MAP 1143 ANALIZA MATEMATYCZNA 1.1 B Listy zadaÅ„ Lista 1 1.1. Czy podane wypowiedzi sÄ… zdaniami w logice? JeÅ›li sÄ…, to podać ich wartość logicznÄ…: a) Amsterdam jest stolicÄ… Holandii ; b) liczba 123888 jest podzielna przez 8 ; c) a2 + b2 = c2 ; d) trójkÄ…t o bokach 3, 4, 5 jest ostrokÄ…tny ; e) 25 32 ; f) " = b2 - 4ac . 1.2. Napisać zaprzeczenia zdaÅ„: a) jem Å›niadanie i sÅ‚ucham radia ; b) kwadrat nie jest piÄ™ciokÄ…tem ; c) stolicÄ… Polski jest Gniezno lub WrocÅ‚aw ; d) jeÅ›li jutro bÄ™dzie ciepÅ‚o, to pójdÄ™ na basen ; e) liczba jest podzielna przez 6 wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielna przez 3 . 1.3. Ocenić prawdziwość zdaÅ„ zÅ‚ożonych: a) nieprawda, że funkcja f(x) = x2 jest rosnÄ…ca na R ; b) (-1)44 = -1 lub 2008 jest liczbÄ… parzystÄ… ; c) funkcja g(x) = sin x jest okresowa, a funkcja f(x) = 3x nieparzysta ; d) jeżeli Piotr jest synem Tadeusza, to Tadeusz jest starszy od Piotra ; e) liczba 13579 jest podzielna przez 9 wtedy i tylko wtedy, gdy suma 1 + 3 + 5 + 7 + 9 jest podzielna przez 9 . 1.4. Czy podane funkcje zdaniowe sÄ… prawami logicznymi: a) Ź (p (" q) =Ò! [(Źp) '" (Źq)] ; b) p =Ò! [(q '" Źq) =Ò! r] ; c) (p =Ò! q) Ð!Ò! [(Źp) (" q] ; d) [p '" (Źq)] (" [(Źp) '" q]? 1.5. Zbiory okreÅ›lone za pomocÄ… formy zdaniowej zapisać w prostszej postaci:
a) x " R : x2 = 4 ; b) n " N : liczba n2 - n jest parzysta ; c) {x " R : (x < 3) (" (x 5)}; d) {n " N : n jest podzielne przez 5};
e) x " R : (x > 0) =Ò! x2 > 0 ; f) {(x, y, z) : x, y, z " N '" x < y < z '" xyz = 16}. 1.6. Podać przykÅ‚ady warunków, które speÅ‚niajÄ… tylko elementy zbiorów: a) [-1, 7] ; b) {trójkÄ…t równoboczny, kwadrat}; c) {2, 4, 6, . . .};
1 a) sin x = ; b) x2 + 4x + 3 > 0; c) x2 - y2 = 0; 2 x"R x"R x"R y"R
Ä„ Ä„ d) xy = 0; e) (y x) (" (y > x); f) ! x " - , '" tg x = y. 2 2 y"R x"R x"R y"R y"R x"R 1.8. Dla podanych par zbiorów A, B ‚" R wyznaczyć A *" B, A )" B, A \ B, B \ A, Ac, Bc, A B: a) A = (0, 5), B = [0, 7]; b) A = (- ", 3), B = [-1, "); c) A = {1, 2}, B = {1, 2, 3, 4}; d) A = N, B = {2n : n " N} . Wskazać te pary A, B, dla których A ‚" B. 1.9. Wyznaczyć wszystkie podzbiory zbioru {ć%, , } . 1.10. Która z relacji A ‚" B, czy B ‚" A zachodzi, gdy: a) A *" B = A; b) A *" B ‚" A; c) A \ B = A; d) B ‚" A )" B? 1 Lista 2 2.1. OkreÅ›lić i narysować dziedziny funkcji:
x x - 2 a) f(x) = ; b) f(x) = ; c) f(x) = 16 - x2; x2 - 2x - 3 x2 + 4
x - 1 x - 4 d) f(x) = -(x + 3)4; e) f(x) = " ; f) f(x) = . x2 - 8x + 16 x - 1 2.2. Wyznaczyć zbiory wartości funkcji: " x2 a) f(x) = x2 + 2x; b) f(x) = - x + 2; c) f(x) = ; x2 + 1 1 x2 - 1 x4 - 9 d) f(x) = 1 + ; e) f(x) = ; f) f(x) = . x + 1 x + 1 x2 - 3 2.3. Na podanych przedziałach uzasadnić monotoniczność funkcji: " a) f(x) = x2, (- ", 0] ; b) f(x) = x - 1, [1, "); 1 c) f(x) = , [0, ") ; d) f(x) = x + |x|, R. 1 + x2 2.4. Wyznaczyć współczynnik kierunkowy a oraz wyraz wolny b funkcji liniowych y = ax + b: a) y = 1; b) y - x = 0; c) y = -x + 4; d) y + 2x = 2; e) 3x + 4y - 2 = 0; f) x - 5y = 3. 2.5. W podanych przedziałach uprościć wyrażenia: a) x + |2 - x| + 3|1 - x|, gdzie x " (1, 2); b) |2x| - |x + 1| + 2|x - 2|, gdzie x " (2, ");
