Analiza matematyczna i elementy analizy wektorowej
Lista pierwsza
1
Zadanie 1.1 Korzystaj c z de nicji zbada zbie no podanych ca ek niew a ciwych pierwszego rodzaju:
1 1 1 0
Z Z Z Z
dx dx
,x
a ; b 2 dx; c x cos xdx; d ;
x +2 2 x2 +4
1 0 ,1
1 1 1 , 1
Z Z Z Z
dx dx 3
e p ; f ; g x2e,x dx: h* , arcctg x dx:
3
3x +5 x2 , 4x +13
1 ,1 ,1 ,1
Zadanie 1.2
Korzystaj c z kryterium por wnawczego lub ilorazowego zbada zbie no podanych ca ek niew a ciwych pierwszego
rodzaju:
1 1 1 0 1
Z Z Z Z Z
dx x , 1 dx 1 + sin x 2x dx xdx
a p ; b ; c dx; d ; e p ;
3
x , 3 x4 + x +1 x3 x , 1
x7 +1
10 2 ,1 0
1 1 ,1 1 1
Z Z Z Z Z
x
1 xdx e2x +1 x +1 x2 dx
f sin2 dx; g p ; h dx; i e,x dx; j :
x ex , 1 x x3 , sin x
x5 , 3
1 5 ,1 10 1
Zadanie 1.3
Zbada zbie no i zbie no bezwzgl dn podanych ca ek niew a ciwych:
1 1 0
Z Z Z
sin 3xdx cos xdx
a ; b x cos 2xdx; c :
e2x +1 x2 +1
0 ,1
Zadanie 1.4
Korzystaj c z defnicji zbada zbie no podanych ca ek niew a ciwych drugiego rodzaju dla ca ek zbie nych obliczy ich
warto ci :
0 3 e
Z Z Z Z
dx dx dx ln xdx
a p ; b ; c ; d :
5
sin x x x , 3 x
x2
, 1 2 0
2
Zadanie 1.5
Korzystaj c z kryterium por wnawczego lub ilorazowego zbada zbie no podanych ca ek niew a ciwych drugiego ro-
dzaju:
p
2 2 4
Z Z Z Z
1
arctg ex dx cos2 xdx dx
x
a p dx; b ; c p ; d p ;
3
x x3 x , x2 + x
0 0 0 0
1 1
Z Z Z Z
sin3 x e2x , 1 dx dx
e dx; f p dx; g p ; h :
3 3
x4 cos x arcsin x 2
x4
0 0 0
2
Zadanie 1.6
Znale sumy cz ciowe i nast pnie zbada zbie no podanych szereg w:
1 n 1 1 1
X X X X
5 n , 1 1 1
a ; b ; c p ; d* arctg :
p
6 n! 2n2
n +1 + n
n=0 n=2 n=1 n=1
1
Zadania z pierwszych dziewi ciu list pochodz ze skryptu Analiza matematyczna 2. Przyk ady i zadania . Zadania z pozosta ych
pi ciu list pochodz ze skryptu Elementy anali zy wektorowej. Teoria, przyk ady, zadani a.
1
Zadanie 1.7
Korzystaj c z kryterium ca kowego zbada zbie no podanych szereg w:
1 1 1 1
X X X X
1 n ln n 1
a ; b ; c ; d* :
n2 + n n2 +4 n2 n ln n ln ln n
n=1 n=1 n=2 n=2
Zadanie 1.8
Korzystaj c z kryterium por wnawczego zbada zbie no podanych szereg w:
1 1 1 1
X X X X
3 n +1
a ; b ; c sin ; d* tg :
n2 +2 n2 +1 2n 4n
n=1 n=1 n=1 n=1
Lista druga
Zadanie 2.1
Korzystaj c z kryterium d'Alemberta zbada zbie no podanych szereg w:
1 1 1 1 1 1 n
X X X X X X Y
p
100n n! n! 2 nn
k
a ; b n2 sin ; c ; d ; e ; f* 1 , 2 :
n! 2n nn 2n ! 3nn!
n=1 n=1 n=1 n=1 n=1 n=2 k=2
Zadanie 2.2
Korzystaj c z kryterium Cauchy'ego zbada zbie no podanych szereg w:
2
1 1 1 1
X X X X
n +1 2n 2n +3n 3nnn 1
a ; b ; c ; d arccosn :
2n2 +1 n 3n +4n n +1 n2 n2
n=1 n=1 n=1 n=1
Zadanie 2.3
Korzystaj c z kryterium ilorazowego zbada zbie no podanych szereg w:
1 1 1 1
sin
X X X X
n2 + n +1 2n , 1 1
3n
a ; b ; c arctg ; d .
2n3 , 1 3n , 1 n2
sin
n=1 n=1 n=1 n=1
2n
Zadanie 2.4
Zbada zbie no oraz zbie no bezwzgl dn podanych szereg w:
1 1 n 1
X X X
,1 n+1 ,2n ,1 nn
a ; b ; c .
