Analiza matematyczna, całki oznaczone 1/36
Całki oznaczone
Poniższy rozdział będzie dosyć rozwarty, z dużą ilością przykładów. Temat, z którym się
dzisiaj zmierzymy, jest raczej mało ciekawy, eksperci powiedzą, że  cholernie nudnawy . Nie ma w
nim nic  zaskakującego , jedyne, co trzeba nowego wiedzieć do tego działu, to trudną i zdradziecką
operację odejmowania, albo czasem dodawania. Oczywiście  główną waszą zaletą, która w 90%
załatwia sprawę, ma być możliwość liczenia całek nieoznaczonych.
Pamiętacie doskonale ze szkoły średniej, że matma potrafi być tam strasznie interesująca.
Potrafiliście obliczyć deltę z funkcji kwadratowej, ale już wyzwaniem jest zadanie typu  Mam
nasiona konopi indyjskiej  tyle, ile trzeba, by spokojnie handlować i olać studia. Mam ze 10
metrów siatki. Jak zrobić taką prostokątną działeczkę, by miała ona jak największe pole? , gdzie
zabawa również sprowadza się do funkcji kwadratowej.
Mówiąc inaczej, pierdolimy się z jebanymi deltami, wzorami, funkcjami
trygonometrycznymi (patrz pan, robotnicy zbudowali częstochowską Galerię Jurajską, a wątpię, by
któryś z nich korzystał z jakichś sinusów) czy wzorami redukcyjnymi. Ale ni chuja nie potrafimy
tego przenieść do rzeczywistości, do dupy, a nie do życia jest ta matma.
Całki oznaczone są takim fajnym bajerem, który może i mało się analizuje w matmie. Ale
akurat zastosowanie ma ogromne, niemal we wszystkich dziedzinach techniki. Mogę się założyć o
swoje zęby (wypadną mi niebawem z powodu nadużywania coca-coli), że pierwszy lepszy
wykładowca z elektroniki czy fizyki już pieprzy całkami, mimo że kompletnie nie wie, że tego się
w szkołach (już) nie uczy.
Ale my się nauczymy... no, chociaż spróbujemy. Poniżej minimalny spis treści:
Przypomnienie o całkach, co to całka oznaczona 2
Całki oznaczone  obliczanie przed podstawienie 11
Dzielenie obszarów całkowania 16
Zamiana zmiennych niezależnych 20
Przykłady z kolokwiów i egzaminów 25
I umawiamy się tak  przy logarytmie nie piszę wartości bezwzględnych. Pisze zamiennie
oś y, oś Oy, oś OY itp. Nie jestem matematykiem, tylko kiepskim studentem, z niepełną na pewno
wiedzą, więc błędów w zapisie jest więcej niż w ustawie o wychowaniu w trzez
wości. I ogólnie 
nie traktować tego jako podręcznik, tylko ewentualną, ostateczną pomoc, jak nic inne nie pomoże.
Autor: vbx (c) 2010
Analiza matematyczna, całki oznaczone 2/36
Przypomnienie, co to jest
Przypominania nigdy za wiele, więc przypomnijmy, co w ogóle nazwaliśmy tak dziwnie
 całką nieoznaczoną .
Jak mamy sobie ulubiony przeze mnie logarytm:
y=ln śą x źą
to ja se z niego walnę pochodną (choćby z tablic):
1
y ' =
x
Odwrotną operacją od  walnę pochodną jest  walnę całkę , bądz
bardziej sztywniarsko  obliczÄ™
całkę nieoznaczoną:
1
dx =...
+"
x
1
dx
Przypomnijmy  ten  wężyk to symbol całki, potem , czyli to, co rąbiemy, a na końcu ,
x
co oznacza  x jest se zmienną, po której ja se tutaj całkuję i właściwie, służy ino do dekoracji.
No dobra, obliczamy:
1
dx=ln xƒÄ…...
+"
x
ln#"x#"
(przypominam  w tablicach wynikiem jest wprawdzie , ale ja ten moduł pomijam dla
czystości zapisu, więc jak kogoś to razi  niech sobie domaluje długopisem czy mazakiem na
monitorze)
Pamiętamy, że do tego dodajemy liczbę (pochodną z takiej czystej i niewinnej liczby jest zero),
którą zwiemy  stałą całkowania i oznaczamy jako C:
1
dx=ln xƒÄ…C
+"
x
I już, po krzyku. Ale typowy student już zakrzyknie  kurwa, chcę się napić, a nie uczyć się
jakiś beznadziejnych całek, po chuja mi to?
Wynik może i jest ładny, ale właściwie, nie wiadomo, co on oznacza (dlatego pewno  całka
nieoznaczona ). Obliczyliśmy jakąś funkcję, z którą ładnie można se pochodne liczyć, ale przyda
nam siÄ™ to po coÅ›?
Popatrzmy na rysunek, stworzony za pomocÄ… specjalistycznego, komputerowego programu
do obliczeń, takiego, jakiego używają w NASA:
Autor: vbx (c) 2010
Analiza matematyczna, całki oznaczone 3/36
Mamy se układ współrzędnych, mamy se jakiś kawałek funkcji liniowej (ta taka kreska na
ukos), zaznaczyłem jakieś tam dwie liczby, no i wzorek tej funkcji.
Ja siÄ™ teraz pytam  kurturalnie - ile wynosi o to, szare pole:
Rewelacyjny rysunek, musicie sami przyznać, a obliczycie bardzo, bardzo prosto. Otóż
możemy sobie zauważyć, że będzie se to trójkąt, o jednym boku równym 2, o drugim równym a i
też 2. Ponieważ jest to trójkąt prostokątny, więc już krzyczymy  Yes, yes, yes :
2"2=2
P=
2
Prosto, do cholery. Ale ja zrobię ulubioną rzecz przez wykładowców, czyli  zagmatwam
sposób rozwiązania .
Ktoś se kiedyś, pewno jakiś Newton czy Reimann, odkrył, że:
pole pod wykresem funkcji=...=F śą bźą-F śą aźą
*
Ale nam to wyjaśniło, normalnie, kurwa, brawo, i jeszcze jakieś kropki (zaraz się nimi zajmiemy).
Najpierw, czym jest b i a: sÄ… to skrajne argumenty, b  prawy, a  lewy. Pojedz
cie stronę wyżej. W
tym przykładzie b będzie się równać 2 (bo pole ogranicza x = 2 z prawej strony), zaś a = 0 (z lewej
ogranicza go x = 0).
Wiemy, że:
f śąx źądx=F śą xźąƒÄ…C
+"
mówiąc inaczej  całka  wypluwa nam jakąś funkcję razem z C.
Autor: vbx (c) 2010
Analiza matematyczna, całki oznaczone 4/36
F śąbźą
Więc to nasze będzie równe:
f śą xźą=F śą xźąƒÄ…C=(podstawiamy za x - b) F śąbźą
+"
F (x) to jest po prostu jakiÅ›
wzorek, funkcja, gdzieÅ› tam
będzie gołe x, za które po
prostu podstawimy b.
F śąa źą F śąbźą-F śąa źą
Podobnie . Cały problem, całe działanie możemy zapisać w ładnej i
eleganckiej formie, którą zwiemy całką oznaczoną:
b
f śą xźą dx
+"
a
Jezu, ale namotałem. Postaram się odmotać przez rozwiązanie przykładu (a potem
prosiłbym o przeczytanie raz jeszcze tego, co napisałem).
Linia, która ogranicza to szare pole z góry, to wykres takiej funkcji:
f śą xźą=x
Widzimy dodatkowo, że z lewej strony to pole jest ograniczone przez:
x=0
ZaÅ› z prawej:
x=2
Skoro znamy  namiary na linie, które ograniczają nam ten szary obszar, to obliczymy se teraz
całkę:
x2
f śą xźą dx= x dx= ƒÄ…C
+" +"
2
x2
F śąx źą
To to jest nasze ( scałkowana funkcja, która ogranicza nasze pole od góry; brak
2
stałej C zara wyjaśnimy).