|x - 1| |1 c) - |2 - 3x|, gdzie x " (- ", -1); d) - x| - 1 - 2|x - 2|, gdzie x " (0, 1). |x + 1| 2.6. Korzystając z interpretacji geometrycznej |x - a| zaznaczyć na osi liczbowej R rozwiązania nierówności: 1 a) |3x - 1| 2; b) |2 - x| < 1; c) |5 - 4x| > 3; d) |2 - 3x| 4. 2 2.7. Sprowadzić do postaci iloczynowej (jeżeli istnieje) funkcje kwadratowe i naszkicować ich wykresy: 1 a) f(x) = -x2 + x; b) f(x) = 2x2 + 1; c) f(x) = x2 + x + ; 4 3 9 d) f(x) = x2 + 2x - 3; e) f(x) = -2x2 - 2x + ; f) f(x) = -x2 - 3x - . 2 4 2.8. Wyznaczyć współczynniki oraz określić stopień funkcji wielomianowych: a) W (x) = (x + 1)3 - x(x - 1)2; b) W (x) = x4 + 4x3 - x2(x + 2); c) W (x) = (x + 2)3 - (x - 2)2; d) W (x) = (x + 1)2 - (2x + 3)3 - 2x. * 2.9. Naszkicować przykład wykresu funkcji wielomianowej, dla której podano jej pierwiastki, ich krotności oraz znak współczynnika przy najwyższej potędze zmiennej x: a) x1 = -2 (2 krotny), x2 = 0, x3 = 2, a4 > 0; b) x1 = -2, x2 = 1 (3 krotny), x3 = 2, a5 < 0; c) x1 = -2 (4 krotny), x2 = 0 (2 krotny), x3 = 2 (2 krotny), a8 > 0; d) x1 = -2 (3 krotny), x2 = 0 (3 krotny), x3 = 2 (2 krotny), a8 > 0. 2.10. Rozwiązać równania wymierne: 4x - 6 3 2 1 9x 3 a) = 0; b) + = ; c) = + 2; 2x2 - x + 4 4x - 6 2x - 3 5 3x - 1 3x + 1 3 2 21 2x - 1 3 x - 4 2 x - 21 d) + = ; e) = + 1; f) - = . x + 1 x - 2 x2 - x - 2 x x + 1 x - 2 x + 3 x2 + x - 6 2.11. Rozwiązać nierówności wymierne: x2 - 3x (x + 1)(x + 2) 3 2 a) < 0; b) 0; c) 2 + > ; x + 3 (x + 3)(x + 4) x + 1 x x2 + 5x x2 - 3x + 2 -x2 + 2x + 4 d) > x; e) > 0; f) 1. x - 3 x2 + 3x + 2 x - 2 2 Lista 3 3.1. Określić funkcje złożone f ć% f, f ć% g, g ć% f, g ć% g, jeżeli " 1 a) f(x) = , g(x) = x2; b) f(x) = x, g(x) = x4; x " 1 1 c) f(x) = , g(x) = ; d) f(x) = |x|, g(x) = x + 1. x + 1 x + 2 Wyznaczyć dziedziny tych funkcji złożonych. 3.2. Uzasadnić, że złożenie funkcji: a) rosnących jest funkcją rosnącą; b) rosnącej i malejącej jest funkcją malejącą; c) malejących jest funkcją rosnącą. 3.3. Znalezć funkcje f i g takie, że h = f ć% g, jeżeli:
|x| + 1 x2 + 2x + 1 x + 1 a) h(x) = ; b) h(x) = ; c) h(x) = ; d) h(x) = x4 + 2x2 - 2. |x| - 1 x2 + 2x - 1 x Czy funkcje f i g są wyznaczone jednoznacznie? 3.4. Korzystając z wykresu funkcji f przedstawionego na rysunku y y A) B) 2 y=f(x) 2 y=f(x) x x -2 2 2 4 naszkicować wykresy funkcji: a) f(x) + 1; b) f(-x) - 1; c) f(x + 1); d) -f(x) + 1; e) -f(x - 1); f) f(1 - x) - 1. 