ÿþC z [ 4 1 7 . N I E L I N I O W E Z A C H O W A N I E S I K O N S T R U K C J I Z M A T E R I A AU L - S 1
1 7 .
W Y B R A N E P R O B L E M Y N I E L I N I O W E I N I E S P R {Y S T E
W P R O W A D Z E N I E
M e c h a n i k a n i e l i n i o w a z a j m u j e s i p r o b l e m a m i , w k t ó r y c h z a l e |n o [c i m i d z y n a p r |e n i a m i l u b s i Ba m i
a w i e l k o [c i a m i k i n e m a t y c z n y m i s n i e l i n i o w e . R o z r ó |n i a m y d w a z a s a d n i c z e r o d z a j e n i e l i n i o w o [c i : k i -
n e m a t y c z n ( t j . g e o m e t r y c z n ) i f i z y c z n .
N i e l i n i o w o [ k i n e m a t y c z n a p o j a w i a s i w t e d y , g d y r o z w a |a n y o b i e k t w y k a z u j e d u |e o d k s z t a Bc e n i a a l -
b o d u |e p r z e m i e s z c z e n i a , a l b o d u |e o d k s z t a Bc e n i a i d u |e p r z e m i e s z c z e n i a j e d n o c z e [n i e ( n p . k o n s t r u k c j e
c i g n o w e , p n e u m a t y c z n e ) .
N i e l i n i o w o [ f i z y c z n a w y n i k a z f i z y c z n y c h w Ba s n o [c i m a t e r i a Bu l u b k o n s t r u k c j i i o b j a w i a s i w ó w c z a s ,
g d y z w i z k i k o n s t y t u t y w n e s n i e l i n i o w e . S t o n p . m a t e r i a By n i e l i n i o w o - s p r |y s t e l u b p l a s t y c z n e .
S z c z e g ó l n e g o t y p u n i e l i n i o w o [ f i z y c z n w z a k r e s i e m a By c h p r z e m i e s z c z e D w y k a z u j r ó w n i e | k o n s t r u k -
c j e w y k o n a n e z m a t e r i a Bu l i n i o w o - s p r |y s t e g o , a l e n i e s p e Bn i a j c e p o s t u l a t ó w C l a p e y r o n a . M a m y t u n a
m y [l i t z w . k o n s t r u k c j e l u z o w e , c z y l i k o n s t r u k c j e w y k a z u j c e n i e w i e l k i e l u z y w p o Bc z e n i a c h e l e m e n t ó w .
W s k a l i m a k r o ( n a p o z i o m i e c a Be j k o n s t r u k c j i ) o b e c n o [ l u z ó w j e s t p r z y c z y n z a k l e s z c z a n i a s i ( a n g .
l o c k i n g ) , t z n . w z r o s t u s z t y w n o [c i w m i a r w z r o s t u o b c i |e n i a . Z a k l e s z c z a n i e s i o p r ó c z s p r |y s t o [c i i
p l a s t y c z n o [c i , m o |n a u w a |a z a k o l e j n y p r o t o t y p n i e l i n i o w e g o p r a w a f i z y c z n e g o .
J e s t o c z y w i s t e , |e w y s t p u j r ó w n i e | p r z y p a d k i b a r d z i e j z Bo |o n e , w k t ó r y c h r o z w a |a n y o b i e k t w y k a -
z u j e z a r ó w n o n i e l i n i o w o [ k i n e m a t y c z n j a k i f i z y c z n . D l a w s z y s t k i c h z a d a D n i e l i n i o w y c h c h a r a k t e r y -
s t y c z n e j e s t t o , |e n i e o b o w i z u j e z a s a d a s u p e r p o z y c j i s k u t k ó w .
D o k o n s t r u k c j i n i e s p r |y s t y c h z a l i c z a m y t a k i e , k t ó r y c h m a t e r i a B p o z a c e c h a m i s p r |y s t y m i w y k a z u j e
i n n e c e c h y , n p . l e p k o [. N a l e | d o n i c h k o n s t r u k c j e ( m a t e r i a By ) l e p k o - s p r |y s t e . G d y z a l e |n o [ p o m i -
d z y n a p r |e n i e m a p r d k o [c i o d k s z t a Bc e D j e s t l i n i o w a , t o o b o w i z u j e z a s a d a s u p e r p o z y c j i w z g l d e m
c y k l i n a p r |e D i o d k s z t a Bc e D j a k o f u n k c j i c z a s u . W o d r ó |n i e n i u o d p r o c e s ó w s p r |y s t y c h s t o j e d n a k
p r o c e s y , w k t ó r y c h o b s e r w u j e m y d y s s y p a c j e n e r g i i .
W k o l e j n y c h r o z d z i a Ba c h t e j c z [c i p o d r c z n i k a p r z e d s t a w i m y s p e c y f i k z a d a D n i e l i n i o w y c h i n i e s p r -
|y s t y c h . N a p o c z t k u o m ó w i m y k o n s t r u k c j e p r t o w e w y k o n a n e z m a t e r i a Bu l i n i o w o - s p r |y s t e g o w y k a z u -
j c e j e d n a k c e c h y n i e l i n i o w e ( w t y m k o n s t r u k c j l u z o w ) . D a l e j p r z e d s t a w i m y p r o b l e m a t y k p r t ó w
w y k o n a n y c h z m a t e r i a Bó w f i z y c z n i e n i e l i n i o w y c h l u b m a t e r i a Bó w w y k a z u j c y c h c e c h y n i e s p r |y s t e . N a
k o n i e c o m ó w i m y p r o b l e m y s t a t e c z n o [c i .
A n d r z e j G a w c k i - M e c h a n i k a m a t e r i a Bó w i k o n s t r u k c j i p r t o w y c h 2 0 0 3 r . A l m a M a t e r
C z [ 4 1 7 . N I E L I N I O W E Z A C H O W A N I E S I K O N S T R U K C J I Z M A T E R I A AU L - S 2
1 7 . N I E L I N I O W E Z A C H O W A N I E S I K O N S T R U K C J I W Y K O N A N Y C H Z M A T E R I A AU
L I N I O W O - S P R {Y S T E G O
1 7 . 1 . R A M A Z L U Z A M I K T O W Y M I N A P O D P O R A C H
O m ó w i m y e f e k t y z a s t o s o w a n i a p o d p o r y p r z e g u b o w e j z o g r a n i c z e n i e m k t a o b r o t u . J e s t t o t z w . p o d -
p o r a l u z o w a . M o d e l t a k i e j p o d p o r y i l u s t r u j e r y s u n e k 1 7 . 1 a .
R y s . 1 7 . 1
- +
J e [l i k t o b r o t u p r t a j e s t z a w a r t y w p r z e d z i a l e ( - ¦ , ¦ ) , t o m a m y d o c z y n i e n i a z e z w y k B p o d p o r
+ -
p r z e g u b o w . D l a w a r t o [c i g r a n i c z n y c h ¦ = ¦ l u b ¦ = - ¦ p o d p o r a p r z y b i e r a c e c h y u t w i e r d z e n i a * ) .
C h a r a k t e r y s t y k f i z y c z n t a k i e j p o d p o r y p r z e d s t a w i a j r y s u n e k 1 7 . 1 b o r a z z a l e |n o [c i ( 1 7 . 1 ) :
- +
M = 0 , - ¦ < ¦ < ¦ , üø
ôø
ôø
+
M e" 0 , ¦ = ¦ , ( 1 7 . 1 )
ýø
ôø
M d" 0 , ¦ = - ¦. - ôø
þø
Z a c h o w a n i e o m a w i a n e j p o d p o r y j e s t w o b e c t e g o n i e l i n i o w e . Z a s t o s o w a n i e p o d p ó r l u z o w y c h z i l u s t r u j e -
m y n a p r z y k Ba d z i e r a m y p o r t a l o w e j w y k o n a n e j z m a t e r i a Bu l i n i o w o - s p r |y s t e g o . C a Bo [ r o z w a |a D o d n i e -
s i e m y d o z a k r e s u m a By c h p r z e m i e s z c z e D. O b c i |e n i e r a m y s t a n o w i d w i e s i By : P x = p x P 0 o r a z P y = p y P 0 ,
p r z y c z y m p x o r a z p y s b e z w y m i a r o w y m i i n t e n s y w n o [c i a m i o b c i |e D, a P 0 o z n a c z a p e w n s t a B o w y -
m i a r z e s i By . Z a d a n i e o b j a [n i a r y s . 1 7 . 2 a .
* )
P r o b l e m t e n n a l e |y d o m e c h a n i k i u k Ba d ó w z w i z a m i j e d n o s t r o n n y m i .
A n d r z e j G a w c k i - M e c h a n i k a m a t e r i a Bó w i k o n s t r u k c j i p r t o w y c h 2 0 0 3 r . A l m a M a t e r
C z [ 4 1 7 . N I E L I N I O W E Z A C H O W A N I E S I K O N S T R U K C J I Z M A T E R I A AU L - S 3
R y s . 1 7 . 2
W s z y s t k i e m o |l i w e w a r i a n t y s c h e m a t ó w s t a t y c z n y c h r a m y l u z o w e j p r z e d s t a w i a j r y s . 1 7 . 2 c , d , e , f ,
p r z y c z y m d o d a t n i e z w r o t y m o m e n t ó w p o d p o r o w y c h z a z n a c z o n o n a r y s . 1 7 . 2 b .
