Wykład 10
Witold Obłoza
20 stycznia 2011
POCHODNE
TWIERDZENIE 114
Jeżeli funkcja ciagła f : [a, b] - R jest różniczkowalna w przedziale
(a, b) i nierosnaca ( niemalejaca ) w przedziale (a, b) to "x " (a, b)
f (x) d" 0 ( f (x) e" 0. )
DOWÓD:
Niech f będzie funkcją niemalejącą wówczas dla x > x0 f(x) e" f(x0).
f(x) - f(x0) f(x) - f(x0)
Zatem e" 0 skÄ…d lim e" 0.
x - x0 x - x0
xx+
0
Z istnienia pochodnej f (x0) e" 0.
Dowód dla funkcji nierosnącej jest analogiczny.
POCHODNE
TWIERDZENIE 114
Jeżeli funkcja ciagła f : [a, b] - R jest różniczkowalna w przedziale
(a, b) i nierosnaca ( niemalejaca ) w przedziale (a, b) to "x " (a, b)
f (x) d" 0 ( f (x) e" 0. )
DOWÓD:
Niech f będzie funkcją niemalejącą wówczas dla x > x0 f(x) e" f(x0).
f(x) - f(x0) f(x) - f(x0)
Zatem e" 0 skÄ…d lim e" 0.
x - x0 x - x0
xx+
0
Z istnienia pochodnej f (x0) e" 0.
Dowód dla funkcji nierosnącej jest analogiczny.
POCHODNE
TWIERDZENIE 114
Jeżeli funkcja ciagła f : [a, b] - R jest różniczkowalna w przedziale
(a, b) i nierosnaca ( niemalejaca ) w przedziale (a, b) to "x " (a, b)
f (x) d" 0 ( f (x) e" 0. )
DOWÓD:
Niech f będzie funkcją niemalejącą wówczas dla x > x0 f(x) e" f(x0).
f(x) - f(x0) f(x) - f(x0)
Zatem e" 0 skÄ…d lim e" 0.
x - x0 x - x0
xx+
0
Z istnienia pochodnej f (x0) e" 0.
Dowód dla funkcji nierosnącej jest analogiczny.
POCHODNE
TWIERDZENIE 114
Jeżeli funkcja ciagła f : [a, b] - R jest różniczkowalna w przedziale
(a, b) i nierosnaca ( niemalejaca ) w przedziale (a, b) to "x " (a, b)
f (x) d" 0 ( f (x) e" 0. )
DOWÓD:
Niech f będzie funkcją niemalejącą wówczas dla x > x0 f(x) e" f(x0).
f(x) - f(x0) f(x) - f(x0)
Zatem e" 0 skÄ…d lim e" 0.
x - x0 x - x0
xx+
0
Z istnienia pochodnej f (x0) e" 0.
Dowód dla funkcji nierosnącej jest analogiczny.
POCHODNE
TWIERDZENIE 114
Jeżeli funkcja ciagła f : [a, b] - R jest różniczkowalna w przedziale
(a, b) i nierosnaca ( niemalejaca ) w przedziale (a, b) to "x " (a, b)
f (x) d" 0 ( f (x) e" 0. )
DOWÓD:
Niech f będzie funkcją niemalejącą wówczas dla x > x0 f(x) e" f(x0).
f(x) - f(x0) f(x) - f(x0)
Zatem e" 0 skÄ…d lim e" 0.
x - x0 x - x0
xx+
0
Z istnienia pochodnej f (x0) e" 0.
Dowód dla funkcji nierosnącej jest analogiczny.
POCHODNE
TWIERDZENIE 115 ( Cauchy ego )
Jeżeli funkcje ciagłe f, g : [a, b] - R sa różniczkowalne w przedziale
f(b) - f(a) f (c)
(a, b) i "x " (a, b) g (x) = 0 to "c " (a, b) taki, że = .

g(b) - g(a) g (c)
DOWÓD:
Rozważmy funkcję pomocniczą
f(b) - f(a)
h(x) = f(x) - f(a) - (g(x) - g(a))
g(b) - g(a)
Spełnia ona założenia Twierdzenia Rolle a zatem "c " (a, b) takie, że
g (c) = 0.
f(b) - f(a) f (c)
StÄ…d = .
g(b) - g(a) g (c)
POCHODNE
TWIERDZENIE 115 ( Cauchy ego )
Jeżeli funkcje ciagłe f, g : [a, b] - R sa różniczkowalne w przedziale
f(b) - f(a) f (c)
(a, b) i "x " (a, b) g (x) = 0 to "c " (a, b) taki, że = .

g(b) - g(a) g (c)
DOWÓD:
Rozważmy funkcję pomocniczą
f(b) - f(a)
h(x) = f(x) - f(a) - (g(x) - g(a))
g(b) - g(a)
Spełnia ona założenia Twierdzenia Rolle a zatem "c " (a, b) takie, że
g (c) = 0.
f(b) - f(a) f (c)
StÄ…d = .
g(b) - g(a) g (c)
POCHODNE
TWIERDZENIE 115 ( Cauchy ego )
Jeżeli funkcje ciagłe f, g : [a, b] - R sa różniczkowalne w przedziale
f(b) - f(a) f (c)
(a, b) i "x " (a, b) g (x) = 0 to "c " (a, b) taki, że = .

g(b) - g(a) g (c)
DOWÓD:
Rozważmy funkcję pomocniczą
f(b) - f(a)
h(x) = f(x) - f(a) - (g(x) - g(a))
g(b) - g(a)
Spełnia ona założenia Twierdzenia Rolle a zatem "c " (a, b) takie, że
g (c) = 0.
f(b) - f(a) f (c)
StÄ…d = .
g(b) - g(a) g (c)
POCHODNE
TWIERDZENIE 115 ( Cauchy ego )
Jeżeli funkcje ciagłe f, g : [a, b] - R sa różniczkowalne w przedziale
f(b) - f(a) f (c)
(a, b) i "x " (a, b) g (x) = 0 to "c " (a, b) taki, że = .

g(b) - g(a) g (c)
DOWÓD:
Rozważmy funkcję pomocniczą
f(b) - f(a)
h(x) = f(x) - f(a) - (g(x) - g(a))
g(b) - g(a)
Spełnia ona założenia Twierdzenia Rolle a zatem "c " (a, b) takie, że
g (c) = 0.
f(b) - f(a) f (c)
StÄ…d = .
g(b) - g(a) g (c)
POCHODNE
TWIERDZENIE 116
Niech funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i w tym jego sasiedztwie g(x) = 0, niech lim f(x) = lim g(x) = 0

xx0 xx0
lub lim f(x) = Ä…" oraz lim g(x) = Ä…".
xx0 xx0
f (x) f(x)
Jeżeli istnieje granica lim to istnieje granica lim
xx0 xx0
g (x) g(x)
f(x) f (x)
i lim = lim .
xx0 xx0
g(x) g (x)
DOWÓD:
0
Dla   . Możemy przyjać, że f(x0) = g(x0) = 0.
0
POCHODNE
TWIERDZENIE 116
Niech funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i w tym jego sasiedztwie g(x) = 0, niech lim f(x) = lim g(x) = 0

xx0 xx0
lub lim f(x) = Ä…" oraz lim g(x) = Ä…".
xx0 xx0
f (x) f(x)
Jeżeli istnieje granica lim to istnieje granica lim
xx0 xx0
g (x) g(x)
f(x) f (x)
i lim = lim .
xx0 xx0
g(x) g (x)
DOWÓD:
0
Dla   . Możemy przyjać, że f(x0) = g(x0) = 0.
0
POCHODNE
TWIERDZENIE 116
Niech funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i w tym jego sasiedztwie g(x) = 0, niech lim f(x) = lim g(x) = 0

xx0 xx0
lub lim f(x) = Ä…" oraz lim g(x) = Ä…".
xx0 xx0
f (x) f(x)
Jeżeli istnieje granica lim to istnieje granica lim
xx0 xx0
g (x) g(x)
f(x) f (x)
i lim = lim .
xx0 xx0
g(x) g (x)
DOWÓD:
0
Dla   . Możemy przyjać, że f(x0) = g(x0) = 0.