Po raz kolejny  z lewej strony ogranicza x=0 , zaś z prawej: x=2 , więc:
pole pod wykresem funkcji=...=F śą to, co ogranicza z prawejźą-F śąto, co ogranicza z lewejźą
więc obliczmy:
x2 22 02
4=2
F śą2źą-F śą0źą=[ ]2= - =
0
2 2 2
2
Właściwie, są to zapisy równoważne  te dwie liczby po prawej stronie
nawiasu kwadratowego oznaczają  podstaw to, co siedzi na górze, wylicz, podstaw to, co na dole,
wylicz, odejmij .
Autor: vbx (c) 2010
Analiza matematyczna, całki oznaczone 5/36
Czy wynik, liczba 2 czegoś nie przypomina? Obliczyliśmy po raz pierwszy całkę
oznaczoną. Jeżeli zbyt zamotałem i nic już nie wiecie, to obliczymy raz jeszcze, korzystając z
zapisu:
b
f śą xźą dx
+"
a
KorzystajÄ…c z danych w zadaniu:
2
x dx
+"
0
(nad wężykiem zawsze powinna być liczba większa od tej pod wężykiem)
Całkując:
2
x2
x dx=[ ]2
+"
0
2
0
całkujemy
Idziemy dalej:
x2
[ ]2=2-0=2
0
2
co już wcześniej wyliczyliśmy i co jest polem zakreślonego obszaru.
Zauważmy, że tutaj nie ma sensu mieszać w to stałej całkowania C, bo nawet jak, to:
2
x2ƒÄ…C
x dx=[ ]2=2ƒÄ…C -śą0ƒÄ…C źą=2ƒÄ…C-C =2
+"
0
2
0
Żadnych korzyści, a pomylić się jest łatwiej, o wiele łatwiej.
Autor: vbx (c) 2010
Analiza matematyczna, całki oznaczone 6/36
Dla wprawy  kolejny przykładzik:
Naszym zadaniem jest obliczenie pola, gdzie z lewej strony pilnuje nas 1, z prawej  3.
Wzorek na funkcję, która ogranicza nas z góry:
f śą x źą=x2
Wiedząc, że pole (w tak prostym przypadku):
b 3
f śą xźą dx-> x2 dx
+" +"
a 1
obliczymy se:
3
x3 3 13 27 2
26
x2 dx=[ ]3=3 - = -1 = =8
+"
1
3 3 3 3 3 3
3
1
całkujemy
Patrz Pan, w szkole średniej nie do pomyślenia, by wyliczyć takie pole, a my chwila, moment,
znalez
liśmy haki i zrobione.
Autor: vbx (c) 2010
Analiza matematyczna, całki oznaczone 7/36
W ramach eksperymentu, policzmy sobie pole takiego zwierzÄ…tka:
Najlepiej, abyście sami policzyli, ile takie coś jest równe, a potem sprawdzili.
Otóż, jak widzimy, mamy sobie takie ładne hiperbole. Obliczymy pole tego szarego obszaru.
f śąxźą=-1
Na dole ogranicza nas funkcja . Z prawej strony straszy dwójka, z lewej  jedynka.
x
Więc rozwiążmy:
2 2
f śąx źądx= dx
+" +"-1
x
1 1
W całce oznaczonej możemy robić prawie te same numery (prócz całkowania przez
podstawianie, o czym za kilka ładnych momentów), co przy  normalnych całkach, czyli np. Stałe
wyrzucać przed nawias. Ot, tak jak tutaj:
2 2
1
dx=- dx
+"-1 +"
x x
1 1
1
z tablic wiemy, ile wynosi całka z - jest to logarytm naturalny, a ponieważ i 2, i 1 to liczby z
x
pewnością dodatnie, to my możemy zapisać logarytma bez modułu:
1
dx=ln x
+"
x
obliczajÄ…c:
2
1
- dx=-[ln x ]2=-śąln 2-ln 1źą=-ln 2H"-0,6931...
+"
1
x
1
Hmm... normalnie, fajnie, koniec przykładu i fajrant.
Jedna rzecz mnie jednak dziwi. Tak, jak rzadko pociągi u nas rozpędzają się do 300 km/h,
tak rzadko kiedy znajdujemy ujemne pola. Aczkolwiek, w tym przypadku, jest ono uzasadnione.
Otóż, jeżeli mamy za zadanie  obliczyć pole pod wykresem funkcji , to to, co jest  nad
osiÄ… OX, jest dodawane, a to, co pod  odejmowane.
Autor: vbx (c) 2010
Analiza matematyczna, całki oznaczone 8/36
Nie wierzycie? To obliczymy kolejne  pole pod wykresem .
Ten profesjonalny wykres przedstawia wykres funkcji sin x. Jeżeli dobrze pogłówkujemy,
widzimy mniej więcej, że ten garb nad osią iksów jest taki sam, jak pod (jak nie wierzycie, bo
rysunek jest do dupy  to spójrzcie w Google). W związku z tym, pole pod wykresem tej funkcji od
0 do 2Ą powinno wynieść 0 (no bo pole nad osią jest takie samo, jak pod osią). Sprawdz
my.
Liczymy całkę w granicach (tak się mówi profesjonalnie) od 0 do 2Ą, co wygląda
następująco.
2Ä„
sin x dx
+"
0
Tablice już podpowiedziały, co jest całką sinusa, więc:
2Ä„
sin x dx=[-cos x ]2Ä„=śą-cos2Ä„ źą-śą-cos 0źą=-1-śą-1źą=-1ƒÄ…1=0
+"
0
0
No cóż, zgadza się. Ale czy to oznacza, że licząc coś, co jest pod iksami, musimy sobie
wiecznie  zamieniać minusy na plusy, by uzyskać interesujący nas efekt?
Nie, bo teraz zobaczymy drugą twarz całek oznaczonych, pewien trik, który umożliwia
liczenie pól dowolnych kształtów.
Autor: vbx (c) 2010
Analiza matematyczna, całki oznaczone 9/36
Gdyż teraz policzymy pole obszaru, ograniczonego jakimiś tam równaniami.
Takie pole, z góry ograniczone wykresem funkcji , z prawej x=3 , z lewej
f śą xźą=x2
x=1 .  Doszedło dodatkowe ograniczenie  mianowicie, y=1 z dołu (równe jeden, bo
f śą1źą=1
, a uznajmy, że tak kreska czerwona jest równoległa do iksów)... Rany boskie, co z tym
zrobić.
Przedstawmy sobie taki już porządny wzorek na pole obszaru, ograniczonego funkcjami (vel
równaniami):
to, co po prawej ogranicza
śąfunkcja, która pilnuje nas z góry-ta funkcja, która ogranicza rysunek z dołuźą dx
+"
to, co po lewej ogranicza
co też w podręcznikach jest opisane jako:
b
śą f śą xźą-g śą x źąźą dx
+"
a
Wcześniej (tzn. bez przykładów, w których pole wychodziło ujemne) nie było potrzeby
 uznawania g (x)  zauważmy, że od dołu  pilnowała nas oś OY (o równaniu y=0 ). W
związku z tym, odejmowalibyśmy zero, co jest równie sensowne, jak te wszystkie  pomoce
dydaktyczne ...