P r z y j c i e p o d p ó r n i e l i n i o w y c h s p r a w i a , |e s c h e m a t s t a t y c z n y r a m y z m i e n i a s i
w s k u t e k n a r a s t a n i a o b c i |e D. J e s t t o z a t e m k o n s t r u k c j a , k t ó r a n i e s p e Bn i a p o s t u l a t ó w C l a p e y r o n a ; w y k r e -
s y o b c i |e n i e - p r z e m i e s z c z e n i e s l i n i a m i Ba m a n y m i , t z n . s n i e l i n i o w e . R a c j o n a l n e o b r a n i e w a r t o [c i
+ -
k t ó w ¦ i ¦ d a j e e f e k t d o s t o s o w a n i a s i s c h e m a t u s t a t y c z n e g o d o i n t e n s y w n o [c i i c h a r a k t e r u o b -
c i |e n i a . W y m i e n i o n e c e c h y k o n s t r u k c j i n i e s b e z z n a c z e n i a d l a p r a k t y k i p r o j e k t o w e j o r a z a n a l i z y
w p By w u l u z ó w p o d p o r o w y c h n a z a c h o w a n i e s i k o n s t r u k c j i .
D o o b l i c z e n i a r a m y z a s t o s o w a n o m e t o d s i B. P r z y w y z n a c z a n i u p r z e m i e s z c z e D u w z g l d n i o n o j e d y n i e
w p By w z m i a n y k r z y w i z n o s i p r t ó w . P r z y j t o , |e u k Ba d p o d s t a w o w y j e s t r a m t r ó j p r z e g u b o w
( r y s . 1 7 . 3 a ) , a w s z y s t k i e p o m o c n i c z e w y k r e s y m o m e n t ó w z g i n a j c y c h o b r a z u j k o l e j n e r y s u n k u 1 7 . 3 .
P u n k t e m w y j [c i a s r ó w n a n i a k a n o n i c z n e m e t o d y s i B:
ñø
X 1 "1 1 + X 2 "1 2 + X 3 "1 3 = - "1 p ,
ôø
ôøX "2 1 + X 2 "2 2 + X 3 "2 3 = - "2 ,
( a )
òø
1 p
ôøX "3 1 + X 2 "3 2 + X 3 "3 3 = - "3 p ,
ôø
1
óø
g d z i e
A n d r z e j G a w c k i - M e c h a n i k a m a t e r i a Bó w i k o n s t r u k c j i p r t o w y c h 2 0 0 3 r . A l m a M a t e r
C z [ 4 1 7 . N I E L I N I O W E Z A C H O W A N I E S I K O N S T R U K C J I Z M A T E R I A AU L - S 4
2 1
ñøE A " = l ( 3 + n ) , E J "1 2 = E J "1 3 = l n ,
1 1
ôø
3 6
ôø
ôøE J "2 2 = E J "3 3 = 1 l ( 1 + 4 n ) , E J "2 3 = - 1 l ( 1 + 2 n ) ,
ôø
6 6
ôø
1
ôøE J "1 p = - P 0 l 2 ( 3 + 2 n ) p y ,
6
ôø
( b )
òø
1 h
ôøE J "2 p = - P 0 l 2 îøn p y - ( 2 + 3 n ) p x ùø ,
ïø úø
1 2 l
ðø ûø
ôø
ôø
1 h
E J "3 p = - P 0 l 2 îøn p y + ( 2 + 3 n ) p x ùø ,
ôø
ïø úø
1 2 l
ðø ûø
ôø
ôø
h J 1
ôøn = , "i k = "k i .
l J h
óø
R y s . 1 7 . 3
A n d r z e j G a w c k i - M e c h a n i k a m a t e r i a Bó w i k o n s t r u k c j i p r t o w y c h 2 0 0 3 r . A l m a M a t e r
C z [ 4 1 7 . N I E L I N I O W E Z A C H O W A N I E S I K O N S T R U K C J I Z M A T E R I A AU L - S 5
K t y o b r o t u n a p o d p o r a c h o k r e [l a j z a l e |n o [c i
ñø
A p
ôø¦ = - ( "2 + X 1 "2 1 + X 2 "2 2 + X 3 "2 3 ) ,
( c )
òø¦ = - ( "3 p + X 1 "3 1 + X 2 "3 2 + X 3 "3 3 ) .
ôø
B
óø
O s z t y w n o [c i r a m y d e c y d u j w a r t o [c i p r z e m i e s z c z e D "x i "y . P r z e m i e s z c z e n i a t e o b l i c z y m y z e w z o r ó w :
"x = "x 0 + X 1 "x 1 + X 2 "x 2 + X 3 "x 3 ,
ñø
( d )
òø" = "y 0 + X 1 "y 1 + X 2 "y 2 + X 3 "y 3 , ,
y
óø
g d z i e
M M 0
M x M 0
y
"x 0 = d s , "y 0 = d s ,
+"+"
E J E J
s s
M M i
M x M i
y
"x i = d s , "y i = d s ; i = 1 , 2 , 3 .
+"+"
E J E J
s s
M o m e n t y M 0 w u k Ba d z i e p o d s t a w o w y m s t a t y c z n i e w y z n a c z a l n y m p o c h o d z o d o b c i |e n i a z e w n t r z -
n e g o , a M x i M y s w y w o Ba n e o d p o w i e d n i o s i Ba m i P x = 1 ( r y s . 1 7 . 3 c ) i P y = 1 ( r y s . 1 7 . 3 d ) . P o w y k o n a n i u
c a Bk o w a n i a o t r z y m u j e m y :
2
ñø
1 h 1 h
ôøE J "x 0 = P 0 l 3 ( 1 + n ) ëø öø p x ; E J "x 1 = 0 ; E J "x 2 = - E J "x 3 = l 2 ( 2 + 3 n ) ëø öø;
ìø ÷ø ìø ÷ø
ôø
íø øø íø øø
6 l 1 2 l
( e )
òø
1
ôøE J " = P 0 l 3 ( 1 + n ) p y ; E J "y 1 = - 1 1
P 0 l 2 ( 3 + 2 n ) ; E J "y 2 = E J "y 3 = - l 2 n .
y 0
ôø
óø 6 6 1 2
W z o r y ( c ) i ( d ) s s Bu s z n e d l a k a |d e g o z c z t e r e c h s c h e m a t ó w s t a t y c z n y c h p r z e d s t a w i o n y c h n a r y s u n -
k a c h 1 7 . 2 c , d , e , f , p o d w a r u n k i e m p o d s t a w i e n i a o d p o w i e d n i c h w a r t o [c i m o m e n t ó w n a d l i c z b o w y c h X 1 ,
X 2 , X 3 . R ó w n a n i a k a n o n i c z n e ( a ) p o p o d s t a w i e n i u z a l e |n o [c i ( b ) m o |n a d o p r o w a d z i d o p o s t a c i :
ñø
ôø4 ( 3 + n ) X 1 + n X 2 + n X 3 = P 0 l ( 3 + 2 n ) p y ,
ôø
1
ôøn X ( 1 + 4 n ) X 2 ( 1 + 2 n ) X 3 P 0 l ( 2 3 n ) ( h / l ) p x
( f ) + - = - +
òø [ n p y ] ,
1
2
ôø
1
ôøn X - ( 1 + 2 n ) X 2 + ( 1 + 4 n ) X 3 = P 0 l + ( 2 + 3 n ) ( h / l ) p y
1 [ n p y ] .
ôø
óø 2
D l a p o s z c z e g ó l n y c h s c h e m a t ó w s t a t y c z n y c h o t r z y m u j e m y n a s t p u j c e r o z w i z a n i a t e g o u k Ba d u r ó w n a D:
s c h e m a t I
ñø
ôøX = P 0 l b 1 Å" p y , X 2 = 0 , X 3 = 0 ,
1
ôø
ôøs c h e m a t I I
ôø
= P 0 l ( - a 2 Å" p x + b 2 Å" p y ) , X 2 = 0 , X 3 = P 0 l ( c 2 Å" p x + d 2 Å" p y ) ,
ôøX 1
( g )
òøs c h e m a t I I I
ôø
ôøX 1 = P 0 l ( a 2 Å" p x + b 2 Å" p y ) , X 2 = P 0 l ( - c 2 Å" p x + d 2 Å" p y ) , X 3 = 0 ,
ôø
ôøs c h e m a t I V
ôøX = P 0 l b 3 Å" p y , X 2 = P 0 l ( - c 3 Å" p x + d 3 Å" p y ) , X 3 = P 0 l ( c 3 Å" p x + d 3 Å" p y ) .
1
óø
g d z i e
A n d r z e j G a w c k i - M e c h a n i k a m a t e r i a Bó w i k o n s t r u k c j i p r t o w y c h 2 0 0 3 r . A l m a M a t e r
C z [ 4 1 7 . N I E L I N I O W E Z A C H O W A N I E S I K O N S T R U K C J I Z M A T E R I A AU L - S 6
ñø
3 + 2 n n ( 2 + 3 n ) h 6 + 2 8 n + 1 5 n 2
, a 2 = Å"ëø öø, b 2 = ,
ôøb 1 = ìø ÷ø
íø øø
4 ( 3 + n ) l
2 ( 1 2 + 5 2 n + 1 5 n 2 ) 2 ( 1 2 + 5 2 n + 1 5 n 2 )
ôø
ôø
ôøc 2 ( 3 + n ) ( 2 + 3 n ) h 3 n
d 2 =
( h ) = Å"ëø öø, ,
ìø ÷ø
òø
2
1 2 + 5 2 n + 1 5 n 2 íø l øø 1 2 + 5 2 n + 1 5 n 2
ôø
ôø
2 + n ( 2 + 3 n ) h 1
, c 3 = Å"ëø öø, d 3 = .
