Problemy analizy wymiarowej w ekonomii
Autor: Witold Kwaśnicki
W ekonomii głównego nurtu (a
zwłaszcza w ekonomii neoklasycznej)
fizykę uznaje się za metodologiczny
wzorzec. Jeśli tak, to ekonomiści
głównego nurtu, wykorzystując formalizm
matematyczny do opisu zjawisk
gospodarczych, także powinni
przestrzegać analizy wymiarowej (czyli
dokonywać tzw. rachunku mian). W
istocie każdy z nas (świadomie albo
nieświadomie) stosuje lub stosował
analizę wymiarową1. Przypomnijmy sobie nasze zmagania z fizyką w szkole
średniej czy na studiach. Kiedy zdarzało nam się zapomnieć jakiegoś wzoru
fizycznego, ale widzieliśmy jego kształt w zarysach (np. wiedzieliśmy, jakiego
rodzaju zmienne występują we wzorze), to do prawidłowej postaci tego wzoru
dochodziliśmy niejako od tyłu , stosując rachunek mian, tak by zgadzały nam
się wymiary po jednej i po drugiej stronie znaku równości. Dlaczego zatem
ekonomiści tak bardzo stronią od analizy wymiarowej?
Problem braku analizy wymiarowej w analizie ekonomicznej przedstawił
William Barnett II w swoim artykule z 2003 r., opublikowanym w Quarterly
Journal of Austrian Economics . W 2006 r. zaprosiliśmy polskich ekonomistów do
zabrania głosu w tej sprawie, zadając im pytania: Czy zidentyfikowana przez
Barnetta niekonsekwencja i niespójność w stosowaniu wymiarów przez
ekonomistów naprawdę stanowi poważną przeszkodę w naśladowaniu metod
nauk ścisłych i stosowaniu w ekonomii matematyki? Czy deprecjonuje ona
1
Analiza wymiarowa, fiz. metoda postępowania przy sprawdzaniu równań lub
wyznaczaniu postaci wzorów wiążących różne wielkości fiz. na podstawie danych z
doświadczeń lub w wyniku eksperymentów myślowych . Encykopedia PWN,
http://encyklopedia.pwn.pl.
Fundacja Instytut Ludwiga von Misesa, 00-241 Warszawa ul. Długa 44/50, p. 214
KRS 0000174572 % NIP 894 277 56 04 % Regon 932949234 Bank account: PL 19 2130 0004 2001 0253 7975 0001
www.mises.pl % mises@mises.pl % +48 22 6352438
wcześniejsze osiągnięcia teoretyczne, czy też jest to może sprawa błaha, która
nie podważa gmachu nauk ekonomicznych? Czy wymiary mają w ekonomii takie
samo znaczenie jak w fizyce lub inżynierii? Czy w związku z tym bezwzględnie
muszą być stosowane konsekwentnie i prawidłowo? Czy bagatelizowanie tego
problemu nie jest przejawem przysłowiowego chowania głowy w piasek? Czy
Barnett sam jest genialnym idiotą (takiego określenia używa w swoim
artykule), cierpiącym na dyskalkulię (co zarzuca swoim recenzentom), czy też
jest pierwszym odważnym, który nie zawahał się powiedzieć: Król jest nagi?
Odpowiedzi udzieliło ośmiu ekonomistów, a ich wypowiedzi opublikowano w
Studiach Ekonomicznych 2.
W tym artykule (który jest pokłosiem spotkania w ramach Letniego
Seminarium Ekonomicznego 20113) chciałbym wrócić do dyskusji zainicjowanej w
2006 r., dokonać krytycznej analizy tekstów opublikowanych w Studiach
2
Opublikowano następujące artykuły:
Studia Ekonomiczne 2006, nr 3:
Krzysztof Kostro, Wprowadzenie do dyskusji: Barnett, szkoła austriacka a wymiary w
ekonomii.
Wiliam Barnett II, Wymiary a ekonomia. Niektóre problemy.
Witold Kwaśnicki, Marcin Zieliński, Uwagi do artykułu Barnetta Wymiary a
ekonomia .
Tadeusz Bednarski, Głos polemiczny do artykułu Williama Barnetta.
Andrzej Malawski, Nieco hałasu o coś, czyli kilka uwag ad hoc o wymiarowości w
ekonomii.
Tomasz Żylicz, Czy w ekonomii jednostki pomiaru coś znaczą?
Emil Panek, Uwagi na marginesie artykułu W. Barnetta Dimensions and Economics:
Some Problems .
Zbigniew Czerwiński, Kilka słów o sprawie wymiarów w ekonomii.
Zbigniew Hockuba, Złożoność a ekonomia. Wybrane problemy. Uwagi na marginesie
artykułu Williama Barnetta II.
Studia Ekonomiczne 2007, nr 1 2:
Krzysztof Maciej Przyłuski, Wymiary a ekonomia. Nie ma problemu.
3
http://mises.pl/projekty/letnie-seminarium-austriackie/letnie-seminarium-
ekonomiczne-2011.
Fundacja Instytut Ludwiga von Misesa, 00-241 Warszawa ul. Długa 44/50, p. 214
KRS 0000174572 % NIP 894 277 56 04 % Regon 932949234 Bank account: PL 19 2130 0004 2001 0253 7975 0001
www.mises.pl % mises@mises.pl % +48 22 6352438
Ekonomicznych oraz skomentować je w kontekście oryginalnej publikacji
Charlesa Wigginsa Cobba i Paula Howarda Douglasa z 1928 r.4
Zainteresowanym zastosowaniem analizy wymiarowej można polecić
książki polskich autorów: Wacława Kasprzaka i Bertolda Lysika (1978) oraz
Wacława Kasprzaka, Bertolda Lysika i Marka Rybaczuka (1990); czytelnik
odnajdzie tam również podstawy teoretyczne analizy wymiarowej5. Szukając
literatury odnoszącej się do analizy wymiarowej, dowiedziałem się o książce
Dimensional Analysis for Economists6. Niestety, nie udało mi się do niej dotrzeć i
przeczytać, ale jak można sądzić z tytułu i roku wydania, problemy analizy
wymiarowej w ekonomii były przedmiotem dyskusji na kilkadziesiąt lat przed
tym, jak ów problem postawił Barnett.
Wiele wskazuje na to, że postrzeganie przez ekonomistów fizyki jako
twardej nauki jest nie do końca słuszne. Rozwój fizyki wiąże się nie tylko z
rozwojem analizy formalnej. Albert Einstein w swoim gabinecie w Institute for
Advanced Study miał wywieszone motto: Nie wszystko, co się liczy, może zostać
policzone i nie wszystko, co może zostać policzone, liczy się . Natomiast Richard
Feynman powiedział swego czasu, że rozumienie sensu matematycznego
równań nie oznacza rozumienia fizyki . Czy tak lubiący formalne, matematyczne
podejście ekonomiści głównego nurtu nie powinni wziąć sobie do serca przesłania
Feynmana: zanim zacznę szukać rozwiązania, najpierw muszę mniej więcej
4
Charles Wiggins Cobb, Paul Howard Douglas, A Theory of Production, American
Economic Review 1928, nr 18(1), s. 139 165; Supplement, Papers and Proceedings of
the Fortieth Annual Meeting of the American Economic Association.
5
Wacław Kasprzak, Bertold Lysik, Analiza wymiarowa w projektowaniu eksperymentu,
Zakład Narodowy im. Ossolińskich, Wrocław 1978; Wacław Kasprzak, Bertold Lysik,
Marek Rybaczuk, Dimensional Analysis in the Identification of Mathematical Models,
World Scientific, 1990 (dostępne też w Google Books:
http://books.google.pl/books?id=A0FkivhdWl8C&lpg=PP1&ots=4j7nq8xZ_f&dq=Kasprzak
%2C%20Bertold%20Lysik&hl=pl&pg=PP1#v=onepage&q&f=false.
6
Frits J. de Jong, Dimensional analysis for economists, with a mathematical appendix on
the algebraic structure of dimensional analysis by Wilhelm Quade, 1967.
Fundacja Instytut Ludwiga von Misesa, 00-241 Warszawa ul. Długa 44/50, p. 214
KRS 0000174572 % NIP 894 277 56 04 % Regon 932949234 Bank account: PL 19 2130 0004 2001 0253 7975 0001
www.mises.pl % mises@mises.pl % +48 22 6352438
zrozumieć, jak ono wygląda. [& ] muszę mieć jakościowe wyobrażenie zjawiska,
żeby móc je opisać na poziomie ilościowym 7?
Jest prawdą, że fizycy w odróżnieniu od ekonomistów, po wielu dekadach
dyskusji, doszli do konsensusu, że wymiary wszystkich używanych przez nich
zmiennych mogą być wyrażone jako pochodne siedmiu wielkości fizycznych:
długości, masy, czasu, natężenia prądu elektrycznego, temperatury, natężenia
światła (światłości) i liczności materii (w tzw. międzynarodowym układzie miar SI
SystŁme International d Units odpowiadają im następujące jednostki
fizyczne: metr, kilogram, sekunda, amper, kelwin, kandela i mol). Dwie jednostki
pochodne, mianowicie radian i steradian (będące miarami kąta płaskiego i kąta
bryłowego), nie mają wymiarów (są liczbami niemianowanymi patrz
załącznik). Wymiary wszystkich innych wielkości (zmiennych) wynikają z
odpowiednich równań, np. fizycy wyrażają moc w watach (W) wymiar tej
jednostki wynikający z definicji mocy jest równy [kg m2 s-3], a przewodność
elektryczną w simensach (S) o wymiarze [kg-1 m-2 s3 A2].
