Wyznaczanie profilu prędkości płynu
w rurociągu o przekroju kołowym
1.Wprowadzenie.
Dla ustalonego, jednokierunkowego i uwarstwionego przepływu przez rurę
o przekroju kołowym równanie Naviera-Stokesa upraszcza się do postaci
zwyczajnego równania różniczkowego. W układzie współrzędnych cylindrycznych
dla przepływu wzdłuż osi x ma ono następującą formę:
2
1 dp d wr dwr
1
Å" = + Å" (1)
2
· dx r dr
dr
gdzie: r - odległość od osi rury w kierunku normalnym, m. ,
wr - prędkość lokalna w punkcie r, m/s ,
· - lepkość dynamiczna, PaÅ"s ,
dp/dx - gradient ciśnienia wzdłuż osi rury, Pa/m.
Scałkowanie tego równania pozwala uzyskać wyrażenie na prędkość lokalną
w dowolnym punkcie przekroju rury :
1 dp
2
wr = Å" R2 - r (2)
( )
4· dx
gdzie : R - promień rury .
Z równania (2) wynikają zależności między prędkością lokalną, maksymalną
i średnią przepływającego płynu:
22
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
r r
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
wr = wmax Å" 1 - ìÅ‚ ÷Å‚ śł ïÅ‚
(3)
= 2 Å" wÅ›r Å" 1 - ìÅ‚ ÷Å‚ śł
ïÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
R R
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
W przypadku ruchu laminarnego występuje zatem paraboliczny rozkład prędkości.
W warunkach przepływu burzliwego nie można rozwiązać równania Naviera-
Stokesa w sposób analityczny, gdyż poszczególne elementy płynu poruszają się
nieregularnie wykazując cechy ruchu nieustalonego. W tym przypadku rozkład
prędkości może być opisany w sposób przybliżony, za pomocą równania:
1/ n
r
öÅ‚
wr = wmax Å"ëÅ‚1- (4)
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
R
Wykładnik 1/n jest funkcją liczby Reynoldsa, a zależność parametru n od liczby
Reynoldsa Re pokazano graficznie na rys.1.
13
12
11
10
9
8
7
6
10 4 10 5 10 6 10 7
107
105
104 106
Re
Rys.1. Zależność wykładnika n (równanie 4) od liczby Reynoldsa .
Badanie zjawisk występujących przy przepływie burzliwym przeprowadza się
zazwyczaj w sposób doświadczalny. Jedną z najprostszych metod pomiaru lokalnej
prędkości przepływu jest zastosowanie rurki Prandtla. Na rys.2a pokazano pomiar
ciśnienia całkowitego, statycznego i dynamicznego za pomocą tego przyrządu,
a rysunek 2b przedstawia schematycznie najczęstszy sposób pomiaru, tj. pomiar
ciśnienia dynamicznego pd .
pd = pc - ps = "p (5)
gdzie: pc - ciśnienie całkowite, Pa,
ps - ciśnienie statyczne, Pa.
Pomiar ciśnienia dynamicznego umożliwia określenie prędkości lokalnej
w punkcie umieszczenia sondy poprzez wykorzystanie równania Bernoulliego, które
pozwala sformułować następującą zależność:
n
2 Å" "p
wr = (6)
Á
gdzie: Á - gÄ™stość pÅ‚ynu .
Rys.2. a) Pomiar ciśnienia całkowitego, statycznego i dynamicznego, b) pomiar ciśnienia
dynamicznego za pomocÄ… rurki Prandtla.
Ze względu na to, że ciśnienie dynamiczne jest przeważnie stosunkowo małe
(około kilkudziesięciu Pa) do jego pomiaru używa się z reguły mikromanometrów
z pochyłą rurką pomiarową.
Znając zależności prędkości lokalnej od promienia można przez całkowanie
graficzne obliczyć średnią prędkość przepływu. Kłopotliwego całkowania graficznego
można uniknąć poprzez odpowiednie usytuowanie punktów pomiarowych. W tym
celu należy podzielić powierzchnię przekroju rury na N współśrodkowych części
o jednakowym polu powierzchni i każdą prędkość lokalną mierzyć w połowie
szerokości danego pierścienia. Dla rury o promieniu R pole powierzchni każdego
z N pierścieni wynosi ĄR2/N. Stąd pole powierzchni koła, którego obwód przechodzi
przez n-te miejsce pomiarowe, zawierającego część centralną oraz pierścienie
do n-tego, dane jest przez wyrażenie:
Ä„R2 1 Ä„R2
Ä„ Å" rn2 = (n -1)Å" + Å" (6)
N 2 N
Stąd wynika, że n-ta sonda pomiarowa powinna być umieszczona w odległości od osi:
2n -1
rn = RÅ" (7)
N
Zakłada się, że każda sonda mierzy przeciętną prędkość w dzęści,
w której została umieszczona. Iloczyn tej prędkości i pola powierzchni danej części
daje strumień objętości płynu przez dany pierścień czy część centralną. Zatem
strumień objętości płynu przepływający przez całą rurę stanowi sumę wyrażoną
wzorem:
Å"
Ä„R2 N
V = Å"rn (8)
"w
N
1
Średnia prędkość płynu w rurze, jako stosunek strumienia objętości do pola
przekroju rury (Ä„R2), wynosi:
N
rn
"w
1
wśr = (9)
N
2.Cel ćwiczenia.