ìø ÷ø
ôøb =
3
íø øø
2 ( 4 + n ) 4 ( 1 + 3 n ) l 2 ( 4 + n )
ôø
óø
P o u w z g l d n i e n i u p o w y |s z y c h z a l e |n o [c i w r ó w n a n i a c h ( c ) o t r z y m u j e m y w z o r y n a k t y o b r o t u n a p o d -
p o r a c h w s c h e m a t a c h I ÷ I I I :
s c h e m a t I
ñø
ôøÕ = - ±1 Å" p x + ²1 Å" p y , ÕB = ±1 Å" p x + ²1 Å" p y ,
A
ôø
ôøs c h e m a t I I
ôø
( i )
òøÕ = - ±2 Å" p x + ²2 Å" p y , ÕB = 0 ,
A
ôø
ôøs c h e m a t I I I
ôø
ôøÕ = 0 , ÕB = ±2 Å" p x + ²2 Å" p y .
A
óø
g d z i e :
E J E J
ñøÕ = ¦A Å" , ÕB = ¦B Å" ,
A
ôø
P l 2 P l 2
0 0
ôø
ôø
2 + 3 n h
ôø± = Å"ëø ²1 = n
öø,
( j ) ,
ìø ÷ø
òø
1
íø øø
1 2 l 8 ( 3 + n )
ôø
ôø
n ( 4 + n ) ( 2 + 3 n ) h n ( j + 3 n )
= Å"ëø öø, ²2 = .
ìø ÷ø
ôø±2
íø øø
l
ôø
2 ( 1 2 + 5 2 n + 1 5 n 2 ) 1 2 + 5 2 n + 1 5 n 2
óø
P l 3 P l 3
0 0
W e d Bu g r ó w n a D ( d ) o b l i c z o n o p r z e m i e s z c z e n i a "x = ´x Å" o r a z "y = ´y Å" :
E J E J
s c h e m a t I : ´x = A 1 Å" p x ; ´y = D 1 Å" p y ,
ñø
ôø
ôøs c h e m a t I I : ´x = A 2 Å" p x - B 2 Å" p y ; ´y = - B 2 Å" p x + D 2 Å" p y ,
( k )
òøs c h e m a t I I I : ´x = A 2 Å" p x + B 2 Å" p y ; ´y = B 2 Å" p x + D 2 Å" p y ,
ôø
ôøs c h e m a t I V : ´x = A 4 Å" p x ;
´y = D 4 Å" p y ,
óø
p r z y c z y m
2
ñø
j + n h 3 + 4 n
ôøA 1 = Å"ëø öø , D 1 = ,
ìø ÷ø
íø øø
6 l 2 4 ( 3 + n )
ôø
ôø
2
ôøA = n ( 1 2 + 1 4 n + 3 n 2 h n ( 2 + 3 n ) h
ëø öø ëø öø,
( l ) Å" , B 2 = Å"
ìø ÷ø ìø ÷ø
òø
2
íø øø íø øø
l l
3 1 2 + 5 2 n + 1 5 n 2 0 4 ( 1 2 + 5 2 n + 1 5 n 2 )
(
ôø
ôø
2
ôøA 4 = n ( 4 + 3 n ) Å" ëø h öø , D 2 = 3 + 1 6 n + 1 5 n 2 , D 4 = 1 + n .
ìø ÷ø
ôø íø øø
2 4 ( 1 + 3 n ) l 6 ( 4 + n )
6 ( 1 2 + 5 2 n + 1 5 n 2 )
óø
U s t a l i m y t e r a z w a r u n k i , w k t ó r y c h r e a l i z u j s i p o s z c z e g ó l n e s c h e m a t y s t a t y c z n e .
S c h e m a t I , s t o s o w n i e d o r y s . 1 7 . 2 c , r e a l i z u j e s i w ó w c z a s , g d y s s p e Bn i o n e n i e r ó w n o [c i :
( m ) - ³ Å"Õ0 < Õ < Õ0 , - ³ Å"Õ0 < ÕB < Õ0 ,
A
g d z i e
E J E J
+ -
Õ0 = ¦ Å" , ³ Å"Õ0 = ¦ Å" .
P l 2 P l 2
0 0
A n d r z e j G a w c k i - M e c h a n i k a m a t e r i a Bó w i k o n s t r u k c j i p r t o w y c h 2 0 0 3 r . A l m a M a t e r
C z [ 4 1 7 . N I E L I N I O W E Z A C H O W A N I E S I K O N S T R U K C J I Z M A T E R I A AU L - S 7
W n i e r ó w n o [c i a c h t y c h w y r a z i m y k t y ÕA i ÕB p r z e z p a r a m e t r y o b c i |e D p x i p y . O s t a t e c z n i e o t r z y m u j e -
m y c z t e r y n i e r ó w n o [c i :
ñø
p x p y p x p y
ôøëø öø + ëø öø < 1 , ëø öø + ëø öø < 1 ,
Õ0 Õ0
ôøìø - Õ0 ÷ø ìø Õ0 ÷ø
ìø ÷ø ìø ÷ø
ôøíø ±1 ²1
øø íø øø íø ±1 ²1
øø íø øø
ôø
( n )
òø
p y p y
p x p x
ôø
+ < 1 , + < 1 .
ôøëø Õ0 öø ëø Õ0 öø ëø Õ0 öø ëø Õ0 öø
³
ôøìø ÷ø ìø - ³
÷ø ìø - ³
÷ø ìø - ³
÷ø
øø íø øø íø ±1
øø íø øø
ôøíø ±1 ²1 ²1
óø
G r a n i c a o b s z a r u w y z n a c z o n e g o t y m i n i e r ó w n o [c i a m i j e s t r ó w n o l e g Bo b o k i e m z a z n a c z o n y m n a r y s . 1 7 . 4 ,
g d z i e p r z y j t o , |e ³ > 1 .
R y s . 1 7 . 4
D l a s c h e m a t u I I o b o w i z u j n i e r ó w n o [c i :
Õ < Õ0 ; Õ > - ³ Å"Õ0 ,
ñø
A A
ôøp r z y c z y m
( o )
òø
ôø
ÕB = Õ0 , g d y M B e" 0 , l u b ÕB = - ³ Å"Õ0 , g d y M B d" 0 .
óø
R o z w a |y m y n a j p i e r w p r z y p a d e k t a k i , |e Õ < Õ0 , ÕB = Õ0 . K t ÕA j e s t s u m d w ó c h w a r t o [c i ÕA 1 i
A
"ÕA . W a r t o [ ÕA 1 j e s t k t e m o b r o t u l e w e j p o d p o r y w c h w i l i , g d y k t ÕB o s i g a w a r t o [ Õ0 . O b c i |e n i a p x
i p y p r z y j m u j w ó w c z a s w a r t o [ p x 1 i p y 1 o r a z o d p o w i a d a j p e w n e m u p u n k t o w i l e |c e m u n a g r a n i c y o b -
s z a r u , w k t ó r y m r e a l i z u j e s i s c h e m a t I ( p o r . r y s . 1 7 . 4 ) . W y n i k a s t d , |e
Õ = - ±1 Å" p x 1 + ²1 Å" p y 1 ,
A 1
ÕB = Õ0 = ±1 Å" p x 1 + ²1 Å" p y 1 .
A n d r z e j G a w c k i - M e c h a n i k a m a t e r i a Bó w i k o n s t r u k c j i p r t o w y c h 2 0 0 3 r . A l m a M a t e r
C z [ 4 1 7 . N I E L I N I O W E Z A C H O W A N I E S I K O N S T R U K C J I Z M A T E R I A AU L - S 8
K t "ÕA r e a l i z u j e s i j u | w s c h e m a c i e I I . W o b e c t e g o
Õ = Õ + "ÕA = - ±1 p x 1 + ²1 p y 1 - ±2 ( p x - p x 1 ) + ²2 ( p y - p y 1 ) < Õ0 ,
A A 1
s k d
- ±2 Å" p x + ²2 Å" p y < Õ0 + p x 1 ( ±1 - ±2 ) - p y 1 ( ²1 - ²2 ) .
P o n i e w a | ÕB = Õ0 , w i c
ëø öø
2 ±1 - ±2 ±1 ²2
- ±2 Å" p x + ²2 Å" p y < Å" + Å" p y 1 .
ìø±1 p x 1
÷ø
2 ±1 - ±2
±1 íø øø
U w z g l d n i w s z y w z o r y ( j ) s t w i e r d z a m y , |e
±1 Å" ²2
( p ) = ²1 ,
2 ±1 - ±2
c o p r o w a d z i d o n i e r ó w n o [c i :
2 ±1 - ±2
- ±2 Å" p x + ²2 Å" p y < Å"Õ0
±1
l u b p o p r z e k s z t a Bc e n i u
p y
p x
( r ) + < 1 .
ëø - ±2 Õ0
öø ëø öø
2 ±1
ìø- Å"Õ0
÷ø ìø ÷ø
íø ±1 Å"±2 ²1
øø íø øø
W a n a l o g i c z n y s p o s ó b a n a l i z u j e m y d r u g i p r z y p a d e k : Õ > - ³Õ0 o r a z ÕB > Õ0 . O t r z y m u j e m y w t e d y
A
n i e r ó w n o [:
Õ = Õ + "ÕA = - ±1 Å" p x 1 + ²1 Å" p y 1 - ±2 ( p x - p x 1 ) + ²2 ( p y - p y 1 ) > - ³Õ0 ,
A A 1
k t ó r m o |n a p r z e d s t a w i w p o s t a c i :
- ±2 Å" p x + ²2 Å" p y > - ³ Å"Õ0 + p x 1 ( ±1 - ±2 ) - p y 1 ( ²1 - ²2 ) .
P o n i e w a | ²1 Å" p y 1 = Õo - ±1 Å" p x 1 , w i c
2 ±1 - ±2
- ±2 Å" p x + ²2 Å" p y > - ³ Å"Õ0 - Õ0 + Å"( ±1 Å" p x 1 + ²1 Å" p y 1 ) ,
±1
s k d
ëø öø ëø ±2
öø
±2
- ±2 Å" p x + ²2 Å" p y > - Õ0 ìø- ³ - 1 + 2 = ³ - ÷øÕ0 .