0
POCHODNE
TWIERDZENIE 116
Niech funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i w tym jego sasiedztwie g(x) = 0, niech lim f(x) = lim g(x) = 0

xx0 xx0
lub lim f(x) = Ä…" oraz lim g(x) = Ä…".
xx0 xx0
f (x) f(x)
Jeżeli istnieje granica lim to istnieje granica lim
xx0 xx0
g (x) g(x)
f(x) f (x)
i lim = lim .
xx0 xx0
g(x) g (x)
DOWÓD:
0
Dla   . Możemy przyjać, że f(x0) = g(x0) = 0.
0
POCHODNE
f(x) f(x) - f(x0) f (c)
Wtedy z Twierdzenia Cauchy ego mamy = = ,
g(x) g(x) - g(x0) g (c)
gdzie c " (x, x0) lub c " (x0, x).
f(x) f (x)
Jeżeli x - x0 to c - x0 zatem lim = lim .
xx0 xx0
g(x) g (x)
UWAGA 117
Niech funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = ", lim g(x) = 0 wówczas
xx0 xx0
f(x)
lim f(x)g(x) = lim .
1
xx0 xx0
g(x)
POCHODNE
f(x) f(x) - f(x0) f (c)
Wtedy z Twierdzenia Cauchy ego mamy = = ,
g(x) g(x) - g(x0) g (c)
gdzie c " (x, x0) lub c " (x0, x).
f(x) f (x)
Jeżeli x - x0 to c - x0 zatem lim = lim .
xx0 xx0
g(x) g (x)
UWAGA 117
Niech funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = ", lim g(x) = 0 wówczas
xx0 xx0
f(x)
lim f(x)g(x) = lim .
1
xx0 xx0
g(x)
POCHODNE
f(x) f(x) - f(x0) f (c)
Wtedy z Twierdzenia Cauchy ego mamy = = ,
g(x) g(x) - g(x0) g (c)
gdzie c " (x, x0) lub c " (x0, x).
f(x) f (x)
Jeżeli x - x0 to c - x0 zatem lim = lim .
xx0 xx0
g(x) g (x)
UWAGA 117
Niech funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = ", lim g(x) = 0 wówczas
xx0 xx0
f(x)
lim f(x)g(x) = lim .
1
xx0 xx0
g(x)
POCHODNE
f(x) f(x) - f(x0) f (c)
Wtedy z Twierdzenia Cauchy ego mamy = = ,
g(x) g(x) - g(x0) g (c)
gdzie c " (x, x0) lub c " (x0, x).
f(x) f (x)
Jeżeli x - x0 to c - x0 zatem lim = lim .
xx0 xx0
g(x) g (x)
UWAGA 117
Niech funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = ", lim g(x) = 0 wówczas
xx0 xx0
f(x)
lim f(x)g(x) = lim .
1
xx0 xx0
g(x)
POCHODNE
f(x) f(x) - f(x0) f (c)
Wtedy z Twierdzenia Cauchy ego mamy = = ,
g(x) g(x) - g(x0) g (c)
gdzie c " (x, x0) lub c " (x0, x).
f(x) f (x)
Jeżeli x - x0 to c - x0 zatem lim = lim .
xx0 xx0
g(x) g (x)
UWAGA 117
Niech funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = ", lim g(x) = 0 wówczas
xx0 xx0
f(x)
lim f(x)g(x) = lim .
1
xx0 xx0
g(x)
POCHODNE
f(x) f(x) - f(x0) f (c)
Wtedy z Twierdzenia Cauchy ego mamy = = ,
g(x) g(x) - g(x0) g (c)
gdzie c " (x, x0) lub c " (x0, x).
f(x) f (x)
Jeżeli x - x0 to c - x0 zatem lim = lim .
xx0 xx0
g(x) g (x)
UWAGA 117
Niech funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = ", lim g(x) = 0 wówczas
xx0 xx0
f(x)
lim f(x)g(x) = lim .
1
xx0 xx0
g(x)
POCHODNE
Niech funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = 0, lim g(x) = 0 wtedy
xx0 xx0
lim f(x)g(x) = lim eg(x)ln f(x).
xx0 xx0
Jeżeli funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = 1, lim g(x) = " to
xx0 xx0
lim f(x)g(x) = lim eg(x)ln f(x).
xx0 xx0
Niech funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = " lim g(x) = 0
xx0 xx0
wówczas lim f(x)g(x) = lim eg(x)ln f(x).
xx0 xx0
POCHODNE
Niech funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = 0, lim g(x) = 0 wtedy
xx0 xx0
lim f(x)g(x) = lim eg(x)ln f(x).
xx0 xx0
Jeżeli funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = 1, lim g(x) = " to
xx0 xx0
lim f(x)g(x) = lim eg(x)ln f(x).
xx0 xx0
Niech funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = " lim g(x) = 0
xx0 xx0
wówczas lim f(x)g(x) = lim eg(x)ln f(x).
xx0 xx0
POCHODNE
Niech funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = 0, lim g(x) = 0 wtedy
xx0 xx0
lim f(x)g(x) = lim eg(x)ln f(x).
xx0 xx0
Jeżeli funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = 1, lim g(x) = " to
xx0 xx0
lim f(x)g(x) = lim eg(x)ln f(x).
xx0 xx0
Niech funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = " lim g(x) = 0
xx0 xx0
wówczas lim f(x)g(x) = lim eg(x)ln f(x).
xx0 xx0
POCHODNE
Niech funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = 0, lim g(x) = 0 wtedy
xx0 xx0
lim f(x)g(x) = lim eg(x)ln f(x).
xx0 xx0
Jeżeli funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = 1, lim g(x) = " to
xx0 xx0
lim f(x)g(x) = lim eg(x)ln f(x).
xx0 xx0
Niech funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = " lim g(x) = 0
xx0 xx0
wówczas lim f(x)g(x) = lim eg(x)ln f(x).
xx0 xx0
POCHODNE
Niech funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = 0, lim g(x) = 0 wtedy
xx0 xx0
lim f(x)g(x) = lim eg(x)ln f(x).
xx0 xx0
Jeżeli funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = 1, lim g(x) = " to
xx0 xx0
lim f(x)g(x) = lim eg(x)ln f(x).
xx0 xx0
Niech funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = " lim g(x) = 0
xx0 xx0
wówczas lim f(x)g(x) = lim eg(x)ln f(x).
xx0 xx0
POCHODNE
Niech funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = 0, lim g(x) = 0 wtedy
xx0 xx0
lim f(x)g(x) = lim eg(x)ln f(x).
xx0 xx0
Jeżeli funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = 1, lim g(x) = " to
xx0 xx0
lim f(x)g(x) = lim eg(x)ln f(x).
xx0 xx0
Niech funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = " lim g(x) = 0
xx0 xx0
wówczas lim f(x)g(x) = lim eg(x)ln f(x).
xx0 xx0
POCHODNE
Niech funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = 0, lim g(x) = 0 wtedy
xx0 xx0
lim f(x)g(x) = lim eg(x)ln f(x).
xx0 xx0
Jeżeli funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = 1, lim g(x) = " to
xx0 xx0
lim f(x)g(x) = lim eg(x)ln f(x).
xx0 xx0
Niech funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = " lim g(x) = 0
xx0 xx0
wówczas lim f(x)g(x) = lim eg(x)ln f(x).
xx0 xx0
POCHODNE
PRZYKA
AD 118
1
lnx
x
lim x · ln x = lim = lim = lim (-x) = 0.
-1
x0 x0 x0 x0
x
x2
lim x·ln x
x0
lim xx = lim ex·ln x = e = e0 = 1.
x0 x0
lntg x
cos x
lim lim
cos 2x 2x·2(-sin
1 lntg x Ä„ Ä„ sin x·cos 2x)
x x
4 4
cos 2x cos 2x
lim tg x = lim e = e = e =
Ä„ Ä„
x x
4 4
1
lim
sin x·cos x·2(-sin 2x)
Ä„ 1
x
4
= e = e-1 = .
e
lntg x
lim cos x·lntg x lim
1
Ä„ Ä„
x x
cos x
2 2
lim (tg x)cos x = lim ecos x·ln tg x = e = e =
Ä„ Ä„
x x
2 2
1
ctg x·
2x
cos cos x
lim lim
Ä„ -sin x 2x
Ä„ -sin
x
2x x 2
2 cos
= e = e = e0 = 1.