Wróćmy do przykładu, rozpiszmy i wyliczmy wszystko:
" z góry ogranicza nas f śąxźą=x2
y=1 g śą xźą=1
" zaś z dołu , właściwie  jest to funkcja stała o wyglądzie
x=3
" po prawej gorylem, stojącym na bramce do dyski jest pionowa kreska w trójce:
x=1
" zaÅ› po lewej ubezpiecza go kreska w jedynce:
No i jadÄ…c dalej:
b 3
śą f śą xźą-g śą xźąźą dx= śą x2-1źądx
+" +"
a 1
Autor: vbx (c) 2010
Analiza matematyczna, całki oznaczone 10/36
Obliczmy se na spokojnie całkę nieoznaczoną, która siedzi w środku. Krótko mówiąc,
zrobiÄ™ se tak:
Całka  liniowe zwierzątko, więc ja sobie zrobię o tak:
2 2
+"śąx -1źądx=+"x dx-+"1 dx
Korzystając z tablic, obliczam całkę (dosyć nieładnie, bo zapominam o stałej C, ale co mi tam):
x3-
x2 dx- 1dx= x
+" +"
3
Wrzucając to w całkę oznaczoną, mogę se ją bez problemu policzyć:
3
x3 33-3źą-śą 1 1
śąx2-1źą dx=[ -x ]3=śą -1źą=6ƒÄ… =19 (chyba)
+"
1
3 3 3 3
3
1
Obliczyliśmy pole pod wykresem funkcji pole obszaru, które jest ograniczone jakimiś tam
równaniami.
Radzę się nie przejmować  póki co i tylko w tym dziale  tym, co zaznaczyłem  kułkami :
to, co po prawej ogranicza
śąfunkcja bla bla blaźą dx
+"
to, co po lewej ogranicza
obecnie możemy uznać, że będą to liczby. Jednakże, nastaną dni sądne, w których
 wężyków (symboli całek) będzie odrobinę więcej, a wtedy to już będzie przesrane.
Więc widzimy  żeby obliczyć pole pod wykresem jakiejś funkcji, trzeba sobie scałkować tą
funkcję  wyskoczy nam nowy  przepis, co zrobić z iksem (po prostu jakaś nowa funkcja).
Następnie, bierzemy liczbę, która nas ogranicza z prawej strony i wrzucamy w nową funkcję,
skrzętnie notujemy wartość. Teraz  liczbę z lewej strony, wrzucamy, notujemy  i to odejmujemy
od pierwszej zanotowanej wartości. I po robocie.
Żeby obliczyć jakiś obszar, od tego, co jest pod całką, odejmujemy wzorek
funkcji/równania/wykresu/byle czego (ostatnie nie gwarantuje sukcesu na kolokwium) tego, co nas
ogranicza z dołu. Resztę robimy analogicznie  całkujemy, podstawiamy, odejmujemy i mamy
wynik.
Pod koniec zajmiemy się obliczaniem bardziej zaawansowanych obszarów. Natomiast teraz
przejdziemy do pewnej różnicy w obliczaniu całek oznaczonych.
Jak pamiętacie, możemy całkować przez części oraz przez podstawienie. Całkowanie przez
części w przypadku całek oznaczonych jest nudne i takie samo, jak w nieoznaczonych  tylko na
końcu tradycyjnie  podstawiamy i odejmujemy. W przypadku jednak całkowania przez
podstawienie  mamy problem.
Autor: vbx (c) 2010
Analiza matematyczna, całki oznaczone 11/36
Całki oznaczone  obliczanie przez podstawienie
Załóżmy, że mamy do policzenia taką ambitną całkę oznaczoną:
Ä„
2
sin 2xdx
+"
0
Na początek  zrobimy klasycznie, czyli najpierw obliczymy całkę nieoznaczoną, następnie
 podstawimy i odejmiemy.
I SPOSÓB
Całkę postaci
+"sin 2x dx
obliczymy sobie przed podstawienie. Podstawimy sobie tak:
2 x=t
Musimy się pozbyć dx, więc obustronnie różniczkujemy:
2 dx=dt
Dzięki czemu wiemy, co podstawić za dx:
dt
dx=
2
Już ładnie wykonamy sobie podstawienie:
+"sin 2x dx=+"sin t dt
2
I już dalej rozwiążemy tego zawodnika (pomijając stałą całkowania C):
+"sin t dt = 1+"sin t dt= 1"-cos t=-cost
2 2 2 2
 Przywracając zmienną x wiemy, że:
+"sin 2x dx=-cos 2 x
2
Wykorzystamy tą wiedzę do obliczenia całki oznaczonej (wszelkie stałe wyrzuciłem przed całkę):
Ä„
2
Ä„
1 1 2"Ä„
sin 2x dx=- [ cos2 x ] =- śącos -cos2"0źą=
+" 2
2 2 2
0
0
1
=-1 śącosĄ -cos0źą=- śą-1-1źą=--2 =1
2 2 2
Wyliczona przez nas całka równa się 1. Sprawdzimy to drugim, takim bardziej eleganckim
sposobem, w którym niejako jednocześnie się podstawia i całkuje.
Autor: vbx (c) 2010
Analiza matematyczna, całki oznaczone 12/36
II SPOSÓB
My już na tym etapie dokonamy podstawienia. Widzimy, że można se ładnie w tej całce:
Ä„
2
sin 2xdx
+"
0
podstawić:
2 x=t
i zróżniczkować:
dt
dx=
2 dx=dt =>
2
zupełnie jak poprzednio.
Już wstawiliśmy  to obliczmy:
Ä„ Ä„
2 2
Ä„
1 Ä„ 1
sin 2x dx= sin t dt=-1 [cost ] =-1 śącos -cos0źą=
+" +" 2
2 2 2 2 2
0
0 0
Hmm... jak pewno zauważyliście, jest pewien problem. Wynik uzyskany powyżej jest inny od tego,
co nam wyszedł z I sposobu. Wniosek taki  albo się rąbnęliśmy stronę temu, albo teraz.
Odpowiem, że teraz  i to w tych miejscach:
Ä„
2
Ä„
1
= sin t dt=-1 [cost ] =
+" 2
2 2
0
0
W chwili, gdy podstawiamy i mamy zamiar od razu obliczać całkę oznaczoną, dochodzi do
czegoś takiego, jak zmiany granic całkowania. Zmienia się de facto funkcja, zmieniają się również
granice całkowania.
To trochę tak, jakby z jakiegoś powodu powołano nowego selekcjonera piłkarskiej
reprezentacji. Nawet jak trenerem by został i Mourihno, to i tak zmieni se skład, godziny treningów.
Nowy trener mówi  Nie, Panowie, nie będziemy trenować od 10 do 10:10, a potem czas wolny,
tylko my zmienimy granicę treningów od 9 do 16 .
Więc  skoro nowa funkcja, to i nowe granice całkowania. Proste.
A czemu tak? Nie mam pojęcia, ale ma to związek z tym, że my właściwie podstawiamy
nową funkcję i niejako całkujemy zupełnie co innego. A żeby to miało ręce, nogi i zgadzało się z
przykładem, to wymyślamy nowe granice.
Należy obliczyć  nowe granice całkowania, a jest to proste. Wracamy do podstawienia:
2 x=t
Za iksa wstawimy górną granicę całkowania  wyliczymy nową:
Autor: vbx (c) 2010
Analiza matematyczna, całki oznaczone 13/36
2"Ä„ =Ä„
2
Tak samo z dolnÄ…:
2"0=0
Wróćmy i naprawmy błąd:
Ä„
2 Ä„
1 1 1
Ä„
= sin 2x dx= sin t dt=- [ cost ] =- śącos Ą-cos0źą=1
+" +"
0
2 2 2
0 0
Jak najbardziej  bardzo Å‚adnie.
Dla wprawy  obliczymy sobie przykład z nieocenionej książeczki tandemu Gewert i
Skoczylas.