÷ø ìø1 -
íø ±1 øø íø ±1 øø
O s t a t e c z n i e d l a ³ > 1 - ±2 ±1 o t r z y m u j e m y :
p y
p x
( s ) + < 1 .
ëø ±2
öø ëø ±2
öø
1 - ³ Å"Õ0 / 1 - ³ Å"Õ0 / ²2
ìø - ÷ø ±2 - ìø - ÷ø
íø ±1 øø íø ±1 øø
A n d r z e j G a w c k i - M e c h a n i k a m a t e r i a Bó w i k o n s t r u k c j i p r t o w y c h 2 0 0 3 r . A l m a M a t e r
C z [ 4 1 7 . N I E L I N I O W E Z A C H O W A N I E S I K O N S T R U K C J I Z M A T E R I A AU L - S 9
N i e r ó w n o [c i ( r ) i ( s ) w y z n a c z a j o b s z a r , w k t ó r y m r e a l i z u j e s i s c h e m a t I I . O b s z a r t e n o r a z w y n i k i a n a l i -
z y p o z o s t a By c h p r z y p a d k ó w z o b r a z o w a n o n a r y s . 1 7 . 4 .
E f e k t y i l o [c i o w e o r a z d a l s z e e f e k t y j a k o [c i o w e p o k a |e m y n a p r z y k Ba d z i e r a m y p r z e d s t a w i o n e j n a
r y s . 1 7 . 5 .
R y s . 1 7 . 5
P r t y r a m y s w y k o n a n e z e s t a l o w y c h d w u t e o w n i k ó w r ó w n o l e g Bo [c i e n n y c h I P E 2 0 0
( E = 2 Å"1 0 8 k N / m 2 , J = 2 7 7 0 Å"1 0 - 8 m 4 ) . O b c i |e n i a P x i P y z m i e n i a j s i w g r a n i c a c h :
- 4 k N d" P x d" 4 k N , 4 k N d" P y d" 2 4 k N .
S i Ba P y = 4 k N s y m b o l i z u j e o b c i |e n i a s t a Be p o c h o d z c e o d c i |a r u w Ba s n e g o k o n s t r u k c j i . J e |e l i p r z y j -
m i e m y , |e P 0 = 4 k N , t o n a p Ba s z c z y zn i e o b c i |e D p x i p y p u n k t A o w s p ó Br z d n y c h p x = 0 i p y = 1 o d p o -
w i a d a o b c i |e n i u c i |a r e m w Ba s n y m . D l a o b c i |e D z m i e n n y c h m a m y :
- 1 d" p x d" 1 , 1 d" p y d" 6 .
-
,
W Ba s n o [c i p o d p ó r c h a r a k t e r y z u j w a r t o [c i ³ = 0 o r a z Õ0 = 0 0 7 5 r a d . O z n a c z a t o , |e k t ¦ = 0 , a k t
P l 2 4 Å" 4 2
+
0
, ,
¦ = Õ0 Å" = 0 0 7 5 Å" = 8 6 6 6 4 Å"1 0 - 4 r a d .
E J 2 Å" 2 7 7 0
Z w y m i a r ó w g e o m e t r y c z n y c h p r t ó w r a m y w y n i k a , |e n = h / l = 0 , 7 5 . N a p o d s t a w i e w z o r ó w ( h ) , ( j ) i
( l ) o b l i c z o n o :
b 1 = 0 , 3 0 0 , a 2 = 0 , 2 0 1 1 , b 2 = 0 , 2 9 8 1 , c 2 = 0 , 4 0 2 2 , d 2 = 0 , 0 3 7 8 8 ,
, , ,
b 3 = 0 2 8 9 , c 3 = 0 2 4 5 2 , d 3 = 0 1 0 5 3 ,
±1 = 0 , 2 6 5 6 , ²1 = 0 , 0 2 5 0 , ±2 = 0 , 0 9 5 5 2 , ²2 = 0 , 0 4 1 0 1 ,
A 1 = 0 , 1 6 4 1 , A 2 = 0 , 0 5 7 2 2 , A 4 = 0 , 0 3 3 8 ,
D 1 = 0 , 6 6 6 7 , B 2 = 0 , 1 0 0 6 , D 2 = 0 , 0 6 5 7 2 , D 4 = 0 , 0 6 1 4 .
N a r y s u n k u 1 7 . 6 p r z e d s t a w i o n o o b s z a r o b c i |e D z e w n t r z n y c h o r a z o b s z a r y p o s z c z e g ó l n y c h s c h e m a -
t ó w s t a t y c z n y c h . R a m a w y k a z u j e c e c h y k o n s t r u k c j i f i z y c z n i e n i e l i n i o w e j i w z m a c n i a s i w m i a r w z r o s t u
o b c i |e n i a .
K a |d e m u p u n k t o w i p r z e s t r z e n i o b c i |e D p x , p y m o |n a p r z y p i s a o d p o w i e d n i e b e z w y m i a r o w e p r z e m i e s z -
c z e n i a ´x i ´y . O b l i c z y m y p r z y k Ba d o w o p r z e m i e s z c z e n i a s t o w a r z y s z o n e z p u n k t a m i A , K , L i G :
A n d r z e j G a w c k i - M e c h a n i k a m a t e r i a Bó w i k o n s t r u k c j i p r t o w y c h 2 0 0 3 r . A l m a M a t e r
C z [ 4 1 7 . N I E L I N I O W E Z A C H O W A N I E S I K O N S T R U K C J I Z M A T E R I A AU L - S 1 0
- p u n k t A ( p x = 0 , p y = 1 ) :
´x = 0 , ´ = 0 , 0 6 6 7 Å"1 = 0 , 0 6 6 7 .
y
- p u n k t K ( p x = 0 , 1 2 7 9 , p y = 1 , 6 3 9 4 ) :
´x = 0 + 0 , 1 2 7 9 Å" 0 , 1 6 4 1 = 0 , 0 2 0 9 9 ,
´ = 0 , 0 6 6 7 + ( 1 , 6 3 9 4 - 1 ) Å" 0 , 0 6 6 6 7 = 0 , 1 0 9 3 .
y
- p u n k t L ( p x = 0 , 7 4 8 8 , p y = 4 , 7 4 3 9 ) :
´x = 0 , 0 2 0 9 9 + ( 0 , 7 4 8 8 - 0 , 1 2 7 9 ) Å"0 , 0 5 7 2 2 - ( 4 , 7 4 3 9 - 1 , 6 3 9 4 ) Å"0 , 0 1 0 0 6 = 0 , 0 2 5 2 9 ,
´y = 0 , 1 0 9 3 - ( 0 , 7 4 8 8 - 0 , 1 2 7 9 ) Å"0 , 0 1 0 0 6 + ( 4 . 7 4 3 9 - 1 , 6 3 9 4 ) Å"0 , 0 6 5 7 2 = 0 , 3 0 7 0 .
- p u n k t G ( p x = 1 , p y = 6 ) :
´ = 0 , 0 2 5 2 9 + ( 1 - 0 , 7 4 8 8 ) Å" 0 , 0 3 3 8 = 0 , 0 3 3 8 ,
x
´ = 0 , 3 0 7 0 + ( 6 - 4 , 7 4 3 9 ) Å" 0 , 0 6 1 4 = 0 , 3 8 4 2 .
y
R y s . 1 7 . 6
A n d r z e j G a w c k i - M e c h a n i k a m a t e r i a Bó w i k o n s t r u k c j i p r t o w y c h 2 0 0 3 r . A l m a M a t e r
C z [ 4 1 7 . N I E L I N I O W E Z A C H O W A N I E S I K O N S T R U K C J I Z M A T E R I A AU L - S 1 1
R e z u l t a t y d l a p o z o s t a By c h p u n k t ó w z e s t a w i o n o n i |e j :
B ( 0 0 9 4 1 ; 1 ) : ´x = 0 0 1 5 4 4 , ´y = 0 0 6 6 7 ,
, , ,
C ( 0 3 5 5 7 ; 1 ) : ´x = 0 0 3 0 4 1 , ´y = 0 0 6 9 3 ,
, , ,
D ( 1 ; 1 ) : ´x = 0 , 0 5 2 1 9 , ´ = 0 , 0 6 9 3 ,
y
E ( 1 ; 3 , 5 ) : ´x = 0 , 0 5 2 1 9 , ´y = 0 , 2 2 2 8 ,
F ( 1 ; 5 , 3 2 9 ) : ´x = 0 , 0 3 3 8 0 , ´y = 0 , 3 4 3 0 ,
G ( 1 ; 6 ) : ´x = 0 0 3 3 8 0 , ´ = 0 3 8 4 2 ,
, ,
y
H ( 0 ; 6 ) : ´x = 0 , ´y = 0 3 8 4 2 ,
,
I ( 0 ; 3 ) : ´x = 0 , ´y = 0 , 2 0 0 0 .
W i d z i m y z a t e m , |e m i d z y p u n k t a m i p r z e s t r z e n i o b c i |e D a p u n k t a m i p r z e s t r z e n i p r z e m i e s z c z e D i s t -
n i e j e w z a j e m n i e j e d n o z n a c z n e p r z y p o r z d k o w a n i e . W Ba s n o [ t a p o z w a l a n a g r a f i c z n e p r z e d s t a w i e n i e
p o s z c z e g ó l n y c h d r ó g o b c i |e n i a i s c h e m a t ó w s t a t y c z n y c h w p r z e s t r z e n i p r z e m i e s z c z e D ´x i ´y . W r o z -
w a |a n y m z a d a n i u i l u s t r u j e t o r y s . 1 7 . 7 . P r o s t o k t n e m u o b s z a r o w i o b c i |e D o d p o w i a d a w i e l o b o k
A B C D E F G H w p r z e s t r z e n i p r z e m i e s z c z e D. D l a p o r ó w n a n i a z a z n a c z o n o p r o s t o k t y A ' D ' G ' H ' i A ' ' D ' ' G ' ' H ' ' ,
k t ó r e o t r z y m u j e m y o d p o w i e d n i o d l a s c h e m a t u I i s c h e m a t u I V .