2n +1 3n +5 n2 +1
n=1 n=1 n=2
Zadanie 2.5
Wykaza zbie no odpowiedniego szeregu i nast pnie na podstawie warunku koniecznego zbie no ci szereg w uzasadni
podane r wno ci:
n5 nn n!
a lim =0; b lim =0; c lim =0:
n!1 n!1 n!1
7n n! 2 nn
Zadanie 2.6
Wyznaczy promienie zbie no ci podanych szereg w pot gowych oraz zbada ich zbie no na kra cach przedzia w
zbie no ci:
1 1 1 1
X X X X
xn x +3 n n!xn
n
a ; b n x , 2 ; c ; d* .
n2n n3 nn
n=1 n=1 n=1 n=1
Zadanie 2.7
Znale szeregi Maclaurina podanych funkcji i okre li przedzia y zbie no ci tych szereg w:
x
a f x = xe, 2x; b f x = ; c f x = sh x; d* f x = ln 1 + x :
9 + x2
Zadanie 2.8
Stosuj c twierdzenia o r niczkowaniu i ca kowaniu szereg w pot gowych obliczy sumy podanych szereg w:
1 1 1 1
X X X X
n n +1 2n , 1 n n2
a ; b ; c* ; d* :
4n 3n n + 2 2n 52n
n=1 n=2 n=1 n=1
2
Lista trzecia
Zadanie 3.1
Spo r d podanych zbior w na p aszczy nie lub w przestrzeni wskaza te, kt re s ograniczone, otwarte, domkni te. Kt re
z tych zbior w s obszarami ?
a A = x; y 2 R2 : x2 y 2x2 ; b B = x; y; z 2 R3 : xyz =0 ; c C = x; y; z 2 R3 : x2 + y2 + z2 9 :
Zadanie 3.2
Wyznaczy i narysowa dziedziny naturalne podanych funkcji:
p p
p ,
x2 + y2 , 4
a f x; y =ln ; b g x; y; z = x + y , 1 + z , 2; c h x; y; z = arcsin x2 + y2 + z2 , 2 .
9 , x2 , y2
Zadanie 3.3
Znale poziomice wykres w podanych funkcji i na tej podstawie naszkicowa te wykresy:
p p
a f x; y = x2 + y2; b g x; y = 4 , x2 , y2; c h x; y = sin y; d p x; y = ex,y.
Zadanie 3.4
Zbada , czy podane ci gi punkt w na p aszczy nie lub w przestrzeni s zbie ne i ewentualnie znale ich granice:
p
n2
n
n
a xn; yn = ,1 ; sin ; b xn; yn; zn = ; 2; 3 :
n n2 +1
Zadanie 3.5
Zbada , czy istniej podane granice funkcji i obliczy te, kt re istniej :
,
1 x2 , y2 x + y , 2 sin2 x
a lim x2 + y2 sin ; b lim ; c lim ; d lim .
x;y ! 0;0 xy x;y ! 0;0 x2 + y2 x;y ! 1;1 x2 + y2 , 2 x;y ! ;0 y2
Zadanie 3.6
Znale zbiory punkt w ci g o ci podanych funkcji:
p
sin x dla y 0;
1 , x2 , y2 dla x2 + y2 1;
a f x; y = b f x; y =
1 dla y 0:
0 dla x2 + y2 1;
Lista czwarta
Zadanie 4.1
Obliczy wszystkie pochodne cz stkowe pierwszego rz du podanych funkcji:
1 , xy x
a f x; y = arctg ; b f x; y; z = ;
x + y x2 + y2 + z2
y
x
c f x; y = esin ; d f x; y; z = sin x cos y sin z .
Zadanie 4.2
Korzystaj c z de nicji zbada , czy istniej pochodne cz stkowe rz du pierwszego podanych funkcji we wskazanych punk-
tach:
p
1 dla xy =0;
5
a f x; y = x0; y0 = 0; 0 ; b f x; y; z = xy z , 1 ; x0; y0; z0 = 0; 0; 1 .
0 dla xy =0;
6
Zadanie 4.3
Obliczy wszystkie pochodne cz stkowe drugiego rz du podanych funkcji i sprawdzi , czy pochodne cz stkowe mieszane
s r wne:
,
a f x; y = sin x2 + y2 ; b f x; y = xexy;
,
1
c f x; y; z = p ; d f x; y; z = ln x2 + y4 + z6 +1 .
x2 + y2 + z2
3
Zadanie 4.4
@2f @2f
Zbada , czy r wno 0; 0 = 0; 0 jest prawdziwa dla funkcji:
@x@y @y@x
8
x2y3
dla x; y = 0; 0 ;
6
p
3
x2 + y2
a f x; y = b f x; y = x6 , 8y3:
:
0 dla x; y = 0; 0 ;
Zadanie 4.5
Dla podanych funkcji obliczy wskazane pochodne cz stkowe:
@3f x2y3 @3f @5f
a f x; y = sin xy; ; b f x; y; z = ; ; c f x; y; z = exy+z; :
@x@y2 z @x@y@z @x@y2@z2
Zadanie* 4.6
Korzystaj c z de nicji zbada r niczkowalno podanych funkcji we wskazanych punktach:
p
3
a f x; y = xy; x0; y0 = 0; 0 ;
8
,
1
x2 + y2 sin dla x; y = 0; 0 ;
6
b f x; y = x2 + y2 x0; y0 = 0; 0 ;
:
0 dla x; y = 0; 0 ;
p
c f x; y; z = x4 + y4 + z4; x0; y0; z0 = 0; 0; 0 .