Każde poprawne równanie musi być wymiarowo spójne, tzn. wymiary
lewej i prawej strony muszą być takie same, czyli:
Na przykład modelowanie siły tarcia spowodowanej oporem powietrza
prowadzi do zależności:
,
skąd MLT-2 = [k][LT-1]2 = [k]L2T-2,
czyli [k] = ML-1,
tzn. k musi by mierzone w kg/m.
Przypuśćmy, że budujemy model, który będzie określał okres wahadła t.
Lista czynników wpływających na t może obejmować długość wahadła l, jego
masę m, przyspieszenie ziemskie g i kąt maksymalnego wychylenia Ś. Załóżmy,
że:
t = k lambgcŚd,
gdzie: a, b, c, d oraz k to liczby rzeczywiste.
7
Richard P. Feynman, Przyjemność poznawania, Prószyński i S-ka, Warszawa 2006,
s. 30.
Fundacja Instytut Ludwiga von Misesa, 00-241 Warszawa ul. Długa 44/50, p. 214
KRS 0000174572 % NIP 894 277 56 04 % Regon 932949234 Bank account: PL 19 2130 0004 2001 0253 7975 0001
www.mises.pl % mises@mises.pl % +48 22 6352438
Dla wymiarów musi zachodzić: [t] = [k lambgc Śd].
Zatem T = LaMb (LT-2)c, czyli: T = La + cMbT-2c;
k i Ś są wielkościami bezwymiarowymi. Przyrównanie potęg przy odpowiednich
zmiennych po lewej i prawej stronie równania daje:
a + c = 0, b = 0, -2c = 1,
skąd: t = k l1/2g -1/2 Śd.
Powyżej d może przyjąć dowolną wartość, zatem możemy zapisać, że:
.
Funkcję f(Ś) należy znalezć w inny sposób. Dla małych wahań (małego
Ś) okres nie zależy od amplitudy, nie zależy też od masy i jak wiemy z kursu
fizyki, okres wahań może być wyrażony wzorem:
.
Dla sławnego równania grawitacji Isaaka Newtona opisującego siłę, z jaką
przyciągają się dwie masy m1 i m2, których środki ciężkości są odległe od siebie o
r, mamy:
.
Zgodnie z postulatami analizy wymiarowej wymiar stałej grawitacji k
(której wartość została określona eksperymentalnie) jest równy:
m3 cm3
k = 6,67 10-11[ ] = 6,67 10-8[ ]
.
kg s2 g s2
Podążając za podejściem neoklasycznym, podobnej analizy należałoby
dokonywać w badaniach ekonomicznych, także w przypadku powszechnie
używanej w ekonomii neoklasycznej funkcji produkcji8 określającej maksymalne
rozmiary produkcji Q, jakie są możliwe do osiągnięcia przy różnym poziomie
nakładów (czynników produkcji) x1, x2, & xn:
8
Po raz pierwszy zaproponował ją Knut Wicksell w 1894 r.
Fundacja Instytut Ludwiga von Misesa, 00-241 Warszawa ul. Długa 44/50, p. 214
KRS 0000174572 % NIP 894 277 56 04 % Regon 932949234 Bank account: PL 19 2130 0004 2001 0253 7975 0001
www.mises.pl % mises@mises.pl % +48 22 6352438
.
Jeśli takimi podstawowymi czynnikami są kapitał (K) i praca (L), to tzw.
funkcja produkcji Cobba Douglasa przyjmuje postać:
.
gdzie A to stała określająca zdolności technologiczne systemu.
Barnett w swojej pracy proponuje dokonanie takiej analizy wymiarowej
dla produkcji pewnego specyficznego dobra, które nazwiemy wihajstrami . Dalej
pisze:
Jeżeli wymiary zostały zastosowane prawidłowo, to produkcja,
kapitał i praca muszą mieć zarówno wielkość, jak i wymiar(-y), a
ą i są samymi liczbami. Załóżmy na przykład, że:
(1) Q jest mierzone w wihajstrach/czas [whj/rok];
(2) K jest mierzone w maszynogodzinach/czas [mg/rok]; oraz
(3) L jest mierzone w roboczogodzinach/czas [rg/rok].
Zatem analiza wymiarowa funkcji produkcji Q = AKąL pozwala
ustalić, że A (= Q/KąL) jest mierzone w:
[wihajstry/czas]/[(maszynogodziny/czas)ą "
(roboczogodziny/czas)]; tj. w:
[whj " roką + - 1]/[mgą " rg].
Barnett w swoim artykule stawia dwa podstawowe zarzuty wobec
neoklasycznej funkcji produkcji. Mianowicie, że prawidłowe użycie wymiarów
prowadzi do używania wymiarów niemających uzasadnienia lub sensu
ekonomicznego oraz że te same stałe lub zmienne posiadają różne wymiary,
czyli tak jakby prędkość mierzyć raz w metrach na sekundę, a kiedy indziej w
samych metrach lub w metrach do kwadratu na sekundę .
Jeśli chodzi o pierwszy zarzut, to rzeczywiście niekiedy wymiary
niektórych zmiennych ekonomicznych mogą sprawiać dziwne wrażenie i czasami
trudno znalezć jakieś sensowne uzasadnienie tych wymiarów. Możemy jednak
powiedzieć, że takie dziwne wymiary mogą mieć zmienne fizyczne (popatrzmy
choćby na wymiary niektórych z nich, przedstawione w załączniku). Duży
Fundacja Instytut Ludwiga von Misesa, 00-241 Warszawa ul. Długa 44/50, p. 214
KRS 0000174572 % NIP 894 277 56 04 % Regon 932949234 Bank account: PL 19 2130 0004 2001 0253 7975 0001
www.mises.pl % mises@mises.pl % +48 22 6352438
niepokój natomiast musi budzić to, że przy dowolnych rzeczywistych wartościach
ą i w wymiarach mogą występować potęgi niewymierne (i pod tym względem
należy się zgodzić z Barnettem). Jeśli w fizyce występują wymiary z dziwnymi
potęgami, to zwykle są to liczby wymierne, a najczęściej liczby całkowite.
Drugi zarzut Barnetta dotyczący niestałości wymiarów jest według mnie
znacznie poważniejszy. Jeśli porównamy np. wymiary stałych proporcjonalności
w prawie grawitacji (k) oraz w funkcji Cobba Douglasa (A) to trzeba się zgodzić z
Barnettem, że dla stałej grawitacji k wynik jest niezmienny dla niezliczonych
pomiarów od przeszło trzech wieków: niezależnie od wartości wymiary zawsze
miały postać odległość3/(masa " czas2); tj. w układzie mks [m3/(kg " s2)] .
W analizie ekonomicznej jest całkowicie odmiennie. Wartości ą i
zmieniają się nie tylko w przypadku zastosowania jej do różnych produktów czy
różnych krajów, ale różnią się także w zależności od tego, jaki okres do ich
określania jest wybierany. Jeśli zatem w ekonomii neoklasycznej prawidłowo
użyjemy analizy wymiarowej, to uzyskamy niestałe wymiary. Jak pisze Barnett,
problem ten staje się jednak oczywisty tylko wtedy, gdy wymiary są poprawnie
zawarte w modelu, co jest rzadkim przypadkiem w modelowaniu
ekonomicznym .
Na przykład (przy standardowym neoklasycznym założeniu
substytucyjności kapitału i pracy, czyli założeniu, że ą + = 1) szacunkowe
wartości ą podawane przez Coego i Helpmana (1995) dla krajów OECD (na
podstawie danych z lat 1987 1989) to 0,335, dla Niemiec 0,401, Szwajcarii
0,211. Dla Polski szacunki Leszka Zienkowskiego (dla lat 1992 2000) wskazują,
że ą = 0,47 - 0,5, natomiast Ryszard Rapacki (dla lat 1990 2000) podaje, że ą
= 0,35, a Władysław Welfe uważa, że ą = 0,489.
Zdaniem Barnetta stanowi to poważny problem: ponieważ A posiada
zarówno wartość, jak i wymiary, to różne wartości ą i oznaczają różne wymiary
A i mimo że wymiary, w jakich dokonuje się pomiaru: Q, K i L, są stałe, to
wymiary A są zmienne .
Trafna jest też uwaga Barnetta:
9
Co ciekawe, w większości prac ekonomistów neoklasycznych przyjmuje się (nie
wiadomo dlaczego), że ą = 0,3 (ta wartość jest też często podawana w podręcznikach
do makroekonomii).
Fundacja Instytut Ludwiga von Misesa, 00-241 Warszawa ul. Długa 44/50, p. 214
KRS 0000174572 % NIP 894 277 56 04 % Regon 932949234 Bank account: PL 19 2130 0004 2001 0253 7975 0001
www.mises.pl % mises@mises.pl % +48 22 6352438
[p]rzyszłe pokolenia ekonomistów są kształcone w błędnej
tradycji, ponieważ ich młode umysły są kształtowane przez
właśnie takie publikacje. I dopóki się to nie zmieni, a ekonomiści
nie zaczną używać wymiarów w sposób konsekwentny i
prawidłowy (o ile to w ogóle możliwe), to ekonomia
matematyczna i jej empiryczne alter ego ekonometria nadal
pozostaną akademickimi gierkami i rygorystycznymi
pseudonaukami. Z powodu wpływu, jaki ekonomiści wywierają na
politykę rządu, takie pseudonaukowe gierki nie odbywają się
jednak bez kosztów, które ponosi się w realnym świecie.
Barnett wysłał ten artykuł do jednego z najznakomitszych czasopism
głównego nurtu, gdzie bardzo często są publikowane prace, w których punktem
wyjścia jest funkcja Cobba Douglasa, a mianowicie do The American Economic
Review . Warto przeczytać zamieszczoną przez Barnetta komunikację z wydawcą
i recenzentami10. Tutaj przypomnimy tylko trzy fragmenty. Jeden z recenzentów
twierdzi, że [a]naliza wymiarowa ma zastosowanie tylko w przypadku praw ,
zatem nieuzasadnione jest krytykowanie funkcji produkcji z punktu widzenia
analizy wymiarowej. W innym miejscu recenzent uważa, że podobny brak
dbałości o konsekwentne stosowanie wymiarów pojawia się także w fizyce.