Autor: vbx (c) 2010
Analiza matematyczna, całki oznaczone 14/36
Zadanie 1
Obliczyć podaną całkę oznaczoną (dokonując wskazanych podstawień):
1
x 1ƒÄ…x dx ,
ćą 1ƒÄ… x=t
+" ćą
0
Wybrałem taki przykład, bo nie chciało mi się kombinować z podstawianiem. Mam
nadzieję, że z  technicznego punktu widzenia co nieco wyjaśniłem w pomocy dotyczącej całek
nieoznaczonych (gdzie masa przykładów polegała na podstawianiu).
Okej, najpierw (dla pewności) sprawdz
my, czy wskazane podstawienie ma sens.
Mamy
(*)
1ƒÄ… x=t
ćą
więc różniczkując:
1
dx=dt
2 1ƒÄ…x
ćą
i stąd dx jest równe:
dx=2 1ƒÄ…x dt
ćą
a wiedzÄ…c (*), ostatecznie:
dx=2"t dt (**)
Obliczmy jeszcze, ile w tym podstawieniu jest równe x (obustronnie podnosząc do kwadratu):
|1ƒÄ…x |=t2
Moduł możemy pominąć, bo w tych granicach nic się złego nie stanie:
(***)
x=t2-1
WrzucajÄ…c w odpowiednie miejsca (*), (**) i (***), mamy:
1 ... ...
x 1ƒÄ…x dx= śąt2-1źą"t"2"t dt=2" śąt4-t2źądt
ćą
+" +" +"
0 ... ...
Musimy pamiętać o zamianie granic całkowania.
Górna granica będzie równa:
1ƒÄ…1= 2
ćą ćą
ZaÅ› dolna:
1ƒÄ…0=1
ćą
Ostatecznie, nasze zwierzątko do wyliczenia, lampiąc się na nas swoimi dużymi oczkami, będzie
tak się prezentować:
2
ćą
2" śąt4-t2źądt
+"
1
a musicie sami przyznać, że całkowanie takiego zawodnika jest dużo prostsze i w czasach, gdy
nauka często koliduje z czasem wolnym  widzimy, że lepiej sprowadzić sobie całkę do prostej
Autor: vbx (c) 2010
Analiza matematyczna, całki oznaczone 15/36
postaci, którą możemy rozwalić razem z tablicami.
Nie owijając dalej w bawełnę, skończmy ten przykład. Po scałkowaniu:
2
ćą
t5 3
2" śąt4-t2źądt=2"[ -t ]ćą12=
+"
5 3
1
sobie kurturalnie policzymy:
25 23 5 3
ćą ćą
=2"[śą - źą-śą1 -1 źą]=
5 3 5 3
5 3
22 22 15- 13
=2"[śą - źą-śą źą]=
5 3 5 3
4 2 2 2 3 5
ćą ćą
=2"[śą - źą-śą - źą]=
5 3 15 15
2 2 2
ćą
=2"[ ƒÄ… ]=
15 15
4"śą 2ƒÄ…1źą
ćą
=
15
Ostatecznie, wyliczyliśmy, że
1
4"śą 2ƒÄ…1źą
ćą
x 1ƒÄ…x dx=
ćą
+"
15
0
Autor: vbx (c) 2010
Analiza matematyczna, całki oznaczone 16/36
Dzielenie obszarów całkowania
Na końcu (tej strony, oczywiście), zgodnie z obietnicą, zajmiemy się obliczaniem
ciekawszych obszarów całkowania, które  składają się nie z jednej czy dwóch funkcji, ale np. z
trzech czy czterech.
Jak widzicie, jeżeli umie się obliczać całki nieoznaczone  to prawie umie się liczyć całki
oznaczone. Różnica polega tylko na podstawieniu tych  granicznych wartości na końcu i
odpowiednim odjęciu.
Jednym z zastosowań, które tutaj sobie pokazaliśmy  to liczenie pól. O ile liczenie pola pod
zwykłą funkcją kwadratową, to zaczyna się problem przy, załóżmy, takim zawodniku:
I mamy za zadanie obliczenie pola takiego Pudziana. Jednak problem pojawia siÄ™ od razu 
zauważmy, że z  góry ograniczają nas dwie funkcje  najpierw działa funkcja kwadratowa f, a
następnie funkcja liniowa g. Z dołu działa jedna i ta sama funkcja h.
Gdybyśmy chcieli już walnąć wzorka i liczyć całkę, to mamy problem:
5
1
?-śą x -1źą dx
+"
5
0
bo mamy dwie funkcje, które ograniczają nam obszar z góry.
Ale jest pewien trik, który się zwie  dzielenie obszaru całkowania.
Autor: vbx (c) 2010
Analiza matematyczna, całki oznaczone 17/36
Otóż:
Po pierwsze  dzielimy obszar tak, by była jedna funkcja ograniczająca z góry i jedna z
dołu. W tym przykładzie  możemy to zrobić tak:
Po prostu podzieliłem sobie nasze  pole na dwa  po to, by było łatwiej sobie policzyć
pole. Obszar, który z góry jest ograniczony przez f śąx źą=x2-1 , oznaczyłem sobie O1. Zaś ten,
g śą xźą=-xƒÄ…5
który z góry ogranicza tam , oznaczyłem se jako O2.
Po drugie  liczymy sobie osobno dane pola, a następnie  dodajemy je i finito:
Nasz pierwszy obszar trzymajÄ… w ryzach  po lewej bramkarz numer 0 ( x=0 ), po prawej
h śąx źą=1 x-1
bramkarz numer 2 ( x=2 ). Z dołu ogranicza nas funkcja , zaś z góry  funkcja
5
kwadratowa f śą xźą=x2-1 . W związku z tym, obliczając pole O1, zakurwiamy taką całką:
2 2
1
[ f śą xźą-hśą xźą]dx= [ x2-1-śą x-1źą] dx *
+" +"
5
0 0
i ją sobie zostawimy, obliczając póz
niej.
By obliczyć pole O2, musimy wiedzieć, co nam ten obszar ogranicza z lewej strony (tym
razem x=2 , bo cały ten obszar  zaczyna się dopiero tutaj), z prawej ( x=5 ), z dołu (nadal
h śą xźą=1 x-1 g śą xźą=-xƒÄ…5
), a z góry tym razem . Obliczymy to wszystko, obliczając takie
5
zwierzÄ…tko:
5 5
1
[g śą xźą-h śą xźą]dx= [-xƒÄ…5-śą x-1źą] dx **
+" +"
5
2 2
Ostatecznie, korzystając z powyższych zapisów  pole całego obszaru (a, nazwę go O) będzie się
równać:
2 5
1 1
pole obszaru= poleO1ƒÄ… pole O2= [ x2-1-śą x-1źą]dx ƒÄ… [-xƒÄ…5-śą x-1źą]dx
+" +"
5 5
0 2
Najlepiej byłoby dodać te dwie całki i zapisać pod jedną. Problemem są granice całkowania  są
one różne i kompletnie się nie nadają do spółkowania.
Autor: vbx (c) 2010
Analiza matematyczna, całki oznaczone 18/36
Powolutku obliczymy obydwie całki. Najpierw zaczniemy od (*), czyli:
2
1
[ x2-1-śą x-1źą]dx
+"
5
0
zrobimy porzÄ…dek pod nawiasem kwadratowym:
2
1
śąx2- xźą dx
+"
5
0
następnie kulturalnie scałkujemy:
2
1 x3 x2
śą x2- xźą dx=[ - ]2
+"
0
5 3 10
0
i wyliczymy:
x3 x2 23- 22 -śą 0 0 8 4
34
[ - ]2= - źą= - =
0
3 10 3 10 3 10 3 10
15
Nie mam najmniejszego pojęcia, czy taki faktycznie jest wynik, ale jestem takim leniem, że i nawet
tego nie chce mi się dokładnie sprawdzać.