Zadanie 4.7
Napisa r wnania p aszczyzn stycznych do wykres w podanych funkcji we wskazanych punktach wykresu:
!
p
arcsin x 1 3
a z = ; x0; y0; z0 = , ; ; ,1 ; b z = xy; x0; y0; z0 = 2; 4; 16 .
arccos y 2 2
Zadanie 4.8
a Wysoko i promie podstawy sto ka zmierzono z dok adno ci 1 mm. Otrzymano h = 350 mm oraz r = 145 mm.
Z jak w przybli eniu dok adno ci mo na obliczy obj to V tego sto ka ?
b Kraw dzie prostopad o cianu maj d ugo ci a = 3 m, b = 4 m, c = 12 m. Obliczy w przybli eniu, jak zmieni si
d ugo przek tnej prostopad o cianu d, je eli d ugo ci wszystkich kraw dzi zwi kszymy o 2 cm;
3 2
c Obliczy w przybli eniu 1; 02 0; 997 ;
p
3
3 3 3
d Obliczy w przybli eniu 2; 93 + 4; 05 + 4; 99 ;
e* Robot do zgrzewania karoserii samochodowych sk ada si z dw ch przegubowych ramion o d ugo ci a =1 m, b =2 m
rysunek .
y
6
6
u
s
b
,I
,
, ?-
x
a
-
Po o enie zgrzewarki jest okre lone przez dwa k ty = , = : Obliczy w przybli eniu dok adno jej po o enia,
4 3
je eli k ty odchylenia obu ramion ustawiane s z dok adno ci = =0; 003 rad.
Zadanie 4.9
Wykorzystuj c regu y r niczkowania funkcji z o onych obliczy pochodne cz stkowe pierwszego rz du wzgl dem x i y
4
podanych funkcji:
u
a z = f u; v = ln , gdzie u = x sin y; v = x cos y;
v +1
u
b z = f u; v; w = arcsin , gdzie u = exy; v = x2 + y2; w = ln x , y :
v2 + w2
Lista pi ta
Zadanie 5.1
Obliczy gradienty i pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierunkach:
12 5
a f x; y = x2 + y2 ; x0; y0 = ,3; 4 ; ~ = ; ;
v
13 13
!
p
1 3 3
b f x; y; z = exyz; x0; y0; z0 = ,1; 1; ,1 ; ~ = ; , ; .
v
2 4 4
Zadanie 5.2
Korzystaj c z de nicji obliczy pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierunkach:
!
p p
2 2
a f x; y =2jxj + jyj; x0; y0 = 0; 0 ; ~ = ; ;
v
2 2
!
p
p 3 1
3
b f x; y = xy; x0; y0 = 1; 0 ; ~ = ; .
v
2 2
Zadanie 5.3
Napisa wz r Taylora z reszt Rn dla podanych funkcji w otoczeniu wskazanych punkt w, je eli:
,
3
a f x; y = sin x2 + y2 ; x0; y0 = 0; 0 ; n =3; b f x; y = x + y ; x0; y0 = ,1; 1 ; n =4:
Zadanie 5.4
Znale ekstrema funkcji:
2 2
a f x; y =3 x , 1 +4 y +2 ; b f x; y = x3 + y3 , 3xy; c f x; y = x3 +3xy2 , 51x , 24y:
Zadanie 5.5
Zbada , czy podane funkcje maj ekstrema lokalne:
a f x; y =2jxj +3jyj; b f x; y = 2x4 , 3y7.
Zadanie 5.6
Znale najmniejsze i najwi ksze warto ci podanych funkcji na wskazanych zbiorach:
a f x; y = x2 + y2 ; jxj + jyj 2; b f x; y = xy2 +4xy , 4x; ,3 x 3; ,3 y 0;
, ,
x2 , 1 y2 , 1
c* f x; y = ; x; y 2 R2; d f x; y = x4 + y4, x2 + y2 9:
x2 + y2 +2
Zadanie 5.7
a W tr jk cie o wierzcho kach A = ,1; 5 , B = 1; 4 , C = 2; ,3 znale punkt M = x0; y0 , dla kt rego suma
kwadrat w jego odleg o ci od wierzcho k w jest najmniejsza;
b Jakie powinny by d ugo a, szeroko b i wysoko h prostopad o ciennej otwartej wanny o pojemno ci V , aby ilo
blachy zu ytej do jej zrobienia by a najmniejsza ?
c Znale odleg o mi dzy prostymi sko nymi:
x + y , 1= 0 x , y +3= 0
k : ; l : :
z +1 =0 z , 2 =0
d Prostopad o cienny magazyn ma mie obj to V = 216 m3: Do budowy cian magazynu u ywane s p yty w cenie
30 z =m2; do budowy pod ogi w cenie 40 z =m2; a su tu w cenie 20 z =m2: Znale d ugo a; szeroko b i wysoko c
magazynu, kt rego koszt budowy b dzie najmniejszy.
5
e* Na trzech parami sko nych kraw dziach
z
6
sze cianu rysunek wyznaczy po jed-
nym punkcie w ten spos b, aby pole
1
,
q
tr jk ta o wierzcho kach w tych punk-
,
C
q B
tach by o najmniejsze.
,
B
B
B
B
B
B
1
-
B
B
y
O
,
B
B
,
B
BB
Bq
,
1
A
,
,
x
Lista sz sta
Zadanie 6.1
Zbada , czy r wnanie xy , yx = 0 okre la jednoznacznie ci g funkcj uwik an y = y x na pewnym otoczeniu punkt w:
a A = 2; 4 ; b B = e; e ; c C = 3; 3 ?
