, -y) jest
izometrią. Wyznacz równanie obrazu okręgu o równaniu x2 +y2 -2x = 0 w przekształceniu
P .
Rozwiązanie:
P ((x, y)) = (x + 1, -y)
spis treści
symbole
Przekształcenie P płaszczyzny jest izometrią, jeżeli odległość dowolnych dwóch punktów nie
zgłoś błąd
ulega zmianie po przekształceniu.
dowolne dwa punkty
25 maj
A = (x1, y1) B = (x2, y2)
odległość punktów A i B:

|AB| = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2
punkty A i B po przekształceniu P
A = (x1 + 1, -y1) B = (x2 + 1, -y2)
odległość punktów A i B :

|A B | = ((x2 + 1) - (x1 + 1))2 + (-y2 - (-y1))2 =

= (x2 + 1 - x1 - 1)2 + (-(y2 - y1))2 =

= (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2
Jak widać odległość punktów nie zmieniła się (|AB| = |A B |), zatem przekształcenie P
matma235@o2.pl
jest izometrią.
dalej
Równanie okręgu przekształcamy do postaci, z której można odczytać współrzędne środka
x2 + y2 - 2x = 0
x2 - 2x + y2 = 0
x2 - 2x + 1 - 1 + y2 = 0
spis treści
(x - 1)2 - 1 + y2 = 0
symbole
(x - 1)2 + y2 = 1
zgłoś błąd
Współrzędne środka okręgu to S = (1, 0), a długość promienia r = 1.
25 maj
Po przekształceniu P ((x, y)) = (x + 1, -y) środek okręgu będzie miał współrzędne
S = (1 + 1, -0)
S = (2, 0)
Przekształcenie P jest izometrią, dlatego promień okręgu nie zmieni długości. Równanie
okręgu będzie miało zatem następującą postać
(x - 2)2 + y2 = 1
matma235@o2.pl
 Zadanie 14 (4 pkt)
Zaznacz na płaszczyz
nie zbiór

F = (x, y) : x " R '" y " R '" log 1 (|x| - 1) -2 '" |y| > 0
2
spis treści Napisz równanie osi symetrii figury F .
symbole
Rozwiązanie:
zgłoś błąd
Na podstawie definicji wartości bezwzględnej
25 maj
|y| > 0
y " R\{0}
Wyznaczamy dziedzinę log 1 (|x|-1). Logarytmować możemy tylko liczby dodatnie, dlatego
2
|x| - 1 > 0
|x| > 1
x < -1 lub x > 1
Rozwiązujemy nierówność
log 1 (|x| - 1) -2
2
x -5 i x 5
Zaznaczamy dziedzinę i rozwiązanie nierówności na osi liczbowej
x
-5 -1 1 5
matma235@o2.pl
x " -5, -1) *" (1, 5 dalej
1
log (|x| - 1) -2
2
Korzystamy z loga ak = k
-2
1
log 1 (|x| - 1) log 1
spis treści
2 2
2
symbole
log 1 (|x| - 1) log 1 22
2 2
zgłoś błąd
log 1 (|x| - 1) log 1 4
2 2
25 maj
Podstawy logarytmów są jednakowe i mniejsze od 1. Funkcja logarytmiczna jest
więc malejąca, dlatego odwracamy znak nierówności.
|x| - 1 4
|x| 5
x -5 i x 5
matma235@o2.pl
Rysujemy na płaszczyz
nie zbiór

F = (x, y) : x " -5, -1) *" (1, 5 '" y " R\{0}
y
spis treści
symbole
zgłoś błąd
25 maj
x
-5 -1 1 5
osie symetrii figury F to x = 0 i y = 0
matma235@o2.pl
 Zadanie 15 (6 pkt)
Objętość walca jest równa 250Ą cm3. Przedstaw pole powierzchni całkowitej tego walca jako
funkcję długości promienia jego podstawy i określ dziedzinę tej funkcji. Wyznacz długość
promienia takiego walca, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze.
Rozwiązanie:
spis treści
objętość walca V = Ąr2H = 250Ą
symbole

Ąr2H = 250Ą : Ą
zgłoś błąd

r2H = 250 : r2
25 maj
250
H =
r2
pole całkowite walca
250 500Ą
Pc = 2Ąr2 + 2ĄrH = 2Ąr2 + 2Ąr = 2Ąr2 + =
r2 r
2Ąr3 500Ą 2Ąr3 + 500Ą
= + =
r r r
dziedziną funkcji
2Ąr3 + 500Ą
P (r) =
r
są r " (0, "), ponieważ r oznacza długość promienia podstawy walca
dalej
matma235@o2.pl
szukamy ekstremum funkcji
2Ąr3 + 500Ą
P (r) = dla r > 0
r
w tym celu najpierw liczymy pochodną, korzystając ze wzorów
spis treści

2Ąr3 + 500Ą (2Ąr3 + 500Ą) r - (2Ąr3 + 500Ą)r
symbole

P (r) = = =
r r2
zgłoś błąd
6Ąr2 � r - 2Ąr3 - 500Ą 4Ąr3 - 500Ą
25 maj
= = =
r2 r2
4Ą(r3 - 125) 4Ą(r - 5)(r2 + 5r + 25)