Wez
my się za obliczanie pola O2 (**). Jeżeli ktoś bardzo mądrze zauważy  to O2 jest
trójkątem, którego pole jest dziecinnie proste do obliczenia (jak się wyliczy współrzędne
wierzchołków). Ja jednak jestem ludziem, który, kupując bułki w delikatesach, 50 metrów ode
mnie, używa samochodu, więc całe to pole obliczymy, przyjebując se całkę.
5
1
[-xƒÄ…5-śą x-1źą]dx
+"
5
2
TrochÄ™ posprzÄ…tamy po imprezie:
5
śą-6 xƒÄ…6źą dx
+"
5
2
obliczymy całkę:
5
śą-6 xƒÄ…6źą dx=[-6 x2ƒÄ…6 x]5
+"
2
5 10
2
Zobaczmy, jaka będzie wartość tego zwierzątka w nawiasie, gdy za iksa wstawimy 5:
2
-6"5 ƒÄ…6"5=-15ƒÄ…30=15
10
i dwójeczkę:
2
-6"2 ƒÄ…6"2=-2,4ƒÄ…12=9,6
10
Wiadomo, co od czego odjąć (wartość nawiasa od 5  wartość nawiasa od 2):
Autor: vbx (c) 2010
Analiza matematyczna, całki oznaczone 19/36
6 x2
[- ƒÄ…6 x ]5=15-9,6=5,4
2
10
Dlatego my już możemy wyliczyć pole całego obszaru:
34
pole obszaru= poleO1ƒÄ… pole O2= ƒÄ…5,4
15
Ostatecznie:
34 34 54 68 162 230 23
ƒÄ…5,4= ƒÄ… = ƒÄ… = =
15 15 10 30 30 30 3
I koniec mocowania się z tym przykładem. Obliczyliśmy pole danego obszaru, który był taki trochę
 nieregularny - po prostu dany  bok ograniczały nam dwie różne funkcje.
Przy obliczaniu obszarów stosuje się pewien numer. Załóżmy, że mamy taki obszar:
Pomijając fakt, że to tylko trójkąt, możemy go podzielić na dwa obszary całkowania:
i sobie wyliczyć całkę.
Jest jednak pewien numer, który stosujemy, by w ogóle nie dzielić tego obszaru.
Autor: vbx (c) 2010
Analiza matematyczna, całki oznaczone 20/36
Zamiana zmiennych niezależnych
Jak widać na przykładzie  musimy stosować dwa obszary całkowania, bo  górę
przykrywają nam dwie różne funkcje.
Ale spróbujmy przechylić łeb w prawo:
Jeżeli tak na to spojrzymy, to wywnioskujemy, że
czerwone linie wyznaczają nam lewą i prawą granicę całkowania, zaś z góry i z dołu mamy
jakieś dwie funkcje, które ograniczają nam tą szarą plamę oleju.
Gdybyśmy uznali y za zmienną niezależną (tak to się mądrze pisze), to oszczędzamy sobie
w tej chwili dzielenia na dwa obszary, dodawania itd.
Mówiąc obrazowo  możemy sobie  obrócić obraz o 90 stopni. Może się wtedy okazać, że
tylko jedna  linia ogranicza nas z góry i jedna z dołu.
Problem polega na tym, że to  obrócenie , to nie do końca  obrócenie i że mimo wszystko
 nie warto obracać kartki i rysować wykresu od nowa. Będziemy musieli jakoś matematycznie
Autor: vbx (c) 2010
Analiza matematyczna, całki oznaczone 21/36
 obrócić te linie.
By takie coś zastosować... zastosujemy przykład.
Zadanie (chyba) 2
Obliczyć pole obszaru, ograniczonego prostymi bądz
równaniami:
" y=-1
" x=3
oraz
1
" (zapisałem tak, bo w Pain... Bardzo Drogim Programie do malowania
f śą xźą=x2= x
ćą
wykresów nie da się wstawić symbolu pierwiastka. Wiemy jednak, że
1
coś2= coś
ćą
Ilustracja tego przedsięwzięcia jest przedstawiona powyżej.
Oczywiście, możemy podzielić obszar całkowania na dwa i iść podanym kilka stron
wcześniej tropem. My jednak zmienimy zmienną niezależną. Zauważcie, że gdyby  w myślach
obrócić ten rysunek w lewo:
Autor: vbx (c) 2010
Analiza matematyczna, całki oznaczone 22/36
to wtedy mamy jedną funkcję  ograniczającą nas z góry oraz jedną  z dołu. Jak już jednak
napisałem  będziemy majstrować na oryginalnym rysunku.
Na początku  dotychczas, całkowaliśmy po x. Teraz, nowość, będziemy całkować po y,
więc zaznaczmy to.
Zmieniamy zmienną niezależną  przynajmniej w teorii.
Następnie, spróbujemy znalez
ć linie, które w poziomie ograniczają nasz obszar.
Linie ograniczajÄ…ce obszar w poziomie
1
Myślę, że wiecie, jak doszedłem do tej kreski , a dokładniej  do jej wzorku.
y=32 = 3
ćą
Widzimy, że siedzi tam, gdzie przecinają się x=3 i .
y= x
ćą
W tym momencie... niestety, nie mogę prosić, byście się napili czegoś procentowego, bo
jeszcze przeczytają to nieletni, a ja będę siedzieć. Dlatego, proszę włączyć wyobraz
nie.
Przypomnieć sobie, co wspominałem o liniach czy funkcjach ograniczających obszar do tej pory.
Bo będziemy niejako odwracać nasze myślenie o granicach.
Dobra, teraz musimy znać funkcje, które ograniczają nasz obszar w pionie. I uwaga, muszą
mieć postać x=cośtam ! Jedno znamy: x=3 . Zaś drugą funkcję będziemy musieli poznać.
Autor: vbx (c) 2010
Analiza matematyczna, całki oznaczone 23/36
Na pomarańczowo  funkcje, ograniczające nasz obszar z lewej i prawej.
O ile znajdziemy bez problemu wzorek prawej, pomarańczowej linii  toż to x=3 , to
schody zaczynajÄ… siÄ™ przy fragmencie paraboli (tak siÄ™ mÄ…drze nazywa funkcjÄ™ ). Owszem,
x
ćą
mamy wzorek: f śą xźą= y= x (y jest zmienną zależną, więc można spokojnie i wymiennie
ćą
wypisywać f (x) i y = coś tam... no chyba, że zaczynamy robić cuda, wtedy trzeba uważać). No, ale
właśnie:
y= x
ćą
a my potrzebujemy czegoÅ› postaci:
x=cośtam
a nawet dokładniej to powinien być nawet taki zapis:
g śą xźą=cośtam
gdzie g to jakaś funkcja, zależna od x. Jeszcze prościej  po lewej stronie równania siedzi tylko x.
Zaś po prawej  jakieś równanie z y.
Szukamy wzorku (równania) funkcji odwrotnej funkcji f. Dokładniejsze zabawy, związane z
funkcjami odwrotnymi, robi siÄ™ przy okazji granic i pochodnych.
Jak szukamy równania odwrotnego? Prosto.
Szukamy tego odwrotnego pojebańca z takiego czegoś:
y= x
ćą
Wyznaczamy x, obustronnie podnoszÄ…c do kwadratu:
y2= x
Autor: vbx (c) 2010
Analiza matematyczna, całki oznaczone 24/36
I po robocie. Znamy teraz wzorek tej lewej, pomarańczowej funkcji, z perspektywy y. Podsumujmy:
" na górze i na dole (bądz
z lewej i prawej, patrzÄ…c z perspektywy osi Y) ograniczajÄ…
nas odpowiednio y= 3 oraz y=-1
ćą
Znamy już granice. Wiemy także, że na wszystko patrzymy z perspektywy osi Y i to po niej
będziemy całkować.