1 3.5. Przekształcając wykresy funkcji y = x2, y = , y = |x| naszkicować funkcje: x 1 a) y = x2 - 2, y = - x2, y = (x + 3)2, y = x2 - 4x + 7; 2 1 2 1 3 b) y = - , y = , y = , y = ; x x x + 3 x - 1 1 c) y = |x - 2|, y = |x|, y = 1 - |x|, y = |x + 4| - 2. 3 3.6. Podany jest wykres funkcji y = f(x) y 4 2 y=f(x) 3 x 1 Naszkicować wykresy funkcji: a) y = f(x + 1); b) y = f(x) - 2; c) y = f(x - 1) + 3; 1 d) y = f(x); e) y = f(3x); f) y = -f(x); 2 g) y = f (-x); h) y = |f(x)|; i) y = f(|x|). 3 Lista 4 4.1. Kąty wyrażone w stopniach zapisać w radianach: a) 10ć%; b) 24ć%; c) 45ć%; d) 135ć%; e) 350ć%; f) 1080ć%. 4.2. Kąty wyrażone w radianach zapisać w stopniach: Ą 7Ą 4Ą 35 21Ą a) 1; b) ; c) ; d) ; e) Ą; f) . 24 12 3 36 12 4.3. Na płaszczyznie narysować w położeniu standardowym kąty: Ą Ą 7Ą 7Ą a) ; b) 120ć%; c) - ; d) -270ć%; e) ; f) - . 8 5 4 3 4.4. Korzystając ze wzorów redukcyjnych zapisać podane wyrażenia w postaci funkcji trygonometrycznych kąta
Ä„ Ä… " 0, : 2
3Ą 5Ą Ą a) sin - ą ; b) cos + ą ; c) tg (Ą - ą); d) ctg + ą . 2 2 2 4.5. Zapisać w postaci funkcji trygonometrycznych kąta z pierwszej ćwiartki wyrażenia:
Ą 9 95 14 a) sin - ; b) cos Ą; c) tg - Ą ; d) ctg Ą. 3 2 3 9 4.6. Obliczyć wartości wyrażeń:
19 5Ą 21 13Ą 7 5 13 17 a) cos - Ą + cos ; b) cos - Ą - sin - ; c) tg - Ą - ctg - Ą ; d) ctg Ą + ctg - Ą . 6 6 4 4 3 3 6 6 4.7. Uzasadnić tożsamości trygonometryczne: 1 + tg ą 1 2 a) = tg ą; b) sin4 ą+cos4 ą = 1- sin2 2ą; c) tg ą + ctg ą = ; 1 + ctg ą 2 sin 2ą ą 1 - cos ą 1 d) tg = ; e) sin4 ą-cos4 ą = sin2 ą-cos2 ą; f) - cos ą = sin ą tg ą. 2 sin ą cos ą Dla jakich kątów ą są one prawdziwe? 4.8. Wyprowadzić wzory: ą ą ą ą 2 tg 1 - tg2 2 tg 1 - tg2 2 2 2 2 a) sin ą = ; b) cos ą = ; c) tg ą = ; d) ctg ą = . ą ą ą ą 1 + tg2 1 + tg2 1 - tg2 2 tg 2 2 2 2 4.9. Korzystając z wykresu funkcji y = sin x naszkicować w przedziale [-Ą, Ą] wykresy funkcji:
x Ä„ a) y = sin 2x; b) y = sin ; c) y = sin x + ; 3 4
Ą 1 d) y = sin 2 x - ; e) y = 1 + sin x; f) y = sin x - 1. 6 2 4.10. Naszkicować wykresy funkcji:
Ä„ 1 Ä„
a) y = cos 2 x - ; b) y = sin x - sin x ; c) y = 1 + ctg x + ;
4 2 4 d) y = tg x + | tg x|; e) y = sin x + cos x; f) y = |tg x| ctg x. 4.11. Rozwiązać równania trygonometryczne: x a) sin x = - sin 2x; b) cos 4x = sin ; 2
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„ c) cos - 2x = cos x + ; d) sin - 2x = cos x + ; 4 3 6 3 Ä„ Ä„ e) tg x - = tg - x ; f) ctg 2x = tg 2x; 4 6
Ą Ą Ą g) ctg 2x + = ctg x; h) tg 2x + = ctg 3x + . 3 4 6 4 4.12. Rozwiązać równania trygonometryczne: a) sin2 x + cos x sin x = 0; b) sin x - 2 = cos 2x; c) tg2 x - 2 tg x + 1 = 0; " 1 d) tg x + tg 2x = tg 3x; e) sin x = 0; f) cos = 1. x 4.13. Rozwiązać nierówności trygonometryczne: x Ą " " Ą x Ą Ą a) 2 sin - x 3; b) 2 cos - < -1; c) tg + > -1; d) 3 ctg 2x + 1. 3 2 6 4 3 4 4.14. Rozwiązać nierówności trygonometryczne:
x Ä„ Ä„ 3 a) cos x sin , x " - , ; b) cos x + sin x ; 2 2 2 2