N a z a k o Dc z e n i e o m ó w i m y j e s z c z e z m i a n y e n e r g i i s p r |y s t e j w y s t p u j c e w z a m k n i t y m c y k l u o b c i -
|e n i a n a d r o d z e A B C D E F G H I A . E n e r g i t e o b l i c z y m y z z a l e |n o [c i :
P 0 2 l 3 P 0 2 l 3
L c = L x + L y = Å"d "x + P y Å"d "y =
)
x
+"( P +"( p x d ´x + p y d ´y ) = E J Å"( l x + l y ) .
E J
R y s . 1 7 . 7
A n d r z e j G a w c k i - M e c h a n i k a m a t e r i a Bó w i k o n s t r u k c j i p r t o w y c h 2 0 0 3 r . A l m a M a t e r
C z [ 4 1 7 . N I E L I N I O W E Z A C H O W A N I E S I K O N S T R U K C J I Z M A T E R I A AU L - S 1 2
A k t u a l n a w a r t o [ e n e r g i i s p r |y s t e j L c j e s t z a t e m s u m p ó l z a w a r t y c h p o d w y k r e s a m i
P x ( "x ) i P y ( "y ) . W y k r e s y t e p o d a n o n a r y s . 1 7 . 8 . J a k w i d a , l i n i e o b c i |e D i o d c i |e D n a o b u w y k r e -
s a c h n i e p o k r y w a j s i . D l a r o z w a |a n e g o c y k l u o b c i |e n i a w p Ba s z c z y zn i e P x , "x o b s e r w u j e m y p r o -
d u k c j e n e r g i i , a n a p Ba s z c z y zn i e P y , "y - d y s s y p a c j e n e r g i i . P o n i e w a | j e d n a k r o z w a |a n y p r o c e s
j e s t s p r |y s t y , s u m a p r o d u k c j i i d y s s y p a c j i e n e r g i i j e s t r ó w n a z e r u . Aa t w o t o s p r a w d z i r a c h u n k o w o .
D l a p o s z c z e g ó l n y c h p u n k t ó w o b l i c z o n o :
A : l x = 0 , l y = 0 , 0 3 3 3 , l c = 0 , 0 3 3 3 ,
B : l x = 0 , 0 0 0 7 , l y = 0 , 0 3 3 3 , l c = 0 , 0 3 4 0 ,
C : l x = 0 , 0 0 4 1 , l y = 0 , 0 3 5 3 , l c = 0 , 0 3 9 4 ,
D : l x = 0 , 0 1 8 9 , l y = 0 , 0 3 5 3 , l c = 0 , 0 5 4 2 ,
E : l x = 0 , 0 1 8 9 , l y = 0 , 3 8 1 8 , l c = 0 , 4 0 0 7 ,
F : l x = 0 , 0 0 0 5 , l y = 0 , 9 1 1 8 , l c = 0 , 9 1 2 3 ,
G : l x = 0 , 0 0 0 5 , l y = 1 , 1 4 4 1 , l c = 1 , 1 4 4 6 ,
H : l x = - 0 , 0 1 6 4 , l y = 1 , 1 4 4 1 , l c = 1 , 2 7 7 ,
I : l x = - 0 , 0 1 6 4 , l y = 0 , 3 1 6 4 , l c = 0 , 3 0 0 ,
A : l x = - 0 , 0 1 6 4 , l y = 0 , 0 1 6 4 , l c = 0 .
R y s . 1 7 . 8
,
N a j w i k s z a e n e r g i a s p r |y s t a w y s t p u j e w p u n k c i e G ( l c = 1 1 4 4 6 ) . G d y b y z a Bo |y , |e w c a By m z a k r e -
s i e o b c i |e D r e a l i z u j e s i s c h e m a t I , t o e n e r g i a t a l c = 1 , 2 8 2 , a g d y r e a l i z u j e s i t y l k o s c h e m a t I V , t o l c =
1 , 1 2 2 . W i d z i m y z a t e m , |e e n e r g i a s p r |y s t a m o |e b y p e w n m i a r p o d a t n o [c i k o n s t r u k c j i . I m w i k s z a
e n e r g i a s p r |y s t a , t y m w i k s z a p o d a t n o [. F a k t t e n w y k o r z y s t u j e s i c z a s e m d o o s z a c o w a n i a g l o b a l n e j
s z t y w n o [c i k o n s t r u k c j i .
W p o d s u m o w a n i u w a r t o z w r ó c i u w a g n a t o , |e p r o b l e m y n i e l i n i o w e s z r e g u By b a r d z o s k o m p l i k o -
w a n e i w y m a g a j d o |m u d n y c h r a c h u n k ó w . P r z e k o n y w u j c y m p o t w i e r d z e n i e m t e g o w n i o s k u j e s t p r z e d -
s t a w i o n y w y |e j p r o b l e m r a m y n a n i e l i n i o w y c h p o d p o r a c h .
A n d r z e j G a w c k i - M e c h a n i k a m a t e r i a Bó w i k o n s t r u k c j i p r t o w y c h 2 0 0 3 r . A l m a M a t e r
C z [ 4 1 7 . N I E L I N I O W E Z A C H O W A N I E S I K O N S T R U K C J I Z M A T E R I A AU L - S 1 3
1 7 . 2 . K R A T O W N I C A M I S E S A
1 7 . 2 . 1 . W p r o w a d z e n i e
N a z w a k r a t o w n i c a M i s e s a o d n o s i s i d o k r a t o w n i c y d w u p r t o w e j , p r z e d s t a w i o n a n a r y s . 1 7 . 9 . Z b a -
d a m y z a c h o w a n i e s i u k Ba d u p o d w p By w e m s y m e t r y c z n e g o o b c i |e n i a p i o n o w e g o s i B P z a c z e p i o n w
w zl e [r o d k o w y m .
R y s . 1 7 . 9
J e |e l i w y n i o s Bo [ k r a t o w n i c y m i e r z o n a s t o s u n k i e m H 0 / L 0 j e s t m a Ba , t o p r a w i d Bo w y o p i s d e f o r m a c j i
k r a t o w n i c y w y m a g a o d s t p i e n i a o d z a s a d y z e s z t y w n i e n i a . I n n y m i s Bo w y , r ó w n a n i a r ó w n o w a g i t r z e b a
u k Ba d a d l a k o n f i g u r a c j i a k t u a l n e j ( p o o d k s z t a Bc e n i u ) . O t r z y m u j e m y z a t e m p r o b l e m k i n e m a t y c z n i e ( g e o -
m e t r y c z n i e ) n i e l i n i o w y . W c e l u z i l u s t r o w a n i a p o w y |s z y c h s t w i e r d z e D z a d a n i e r o z w i |e m y w d w ó c h
w a r i a n t a c h : l i n i o w y m ( p r z y a k c e p t a c j i z a s a d y z e s z t y w n i e n i a ) i n i e l i n i o w y m .
G e o m e t r i o d k s z t a Bc e n i a o p i s z e m y p i o n o w y m p r z e m i e s z c z e n i e m v p u n k t u p r z y Bo |e n i a o b c i |e n i a ,
p r z y z a Bo |e n i u , |e d e f o r m a c j a k o n s t r u k c j i j e s t s y m e t r y c z n a . P r z y j m i e m y n a d t o , |e o d k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
p r t ó w s m a Be , a m a t e r i a B p r t ó w k r a t o w n i c y j e s t l i n i o w o - s p r |y s t y .
Z a l e |n o [ m i d z y s i B P a p r z e m i e s z c z e n i e m v u s t a l i m y n a p o d s t a w i e t w i e r d z e n i a o m i n i m u m e n e r g i i
p o t e n c j a l n e j ( p o r . p . 1 4 . 9 . 2 ) . P o k a |e m y , |e r ó w n o w a g a u k Ba d u m a m i e j s c e d l a t a k i e j w a r t o [c i v , k t ó r a
e k s t r e m a l i z u j e e n e r g i p o t e n c j a l n ( v ) , o k r e [l o n w z o r e m ( 1 4 . 1 1 ) . W z ó r t e n w n a s z y m z a d a n i u p r z y -
b i e r a p o s t a :
1
( a ) = Å" E A »2 Å"d s - P Å"v ,
+"
2
s
g d z i e » = "L / L i o z n a c z a w y d Bu |e n i e w z g l d n e o s i p r t ó w , a L = L 0 / ( s i n ±0 ) .
1 7 . 2 . 2 . Z a d a n i e k i n e m a t y c z n i e l i n i o w e
W z a k r e s i e m a By c h p r z e m i e s z c z e D z a l e |n o [ m i d z y z m i a n d Bu g o [c i p r t ó w "L i p r z e m i e s z c z e n i e m
v j e s t l i n i o w a ( p o r . r y s . 1 7 . 1 0 b ) :
( b ) "L = - v Å"c o s ±0 .
A n d r z e j G a w c k i - M e c h a n i k a m a t e r i a Bó w i k o n s t r u k c j i p r t o w y c h 2 0 0 3 r . A l m a M a t e r
C z [ 4 1 7 . N I E L I N I O W E Z A C H O W A N I E S I K O N S T R U K C J I Z M A T E R I A AU L - S 1 4
R y s . 1 7 . 1 0
W o b e c t e g o
c o s ±0
( c ) » = - v Å" Å"s i n ±0 ,
L 0
a e n e r g i a p o t e n c j a l n a
l
ëø öø
1 E A
2 2
( d ) ( v ) = 2 Å" »»±0 Å"s i n ±0 ÷ø Å"v 2 - P Å"v .
