Wykres linii ciśnień i linii energii (wykres Ancony) W wykorzystywanej przez nas do rozwiązywania problemów inżynierskich postaci równania Bernoulliego występuje wysokość prędkości (k=2/2g), wysokość ciśnienia p/ł oraz wysokość położenia z. Daje to możliwość przedstawienia poszczególnych wyrażeń w równaniu Bernoulliego w sposób graficzny. 1. Wprowadzenie Rzędna linii ciśnień w kolejnych przekrojach powstaje poprzez sumowanie wysokości położenia z oraz wysokości ciśnienia p/ł. Rzędna linii energii jest sumą z, p/ł oraz 2/2g. Wynika z tego, że rzędne linie ciśnień i linię energii w poszczególnych przekrojach oddalone są od siebie o k=2/2g. W przypadku, gdy prędkość przepływu pomiędzy przekrojami jest jednakowa to linie ciśnień i energii są do siebie równoległe (Rys. 1). W przeciwnym przypadku d1 `" d2 dlatego 1 `" 2 i w konsekwencji 12/2g `" 22/2g. Rys.1. Wykres linii ciśnień i linii energii średnica przewodu d = const Rys.2. Wykres linii ciśnień i linii energii średnica przewodu d `" const Zależność pomiędzy średnicami przekrojów d1 i d2 oraz prędkościami przepływu wody w przekrojach 1 `" 2 wynika z równania ciągłości przepływu: Q1 = Q2 (1) Wynika z niego, że jeżeli pomiędzy przekrojami 1-1 i 2-2 brak jest ubytków cieczy, nie ma też dodatkowego zródła zasilania to ile cieczy wpływa tyle samo wypływa. Wiemy, że przepływ jest iloczynem pola powierzchni przekroju strugi F i prędkości średniej w przekroju ; 1F1 = 2F2 (1) Z równania ciągłości przepływu wynika, że im większe pole powierzchni przekroju tym prędkość przepływu mniejsza. Zwężenie przekroju prowadzi do zwiększenia prędkości przepływu cieczy. 2.1. Przykład Wykreślić linię ciśnień i linie energii dla schematu pokazanego na Rys. 3. Przewody wodociągowe w normalnych warunkach utrzymania. Rys.3. Schemat obliczeniowy Pierwszej kolejności obliczymy prędkości przepływu wody: na odcinkach o średnicy d1 i d2. W tym celu wybierzemy przekroje i przyjmiemy poziom porównawczy oraz napiszemy równanie Bernoulliego (Rys. 4). Rys.4. Przekroje i poziom porównawczy oraz identyfikacja strat miejscowych Dla takich warunków: 0 = 0 1 = ? p0 = patm p1 = patm z0 = 25 m z1 = 0 2 patm 1 patm 0 + + 25 = + + 0 + "hstr ł 2g ł 12 25 = + "hstr 2g Czas na obliczenie sumy strat: Łhstr = hl + hm Straty na długości przewodu czy też miejscowe są iloczynem współczynnika straty oraz wysokości prędkości, która tą stratę wywołuje. Na długości rurociągu następuje zmiana jego średnicy dlatego występuje zróżnicowanie prędkości; inna prędkość będzie w przewodzie o średnicy d1 (prędkość 1) a inna w przewodzie o średnicy d2 (prędkość, którą oznaczymy 2). 1. Straty na długości: 2 2 10 + 8 + 25 + 74 + 6 1 30 2 hl = 1 + 2 [m] 0, 0,32g 1444205 44432g 1208 l1 l 2 Dla normalnych warunków eksploatacji współczynnik szorstkości ma wartość n = 0,012 (zródło: Sobota J., 1994, Hydraulika, t. II, str. 105, Tab. 7.3). Obliczymy wartości współczynników oporów liniowych 1 i 2 oraz współczynniki strat na długości l1 oraz l2: 0,05 0,08 Rh1 = = 0,0125 m, Rh2 = = 0,0200 m, 4 4 1 1 c1 = 0,01251/6 = 40,15 c2 = 0,021/6 = 43,42 0,012 0,012 8g 8g 1 = = 0,049 2 = = 0,042 40,152 43,422 123 30 l1 = 0,049 =120,54 l 2 = 0,042 =15,75 0,05 0,08 Straty na długości wynoszą: 2 12 2 hl =120,54 +15,75 2g 2g 2. Straty miejscowe: Dla wymienionych miejsc wartości współczynników strat miejscowych odczytano z tablic: 1 = 0,5; wlot o ostrej krawędzi, 2 = 3 = 0,29; kolanko,R/d=1, 90, 4 = 0,37; nagłe rozszerzenie przewodu (przy odniesieniu do prędkości 1) 2 2 2 2 ł łł ł ł d1 łł ł ł 0,05 ł ł = 1 4 = 1 - ł ł śł - ł ł = 0,37 ł śł ł ł ł d2 śł ł ł 0,08 ł ł łł śł ł łł ł ł ł ł Rys.5. Strefy zawirowań przy nagłej zmianie średnicy zwężenie i rozszerzenie przewodu 5 = 0,22; nagłe zwężenie przewodu przy odniesieniu do prędkości 1 - 5!