=
=
r2 r2
Dla wszystkich r > 0 wyrażenie r2 + 5r + 25 > 0. Pochodna jest więc równa zero tylko
dla r = 5

Sprawdzamy jaki znak ma pochodna P (x) wokół r = 5

P (x) < 0 dla r < 5 czyli funkcja jest malejąca dla r " (0, 5)

P (x) > 0 dla r > 5 czyli funkcja jest rosnąca dla r " (5, ")
Funkcja P (r) dla r = 5 ma minimum i jest to jednocześnie minimalna wartość funkcji dla
r > 0, ze względu na monotoniczność funkcji wokół 5.
walec ma więc najmniejszą objętość dla r = 5
matma235@o2.pl
 Zadanie 16 (7 pkt)
Naszkicuj w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji f(x) = 2x+1 oraz

x+1
.
g(x) = Na podstawie wykonanego rysunku określ liczbę ujemnych rozwiązań rów-
x
nania f(x) = g(x).
Rozwiązanie:
spis treści
Wykres f(x) = 2x+1 otrzymujemy przez przesunięcie f(x) = 2x o wektor [-1, 0]
symbole
zgłoś błąd
x -2 -1 0 1 2
2x 1 1 1 2 4
25 maj 4 2
y
x
dalej
matma235@o2.pl

x + 1

g(x) =

x
x + 1
Na początek narysujemy wykres y =
x
spis treści
x + 1 x 1 1 1
symbole
y = = + = 1 + = + 1
x x x x x
zgłoś błąd
1 1
25 maj Wykres y = + 1 otrzymujemy przez przesunięcie y = o wektor [0, 1]
x x
x -2 -1 -1 1 1 2
2 2
1 1 1
- -1 -2 2 1
x 2 2
y y


1 1

y = + 1 y = + 1
x
x
x x
matma235@o2.pl
dalej
 x+1

Rysujemy na jednym wykresie f(x) = 2x+1 i g(x) = i na podstawie rysunku
x
określamy liczbę ujemnych rozwiązań równania f(x) = g(x).
y
spis treści
symbole
zgłoś błąd
25 maj
x
Wykresy przecinają się w trzech punktach, ale tylko dwa punkty przecięcia są dla x < 0.
Odp. Równanie f(x) = g(x) ma dwa ujemne rozwiązania.
matma235@o2.pl
kwadrat
a
spis treści
a
symbole
przekątna kwadratu
zgłoś błąd
"
25 maj
d
d = a 2
a
a
obwód kwadratu
a
a a
Obw = 4a
a
pole kwadratu
a
P = a2
a
matma235@o2.pl
wyprowadzenie wzoru na przekątną kwadratu
d
a
spis treści
a
symbole
korzystamy z twierdzenia Pitagorasa
zgłoś błąd
a2 + a2 = d2
25 maj
2a2 = d2
"
d2 = 2a2
"
d = a 2
matma235@o2.pl
Trójkąt równoboczny
a a
spis treści
symbole
a
zgłoś błąd
25 maj
wysokość i pole kąty w trójkącie
"
a 3
h =
60ć%
2
"
h
a2 3
P =
60ć% 60ć%
4
a
wysokości w trójkącie równobocznym przecinają się w jednym punkcie
punkt przecięcia dzieli wysokość na
odcinki w stosunku 2 : 1
x
2 1 x 2
x = h x = h =
y
3 3 y 1
matma235@o2.pl
wyprowadzenie wzoru na wysokość trójkąta rówobocznego
a
spis treści h
symbole
zgłoś błąd
1 1
a a
2 2
25 maj
korzystamy z twierdzenia Pitagorasa
2
1
a + h2 = a2
2
1
a2 + h2 = a2
4
1
h2 = a2 - a2
4
3
h2 = a2
4

3
h = a2
4
"
3
h = a
2
matma235@o2.pl
wyprowadzenie miar kątów w trójkącie równobocznym
60ć%
spis treści
60ć% 60ć%
symbole
zgłoś błąd
W każdym trójkącie suma wszystkich kątów wynosi 180ć%. W trójkącie równobocznym kąty
25 maj
są równe zatem każdy musi mieć 60ć%.
matma235@o2.pl
wyprowadzenie wzoru na odcinki na jakie jest podzielona wysokość
x
spis treści
symbole
x
zgłoś błąd
y
30ć%
25 maj
y
sin 30ć% =
x

