K.Czopek, M.Zazulak Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
X.
RÓWNANIE SCHRDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU
Równanie SchrQdingera niezależne od czasu to równanie postaci:
2
-!2 d ąśą xźą
ą V śą x źąąśą xźą = E ąśą x źą
(X.1)
2m
dx2
d ą
Warunki regularności na ąśą xźą i :
dx
a) skończone
b) ciągłe
c) jednoznaczne
Postać (kształt) funkcji własnych zależy od potencjału V.
a) cząstka swobodna
Dla V(x) = 0 równanie (X.1) sprowadza się do postaci:
2
!2 d ąśąx źą
- = E ąśą xźą (X.2)
2m
dx2
2
2
d ąśąx źą
p
ą ą = 0 (X.3)
śą źą
!
dx2
ąEśą xźą = Aeikx (X.4)
Wielkość k we wzorze (X.4) jest równa:
p 2mE
ćą
k= =
(X.5)
! !
{E} zbiór ciągły
1
K.Czopek, M.Zazulak Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
2
k !2
E =
{ }
2m
b) cząstka w nieskończenie głębokiej studni potencjału
Rys.X.1. Nieskończenie głęboka studnia potencjału. Cząstka nie ma prawa przebywać w obszarach I i III ze
względu na olbrzymią barierę potencjału.
Obszar II:
V(x) = 0, 0 "ą x"ąa
2
d ąśąx źą
2mE
ą ą = 0
(X.6)
dx2 !2
Równanie (X.6) jak dla oscylatora harmonicznego.
d2 x
ą k ' x = 0, F = -k' x
śą źą
dt2
(X.7a) i (X.7b) są to dwa szczegółowe rozwiązania równani (6).
ą1śąx źą = A sin kx
(X.7a)
ą2śą xźą = B cos kx
(X.7b)
Funkcja własna (x) nie spełnia warunku ciągłości bo:
2
2
K.Czopek, M.Zazulak Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
ą2 śą x=0źą=B brak ciągłości
śąB`"0 = ą2śą xd"0źąźą
Natomiast funkcja własna 1(x) jest spełniona dla takiego warunku:
ą1 śą x=0źą= Asin k"0=0=ą1śą xąą0źą
ą1 śą x=a źą= Asin k"a=0
ą = n Ćą , n = 0, 1,...
ka = n Ćą (X.8)
Z wzorów (X.5) i (X.8) otrzymujemy, że energia na n tym poziomie energetycznym wyraża
się wzorem:
!2Ćą2
En = n2 (X.9)
2ma2
Ze wzoru (X.9) wynika, że zbiór energii {E} jest dyskretny, stąd kwantowanie.
Funkcje własne cząstki zamkniętej w jamie potencjału:
n Ćą
ąn śą x źą = A"sin "x
(X.10)
a
3
K.Czopek, M.Zazulak Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
Rys.X.2. Ilustracja graficzna wzoru (X.9).
Rys.X.3. Ilustracja graficzna wzoru (X.10).
Rys.X.4. Wykres gęstości prawdopodobieństwa dla różnych
n.
4
K.Czopek, M.Zazulak Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
X.1. OPERATOROWA POSTAĆ RÓWNANIA SCHRDINGERA.
ęą
A ą=a ąśąaźą
{a}:
zbiór ciągły (cząstka swobodna),
dyskretny (cząstka w jamie potencjału)
Jeżeli do danej wartości własnej należy więcej niż jedna funkcja własna to dana wartość
jest zdegenerowana.