Zadanie 6.2
Napisa r wnania stycznych do krzywych okre lonych podanymi r wnaniami we wskazanych punktach tych krzywych:
a x3 + x , y3 , y =0; 2; 2 ; b x2 + y2 , 3xy + x =0; 1; 1 :
Zadanie 6.3
Obliczy pierwsz i drug pochodn funkcji uwik anych y = y x okre lonych r wnaniami:
a xey , y +1 = 0; b x2 + y2 , 3xy =0.
Zadanie 6.4
Wyznaczy ekstrema funkcji uwik anej y = y x okre lonej r wnaniem x2 + y2 , xy , 2x +4y =0.
Zadanie 6.5
Obliczy dane ca ki podw jne po wskazanych prostok tach:
ZZ ZZ
dxdy
a , P = 0; 2 0; 1 ; b x sin xy dxdy, P = 0; 1 ; 2 :
x + y +1 3
P P
Zadanie 6.6
Podane ca ki podw jne zamieni na sumy iloczyn w ca ek pojedynczych:
ZZ ZZ
x
a ex,y dxdy, P = ,1; 1 ,1; 1 ; b xy ln dxdy, P = 1; e 1; 2 :
y
P P
Zadanie 6.7
ZZ
Ca k podw jn f x; y dxdy zamieni na ca ki iterowane, je eli obszar D ograniczony jest krzywymi o r wnaniach:
D
a x2 + y =2; y3 = x2; b x2 + y2 =4; y =2x , x2; x =0 x; y 0 ; c x2 , 4x + y2 +6y , 51 = 0.
Lista si dma
Zadanie 7.1
Obliczy podane ca ki podw jne po wskazanych obszarach:
ZZ ZZ
a min x; y dxdy; D = 0; 1 0; 2 ; b E x + y dxdy; D = 0; 2 0; 2 .
D D
Uwaga. E u oznacza cz ca kowit liczby u:
6
Zadanie 7.2
W podanych ca kach iterowanych zmieni kolejno ca kowania:
2
p p
y
jxj
1 4 2 x 2 1 0
2
Z Z Z Z Z Z Z Z
a dx f x; y dy; b dx f x; y dy; c dy f x; y dx; d dx f x; y dy.
p p p
, 1 0 0 , 1
y2 , 1
4x,x2 , 2 , 1 ,x2
Zadanie 7.3
Wprowadzaj c wsp rz dne biegunowe obliczy dane ca ki podw jne po wskazanych obszarach:
ZZ
a xy dxdy; D : x 0; 1 x2 + y2 2;
D
ZZ,
b x2 + y2 dxdy; D : y 0; y x2 + y2 x;
D
ZZ
p
, ,
2
c x x2 + y2 dxdy; D : x 0; x2 + y2 4 x2 , y2 .
D
Zadanie 7.4
Obliczy warto ci rednie podanych funkcji na wskazanych obszarach:
h i
a f x; y = sin x cos y; D = 0; 0; ; b f x; y = x + y; D : 0 y ; 0 x sin y:
2
Zadanie 7.5
Obliczy pola obszar w ograniczonych podanymi krzywymi:
a y2 =4x; x + y =3; y =0 y 0 ;
b x2 + y2 , 2y =0; x2 + y2 , 4y =0;
c x + y =4; x + y =8; x , 3y =0; x , 3y =5.
Zadanie 7.6
Obliczy obj to ci bry ograniczonych podanymi powierzchniami:
a x2 + y2 , 2y =0; z = x2 + y2; z =0; b x2 + y2 + z2 , 2z =0;
2 2
c* 2z = x2 + y2; y + z =4; d* x , 1 + y , 1 =1; z = xy; z =0.
Zadanie 7.7
Obliczy pola powierzchni podanych p at w:
a z = x2 + y2; x2 + y2 1;
b x2 + y2 + z2 = R2; x2 + y2 , Rx 0; z 0;
p
c z = x2 + y2 ; 1 z 2;
d* Satelita telekomunikacyjny jest umieszczony na orbicie geostacjonarnej po o onej w odleg o ci h = 400 km od
powierzchni Ziemi. Obliczy pole obszaru obj tego zasi giem tego satelity. Przyj , e promie Ziemi jest r wny
R = 6400 km.
Lista sma
Zadanie 8.1
Obliczy masy podanych obszar w o wskazanych g sto ciach powierzchniowych:
a D = x; y 2 R2 : 0 x ; 0 y sin x ; x; y = x;
b D = x; y 2 R2 : 1 x2 + y2 4; y 0 ; x; y = j xj .
Zadanie 8.2
Znale po o enia rodk w masy podanych obszar w jednorodnych D, gdzie:
a D | tr jk t r wnoramienny o podstawie a i wysoko ci h;
b D = x; y 2 R2 : 0 x ; 0 y sin2 x .