POCHODNE
PRZYKA
AD 118
1
lnx
x
lim x · ln x = lim = lim = lim (-x) = 0.
-1
x0 x0 x0 x0
x
x2
lim x·ln x
x0
lim xx = lim ex·ln x = e = e0 = 1.
x0 x0
lntg x
cos x
lim lim
cos 2x 2x·2(-sin
1 lntg x Ä„ Ä„ sin x·cos 2x)
x x
4 4
cos 2x cos 2x
lim tg x = lim e = e = e =
Ä„ Ä„
x x
4 4
1
lim
sin x·cos x·2(-sin 2x)
Ä„ 1
x
4
= e = e-1 = .
e
lntg x
lim cos x·lntg x lim
1
Ä„ Ä„
x x
cos x
2 2
lim (tg x)cos x = lim ecos x·ln tg x = e = e =
Ä„ Ä„
x x
2 2
1
ctg x·
2x
cos cos x
lim lim
Ä„ -sin x 2x
Ä„ -sin
x
2x x 2
2 cos
= e = e = e0 = 1.
POCHODNE
PRZYKA
AD 118
1
lnx
x
lim x · ln x = lim = lim = lim (-x) = 0.
-1
x0 x0 x0 x0
x
x2
lim x·ln x
x0
lim xx = lim ex·ln x = e = e0 = 1.
x0 x0
lntg x
cos x
lim lim
cos 2x 2x·2(-sin
1 lntg x Ä„ Ä„ sin x·cos 2x)
x x
4 4
cos 2x cos 2x
lim tg x = lim e = e = e =
Ä„ Ä„
x x
4 4
1
lim
sin x·cos x·2(-sin 2x)
Ä„ 1
x
4
= e = e-1 = .
e
lntg x
lim cos x·lntg x lim
1
Ä„ Ä„
x x
cos x
2 2
lim (tg x)cos x = lim ecos x·ln tg x = e = e =
Ä„ Ä„
x x
2 2
1
ctg x·
2x
cos cos x
lim lim
Ä„ -sin x 2x
Ä„ -sin
x
2x x 2
2 cos
= e = e = e0 = 1.
POCHODNE
PRZYKA
AD 118
1
lnx
x
lim x · ln x = lim = lim = lim (-x) = 0.
-1
x0 x0 x0 x0
x
x2
lim x·ln x
x0
lim xx = lim ex·ln x = e = e0 = 1.
x0 x0
lntg x
cos x
lim lim
cos 2x 2x·2(-sin
1 lntg x Ä„ Ä„ sin x·cos 2x)
x x
4 4
cos 2x cos 2x
lim tg x = lim e = e = e =
Ä„ Ä„
x x
4 4
1
lim
sin x·cos x·2(-sin 2x)
Ä„ 1
x
4
= e = e-1 = .
e
lntg x
lim cos x·lntg x lim
1
Ä„ Ä„
x x
cos x
2 2
lim (tg x)cos x = lim ecos x·ln tg x = e = e =
Ä„ Ä„
x x
2 2
1
ctg x·
2x
cos cos x
lim lim
Ä„ -sin x 2x
Ä„ -sin
x
2x x 2
2 cos
= e = e = e0 = 1.
POCHODNE
PRZYKA
AD 118
1
lnx
x
lim x · ln x = lim = lim = lim (-x) = 0.
-1
x0 x0 x0 x0
x
x2
lim x·ln x
x0
lim xx = lim ex·ln x = e = e0 = 1.
x0 x0
lntg x
cos x
lim lim
cos 2x 2x·2(-sin
1 lntg x Ä„ Ä„ sin x·cos 2x)
x x
4 4
cos 2x cos 2x
lim tg x = lim e = e = e =
Ä„ Ä„
x x
4 4
1
lim
sin x·cos x·2(-sin 2x)
Ä„ 1
x
4
= e = e-1 = .
e
lntg x
lim cos x·lntg x lim
1
Ä„ Ä„
x x
cos x
2 2
lim (tg x)cos x = lim ecos x·ln tg x = e = e =
Ä„ Ä„
x x
2 2
1
ctg x·
2x
cos cos x
lim lim
Ä„ -sin x 2x
Ä„ -sin
x
2x x 2
2 cos
= e = e = e0 = 1.
POCHODNE
PRZYKA
AD 118
1
lnx
x
lim x · ln x = lim = lim = lim (-x) = 0.
-1
x0 x0 x0 x0
x
x2
lim x·ln x
x0
lim xx = lim ex·ln x = e = e0 = 1.
x0 x0
lntg x
cos x
lim lim
cos 2x 2x·2(-sin
1 lntg x Ä„ Ä„ sin x·cos 2x)
x x
4 4
cos 2x cos 2x
lim tg x = lim e = e = e =
Ä„ Ä„
x x
4 4
1
lim
sin x·cos x·2(-sin 2x)
Ä„ 1
x
4
= e = e-1 = .
e
lntg x
lim cos x·lntg x lim
1
Ä„ Ä„
x x
cos x
2 2
lim (tg x)cos x = lim ecos x·ln tg x = e = e =
Ä„ Ä„
x x
2 2
1
ctg x·
2x
cos cos x
lim lim
Ä„ -sin x 2x
Ä„ -sin
x
2x x 2
2 cos
= e = e = e0 = 1.
POCHODNE
PRZYKA
AD 118
1
lnx
x
lim x · ln x = lim = lim = lim (-x) = 0.
-1
x0 x0 x0 x0
x
x2
lim x·ln x
x0
lim xx = lim ex·ln x = e = e0 = 1.
x0 x0
lntg x
cos x
lim lim
cos 2x 2x·2(-sin
1 lntg x Ä„ Ä„ sin x·cos 2x)
x x
4 4
cos 2x cos 2x
lim tg x = lim e = e = e =
Ä„ Ä„
x x
4 4
1
lim
sin x·cos x·2(-sin 2x)
Ä„ 1
x
4
= e = e-1 = .
e
lntg x
lim cos x·lntg x lim
1
Ä„ Ä„
x x
cos x
2 2
lim (tg x)cos x = lim ecos x·ln tg x = e = e =
Ä„ Ä„
x x
2 2
1
ctg x·
2x
cos cos x
lim lim
Ä„ -sin x 2x
Ä„ -sin
x
2x x 2
2 cos
= e = e = e0 = 1.
POCHODNE
PRZYKA
AD 118
1
lnx
x
lim x · ln x = lim = lim = lim (-x) = 0.
-1
x0 x0 x0 x0
x
x2
lim x·ln x
x0
lim xx = lim ex·ln x = e = e0 = 1.
x0 x0
lntg x
cos x
lim lim
cos 2x 2x·2(-sin
1 lntg x Ä„ Ä„ sin x·cos 2x)
x x
4 4
cos 2x cos 2x
lim tg x = lim e = e = e =
Ä„ Ä„
x x
4 4
1
lim
sin x·cos x·2(-sin 2x)
Ä„ 1
x
4
= e = e-1 = .
e
lntg x
lim cos x·lntg x lim
1
Ä„ Ä„
x x
cos x
2 2
lim (tg x)cos x = lim ecos x·ln tg x = e = e =
Ä„ Ä„
x x
2 2
1
ctg x·
2x
cos cos x
lim lim
Ä„ -sin x 2x
Ä„ -sin
x
2x x 2
2 cos
= e = e = e0 = 1.
POCHODNE
PRZYKA
AD 118
1
lnx
x
lim x · ln x = lim = lim = lim (-x) = 0.