Podaje przykład, pisząc:
[& ] rozwiązanie problemu [ruchu harmonicznego prostego]
stanowi [& ], że x = S! cos(8t), gdzie x jest długością łuku [& ]
mierzoną w metrach, a t jest czasem mierzonym w sekundach.
Więc dokładnie jakiego rodzaju stałej przeliczeniowej chce pan
użyć, żeby zamienić czas na długość? Z pewnością nie jest to
stała, gdyż musi przejść przez wyrażenie cosinusowe (podobnie
jednostki pracy i kapitału muszą przejść przez wykładniki potęgi w
przykładzie [Q = AKąL] powyżej).
10
Wiliam Barnett II , Wymiary a ekonomia. Niektóre problemy (załącznik do artykułu)
Studia Ekonomiczne, 2006, nr 3.
Fundacja Instytut Ludwiga von Misesa, 00-241 Warszawa ul. Długa 44/50, p. 214
KRS 0000174572 % NIP 894 277 56 04 % Regon 932949234 Bank account: PL 19 2130 0004 2001 0253 7975 0001
www.mises.pl % mises@mises.pl % +48 22 6352438
Aż dziw bierze, że można coś takiego napisać. Jeśli przypomnimy sobie
to, czego uczyliśmy się na fizyce w szkole średniej, od razu zobaczymy, gdzie
tkwi błąd takiego rozumowania . Ogólny wzór na ruch harmoniczny to
w podanym powyżej przykładzie amplituda A równa się S!, a
częstotliwość jest równa 8; częstotliwość ma wymiar odwrotności czasu, zatem
t jest wartością bezwymiarową. Więc gdzie tu błąd?
Drugi przykład podawany przez recenzenta z American Economic
Review , również świadczący jego zdaniem o tym, że fizycy nie dbają o wymiary,
jest zaczerpnięty z zadania zamieszczonego w jednym ze znanych podręczników
fizyki:
[& ] przypadek dotyczący przewodności cieplnej w rurach.
Rozwiązaniem jest U = 699 - 216 ln(r), gdzie r to odległość w
centymetrach, a U to temperatura w stopniach. Jakiego
współczynnika konwersji chce pan teraz użyć, żeby przekształcić
odległość na stopnie? Wnioskuję, że fizyka zawiera takie same
defekty , gdy badamy pewne układy.
I znów świadczy to tylko o indolencji recenzenta. Prosty zapis rozwiązania
tego zadania w postaci ogólnej (a nie przy użyciu konkretnych liczb) jako:
,
pokazuje, że uwzględnienie w ogólnym rozwiązaniu promienia odniesienie
r0 powoduje, że wyrażenie pod logarytmem jest bezwymiarowe (jest liczbą
rzeczywistą), czyli zgodne z analizą wymiarową.
Krótka krytyczna analiza uwag zawartych w artykułach polskich
ekonomistów
Jak wspomnieliśmy na początku tego artykułu, ośmiu polskich
ekonomistów wzięło udział w dyskusji nad artykułem Barnetta. Zasadniczo
możemy powiedzieć, że wszyscy zgadzają się z opinią, iż analiza ekonomiczna
jest ważnym metodologicznym elementem badań naukowych i że powinno się ją
stosować w analizie ekonomicznej. W większości artykułów zawarte są jednak
zastrzeżenia co do wniosków Barnetta lub próba wykazania, że w istocie to, co
Fundacja Instytut Ludwiga von Misesa, 00-241 Warszawa ul. Długa 44/50, p. 214
KRS 0000174572 % NIP 894 277 56 04 % Regon 932949234 Bank account: PL 19 2130 0004 2001 0253 7975 0001
www.mises.pl % mises@mises.pl % +48 22 6352438
przedstawił Barnett, nie jest żadnym problemem. Przyjrzyjmy się tym
argumentom.
Tadeusz Bednarski, Głos polemiczny do artykułu Williama Barnetta
Trzeba się zgodzić z opinią Tadeusza Bednarskiego, że w ekonomii brak
jest podstawowych i niezależnych zmiennych, które pozwalałyby dostatecznie
dokładnie wyrazić wartości innych interesujących zmiennych ekonomicznych .
Otwarte pozostaje pytanie, czy istnieje w ogóle możliwość zdefiniowania w
ekonomii bazowych zmiennych (wymiarów), podobnie jak uczynili to fizycy,
proponując np. układ SI?
Dosyć kontrowersyjna, ale bardzo twórcza wydaje się opinia
Bednarskiego odnośnie do relacji badacza i rzeczywistości:
Fizyk poznaje rzeczywistość taką, jaka ona jest niezależnie od
naszego istnienia. Inaczej jest w sferze poznania ekonomicznego,
gdzie obserwuje się sprzężenie zwrotne pomiędzy poziomem
wiedzy i stanem ekonomii . Dla przykładu, określenie czynników
warunkujących stabilny rozwój gospodarczy wpływa na
uwarunkowania prawno-instytucjonalne, które z kolei modyfikują
procesy rozwojowe. Tak więc wiedza ekonomiczna do pewnego
stopnia modyfikuje naturalne prawa samej ekonomii, prawa
wynikające z ludzkich zachowań. Trudno byłoby uwierzyć, żeby
poziom wiedzy w naukach fizycznych miał wpływ na kształt
obiektywnych praw fizyki.
Jest prawdą, że ekonomia tym się różni od fizyki (i innych nauk
przyrodniczych), że obiektem jej analizy jest działający człowiek, świadomy
swoich celów i mający wolną wolę. Dyskutowałbym jednak z tezą, że w
odróżnieniu od fizyki w ekonomii poziom wiedzy ma wpływ na kształt
obiektywnych praw ekonomii. Jak pokazuje Ludwig von Mises (choćby w swoim
magnum opus: Ludzkie działanie (2007)), w ekonomii istnieją tak samo jak w
fizyce obiektywne prawa, niezmienne w czasie i przestrzeni, i niezależne od
ludzkiej aktywności (choć nie są to prawa formułowane w języku matematyki).
Fundacja Instytut Ludwiga von Misesa, 00-241 Warszawa ul. Długa 44/50, p. 214
KRS 0000174572 % NIP 894 277 56 04 % Regon 932949234 Bank account: PL 19 2130 0004 2001 0253 7975 0001
www.mises.pl % mises@mises.pl % +48 22 6352438
Odnośnie do naszego głównego problemu analizy wymiarowej Bednarski
przyznaje, że dla przejrzystości wniosków istotne jest każdorazowe ustalenie i
opis jednostek dla poszczególnych zmiennych . Jednak po pokazaniu przykładu
(o którym poniżej) stwierdza, że w istocie rzeczy postać funkcji wiążącej
produkcję, kapitał i pracę nie zależy od przyjętych jednostek, jeśli tylko
zachowana będzie zasada proporcjonalności przy wymianie zmiennych . Z tym
wnioskiem nie mogę się zgodzić. Bednarski przedstawia następujące
rozumowanie:
Niech więc wielkość produkcji Y opisuje funkcja F (K, L), zależna
od kapitału K i pracy L. Przyjmijmy, że kapitał K* (r, w, p) i praca
L* (r, w, p) są funkcjami poziomu cen p, stawki płac w i stopy
zwrotu z kapitału (capital rental rate) r. By maksymalizować zysk
określany równaniem , trzeba policzyć pochodne
cząstkowe zysku względem kapitału i pracy i przyrównać je do
zera; mamy stąd:
Warunek stałego udziału płac w przychodzie, który tutaj
przyjmujemy, równy ą, można zapisać następująco:
. Podobnie dla kapitału .
Dzieląc każde z równań pierwszej pary przez odpowiednie równie
drugiej pary, otrzymujemy elementarny układ równań
różniczkowych, niezależnych od wyjściowych zmiennych r, w, p:
Jedynym rozwiązaniem tego układu jest funkcja:
.
Ciężko mi się zgodzić z wnioskiem wynikającym zdaniem Bednarskiego z
powyższego rozumowania:
Fundacja Instytut Ludwiga von Misesa, 00-241 Warszawa ul. Długa 44/50, p. 214
KRS 0000174572 % NIP 894 277 56 04 % Regon 932949234 Bank account: PL 19 2130 0004 2001 0253 7975 0001
www.mises.pl % mises@mises.pl % +48 22 6352438
trudno w powyższym rozumowaniu, wolnym w zasadzie od
wymiarowości, dopatrzyć się logicznej luki. W istocie rzeczy
postać funkcji wiążącej produkcję, kapitał i pracę nie zależy od
przyjętych jednostek, jeśli tylko zachowana będzie zasada
proporcjonalności przy wymianie zmiennych. Dla przykładu:
wartość produkcji w danym okresie, wielkość produkcji w tonach
lub sztukach (itp.) w tym samym okresie to zmienne
proporcjonalne, ich zmiana wpłynie jedynie na wartość
współczynnika A, a nie na postać funkcji produkcji.
Według mnie wymiarowość w powyższym równaniu istnieje, choć nie jest
explicite wymieniona. Mianowicie w co najmniej trzech równaniach: zysku
, oraz obu warunkach: i .
We wszystkich tych równaniach wymiar musi być zachowany poprzez odpowiedni
wymiar funkcji . Nieprawdą jest, że zmiana wymiarów (np. z ton na sztuki)
wpłynie jedynie na wartość współczynnika A, a nie na postać funkcji produkcji .
Według mnie zmienią się zarówno wartości, jak i wymiary współczynnika A.