Jeśli dla a istnieje n różnych funkcji własnych { , ,..., }, to jest to n krotna
i 1 2 n
degeneracja (zwyrodnienie)
-!2 "2 "2 "2
ą ą ą V śąx , y , z ,t źą ą śąx , y , z ,tźą = E ąśąx , yzźą
(X.1.1)
śą źą
[ ]
2m
" x2 " y2 " z2
Stosuje się równoważny zapis równania (X.1.1):
ęą
H ą = E ą (X.1.2)
ęą
gdzie: H hamiltonian (operator Hamiltona) jest wyrażony wzorem:
!2 "2 "2 "2
ęą
H = - ą ą ą V śą x , y , z źą
(X.1.3)
śą źą
2m
" x2 " y2 " z2
Wyrażenie (X.1.3) również zapisuje się w skróconej wersji:
!2
ęą
(X.1.4)
H = - ą ą V
2m
gdzie:
"2 "2 "2
ą = ą ą (X.1.5)
" x2 " y2 " z2
to operator Laplace'a
5
K.Czopek, M.Zazulak Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
X.2. OPERATOR ENERGII.
Operatorem energii nazywamy wyrażenie:
"
ęą
E=i !
(X.2.6)
"t
Równanie własne dla operatora energii jest postaci:
ęą
E ą= E ąśąx , y , z ,t źą (X.2.7)
czyli:
"
i ! ąśą x , y , ztźą = E ą
(X.2.8)
"t
X.3. OPERATOR PDU.
p=śą px , py , pzźą
ęą ęą ęą ęą
i
ąśą x , y , z ,t źą = Aexp xpx + yp + zpz - Et
śą źą (X.3.1)
y
[ ]
!
p=[ px , py , pz]
Śą
p
ęąx
Poszukujemy operatora:
" i i i
ąśą x , y , z , t źą = A px exp xpx + ypy + zpz - Et = ąśą x , y , z ,t źą
śą źą (X.3.2)
[ ]
" x
! ! !
i !
Po podzieleniu równania (X.3.2) przez otrzymujemy:
"
-i ! ą = pxą
(X.3.3)
" x
Z własności operatorów:
pxą = px ą
ęą
(X.3.4)
Z równań (X.3.3) oraz (X.3.4) wynika, że:
6
K.Czopek, M.Zazulak Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
"
px=-i !
ęą
(X.3.5a)
" x
p , pz
ęąy ęą
Analogicznie można znalezć operatory:
"
py = -i !
ęą
(X.3.5b)
" y
"
pz = -i !
ęą
(X.3.5c)
" z
L= pą
Śą
X.4. WARTOŚCI WAASNE I FUNKCJE WAASNE KRTU śąŚą źą
Stara teoria kwantowa:
L=ną !
II postulat Bohra :
Lz = pą = ną!
(X.4.1)
Reguły kwantowania Wilsona Somerfelda:
Śą
L= r p (X.4.2)
Śą Śą
Śą
L=śąLx , L , Lzźą
y
Śą=śą x , y , zźą
r
p=śą px , py , pzźą
Śą
ęą
ęą ęąj k
i
ęą
Śą ęą ęą
L = = i ypz - zpy ą j zpx - xpz ą k xpy - ypx
x y z (X.4.3)
śą źą śą źą śą źą
#" #"
px py pz
Składowym krętu L przypisujemy odpowiednio ich operatory:
Lx= ypz-zpy (X.4.4a) ęą
Lx= y pz-z py
ęą ęą ęą ęą
(X.4.5a)
L =zpx- xpz (X.4.4b) ęąy=ęą
L z px- x pz
ęą ęą ęą
(X.4.5b)
y
7
K.Czopek, M.Zazulak Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
Lz=xpy- ypx (X.4.4c) ęą
Lz=x p y px
ęą ęąy- ęą ęą
(X.4.5c)
Podstawiając do wzorów (X.4.5) uzyskane wcześniej wartości operatorów składowych
pędu otrzymujemy:
" "
ęą
Lx = -i ! y - z
(X.4.6a)
śą źą
" z " y
" "
ęąy
L = -i ! z - x
(X.4.6b)
śą źą
" x " z
" "
ęą
Lz = -i ! x - y
(X.4.6c)
śą źą
" y " x
ęą
Lz ą=ąą
(X.4.7)
Równanie (X.4.7) po podstawieniu wartości operatora składowej krętu (X.4.6c) przyjmuje
postać:
" "
-i ! x - y = ą ą
(X.4.7a)
śą źą
" y " x
Współrzędne biegunowe:
x = rsin ącos ą
y = rsin ąsin ą
z = rcosą
Operator krętu we współrzędnych biegunowych:
" "
(X.4.8a)
ęą
Lx = i ! sin ą ą ctg ącosą
śą źą
"ą "ą
8
K.Czopek, M.Zazulak Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
" "
(X.4.8b)
ęą
Ly = i ! -cos ą ą ctg ąsin ą
śą źą
" ą "ą
Równanie własne z towej składowej:
"
ęą
(X.4.8c)
Lz=-i !