1 Ä„ Ä„ c) ctg x - < 0; d) tg x tg 2x 1, x " - , . ctg x 2 2 Lista 5 5.1. RozwiÄ…zać równania wykÅ‚adnicze: 2x-3 " x " 1 3 a) = 8; b) 2 · 42x - 3 · 4x = -1; c) 5 - 25 = 0; 2 2x x+5 8-3x 1 2-x 3-x x d) 9x + 3x+1 = 4; e) 5 = 5 · 5 ; f) + 31-x = 0. 3x - 4 5.2. RozwiÄ…zać nierównoÅ›ci wykÅ‚adnicze: x+1 2 2 2 2 x a) 34x-2 < 92-x; b) 0.25 < 0.0625; c) 2x -1 - 3x > 3x -1 - 2x +2; 1 x2 + 2x - " 3 1 1 1 2 2x " d) - 2-x ; i) < ; j) 2 < 2. 2 ex - 1 e2x + 1 2 5.3. RozwiÄ…zać równania logarytmiczne: a) 4 log2 x = log2 81; b) log4(x + 4) - log4(x - 1) = 2;
c) log 1 (x - 3) + log 1 x = -2; d) log2 x2 - 6 = 3 + log2(x - 1). 2 2 5.4. Rozwiązać nierówności logarytmiczne: 2 1 a) log5(5 - 3x) > 1; b) log(3x - 1) - log(x - 1) > log 2; c) 1 - log3 x; d) ln x + > 0. log 1 x ln x 3 5.5. Uzasadnić, że podane funkcje są różnowartościowe na wskazanych zbiorach:
" " 1 1 a) f(x) = , R \ {0}; b) f(x) = x4, [0, "); c) f(x) = x - 3, [0, "); d) f(x) = x - x, , " . x 4 5.6. Znalezć funkcje odwrotne do funkcji: " x + 1 3 a) f(x) = ; b) f(x) = 3 - x + 2; c) f(x) = x6 sgn x; x - 1 1 -x2 dla x < 0, x d) f(x) = e) f(x) = 2x-1; f) f(x) = 4 ; 2 + x dla x 0; g) f(x) = log(x + 2); e) f(x) = log 1 2x; f) f(x) = log3(x + 1). 2 2 5.7. Obliczyć wartości wyrażeń:
1 1 3 8 a) tg arc cos ; b) ctg arc sin ; c) sin arc sin + arc sin ; d) sin (arc tg 1 + arc tg 2). 2 3 5 17 5.8. Funkcje odwrotne do podanych zapisać przy pomocy funkcji cyklometrycznych:
Ä„ 3Ä„ a) f(x) = sin x, x " , ; b) f(x) = cos x, x " [Ä„, 2Ä„]; 2 2
3Ą Ą c) f(x) = tg x, x " - , - ; d) f(x) = ctg x, x " (Ą, 2Ą). 2 2 5 Lista 6 6.1. Uzasadnić, że podane ciągi są ograniczone: " 2 + cos n 4n - 1 n a) an = ; b) an = 2n + 1; c) an = ; 3 - 2 sin n 2n + 3 " " 1 1 1 d) an = n + 8 - n + 3; e) an = + + . . . + ; f) an = 2n - 3n. 41 + 1 42 + 2 4n + n 6.2. Zbadać, czy od pewnego miejsca są monotoniczne ciągi: 2n + 1 n n! a) an = ; b) an = ; c) an = ; n + 2 n2 + 1 10n
1 4n d) an = ; e) an = ; f) an = n2 + 1 - n. n2 - 6n + 10 2n + 3n 6.3. a) W ciągu arytmetycznym dane są a5 = 12 oraz a12 = -9. Wyznaczyć pierwszy wyraz oraz różnicę ciągu. b) Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy a1 = 1000, a różnica jest równa r = -13. Obliczyć sumę wszystkich dodatnich wyrazów ciągu. c) Liczby 2, 2x, 2x + 3 tworzą ciąg arytmetyczny. Obliczyć x. d) Wyznaczyć ciąg arytmetyczny, w którym suma trzech pierwszych wyrazów jest równa -6, a suma ich kwa- dratów 30. e) Ile liczb, będących wielokrotnością 9, można znalezć w przedziale [30, 901]. f) Rozwiązać równanie 1 + 4 + 7 + 10 + . . . + n = 651. 6.4. a) Suma wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego wynosi 2, a suma kwadratów tych wyrazów wynosi 3. Znalezć sumę wartości bezwzlędnych wyrazów tego ciągu. b) W ciągu geometrycznym siódmym wyrazem jest 13, a piętnastym 26. Obliczyć sumę a3 + a4 + a5 + . . . + a10. c) W ciągu geometrycznym drugi wyraz jest równy 3, a szósty 19. Ile wyrazów tego ciągu jest mniejszych od 200? d) Obliczyć sumę 1 + 2a + 3a2 + 4a3 + . . . + nan-1 dla dowolnego n " N oraz a " R. e) Rozwiązać równanie 1 + 3 + 9 + . . . + x = 364. 