Szczególna Teoria Względności Kinematyka relatywistyczna Doświadczenie Michelsona i Morleya (1881 i 1887) Załó\my, \e prędkość światła jest stała względem eteru. Jaka jest więc prędkość Ziemi względem eteru ? zwierciadło 1 zwierciadło półprzepuszczalne zródło światła zwierciadło ruchome 2 1) Załó\my, \e na ekranie obserwujemy maksimum interferencyjne (prą\ki). Jeśli przesuniemy zwierciadło ruchome o ź długości fali ( ź ) w prawo, to promień 2 przejdzie dodatkowo drogę � i oba promienie na ekranie wygaszą się w miejscach ekran gdzie się wzmacniały (maksima przejdą w minima i odwrotnie). Zasada budowy interferometru Michelsona. Zwierciadło 2) Zakłócenie ustawionego maksimum 2 mo\na przesuwać i w ten sposób doprowadzać do interferencyjnego mo\na by tak\e uzyskać, gdyby powstawania kolejnych maksimów i minimów prędkości światła w ramieniu 1 lub 2 ulegały interferencyjnych. zmianie. 1 zwierciadło A B 1 l0 zwierciadło zródło światła półprzepuszczalne zwierciadło 2 l0 ekran Je\eli obrócimy interferometr o 900, obydwa lustra S1 i S2 zamienią się rolami, a więc: Po obróceniu ramion prą\ki interferencyjne się przesuną. Z przesunięcia tego mo\na wyznaczyć vZ . Doświadczenie pokazało, \e vZ=0 (z dokł. 5 km/s) czyli albo Ziemia się nie porusza (wzgl. eteru) albo prędkość światła jest stała w ka\dym układzie inercjalnym. Zmierzona prędkość światła jest taka sama w ka\dym układzie inercjalnym (np. dla obserwatora A oraz B) !!! 2 Transformacja Galileusza x'= x -Vt y'= y z'= z t'= t "x "x' "x -V"t składanie prędkości u = u'= = = u -V "t "t' "t "u' "(u -V ) "u przyspieszenie w układzie a'= = = = a poruszającym się "t' "t "t Ta transformacja zastosowana do równań Maxwella nie daje tych samych wyników dla omawianych układów inercjalnych. Prędkość światła nie jest stała dla transformacji Galileusza. Postulaty szczególnej teorii względności szczególnej teorii względności, Albert Einstein 1905. Postulat I (zasada względności): Wszystkie to\same zjawiska fizyczne przebiegają, przy identycznych warunkach początkowych, jednakowo w inercjalnych układach odniesienia. Inaczej mówiąc, wśród IUO nie ma układu uprzywilejowanego i stwierdzenie stanu absolutnego ruchu nie jest mo\liwe. Postulat II: Prędkość światła w pró\ni jest jednakowa we wszystkich kierunkach i w dowolnym obszarze danego inercjalnego układu odniesienia i jednakowa dla wszystkich inercjalnych układów odniesienia. c = 299 792 458 m/s 3 Transformacja Lorentza Szukamy transformacji współrzędnych, która uwzględnia niezale\ność prędkości światła od układu odniesienia. x -Vt x -Vt � = V/c x'= = 2 2 V 1- � 1- c2 y'= y z'= z V V t - x t - x c2 c2 t'= = 2 2 V 1- � 1- c2 Własności czasoprzestrzeni są inne ni\ przewiduje to transformacja Galileusza. Dla � << 1 otrzymujemy transformację Galileusza. ... czy dylatacja czasu i kontrakcja długości wynikają z transformacji Lorentza??? Dylatacja czasu Dwa zdarzenia zaszły w tym samym "x'= 0 miejscu w układzie poruszającym się (O ), w odstępie czasu . "t'`" 0 "t'`" 0 V V t - x t'+ x' c2 c2 "x'= 0 t'== t = 2 2 1- � 1- � "t' "t = 2 1- � Skrócenie długości Pręt o długości (względem O ) "x'= L' porusza się z prędkością V względem O. Mierzymy długość w układzie O, "x = L wyznaczając w tej samej chwili "t = 0 "t = 0 współrzędne końca i początku. x -Vt "x x'= "x'= 2 2 1- � 1- � 2 V L = L' 1- c2 4 Potwierdzenie dylatacji czasu i kontrakcji długości "t' "t = 1) Ka\dy obserwator stwierdza, \e poruszający się zegar idzie wolniej 2 V ni\ identyczny zegar w spoczynku (dylatacja czasu). 1- c2 2 2) Ka\dy obserwator stwierdza, \e poruszający się przedmiot jest krótszy V L = L' 1- ni\ identyczny przedmiot w spoczynku (kontrakcja długości). c2 Dowody doświadczalne Miony docierają do Ziemi choć mają zbyt krótki czas \ycia (2 ms ). W układzie związanym z Ziemią jest to spowodowane dylatacją czasu (ich czas \ycia w układzie zwiazanym z Ziemią jest 30 razy dłu\szy poniewa\ poruszają się one z prędkością 99,3% prędkości światła). Patrząc z układu odniesienia poruszającej się cząstki, atmosfera Ziemi porusza się z prędkością ok. 99,3% prędkości światła względem spoczywającej cząstki i tym samym, ze względu na skrócenie długości, jest 30 razy cieńszą warstwą. W ciągu 2 ms (czas \ycia mionu) cała atmosfera zdą\y