5. Modele matematyczne charakterystyk przepływowych oporów
pneumatycznych
Jak wiadomo, w zależności od warunków, przepływ płynu w przewodzie może mieć
charakter laminarny (uwarstwiony) lub turbulentny (burzliwy).
W przypadku przepływu laminarnego zależność strumienia objętości od parametrów
przepływu określa wzór Hagena Poiseuille a (dla kapilary o przekroju kołowym)
p Dp
4
Q = d
128 m l
gdzie: l długość kapilary, d średnica kapilary, m - lepkość dynamiczna płynącego
czynnika, Dp różnica ciśnień wywołująca przepływ.
kg
(Dla powietrza pod ciśnieniem atmosferycznym i temperaturze pokojowej m 19 10-6 ,
m s
kg
dla cieczy układów hydraulicznych m 24 10-3 )
m s
Znane są wzory dla oporów o innych przekrojach.
W przypadku przepływu laminarnego strumienia objętości powietrza przepływającego przez
opór jest wprost proporcjonalny do różnicy ciśnień wywołującej przepływ. W urządzeniach
pneumatycznych warunki przepływy laminarne mogą wystąpić przy bardzo małych spadkach
ciśnienia rzędu 0,01 bar.
W pneumatyce wysokociśnieniowej praktycznie występują tylko przepływy turbulentne.
W zależności od wartości stosunku ciśnień e
p2
e = ,
p1
gdzie: p2 - ciśnienie absolutne za oporem, p1 - ciśnienie absolutne przed oporem (stosunek
ciśnień e definiuje się dla założonego kierunku przepływu, a więc dla p1 ł p2 ),
rozróżnia się:
- przepływy dokrytyczne, jeżeli ekryt < e <1 (ruch odbywa się z prędkością mniejszą
od lokalnej prędkości dzwięku),
- przepływy krytyczne, jeżeli 0 Ł e Ł ekryt (ruch odbywa się z lokalną prędkością
dzwięku),
- przepływy nadkrytyczne, jeżeli 0 Ł e Ł ekryt (ruch odbywa się z prędkością większą
od lokalnej prędkości dzwięku); przepływ nadkrytyczny może wystąpić tylko w
przypadku odpowiednio ukształtowanej dyszy wylotowej w postaci tzw. dyszy
Lavala.
1
G
P =const.
1
P =const.
1
P =const.
1
e
e
0
kryt. 1
Rys. 0. Charakterystyki przepływowe oporu pneumatycznego: G strumień masy powietrza
p2
płynącego przez opór pneumatyczny, e = , p2 - ciśnienie absolutne za oporem,
p1
p1 - ciśnienie absolutne przed oporem ( p1 ł p2 )
Znajomość charakterystyk przepływowych oporów, a właściwie modeli matematycznych tych
charakterystyk, jest podstawą obliczeń związanych z analizą lub projektowaniem układów
pneumatycznych.
Charakterystyką przepływową oporu pneumatycznego nazywa się zależność natężenia
przepływu powietrza płynącego przez opór od czynników wywołujących ten przepływ. W
przypadku oporów pneumatycznych liczba czynników, które mają zauważalny wpływ na
natężenie przepływu jest znaczna (ciśnienia, temperatury czynnika przed i za oporem,
wymiary geometryczne oporu, jego kształt, przebieg procesów cieplnych i inne). Przy tym
wpływ tych czynników na natężenie przepływu może się zmieniać w zależności od charakteru
zjawiska przepływu (przepływ laminarny, turbulentny, dokrytyczny, krytyczny, nadkry-
tyczny). Złożoność zjawisk związanych z przepływami w oporach pneumatycznych powoduje
trudności w sformułowaniu modelu matematycznego dogodnego do praktycznych zastosowań
i jednocześnie wystarczająco dokładnie wyrażającego rzeczywiste właściwości danego oporu.
Poniżej przedstawiono najczęściej wykorzystywane w obliczeniach inżynierskich modele
charakterystyk przepływowych oporów, w których występuje przepływ turbulentny i
uwidoczniono zachodzące pomiędzy nimi relacje. Ograniczono się do modeli, w których
zakłada się stałość parametrów reprezentujących właściwości przepływowe zaworu.