Głównym celem ćwiczenia jest wyznaczenie rozkładu prędkości gazu podczas
przepływu przez rurę o przekroju kołowym. Dalszym celem jest porównanie profilu
uzyskanego na podstawie pomiaru lokalnych prędkości z profilem obliczonym za
pomocą odpowiednich równań. Kolejnym celem ćwiczenia jest wyznaczenie średniej
prędkości przepływu przez rurę.
3.Aparatura.
Schemat stanowiska pomiarowego przedstawiony jest na rysunku 3. Powietrze jest
tłoczone do rury pomiarowej (1) za pomocą wentylatora (2). Tuż za wentylatorem jest
zamontowana zasuwa (3), umożliwiająca regulację strumienia objętości powietrza.
W środkowej części rurociągu na obwodzie rury są zamocowane dwie rurki
Prandtla (4). Rurki te wmontowano w ten sposób, że istnieje możliwość przesuwania
ich w kierunku prostopadłym do osi rury, co zostało schematycznie pokazane na
rysunku 4. Położenie sondy pomiarowej może być określone za pomocą podziałki
milimetrowej (5). Ciśnienie dynamiczne mierzone jest mikromanometrami (6)
z uchylnymi rurkami pomiarowymi. Do porównawczego pomiaru strumienia objętości
gazu płynącego przez rurę wykorzystuje się kryzę pomiarową (7) umieszczoną na
pionowej części rury. Średnica rurociągu przed kryzą wynosi Dr=105 mm, a średnica
otworu kryzy d0=65 mm. Spadek ciśnienia na kryzie pomiarowej mierzony jest za
pomocą U-rurki wypełnionej wodą.
6
7
3
2
4
5
- +
1
Rys.3. Schemat aparatury pomiarowej .
4.Metodyka pomiarów.
Podczas przepływu powietrza należy wykonać pomiary lokalnych prędkości gazu
za pomocą dwóch sond pomiarowych (rurek Prandtla) zmieniając ich położenie
wzdłuż średnicy rury co 10 mm, lub obliczając to położenie z zależności (7). Pomiary
należy wykonać dla trzech różnych strumieni objętości gazu regulowanych zasuwą
znajdującą się za wentylatorem. Dla każdego pomiaru należy tak dobrać pochylenie
rurki mikromanometru rurką, aby uzyskać odpowiednio duże wychylenie cieczy
manometrycznej (CH3OH). Pomiar strumienia objętości gazu należy wykonać
odczytując wskazania manometru połączonego z kryzą pomiarową.
Rys.4. Sposób zamocowania sond pomiarowych.
5.Opracowanie wyników pomiarów.
Na podstawie pomiarów prędkości lokalnej oraz prędkości średniej należy :
1. Na podstawie zależności (6) obliczyć prędkości lokalne.
Zmierzony spadek ciśnienia w mm CH3OH przeliczyć na jednostki układu SI
korzystając z zależności:
"p = ÁCH 3OH Å" g Å" "h = 792 Å" 9,81Å" "h (10)
gdzie: "h - przeliczone wskazanie mikromanometru, m CH3OH.
Gęstość powietrza w temperaturze procesu obliczyć wykorzystując równanie:
p Å" M p Å" 29
Á = = (11)
R Å"T 8314 Å"T
2. Wykreślić zmierzone profile prędkości w rurze w układzie współrzędnych
wr= f(r) dla obu sond pomiarowych i dla trzech strumieni objętości gazu.
3. Obliczyć prędkość średnią na podstawie wykresu wr = f(r) za pomocą:
a) całkowania graficznego - wśrC. W tym celu należy obliczyć pole
powierzchni pod wykresem wr = f(r) w granicach -R do +R , a wielkość
średnią wyznaczyć z zależności:
R
1
wśrC = (12)
r
+"w Å" dr
2R
-R
b) metodą statystyczną - wśrS. W tym celu należy pole przekroju rury
podzielić na kilka (przynajmniej 5) współśrodkowych części o równych
polach powierzchni. Na promieniu obliczonym z zależności (7) wyznaczyć
prędkość lokalną wr. Prędkość średnią obliczyć z zależności (9).
4. Wykreślić profile prędkości w układzie współrzędnych bezwymiarowych
wr/wśrc= f(r/R) oraz wr/wśrS= f(r/R) dla trzech strumieni objętości gazu.
5. Porównać prędkości średnie wyznaczone opisanymi metodami z prędkością
średnią uzyskaną z pomiaru spadku ciśnienia na kryzie - wśrD wykorzystując
zależność:
2
2
ëÅ‚ öÅ‚
Ao Å" wo ìÅ‚ do ÷Å‚ 2"p 65 2"p
ëÅ‚ öÅ‚
wÅ›rD = = Ä… = Å" 0,61 (13)
ìÅ‚ ÷Å‚
Ar ìÅ‚ dr ÷Å‚ Á Á
íÅ‚105 Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
"p = ÁH 2O Å" g Å" "h = 1000 Å" 9,81Å" "h (14)
gdzie: "h - wskazanie manometru, m H2O.
6. Wyniki pomiarów i obliczeń należy zestawić w następującej tabeli:
Nr serii r pd wr wśrC N rn wr wśrS wśrD
"p
pomiarowej
mm mm mm m/s m/s m m/s m/s m/s
metanolu H2O
I pozioma
I pionowa
II pozioma
7. Zinterpretować wyniki obliczeń.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
profileprofileprofil?profileprofil?profileprofileprofileProfilaktyka pierwotna i wtorna udarow mozguprofileprofileprofil?profile04 Prowadzenie działań profilaktycznych i promocji zdrowiaprofileprofilewięcej podobnych podstron