Andrzej Malawski, Nieco hałasu o coś, czyli kilka uwag ad hoc o
wymiarowości w ekonomii
Andrzej Malawski od razu na początku artykułu dezawuuje pracę
Barnetta, pisząc, że problem wymiarowości w ekonomii nie stanowi jakiegoś
novum , i wskazując liczne przykłady prac polskich autorów, gdzie problem ten
jego zdaniem był i jest dostrzegany. Nie wskazuje jednak, na ile tok
rozumowania Barnetta jest podobny do toku rozumowania podanych przez niego
autorów (lub od niego inny). W dalszej części autor ustawia problem tak, by było
mu wygodnie dojść do konkluzji końcowej; pisze mianowicie:
Pogląd Barnetta [& ] że brak wymiarów wielkości ekonomicznych i
ich jednostek matematyczno-statystycznej analizy zjawisk
procesów gospodarczych, zaś w przypadku ich uwzględnienia
wskazywana niespójność bądz zmienność stanowi jej poważne
nadużycie czy wręcz dyskwalifikuje jako narzędzie badawcze na
gruncie ekonomii uważamy za skrajny i nieuzasadniony. Należy
Fundacja Instytut Ludwiga von Misesa, 00-241 Warszawa ul. Długa 44/50, p. 214
KRS 0000174572 % NIP 894 277 56 04 % Regon 932949234 Bank account: PL 19 2130 0004 2001 0253 7975 0001
www.mises.pl % mises@mises.pl % +48 22 6352438
tu bowiem odróżnić co najmniej dwie kwestie: znaczenie
badanego problemu w ekonomii teoretycznej i empirycznej oraz
zródła ich matematyzacji. W pierwszej z nich znaczenie
omawianego problemu trudno przecenić w badaniach
empirycznych, domagających się pomiaru obserwowanych
wielkości, co bez ustalonej jednostki (miana) wymiaru jest
wykluczone. Nie wydaje się natomiast tak konieczne w analizie
teoretycznej, gdzie modele matematyczne tworzące teorie
ekonomiczne nie muszą przyjmować formy równań czy ich
układów, ale są postacią aksjomatycznych systemów
dedukcyjnych, jak m.in. teoria równowagi ogólnej, która nie
pretenduje wprost do weryfikacji empirycznej, a jedynie poprzez
swoje dalekosiężne implikacje logiczne [& ]. Krytyka owa nie
uwzględnia bowiem nie tylko rozwarstwienia badań
ekonomicznych na czysto teoretyczne i empiryczne, ale też
zróżnicowania teoriopoznawczych interpretacji teorii
ekonomicznych co rzutuje na ostrość czy też znaczenie
dyskutowanego tu problemu wymiarowości i ich relatywizację z
uwagi na przyjętą perspektywę badawczą i filozoficzną.
W ten sposób Malawski dochodzi do konkluzji, że praca Barnetta nie
stanowi jednak wiele hałasu o nic i zasługuje na uwagę, stąd tytułowe nieco
hałasu o coś. Szkoda jednak, że brak w niej części pozytywnej, co czyni ją mało
konstruktywną .
Całość tego tekstu można by zakończyć tak, jak kończą swój wywód
matematycy: c.b.d.o. Mam jednak wątpliwości, czy tego typu uwagi cokolwiek
wyjaśniają. Naprawdę nie wystarczy ex catedra stwierdzić, że krytyka nie
uwzględnia [& ] nie tylko rozwarstwienia badań ekonomicznych na czysto
teoretyczne i empiryczne, ale też zróżnicowania teoriopoznawczych interpretacji
teorii ekonomicznych , i zamknąć sprawę.
Tomasz Żylicz, Czy w ekonomii jednostki pomiaru coś znaczą?
Tomasz Żylicz zaczyna swój artykuł dosyć optymistycznie, pisząc, że:
Fundacja Instytut Ludwiga von Misesa, 00-241 Warszawa ul. Długa 44/50, p. 214
KRS 0000174572 % NIP 894 277 56 04 % Regon 932949234 Bank account: PL 19 2130 0004 2001 0253 7975 0001
www.mises.pl % mises@mises.pl % +48 22 6352438
Różnica między równaniami ekonomicznymi i fizycznymi polega
na tym, że te ostatnie bywają rzetelniej podbudowane
empirycznie, a więc rzadziej się zdarza, iż wyrażający je wzór
matematyczny jest błędny. Analiza wymiarowa pomaga znalezć te
błędy, ale nie gwarantuje ich eliminacji. Artykuł Williama Barnetta
[& ] rzeczywiście zwraca uwagę na pewne niefrasobliwości
ekonomistów, choć jego autor przesadza, twierdząc, że dorobek
teorii ekonomii wymaga gruntownego przeglądu pod tym kątem.
Z punktu widzenia Barnetta dalszy wywód Żylicza można przyjąć dosyć
pozytywnie, ponieważ pisze on:
W fizyce takie przeliczenia [mian W. K.] są na porządku
dziennym, więc trudno sobie wyobrazić, że ktoś mógłby
posługiwać się wzorem, którego i lewa, i prawa strona wyrażone
są w innych jednostkach. Inaczej jest w ekonomii. Tutaj pomiar
eksperymentalny bywa często problematyczny, więc i
posługiwanie się wzorami zostaje zrytualizowane tak, że
użytkownik często dobrze nie rozumie, jak interpretować
obliczenia.
Dalej autor pisze, że we wzorze , jeśli Y wyrazić w sztukach, K
w złotówkach i L w dniówkach, to A powinno mieć wymiar [sztuk zł-ą dniówka-ą], i
stwierdza:
Z pewnością wielu ekonomistów nie zastanawiało się nad
wymiarem parametru A, zadowalając się jedynie spostrzeżeniem,
że jego zmienność wyraża działanie postępu technicznego.
Jeszcze mniej badaczy było zapewne zaniepokojonych faktem, że
wymiar ten nie jest możliwy do apriorycznego określenia,
ponieważ parametry ą i bywają wynikiem oszacowania na
podstawie danych empirycznych. [& ] Autor [tj. Barnett W. K.]
sugeruje, że w fizyce to się nie może zdarzyć.
Fundacja Instytut Ludwiga von Misesa, 00-241 Warszawa ul. Długa 44/50, p. 214
KRS 0000174572 % NIP 894 277 56 04 % Regon 932949234 Bank account: PL 19 2130 0004 2001 0253 7975 0001
www.mises.pl % mises@mises.pl % +48 22 6352438
Na tym kończy się w miarę pozytywny stosunek Żylicza do artykułu
Barnetta. Drugą część artykułu Żylicz zaczyna od oznajmienia: Otóż może się
zdarzyć! , i podaje przykłady. Jeden, zaczerpnięty z popularnego podręcznika do
nauki fizyki, dotyczy przemiany adiabatycznej gazów, kiedy to zmienia się
objętość i temperatura gazu (przy ściskaniu) przy braku wymiany ciepła z
otoczeniem. Wtedy:
,
gdzie p i V to odpowiednio ciśnienie i objętość gazu, a to parametr, którego
wartość nie jest z góry określona (może mieć różne wartości także
niecałkowite i nawet niewymierne wynikające z teoretycznych modeli budowy
cząsteczkowej gazów i weryfikowane empirycznie). Jak mniemam, z pewnym
zadowoleniem Żylicz stwierdza, że stała występująca po prawej stronie nie ma
żadnego ustalonego a priori wymiaru. Tak więc krytyka funkcji Cobba Douglasa
stosuje się również do modelu fizycznego adiabatycznej przemiany gazów, czego
Barnett zdaje się nie dostrzegać .
To jednak nie jest takie proste. Pozwolę sobie zatem na komentarz.
Własność łatwo wyprowadzić z równania Mendelejewa
Clapeyrona:
;
p ciśnienie, objętość właściwa gazu, R uniwersalna stała gazowa, m
masa cząsteczkowa, T temperatura, V objętość kilomola gazu.
Nie trzeba wspominać, że w równaniu Mendelejewa Clapeyrona
wszystkie jednostki (wymiary) się zgadzają. Jak najczęściej wykorzystujemy
własności typu ?
Kiedy badamy dwa stany gazu, jeden przy objętości V1 i drugi przy
objętości V2, znając ciśnienie p1 w pierwszym stanie, pytamy, jakie będzie
ciśnienie w drugim stanie. Zatem mamy: . Stąd wyliczamy:
. Wyrażenie jest liczbą rzeczywista (bezwymiarową), może
być zatem dowolną liczbą i wbrew temu, co twierdzi Żylicz, nie ma żadnej
sprzeczności i tym bardziej podobieństwa z funkcją Cobba Douglasa.
Jako drugi przykład podobnej niefrasobliwości w stosowaniu wymiarów
przez matematyków i fizyków (co miałoby ich upodabniać do ekonomistów)
Żylicz podaje znany wzór na przybliżenie wartości funkcji. Pisze on:
Fundacja Instytut Ludwiga von Misesa, 00-241 Warszawa ul. Długa 44/50, p. 214
KRS 0000174572 % NIP 894 277 56 04 % Regon 932949234 Bank account: PL 19 2130 0004 2001 0253 7975 0001
www.mises.pl % mises@mises.pl % +48 22 6352438
W wielu zastosowaniach korzystamy np. ze wzoru Maclaurina
przybliżającego wartość funkcji za pomocą pochodnych tejże
funkcji obliczonych w punkcie 0:
Aby ten wzór miał sens, należy rozumieć, że przy wszystkich
składnikach sumy po prawej stronie stoją stałe 1 o odpowiednim
wymiarze (tj. takim, żeby po pomnożeniu przez x w odpowiedniej
potędze otrzymać wymiar identyczny jak dla lewej strony). Jest to
zasada oczywista, której nie uwzględnia się zazwyczaj przy
zastosowaniu wzoru Maclaurina.