Większość wykorzystywanych do obliczeniach inżynierskich matematycznych modeli
charakterystyk przepływowych oporów pneumatycznych to wzory półempiryczne
wyprowadzone z równania ruchu płynu nielepkiego (Eulera). Całkowanie tego równania przy
założeniu nieściśliwości płynu prowadzi do uzyskania równania Bernoulliego, z którego
wyprowadza się wzór, zwany także wzorem Bernoulliego
G = f 2 r ( p1 - p2) , (1)
wyrażający zależność strumienia masy G płynu przepływającego przez opór od warunków
przepływu: ciśnienia przed oporem p1 , ciśnienia za oporem p2 (w dalszym ciągu przyjęto, że
oznaczenia p1 i p2 reprezentują ciśnienia absolutne statyczne), gęstości płynu r oraz od
2
parametru reprezentującego właściwości przepływowe oporu - jego powierzchni przepły-
wowej f .
Założenie braku lepkości powoduje zbyt dużą niezgodność modelu i przepływu rzeczywi-
stego, wobec czego wprowadza się dodatkowy parametr korygujący tę niezgodność - współ-
czynnik a, wyznaczany doświadczalnie. Iloczyn a f , zwany także efektywną powierzchnią
przepływową oporu, można traktować jako jeden parametr określający właściwości
przepływowe oporu. Zakłada się także, że temperatura gazu przy przepływie nie zmienia się i
jest równa temperaturze gazu przed oporem T1, a gęstość gazu odpowiada warunkom za
p2
oporem, czyli że r = r2 = .
R T1
Zatem praktyczną postacią wzoru Bernoulliego [2] jest
G = a f 2 r2 ( p1 - p2) (2)
lub
ć
2 2 p2 p2
G = a f p2 ( p1 - p2) = a f p1 1- (2 )
R T1 R T1 p1 Ł p1
ł
p2
W celu analizy właściwości tego modelu wprowadzmy do modelu (2 ) zmienną e = .
p1
Wzór (2 ) można więc zapisać w postaci
2
G = a f p1 e (1- e) , (2 )
R T1
gdzie funkcja e (1- e) = f(e) nazywana jest funkcją przepływu. Należy zauważyć, że we
wzorach (1) i (2) p1 oznacza ciśnienie wyższe (przed oporem) niż p2 (za oporem). Zatem
zmienna e może przyjmować wartości tylko od 0 do 1. Aatwo zauważyć, że f(0) = f(1) = 0
oraz, że funkcja f(e) ma maksimum dla e = ek = 0,5 (ek nazywane jest krytycznym
stosunkiem ciśnień); f(ek ) = 0,5 .
Zmniejszanie wartość ciśnienia p2 przy stałej wartości ciśnienia p1 (zwiększanie spadku
ciśnienia na oporze) winno być związane ze wzrostem wartości strumienia masy. W
przypadku wzorów (2), (2 ) i (2 ) zmniejszanie wartości ciśnienia p2 powoduje wzrost
wartości G tylko w zakresie zmian zmiennej e od wartości 1 do ek . Dalsze zmniejszanie
p2 , co prowadziłoby do zmniejszenia wartości zmiennej e poniżej wartości ek , powoduje
malenie wartości G , co jest niezgodne z rzeczywistością.
Mówi się, że przepływy odpowiadające zakresowi ek < e <1 to przepływy dokrytyczne; w
zakresie tym natężenie przepływu zależy zarówno od różnicy ciśnień przed i za oporem. W
zakresie 0 < e Ł ek przepływ jest krytyczny, niezależny od ciśnienia p2 . W tym zakresie dla
p1 = const., przy zmniejszaniu ciśnienia p2 wartość G pozostaje taka jak dla p2 = 0,5 p1 .