6.5. Sprawdzić, który z podanych ciągów o wyrazie ogólnym an jest ciągiem arytmetycznym, a który geome- trycznym: n-1 1 a) an = (-2)n+1; b) an = 2 + 4(n - 1); c) an = 3 ; d) an = 3(n + 1). 4 6.6. Korzystając z definicji granicy właściwej lub niewłaściwej uzasadnić równości: " 3 - n 2n + 1 2 n + 1 a) lim = -1; b) lim = 0; c) lim " = 2; n " n " n " n + 4 n2 n + 1
" 1 d) lim = 0; e) lim n4 - 1 = "; f) lim n - n = - ". n " n " n " 2n + 5 6.7. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów obliczyć granice: 3n - 1 n + 1 n3 + 2n2 + 1 a) lim ; b) lim ; c) lim ; n " n " n " - 3n3 n + 4 2n2 + 1 n 3 n20 + 2 1 + 3 + . . . + (2n - 1) log2(n + 1) d) lim ; e) lim ; f) lim ; n " n " n " 2 + 4 + . . . + 2n log3 (n2 + 2n + 1) (n3 + 1)20
n2 + 1 n! + 1 " " g) lim ; h) lim n2 + 4n + 1 - n2 + 2n ; i) lim n + 6 n + 1 - n ; n " n " n " (2n + 1)(n + 1)! " " 3 n3 + 1 8n+1 + 3 4 j) lim n4 + 16 - n ; k) lim " ; l) lim . 3 n " n " n " 2n + 1 n5 + 1 + 1 * 6.8. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach znalezć granice: " 2n sin n n a) lim 2n + 5n; b) lim ; n " n " 3n + 1
2n + (-1)n 1 1 1 c) lim ; d) lim " + " + . . . + " . 3 3 3 n " n " 3n + 2 n3 + 1 n3 + 2 n3 + n 6 6.9. Korzystając z definicji liczby e oraz z twierdzenia o granicy podciągu obliczyć granice: 3n-2 15n n 5-2n 1 5n + 2 3n n + 4 a) lim 1 + ; b) lim ; c) lim ; d) lim . n " n " n " n " n 5n + 1 3n + 1 n + 3 6.10. Korzystając z twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów obliczyć granice:
n2 + 1 a) lim ; b) lim n4 - 3n3 - 2n2 - 1 ; c) lim (1 + 2n - 3n); n " n " n " n n " Ą n n + 1 1 - (n + 1)! d) lim ; e) lim ; f) lim 3 - cos ; n " n " n " 2n n! + 2 n arc tg n n + 1 arc tg 2n g) lim ; h) lim ; i) lim . n " n " n " arc ctg n 2n n ln(n + 1) - ln n Lista 7 7.1. Korzystając z definicji Heinego granicy właściwej lub niewłaściwej funkcji uzasadnić równości: sin2 x a) lim (x - 2)5 = 1; b) lim = 0; c) lim x = -4; x3 x0 x-Ą x
d) lim sgn(cos x) = -1; e) lim x2 - 9 = 0; f) lim (3x + 1) = 1; Ą + x- " x x-3- 2 1 - 2x3 1 3 - x g) lim = -2; h) lim = "; i) lim = - ". x " x 1 x3 + 1 x 2+ x - 2 |x2 + 2x - 3| 7.2. Wskazując odpowienie dwa ciągi uzasadnić, że podane granice funkcji nie istnieją: " x2 x a) lim ; b) lim ; c) lim sin x; x " x3 - 3 4 x2 - x2 x sgn x 1 1 d) lim ; e) lim ; f) lim cos . x0 xĄ sgn (x + 1) sin x x0- x2 7.3. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic funkcji obliczyć granice: " x2 - 1 x2 - 4 x + x a) lim ; b) lim ; c) lim " ; x0 - x + 1 x2 x x2 - x - 2 x0 x2 x3 - 1 x6 - 1 x2 - 5x + 4 d) lim ; e) lim ; f) lim ; x " - 5) x1 - 1 1 x(x x1 - x2 x4 " " " " 3 x - 2 - 2 x - 4 1 + x - 1 - x g) lim ; h) lim " ; i) lim ; x6 - 6 x 2x x64 - 8 x0 x "