-1
x0 x0 x0 x0
x
x2
lim x·ln x
x0
lim xx = lim ex·ln x = e = e0 = 1.
x0 x0
lntg x
cos x
lim lim
cos 2x 2x·2(-sin
1 lntg x Ä„ Ä„ sin x·cos 2x)
x x
4 4
cos 2x cos 2x
lim tg x = lim e = e = e =
Ä„ Ä„
x x
4 4
1
lim
sin x·cos x·2(-sin 2x)
Ä„ 1
x
4
= e = e-1 = .
e
lntg x
lim cos x·lntg x lim
1
Ä„ Ä„
x x
cos x
2 2
lim (tg x)cos x = lim ecos x·ln tg x = e = e =
Ä„ Ä„
x x
2 2
1
ctg x·
2x
cos cos x
lim lim
Ä„ -sin x 2x
Ä„ -sin
x
2x x 2
2 cos
= e = e = e0 = 1.
POCHODNE
PRZYKA
AD 118
1
lnx
x
lim x · ln x = lim = lim = lim (-x) = 0.
-1
x0 x0 x0 x0
x
x2
lim x·ln x
x0
lim xx = lim ex·ln x = e = e0 = 1.
x0 x0
lntg x
cos x
lim lim
cos 2x 2x·2(-sin
1 lntg x Ä„ Ä„ sin x·cos 2x)
x x
4 4
cos 2x cos 2x
lim tg x = lim e = e = e =
Ä„ Ä„
x x
4 4
1
lim
sin x·cos x·2(-sin 2x)
Ä„ 1
x
4
= e = e-1 = .
e
lntg x
lim cos x·lntg x lim
1
Ä„ Ä„
x x
cos x
2 2
lim (tg x)cos x = lim ecos x·ln tg x = e = e =
Ä„ Ä„
x x
2 2
1
ctg x·
2x
cos cos x
lim lim
Ä„ -sin x 2x
Ä„ -sin
x
2x x 2
2 cos
= e = e = e0 = 1.
POCHODNE
PRZYKA
AD 118
1
lnx
x
lim x · ln x = lim = lim = lim (-x) = 0.
-1
x0 x0 x0 x0
x
x2
lim x·ln x
x0
lim xx = lim ex·ln x = e = e0 = 1.
x0 x0
lntg x
cos x
lim lim
cos 2x 2x·2(-sin
1 lntg x Ä„ Ä„ sin x·cos 2x)
x x
4 4
cos 2x cos 2x
lim tg x = lim e = e = e =
Ä„ Ä„
x x
4 4
1
lim
sin x·cos x·2(-sin 2x)
Ä„ 1
x
4
= e = e-1 = .
e
lntg x
lim cos x·lntg x lim
1
Ä„ Ä„
x x
cos x
2 2
lim (tg x)cos x = lim ecos x·ln tg x = e = e =
Ä„ Ä„
x x
2 2
1
ctg x·
2x
cos cos x
lim lim
Ä„ -sin x 2x
Ä„ -sin
x
2x x 2
2 cos
= e = e = e0 = 1.
POCHODNE
PRZYKA
AD 118
1
lnx
x
lim x · ln x = lim = lim = lim (-x) = 0.
-1
x0 x0 x0 x0
x
x2
lim x·ln x
x0
lim xx = lim ex·ln x = e = e0 = 1.
x0 x0
lntg x
cos x
lim lim
cos 2x 2x·2(-sin
1 lntg x Ä„ Ä„ sin x·cos 2x)
x x
4 4
cos 2x cos 2x
lim tg x = lim e = e = e =
Ä„ Ä„
x x
4 4
1
lim
sin x·cos x·2(-sin 2x)
Ä„ 1
x
4
= e = e-1 = .
e
lntg x
lim cos x·lntg x lim
1
Ä„ Ä„
x x
cos x
2 2
lim (tg x)cos x = lim ecos x·ln tg x = e = e =
Ä„ Ä„
x x
2 2
1
ctg x·
2x
cos cos x
lim lim
Ä„ -sin x 2x
Ä„ -sin
x
2x x 2
2 cos
= e = e = e0 = 1.
POCHODNE
PRZYKA
AD 118
1
lnx
x
lim x · ln x = lim = lim = lim (-x) = 0.
-1
x0 x0 x0 x0
x
x2
lim x·ln x
x0
lim xx = lim ex·ln x = e = e0 = 1.
x0 x0
lntg x
cos x
lim lim
cos 2x 2x·2(-sin
1 lntg x Ä„ Ä„ sin x·cos 2x)
x x
4 4
cos 2x cos 2x
lim tg x = lim e = e = e =
Ä„ Ä„
x x
4 4
1
lim
sin x·cos x·2(-sin 2x)
Ä„ 1
x
4
= e = e-1 = .
e
lntg x
lim cos x·lntg x lim
1
Ä„ Ä„
x x
cos x
2 2
lim (tg x)cos x = lim ecos x·ln tg x = e = e =
Ä„ Ä„
x x
2 2
1
ctg x·
2x
cos cos x
lim lim
Ä„ -sin x 2x
Ä„ -sin
x
2x x 2
2 cos
= e = e = e0 = 1.
POCHODNE
PRZYKA
AD 118
1
lnx
x
lim x · ln x = lim = lim = lim (-x) = 0.
-1
x0 x0 x0 x0
x
x2
lim x·ln x
x0
lim xx = lim ex·ln x = e = e0 = 1.
x0 x0
lntg x
cos x
lim lim
cos 2x 2x·2(-sin
1 lntg x Ä„ Ä„ sin x·cos 2x)
x x
4 4
cos 2x cos 2x
lim tg x = lim e = e = e =
Ä„ Ä„
x x
4 4
1
lim
sin x·cos x·2(-sin 2x)
Ä„ 1
x
4
= e = e-1 = .
e
lntg x
lim cos x·lntg x lim
1
Ä„ Ä„
x x
cos x
2 2
lim (tg x)cos x = lim ecos x·ln tg x = e = e =
Ä„ Ä„
x x
2 2
1
ctg x·
2x
cos cos x
lim lim
Ä„ -sin x 2x
Ä„ -sin
x
2x x 2
2 cos
= e = e = e0 = 1.
POCHODNE
PRZYKA
AD 118
1
lnx
x
lim x · ln x = lim = lim = lim (-x) = 0.
-1
x0 x0 x0 x0
x
x2
lim x·ln x
x0
lim xx = lim ex·ln x = e = e0 = 1.
x0 x0
lntg x
cos x
lim lim
cos 2x 2x·2(-sin
1 lntg x Ä„ Ä„ sin x·cos 2x)
x x
4 4
cos 2x cos 2x
lim tg x = lim e = e = e =
Ä„ Ä„
x x
4 4
1
lim
sin x·cos x·2(-sin 2x)
Ä„ 1
x
4
= e = e-1 = .
e
lntg x
lim cos x·lntg x lim
1
Ä„ Ä„
x x
cos x
2 2
lim (tg x)cos x = lim ecos x·ln tg x = e = e =
Ä„ Ä„
x x
2 2
1
ctg x·
2x
cos cos x
lim lim
Ä„ -sin x 2x
Ä„ -sin
x
2x x 2
2 cos
= e = e = e0 = 1.
POCHODNE
PRZYKA
AD 118
1
lnx
x
lim x · ln x = lim = lim = lim (-x) = 0.
-1
x0 x0 x0 x0
x
x2
lim x·ln x
x0
lim xx = lim ex·ln x = e = e0 = 1.
x0 x0
lntg x
cos x
lim lim
cos 2x 2x·2(-sin
1 lntg x Ä„ Ä„ sin x·cos 2x)
x x
4 4
cos 2x cos 2x
lim tg x = lim e = e = e =
Ä„ Ä„
x x
4 4
1
lim
sin x·cos x·2(-sin 2x)
Ä„ 1
x
4
= e = e-1 = .
e
lntg x
lim cos x·lntg x lim
1
Ä„ Ä„
x x
cos x
2 2
lim (tg x)cos x = lim ecos x·ln tg x = e = e =
Ä„ Ä„
x x
2 2
1
ctg x·
2x
cos cos x
lim lim
Ä„ -sin x 2x
Ä„ -sin
x
2x x 2
2 cos
= e = e = e0 = 1.
POCHODNE
PRZYKA
AD 118
1
lnx
x
lim x · ln x = lim = lim = lim (-x) = 0.