Otóż moim zdaniem i tutaj Żylicz się myli, ponieważ ma ten
właśnie postulowany wymiar; np. , dx ma ten sam wymiar co
x, zatem całość tego wyrażenia ma wymiar f(x). Podobnie jest z wyższymi
pochodnymi f(x).
Uważam zatem, że całkowicie nieuzasadniony jest ostateczny wniosek
Żylicza:
[n]ie można jednak zgodzić się z tezą autora [Barnetta W. K.],
iż dostrzeżony przez niego problem każe odrzucić znaczną część
dorobku ekonomii, włącznie z funkcją produkcji Cobba Douglasa.
Taka reakcja jest mocno przesadzona, zaś argumenty stosowane
przeciwko funkcji Cobba Douglasa mogłyby być wysunięte
przeciw wielu równaniom stosowanym w naukach przyrodniczych.
Pozytywne jest jednak to, że podsumowując, Żylicz stwierdza:
artykuł [Barnetta W. K.] zwraca uwagę na pewien aspekt
modelowania matematycznego, który jest często ignorowany w
Fundacja Instytut Ludwiga von Misesa, 00-241 Warszawa ul. Długa 44/50, p. 214
KRS 0000174572 % NIP 894 277 56 04 % Regon 932949234 Bank account: PL 19 2130 0004 2001 0253 7975 0001
www.mises.pl % mises@mises.pl % +48 22 6352438
badaniach ekonomicznych. W tym sensie jest to artykuł, z którym
ekonomista powinien się zapoznać.
Emil Panek, Uwagi na marginesie artykułu W. Barnetta Dimensions and
Economics: Some Problems
W artykule tym autor przyjmuje podobną strategię, jak opisywana wyżej:
najpierw pochwalić Barnetta, a potem pokazać, że w istocie nie ma racji. Emil
Panek pisze na początku:
[p]roblem wymiarów w tzw. ekonomii ilościowej jest oczywiście
ważny, jak zresztą problem wymiarów w każdej nauce, w której
posługujemy się mianami. Ekonomia nie różni się pod tym
względem od fizyki, chemii i astronomii. [& ] W ekonomii, i w
ogóle w naukach społecznych, liczba czynników wpływających na
przebieg procesów jest tak duża, że parametrów ekonomicznych
w ścisłym tego słowa znaczeniu (niezmiennych w czasie i
przestrzeni) po prostu nie ma. [& ] Model matematyczny w
ekonomii różni się tym od modelu matematycznego w fizyce, że
fizyka (klasyczna) ma do czynienia z relatywnie prostymi
obiektami i prawami, czego nie można powiedzieć o ekonomii [& ]
Weryfikacja założeń w ekonomii jest trudna lub niekiedy
niemożliwa. Zmienność, złożoność procesów ekonomicznych
sprawia, że ponadczasowe , ponadprzestrzenne prawa
ekonomiczne nie istnieją w odróżnieniu od odwiecznych praw
fizyki czy astronomii.
Jednak po spostrzeżeniu, że ma rację prof. Barnett, że warunkiem
koniecznym poprawności (formalnej) teorii czy modelu matematycznego w
fizyce, ekonomii i każdej innej dziedzinie nauki jest zgodność wymiarów , Panek
pisze:
Nie zgadzam się natomiast ze stwierdzeniem, że wymiary w
ekonomii nie mają uzasadnienia i sensu (ekonomicznego),
podczas gdy w fizyce mają. Wymiary w fizyce są często równie
Fundacja Instytut Ludwiga von Misesa, 00-241 Warszawa ul. Długa 44/50, p. 214
KRS 0000174572 % NIP 894 277 56 04 % Regon 932949234 Bank account: PL 19 2130 0004 2001 0253 7975 0001
www.mises.pl % mises@mises.pl % +48 22 6352438
dziwaczne i skomplikowane, jak w ekonomii (zwłaszcza w fizyce
współczesnej). Równie nietrafny jest zarzut niestałości wymiarów.
Panek proponuje rozważenie funkcji produkcji Cobba Douglasa w postaci
intensywnej . Według niego
wymiar współczynnika a zmienia się w zależności od ą nie
dlatego, że funkcja opisuje proces ekonomiczny (a nie fizyczny),
ale z tego powodu, że opisywana zależność ma charakter
nieliniowy. To, że chodzi tu o zależności ekonomiczne, a nie
fizyczne, nie ma żadnego znaczenia. Nieliniowe procesy fizyczne
generują zmienne wymiary tak samo jak nieliniowe procesy w
ekonomii.
W naszym przykładzie
i, jak widać, wymiar a zmienia się w czasie wraz ze zmianą
wartości (bezwymiarowego z założenia) współczynnika
elastyczności produkcji względem kapitału ą.
Tutaj pozwolę sobie nie zgodzić się ze stwierdzeniem, że nieliniowe
procesy fizyczne generują zmienne wymiary tak samo jak nieliniowe procesy w
ekonomii . Trudno mi znalezć takie przypadki w fizyce, szkoda zatem, że Panek
nie podał konkretnych przykładów takich nieliniowych procesów fizycznych.
Dlatego też niezbyt zrozumiały jest dla mnie postulat i stwierdzenie prof.
Panka:
spełnione musi być bezwzględnie Kornayowskie kryterium prawdy
logicznej. Dotyczy to w szczególności zgodności wymiarów. Ale
tylko tyle! Niestałość wymiarów , brak uzasadnienia dla
wymiarów to nie są poważne zarzuty naukowe. [& ] Reasumując,
wymiary muszą być zgodne. A czy są proste, czy złożone, czy
stałe, czy niestałe, to nie ma większego znaczenia ani w
Fundacja Instytut Ludwiga von Misesa, 00-241 Warszawa ul. Długa 44/50, p. 214
KRS 0000174572 % NIP 894 277 56 04 % Regon 932949234 Bank account: PL 19 2130 0004 2001 0253 7975 0001
www.mises.pl % mises@mises.pl % +48 22 6352438
ekonomii, ani w żadnej innej nauce. W ekonomii punktem wyjścia
przy konstruowaniu wymiarów są zasoby i strumienie. Wszystkie
inne wymiary są ich pochodnymi.
Zbigniew Czerwiński, Kilka słów w sprawie wymiarów w ekonomii
I znów na początku pochwały i wyznanie autora:
Zgadzam się z W. Barnettem, że wymiary wielkości
występujących w modelach ekonomicznych (ekonometrycznych)
powinny być starannie definiowane. [& ] Czytelnik powinien
wiedzieć, czy chodzi np. o złote, czy złote na czas, czy o liczbę
robotników lub liczbę roboczogodzin itp. Wymiar parametrów jest
zdeterminowany przez wymiar zmiennych i gdy wymiar
zmiennych nie budzi wątpliwości, nie powinien ich też budzić
wymiar parametrów. [& ] Ważne jest natomiast, aby gdy
zapisuje się równania (czysto teoretyczne lub szacowane
empirycznie) wymiary prawej i lewej strony były jednakowe. W
pracach ekonomistów (ekonometryków) można znalezć przykłady
łamania tej zasady. Z tego powodu domaganie się jej
przestrzegania jest słuszne.
Potem jednak Zbigniew Czerwiński bagatelizuje zagadnienie, pisząc:
Barnetta gnębi problem niestałych wymiarów w ekonomii
(ekonometrii) w przeciwieństwie do ich stałości w fizyce. Tak
rzeczywiście jest, ale to zmartwienie tylko tych, którzy oczekują,
że nauki społeczne mogą (powinny) dokładnie naśladować nauki
przyrodnicze. Nie jest to jednak możliwe. Nauki przyrodnicze, w
szczególności fizyka, są w stanie formułować prawa uniwersalne,
sprawdzające się (przy stałych parametrach) niezależnie od
miejsca i czasu. Zjawiska społeczne takim prawom nie podlegają
chyba że za prawa uznamy też pewne niewiele znaczące
ogólniki w rodzaju gdy cena rośnie, to popyt spada , co
sprawdza się lub nie w zależności od okoliczności towarzyszących
Fundacja Instytut Ludwiga von Misesa, 00-241 Warszawa ul. Długa 44/50, p. 214
KRS 0000174572 % NIP 894 277 56 04 % Regon 932949234 Bank account: PL 19 2130 0004 2001 0253 7975 0001
www.mises.pl % mises@mises.pl % +48 22 6352438
wzrostowi cen (ceteris paribus). [& ] Parametry elastyczności i TFP
to charakterystyki procesu produkcji, które są różne w różnych
krajach i w różnych epokach. Dlaczego miałoby być inaczej?
Czerwiński dosyć nonszalancko rozprawia się z problemem, pisząc:
Wymiary parametrów funkcji produkcji nie mogą być stałe. Powód, dlaczego tak
jest, to kwestia filozoficzna, której nie będę rozważał . Czy uznanie, że jakiś
problem jest kwestią filozoficzną, to dostateczne uzasadnienie unikania
poszukiwania odpowiedzi? Chyba nie.
Moim zdaniem całkowicie nie do przyjęcia jest następujący argument
autora:
gdyby w Europie grawitacja była odwrotnie proporcjonalna do
kwadratu odległości [& ] a w Ameryce była odwrotnie
proporcjonalna do trzeciej potęgi odległości, to amerykański
wymiar stałej grawitacji byłby odmienny od europejskiego . [& ]
W sferze fizyki ta rozbieżność jest niemożliwa, ale w ekonomii
wydaje się być całkiem naturalna. Zamiast uniwersalnych praw
mamy tylko lokalne, statystyczne prawidłowości, sprawdzające się
na ogół i tylko z pewnym przybliżeniem.
Czym zatem jest nauka? Jeśli w ten sposób traktowalibyśmy analizę
ekonomiczną, to czy uzasadnione byłoby uznawanie ekonomii za naukę?