1 y
= � x
2 x

1 y
x = � 2
2 x
x = 2y
x + y = h x + y = h
1
2y + y = h x + h = h
3
1
3y = h x = h - h
3
1 2
y = h x = h
3 3
matma235@o2.pl
wyprowadzenie wzoru na pole trójkąta równobocznego
h
spis treści
symbole
a
zgłoś błąd
pole trójkąta
25 maj
1
P = � a � h
2
"
1 a 3
P = � a �
2 2
"
a2 3
P =
4
matma235@o2.pl
mx2 - 3(m + 1)x + m = 0
dla m = 0
0 � x2 - 3(0 + 1)x + 0 = 0
-3x = 0
x = 0
spis treści
symbole
równanie ma jedno rozwiązanie.
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
prostokąt
a
a a
spis treści
a
symbole
pole prostokąta
zgłoś błąd
25 maj
a
P = ab
a
matma235@o2.pl
równoległobok
Równoległobok to czworokąt, którego przeciwległe boki są równoległe.
a
b b
spis treści
a
symbole
pole równoległoboku
zgłoś błąd
a b
h h
25 maj
ą
a a
P = ah P = ah P = ab sin ą
kąty w równoległoboku
ą �
ą + � = 180ć%
ą �
przekątne w równoległoboku
y
x
x
O y
matma235@o2.pl
punkt przecięcia przekątnych O dzieli przekątne na równe części
wyprowadzenie wzoru na pole równoległoboku
b
h
ą
spis treści
a
symbole
pole równoległoboku P = ah
zgłoś błąd

h
25 maj
sin ą = � b
b
h = b sin ą
P = ah
P = ab sin ą
matma235@o2.pl
wyprowadzenie
spis treści
ą � ą
symbole
zgłoś błąd
25 maj Przeciwległe boki równoległoboku są równe, dlatego kąt przyległy do � to ą. Widać teraz,
że
ą + � = 180ć%
matma235@o2.pl
romb
Romb to równoległobok, którego wszystkie boki są równe.
a
a
a
spis treści
symbole
a
zgłoś błąd
pole rombu
q
25 maj
p
q
p
a a
h h
ą
a a
pq
P = ah P = a2 sin ą P =
2
kąty w rombie
ą
�
ą + � = 180ć%
ą �
przekątne w rombie
y
x
x
y
matma235@o2.pl
Przekątne w rombie przecinają się pod kątem prostym. Punkt przecięcia przekątnych dzieli
przekątne na równe części.
wyprowadzenie
1
q
2
spis treści
p
1
symbole q
2
zgłoś błąd
25 maj
Pole rombu to suma pól dwóch trójkątów.
1 1 1 1
P = � p � q + � p � q
2 2 2 2
1 1
P = pq + pq
4 4
1
P = pq
2
pq
P =
2
matma235@o2.pl
trapez
ą ą
spis treści
prostokątny równoramienny
symbole
zgłoś błąd
pole trapezu
b b
25 maj
a, b  podstawy
h h
h  wysokość
a a
a + b
P = � h
2
kąty w trapezie
ł
�
ą + � = 180ć%
� + ł = 180ć%
�
ą
matma235@o2.pl
wyprowadzenie
ą
�
spis treści
ą
symbole
zgłoś błąd
25 maj
Podstawy trapezu są równoległe, dlatego kąt przyległy do � jest równy ą. Widać teraz, że
ą + � = 180ć%
matma235@o2.pl
spis treści
symbole
zgłoś błąd
25 maj
matma235@o2.pl
wyprowadzenie
1
q
2
spis treści
1 p
- q
2
symbole
zgłoś błąd
25 maj
Pole deltoidu to suma pól dwóch trójkątów.
1 1 1 1
P = � p � q + � p � q
2 2 2 2
1 1
P = pq + pq
4 4
1
P = pq
2
pq
P =
2
matma235@o2.pl
czworokąt wpisany w okrąg
�
ą + ł = 180ć%
ł
spis treści � + ł = 180ć%
ą
symbole
�
zgłoś błąd
25 maj
Czworokąt możemy wpisać w okrąg, jeżeli suma jego przeciwległych kątów jest równa 180ć%.
matma235@o2.pl
przykłady
110ć% 100ć%
65ć% 120ć%
80ć% + 100ć% = 180ć% 60ć% + 120ć% = 180ć%
spis treści 70ć% + 110ć% = 180ć% 115ć% + 65ć% = 180ć%
115ć%
80ć%
70ć%
symbole
60ć%
zgłoś błąd
25 maj
wyprowadzenie
ł
2ą
� 2ł
�
ą
Kąty środkowe są równe 2ł i 2ą na podstawie twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym.

2ą + 2� = 360ć% : 2 ą + � + ł + � = 360ć%
ą + � = 180ć% 180ć% + ł + � = 360ć%
ł + � = 360ć% - 180ć%
ł + � = 360ć% - 180ć%
matma235@o2.pl
ą + � = 180ć% ł + � = 180ć%
czworokąt opisany na okręgu
c
a + c = b + d
d
b
spis treści
symbole
zgłoś błąd
a
25 maj
Czworokąt możemy opisać na okręgu, jeżeli suma jego przeciwległych boków jest równa.
promień okręgu wpisanego w czworokąt
c
2P
b r =
r
a + b + c + d
d
a
matma235@o2.pl


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Matematyka W Liceum Wzory I Rozwiazane Zadania
Matematyka finansowa wzory i zadania (23 strony)

więcej podobnych podstron