E A Å"d x - P Å"v = E A L - P v = ìø c o s 2
+"
2 L 0
íø øø
0
E k s t r e m u m f u n k c j i ( v ) z a c h o d z i , j e |e l i " " v = 0 :
ëø öø
" 2 E A
( e ) = c o s 2 ±0 Å" s i n ±0 Å" v - P = 0 .
ìø ÷ø
" v L 0
íø øø
Aa t w o z a u w a |y , |e d r u g a p o c h o d n a e n e r g i i p o t e n c j a l n e j w z g l d e m p r z e m i e s z c z e n i a v j e s t z a w s z e w i k -
2
s z a o d z e r a : " " v 2 > 0 , w i c s t a n r ó w n o w a g i o k r e [l o n y z a l e |n o [c i ( e ) o d p o w i a d a m i n i m u m e n e r g i i
p o t e n c j a l n e j . Z a l e |n o [ ( e ) m o |n a u z y s k a t a k |e z r ó w n a n i a r ó w n o w a g i z a p i s a n e g o w k o n f i g u r a c j i p i e r -
w o t n e j . Z r y s u n k u 1 7 . 1 0 c w y n i k a b o w i e m n a s t p u j c e r ó w n a n i e r ó w n o w a g i :
P = - 2 N c o s ±0 .
P o n i e w a | j e d n a k
ëø öø
"L E A
N = E A »±0 Å"s i n ±0 Å"v ,
= E A Å" = Å"c o s
ìø-
÷ø
L L 0
íø øø
w i c
ëø öø
2 E A
( f ) P = Å"c o s 2 ±0 Å"s i n ±0 Å"v .
ìø ÷ø
L 0
íø øø
W z ó r ( f ) p o k r y w a s i z z a l e |n o [c i ( e ) , u z y s k a n m e t o d e n e r g e t y c z n e j .
A n d r z e j G a w c k i - M e c h a n i k a m a t e r i a Bó w i k o n s t r u k c j i p r t o w y c h 2 0 0 3 r . A l m a M a t e r
C z [ 4 1 7 . N I E L I N I O W E Z A C H O W A N I E S I K O N S T R U K C J I Z M A T E R I A AU L - S 1 5
1 7 . 2 . 3 . Z a d a n i e k i n e m a t y c z n i e n i e l i n i o w e
G d y u w z g l d n i m y z m i a n y g e o m e t r i i u k Ba d u , w ó w c z a s z a l e |n o [ "L ( v ) j e s t b a r d z i e j z Bo |o n a . Z e w z o -
r u P i t a g o r a s a o t r z y m u j e m y ( r y s . 1 7 . 9 ) :
2
L = L 2 + H 0 = L 0 / s i n ±0 , L + "L = L 2 + ( H 0 - v ) 2 ,
0 0
s k d
2
L 2 + ( H 0 - v ) 2 - L 2 + H 0
"L
0 0
( g ) » = = Å" s i n ±0 .
L L 0
W o b e c p o w y |s z e g o e n e r g i a p o t e n c j a l n a u k Ba d u
L
1 E A
îø 2
( h ) ( v ) = 2 E A »2 d x - P v = L 2 + ( H 0 - v ) 2 - L 2 + H 0 ùøs i n ±0 - P v .
0
+" úø
2 L 0 ïø 0
ðø ûø
0
W a r u n e k e k s t r e m u m f u n k c j i ( v ) p r o w a d z i d o z a l e |n o [c i :
2
L 2 + ( H 0 - v ) 2 - L 2 + H 0
" E A
0 0
= - Å"s i n ±0 Å" Å"( H 0 - v ) - P = 0 ,
" v L 0
L 2 + ( H 0 - v ) 2
0
s k d
îø ùø
ïø úø
ïø úø
ëø öø
v 1
( i )
P ( v ) = 2 E A c t g ±0 - ÷ø
Å" ïø - s i n ±0 úø.
ìø
2
íø L 0 ïø ëø
øø
úø
öø
v
ïø úø
1 + c t g ±0 - ÷ø
ìø
ïø íø L 0 øø úø
ðø ûø
I d e n t y c z n y w y n i k o t r z y m u j e m y z r ó w n a n i a r ó w n o w a g i s i B w k o n f i g u r a c j i a k t u a l n e j ( r y z . 1 7 . 1 1 ) .
R y s . 1 7 . 1 1
Z a l e |n o [ P ( v ) m o |e o d p o w i a d a r ó w n o w a d z e s t a t e c z n e j ( " P " v = P , v > 0 ) l u b n i e s t a t e c z n e j
P , v < 0 . Z b u d o w y z a l e |n o [c i ( i ) w n i o s k u j e m y , |e p o c h o d n a P , v j e s t r ó w n a d r u g i e j p o c h o d n e j e n e r g i i
( )
p o t e n c j a l n e j . R ó w n o w a g a s t a t e c z n a w y s t p u j e z a t e m w ó w c z a s , g d y e n e r g i a p o t e n c j a l n a o s i g a m i n i m u m ,
2
t z n . g d y " " v = 0 , " " v 2 > 0 , n a t o m i a s t r ó w n o w a g a j e s t n i e s t a t e c z n a , g d y e n e r g i a p o t e n c j a l n a
2
o s i g a m a k s i m u m : " " v = 0 , " " v 2 < 0 . P r o b l e m s t a t e c z n o [c i r ó w n o w a g i z i l u s t r u j e m y r ó w n i e |
w p r z y k Ba d z i e l i c z b o w y m .
A n d r z e j G a w c k i - M e c h a n i k a m a t e r i a Bó w i k o n s t r u k c j i p r t o w y c h 2 0 0 3 r . A l m a M a t e r
C z [ 4 1 7 . N I E L I N I O W E Z A C H O W A N I E S I K O N S T R U K C J I Z M A T E R I A AU L - S 1 6
1 7 . 2 . 4 . P r z y k Ba d l i c z b o w y * )
O b l i c z e n i a w y k o n a n o d l a n a s t p u j c y c h d a n y c h :
L 0 = 1 , 0 m , E = 2 , 1 Å"1 0 8 k N / m 2 , A = 1 0 - 3 m 2 , c t g ±0 = 0 , 1 , P = 4 0 k N .
W z a d a n i u l i n i o w y m s t o s o w n i e d o w z o r u ( d ) , o t r z y m a n o :
( v ) = 2 0 6 9 Å"v 2 - P Å"v
W a r u n e k r ó w n o w a g i " " v = 0 p r o w a d z i d o z a l e |n o [c i :
P ( v ) = 4 1 3 8 Å" v .
G d y P = 4 0 k N P r z e m i e s z c z e n i e p i o n o w e w y n o s i v = v * = 0 , 0 0 9 6 7 m .
D l a z a d a n i a n i e l i n i o w e g o o b l i c z o n o ( w z ó r ( h ) ) :
îø
( v ) = 2 0 8 9 5 8 Å" 1 + ( 0 , 1 - v ) 2 - 1 , 0 1 ùø - P v .
ïø úø
ðø ûø
R ó w n o w a g a w y s t p u j e , g d y " " v = 0 :
îø ùø
" 1
= - 4 1 7 9 1 6 Å" 1 - Å" ( 0 1 - v ) - P = 0 .
,
ïø úø
" v
1 + ( 0 , 1 - v ) 2 ûø
ïø úø
ðø
P o p o d s t a w i e n i u P = 4 0 k N o t r z y m u j e m y v = v * = 0 , 0 1 1 5 9 m . Z a l e |n o [ P ( v ) o d p o w i a d a j c a r ó w n o -
w a d z e p r z y b i e r a p o s t a :
îø ùø
1 0 1
,
P ( v ) = - 4 1 7 9 1 6 Å" 1 - Å"( 0 1
,
ïø úø - v ) .
1 + ( 0 , 1 - v ) 2 ûø
ïø úø
ðø
O s t a t e c z n o [c i r ó w n o w a g i m ó w i z n a k d r u g i e j p o c h o d n e j e n e r g i i p o t e n c j a l n e j :
îø ùø
2
ïø úø
, , ,
d P " 1 0 1 1 0 1 Å"( 0 1 - v ) 2
= = 4 1 7 9 1 6 Å" + .
ïø1 - úø
d v
" v 2 1 + ( 0 , 1 - v ) 2 1 + ( 0 , 1 - v ) 2 3 / 2 úø
ïø
[ ]
ðø ûø
* )
O b l i c z e n i a d o t e g o p r z y k Ba d u w y k o n a B W . C z a r n e c k i .