3
ćą
śą3- y2źą dy
+"
-1
Znamy również funkcje, rządzące tym obszarem.
" z prawej i lewej (bÄ…dz
z góry i z dołu, patrząc z perspektywy osi Y) ograniczają nas
odpowiednio x=3 i .
x= y2
Skoro mamy całkę  to całkujmy:
3
ćą
y3 ćą3 1źą]=2 3-śą -8 6 3ƒÄ…8
ćą
śą3- y2źą dy=[3 y- ]-1=3 3-ćą ćą
3-[śą-3źą-śą- ćą
źą=2 3ƒÄ…8 =
ćą
+"
3 3 3 3 3
-1
Dla treningu  jak ktoś chce  może sobie bez problemu podzielić obszar całkowania.
Jak zauważyliśmy, zmieniliśmy nieco przykład. Klasycznie, to y zależy od x, to znaczy  w
zależności, jak się zmienia x, zmienia się wartość y. Im więcej węgla i żelaza władujemy w hutę,
tym więcej powstanie stali. Jeżeli nadmuchamy balonik (i pisząc  balonik , mam na myśli gumowy
balonik, nic innego, z czego również dałoby się to zrobić) większa ilością powietrza, to tym
większe ciśnienie jest w środku.
Jednakże, nieco wygodniej jest nieco zamotać. Popatrzeć nie z perspektywy zmian na osi x,
a na osi y. Być może łatwiejsze do analizy jest jednak takie zdanie  im więcej powstanie stali, tym
więcej trzeba było zużyć węgla i żelaza. Im większe ciśnienie jest w baloniku, tym więcej se
podmuchaliśmy (aczkolwiek, nie musi to tylko zależeć od napompowania, jednakże to nie fizyka).
Zamieniliśmy niemalże miejscami x z y, by ułatwić se przykład, wręcz takie zmutowane
całkowanie przed podstawienie. Podstawiliśmy nową funkcję  i wszystko się poprzestawiało. Ten
trik jest często stosowany w dalszych zastosowaniach całek, ale o tym  kiedy indziej. Czas na
garść tylko i wyłącznie przykładów.
Autor: vbx (c) 2010
Analiza matematyczna, całki oznaczone 25/36
Zadania z kolokwiów i egzaminów
Zadania pochodzÄ… ze zbioru  Analiza matematyczna 1  kolokwia i egzaminy
nieocenionego duetu Gewert&Skoczylas. Rozwiązania się pojawią  jak będę potrafił je rozwiązać.
Zadanie (poważne) 1
e
Obliczyć caÅ‚kÄ™ oznaczonÄ… ln śą xƒÄ…1źą dx .
+"
0
Zadanie 2
Obliczyć pole obszaru D ograniczonego krzywą i osią Oy.
xƒÄ… y = y2-2
Zadanie 3
Obliczyć pole obszaru D ograniczonego wykresami funkcji: , .
y= 2-x2 y=x2
ćą
Zadanie 4
Obliczyć pole obszaru D ograniczonego krzywymi: , x=1 y=0 .
,
y=x e- x
No i walczymy:
RozwiÄ…zanie zadania 1
e
ln śą xƒÄ…1źądx
+"
0
Do obliczenia takiej całki nie trzeba będzie (zbyt) wiele kombinować. Jak już pewno
zauważycie, idealnie nadaje się tutaj całkowania przez podstawienie.
W takim razie, podstawienia typu:
xƒÄ…1=t
dx=dt
oraz nowe granice całkowania:
eƒÄ…1=...eƒÄ…1
0ƒÄ…1=1
wrzucamy na pełnej kurwie w przykład:
e eƒÄ…1
ln śą xƒÄ…1źą dx= ln t dt (*)
+" +"
0 1
Liczyliśmy kiedyś całkę nieoznaczoną z logarytmu naturalnego i pozwólcie, że zrobimy to
raz jeszcze, całkując przez części. Potem to, co nam wyjdzie, wykorzystamy przy obliczaniu całki
oznaczonej.
Nic się nie stanie, jeżeli napiszemy taką bzdurę:
+"ln t dt=+"śą ln t"1źą dt
Autor: vbx (c) 2010
Analiza matematyczna, całki oznaczone 26/36
Robimy na szybko coÅ› w stylu tabelki:
f śątźą=ln t g ' śątźą=1
1 g śąt źą=t
f ' śątźą=
t
Mnożymy to, co jest na krzyż (z lewej do prawej):
ln t"t ...
I odejmujemy całkę z pomnożenia dolnego wiersza:
ln t"t-
+"śą 1"t źą dt
t
I to jest całka z logarytmu naturalnego:
+"ln t dt=ln t"t-+"śą 1"tźą dt=ln t"t-+"dt=ln t"t-t=t śąln t-1źą
t
Wracamy se do miejsca oznaczonego (*):
eƒÄ…1
ln t dt=[t śąln t-1źą]eƒÄ…1
+"
1
1
Najpierw obliczymy wartość dla e + 1:
śąeƒÄ…1źą"śąlnśąeƒÄ…1źą-1źą=śąeƒÄ…1źąln śąeƒÄ…1źą-e-1
i nic więcej tutaj nie zakombinujemy, zaś dla jedynki:
1śąln 1-1źą=-1
w zwiÄ…zku z tym zwierzÄ…tko siÄ™ wyliczy takie:
[t śąln t-1źą]eƒÄ…1=śąeƒÄ…1źą lnśąeƒÄ…1źą-e-1ƒÄ…1=śąeƒÄ…1źąln śąeƒÄ…1źą-e
1
Rozpieprzyliśmy ten przykład. A więc odpowiedzią będzie:
e
ln śą xƒÄ…1źą dx=śąeƒÄ…1źąln śąeƒÄ…1źą-e
+"
0
Autor: vbx (c) 2010
Analiza matematyczna, całki oznaczone 27/36
RozwiÄ…zanie zadania 2
Musimy znalez
ć pole obszaru, ograniczonego równaniem i ośką Oy.
xƒÄ… y = y2-2
Wygodnie będzie tutaj operować y jako zmienną niezależną (albo, jak nadal nie wiecie, o co biega 
zamieniamy rolami x i y, nie zaprzątamy sobie głowy innymi pierdołami):
x= y2- y-2
Będzie to parabola w stylu:
Znamy wzór funkcji, która ogranicza nas z góry ( y=0 ), z dołu ( ).
x= y2- y-2
Potrzebujemy bramkarzy z lewej i prawej, ale wystarczy obliczyć miejsca zerowe tej funkcji
kwadratowej. Nic trudnego, poziom na pewno maturalny  wiecie, delta i te sprawy. Ja jednak
pozgaduję, korzystając z twierdzenia o pierwiastkach całkowitych wielomianu (o co biega?
Polecam jakikolwiek podręcznik do matematyki z liceum):
x śą 2źą=4-2-2=0
xśą-1źą=1ƒÄ…1-2=0
No i mamy granice całkowania. Obliczmy taką całkę:
2
[0-śą y2- y-2źą]dy=
+"
-1
Wyrzućmy minus przed całkę:
2
=- śą y2- y-2źą dy=
+"
-1
Scałkowanie tego nie jest specjalnie trudne:
y3 y2 2
=-[ - -2 y]-1
3 2
Proponuję tym minusem zająć się na samym końcu (po prostu dołożymy go przed rozwiązanie).
Obliczmy wartość tego zawodnika dla y = 2:
Autor: vbx (c) 2010
Analiza matematyczna, całki oznaczone 28/36
8 4 16 24
- -4= -12 - =-20
3 2 6 6 6 6
A teraz dla y = - 1:
-1- 1 3 7
ƒÄ…2=-2 - ƒÄ…12 =
3 2 6 6 6 6
Pierwsze minus drugie:
-20 7
- =-27 =-9
6 6 6 2
A ponieważ mieliśmy tam jeszcze minusa przed całką, to:
2
-9źą= 9
[0-śą y2- y-2źą]dy=-śą
+"
2 2
-1
Znów rozwaliliśmy kolejnego Pudziana.