7
Zadanie 8.3
Obliczy momenty bezw adno ci podanych obszar w wzgl dem wskazanych osi:
a D kwadrat jednorodny o boku a, moment obliczy wzgl dem przek tnej, przyj x; y =1;
p
b D = x; y 2 R2 : x2 + y2 R2; y 0 ; moment obliczy wzgl dem osi Ox, przyj x; y = x2 + y2 :
Zadanie 8.4
Obliczy parcie wody na p yt zasuwy turbiny elektrowni wodnej. Zasuwa jest ustawiona pionowo i ma kszta t kwadratu
o boku a = 1 m. G rna kraw d tej zasuwy jest pozioma i znajduje si H = 5 m pod poziomem wody.
Zadanie 8.5
Obliczy si , z jak jest przyci gana masa punktowa m = 100 kg przez jednorodne ko o o masie M = 100000 kg i
promieniu R = 4 m. Masa punktowa jest po o ona na wysoko ci H = 3 m nad rodkiem ko a.
Zadanie 8.6
Obliczy podane ca ki potr jne po wskazanych prostopad o cianach:
ZZZ
x dxdydz
a , V = 1; 2 1; e 1; e ;
yz
V
ZZZ
b x + y + z dxdydz, V = 1; 2 2; 3 3; 4 ;
V
ZZZ
c sin x sin x + y sin x + y + z dxdydz, V = 0; 0; 0; :
V
Zadanie 8.7
Podane ca ki potr jne zamieni na sumy iloczyn w ca ek pojedynczych:
ZZZ
h i h i
a sin x + y + z dxdydz, V = 0; 0; 0; ;
2 2
V
ZZZ
b z ln xyyx dxdydz, V = 1; e 1; e 0; 1 :
V
Zadanie 8.8
ZZZ
Ca k potr jn f x; y; z dxdydz zamieni na ca ki iterowane, je eli obszar V jest ograniczony powierzchniami o
V
r wnaniach:
p p
a z =2 x2 + y2; z =6; b x2 + y2 + z2 = 25, z =4, z 4 ; c z = x2 + y2; z = 20 , x2 , y2 .
Zadanie 8.9
W podanych ca kach iterowanych zmieni kolejno ca kowania rozwa y wszystkie przypadki :
p
p p
3
3, 3x, y 4,x2 ,y2
z
1 2, 2x 2 0 3 z,x2
2
Z Z Z Z Z Z Z Z Z
a dx dy f x; y; z dz; b dx dy f x; y; z dz; c dz dx f x; y; z dy.
p p p p
0 0 0 , 2 0
, z
, 4,x2 4,x2 , z,x2
, ,y2
Lista dziewi ta
Zadanie 9.1
Obliczy podane ca ki potr jne z funkcji f po obszarze V , je eli:
a f x; y; z = ex + y + z ; V : x 0; ,x y 1; 0 z ,x;
1
b f x; y; z = ; V : x 0; y 0; 0 z 1 , x , y;
3x +2y + z +1 4
c f x; y; z = x2 + y2; V : x2 + y2 4; 1 , x z 2 , x.
8
Zadanie 9.2
Wprowadzaj c wsp rz dne walcowe obliczy podane ca ki:
ZZZ,
2
a x2 + y2 + z2 dxdydz; gdzie V : x2 + y2 4; 0 z 1;
V
ZZZ
p p
b xyz dxdydz; gdzie V : x2 + y2 z 1 , x2 , y2 ;
V
ZZZ,
c x2 + y2 dxdydz; gdzie V : x2 + y2 + z2 R2; x2 + y2 + z2 2Rz.
V
Zadanie 9.3
Wprowadzaj c wsp rz dne sferyczne obliczy podane ca ki:
ZZZ
dxdydz
a p ; gdzie V : 4 x2 + y2 + z2 9;
x2 + y2 + z2
V
ZZZ,
p p
b x2 + y2 dxdydz; gdzie V : x2 + y2 z 1 , x2 , y2 ;
V
ZZZ
2
c z2 dxdydz; gdzie V : x2 + y2 + z , R R2;
V
ZZZ
d x2 dxdydz; gdzie V : x2 + y2 + z2 4x.
V
Zadanie 9.4
Obliczy obj to ci obszar w ograniczonych podanymi powierzchniami:
a x2 + y2 =9; x + y + z =1; x + y + z =5;
b x = ,1; x =2; z =4 , y2 ; z =2 + y2;
1
c z = ; z =0; x2 + y2 =1:
1 + x2 + y2
Zadanie 9.5
Obliczy masy podanych obszar w o zadanych g sto ciach obj to ciowych:
a V = 0; a 0; b 0; c ; x; y; z = x + y + z; a; b; c 0;
b V : x2 + y2 + z2 9; x; y; z = x2 + y2 + z2.
Zadanie 9.6
Wyznaczy po o enia rodk w masy podanych obszar w jednorodnych:
a V : 0 x 1; 0 y 1 , x; 0 z 1 , x;
b sto ek o promieniu podstawy R i wysoko ci H ;
p
c V : x2 + y2 z 2 , x2 , y2.
Zadanie 9.7
Obliczy momenty bezw adno ci wzgl dem wskazanych osi podanych obszar w jednorodnych o masie M :
a walec o promieniu podstawy R i wysoko ci H , wzgl dem osi walca;
b sto ek o promieniu podstawy R i wysoko ci H , wzgl dem osi sto ka;
c walec o promieniu podstawy R i wysoko ci H, wzgl dem rednicy podstawy;
1
d* cz kuli o promieniu R, wzgl dem jej osi symetrii.