-1
x0 x0 x0 x0
x
x2
lim x·ln x
x0
lim xx = lim ex·ln x = e = e0 = 1.
x0 x0
lntg x
cos x
lim lim
cos 2x 2x·2(-sin
1 lntg x Ä„ Ä„ sin x·cos 2x)
x x
4 4
cos 2x cos 2x
lim tg x = lim e = e = e =
Ä„ Ä„
x x
4 4
1
lim
sin x·cos x·2(-sin 2x)
Ä„ 1
x
4
= e = e-1 = .
e
lntg x
lim cos x·lntg x lim
1
Ä„ Ä„
x x
cos x
2 2
lim (tg x)cos x = lim ecos x·ln tg x = e = e =
Ä„ Ä„
x x
2 2
1
ctg x·
2x
cos cos x
lim lim
Ä„ -sin x 2x
Ä„ -sin
x
2x x 2
2 cos
= e = e = e0 = 1.
POCHODNE
PRZYKA
AD 118
1
lnx
x
lim x · ln x = lim = lim = lim (-x) = 0.
-1
x0 x0 x0 x0
x
x2
lim x·ln x
x0
lim xx = lim ex·ln x = e = e0 = 1.
x0 x0
lntg x
cos x
lim lim
cos 2x 2x·2(-sin
1 lntg x Ä„ Ä„ sin x·cos 2x)
x x
4 4
cos 2x cos 2x
lim tg x = lim e = e = e =
Ä„ Ä„
x x
4 4
1
lim
sin x·cos x·2(-sin 2x)
Ä„ 1
x
4
= e = e-1 = .
e
lntg x
lim cos x·lntg x lim
1
Ä„ Ä„
x x
cos x
2 2
lim (tg x)cos x = lim ecos x·ln tg x = e = e =
Ä„ Ä„
x x
2 2
1
ctg x·
2x
cos cos x
lim lim
Ä„ -sin x 2x
Ä„ -sin
x
2x x 2
2 cos
= e = e = e0 = 1.
POCHODNE
PRZYKA
AD 118
1
lnx
x
lim x · ln x = lim = lim = lim (-x) = 0.
-1
x0 x0 x0 x0
x
x2
lim x·ln x
x0
lim xx = lim ex·ln x = e = e0 = 1.
x0 x0
lntg x
cos x
lim lim
cos 2x 2x·2(-sin
1 lntg x Ä„ Ä„ sin x·cos 2x)
x x
4 4
cos 2x cos 2x
lim tg x = lim e = e = e =
Ä„ Ä„
x x
4 4
1
lim
sin x·cos x·2(-sin 2x)
Ä„ 1
x
4
= e = e-1 = .
e
lntg x
lim cos x·lntg x lim
1
Ä„ Ä„
x x
cos x
2 2
lim (tg x)cos x = lim ecos x·ln tg x = e = e =
Ä„ Ä„
x x
2 2
1
ctg x·
2x
cos cos x
lim lim
Ä„ -sin x 2x
Ä„ -sin
x
2x x 2
2 cos
= e = e = e0 = 1.
POCHODNE
PRZYKA
AD 118
1
lnx
x
lim x · ln x = lim = lim = lim (-x) = 0.
-1
x0 x0 x0 x0
x
x2
lim x·ln x
x0
lim xx = lim ex·ln x = e = e0 = 1.
x0 x0
lntg x
cos x
lim lim
cos 2x 2x·2(-sin
1 lntg x Ä„ Ä„ sin x·cos 2x)
x x
4 4
cos 2x cos 2x
lim tg x = lim e = e = e =
Ä„ Ä„
x x
4 4
1
lim
sin x·cos x·2(-sin 2x)
Ä„ 1
x
4
= e = e-1 = .
e
lntg x
lim cos x·lntg x lim
1
Ä„ Ä„
x x
cos x
2 2
lim (tg x)cos x = lim ecos x·ln tg x = e = e =
Ä„ Ä„
x x
2 2
1
ctg x·
2x
cos cos x
lim lim
Ä„ -sin x 2x
Ä„ -sin
x
2x x 2
2 cos
= e = e = e0 = 1.
POCHODNE
PRZYKA
AD 118
1
lnx
x
lim x · ln x = lim = lim = lim (-x) = 0.
-1
x0 x0 x0 x0
x
x2
lim x·ln x
x0
lim xx = lim ex·ln x = e = e0 = 1.
x0 x0
lntg x
cos x
lim lim
cos 2x 2x·2(-sin
1 lntg x Ä„ Ä„ sin x·cos 2x)
x x
4 4
cos 2x cos 2x
lim tg x = lim e = e = e =
Ä„ Ä„
x x
4 4
1
lim
sin x·cos x·2(-sin 2x)
Ä„ 1
x
4
= e = e-1 = .
e
lntg x
lim cos x·lntg x lim
1
Ä„ Ä„
x x
cos x
2 2
lim (tg x)cos x = lim ecos x·ln tg x = e = e =
Ä„ Ä„
x x
2 2
1
ctg x·
2x
cos cos x
lim lim
Ä„ -sin x 2x
Ä„ -sin
x
2x x 2
2 cos
= e = e = e0 = 1.
POCHODNE
TWIERDZENIE 119 ( Taylora z resztÄ… Lagrange a )
Niech funkcja f : [a, b] - R jest klasy Cn-1 w przedziale [a, b] i
"x " (a, b) "fn(x) wtedy "c " (a, b) taki, że
f (a) f(n-1)(a)
f(b) = f(a)+f (a)(b-a)+ (b-a)2+· · ·+ (b-a)n-1+Rn,
2! (n - 1)!
f(n)(c)
gdzie Rn = (b - a)n.
n!
DOWÓD:
Rozważmy funkcję daną wzorem
n-1
f(k)(x)
h(x) = f(b) - f(x) - (b - x)k.
k!
k=1
POCHODNE
TWIERDZENIE 119 ( Taylora z resztÄ… Lagrange a )
Niech funkcja f : [a, b] - R jest klasy Cn-1 w przedziale [a, b] i
"x " (a, b) "fn(x) wtedy "c " (a, b) taki, że
f (a) f(n-1)(a)
f(b) = f(a)+f (a)(b-a)+ (b-a)2+· · ·+ (b-a)n-1+Rn,
2! (n - 1)!
f(n)(c)
gdzie Rn = (b - a)n.
n!
DOWÓD:
Rozważmy funkcję daną wzorem
n-1
f(k)(x)
h(x) = f(b) - f(x) - (b - x)k.
k!
k=1
POCHODNE
TWIERDZENIE 119 ( Taylora z resztÄ… Lagrange a )
Niech funkcja f : [a, b] - R jest klasy Cn-1 w przedziale [a, b] i
"x " (a, b) "fn(x) wtedy "c " (a, b) taki, że
f (a) f(n-1)(a)
f(b) = f(a)+f (a)(b-a)+ (b-a)2+· · ·+ (b-a)n-1+Rn,
2! (n - 1)!
f(n)(c)
gdzie Rn = (b - a)n.
n!
DOWÓD:
Rozważmy funkcję daną wzorem
n-1
f(k)(x)
h(x) = f(b) - f(x) - (b - x)k.
k!
k=1
POCHODNE
TWIERDZENIE 119 ( Taylora z resztÄ… Lagrange a )
Niech funkcja f : [a, b] - R jest klasy Cn-1 w przedziale [a, b] i
"x " (a, b) "fn(x) wtedy "c " (a, b) taki, że
f (a) f(n-1)(a)
f(b) = f(a)+f (a)(b-a)+ (b-a)2+· · ·+ (b-a)n-1+Rn,
2! (n - 1)!
f(n)(c)
gdzie Rn = (b - a)n.
n!