A n d r z e j G a w c k i - M e c h a n i k a m a t e r i a Bó w i k o n s t r u k c j i p r t o w y c h 2 0 0 3 r . A l m a M a t e r
C z [ 4 1 7 . N I E L I N I O W E Z A C H O W A N I E S I K O N S T R U K C J I Z M A T E R I A AU L - S 1 7
R y s . 1 7 . 1 2
W y k r e s y f u n k c j i ( v ) d l a z a d a n i a l i n i o w e g o i z a d a n i a n i e l i n i o w e g o z e s t a w i o n o n a r y s . 1 7 . 1 2 a . D l a
s i By P = 4 0 k N m i n i m u m f u n k c j i ( v ) o d p o w i a d a r ó w n o w a d z e s t a t e c z n e j . O d p o w i e d n i e w y k r e s y f u n k c j i
P ( v ) d l a u m i a r k o w a n y c h w a r t o [c i p r z e m i e s z c z e D p o d a n o n a r y s . 1 7 . 1 2 b . W y r a zn e r ó |n i c e j a k o [c i o w e
u w i d a c z n i a j s i d o p i e r o p r z y w i k s z y c h w a r t o [c i a c h p r z e m i e s z c z e D. I l u s t r u j e t o r y s . 1 7 . 1 3 . W z a d a n i u
2
n i e l i n i o w y m s i Ba P r o [n i e d o p u n k t u A , k i e d y d P "v = " " v 2 e" 0 . W p u n k c i e t y m , z w a n y m p u n k t e m
2
g r a n i c z n y m , f u n k c j a P ( v ) o s i g a l o k a l n e m a k s i m u m : d P "v = " " v 2 = 0 . P r z y d a l s z y m p o w i k -
s z a n i u s i By P o b s e r w u j e m y z j a w i s k o t z w . p r z e s k o k u ( a n g . s n a p - t h r o u g h ) i u s t a l e n i e s i n o w e g o p o Bo |e n i a
r ó w n o w a g i . N a w y k r e s i e P ( v ) o d p o w i a d a t o p r z e s k o k o w i z p u n k t u A d o p u n k t u C . O p i s a n e z j a w i s k o
u m y k a u w a d z e , j e |e l i s t o s u j e m y p o d e j [c i e l i n i o w e . P r z e s k o k o b s e r w u j e m y t y l k o w ó w c z a s , g d y c z y n n i -
k i e m s t e r u j c y m j e s t o b c i |e n i e P . J e |e l i b d z i e m y p o w i k s z a p r z e m i e s z c z e n i e v ( s t e r o w a n i e p r z e -
m i e s z c z e n i e m ) , t o z a o b s e r w u j e m y z m n i e j s z e n i e r e a k c j i p i o n o w e j w z Ba [r o d k o w e g o z g o d n i e z p r z e b i e -
2
g i e m k r z y w e j A B : d P "v = " " v 2 < 0 . P o c z w s z y o d p u n k t u B d a l s z e m u w z r o s t o w i p r z e m i e s z c z e -
2
n i a v t o w a r z y s z y w z r o s t r e a k c j i w z Ba [r o d k o w e g o ( k r z y w a B - C - D : d P "v = " " v 2 > 0 ) .
R y s . 1 7 . 1 3
A n d r z e j G a w c k i - M e c h a n i k a m a t e r i a Bó w i k o n s t r u k c j i p r t o w y c h 2 0 0 3 r . A l m a M a t e r
C z [ 4 1 7 . N I E L I N I O W E Z A C H O W A N I E S I K O N S T R U K C J I Z M A T E R I A AU L - S 1 8
Z j a w i s k o p r z e s k o k u m a b a r d z o d u |e z n a c z e n i e w p r a k t y c e i n |y n i e r s k i e j . N a j c z [c i e j p r o b l e m t e n
p o j a w i a s i w k o n s t r u k c j a c h p o w Bo k o w y c h . P r z y k Ba d k r a t o w n i c y M i s e s a d o w o d z i , |e o p i s n i e k t ó r y c h
z j a w i s k w y s t p u j c y c h w m e c h a n i c e w y m a g a o d e j [c i a o d z a s a d y z e s z t y w n i e n i a .
1 7 . 3 . C I G N O O B C I {O N E S I A S K U P I O N
C i g n o j e s t p r t e m m a j c y m j e d y n i e s z t y w n o [ r o z c i g a n i a . C e c h y c i g n a w y k a z u j n p . c i e n k i e d r u t y
i l i n y . Z a l e |n o [ m i d z y s i B n o r m a l n a o d k s z t a Bc e n i e m o s i c i g n a c h a r a k t e r y z u j e r y s . 1 7 . 1 4 . D l a u j e m -
n y c h o d k s z t a Bc e D l i n i o w y c h ( t z n . s k r ó c e D) s i Ba n o r m a l n a j e s t r ó w n a z e r u * ) . P o d c z a s r o z c i g a n i a c i g n o
m o |e z a c h o w y w a s i n i e l i n i o w o ( r y s . 1 7 . 1 4 a ) l u b l i n i o w o ( r y s . 1 7 . 1 4 b ) . W o b u p r z y p a d k a c h m a m y
j e d n a k d o c z y n i e n i a z f i z y c z n n i e l i n i o w o [c i , g d y | f u n k c j o d c i n k o w o l i n i o w z r y s . 1 7 . 1 4 b t e | z a l i -
c z a m y d o z a l e |n o [c i n i e l i n i o w y c h . W y k r e s y p o d a n e n a r y s . 1 7 . 1 4 n a w i z u j d o o d k s z t a Bc e n i a z d e f i n i o -
w a n e g o j a k o s t o s u n e k w y d Bu |e n i a c i g n a d o j e g o p i e r w o t n e j d Bu g o [c i L 0 , » = "L / L 0 . S p o s ó b d e f i n i o -
w a n i a o d k s z t a Bc e n i a j e s t i s t o t n y , j e |e l i w y d Bu |e n i a c i g n a s b a r d z o d u |e .
R y s . 1 7 . 1 4
W d a l s z y m c i g u r o z w a |a n i a o g r a n i c z y m y d o c i g i e n o l i n i o w e j c h a r a k t e r y s t y c e p o d c z a s r o z c i g a n i a .
Z w i z e k f i z y c z n y , s t o s o w n i e d o r y s . 1 7 . 1 4 b , m o |n a z a p i s a n a s t p u j c o :
k », » e" 0 ,
ñø
N = ( 1 7 . 2 )
òø0 , » < 0 ,
óø
g d z i e k o z n a c z a s z t y w n o [ r o z c i g a n i a c i g n a .
M a t e r i a Bo w i c i g n a p r z y p i s u j e s i z a z w y c z a j c e c h y s p r |y s t o [c i l i n i o w e j , c o p o z w a l a p r z y j , |e k =
E A = c o n s t . D l a b a r d z o d u |y c h o d k s z t a Bc e D c i g n a o z n a c z a Bo b y t o , |e m o d u B s p r |y s t o [c i m u s i w z r a s t a ,
b o p r z e k r ó j c i g n a u l e g a z m n i e j s z e n i u . W z a d a n i a c h p r a k t y c z n y c h w a r t o [c i o d k s z t a Bc e D s n a t y l e m a Be ,
|e z a Bo |e n i e s t a Be j s z t y w n o [c i c i g n a j e s t u s p r a w i e d l i w i o n e .
P r z y j c i u o b c i |e D p r z e z u k Ba d c i g n o w y t o w a r z y s z n a o g ó B d u |e p r z e m i e s z c z e n i a . Z t e g o p o w o d u
p r o b l e m y m e c h a n i k i c i g i e n s z n a t u r y r z e c z y r ó w n i e | g e o m e t r y c z n i e n i e l i n i o w e .
Z a s a d n i c z y m m a n k a m e n t e m k o n s t r u k c j i c i g n o w y c h j e s t i c h m a Ba s z t y w n o [. D l a t e g o p r z e d p r z y Bo -
|e n i e m o b c i |e n i a z e w n t r z n e g o p o s z c z e g ó l n e c i g n a s p o d d a w a n e w s t p n e m u n a c i g o w i . W p By w n a -
c i g u n a s z t y w n o [ u k Ba d u c i g n o w e g o o b j a [n i m y n a p r z y k Ba d z i e . R o z w a |y m y n i e w a |k i e c i g n o o d Bu -
g o [c i s w o b o d n e j 2 L 0 . Z a m o c u j e m y j e n a n i e p r z e s u w n y c h p o d p o r a c h A i B , u s y t u o w a n y c h w o d l e g Bo -
[c i a c h 2 L > 2 L 0 ( r y s . 1 7 . 1 5 a ) .
* )
C i g n o j e s t u k Ba d e m z w i z a m i j e d n o s t r o n n y m i .
A n d r z e j G a w c k i - M e c h a n i k a m a t e r i a Bó w i k o n s t r u k c j i p r t o w y c h 2 0 0 3 r . A l m a M a t e r
C z [ 4 1 7 . N I E L I N I O W E Z A C H O W A N I E S I K O N S T R U K C J I Z M A T E R I A AU L - S 1 9
R y s . 1 7 . 1 5
Z a m o c o w a n i e w y m a g a w s t p n e g o w y d Bu |e n i a o w a r t o [ "L 0 = 2 L - 2 L 0 , c o o d p o w i a d a o d k s z t a Bc e n i u
0
w s t p n e m u »0 = ( L / L 0 ) - 1 i w s t p n e m u n a c i g o w i N = k Å" »0 ( r y s . 1 7 . 1 5 b ) . P o z a m o c o w a n i u c i g n a
n a p o d p o r a c h p r z y Bo |y m y z e w n t r z n s i B s k u p i o n P w p o Bo w i e r o z p i t o [c i . W m i a r w z r o s t u o b c i |e -
n i a c i g n o w y d Bu |a s i , a g d y s i Ba P o s i g n i e s w w a r t o [ k o Dc o w , u k Ba d p r z y j m i e k o n f i g u r a c j a k t u a l n
p r z e d s t a w i o n n a r y s . 1 7 . 1 5 c . Z a d a n i e m n a s z y m j e s t u s t a l e n i e z a l e |n o [c i P ( ") , p r z y c z y m " j e s t p i o n o -
w y m p r z e m i e s z c z e n i e m p u n k t u p r z y Bo |e n i a s i By . D o d y s p o z y c j i m a m y :
- r ó w n a n i e r ó w n o w a g i
"
( a ) P = 2 N s i n ± = 0 , s i n ± = ,
L + "L
- r ó w n a n i e g e o m e t r y c z n e
( b ) ( L + "L ) 2 = "2 + L 2
- r ó w n a n i e f i z y c z n e
"L
( c ) N = k Å"( »0 + ») , » = .