przesunąć się względem cząstki i powierzchnia Ziemi dotrze do mionu. ... a jak wygląda transformacja współrzędnych między układami inercjalnymi??? Składanie prędkości w transformacji Lorentza Obiekt ma prędkość ux' w ruchomym układzie odniesienia (np. względem rakiety). Jaką prędkość ux zarejestruje nieruchomy obserwator, w układzie którego rakieta porusza się z prędkością V wzdłu\ osi x. V "t - "x "x -V"t c2 Z transformacji Lorentza: "x'= "t'= � = V/c 2 2 1- � 1- � "x ux -V "x' -V ux'= ux '= "x' "x -V"t Vux "t Poniewa\: = = "t' 1- V V "x "t' c2 "t - "x 1- "x c2 c2 "t ux '+V ux = ux = "t Vux ' 1+ c2 Przykłady: c -V c'= = c dla ux = c 1) Vc 1- c2 2) V =0.9c, ux = 0.9c ux = 0.994c 5 Związek przyczynowo skutkowy a jednoczesność 1) Czy istnieje układ, w którym bitwa pod Grunwaldem i chrzest Polski zaszły: a) w tym samym miejscu: "x -V"t "x km "x'= = 0 V = H" 0.45 2 1- � "t rok � = V/c b) tym samym czasie: V "t - "x c2 = 0 V = c2 >> c "t'= 2 "x / "t 1- � Zdarzenia zajdą w tym samym miejscu w układzie poruszającym się z prędkością ok. 0.45km/rok, z Gniezna do Grunwaldu. Nie istnieje układ, w którym te zdarzenia są jednoczesne. 2) Po 10s od zajścia protuberancji na Słońcu, na Ziemi wybuchł wulkan. Czy istnieje układ w którym te zdarzenia zaszły: "x a) w tym samym miejscu: V = H" 51*c > c "t c2 b) tym samym czasie : V = H" 0.02*c "x / "t Zdarzenia zajdą w tym samym czasie w układzie poruszającym się z prędkością ok. 0.02*c. Nie istnieje układ, w którym te zdarzenia zajdą w tym samym miejscu. 6 Geometria czasoprzestrzeni "s1,2 Wielkość fizyczna opisująca odległość między dwoma zdarzeniami nazywa się interwałem 2 zdefiniowanym następująco: "s1,2 = c2"t2 -("x2 + "y2 + "z2) Mo\na wykazać, \e interwał jest niezmiennikiem względem transformacji Lorentza, tzn. ma 2 2 taką samą wartość w ka\dym inercjalnym układzie odniesienia: "s1,2'= "s1,2 1) Jeśli istnieje układ, w którym zdarzenia zajdą w tym samym miejscu to mo\e istnieć miedzy nimi związek przyczynowy (te zdarzenia nie mogą być jednoczesne w 2 \adnym układzie). Wtedy : "s1,2 e" 0 2) Jeśli istnieje układ, w którym zdarzenia zajdą w tym samym czasie to nie mo\e istnieć miedzy nimi związek przyczynowy (nie istnieje układ, w którym zdarzenia zajdą 2 w tym samym miejscu ). Wtedy : "s1,2 < 0 DYNAMIKA RELATYWISTYCZNA Pęd i masa relatywistyczna uxpocz,i = uxkonc,i obowiązuje Sprawdzmy czy zasada zachowania pędu: "mi "mi i i w układzie poruszającym się z prędkością V: uxpocz,i -V uxkonc,i -V `" "mi "mi Vuxpocz,i i Vuxkonc,i problem: zas. zach. pędu nie jest spełniona !!! i 1- 1- c2 c2 Jeśli ma pozostać słuszna zasada zachowania pędu, to masa ciała nie mo\e być wielkością stałą; musi ona zale\eć od prędkości wg. wzoru: m0 m0 8 m = = ł=m/m0 2 7 u2 1- � 1- 6 c2 5 Pęd w mechanice relatywistycznej 4 definiujemy: 3 2 m0 1 p = mu = u � = u/c v/c 2 0 1- � 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 7 Energia relatywistyczna Aby utrzymać w mocy zasadę zachowania energii w mechanice relatywistycznej, pomiędzy masą całkowitą a energią ciała (zwaną energią całkowitą) musi zachodzić związek : m0 Jest to słynne równanie Einsteina wyra\ające E = mc2 = c2 2 równowa\ność masy i energii. 1- � � = u/c Uwaga: Zasada zachowania energii obowiązuje dla energii całkowitej !!! masa [kg] energia elektron 9.11�10-31 8.19 �10-14 J (= 511 keV) proton 1.67 �10-27 1.5 �10-10 J (= 938 MeV) atom Uranu 3.95 �10-25 3.55 �10-8 J (= 225 GeV) cząsteczka kurzu 1 �10-13 1 �104 J Jaka jest więc definicja energii kinetycznej ? Załó\my najpierw, \e ciało jest w spoczynku. Wtedy masa tego ciała jest równa m0 i jego energia, zwana energią spoczynkową, wynosi: E0 = m0c2 Relatywistyczna energia kinetyczna jest równa: �ł �ł 1 Ek = E - E0 = (m - m0) c2 Ek = m0c2�ł 2 -1�ł �ł �ł 1- � �ł łł � = u/c u � = 0 Mo\na wykazać, \e gdy u<c w klasyczne: m0 �ł �ł 1 1 1 2 p = mu = u H" m0u Ek = m0c2�ł 2 -1�ł = m0c2�ł1+ � ...-1�ł H" m0u2 �ł �ł 2 �ł �ł 1- � 2 2 �ł łł 1- � �ł łł 8 Związek energii, masy i pędu E = mc2 oraz p = mu m0 u2 podstawiając: m = E2 - p2c2 = m2c4(1- ) stąd: u2 c2 1- c2 otrzymamy: 2 E = m0c4 + p2c2 lub E2 - p2c2 = m02c4 2 Zauwa\my, \e wyra\enie: E - p2c2 jest niezmiennikiem (podobnie jak interwał ma taką samą wartość we wszystkich układach inercjalnych). 9