DOWÓD:
Rozważmy funkcję daną wzorem
n-1
f(k)(x)
h(x) = f(b) - f(x) - (b - x)k.
k!
k=1
POCHODNE
n-1
f(k)(x)
h(x) = f(b) - f(x) - (b - x)k.
k!
k=1
n-1 n-1
f(k)(x) f(k+1)(x)
h (x) = -f (x) + (b - x)k-1 - (b - x)k =
(k - 1)! k!
k=1 k=1
n-1 n-2
f(k)(x) f(k+1)(x)
= -f (x) + f (x) + (b - x)k-1 - (b - x)k -
(k - 1)! k!
k=2 k=1
f(n)(x)
(b - x)n-1 =
(n - 1)!
n-2 n-2
f(k+1)(x) f(k+1)(x) f(n)(x)
(b - x)k - (b - x)k - (b - x)n-1 =
(k)! k! (n - 1)!
k=1 k=1
f(n)(x)
= - (b - x)n-1.
(n - 1)!
POCHODNE
n-1
f(k)(x)
h(x) = f(b) - f(x) - (b - x)k.
k!
k=1
n-1 n-1
f(k)(x) f(k+1)(x)
h (x) = -f (x) + (b - x)k-1 - (b - x)k =
(k - 1)! k!
k=1 k=1
n-1 n-2
f(k)(x) f(k+1)(x)
= -f (x) + f (x) + (b - x)k-1 - (b - x)k -
(k - 1)! k!
k=2 k=1
f(n)(x)
(b - x)n-1 =
(n - 1)!
n-2 n-2
f(k+1)(x) f(k+1)(x) f(n)(x)
(b - x)k - (b - x)k - (b - x)n-1 =
(k)! k! (n - 1)!
k=1 k=1
f(n)(x)
= - (b - x)n-1.
(n - 1)!
POCHODNE
n-1
f(k)(x)
h(x) = f(b) - f(x) - (b - x)k.
k!
k=1
n-1 n-1
f(k)(x) f(k+1)(x)
h (x) = -f (x) + (b - x)k-1 - (b - x)k =
(k - 1)! k!
k=1 k=1
n-1 n-2
f(k)(x) f(k+1)(x)
= -f (x) + f (x) + (b - x)k-1 - (b - x)k -
(k - 1)! k!
k=2 k=1
f(n)(x)
(b - x)n-1 =
(n - 1)!
n-2 n-2
f(k+1)(x) f(k+1)(x) f(n)(x)
(b - x)k - (b - x)k - (b - x)n-1 =
(k)! k! (n - 1)!
k=1 k=1
f(n)(x)
= - (b - x)n-1.
(n - 1)!
POCHODNE
n-1
f(k)(x)
h(x) = f(b) - f(x) - (b - x)k.
k!
k=1
n-1 n-1
f(k)(x) f(k+1)(x)
h (x) = -f (x) + (b - x)k-1 - (b - x)k =
(k - 1)! k!
k=1 k=1
n-1 n-2
f(k)(x) f(k+1)(x)
= -f (x) + f (x) + (b - x)k-1 - (b - x)k -
(k - 1)! k!
k=2 k=1
f(n)(x)
(b - x)n-1 =
(n - 1)!
n-2 n-2
f(k+1)(x) f(k+1)(x) f(n)(x)
(b - x)k - (b - x)k - (b - x)n-1 =
(k)! k! (n - 1)!
k=1 k=1
f(n)(x)
= - (b - x)n-1.
(n - 1)!
POCHODNE
n-1
f(k)(x)
h(x) = f(b) - f(x) - (b - x)k.
k!
k=1
n-1 n-1
f(k)(x) f(k+1)(x)
h (x) = -f (x) + (b - x)k-1 - (b - x)k =
(k - 1)! k!
k=1 k=1
n-1 n-2
f(k)(x) f(k+1)(x)
= -f (x) + f (x) + (b - x)k-1 - (b - x)k -
(k - 1)! k!
k=2 k=1
f(n)(x)
(b - x)n-1 =
(n - 1)!
n-2 n-2
f(k+1)(x) f(k+1)(x) f(n)(x)
(b - x)k - (b - x)k - (b - x)n-1 =
(k)! k! (n - 1)!
k=1 k=1
f(n)(x)
= - (b - x)n-1.
(n - 1)!
POCHODNE
n-1
f(k)(x)
h(x) = f(b) - f(x) - (b - x)k.
k!
k=1
n-1 n-1
f(k)(x) f(k+1)(x)
h (x) = -f (x) + (b - x)k-1 - (b - x)k =
(k - 1)! k!
k=1 k=1
n-1 n-2
f(k)(x) f(k+1)(x)
= -f (x) + f (x) + (b - x)k-1 - (b - x)k -
(k - 1)! k!
k=2 k=1
f(n)(x)
(b - x)n-1 =
(n - 1)!
n-2 n-2
f(k+1)(x) f(k+1)(x) f(n)(x)
(b - x)k - (b - x)k - (b - x)n-1 =
(k)! k! (n - 1)!
k=1 k=1
f(n)(x)
= - (b - x)n-1.
(n - 1)!
POCHODNE
n-1
f(k)(x)
h(x) = f(b) - f(x) - (b - x)k.
k!
k=1
n-1 n-1
f(k)(x) f(k+1)(x)
h (x) = -f (x) + (b - x)k-1 - (b - x)k =
(k - 1)! k!
k=1 k=1
n-1 n-2
f(k)(x) f(k+1)(x)
= -f (x) + f (x) + (b - x)k-1 - (b - x)k -
(k - 1)! k!
k=2 k=1
f(n)(x)
(b - x)n-1 =
(n - 1)!
n-2 n-2
f(k+1)(x) f(k+1)(x) f(n)(x)
(b - x)k - (b - x)k - (b - x)n-1 =
(k)! k! (n - 1)!
k=1 k=1
f(n)(x)
= - (b - x)n-1.
(n - 1)!
POCHODNE
n-1
f(k)(x)
h(x) = f(b) - f(x) - (b - x)k.
k!
k=1
n-1 n-1
f(k)(x) f(k+1)(x)
h (x) = -f (x) + (b - x)k-1 - (b - x)k =
(k - 1)! k!
k=1 k=1
n-1 n-2
f(k)(x) f(k+1)(x)
= -f (x) + f (x) + (b - x)k-1 - (b - x)k -
(k - 1)! k!
k=2 k=1
f(n)(x)
(b - x)n-1 =
(n - 1)!
n-2 n-2
f(k+1)(x) f(k+1)(x) f(n)(x)
(b - x)k - (b - x)k - (b - x)n-1 =
(k)! k! (n - 1)!
k=1 k=1
f(n)(x)
= - (b - x)n-1.
(n - 1)!
POCHODNE
n-1
f(k)(x)
h(x) = f(b) - f(x) - (b - x)k.
k!
k=1
n-1 n-1
f(k)(x) f(k+1)(x)
h (x) = -f (x) + (b - x)k-1 - (b - x)k =
(k - 1)! k!
k=1 k=1
n-1 n-2
f(k)(x) f(k+1)(x)
= -f (x) + f (x) + (b - x)k-1 - (b - x)k -
(k - 1)! k!
k=2 k=1
f(n)(x)
(b - x)n-1 =
(n - 1)!
n-2 n-2
f(k+1)(x) f(k+1)(x) f(n)(x)
(b - x)k - (b - x)k - (b - x)n-1 =
(k)! k! (n - 1)!
k=1 k=1
f(n)(x)
= - (b - x)n-1.
(n - 1)!
POCHODNE
n-1
f(k)(x)
h(x) = f(b) - f(x) - (b - x)k.
k!
k=1
n-1 n-1
f(k)(x) f(k+1)(x)
h (x) = -f (x) + (b - x)k-1 - (b - x)k =
(k - 1)! k!
k=1 k=1
n-1 n-2
f(k)(x) f(k+1)(x)
= -f (x) + f (x) + (b - x)k-1 - (b - x)k -
(k - 1)! k!
k=2 k=1
f(n)(x)
(b - x)n-1 =
(n - 1)!
n-2 n-2
f(k+1)(x) f(k+1)(x) f(n)(x)
(b - x)k - (b - x)k - (b - x)n-1 =
(k)! k! (n - 1)!
k=1 k=1
f(n)(x)
= - (b - x)n-1.
(n - 1)!
POCHODNE
h(a)
Niech H(x) = h(x) - (b - x)n.
(b - a)n
Funkcja H spełnia w [a, b] założenia twierdzenia Rolle a.