tg2 x + 1 sin2 x 1 m) lim ; n) lim ; o) lim tg x - . Ą Ą - x0 - cos x x tg2 x + 5 1 x cos x 2 2 7.4. Zbadać, obliczając granice jednostronne, czy istnieją granice funkcji: x2 - 4 |x - 1|3 sin x a) lim x sgn x; b) lim ; c) lim ; d) lim . x1 - x2 x0 x0 x2 - 2| x3 |x| |x 7.5. Narysować wykresy funkcji spełniających wszystkie podane warunki: a) lim u(x) = ", lim u(x) = 1, u(2) = 0, lim u(x) = -1; x- " x " x0- b) lim v(x) = e, lim v(x) = 0, funkcja v jest parzysta; x " x2 c) lim f(x) = 0, lim f(x) = 3, lim f(x) = - "; x- " x1 x " d) lim g(x) = ", lim g(x) = - ", lim g(x) = 1, lim g(x) = 5; x- " x " x0- x0+ e) lim h(x) = -4, lim h(x) = ", lim h(x) = 4; x- " x-1 x " 7 f) lim p(x) = ", lim p(x) = 0, funkcja p jest okresowa i ma okres T = 3; x1 x2 Na rysunkach wskazać fragmenty wykresów spełniające poszczególne warunki. 7.6. Korzystając z granic podstawowych wyrażeń nieoznaczonych obliczyć granice funkcji: x sin sin2 3x cos 5x 2 a) lim ; b) lim ; c) lim ; x Ą x0 x cos 3x x0 x2 2 sin 3 1 tg sin x3 sin x7 tg 3x x d) lim ; e) lim ; f) lim ; 2 x " x0 sin x4 sin x6 x0- x3 tg x " " 3 6 tg x cos 3x - cos 7x 1 + x - 1 - x g) lim ; h) lim ; i) lim . Ą - x0 x0 x tg 5x x2 x 2 Lista 8 8.1. Znalezć asymptoty pionowe i ukośne funkcji: x3 + x2 x - 3 sin x a) f(x) = ; b) f(x) = " ; c) f(x) = ; x2 - 4 x - Ą x2 - 9 " 1 + x2 x3 1 - x2 d) f(x) = ; e) f(x) = ; f) f(x) = . x (x + 1)2 x + 1 8.2. Dobrać parametry a, b " R tak, aby podane funkcje były ciągłe na R: ńł
a ax2 + 1 dla x < -1, òÅ‚ + 1 dla x < -1, a) f(x) = x b) f(x) = 2x dla -1 x 0, ół b - 2x dla x -1; x3 + bx dla x > 0; Å„Å‚ Ä„
ôÅ‚ òÅ‚ sin x dla |x| , x2+ax+b dla |x| < 2, 2 c) f(x) = d) f(x) = " Ä„ ôÅ‚ x x2 - 4 dla |x| 2; ół ax + b dla |x| < ; 2 Å„Å‚ Å„Å‚ Ä„ ôÅ‚ a sin x + b cos x dla |x| > , òÅ‚ òÅ‚ bx dla x < Ä„, 4 e) f(x) = f) f(x) = sin x Ä„ ôÅ‚ ół dla x Ä„. ół 1 + tg x dla |x| ; ax 4 8.3. Wyznaczyć punkty nieciÄ…gÅ‚oÄ…ci podanych funkcji i okreÅ›lić rodzaj tej nieciÄ…gÅ‚oÅ›ci: Å„Å‚ x + 2 ôÅ‚ ôÅ‚ dla x = 1, 2
òÅ‚ 1 x2 + x + 2 arc tg dla x = 0,
a) f(x) = b) f(x) = x 0 dla x = 1, ôÅ‚ ôÅ‚ 0 dla x = 0; ół 1 dla x = 2; Å„Å‚ Å„Å‚ x2 -1 |x| + x òÅ‚ òÅ‚ " dla x " (0, 1) *" (1, "), dla x = 0,
c) f(x) = x-1 d) f(x) = x2 ół ół 0 dla x = 0; 3 dla x = 1; Å„Å‚ 1 òÅ‚ 1 - cos dla x = 0,
e) f(x) = sgn x(x - 1) ; f) f(x) = x ół 0 dla x = 0. 8.4. Uzasadnić, że podane równania mają jednoznaczne rozwiązania we wskazanych przedziałach:
5Ä„ a) x3 + 6x - 2 = 0, (0, 1); b) x sin x = 7, 2Ä„, ; 2
sin x Ą 1 c) 1 = + x, 0, ; d) x100 + x - 1 = 0, , 1 . 2 2 2 Wyznaczyć rozwiązanie równania a) z dokładnością 0.125. Lista 9 9.1. Korzystając z definicji obliczyć pochodne funkcji: 8 " 1 a) f(x) = , gdzie x = -1; b) f(x) = x, gdzie x > 0;
x + 1 Ą c) f(x) = tg x, gdzie x = + kĄ dla k " Z; e) f(x) = x2 - 3x, gdzie x " R.