Następny przykład tak naprawdę powinien się pojawić w pomocy o całkach
nieoznaczonych. A to dlatego, że do obliczenia zwierzątka, które się tam pojawi, potrzeba odprawić
szamańskie rytuały. Ale i z tym sobie poradzimy... chyba.
Autor: vbx (c) 2010
Analiza matematyczna, całki oznaczone 29/36
RozwiÄ…zanie zadania 3
Obliczyć pole obszaru D ograniczonego wykresami funkcji: , .
y= 2-x2 y=x2
ćą
Póki co  wygląda niewinnie... Błąd, kurwa  wygląda na taki przykład, któremu
spuściłbym wpierdol, gdybym tylko miał jakąś siłę czy doświadczenie na siłowni (dres już mam).
Problem zaczyna się z narysowaniem tego na wykresie. Jeżeli pojawi się tu jakiś obszar, to
na pewno jakby  zamknięty z czterech stron  ja się pytam  Gdzie jest obszar ?
Okej, narysujemy najpierw wykres funkcji (jak ktoś uważał w liceum czy
y= 2-x2
ćą
technikum, to wie od razu, co namalujÄ™):
jest to pół jebanego kółka. A parabolę już łatwo namalujemy:
Możemy zauważyć, że  ponieważ obydwie funkcje są symetryczne  to dzielą się na dwie
równe połówki. W związku z tym  wystarczy, że obliczymy pole tego zaznaczonego na szaro:
pomnożymy razy 2  i po robocie, przykład rozwalony.
Autor: vbx (c) 2010
Analiza matematyczna, całki oznaczone 30/36
Poszukajmy równań, które ograniczają nam ten obszar. Z góry niewątpliwie będzie to
, z dołu . Z lewej ogranicza nas, co widać, x=0 . Prawą stronę musimy se
y= 2-x2 y=x2
ćą
wyliczyć, albo zgadnąć.
Wiemy, że przecinają się tam te dwa gópie równania, w związku z tym:
2-x2= x2
ćą
Ponieważ bawimy się w tej części układu współrzędnych, gdzie wartości funkcji są dodatnie, a
słońce nigdy nie zachodzi, to bez problemu podniesiemy to wszystko do kwadratu:
2-x2= x4
A wszystko  na lewÄ… stronÄ™:
-x4- x2ƒÄ…2=0
Trzeba obliczyć iksa  takie coś robi się na pewno w zakresie rozszerzonym w liceum. Przypomnę:
za iksa do kwadratu coÅ› podstawiamy:
(*)
x2=t
Wracamy do równania:
-t2-tƒÄ…2=0
Wyliczmy deltÄ™:
"=1ƒÄ…8=9
Oraz możliwe wartości t:
t1=1-3 =1
-2
1ƒÄ…3
t2= =-2
-2
t2
Od razu odrzucamy , bo zapis
x2=-2
wygląda bezsensownie, a wierzcie mi  nie ma najmniejszej potrzeby mieszać w to liczb urojonych.
W związku z tym, wróćmy do (*) i zobaczmy, czego się dowiedzieliśmy:
x2=1
No więc, tak zacznę zdanie,
x=1 Å x=-1
Wiemy, że poruszamy się w obszarze, gdzie wszystko jest na plusie, więc granica całkowania z
prawej strony będzie równa x=1 , co można było o wiele szybciej zgadnąć albo odczytać z
rysunku.
Całka do wyliczenia będzie miała w takim razie postać:
1
2 śą 2- x2-x2źą dx
ćą
+"
0
(razy dwa, ponieważ tak naprawdę policzymy połówkę obszaru, mnożąc przez 2  cały obszar)
Autor: vbx (c) 2010
Analiza matematyczna, całki oznaczone 31/36
Pomińmy, póki co, tą dwójkę stojącą z przodu i rozpieprzmy całkę na dwie:
1 1 1
śą 2- x2-x2źą dx= 2-x2 dx- x2 dx (*)
ćą ćą
+" +" +"
0 0 0
Wyliczymy wszystko z tej drugiej, bo jest trochÄ™ Å‚atwiejsza:
1
x3
x2 dx=[ ]1=1
+"
0
3
3
0
By obliczyć tą:
1
2-x2 dx
ćą
+"
0
obliczymy se najpierw całkę nieoznaczoną:
2-x2 dx
ćą
+"
i tutaj, proszę Państwa, zaczniemy najbardziej powalony przykład z tej pomocy.
Ni chuja tego nie ruszymy przez podstawienie (gdzieś się będzie pałętać niezamienione x, albo
sobie skomplikujemy przykład), a przez części  zapewne będziemy liczyć pochodną z tego
pierwiastka i cały przykład pójdzie w pizdu. Dlatego  dziękując Panu Włodarskiemu i
Krysickiemu za napisanie  Analizy matematycznej w zadaniach - zaczniemy powoli. RadzÄ™
bardzo powoli, notując sobie niektóre rzeczy na kartce, przejrzeć ten przykład bez pośpiechu.
Ostatnią deską ratunku będzie zadziałanie z tym pierwiastkiem. Otóż, zróbmy takiego myka:
2-x2" 2-x2 = 2- x2
ćą ćą
2-x2=
ćą
2- x2 2- x2
ćą ćą
Wrzućmy to do całki  i od razu rozjebmy na dwie
2-x2 dx=
2-x2 dx=
ćą
+" +"
2-x2
ćą
2 x2 dx
= dx-
+" +"
2- x2 2-x2
ćą ćą
x2
I1 dx= I2
Jeżeli oznaczymy sobie całkę 2-x2 dx jako , zaś całkę +" , otrzymamy
ćą
+"
2- x2
ćą
dosyć osobliwe równanie:
2
I1= dx-I
+"
2 (**)
2-x2
ćą
Została nam tutaj jedna całka, którą wyliczymy. Kiedyś liczyliśmy coś podobnego, a byłoby fajnie,
gdyby trafić na wzorek:
1
dx=arcsin x
+"
1-x2
ćą
W zwiÄ…zku z tym, zrobimy kolejnego myka:
Autor: vbx (c) 2010
Analiza matematyczna, całki oznaczone 32/36
2 dx 2 dx
dx=2 =
+" +" +"
2 2
2
ćą
2-x2
ćą
x x
2[1-śą źą ] 1-śą źą
2 2
ćą ćą ćą ćą
Dwójka poszła przed całkę, zaś w pierwiastku wyłączyliśmy 2 przed nawias. Potem, wiedząc, co w
pierwiastku wolno, pierwiastek z dwóch również wyrzuciliśmy przed całkę.
Zrobimy se podstawienie:
x
=t
2
ćą
dx= 2"dt
ćą
Wrzucając to w całkę:
2 dx dt
=2 =
+" +"
2
2
ćą
1-t2
ćą
x
1-śą źą
2
ćą ćą
otrzymamy:
x
=2 arcsin t=2 arcsin śą źą
2
ćą
Pokręćmy trochę rolką w górę, do tego miejsca (**):
2
I1= dx-I
+"
2
2-x2
ćą
i wrzućmy to w koszta:
x
I1=2 arcsinśą źą-I2 (***)
2
ćą
Pisałem coś o obliczaniu całki przez części  my jednak zaryzykujemy i przekornie, wbrew temu,
I1
co napisałem, obliczymy całkę (przypomnę: I1= 2- x2 dx ) przez części.