Zatem wzory (2), (2 ) i (2 ) stosuje się tylko w przypadku kiedy ek < e <1 (przepływy
dokrytyczne), natomiast dla 0 < e Ł ek (przepływy krytyczne) należy wykorzystywać wzór
2 2
G = a f p1 f(ek ) = a f p1 0,5 (2 )
R T1 R T1
Modyfikacją modelu (2) jest tzw. uśredniony wzór Bernoulliego [2]
3
1
2 2
G = a f (p1 - p2), (3)
R T1
uzyskany z równania (1) przy założeniu, że gęstość r jest wartością średnią gęstości przed
oporem r1 i za oporem r2 (i przy utrzymaniu założenia, że T2 = T1 )
ć
1 1 p1 p2 1
r = (r1 + r2)= + = (p1 + p2)
2 2 R T1 R T2 2 R T1
Ł ł
Przekształcając wzór (3), otrzymuje się:
2
ć
2 p2 2
2
G = a f p1 1- = a f p1 1- e
R T1 p1 R T1
Ł ł
2
W tym przypadku funkcja przepływu c(e) = 1- e monotonicznie rośnie od wartości
c(1) = 0 do wartości c(0) =1; można więc przyjąć, że ek = 0 . Wzór (3) można więc
stosować w całym zakresie zmienności stosunku e .
Całkowanie równania Eulera z uwzględnieniem ściśliwości płynu wg przemiany izotermi-
cznej prowadzi do modelu przepływu
2
ć ć
p2 p1
G = a f 2 r1 p1 ln (4)
p1 p2
Ł ł Ł ł
lub w innej postaci
2
G = a f p1 j(e )
R T1
p2
2 -1
gdzie: e = , j(e) = e lne .
p1
Funkcja j(e) ma maksimum dla e = ek @ 0,60653, przy czym j(ek ) @ 0,4289 .
Dla ek < e <1 (przepływ dokrytyczny) wykorzystuje się model (4), a dla 0 < e Ł ek
(przepływ krytyczny) model
2 2
G = a f p1 j(ek ) = a f p1 0,4289 (4 )
R T1 R T1
Całkowanie równania Eulera z uwzględnieniem ściśliwości płynu wg przemiany politro-
powej prowadzi do modelu przepływu zwanego, w przypadku gdy n =1,4 (przemiana
adiabatyczna) wzorem de Saint-Venanta-Wentzela
2 1+n
ć n ć
n p2 p2 n
G = a f 2 r1 p1 (5)
-
n -1 p1 p1
Ł ł Ł ł
lub w innej postaci
2
G = a f p1 y (e )
R T1
2 1+n
p2 n
n n
gdzie: n - wykładnik przemiany politropowej, e = , y(e)= e - e .
p1 n -1
4
n
2
ć n-1 .
Funkcja y(e) ma maksimum dla e = ek =
Ł1+ n ł
Dla: - n =1,4 ek @ 0,528 y(ek )@ 0,484
- n =1,3 ek @ 0,546 y(ek )@ 0,472
- n =1,2 ek @ 0,565 y(ek )@ 0,459
- n =1,1 ek @ 0,585 y(ek )@ 0,444
Dla ek < e <1 (przepływ dokrytyczny) wykorzystuje się model (5), a dla 0 < e Ł ek
(przepływ krytyczny) model
2
G = a f p1 y (ek ) (5 )
R T1
Ze względu na złożoną postać funkcji y(e), dla n =1,4 (przemiana adiabatyczna)
wykorzystuje się też jej aproksymację zaproponowaną przez Prandtla
2 1+n
n
n n
e - e e (1- e) , łącznie z założeniem, że ek = 0,5 .
n -1
Założenia te prowadzą do tzw. uproszczonego wzoru de Saint-Venanta-Wentzela:
2
- dla ek < e <1 G = a f p1 e (1- e) (6)
R T1
2
- dla 0 < e Ł ek G = a f p1 0,5 (6 )
R T1
W modelach przepływów (2) (6) jedynym parametrem charakteryzującym zdolności
przepływowe oporu jest jego efektywna powierzchnia przepływowa a f .