8
9
Zadanie 9.8
Obliczy si , z jak jednorodna kula o promieniu R i masie M przyci ga punkt materialny o masie m po o ony w
odleg o ci d od rodka kuli, d R.
Zadanie 9.9
Obliczy nat enie pola elektrycznego, jakie wytwarza jednorodnie na adowany sto ek o promieniu podstawy R, wysoko ci
H i adunku ca kowitym Q; w swoim wierzcho ku.
Zadanie* 9.10
Podstaw jednorodnego ostros upa jest prostok t o wymiarach a = 40 cm, b = 30 cm. Jedna z kraw dzi ostros upa jest
prostopad a do p aszczyzny podstawy i ma d ugo h = 20 cm. Obliczy , jak daleko mo e wystawa ten ostros up poza
kraw d sto u, aby nie spad na pod og rysunek .
, ,
,
,
,
,
,
,
h
,
,
,
,
b
, ,
,
a
Lista dziesi ta
Zadanie 10.1
Obliczy podane ca ki krzywoliniowe niezorientowane po wskazanych ukach:
Z
dl
a p , , odcinek cz cy punkty 0; ,1 , 2; 0 ;
x2 + y2
,
Z
b xy dl, , cz okr gu x2 + y2 = R2 le ca w I wiartce uk adu;
,
Z
c* x + y dl, , wiartka okr gu x2 + y2 + z2 = R2, y = x le ca w pierwszym oktancie uk adu.
,
Zadanie 10.2
Obliczy d ugo ci podanych uk w:
a , : x = a t , sin t ; y = a 1 , cos t ; 0 t 2 ; a 0;
b , : jeden zw j linii rubowej o skoku h nawini tej na walec o promieniu r 0;
,t ,t ,t
c , : x = e cos t; y = e sin t; z = e ; 0 t 1.
Zadanie 10.3
Znale pole powierzchni bocznej walca x2 + y2 = 1 ograniczonej p aszczyznami z = ,x; z =5 + y.
Zadanie 10.4
Znale masy podanych uk w o wskazanych g sto ciach liniowych:
a , : x = a cos t; y = b sin t; 1 t 2 ; x; y = j yj ;
p
t2 t3
b , : x = t; y = ; z = ; 0 t 1; x; y; z = 2y;
2 3
c , : x = r cos t; y = r sin t; z = bt; 0 t 2 ; x; y; z = x2 + y2 + z2.
Zadanie 10.5
Okre li wsp rz dne rodk w masy podanych uk w jednorodnych:
a
,x=a
a linia a cuchowa y = ex=a + e , ,a x a;
2
b x = r cos t; y = r sin t; z = bt; 0 t 2 ;
c brzeg tr jk ta sferycznego x2 + y2 + z2 =1, x 0, y 0, z 0;
10
Zadanie 10.6
Znale momenty bezw adno ci podanych uk w jednorodnych wzgl dem wskazanych osi, przyj =1:
0
a brzeg kwadratu o bokach a, wzgl dem przek tnej;
b odcinek AB, gdzie A = 1; 2; 3 , B = 3; 5; 4 , wzgl dem osi Oz;
c , : x = a cos t; y = a sin t; z = bt; 0 t 2 ; wzgl dem osi Ox.
Zadanie 10.7
Obliczy nat enie pola elektrycznego pochodz cego od adunku Q roz o onego r wnomiernie na brzegu kwadratu o boku
a: Nat enie pola obliczy w punkcie po o onym w odleg o ci d nad jednym z wierzcho k w kwadratu.
Zadanie 10.8
Obliczy si , z jak p okr g o masie M i promieniu R przyci ga mas punktow m po o on w rodku p okr gu.
Lista jedenasta
Zadanie 11.1
Obliczy ca ki krzywoliniowe zorientowane z podanych p l wektorowych po wskazanych ukach zorientowanych zgodnie
ze swoj parametryzacj :
,
~
a F x; y = x2 + y2; xy ; , : x = t; y = et; t 2 0; 1 ;
~
b F x; y; z = yz; xz; xy , : x = cos t; y = sin t; z = t; t 2 0; 2 ;
~
c F x; y; z = y; z; x ; , odcinek AB, gdzie A = 1; ,1; 2 , B = 0; 2; 3 :
Zadanie 11.2
Obliczy ca ki krzywoliniowe z podanych p l wektorowych po ukach okre lonych wskazanymi r wnaniami orientacja
uku jest zgodna ze wzrostem parametru x :
~
a F x; y = x , y; x + y , , : y = sin x; 0 x ;
~
b F x; y = ln x; ln y , , : y = x2; 1 x e:
Zadanie 11.3
Obliczy podane ca ki krzywoliniowe zorientowane po wskazanych ukach zamkni tych:
I
a xy dx + x2 dy, , brzeg tr jk ta o wierzcho kach w punktach A = 0; 0 , B = 1; 2 , C = ,1; 4 ; zorientowany
,
dodatnio;
I
b x2y dx + xy y +1 dy, , okr g x2 + y2 +2y =0; zorientowany dodatnio;
,
I
c 3x +5z dx + x +4y dy + 6x , z dz, , brzeg tr jk ta o wierzcho kach w punktach A = 2; 0; 0 , B = 0; 2; 0 ,
,
C = 0; 0; 2 ; obiegany w kolejno ci ABCA:
Zadanie 11.4