"ą
Z wzorów (X.4.7) i (X.4.8c) wynika:
d ą
-i ! = ąą
(X.4.9)
d ą
d ą
i
= ąą
(X.4.10)
ą !
d ą
i
= ąą
(X.4.11)
+" +"
ą !
i
ln ą = ą ą
(X.4.12)
!
i
ąą
(X.4.13)
ą = A e!
Wzór (X.4.13) stanowi matematyczne rozwiązanie równania własnego (X.4.7).
ąśąąą2Ćąźą=ąśąąźą
założenia:
A=1
i i i
ąą 2Ćą ą ąą
!
e! "e! =e
i
2Ćą ą
e! =1
2 Ćą
cos ą=1
!
Z jednoznaczności funkcji, przy takim założeniu znajdujemy funkcje własne.
9
K.Czopek, M.Zazulak Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
ą = m ! (X.4.14)
gdzie m magnetyczna liczba kwantowa,
m = 0, ą1, ą2, ...
ąm= A eim ą (X.4.15)
ęą ęą
[ Li , L ]`"0 i`" j
j
składowe krętu podlegają zasadzie nieoznaczoności Heisenberga.
ęą
X.5. WARTOŚCI WAASNE I FUNKCJE WAASNE
L2
ęą
ęą
(X.5.1)
Li2 , Li = 0
[ ]
ęą ęą ęą ęą
(X.5.2)
L2=L2ąL2ąL2
x y z
" 1 "2
ęą
L2=-!2 1 " sin ą ą
(X.5.3)
śą źą
śą źą
[sin ą " ą " ą ]
sin2ą "ą2
ęą
Y śąą ,ąźą - funkcja własna
L2
Stosujemy metodę separacji zmiennych:
ęą
(X.5.4)
L2Y śąą,ąźą = ŻąY śąą ,ąźą
Y śąą ,ąźą = ąśąąźąąśąąźą (X.5.5)
Z wzorów (X.5.4) i (X.5.5) otrzymujemy:
2
d ą sin ą "ą
1 "
- = sin ą ą Żąsin2ą (X.5.6)
śą źą
ą "ą
d ą2 ą " ą
We wzorze (X.5.6) lewa strona będzie równa prawej wtedy i tylko wtedy, gdy obie strony
równania będą stałe:
10
K.Czopek, M.Zazulak Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
2
d ą
-1
= m2
(X.5.7a)
ą
d ą2
siną "ą
"
sin ą ą Żąsin2ą = m2 (X.5.7b)
śą źą
ą "ą "ą
ą=B ei mą (X.5.8)
m=0, ą1, ą2,....
Rozwiązanie (X.5.7b) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy
Żą = l śąl ą1źą!2 (X.5.9)
l=0,1,2,....
#"m#"ąąl
" 2lą1 wartości m śą m"[-l ,-lą,... , l-1,l ]źą
Żą! L2
L=! l śąl ą1źą (X.5.10)
ćą
Kwantowanie L jest inne niż przewiduje stara teoria kwantowa. Według niej kręt wyraża się
wzorem:
ną=1,2 , .... , n
L* = ną! ,
LL* dla dużego l. Największa różnica w wartościach krętu jest w wartości minimalnej.