Istnieje zatem c " (a, b) taki, że H (c) = 0.
h(a)
Ale H (x) = h (x) + n (b - x)n-1.
(b - a)n
h(a)
Mamy więc 0 = H (c) = h (c) + n (b - c)n-1 =
(b - a)n
f(n)(c) h(a)
= - (b - c)n + n (b - c)n-1.
n! (b - a)n
f(n)(x) h(a)
StÄ…d (b - c)n-1 = n (b - c)n-1.
(n - 1)! (b - a)n
POCHODNE
h(a)
Niech H(x) = h(x) - (b - x)n.
(b - a)n
Funkcja H spełnia w [a, b] założenia twierdzenia Rolle a.
Istnieje zatem c " (a, b) taki, że H (c) = 0.
h(a)
Ale H (x) = h (x) + n (b - x)n-1.
(b - a)n
h(a)
Mamy więc 0 = H (c) = h (c) + n (b - c)n-1 =
(b - a)n
f(n)(c) h(a)
= - (b - c)n + n (b - c)n-1.
n! (b - a)n
f(n)(x) h(a)
StÄ…d (b - c)n-1 = n (b - c)n-1.
(n - 1)! (b - a)n
POCHODNE
h(a)
Niech H(x) = h(x) - (b - x)n.
(b - a)n
Funkcja H spełnia w [a, b] założenia twierdzenia Rolle a.
Istnieje zatem c " (a, b) taki, że H (c) = 0.
h(a)
Ale H (x) = h (x) + n (b - x)n-1.
(b - a)n
h(a)
Mamy więc 0 = H (c) = h (c) + n (b - c)n-1 =
(b - a)n
f(n)(c) h(a)
= - (b - c)n + n (b - c)n-1.
n! (b - a)n
f(n)(x) h(a)
StÄ…d (b - c)n-1 = n (b - c)n-1.
(n - 1)! (b - a)n
POCHODNE
h(a)
Niech H(x) = h(x) - (b - x)n.
(b - a)n
Funkcja H spełnia w [a, b] założenia twierdzenia Rolle a.
Istnieje zatem c " (a, b) taki, że H (c) = 0.
h(a)
Ale H (x) = h (x) + n (b - x)n-1.
(b - a)n
h(a)
Mamy więc 0 = H (c) = h (c) + n (b - c)n-1 =
(b - a)n
f(n)(c) h(a)
= - (b - c)n + n (b - c)n-1.
n! (b - a)n
f(n)(x) h(a)
StÄ…d (b - c)n-1 = n (b - c)n-1.
(n - 1)! (b - a)n
POCHODNE
h(a)
Niech H(x) = h(x) - (b - x)n.
(b - a)n
Funkcja H spełnia w [a, b] założenia twierdzenia Rolle a.
Istnieje zatem c " (a, b) taki, że H (c) = 0.
h(a)
Ale H (x) = h (x) + n (b - x)n-1.
(b - a)n
h(a)
Mamy więc 0 = H (c) = h (c) + n (b - c)n-1 =
(b - a)n
f(n)(c) h(a)
= - (b - c)n + n (b - c)n-1.
n! (b - a)n
f(n)(x) h(a)
StÄ…d (b - c)n-1 = n (b - c)n-1.
(n - 1)! (b - a)n
POCHODNE
h(a)
Niech H(x) = h(x) - (b - x)n.
(b - a)n
Funkcja H spełnia w [a, b] założenia twierdzenia Rolle a.
Istnieje zatem c " (a, b) taki, że H (c) = 0.
h(a)
Ale H (x) = h (x) + n (b - x)n-1.
(b - a)n
h(a)
Mamy więc 0 = H (c) = h (c) + n (b - c)n-1 =
(b - a)n
f(n)(c) h(a)
= - (b - c)n + n (b - c)n-1.
n! (b - a)n
f(n)(x) h(a)
StÄ…d (b - c)n-1 = n (b - c)n-1.
(n - 1)! (b - a)n
POCHODNE
h(a)
Niech H(x) = h(x) - (b - x)n.
(b - a)n
Funkcja H spełnia w [a, b] założenia twierdzenia Rolle a.
Istnieje zatem c " (a, b) taki, że H (c) = 0.
h(a)
Ale H (x) = h (x) + n (b - x)n-1.
(b - a)n
h(a)
Mamy więc 0 = H (c) = h (c) + n (b - c)n-1 =
(b - a)n
f(n)(c) h(a)
= - (b - c)n + n (b - c)n-1.
n! (b - a)n
f(n)(x) h(a)
StÄ…d (b - c)n-1 = n (b - c)n-1.
(n - 1)! (b - a)n
POCHODNE
h(a)
Niech H(x) = h(x) - (b - x)n.
(b - a)n
Funkcja H spełnia w [a, b] założenia twierdzenia Rolle a.
Istnieje zatem c " (a, b) taki, że H (c) = 0.
h(a)
Ale H (x) = h (x) + n (b - x)n-1.
(b - a)n
h(a)
Mamy więc 0 = H (c) = h (c) + n (b - c)n-1 =
(b - a)n
f(n)(c) h(a)
= - (b - c)n + n (b - c)n-1.
n! (b - a)n
f(n)(x) h(a)
StÄ…d (b - c)n-1 = n (b - c)n-1.
(n - 1)! (b - a)n
POCHODNE
f(n)(c)
h(a) = (b - a)n,
(n)!
oraz
n-1
f(k)(a)
h(a) = f(b) - f(a) - (b - a)k.
k!
k=1
Co daje nam
n-1
f(k)(a) f(n)(c)
f(b) = (b - a)k + (b - a)n.
k! (n)!
k=0
Co kończy dowód Twierdzenia.
POCHODNE
f(n)(c)
h(a) = (b - a)n,
(n)!
oraz
n-1
f(k)(a)
h(a) = f(b) - f(a) - (b - a)k.
k!
k=1
Co daje nam
n-1
f(k)(a) f(n)(c)
f(b) = (b - a)k + (b - a)n.
k! (n)!
k=0
Co kończy dowód Twierdzenia.
POCHODNE
f(n)(c)
h(a) = (b - a)n,
(n)!
oraz
n-1
f(k)(a)
h(a) = f(b) - f(a) - (b - a)k.
k!
k=1
Co daje nam
n-1
f(k)(a) f(n)(c)
f(b) = (b - a)k + (b - a)n.
k! (n)!
k=0
Co kończy dowód Twierdzenia.
POCHODNE
f(n)(c)
h(a) = (b - a)n,
(n)!
oraz
n-1
f(k)(a)
h(a) = f(b) - f(a) - (b - a)k.
k!
k=1
Co daje nam
n-1
f(k)(a) f(n)(c)
f(b) = (b - a)k + (b - a)n.
k! (n)!
k=0
Co kończy dowód Twierdzenia.
POCHODNE
TWIERDZENIE 120 ( Maclourin a )
Jeżeli w powyższym twierdzeniu b = x i a = 0 to otrzymujemy wzór
f (0) f(n-1)(0)
f(x) = f(0) + f (0)x + x2 + · · · + xn-1 + Rn, gdzie
2! (n - 1)!
f(n)(c)
Rn = xn, c " (0, x).
(n)!
TWIERDZENIE 121 ( Taylora z resztÄ… Peano )
Niech funkcja f : (a, b) - R jest klasy Cn-1 w otoczeniu x0 " (a, b) i
"f(n)(x0) wtedy
f (x0) f(n)(x0)
f(x0 +h) = f(x0)+f (x0)h+ h2 +· · ·+ hn +É(x0, h)hn,
2! n!
gdzie É(x0, h) - 0, gdy h - 0 i x0 + h należy do rozważanego
otoczenia.
POCHODNE
TWIERDZENIE 120 ( Maclourin a )
Jeżeli w powyższym twierdzeniu b = x i a = 0 to otrzymujemy wzór
f (0) f(n-1)(0)
f(x) = f(0) + f (0)x + x2 + · · · + xn-1 + Rn, gdzie
2! (n - 1)!
f(n)(c)
Rn = xn, c " (0, x).
(n)!