Maciej Przyłuski, Wymiary a ekonomia. Nie ma problemu
Maciej Przyłuski na początku chwali Barnetta, pisząc: autor pracy
postuluje, że konieczne jest konsekwentne i prawidłowe posługiwanie się
wymiarami. Trudno się z tym nie zgodzić . Zaraz po tym dodaje jednak: swoje
stwierdzenia autor wspiera dwoma przykładami, które moim zdaniem nie
pozwalają na sformułowanie żadnych inkwizytorskich osądów .
Dalej pisze w podobnym stylu, że przedstawione przez Barnetta zarzuty
wskazują raczej na podstawowe niezrozumienie przez niego arytmetyki liczb
kardynalnych: dla Barnetta z równości wynika (po skróceniu w obu
Fundacja Instytut Ludwiga von Misesa, 00-241 Warszawa ul. Długa 44/50, p. 214
KRS 0000174572 % NIP 894 277 56 04 % Regon 932949234 Bank account: PL 19 2130 0004 2001 0253 7975 0001
www.mises.pl % mises@mises.pl % +48 22 6352438
stronach tej równości ), że ; właśnie argumenty na tym poziomie się
pojawiają .
Dla Przyłuskiego problem postawiony przez Barnetta nie jest żadnym
problemem. Podążając za swoim poglądem, że [u]kład jednostek to przyjęty
(dość arbitralnie) zbiór wielkości podstawowych oraz pochodnych wraz z
jednostkami miar wielkości pochodnych , zadaje pytanie i udziela natychmiast
odpowiedzi:
[& ] jak są mierzone odpowiadające im wielkości występujące w
naszych rozważaniach dotyczących funkcji produkcji. Odpowiedz
jest prosta: te wielkości reprezentują czas; wszystkie z nich
mierzyć można za pomocą tego samego zegara! Nie używamy
specjalnego zegara do pomiaru upływającego czasu produkcji,
czasu pracy maszyn i czasu pracy ludzi. Rok to zwykle 8760
godzin, jedna maszynogodzina trwa godzinę, a jedna
roboczogodzina, nawet jak nam się dłuży, też trwa godzinę. [& ] K
jest mierzone w maszynogodzinach/czas, tak więc jednak K jest
wielkością bezwymiarową, po prostu, bo jej prawdziwy wymiar to
czas/czas. Podobnie L jest mierzone w roboczogodzinach/czas,
więc także L jest wielkością bezwymiarową. Oczywiście,
niepokojące Barnetta wielkości oraz są także
bezwymiarowe. Rozważmy teraz wymiar współczynnika A. Jest to
zgodne z tym, co zauważa Barnett
. [& ] wymiar współczynnika A jest taki sam, jak strumienia Q, co
chcieliśmy uzasadnić.
Można i tak przyjąć dość arbitralnie jednostki podstawowe i problem
znika. Co jednak, jeśli dość arbitralnie przyjmiemy (jak to często bywa w
statystykach), że kapitał mierzymy w jednostkach monetarnych, a czas w
roboczogodzinach?
Fundacja Instytut Ludwiga von Misesa, 00-241 Warszawa ul. Długa 44/50, p. 214
KRS 0000174572 % NIP 894 277 56 04 % Regon 932949234 Bank account: PL 19 2130 0004 2001 0253 7975 0001
www.mises.pl % mises@mises.pl % +48 22 6352438
Zresztą to nie jest jedyna wypowiedz Przyłuskiego w tym krótkim
artykule, w którym niczym Aleksander Macedoński rozwiązuje gordyjski węzeł.
Na zakończenie wywodu obwieszcza:
ekonomistom się wydaje, że rozpatrują bardziej skomplikowane
procesy niż te, z którymi mamy do czynienia w biologii, chemii,
fizyce (np. w geofizyce, metrologii) lub w niektórych naukach
technicznych (np. inżynierii procesowej). To jest jednak pogląd
mylny. Po prostu ww. nauki rozwijały się zawsze sprawniej od
teorii ekonomii.
Proste, prawda?
Zajrzyjmy do oryginału!
Po tej ponownej lekturze tekstów odnoszących się do artykułu Barnetta
zrobiłem coś, co powinienem zrobić co najmniej pięć lat temu, a czego nie
uczyniłem (ale jak mniemam, nie zrobiło tego też większość autorów jeśli nie
wszyscy łącznie z Barnettem). Sięgnąłem do oryginalnej pracy Cobba i
Douglasa z 1928 r.11 Jakież było moje zdziwienie, kiedy skonstatowałem, że to,
co jest używane jako funkcja Cobba Douglasa we współczesnej literaturze
ekonomicznej i w podręcznikach ekonomii, nie ma wiele wspólnego z oryginalną
propozycją Cobba i Douglasa.
Co zrobili Cobb i Douglas? Zebrali dane statystyczne dotyczące wielkości
zaangażowanego kapitału i pracy oraz wielkości produkcji w gospodarce
amerykańskiej (w sektorze produkcji przemysłowej) z lat 1899 1922. Te
oryginalne dane statystyczne, którymi się posługiwali, są przedstawione w trzech
kolejnych tabelach (rysunki 1, 2 i 3 zawierają odpowiednio tabele II, III i IV z
oryginalnej wersji artykułu z 1928 r.). Na marginesie: te dane obejmują też
okres kryzysu w latach 1920 1921, co widać chociażby po dużym spadku
inwestycji w 1921 r. w latach 1921 i 1922 (patrz pierwsza kolumna w table II
rysunek 1), oraz spadku produkcji w 1921 r. (patrz table IV rysunek 3). Warte
11
Charles Wiggins Cobb, Paul Howard Douglas, A Theory of Production, dz. cyt.
Fundacja Instytut Ludwiga von Misesa, 00-241 Warszawa ul. Długa 44/50, p. 214
KRS 0000174572 % NIP 894 277 56 04 % Regon 932949234 Bank account: PL 19 2130 0004 2001 0253 7975 0001
www.mises.pl % mises@mises.pl % +48 22 6352438
podkreślenia i godne zauważenia jest to, że już w 1922 r. produkcja wyraznie
wzrosła. Głębokość depresji w latach 1920 1921 była podobna do głębokości
depresji z 1929 r. różnica jest jedynie taka, że wyjście z depresji lat 1920
1921 dokonało się głównie dzięki spontanicznym siłom rynkowym, a wyjście z
depresji 1929 r. dokonywało się przy dużej interwencji państwa. Gospodarka
amerykańska wyszła z kryzysu lat 1920 1921 bardzo szybko, a z kryzysu w
1929 r. wychodziła przez następne 10 lat. Dlatego też kryzys z lat 1920 1921
często nazywa się kryzysem, o którym nie słyszeliście albo zapomnianym
kryzysem .
Najistotniejsze jest jednak to, że przy estymacji parametrów funkcji
produkcji Cobb i Douglas posługiwali się nie wartościami bezwzględnymi, a
wartościami względnymi (wskaznikami). Dlatego w tabelach są podane te
wartości względne: na rysunku 1 (table II) wskaznik zmian zaangażowanego
kapitału jest przedstawiony w ostatniej kolumnie (w latach 1899 1922 kapitał
ten wzrósł 4,31 razy), na rysunkach 2 i 3 (table III i table IV) autorzy podali
tylko same wartości wskazników zaangażowanej pracy i wielkości produkcji. Na
rysunku 4 przedstawiono oryginalne wykresy zmian wskazników
zaangażowanego kapitału, zatrudnienia i wielkości produkcji.
Fundacja Instytut Ludwiga von Misesa, 00-241 Warszawa ul. Długa 44/50, p. 214
KRS 0000174572 % NIP 894 277 56 04 % Regon 932949234 Bank account: PL 19 2130 0004 2001 0253 7975 0001
www.mises.pl % mises@mises.pl % +48 22 6352438
Rysunek 1. Oryginalna tabela z artykułu Cobba i Douglasa (1928) zawierająca
dane statystyczne o zaangażowanym kapitale w sektorze produkcyjnym Stanów
Zjednoczonych w latach 1899 1922
Fundacja Instytut Ludwiga von Misesa, 00-241 Warszawa ul. Długa 44/50, p. 214
KRS 0000174572 % NIP 894 277 56 04 % Regon 932949234 Bank account: PL 19 2130 0004 2001 0253 7975 0001
www.mises.pl % mises@mises.pl % +48 22 6352438
Rysunek 2. Oryginalna tabela z artykułu Cobba i Douglasa (1928) zawierająca
dane statystyczne o zaangażowanej liczbie pracowników w sektorze
produkcyjnym Stanów Zjednoczonych w latach 1899 1922
Rysunek 3. Oryginalna tabela z artykułu Cobba i Douglasa (1928) zawierająca
dane statystyczne o wielkości produkcji materialnej Stanów Zjednoczonych w
latach 1899 1922
Fundacja Instytut Ludwiga von Misesa, 00-241 Warszawa ul. Długa 44/50, p. 214
KRS 0000174572 % NIP 894 277 56 04 % Regon 932949234 Bank account: PL 19 2130 0004 2001 0253 7975 0001
www.mises.pl % mises@mises.pl % +48 22 6352438
Rysunek 4. Oryginalny rysunek z artykułu Cobba i Douglasa (1928) obrazujący
zmiany względne kapitału, wielkości zatrudnienia i wielkości produkcji w Stanach
Zjednoczonych w latach 1899 1922
Rysunek 5. Fragment oryginalnego tekstu artykułu Cobba i Douglasa z 1928 r.