Z wzoru (X.5.10) wynika, że minimalna wartość krętu jest równa :
Lminśąl=0źą=0
Natomiast według starej teorii kwantów wartość minimalna krętu:
L* = !
min
Mamy więc sprzeczność, bo:
Lmin`"L*
min
11
K.Czopek, M.Zazulak Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
Eksperyment potwierdza słuszność, że zależność (X.5.11) jest prawdziwa:
ąml = B2"sinmą P|lm |śącos ąźą (X.5.11)
gdzie P| m|śącos ąźą wielomian Legendre'a
l
L=ną ! Śą Lmin=!
l |m|
P| m|śącos ąźą
l
0 0 1
1 1 1
1 0 cosą
2 2 3
2 1 3cosą
2 0 1
śącos2 ą-1źą
2
Tabela X.1. Przykładowe wartości wielomianu Legendre'a dla różnych wartości liczb kwantowych l i m.
Z wyrażeń (X.5.5), (X.5.6) oraz (X.5.11) otrzymujemy, że:
Y śąą,ąźą = ąmśąąźą"ąlmśąąźą = B ei mą sinm ą P| m|śącos ąźą (X.5.11)
lm l
"2lą1 m " [-l ,-lą,... , l-1,l ]
Orbitalna liczba kwantowa l określa stany elektronowe.
l 0 1 2 3 ...
Symbol s p d f
stanu
Tabela X.2. Stany elektronowe dla odpowiednich wartości l.
Elektron s, to taki, dla którego kręt orbitalny jest równy 0, elektron p kręt orbitalny równy
1, itd.
12
K.Czopek, M.Zazulak Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
X.6. FUNKCJA FALOWA CZSTKI SWOBODNEJ (FALE MATERII).
Cząstka swobodna potencjał V jest równy 0.
V(x,y,z)=0
założenie 1:
ą=ąśą x źą
ęą
H ą = E ą (X.6.1)
k
!2 d 2
ęą
H = - (X.6.2)
2m
dx2
Po podstawieniu wyrażenia (X.6.2) do równania (X.6.1) otrzymujemy:
2
2mEk
d ą
ą ą = 0
(X.6.3)
dx2 !2
Funkcje własne dane są wzorem:
ąśą xźą = A eią x (X.6.4)
założenie 2:
A=1
Wylicza się, że współczynnik ą wynosi:
2 Ćą 2 Ćą 2Ćą
ą =
(X.6.5)
ćą2mE = h px = ą = kx
k
h
x
ąśą xźą = eik x (X.6.6)
W trzech wymiarach wzór (X.6.6) przyjmuje postać:
Śą
Śą
ąśą x , y , z źą = exp śąk xąk yąk z źą = ei k r (X.6.7)
[i ]
x y z
Śą=śą k x , k y , k zźą
k
r=śą x , y , zźą
Śą
13
K.Czopek, M.Zazulak Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
Postać funkcji falowej:
a) w jednym wymiarze (1D):
x
ąśą x ,t źą = ąśąx źąąśąt źą = eik x - e-iąt = exp i śąk x-i ą t źą (X.6.8)
[ ]
x
b) W trzech wymiarach (3D):
ąśąr ,t źą = exp i śąŚą ąt źą (X.6.9)
k"r
Śą [ Śą-i
]
P śąŚą ,t źą = ą*śąŚą ,t źą"ą śąŚą ,t źą = 1 = const.
r r r
Według wyniku prawdopodobieństwo znalezienia cząstki jest wszędzie takie samo, co jest
sprzeczne z definicją cząstki, bo cząstka jest w jakimś miejscu, a nie wszędzie. Lepszym
rozwiązaniem dla cząstki swobodnej jest pakiet falowy, między innymi rozwiązuje problem
lokalizacji.
X.7. PAKIET FALOWY.
Definicja pakietu falowego:
Jest to funkcja falowa, która w pewnym miejscu (obszarze) ma wartości różne od zera, a
po za tym obszarem jest równa 0.
Konstrukcja pakietu falowego:
1D:
k "[k0 -" k , k0 ą " k ]
k0 + " k
i -ą t
df
x
ąśą x ,t źą = c (X.7.1)
+"
śąk 0źąe śąk źądk
k0-" k
c(k ) amplituda funkcji.