ćą
+"
Znów  prowizoryczna tabelka:
g ' śą xźą=1
f śąxźą= 2-x2
ćą
-x g śą xźą= x
f ' śąxźą=
2-x2
ćą
Skąd sobie wypiszemy, że:
x
2-x2 dx= x" 2-x2ƒÄ… dx
ćą ćą
+" +"
2- x2
ćą
x2 dx
I =
Wróćmy do (**). Ponieważ +" , zaś I1= 2- x2 dx , to powyższe równanie
2 ćą
+"
2- x2
ćą
mogę zapisać w postaci:
I1=x" 2- x2ƒÄ…I (iv)
ćą
2
Autor: vbx (c) 2010
Analiza matematyczna, całki oznaczone 33/36
Przepiszmy równania (***) i (iv):
x
I1=2 arcsinśą źą-I2
2
ćą
I1=x" 2- x2ƒÄ…I ,
ćą
2
z czego I1= 2- x2 dx (przypomnę  to nasza szukana całka!)
ćą
+"
I
Gdy powyższe dwa równania dodamy stronami, wyjdzie nam ( się zredukuje):
2
x
2 I =2 arcsinśą źąƒÄ…x" 2- x2
ćą
1
2
ćą
I1
Dzieląc przez dwa, wyliczamy , czyli szukaną całkę... Uff!
x x" 2- x2
ćą
I1=arcsinśą źąƒÄ…
2
ćą2
x x" 2- x2
ćą
2-x2 dx=arcsinśą źąƒÄ…
ćą
+"
2
ćą2
A
o Jezu, ile mordęgi! Na szczęście, jesteśmy blisko wyliczenia wszystkiego. Otóż, wróćmy aż do
(*):
1 1 1
2
śą 2- x2-x źą dx= 2-x2 dx- x2 dx
ćą ćą
+" +" +"
0 0 0
Tą drugą całkę po prawej stronie wyliczyliśmy, wyliczmy pierwszą:
1
x x" 2-x2 ]1
ćą
2-x2 dx=[arcsinśą źąƒÄ…
ćą
+"
0
2
2
ćą
0
Wyliczmy wartość tego, co w nawiasie kwadratowym, dla jedynki:
1 2 1
ćą ćą
arcsinśą źąƒÄ…1" 2-12 =arcsin śą źąƒÄ…
2 2 2
ćą2
Trochę problemów może być z arcus sinusem. Korzystając z tabelki z wartościami funkcji
2
ćą
trygonometrycznych, zapytajmy się:  Dla jakiego kąta sinus ma wartość  ? Szybko
2
odpowiemy sobie  dla 45 stopni, co w radianach (w takiej jednostce wyrażamy zwykle kąty w
Ä„
matematyce) daje jakieÅ› . W zwiÄ…zku z tym,
4
2 1= Ä„ 1
ćą
arcsinśą źąƒÄ… ƒÄ…
2 2 4 2
Okej, obliczyliśmy wartość dla 1. Dla 0 nie warto marnować papieru  arcus sinus da równe 0, zaś
odejmiemy też zero. W związku z tym,
1
x x" 2-x2 ]1= Ä„ 1
ćą
2-x2 dx=[arcsinśą źąƒÄ… ƒÄ…
ćą
+"
0
2 4 2
2
ćą
0
co za tym idzie:
1 1 1
Ä„ 1 1
2
śą 2- x2-x źą dx= 2-x2 dx- x2 dx= ƒÄ… -
ćą ćą
+" +" +"
4 2 3
0 0 0
Autor: vbx (c) 2010
Analiza matematyczna, całki oznaczone 34/36
Może już zapomnieliście, a może i nie  jest to pole tego obszaru:
A że cały obszar, o którym wspomina zadanie, to też jego identyczna (pod względem
powierzchni) lewa połówka, więc cały wynik pomnożymy razy dwa (wspomniałem o tym na
poczÄ…tku zabawy):
1 1 Ä„ 1
2"śąĄ ƒÄ… - źą= -
4 2 3 2 3
O kurwa, to koniec!
1
Ä„ 1
2 śą 2- x2-x2źądx= -
ćą
+"
2 3
0
Miejmy nadzieję, że następny przykład będzie mniej zacięty w walce...
Autor: vbx (c) 2010
Analiza matematyczna, całki oznaczone 35/36
RozwiÄ…zanie zadania 4
Ten jeden, jedyny raz posłużymy się prawie gotowym wykresem:
Ta cieńsza czerwona linia  to wykres , zaś czerwonymi oznaczyłem x=1 oraz
y=x e- x
y=0 .
Na koniec  raczej prosta całka do obliczenia, proponuję, byście wy najpierw ją obliczyli, a
potem bluzgali mnie za moje błędy w rozwiązaniu.
Granice znamy  z góry , z dołu y=0 , z lewej x=0 (to odczytujemy z
y=x e- x
wykresu) oraz z prawej x=1 . Obliczymy takiego zwierzaczka
1
x e- xdx
+"
0
ja tam najpierw obliczę całkę nieoznaczoną (by potem ją wykorzystać).
Aby obliczyć to:
x
+"x e- dx
trochę pocałkujemy przez części:
f śą x źą=x
g ' śą xźą=e- x
f ' śą xźą=1
(*)
g śą xźą=-e- x
(*) - obliczenie tego to tylko scałkowanie tej górnej funkcji, przez banalne podstawienie 
pozwolicie, że pominę tą część.
I uzyskamy:
x x -x
+"x e- dx=-x"e- ƒÄ…+"e dx
Drugą całkę przed chwilą zgadywaliśmy, tak więc:
x x
+"x e- dx=-x"e- -e-x=e-xśą-x-1źą
Autor: vbx (c) 2010
Analiza matematyczna, całki oznaczone 36/36
Nie będzie problemem wstawienie tego do całki oznaczonej:
1
x e- xdx=[e-xśą-x-1źą]1
+"
0
0
Wartość dla jedynki będzie równa:
e-1śą-1-1źą=-2
e
ZaÅ› dla 0:
e-0śą0-1źą=1"śą-1źą=-1
Kończąc ten przykład i tego bryka:
1
2
x e- xdx=[e-xśą-x-1źą]1=-2 -śą-1źą=1-
+"
0
e e
0
No, to by było na tyle. Jeżeli chodzi o całki oznaczone, to mają zastosowania typu
 Wyliczyć długość łuku albo  objętość walca, powstałego przez obrót wokół osi OY . Jednak i
one sprowadzają się do całek oznaczonych, bo są na to gotowe wzory.
Moim celem było pokazanie, jak walczyć z całkami oznaczonymi, a przy okazji  trochę
jeszcze poćwiczyliśmy z nieoznaczonych. Bo sami chyba przyznacie, że jak umiecie liczyć  te
spierdolone całki , to wszystko umiecie.
A jak nie udało mi się wszystkiego wyjaśnić, to trudno. Co napisałem, co zjadłem i co
wypiłem (za Wasze powodzenie, oczywiście) podczas pisania tej pomocy, to moje.
pj
poap[at]interia.pl
Bryki, do których się tutaj często odnoszę, są dostępne na stronie:
http://www.poap.yoyo.pl/matd/
Autor: vbx (c) 2010


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
oznaczenia lamp
Klasyfikacja i oznaczenie niebezpiecznych substancji chemicznych
Oznaczenie przewodów Rav4 1996 2004
Wzor 28 Przyklady oznaczen podm[1] SP i JST 4s
Oznaczanie składu granulometrycznego analiza sitowa
Calki oznaczone i niewlasciwe grupa 3
0 Spis oznaczen
12) Oznaczanie aktywności aminotransferazy asparaginianowej i alaninowej
Oznaczenie ogolnej zasadowosci nawozow
3) Fotometryczne oznaczanie zawartości białka
Oznaczanie zawartości tłuszczu

więcej podobnych podstron