RÓŻNICZKA FUNKCJI
Definicja (różniczki funkcji)
Różniczką funkcji f w punkcie x0 dla przyrostu "x zmiennej niezależnej
x nazywamy iloczyn

f (x0) · "x
Różniczkę oznaczamy symbolem d f (x0), bądz
też krótko d f lub dy.
Przyrost "x nazywamy różniczką zmiennej niezależnej x i oznaczamy
symbolem dx.
Mamy zatem
de f de f

d f (x0) = f (x0) · dx lub krótko dy = f (x0) · dx
Uwaga (zast. różniczki do obl. przybliżonych wartości funkcji)
Niech funkcja f ma pochodną właściwą w punkcie x0. Wówczas

f (x0 + "x) H" f (x0) + f (x0)"x
Definicja (różniczki rzędu n funkcji)
Różniczką rzędu n funkcji f w punkcie x0 dla przyrostu "x zmiennej
niezależnej x nazywamy wyrażenie
de f
(n)
dn f (x0) = f (x0) · dxn
przy czym dxn a" (dx)n. Zamiast dn f (x0) piszemy krótko dn f .
Jeżeli y = f (x), to zamiast dn f (x) piszemy także dny. Stąd
dn f dny
(n)
f (x) a" a"
dxn dxn
Rozwinięcie Taylora i Maclaurina funkcji
Definicja (wielomian Taylora i Maclaurina)
Niech funkcja f ma w punkcie x0 pochodną właściwą k-tego rzędu,
gdzie k " N *" {0}. Wielomian
(k)
de f f (x0) f (x0) f (x0)
Pk(x) = f (x0)+ (x - x0)+ (x - x0)2 +...+ (x - x0)k
1! 2! k!
nazywamy wielomianem Taylora rzędu k funkcji f w punkcie x0. Jeżeli
x0 = 0, to wielomian ten nazywamy wielomianem Maclaurina.
Uwaga
Wielomian Pk jest jedynym wielomianem stopnia k, który spełnia wa-
runki
(k)
(k)
Pk(x0) = f (x0), Pk(x0) = f (x0), Pk (x0) = f (x0), ..., Pk (x0) = f (x0)
Twierdzenie (wzór Taylora z reszta Lagrange a)
¸
Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
1. ma ciagła pochodną rzędu n - 1 na przedziale [x0, x],
¸ ¸
(n)
2. istnieje właściwa pochodna f na przedziale (x0, x),
to istnieje punkt c " (x0, x) taki, że
(n)
f (c)
f (x) = Pn-1(x) + (x - x0)n
n!
Uwaga
Twierdzenie powyższe jest prawdziwe również dla przedziału [x, x0],
wtedy c " (x, x0).
Uwaga
Równość występującą w tezie twierdzenia nazywamy wzorem Taylora.
Wyrażenie
(n)
de f f (c)
Rn(x) = (x - x0)n
n!
nazywamy n-ta resztÄ… Lagrange a.
¸
Resztę tę można także zapisać w postaci
(n)
f (x0 + Åš"x)
Rn(x) = ("x)n
n!
gdzie 0 < Åš < 1 oraz "x = x - x0.
Dla x0 = 0 wzór Taylora przyjmuje postać
(n-1) (n)
f (0) f (0) f (0) f (c)
f (x) = f (0) + x + x2 + ... + xn-1 + xn
1! 2! (n - 1)! n!
gdzie c " (0, x) dla x > 0 lub c " (x, 0) dla x < 0. Równość tę nazywamy
wzorem Maclaurina.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
wykład 9 ETI
wyklad8 ETI
wykład 8 ETI
wykład 4 ETI
wykład 5 ETI
wykład 5 ETI
wyklad18 ETI
wyklad19 ETI
wykład 7 ETI
wykład 3 ETI
wyklad9 ETI
wykład 12 ETI
Sieci komputerowe wyklady dr Furtak
Wykład 05 Opadanie i fluidyzacja

więcej podobnych podstron