0
14
K.Czopek, M.Zazulak Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
Funkcja falowa (X.7.1) po rozwinięciu w szereg ma postać:
" ą
sin x- t " k
śą źą
[ ]
" k
2cśąk źą "exp i śąk0 x-ą0t źą
(X.7.2)
[ ]
0
d ą
x- " k
śą źą
[ ]
dk
0
Wyrażenie (X.7.2) stanowi matematyczną postać pakietu falowego. Możemy je zapisać
jako:
ąśą x ,t źą = c śą x ,t źą"exp i śąk x-ą0tźą
(X.7.3a)
[ ]
0
Przy czym c (x,t) stanowi amplitudę i wyraża się wzorem:
sin ą
c śąx ,tźą = 2cśąkoźą
(X.7.3b)
ą
gdzie:
d ą
ą = x- t " k (X.7.3c)
śą źą
[ ]
dt
0
0 ąą c śą x , tźą ąą 2cśąt0źą
Ponieważ , to muszą być spełnione warunki:
sin ą sin ą
=0 =1
oraz
ą ą
Z pierwszego otrzymujemy, że:
ą = ąĆą
Natomiast z drugiego:
ą = 0
15
K.Czopek, M.Zazulak Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
Rys.X.2. Zależność funkcji falowej od położenia x.
sin2ą
ą*śą x , t źą"ą śą x , tźą ~
ą2
Rys.X.3. Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w przedziale [-"x,+"x] funkcji x.
X.8. PRDKOŚĆ GRUPOWA u.
Prędkość grupowa jest to prędkość z jaką przesuwa się maksimum główne w pakiecie
falowym. Jest ona równa prędkości cząstki fali de Broglie'a.
cśą x ,t źą = 2cśą k źą , ą=0
0
d ą
x = t (X.8.1)
śą źą
dt
0
16
K.Czopek, M.Zazulak Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
d ą
dx
u = = (X.8.2)
śą źą
dt dk
0
Prędkość fazowa fali jest to
prędkość, z jaką przesuwa się faza np.
punkt 1.
ą
df
v =
k
v = ą f (X.8.3)
v
ą=vT=
f
2Ćą
k=
(X.8.4)
ą
dv
u = v-ą
(X.8.5)
d ą
Wzór (X.8.5) przedstawia zależność pomiędzy prędkością fazową v, a prędkością
grupową u.
Te wielkości są tożsame wtedy, gdy prędkość nie zależy od długości fali (brak dyspersji).
X.9. RELACJA PRDKOŚCI GRUPOWEJ (u) Z PRDKOŚCI
CZSTKI (v ).
0
Opis cząstki klasycznie:
p=mv0 E= p2
2m
Opis tej samej cząstki poprzez fale materii:
p
k =
!
17
K.Czopek, M.Zazulak Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
E
f =
h
u = v0
p2
E= E=! ą
2m
p2 k 2 !2
! ą= =
2m 2m
2
! k
ą=
2m
2k !
d ą= dk
2m
mv0
d ą k !
p
u = = = = = v0
dk m m m
18
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
WYKRES ZALEŻNOŚCI TEMPERATURY OD CZASUO baranach, równaniu Schrödingera i różyARTYKUŁY ŻYCIE NIEZALEŻNE OD OPINII INNYCHKubity i kot Schrödingera Od maszyny Turinga do komputerów kwantowychod 02 07 09 do 10 07 09lektury rady nie od parady 1010 ZALEŻNOŚĆ STAŁEJ SZYBKOŚCI REAKCJI OD TEMPERATURYSygic Mobile Maps 10 Instrukcja instalacji od zera nawigacjiZMIANY PARAMETRÓW MASY CIASTA PSZENNEGO W ZALEŻNOŚCI OD RODZAJU MĄKI I CZASU MIESIENIAna formularzu CIT 10 Z ryczalt odWytyczne kwalifikowalnosci od 1 1 1025 Rownania Maxwella (10)w sprawie rozkładu czasu służby funkcjonariuszy Straży Granicznej 10 06 2009matura od 10więcej podobnych podstron