Wykorzystując wzór Bernoulliego (2) wprowadzono inny parametr charakteryzujący
zdolności przepływowe oporu tzw. współczynnik przepływu k [m3 / h] [3,7]. Wartość
strumienia masy określa się ze wzoru
k [m3 / h] rN[kg/ m3]
G[kg / h] = p2[Pa](p1 - p2)[Pa] (7)
184,7 T1[K]
gdzie: rN - gęstość gazu w warunkach znormalizowanej atmosfery odniesienia
(TN = 293,15K , pN =100kPa) .
Współczynnik k jest to wyrażona w m3/h wartość strumienia objętości wody o temperaturze
od 50C do 300C, która przepływa przez dany opór (zawór) pod wpływem różnicy ciśnień
100000 Pa. Należy zwrócić uwagę, że wzór (7) jest wzorem liczbowym, tzn. że wartość
współczynnika liczbowego jest dostosowana do jednostek występujących we wzorze wielkości.
Współczynnik k może być podawany w innych jednostkach strumienia objętości, np. w
dm3/min; wymaga to zmiany wartości współczynnika we wzorze (7).
Nie wnikając w interpretację fizyczną współczynnika k , na podstawie porównania wzorów
(7) i (2) można stwierdzić że wartość k jest proporcjonalna do a f , a modele (7) i (2) są
równoważne. Mając na uwadze wystąpienie w odniesieniu do wzoru (2) krytycznego
5
stosunku ciśnień ek = 0,5 , model (7) wykorzystuje się tylko dla 0,5 < e <1, natomiast dla
0 < e Ł 0,5 obowiązuje zależność
k [m3 / h] rN[kg / m3]
G[kg / h] = p1[Pa] (7 )
369,4 T1[K]
Inny model przepływu proponuje norma PN-92/M-73763 [5] (odpowiednik normy ISO 6358).
Wg PN-92/M-73763 strumień masy dla przepływów dokrytycznych oblicza się ze wzoru
2
TN e - b
ć
G = C rN p1 1- (8)
T1 1- b
Ł ł
gdzie: - temperatura znormalizowanej atmosfery odniesienia ( ), rN
TN TN = 293,15K - gęstość
p2
gazu w warunkach znormalizowanej atmosfery odniesienia, e = , b - rzeczywisty
p1
krytyczny stosunek ciśnień (największa wartość stosunku e , przy której w danym oporze
występuje jeszcze przepływ krytyczny). Wzór (8) należy stosować dla b < e <1.
Dla 0 < e Ł b (przepływ krytyczny) należy stosować wzór:
TN
G = C rN p1 (8 )
T1
Parametrami określającymi zdolności przepływowe oporu są w tym przypadku tzw.
przewodność dzwiękowa C oraz rzeczywisty krytyczny stosunek ciśnień b .
Aatwo zauważyć, że dla b = 0,5 model ten jest równoważny modelowi (6), ponieważ wtedy
2
2
e - b ć e - 0,5
ć
1- = 1- = 2 e (1- e)
1- b 0,5
Ł ł
Ł ł
Natomiast dla b = 0 model (8) jest równoważny modelowi (3), ponieważ wtedy
2
2
ć
e - b p2
ć
2
1- = 1- = 1- e .
1- b p1
Ł ł
Ł ł
Aatwo zauważyć, że wszystkie wymienione modele można sprowadzić do jednej struktury
p1
G = A B(e)
T1
gdzie współczynnik A reprezentuje parametr oporu wyrażający jego właściwości przepły-
p2
wowe, B(e) - funkcja stosunku ciśnień e = .
p1
Aby można było porównać właściwości przytoczonych modeli zapisano je w postaci, w której
maksymalna wartość funkcji B(e)=1.