Obliczy ca ki krzywoliniowe zorientowane z podanych potencjalnych p l wektorowych po dowolnym uku o pocz tku A
i ko cu B:
~
a F x; y = x; y , A = 1; 1 , B = ,1; ,2 ;
~
b F x; y = sin x cos y; cos x sin y , A = ; , B = ; ;
2 2
,
~
c F x; y; z = x2 , 2yz; y2 , 2xz; z2 , 2xy , A = 0; 0; 0 , B = 1; 1; 1 :
Zadanie 11.5
Sprawdzi , e podane ca ki krzywoliniowe nie zale od kszta tu krzywej ca kowania i nast pnie obliczy te ca ki:
1;
2
Z
a ex cos y dx , ex sin y dy;
0;0
11
1;2
Z
y 1
b dx , dy; wzd u uku nie przechodz cego przez o Oy;
x2 x
2;1
2;3;4
Z
, , ,
c x2 , 2yz dx + y2 , 2xz dy + z2 , 2xy dz:
1;1;1
Zadanie 11.6
Wykorzystuj c twierdzenie Greena obliczy podane ca ki krzywoliniowe zorientowane. Sprawdzi wynik obliczaj c te ca ki
bezpo rednio:
I,
,
a 1 , x2 y dx + x 1 + y2 dy, , okr g x2 + y2 = R2; zorientowany dodatnio;
,
I, ,
b x + y2 dx + x2 + y2 dy, , brzeg tr jk ta o wierzcho kach w punktach A = 1; 1 , B = 3; 2 , C = 2; 5 ;
,
zorientowany dodatnio;
I
c ex 1 , cos y dx , ex y , sin y dy, , brzeg obszaru 0 x , 0 y sin x; zorientowany dodatnio.
,
Zadanie 11.7
Za pomoc ca ki krzywoliniowej zorientowanej obliczy pola obszar w ograniczonych podanymi ukami zamkni tymi:
a elipsa , : x = a cos t; y = b sin t; t 2 0; 2 ;
b kardioida , : x = 2 cos t , cos 2t; y = 2 sin t , sin 2t; t 2 0; 2 :
Zadanie 11.8
Obliczy prac w podanych polach wektorowych podczas ruchu po wskazanych ukach zorientowanych:
,
~
a F x; y = 2xy; x2 , dowolny uk , cz cy punkty A = 1; 0 ; B = 0; 3 ;
~
b F x; y; z = xy; y + z; z ; wzd u uku , : x = cos t; y = sin t; z = t od punktu A = 1; 0; 0 do punktu B = ,1; 0; ;
~
c F x; y; z = ,x; ,y; ,z wzd u dowolnego uku , cz cego, nale cy do sfery x2 + y2 + z2 = r2; punkt A =
x1 ; y1; z1 ; z punktem B = x2; y2; z2 , nale cym do sfery x2 + y2 + z2 = R2:
Lista dwunasta
Zadanie 12.1
Obliczy podane ca ki powierzchniowe niezorientowane po wskazanych p atach:
ZZ,
a x2 + y2 dS, sfera x2 + y2 + z2 = R2;
ZZ
b x + y + z dS, cz p aszczyzny x + y + z = 1 po o ona w pierwszym oktancie uk adu;
ZZp
p
c x2 + y2 dS, powierzchnia boczna sto ka z = x2 + y2 , z 3:
Zadanie 12.2
Obliczy pola powierzchni podanych p at w:
a | cz p aszczyzny 2x +3y + z , 6 = 0 wyci ta przez walec x2 + y2 =4;
b | cz paraboloidy z = x2 + y2 odci ta przez p aszczyzn z = h, gdzie h 0;
c | powierzchnia boczna sto ka ci tego o promieniach podstaw r; R i wysoko ci h, gdzie r R;
d | cz powierzchni Ziemi zawarta mi dzy po udnikami 45 i 60 W oraz r wnole nikami 60 i 80 N. Przyj , e
promie Ziemi jest r wny 6370 km.
12
Zadanie 12.3
Znale masy podanych p at w o wskazanych g sto ciach powierzchniowych:
a powierzchnia sze cianu 0 x 1; 0 y 1; 0 z 1; x; y; z = xyz;
p
b z = R2 , x2 , y2 ; x; y; z = z;
p p
c z = x2 + y2 ; z 1; x; y; z = x2 + y2 + z2.
Zadanie 12.4
Znale po o enia rodk w masy podanych jednorodnych p at w materialnych:
a x + y + z =4; x2 + y2 1;
p
b z =2 x2 + y2; 2 z 6;
c z = x2 + y2; x 0; z 1;
d sze cienne pude ko o kraw dzi a otwarte od g ry .
Zadanie 12.5
Znale momenty bezw adno ci podanych jednorodnych p at w materialnych wzgl dem wskazanych osi:
a sfera o promieniu R i masie M , wzgl dem rednicy;
b paraboloida z = x2 + y2; z h; o g sto ci powierzchniowej masy = , wzgl dem osi Oz;
0
c powierzchnia o mio cianu j xj + j yj + j zj = a o masie M; wzgl dem osi Oz;
d powierzchnia boczna walca x2 + y2 = R2; ,H z H , o masie M; wzgl dem osi Ox:
Zadanie 12.6
Znale si , z jak powierzchnia boczna sto ka o promieniu podstawy r i wysoko ci h; na adowana r wnomiernie adun-
kiem Q; przyci ga adunek punktowy q umieszczony w rodku podstawy sto ka.