Na rysunku 5 przedstawiono fragment oryginalnego tekstu Cobba i
Douglasa dotyczącego ostatecznego wyboru postaci funkcji produkcji do
estymacji parametrów i aproksymacji rzeczywistej wielkości produkcji w Stanach
Zjednoczonych. Warto zauważyć, że autorzy są świadomi potrzeby zachowania
wielkiej ostrożności w wyborze postaci funkcji produkcji (jak sami piszą:
Fundacja Instytut Ludwiga von Misesa, 00-241 Warszawa ul. Długa 44/50, p. 214
KRS 0000174572 % NIP 894 277 56 04 % Regon 932949234 Bank account: PL 19 2130 0004 2001 0253 7975 0001
www.mises.pl % mises@mises.pl % +48 22 6352438
rezerwując sobie prawo innego wyboru, jeśli sobie tego zażyczymy ); P , L i C
oznaczają odpowiednio wskazniki wielkości produkcji, wielkości zatrudnienia i
zaangażowanego kapitału. Estymacji parametrów b i k Cobb i Douglas dokonują,
przyjmując za kryterium dopasowania do danych rzeczywistych miarę błędu
średniokwadratowego. Z tych estymacji wynika im, że optymalne wartości to b =
12
1,01 oraz k = . Jakość tego dopasowania przedstawiono na rysunku 6
(oryginalny wykres z artykułu Cobba i Douglasa). To, co mnie zastanawia (a
może i niepokoi), to otrzymana dosyć okrągła wartość parametru k (= ). Z
reguły przy estymacji parametrów jakiejkolwiek funkcji wielkości optymalne
parametrów są wartościami rzeczywistymi, których wartości zwykle zaokrągla się
na którymś tam (np. czwartym) miejscu znaczącym.
Warto zatem zapisać w jawny sposób postać funkcji produkcji stosowanej
przez Cobba i Douglasa:
.
Stosując taką postać funkcji produkcji, Cobb i Douglas unikają wszelkich
problemów związanych z analizą wymiarową, jako że wszelkie używane przez
nich zmienne są bezwymiarowymi wskaznikami. Można by zatem powiedzieć, że
przynajmniej w przypadku funkcji produkcji Cobba Douglasa problem
postawiony przez Barnetta samoistnie znika. Nie oznacza to, że postulowana
przez Barnetta konieczność rygorystycznego stosowania analizy wymiarowej w
ekonomii także przestaje być zasadna. Problem nadal istnieje i ta potrzeba jest
tak samo ważna jak w fizyce i we wszelkich innych naukach.
12
Te parametry b i k odpowiadają we współczesnej notacji parametrom A i 1-ą.
Fundacja Instytut Ludwiga von Misesa, 00-241 Warszawa ul. Długa 44/50, p. 214
KRS 0000174572 % NIP 894 277 56 04 % Regon 932949234 Bank account: PL 19 2130 0004 2001 0253 7975 0001
www.mises.pl % mises@mises.pl % +48 22 6352438
Rysunek 6. Oryginalne wykresy z artykułu Cobba i Douglasa (1928) obrazujące
jakość dopasowania funkcji produkcji do rzeczywistych danych o wielkości
produkcji w Stanach Zjednoczonych w latach 1899 1922
Kiedy pięć lat temu pisaliśmy komentarz do artykułu Baretta (Kwaśnicki,
Zieliński, 2006) nie zajrzeliśmy (niestety, chciałoby się powiedzieć) do
oryginalnego artykułu Cobba i Douglasa z 1928 r. Dopiero teraz widzimy, jak
Fundacja Instytut Ludwiga von Misesa, 00-241 Warszawa ul. Długa 44/50, p. 214
KRS 0000174572 % NIP 894 277 56 04 % Regon 932949234 Bank account: PL 19 2130 0004 2001 0253 7975 0001
www.mises.pl % mises@mises.pl % +48 22 6352438
wiele by to zmieniło, gdybyśmy to uczynili. Intuicyjnie wyczuwaliśmy jednak tok
myślenia Cobba i Douglasa. Napisaliśmy wtedy:
Wezmy jako przykład funkcję popytu o stałej elastyczności cenowej:
elastyczność ą jest liczbą, która zmienia się w zależności od
analizowanego rynku, może być różna w różnych okresach czasowych. Jeśli cena
jest wyrażona w złotówkach, Q w sztukach (np. wihajstrów, telewizorów,
samochodów), to a powinno mieć wymiar [szt " zł-ą]. Napotykamy tutaj problem
postawiony przez Barnetta. W odróżnieniu od sytuacji w fizyce (np. przy
równaniu na siłę przyciągania grawitacyjnego), gdzie wykładnik potęgi jest z
reguły stały (w równaniu na siłę grawitacji wykładnik przy odległości r jest równy
2). Zatem stała grawitacji G ma niezmienny wymiar niezależnie od tego, czy
analizujemy siły przyciągania się mikrocząstek na ziemi, czy siły przyciągania się
planet. W sytuacji funkcji popytu już tak nie jest. Wymiar parametru a musiałby
się zmieniać w zależności od tego, jaki rynek i w jakim czasie analizujemy (bo ą
nie jest stałą). Rozwiązaniem, które w takiej sytuacji można zastosować, jest
wybór jakiejś ceny referencyjnej p0 i odniesienie ceny bieżącej do ceny
referencyjnej, czyli zapisanie funkcji popytu w postaci:
.
Wówczas wymiar parametru a jest równy [szt] i niezależny od ą bo p/p0
jest bezwymiarową liczbą rzeczywistą. Można zarzucić temu podejściu, że jest
ono swego rodzaju protezą , ale na obecnym etapie analizy ekonomicznej, kiedy
chcemy stosować aparat matematyczny, jest to pewne wyjście, które umożliwia
uniknięcie problemów metodologicznych, a nawet problemów natury
fundamentalnej.
Podobnie można postąpić w przypadku funkcji produkcji, odnosząc
bieżący kapitał i pracę do kapitału i pracy referencyjnej (K0 i L0):
.
A więc ta zaproponowana przez nas postać funkcji produkcji jest tożsama
z tą zaproponowaną przez Cobba i Douglasa w 1928 r.
Fundacja Instytut Ludwiga von Misesa, 00-241 Warszawa ul. Długa 44/50, p. 214
KRS 0000174572 % NIP 894 277 56 04 % Regon 932949234 Bank account: PL 19 2130 0004 2001 0253 7975 0001
www.mises.pl % mises@mises.pl % +48 22 6352438
Jeśli już jesteśmy przy historii związanej ze zmianą interpretacji pewnych
klasycznych pojęć, to wspomnę o moim zdaniem jednym z najważniejszych
takich przypadków13. Pod koniec lat 50. XX w. Alban William Phillips bawił się
danymi statystycznymi, dopasowując dane z rozwoju Wielkiej Brytanii w latach
1861 1957, i określił zależność pomiędzy bezrobociem (U) i stopą zmian płac
nominalnych (W). Opublikował te swoje rozważania w sławnym artykule
Relationship between Unemployment and the Rate of Change of Money Wages in
the United Kingdom 1861 195714. Na rysunku 7 przedstawiono oryginalny
wykres z pracy Phillipsa. Artykuł jest przykładem dobrej, solidnej pracy
ekonomisty rzemieślnika (w tym bardzo pozytywnym znaczeniu tego słowa).
Jednakże w 1960 r. Paul Samuelson i Robert Solow opublikowali w prestiżowym
American Economic Review artykuł pt.: Analytical Aspects of Anti-Inflation
Policy, w którym dokonali reinterpretacji (słowo nadużycie byłoby lepsze)
krzywej zaproponowanej przez Phillipsa i przedstawili ją jako zależność pomiędzy
wielkością bezrobocia i inflacji. Stwierdzili, że istnieje wymienność pomiędzy
inflacją a bezrobociem (wysokiej inflacji towarzyszy niskie bezrobocie i odwrotnie
gdybyśmy chcieli zmniejszyć inflację, musielibyśmy się zgodzić na to, by
wzrosło bezrobocie). Oryginalny wykres z pracy Samuelsona i Solowa
reinterpretujący krzywą Philipsa przedstawia rysunek 8.
W 1961 r. Samuelson włączył tak zreinterpretowaną krzywą Phillipsa do
piątego wydania swojego podręcznika Economics, a że podręcznik był w tamtym
czasie traktowany jako wzorcowy, to wielu innych autorów podręczników (i
artykułów naukowych) dokonało tego samego w następnych latach. W ten
sposób kolejne pokolenia studentów są uczone tej błędnej postaci krzywej
Phillipsa, ale co gorsza, uczeni sądzą, że taka krzywa może być podstawą
prowadzenia polityki gospodarczej rządów (w tej postaci weszła do
standardowego zestawu narzędzi polityki gospodarczej keynesistów i
neoklasyków).
Nawiasem mówiąc, trzeba się wykazać naprawdę dobrą wolą , by na
podstawie danych statystycznych (czy to zebranych przez Phillipsa, czy przez
Samuelsona i Solowa), tak bardzo rozrzuconych (np. rysunek 7),
13
Od wielu lat zwracam na to uwagę studentom, kiedy omawiamy tzw. krzywą Phillipsa.
14
Economica 1958, listopad.
Fundacja Instytut Ludwiga von Misesa, 00-241 Warszawa ul. Długa 44/50, p. 214
KRS 0000174572 % NIP 894 277 56 04 % Regon 932949234 Bank account: PL 19 2130 0004 2001 0253 7975 0001
www.mises.pl % mises@mises.pl % +48 22 6352438
zaproponować gładką krzywą (rysunek 8) obrazująca zamienność inflacji i
bezrobocia , która to krzywa bez zastrzeżeń została przyjęta przez polityków
gospodarczych.