2 9.2. Korzystając z reguł różniczkowania obliczyć pochodne funkcji:
" " x2 + 1 sin x 4 a) y = ; b) y = ; c) y = 1 + x tg x; d) y = sin6 x + cos6 x; x3 + x x4 + 4
2
1 1 2sin x 3 e) y = sin + 3; f) y = cos ctg (x2); g) y = x3 + ex; h) y = ; 2 x4 x2 3cos x 1 - " x x2 i) y = (2x + x)3; j) y = ee ; k) y = e ; l) y = 4x + 9x;
arc sin x 3 m) y = ; n) y = ln sin2 x + 1 ; o) y = ex arc tg x; p) y = arc sin (x2). ex 9.3. Zbadać, czy podane funkcje mają pochodne niewłaściwe w punkcie x0 = 0:
" " 5 3 a) f(x) = 3 - x; b) f(x) = tg x; c) f(x) = | sin x|; d) f(x) = |x| + |x|. 9.4. Badając pochodne jednostronne rozstrzygnąć, czy we wskazanych punktach istnieją pochodne funkcji:
x2 a) f(x) = - x , x0 = 1; b) f(x) = sin x · sgn (x), x0 = 0;
Ą ctg3 x5 c) f(x) = x , x0 = ; d) f(x) = , x0 = 0. 2 9.5. Obliczyć f , f , f funkcji: 2 a) f(x) = x3 - ; b) f(x) = x sin x; c) f(x) = 4x7 - 5x3 + 2x; d) f(x) = sin3 x + cos3 x. x Lista 10 10.1. Napisać równania stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach: " " " 2x a) f(x) = x, (4, f(4)); b) f(x) = , 2, f 2 ; 1 + x2 sin x c) f(x) = , (0, f(0)); d) f(x) = x4 - x + 2, (-1, f(-1)) . 1 + x 10.2. a) Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = x4 -2x+5, która jest równoległa do prostej y = 2x+3. " Ą b) Znalezć styczną do wykresu funkcji f(x) = x, która tworzy kąt z dodatnią częścia osi Ox. 4 c) Wyznaczyć równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = x ln x, która jest prostopadła do prostej 2x+6y-1 = 0. 1 d) Znależć równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = x arc tg , w punkcie jego przecięcia z prostą Ąx = 4y. x e) Wyznaczyć równanie prostej, która jest wspólną styczną wykresów funkcji f(x) = x2 i g(x) = (x - 2)2 + 4. 10.3. a) Obliczyć kąty, pod jakimi przecinają się wykresy funkcji: " x2 3 i) f(x) = x2, g(x) = x, x > 0; ii) f(x) = 4 - x, g(x) = 4 - , x > 0; 2 " 1 Ą iii) f(x) = , g(x) = x, x > 0; iv) f(x) = tg x, g(x) = ctg x, 0 < x < . x 2 b) Dla jakich wartości parametru a " R, wykresy funkcji y = eax, y = e-x przetną się pod kątem prostym? 10.4. Korzystając z różniczki funkcji obliczyć przybliżone wartości wyrażeń: " 1 2001 3 " a) 7.999; b) ; c) ln ; 2000 3.98 d) ln 0.9993; e) e0.04; f) arc cos 0.499; " 1 2 g) ; h) ; i) ln 0.2 + 1 + 0.04 . 1 33Ą 1 + e0.005 + sin 2 200 9 10.5. Metodą Newtona wyznaczyć przybliżone rozwiązania równań: " a) x3 + 5x = 3; b) x3 = 3x - 1; c) cos x = x; d) 2 sin x = x + 1. 10.6. Korzystając z metody Newtona obliczyć przybliżone wartości pierwiastków: " " " 3 7 a) 10; b) 2; c) 5. 10.7. Korzystając z reguły de L Hospitala obliczyć podane granice: Ą 1 ln sin x ln (2x + 1) x 2 a) lim ; b) lim ; c) lim (cos x) ; x " x1 x0 x ln x x - arc tg x x10 - 10x + 9 d) lim x arc ctg x; e) lim ; f) lim . x " x0 x1 - 5x + 4 x2 x5 Lista 11 11.1. Korzystając z reguły de L Hospitala obliczyć podane granice (cd.):
1 ln cos x g) lim x ln x; h) lim - ctg x ; i) lim ; x0 x0+ x0- x ln cos 3x x sin x 2 1 j) lim arc tg x ; k) lim (1 + x)ln x; l) lim . x " Ą x0+ x0+ x 11.2. Znalezć przedziały monotoniczności funkcji: " x4 x3 3 a) f(x) = - - x2; b) f(x) = ex(x + 1); c) f(x) = x - 3 x; 4 3 d) f(x) = x ln2 x; e) f(x) = x3 - 30x2 + 225x; f) f(x) = xe-3x. 11.3. Znalezć ekstrema lokalne funkcji: " 2x2 - 1 a) f(x) = ; b) f(x) = x ln x; c) f(x) = x - x; x4
g) f(x) = 2 sin x + cos 2x; h) f(x) = (x - 5)ex; i) f(x) = 2 arc tg x - ln 1 + x2 . 11.4. Zbadać przebieg zmienności funkcji i następnie sporządzić ich wykresy: " x 4 4 a) f(x) = x ln x; b) f(x) = ; c) f(x) = 3 - - ; x - 1 x x2 1 x3 x x d) f(x) = x2 ; e) f(x) = ; f) f(x) = . x - 1 ln x Lista 12 12.1. Znalezć wartości najmniejsze i największe funkcji na wskazanych przedziałach: 1 - x a) f(x) = 2x3 - 15x2 + 36x, [1, 5]; b) f(x) = arc tg , [0, 1]; 1 + x
9 c) f(x) = (x - 3)2e|x|, [-1, 4]; d) f(x) = 1 - - x2 , [-5, 1]. 12.2. Platforma wiertnicza jest zakotwiczona na morzu 10 km od brzegu. Ropa z tej platformy będzie dostar- czana rurociągiem do rafinerii położonej nad brzegiem morza, 16 km od punktu brzegu najbliższego platformie. Koszt ułożenia 1 km rurociągu na dnie morza wynosi 200 000 euro, a na lądzie 100 000 euro. Do którego miejsca na brzegu należy doprowadzić rurociąg, aby koszt jego budowy był najmniejszy?