Zadanie 12.7
Obliczy nat enie pola grawitacyjnego, jakie wytwarza powierzchnia jednorodnej p sfery o masie M i promieniu R; w
rodku tej p sfery.
Lista trzynasta
Zadanie 13.1
Obliczy podane ca ki powierzchniowe zorientowane:
ZZ
a xy dydz + yz dzdx + xz dxdy , zewn trzna strona powierzchni czworo cianu ograniczonego p aszczyznami
x =0, y =0, z =0, x + y + z =1;
ZZ
b xdydz + yz dzdx + z dxdy , zewn trzna strona powierzchni sze cianu 0 x 1, 0 y 1, 0 z 1;
ZZ
p
c x2 dydz + y2 dzdx + z2 dxdy ; g rna strona powierzchni sto ka z = x2 + y2 , z 1;
ZZ
d z2 dxdy , zewn trzna strona sfery x2 + y2 + z2 =4:
Zadanie 13.2
Niech funkcje f; g maj wszystkie pochodne cz stkowe pierwszego rz du na obszarze V R3: Sprawdzi , e :
f g grad f , f grad g
a grad = ;
g g2
0
b grad h f = h f grad f, gdzie h jest funkcj r niczkowaln na pewnym przedziale.
Zadanie 13.3
Sprawdzi , e podane to samo ci s prawdziwe:
13
~
a rot grad U = 0, gdzie U jest funkcj maj c ci g e wszystkie pochodne cz stkowe drugiego rz du na obszarze
V R3;
b rot f~ = grad f ~ gdzie f jest funkcj maj c wszystkie pochodne cz stkowe pierwszego rz du na obszarze
c c,
V R3; a ~ jest ustalonym wektorem.
c
Zadanie 13.4
Sprawdzi , e podane to samo ci s prawdziwe:
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
a div F G = G rot F , F rot G, gdzie pola wektorowe F i G s r niczkowalne na obszarze V R3;
~ ~
b div rot F = 0, gdzie pole wektorowe F ma sk adowe dwukrotnie r niczkowalne w spos b ci g y na obszarze
V R3:
Zadanie 13.5
Przy pomocy twierdzenia Gaussa Ostrogradskiego obliczy podane ca ki powierzchniowe. Sprawdzi otrzymane wyniki
obliczaj c te ca ki bezpo rednio:
ZZ
a 2xy dydz , y2 dzdx +2z dxdy , zewn trzna strona brzegu obszaru V : x2 + y2 + z2 9, x 0, y 0, z 0;
ZZ
b x + z dydz + x + y dzdx + y + z dxdy , zewn trzna strona brzegu obszaru V : x2 + y2 R2, x + y + z
R, z 0;
ZZ
c x3 dydz + y3 dzdx + z3 dxdy , wewn trzna strona powierzchni walca V : x2 + y2 R2; 0 z H:
Lista czternasta
Zadanie 14.1
Korzystaj c z twierdzenia Stokesa obliczy podane ca ki krzywoliniowe. Sprawdzi otrzymane wyniki obliczaj c te ca ki
bezpo rednio:
I
a x2y3 dx + dy + z dz, , okr g x2 + y2 = R2, z =0; zorientowany dodatnio;
,
I
b x dx + x + y dy + x + y + z dz, , : x = sin t; y = cos t; z = sin t + cos t; t 2 0; 2 ;
,
I
c y + z dx + z + x dy + x + y dz, , okr g x2 + y2 + z2 = R2, x = y:
,
Zadanie 14.2
Obliczy strumienie podanych p l wektorowych przez wskazane p aty:
x 2z
~
a F x; y; z = ; z2 , x2; , powierzchnia ca kowita walca z = x2 + y2 R2, 0 z H ;
3 3
!
,x ,y ,z
~
b F x; y; z = p ; p ; p , powierzchnia zewn trzna sfery x2 + y2 + z2 =
x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2
R2;
~
c F x; y; z = 5x + z; x , 3y; 4y , 2z , g rna cz p aszczyzny x + y + z = 2 odci ta p aszczyznami uk adu
wsp rz dnych.
Zadanie* 14.3
Wyprowadzi prawo Archimedesa.
Zadanie 14.4
Obliczy cyrkulacje podanych p l wektorowych wzd u wskazanych uk w zamkni tych:
,
2
~
a F x; y; z = y2; x + y ; z ; , amana zamkni ta cz c punkty A = 1; 0; 0 , B = 0; 1; 0 , C = 0; 0; 1 ;
2
~
b F x; y; z = y; 1 , x; ,z ; , uk zamkni ty otrzymany w wyniku przeci cia powierzchni walca x , 1 + y2 =1 z
2
p sfer x , 2 + y2 + z2 =4, z 0:
14
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
elementy analizy wektorowej zadaniaElementy analizy wektorowej zadaniaElementy analizy wektorowej lista zadańanaliza wektorowaanaliza zespolona zadaniaanaliza wektorowaanaliza GraniceFunkcji zadania01 analiza kinematyczna zadanie2 Podstawy analizy wektorowej01 analiza kineamryczna zadanieAnaliza Funkcjonalna Zadania 1Wykład 08 EKG analiza wektorowa01 analiza kinematyczna zadaniewięcej podobnych podstron