=0,7 (Troskolański A. T., 1967, Hydromechanika, str. 377). 2 2 1 ł 1 ł ł 5 = 0 + -1ł = 0,04 + ł -1ł = 0,22 ł ł ł ł 0,7 ł5! łł ł łł 6 = 0,6; zawór grzybkowy wolnoprzelotowy (Troskolański A. T., 1967, Hydromechanika, str. 382), 7 = 0. m = 0,5 + 2 " 0,29 + 0,37 + 0,22 + 0,6 = 2,27 Straty miejscowe opisane są równaniem; 2 1 hm =2,27 2g 2 2 2 12 2 12 1 2 Suma strat = 120,54 + 15,75 + 2,27 = 122,81 + 15,75 "hstr 2g 2g 2g 2g 2g Wracamy do równania Bernoulliego podstawiając wyliczoną sumę strat: 2 2 1 12 2 25 = +122,81 +15,75 2g 2g 2g 2 2 1 2 25 = 123,81 +15,75 2g 2g Otrzymaliśmy jedno równanie z dwoma niewiadomymi. Można je rozwiązać wykorzystując liczby urojone :& lub poszukać równania, które z dotychczasowym utworzy układ równań. Równaniem, które łączy ze sobą wielkości 1 i 2 jest równanie ciągłości przepływu. Będzie sporo przekształceń ale wydaje się to niczym w porównaniu z rozwiązaniem równań z liczbami urojonymi. 2 2 ńł 1 2 ł25 = 123,81 +15,75 2g 2g ł ł F1 = 2F2 ół 1 2 Ąd12 Ąd2 4 1 =2 Ą 4 4 2 1d12 =2d2 2 2d2 1 = d12 2 2 ł ł ł2d2 ł ł ł 2 d12 2 25 = 123,81ł łł +15,75 2g 2g 4 2 ł ł d2 2 ł ł 25 = 4 ł123,81d +15,75ł 2g 2g ł 1 łł 4 ł ł d2 2 ł ł 50g = 4 ł123,81d +15,75ł2 ł 1 łł 50g 2 = = 0,770 m/s ł ł 0,084 ł ł 4 ł123,760,05 +15,75ł ł łł 0,77 " 0,082 1 = = 1,971 m/s 0,052 Rzędna linii ciśnień i linii energii zostaną wyliczone a wartości zestawione w Tab. 1. 1,9712 0,7702 Wysokość prędkości k1 = = 0,198 m, k1 = = 0,030 m. 2g 2g Rys.6. Wykres linii ciśnień (piezometrycznych) i linii energii (schemat) Rys. 6 przedstawia schematyczny wykres linii ciśnień (piezometrycznych) i linii energii (bez zachowania skali). Dokładne wartości rzędnych zestawiona w Tab. 1. Należy zwrócić uwagę na przebieg linii ciśnień w miejscu zmiany średnicy rurociągu. W miejscu gdzie następuje rozszerzenie przekroju następuje wzrost wartości ciśnienia. Tab. 1. Rzędne linii ciśnień i linii energii w kolejnych przekrojach rurociągu Rzędna linii Rzędna linii Węzeł Wysokość strat [m] ciśnień [m] energii [m] Zbiornik 25,000 25,000 1k1 = 0,5 " 0,198 = 0,099 Strata na wlocie A 24,703 24,901 10 Strata na 0,049 k1 = 9,8" 0,198 =1,940 długości 0,05 B 22,763 22,961 Strata na 2k1 = 0,29" 0,198 = 0,057 kolanku B2 22,706 22,904 8 Strata na 0,049 k1 = 7,84 " 0,198 =1,552 długości 0,05 C 21,154 21,352 Strata na 3k1 = 0,29 " 0,198 = 0,057 kolanku C2 21,097 21,295 25 Strata na 0,049 k1 = 24,5" 0,198 = 4,851 długości 0,05 D 16,246 16,444 Strata 4k1 = 0,37 " 0,198 = 0,073 rozszerzeniu D2 16,341 16,371 30 Strata na 0,042 k2 =15,75" 0,030 = 0,473 długości 0,08 E 15,868 15,898 Strata na 5k1 = 0,22 " 0,198 = 0,044 zwężeniu E2 15,656 15,854 74 Strata na 0,049 k1 = 72,52 " 0,198 =14,373 długości 0,05 F 1,283 1,481 Strata na 6k1 = 0,6 " 0,198 = 0,119 zaworze F2 1,164 1,362 6 Strata na 0,049 k1 = 5,88" 0,198 =1,164 długości 0,05 G 0,000 0,198 Literatura: Kubrak J.,1998, Hydraulika techniczna, Wyd. SGGW, Warszawa, Kubrak E., Kubrak J., 2004, Hydraulika techniczna. Przykłady obliczeń, Wyd. SGGW, Warszawa Lewandowski J.B., 2006, Mechanika płynów, Wyd. AR w Poznaniu, Orzechowski Z., Prywer J., Zarzycki R., 2001, Mechanika płynów w inżynierii środowiska, WNT, Warszawa, Sobota J., 1994, Hydraulika, t. I i II, AR Wrocław, Troskolański A.T., 1969, Hydromechanika, WNT, Warszawa, Katedra Inżynierii Wodnej, Wydział Inżynierii Środowiska i Geodezji Uniwersytet Rolniczy w Krakowie rmksiaze@cyf-kr.edu.pl