2 p1
(2) G = 0,5a f 2 e ( e)
4 44
R
T1 1421-3
14 244
4 3
B2
A2
2 p1
2
(3) G = a f 1- ek = 0
3
R
T1 12e
1 3 B3
424
A3
6
2 -1
2 p1 e lne
2 -1
(4) G = a f ek lnek ek = 0,60653
2 -1
R
T1 ek lnek
144424443
4 4
14
243
A4
B4
2 1+n
n
2 1+n
n n
2 n p1 e - e 2
ć n-1
(5) G = e f ekn - ek n ek =
R n -1
T1 2 1+n
Ł1+ n ł
144444244444
3
ekn - ek n
A5
14243
B5
2 p1
(6) G = 0,5a f 2 e ( e) ek = 0,5
4 44
R
T1 1421-3
14 244
4 3
B6 =B2
A6
k [m3 / h] p1[MPa]
(7) G[kg/ h] = 0,5 rN[kg / m3] 2 e (1- e) ek = 0,5
14243
184,7
T1[K]
14444 244444
4 3
B7 =B2
A7
2
p1 e - b
ć
(8) G = C TN rN 1- ek = b
14243
b3
T1 14Ł2-
ł
A8 41 44
B8
p1
(8) G = C TN rN e (1- e) dla b = 0,5
24
14243
T1 14 3
B8 =B2
A8
p1
2
(8) G = C TN rN 1- dla b = 0
3
14243
T1 12e
B8 =B3
A8
1
0.9
0.8
0.7
0.6
B2
0.5
B3
0.4
B4
0.3
B 5 dla n = 1,4
0.2
0.1
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Stosunek ciśnień [p2/p1]
Rys.1. Porównanie różnych funkcji B(e)
7
1
0.9
0.8
0.7
n = 1,4
0.6
n = 1,3
0.5
0.4
n = 1,2
0.3
0.2
n = 1,1
0.1
0
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Stosunek ciśnień [p2/p1]
Rys.2. Porównanie przebiegów funkcji B5(e) dla różnych wartości wykładnika politropy
Porównanie różnych funkcji B(e) pokazano na rys.1. Na rys. 2 pokazano przebiegi funkcji
B5(e) dla różnych wartości wykładnika politropy, na rys. 3 - przebiegi funkcji B8(e)dla
różnych wartości współczynnika b .
1
0.8
b = 0,3
0.6
b = 0,5
0.4
b = 0,7
0.2
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Stosunek ciśnień [p2/p1]
Rys.3. Porównanie przebiegów funkcji B8(e) dla różnych wartości współczynnika b
Wartości współczynnika A dla wybranego modelu wyznacza się na podstawie zmierzonej
wartości strumienia masy G i warunków przepływu p1 , T1 i e .
Porównując wzory o ujednoliconej strukturze można poczynić szereg spostrzeżeń.
1. Modele (4)(8) zakładają istnienie przepływów krytycznych - niezależnych od wartości
ciśnienia za oporem w określonych zakresach wartości stosunku ciśnień e .
Jeżeli współczynniki A tych modeli będą wyznaczone na podstawie pomiaru wartości
strumienia masy dla e , przy którym B4 = B5 = B6 = B7 = B8 =1, (przepływ krytyczny),
to wartości współczynników A4 , A5 , A6 , A7 i A8 będą jednakowe. Wtedy modele (4)
(8) w zakresie przepływów krytycznych będą identyczne (w tym zakresie wartości
stosunku e , w którym B4 = B5 = B6 = B7 = B8 =1).
Jeżeli natomiast strumień masy G zostanie zmierzony w warunkach przepływu dokry-
tycznego, to wyznaczone na tej podstawie wartości współczynników A będą różne,
zależne od rodzaju funkcji B(e) występującej w danym modelu.
8
Zatem, aby współczynnik A charakteryzował opór niezależnie od przyjętego modelu
przepływu, należy go wyznaczać na podstawie wartości strumienia masy zmierzonej
w warunkach przepływu krytycznego (gdy B(e) =1).
2. Modele (6), (7) oraz model (8) dla b = 0,5 są identyczne, pomimo że właściwości
przepływowe oporu reprezentowane są przez różne parametry: a f , k , C .
3. Wartości efektywnej powierzchni przepływowej a f wyznaczane na podstawie róż-
nych modeli są różne. Zatem współczynnik a f nie jest współczynnikiem jedno-
znacznie charakteryzującym właściwości przepływowe oporu; należy go stosować tylko
dla modelu, na podstawie którego został wyznaczony.
4. Wzór Bernoulliego - model (2) i uproszczony wzór de Saint-Venanta-Wentzela - model
(6) są modelami identycznymi.