Rysunek 7. Oryginalny wykres z pracy A. W. Phillipsa obrazujący zależność
pomiędzy wielkością bezrobocia a stopą zmian płac
Fundacja Instytut Ludwiga von Misesa, 00-241 Warszawa ul. Długa 44/50, p. 214
KRS 0000174572 % NIP 894 277 56 04 % Regon 932949234 Bank account: PL 19 2130 0004 2001 0253 7975 0001
www.mises.pl % mises@mises.pl % +48 22 6352438
Rysunek 8. Reinterpretacja krzywej Phillipsa dokonana przez Samuelsona i
Solowa
Podsumowanie
Jeżeli w analizie ekonomicznej stosujemy modele formalne
(matematyczne), to bezwzględnie, tak jak to jest np. w fizyce, powinniśmy
przestrzegać zgodności wymiarów we wszystkich stosowanych równaniach. Jeśli
w tych równaniach występują parametry posiadające jakieś wymiary, to wymiary
tych parametrów powinny być niezmienne w czasie oraz niezależne od regionu,
kraju, sektora, gałęzi przemysłu (ogólnie miejsca), do którego to równanie się
stosuje. Ekonomiści w swoich pracach powinni przynajmniej zasygnalizować
czytelnikowi, że są świadomi problemu wymiarowości w stosowanej przez nich
analizie.
Warto jednak powiedzieć, że powszechna dążność ekonomii
ortodoksyjnej do opisu ilościowego zjawisk gospodarczych nie oznacza, że taki
Fundacja Instytut Ludwiga von Misesa, 00-241 Warszawa ul. Długa 44/50, p. 214
KRS 0000174572 % NIP 894 277 56 04 % Regon 932949234 Bank account: PL 19 2130 0004 2001 0253 7975 0001
www.mises.pl % mises@mises.pl % +48 22 6352438
opis jest pełny i adekwatny. W ekonomii (ale także w innych naukach, np. fizyce,
o czym pisał m.in. Feynman) opis ilościowy czy formalny nie jest tożsamy ze
zrozumieniem zjawiska. W tym kontekście warto przytoczyć wypowiedz Daniela
Yankelovicha (teoretyka, profesora psychologii, ale też praktyka założyciela
znanej firmy badającej rynki) na temat nadmiernej ufności pokładanej w liczbach
i liczeniu:
Krok pierwszy to zmierzyć i policzyć to, co może być łatwo
zmierzone i policzone. I to jest całkiem okej. Krok drugi to
pominąć to, czego nie da się zmierzyć i policzyć, albo przypisać
temu czemuś jakąś arbitralną wartość liczbową. To jest
posunięcie sztuczne, które wprowadza nas w błąd. Krok trzeci to
przyjąć, że to, czego nie da się zmierzyć i policzyć, tak naprawdę
nie jest zbyt ważne. To jest ślepota. Krok czwarty to stwierdzić,
że to, czego się nie da zmierzyć i policzyć, właściwie nie istnieje.
To samobójstwo15.
Literatura
Barnett William II, Dimensions and Economics: Some Problems, The Quarterly
Journal of Austrian Economics 2003, t. 6, nr 3, s. 27 46,
www.mises.org/journals/qjae/pdf/qjae6_3_2.pdf; poprawiona wersja w: t. 7,
nr 1 (wiosna 2004), mises.org/journals/qjae/pdf/qjae7_1_10.pdf; polskie
tłumaczenie: Burnett Wiliam II, Wymiary a ekonomia. Niektóre problemy,
Studia Ekonomiczne 2006, nr 3, dostępne pod:
http://kwasnicki.prawo.uni.wroc.pl/todownload/BarnettWymiary.pdf.
Barnett Wiliam II, Wymiary a ekonomia. Niektóre problemy, Studia
Ekonomiczne 2006, nr 3.
Bednarski Tadeusz, Głos polemiczny do artykułu Williama Barnetta, Studia
Ekonomiczne 2006, nr 3.
Cobb Charles Wiggins, Douglas Paul Howard, A Theory of Production, American
Economic Review 1928, nr 18(1), s. 139 165; Supplement, Papers and
15
Za: John C. Bogle, Dość. Prawdziwe miary bogactwa, biznesu i życia, Polskie
Towarzystwo Ekonomiczne, Warszawa 2009, s. 132 133.
Fundacja Instytut Ludwiga von Misesa, 00-241 Warszawa ul. Długa 44/50, p. 214
KRS 0000174572 % NIP 894 277 56 04 % Regon 932949234 Bank account: PL 19 2130 0004 2001 0253 7975 0001
www.mises.pl % mises@mises.pl % +48 22 6352438
Proceedings of the Fortieth Annual Meeting of the American Economic
Association.
Czerwiński Zbigniew, Kilka słów o sprawie wymiarów w ekonomii, Studia
Ekonomiczne 2006, nr 3.
De Jong Frits J., Dimensional Analysis for Economists, North Holland Pub. Co.
Amsterdam 1967.
Douglas Paul Howard, The Cobb-Douglas Production Function Once Again: Its
History, Its Testing, and Some Empirical Values, Journal of Political Economy
1976, nr 84, s. 903 916.
Hockuba Zbigniew, Złożoność a ekonomia. Wybrane problemy. Uwagi na
marginesie artykułu Williama Barnetta II, Studia Ekonomiczne 2006, nr 3.
Kasprzak Wacław, Bertold Lysik, Analiza wymiarowa w projektowaniu
eksperymentu, Zakład Narodowy im. Ossolińskich, Wrocław 1978.
Kasprzak Waclaw, Bertold Lysik, Marek Rybaczuk, Dimensional Analysis in the
Identification of Mathematical Models, World Scientific, Singapur, 1990.
Kostro Krzysztof, Barnett, szkoła austriacka a wymiary w ekonomii, Studia
Ekonomiczne 2006, nr 3.
Kwaśnicki Witold, Zieliński Marcin, Uwagi do artykułu Barnetta Wymiary a
ekonomia , Studia Ekonomiczne 2006, nr 3.
Malawski Andrzej, Nieco hałasu o coś, czyli kilka uwag ad hoc o wymiarowości w
ekonomii, Studia Ekonomiczne 2006, nr 3.
Panek Emil, Uwagi na marginesie artykułu W. Barnetta Dimensions and
Economics: Some Problems , Studia Ekonomiczne 2006, nr 3.
Phillips A. W., Relationship between Unemployment and the Rate of Change of
Money Wages in the United Kingdom 1861 1957, Economica 1958, listopad, s.
283 299.
Przyłuski Krzysztof Maciej, Wymiary a ekonomia. Nie ma problemu, Studia
Ekonomiczne 2007, nr 1 2.
Samuelson Paul A., Solow Robert M., Analytical Aspects of Anti-Inflation Policy,
American Economic Review 1960, 50(2), s. 177 194.
Żylicz Tomasz, Czy w ekonomii jednostki pomiaru coś znaczą?, Studia
Ekonomiczne 2006, nr 3.
Załącznik
Fundacja Instytut Ludwiga von Misesa, 00-241 Warszawa ul. Długa 44/50, p. 214
KRS 0000174572 % NIP 894 277 56 04 % Regon 932949234 Bank account: PL 19 2130 0004 2001 0253 7975 0001
www.mises.pl % mises@mises.pl % +48 22 6352438
Wymiary w fizyce
Układ SI (SystŁme International d Units); zatwierdzony w 1960 r.
Nazwa Jednostka Wielkość fizyczna
metr m długość
kilogram kg masa
sekunda s czas
amper A natężenie prądu elektrycznego
kelwin K temperatura
kandela cd natężenie światła, światłość
mol mol liczność materii
Jednostki pochodne
Informacje dotyczące
Nazwa Jednostka Wielkość fizyczna jednostki (liczby
niemianowane)
miara kąta
radian rad
płaskiego
miara kąta
steradian sr
bryłowego
Wielkość Nazwa Oznaczenie W jednostkach podstawowych
siła niuton N kg m s-2
ciśnienie paskal Pa kg m-1 s-2
energia, praca dżul J kg m2 s-2
moc wat W kg m2 s-3
Fundacja Instytut Ludwiga von Misesa, 00-241 Warszawa ul. Długa 44/50, p. 214
KRS 0000174572 % NIP 894 277 56 04 % Regon 932949234 Bank account: PL 19 2130 0004 2001 0253 7975 0001
www.mises.pl % mises@mises.pl % +48 22 6352438
W jednostkach
Wielkość Nazwa Oznaczenie
podstawowych
ładunek elektryczny kulomb C A s
napięcie elektryczne wolt V kg m2 s-3 A-1
pojemność elektryczna farad F kg-1 m-2 s4 A2
rezystancja om kg m2 s-3 A-2
przewodność elektryczna simens S kg-1 m-2 s3 A2
strumień magnetyczny weber Wb kg m2 s-2 A-1
indukcja magnetyczna tesla T kg s-2 A-1
indukcyjność henr H kg m2 s-2 A-2
Fundacja Instytut Ludwiga von Misesa, 00-241 Warszawa ul. Długa 44/50, p. 214
KRS 0000174572 % NIP 894 277 56 04 % Regon 932949234 Bank account: PL 19 2130 0004 2001 0253 7975 0001
www.mises.pl % mises@mises.pl % +48 22 6352438
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Finanse Finanse zakładów ubezpieczeń Analiza sytuacji ekonom finansowa (50 str )Podstawy analizy finansowo ekonomicznejAnaliza Wymiaru Fraktalnego Okrzemek 05 Ambroziak p12Szczepanowska DRZEWA W OTOCZENIU ULIC – PROBLEMY INŻYNIERYJNE, SPOŁECZNE, EKONOMICZNE ORAZ BEZPIECZAnaliza techniczno ekonomiczna biogazA Szurek Teorie fikcji i problemy analizy Władcy Pierścieni J R R TolkienaAnaliza ekonomiczna spółki Centrum Klima S Aanaliza ekonomicznaOmówienie metodyki prowadzenia poszczególnych analiz problemowych naM Cupryjak analiza otoczenia przedsiębiorstwa, EkonomiaIII, UKSWAnaliza ekonomiczna 04Analiza tolerancji wymiarowych przegubowego połączenia belki z podciągiemAnaliza ekonomiczna 06więcej podobnych podstron