Platforma wiertnicza 10 km
x Rafineria 16 km 10 12.3. Kropla deszczu spada pod wpływem siły ciężkości (pomijamy opór powietrza). W czasie spadku kropla paruje w ten sposób, że jej masa zmniejsza się proporcjonalnie do upływu czasu. Wiadomo, że po 5 sekundach wyparowała połowa jej masy. Po ilu sekundach energia kinetyczna kropli będzie największa? 12.4. Prostopadłościenny kontener ma mieć pojemność 22.50 m3 i kwadratową podłogę. Koszt 1 m2 blachy potrzebnej do wykonania jego podłogi i pokrywy wynosi 20 zł, a ścian bocznych 30 zł. Jakie powinny być wymiary kontenera, aby koszt jego budowy był najmniejszy? 12.5. Jakie powinny być wymiary a, b prostokątnego pola o powierzchni S, którego jednym naturalnym bokiem jest brzeg rzeki, aby na jego ogrodzenie zużyć jak najmniej siatki? rzeka a S b Lista 13 13.1. Obliczyć podane całki nieoznaczone:
" " 1 (1 - x) dx x4 dx 3 a) 3 x2 + - 2x x dx; b) " ; c) ; 3 x3 1 - x x2 + 1 "
3 cos 2x dx x3 + x2 - 1 2x - 5x d) ; e) " dx; f) dx. cos x - sin x x 10x 13.2. Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części obliczyć całki nieoznaczone:
" " a) xe-3x dx; b) x22x dx; c) x arc tg x dx;
x dx arc cos x dx d) ; e) x2 sin x dx; f) " ; cos2 x x + 1
g) ln(x + 1) dx; h) arc cos x dx; i) e2x sin x dx;
j) sin x sin 3x dx; k) sin 3x cos x dx; l) cos x cos 5x dx. 13.3. Stosując odpowiednie podstawienia obliczyć całki nieoznaczone: " "
cos x 1 + 4x cos x dx a) " dx; b) dx; c) (x+1) sin x2 +2x+2 dx; d) " ; x x 1 + sin x
dx dx 5 e) ; f) (5-3x)10 dx; g) x2 5x3+1 dx; h) " ; ch x 2 + x
ln x ex dx 5 sin x dx 2 i) dx; j) ; k) ; l) x3ex dx. x e2x + 1 3-2 cos x 13.4. Obliczyć całki nieoznaczone:
1 a) (|x| + 1) dx; b) min x, x2 dx; c) - x2 dx; d) e|x| dx. Lista 14 14.1. Obliczyć podane całki z ułamków prostych pierwszego rodzaju:
dx dx 5 dx 8 dx a) ; b) ; c) ; d) . (x - 3)7 x + 5 (2 - 7x)3 9x + 20 11 14.2. Obliczyć podane całki z ułamków prostych drugiego rodzaju:
dx (6x + 3) dx (4x + 2) dx a) ; b) ; c) ; x2 + 4x + 29 x2 + x + 4 x2 - 10x + 29
2 a) f(x) = xe-x; b) f(x) = ln 1 + x2 ; c) f(x) = x - x3 - 4 ln |x|; 3 1 1 d) f(x) = sin x + sin 2x; e) f(x) = ; f) f(x) = cos x. 8 1 - x2 15.2. Korzystając z twierdzenia Lagrange a uzasadnić nierówności: b a) |arc tg a - arc tg b| |a - b| dla a, b " R; b) ln < b - a dla 1 a < b; a x c) x arc sin x " dla 0 x < 1; d) ex > ex dla x > 1. 1 - x2 15.3. Napisać wzory Taylora z resztą Lagrange a dla podanych funkcji f, punktów x0 oraz n : 1 a) f(x) = x3, x0 = -1, n = 4; b) f(x) = , x0 = 1, n = 2; c) f(x) = sin 2x, x0 = Ą, n = 3; x2 1 d) f(x) = e-x, x0 = 0, n = 5; e) f(x) = , x0 = 2, n = 3; f) f(x) = ln x, x0 = e, n = 4. x Opracowanie: dr Marian Gewert, doc. Zbigniew Skoczylas Wrocław, wrzesień 2010 12