5. Model (3) i model (8) dla b = 0 są identyczne.
6. W modelach (2), (3), (4), (6), (7) właściwości przepływowe oporu reprezentowane są
przez jeden tylko parametr: a f albo k ; w modelach (5) i (8) przez dwa parametry,
odpowiednio a f i n oraz C i b .
W przypadku modelu (5) zmiany parametru n (od 1 do 1,4 - wykładnik politropy)
w niewielkim stopniu wpływają na wartości natężenia przepływu - w granicach 10 %
wartości tego natężenia (rys.2).
Większe zmiany parametru n nie mają fizycznego sensu, aczkolwiek rzeczywiste
zależności wartości przepływu od e często odpowiadają przebiegom funkcji B5(e) dla
wartości parametr n nie mających interpretacji fizycznej.
W przypadku modelu (8) funkcja B8(e) nie ma interpretacji fizycznej (tylko
geometryczną - ćwiartka elipsy), a parametr b oznacza doświadczalnie określoną
wartość ek .
Można by, analogicznie jak w przypadku funkcji B8(e), odstąpić od fizycznej interpre-
tacji funkcji B5(e) i wykorzystywać w szerszym niż dotychczas zakresie zmian
parametru n , co umożliwiłoby lepsze dostosowanie modelu (5) do rzeczywistych
właściwości oporu. Przykładowo na rys. 4 pokazano przebiegi funkcji B5(e) dla n = 2 i
n = 5 oraz odpowiadające im przebiegi funkcji B8(e).
1
0.9
0.8
n = 2
0.7
0.6
b = 0,444
0.5
0.4
n = 5
0.3
b = 0,2533
0.2
0.1
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Stosunek ciśnień [p2/p1]
Rys.4. Porównanie przebiegów funkcji i odpowiadających im przebiegów funkcji
B5 B8
9
Powyższe wnioski sformułowano jedynie na podstawie matematycznej postaci poszcze-
gólnych modeli, bez oceny zgodności tych modeli z rzeczywistymi zależnościami przepływu
od warunków przepływu. Wykazanie wzajemnych relacji pomiędzy poszczególnymi
modelami pozwala na ocenę przydatności poszczególnych modeli i umożliwia racjonalny
wybór modelu najkorzystniej wyrażającego właściwości danego oporu rzeczywistego.
Literatura
1. Bukowski J., Kijkowski P.: Kurs mechaniki płynów. PWN, Warszawa 1980
2. Holejko D., Lammel L., Niewczas W., Żelazny M.: Pneumatyczne urządzenia automatyki.
Wydawnictwa Politechniki Warszawskiej, Warszawa 1986
3. Iwaszko J.: Funkcja przejścia pomiędzy parametrami C i b opisanymi w ISO 6358 a
współczynnikiem wymiarowym Kv dla elementów pneumatycznych. Hydraulika i
Pneumatyka 4/1999
4. Kościelny W., Wozniak C.: Modele charakterystyk przepływowych oporów
pneumatycznych. IX Krajowa Konferencja PNEUMA 95. Mat. konf. str. 73 - 82
5. PN-92/M-73763 (ISO 6358-1989) Napędy i sterowania pneumatyczne. Elementy
pneumatyczne. Wyznaczanie parametrów przepływowych
6. PN-92/M-73703 (ISO 8778) Napędy i sterowania pneumatyczne. Znormalizowana
atmosfera odniesienia
7. Stelmach J.: Projektowanie przemysłowych układów automatyki. WNT, Warszawa 1980
10
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
05 działania matematyczneMetody pomiaru charakterystyk przepływu ciepłaModele matematyczne układów elementarnych mod matModele matematycznePodstawowe modele matematyczne stosowane w projektowaniu1 1 1 Modele matematycznemodele matematyczne opory sedymentacjamodele matematyczne (2)WSPÓŁCZYNNIKI OPORÓW LOKALNYCH PRZY PRZEPŁYWIE CIECZY W RUROCIĄGACHarkusz Matematyka poziom r rok 05@6EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY arkusz egzaminacyjny 6 05 2011 rokwięcej podobnych podstron