TWIERDZENIE 121 ( Taylora z resztÄ… Peano )
Niech funkcja f : (a, b) - R jest klasy Cn-1 w otoczeniu x0 " (a, b) i
"f(n)(x0) wtedy
f (x0) f(n)(x0)
f(x0 +h) = f(x0)+f (x0)h+ h2 +· · ·+ hn +É(x0, h)hn,
2! n!
gdzie É(x0, h) - 0, gdy h - 0 i x0 + h należy do rozważanego
otoczenia.
POCHODNE
TWIERDZENIE 120 ( Maclourin a )
Jeżeli w powyższym twierdzeniu b = x i a = 0 to otrzymujemy wzór
f (0) f(n-1)(0)
f(x) = f(0) + f (0)x + x2 + · · · + xn-1 + Rn, gdzie
2! (n - 1)!
f(n)(c)
Rn = xn, c " (0, x).
(n)!
TWIERDZENIE 121 ( Taylora z resztÄ… Peano )
Niech funkcja f : (a, b) - R jest klasy Cn-1 w otoczeniu x0 " (a, b) i
"f(n)(x0) wtedy
f (x0) f(n)(x0)
f(x0 +h) = f(x0)+f (x0)h+ h2 +· · ·+ hn +É(x0, h)hn,
2! n!
gdzie É(x0, h) - 0, gdy h - 0 i x0 + h należy do rozważanego
otoczenia.
POCHODNE
TWIERDZENIE 120 ( Maclourin a )
Jeżeli w powyższym twierdzeniu b = x i a = 0 to otrzymujemy wzór
f (0) f(n-1)(0)
f(x) = f(0) + f (0)x + x2 + · · · + xn-1 + Rn, gdzie
2! (n - 1)!
f(n)(c)
Rn = xn, c " (0, x).
(n)!
TWIERDZENIE 121 ( Taylora z resztÄ… Peano )
Niech funkcja f : (a, b) - R jest klasy Cn-1 w otoczeniu x0 " (a, b) i
"f(n)(x0) wtedy
f (x0) f(n)(x0)
f(x0 +h) = f(x0)+f (x0)h+ h2 +· · ·+ hn +É(x0, h)hn,
2! n!
gdzie É(x0, h) - 0, gdy h - 0 i x0 + h należy do rozważanego
otoczenia.
POCHODNE
DOWÓD:
Rozważmy granicę przy h zmierzającym do zera funkcji
n
f(k)(x0)
f(x0 + h) - hk
k!
k=0
.
hn
0
Mamy do czynienia z symbolem nieoznaczonym
0
Stosując n-krotnie Regułę de L Hospitala otrzymamy
lim É(x0, h) = 0.
h0
POCHODNE
DOWÓD:
Rozważmy granicę przy h zmierzającym do zera funkcji
n
f(k)(x0)
f(x0 + h) - hk
k!
k=0
.
hn
0
Mamy do czynienia z symbolem nieoznaczonym
0
Stosując n-krotnie Regułę de L Hospitala otrzymamy
lim É(x0, h) = 0.
h0
POCHODNE
DOWÓD:
Rozważmy granicę przy h zmierzającym do zera funkcji
n
f(k)(x0)
f(x0 + h) - hk
k!
k=0
.
hn
0
Mamy do czynienia z symbolem nieoznaczonym
0
Stosując n-krotnie Regułę de L Hospitala otrzymamy
lim É(x0, h) = 0.
h0
POCHODNE
DEFINICJA 122
Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x0 " R minimum ( maksimum )
jeżeli "S sąsiedztwo punktu x0 takie, że "x " S f(x) > f(x0)
(f(x) < f(x0)). Jeżeli funkcja ma minimum lub maksimum to mówimy,
że ma ekstremum.
TWIERDZENIE 123
Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej f w
punkcie x0 jest to aby f (x) = 0.
DOWÓD:
Rozważając funkcję w otoczeniu, w którym funkcja przyjmuje wartość
największą lub najmniejszą z Twierdzenia 110 mamy natychmiast
Twierdzenie 123.
POCHODNE
DEFINICJA 122
Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x0 " R minimum ( maksimum )
jeżeli "S sąsiedztwo punktu x0 takie, że "x " S f(x) > f(x0)
(f(x) < f(x0)). Jeżeli funkcja ma minimum lub maksimum to mówimy,
że ma ekstremum.
TWIERDZENIE 123
Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej f w
punkcie x0 jest to aby f (x) = 0.
DOWÓD:
Rozważając funkcję w otoczeniu, w którym funkcja przyjmuje wartość
największą lub najmniejszą z Twierdzenia 110 mamy natychmiast
Twierdzenie 123.
POCHODNE
DEFINICJA 122
Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x0 " R minimum ( maksimum )
jeżeli "S sąsiedztwo punktu x0 takie, że "x " S f(x) > f(x0)
(f(x) < f(x0)). Jeżeli funkcja ma minimum lub maksimum to mówimy,
że ma ekstremum.
TWIERDZENIE 123
Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej f w
punkcie x0 jest to aby f (x) = 0.
DOWÓD:
Rozważając funkcję w otoczeniu, w którym funkcja przyjmuje wartość
największą lub najmniejszą z Twierdzenia 110 mamy natychmiast
Twierdzenie 123.
POCHODNE
TWIERDZENIE 124
Warunkiem wystarczajacym istnienia ekstremum w punkcie x0 funkcji f
różniczkowalnej w otoczeniu punktu x0 jest to aby f (x0) = 0 i aby
pochodna zmieniała znak w punkcie x0.
DOWÓD:
Jeżeli f (x0) = 0 oraz f (x) > 0 dla x < x0 zaś dla x > x0 mamy
f (x) < 0 to na mocy Twierdzenia 113 mamy
f(x) < f(x0) dla x leżących w sąsiedztwie x0.
TWIERDZENIE 125
Jeżeli f jest klasy C1 w otoczeniu punktu x0 i istnieje f (x0) = 0 to f

ma w punkcie x0 ekstremum minimum gdy f (x0) > 0, maksimum gdy
f (x0) < 0.
POCHODNE
TWIERDZENIE 124
Warunkiem wystarczajacym istnienia ekstremum w punkcie x0 funkcji f
różniczkowalnej w otoczeniu punktu x0 jest to aby f (x0) = 0 i aby
pochodna zmieniała znak w punkcie x0.
DOWÓD:
Jeżeli f (x0) = 0 oraz f (x) > 0 dla x < x0 zaś dla x > x0 mamy
f (x) < 0 to na mocy Twierdzenia 113 mamy
f(x) < f(x0) dla x leżących w sąsiedztwie x0.
TWIERDZENIE 125
Jeżeli f jest klasy C1 w otoczeniu punktu x0 i istnieje f (x0) = 0 to f

ma w punkcie x0 ekstremum minimum gdy f (x0) > 0, maksimum gdy
f (x0) < 0.
POCHODNE
TWIERDZENIE 124
Warunkiem wystarczajacym istnienia ekstremum w punkcie x0 funkcji f
różniczkowalnej w otoczeniu punktu x0 jest to aby f (x0) = 0 i aby
pochodna zmieniała znak w punkcie x0.
DOWÓD:
Jeżeli f (x0) = 0 oraz f (x) > 0 dla x < x0 zaś dla x > x0 mamy
f (x) < 0 to na mocy Twierdzenia 113 mamy
f(x) < f(x0) dla x leżących w sąsiedztwie x0.
TWIERDZENIE 125
Jeżeli f jest klasy C1 w otoczeniu punktu x0 i istnieje f (x0) = 0 to f

ma w punkcie x0 ekstremum minimum gdy f (x0) > 0, maksimum gdy
f (x0) < 0.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
1 252010 12 09 WIL Wyklad 09id?28
Analiza Wykład 10 (09 12 10) ogarnijtemat com
wyklad FALE uzupelnienia 07 12 10
wyklad FALE uzupelnienia 07 12 10
Analiza Wykład 11 (16 12 10) ogarnijtemat com
29 12 10 am2 2006 k1
27 12 10
H egzamin analiza 09 1
29 12 10 am2 2006 k2
(05,12 10 2012r )
006 12 (10)
Rzymian 12 w 10 OKAZYWANIE SZACUNKU

więcej podobnych podstron