L 0
Z r ó w n a n i a ( b ) o t r z y m u j e m y z w i z e k :
îø 2 ùø ëø 2 öø
""
ëø öø ëø öø
ïø
"L = L Å" 1 + - 1 úø = L 0 Å"( 1 + »0 ) Å"ìø 1 + - 1 ÷ø,
ìø ÷ø ìø ÷ø
ìø
íø íø
ïø L øø úø L øø ÷ø
íø øø
ðø ûø
z k t ó r e g o , p o w y k o r z y s t a n i u r ó w n a D ( a ) i ( c ) , w y n i k a j z a l e |n o [c i :
A n d r z e j G a w c k i - M e c h a n i k a m a t e r i a Bó w i k o n s t r u k c j i p r t o w y c h 2 0 0 3 r . A l m a M a t e r
C z [ 4 1 7 . N I E L I N I O W E Z A C H O W A N I E S I K O N S T R U K C J I Z M A T E R I A AU L - S 2 0
"
îø 2 ùø
( )
"
L
ïø( 1 + ëø öø
( d ) P = 2 N Å" , N = k Å" »0 ) Å" 1 + - 1 úø
ìø ÷ø
íø øø
2 ïø L úø
"
1 + ðø ûø
( )
L
o r a z p o s z u k i w a n y f u n k c j P ( ") :
2
"
( 1 + »0 ) Å" 1 + - 1
( )
"
L
( e ) P ( ") = 2 k Å"ëø öø Å" .
ìø ÷ø
íø 2
L øø
"
1 +
( )
L
W z o r y ( d ) i ( e ) m o |n a z a p i s a w p o s t a c i b e z w y m i a r o w e j :
ñøn = ( 1 + »0 ) Å" 1 + ´ 2
- 1
ôø
ôø
îø 2
( f )
òø ( 1 + »0 ) Å" 1 + ´ - 1 ùø
ïø úø
ðø ûø
ôø
p = 2 ´ Å" ,
ôø
2
1 + ´
óø
g d z i e n = N / k , p = P / k , ´ = " / L .
2
J e |e l i w a r t o [ ´ j e s t m a Ba w p o r ó w n a n i u z j e d n o [c i , t o p o p r z e s t a j c t y l k o n a d w ó c h w y r a z a c h r o z -
w i n i c i a w s z e r e g p o t g o w y , o t r z y m u j e m y w p r z y b l i |e n i u :
1 1 1
2 2 2
1 + ´ H" 1 + ´ , H" 1 - ´ .
2
2 2
1 + ´
W ó w c z a s w z o r y ( f ) u p r a s z c z a j s i d o p o s t a c i :
1 1
ñøn H" » + ´ Å" ( 1 + » ) H" » + ´ ,
0 2 0 0 2
ôø
2 2
ôø
( g )
òø
1 1
0 0
ôøp H" 2 ´ ( »´ 2 ) ëø1 - 1 ´ 2 öø H" 2 ´ ëø»´ 2 öø.
+ +
ìø ÷ø ìø ÷ø
ôø íø øø íø øø
2 2 2
óø
M i a r s z t y w n o [c i k o n s t r u k c j i j e s t p o c h o d n a d p / d ´ .
d p
2
( h ) = 2 »0 + 3 ´ .
d ´
W i d z i m y z a t e m , |e w s t p n y n a c i g , m i e r z o n y w a r t o [c i o d k s z t a Bc e n i a »0 , w i s t o t n y s p o s ó b p o w i k s z a
p o c z t k o w s z t y w n o [ u k Ba d u c i g n o w e g o . D l a o b l i c z e D n u m e r y c z n y c h b a r d z o k o r z y s t n e j e s t r ó w n i e | t o ,
|e s z t y w n o [ t a j e s t r ó |n a o d z e r a n a p o c z t k u p r o c e s u o b c i |e n i a , g d y p = 0 . Z a l e |n o [ m i d z y b e z -
w y m i a r o w y m i w a r t o [c i a m i s i By n o r m a l n e j n i o b c i |e n i a p a u g i c i e m ´ i l u s t r u j e r y s . 1 7 . 1 6 . W c e l u p o -
A n d r z e j G a w c k i - M e c h a n i k a m a t e r i a Bó w i k o n s t r u k c j i p r t o w y c h 2 0 0 3 r . A l m a M a t e r
C z [ 4 1 7 . N I E L I N I O W E Z A C H O W A N I E S I K O N S T R U K C J I Z M A T E R I A AU L - S 2 1
r ó w n a n i a z a Bc z o n o w y k r e s y d l a »0 = 0 0 0 1 i d l a »0 = 0 . Z r y s u n k u 1 7 . 1 6 w i d a w y r a zn i e , |e w u k Ba -
,
d a c h c i g n o w y c h n i e o b o w i z u j e z a s a d a s u p e r p o z y c j i , g d y | w y k r e s y n ( ´ ) i p ( ´ ) s n i e l i n i o w e .
R y s . 1 7 . 1 6
W o b l i c z e n i a c h k o n s t r u k c j i c i g n o w y c h , w y k a z u j c y c h u m i a r k o w a n e o d k s z t a Bc e n i a w s t p n e
( »0 < < 1 ) , s t o s u j e s i u p r o s z c z e n i e p o l e g a j c e n a t y m , |e o d k s z t a Bc e n i a w z g l d n e o d n o s i s i n a o g ó B n i e
d o d Bu g o [c i s w o b o d n e j L 0 , l e c z d o a k t u a l n e j d Bu g o [c i c i g n a w y d Bu |o n e g o . O z n a c z a t o , |e s t o s u j e m y
p r z y b l i |e n i e :
"L "L
H" . ( 1 7 . 3 )
L 0 L 0 ( 1 + »0 )
Z i l u s t r u j e m y t e r a z w p By w n i e l i n i o w o [c i f i z y c z n e j u k Ba d u c i g n o w e g o n a z a c h o w a n i e s i u k Ba d u w
p r o c e s i e o d c i |e n i a c i g n a . R o z w a |y m y u k Ba d z Bo |o n y z t r z e c h w s t p n i e n a p i t y c h c i g i e n ( r y s . 1 7 . 1 7 a ) .
M i d z y s i Ba m i w s t p n e g o n a c i g u w y s t p u j e z a l e |n o [ w y n i k a j c a z r ó w n a n i a r ó w n o w a g i w z Ba C :
0 0 0
2 N 1 s i n ± = N 2 .
J e |e l i p r z y j m i e m y , |e s z t y w n o [c i c i g i e n A C i C B s r ó w n e i w y n o s z k 1 , a s z t y w n o [ c i g n a C D w y n o s i
k 2 , t o p o d a n y w y |e j w a r u n e k r ó w n o w a g i p r o w a d z i d o z a l e |n o [c i :
k 1 0
( i ) »0 = 2 »1 Å" f ,
2
k 2
0
g d z i e »1 o r a z »0 o z n a c z a j o d p o w i e d n i o w s t p n e w y d Bu |e n i e w z g l d n e c i g i e n A C i C B o r a z C D , z a [
2
f = F / L 1 .
A n d r z e j G a w c k i - M e c h a n i k a m a t e r i a Bó w i k o n s t r u k c j i p r t o w y c h 2 0 0 3 r . A l m a M a t e r
C z [ 4 1 7 . N I E L I N I O W E Z A C H O W A N I E S I K O N S T R U K C J I Z M A T E R I A AU L - S 2 2
R y s . 1 7 . 1 7
J a k w i d a , w s t p n e w y d Bu |e n i a c i g i e n n i e m o g b y z u p e Bn i e d o w o l n e , c o s p r a w i a , |e u s t a l e n i e k o n -
f i g u r a c j i w s t p n e j w b a r d z i e j r o z b u d o w a n y c h u k Ba d a c h s t a n o w i p r o b l e m s a m d l a s i e b i e . U w a g a t a n a b i e r a
o s t r o [c i , j e [l i s i z w a |y |e w p r a k t y c e w y m a g a m y d o d a t k o w o s p e Bn i e n i a w a r u n k u n a p r |e n i o w e g o
( Ã d" Ãd o p ) .
R o z w a |a n y u k Ba d o b c i |y m y p i o n o w s i B s k u p i o n ( r y s . 1 7 . 1 7 b ) . Z s y m e t r i i o b c i |e n i a w n i o s k u j e -
m y , |e p u n k t C u l e g n i e t y l k o p r z e m i e s z c z e n i u p i o n o w e m u ". K o n f i g u r a c j a k t u a l n m o |n a w y z n a c z y
t a k s a m o j a k w z a d a n i u p o p r z e d n i m . T y m r a z e m z a s t o s u j e m y t w i e r d z e n i e o m i n i m u m e n e r g i i p o t e n c j a l -
n e j . J e [l i p r z y j m i e m y p r z y b l i |e n i e ( 1 7 . 3 ) , t o w a r t o [ c a Bk o w i t a e n e r g i a p o t e n c j a l n a u k Ba d u
1 1
0 0 0 2
( j ) ( ") = + 2 N 1 »1 L 1 + N 2 »2 L 2 + 2 Å" k 1 L 1 »1 + k 2 L 2 »2 - P Å" "
2
2 2
A n d r z e j G a w c k i - M e c h a n i k a m a t e r i a Bó w i k o n s t r u k c j i p r t o w y c h 2 0 0 3 r . A l m a M a t e r
C z [ 4 1 7 . N I E L I N I O W E Z A C H O W A N I E S I K O N S T R U K C J I Z M A T E R I A AU L - S 2 3
0
g d z i e o z n a c z a e n e r g i p o t e n c j a l n w s t p n e g o n a c i g u , a »1 o r a z »2 - w y d Bu |e n i a c i g i e n A C i C B
0
o r a z C D . P o c h o d z e n i e s k Ba d n i k ó w N i 0 »i L i + k i L i »i / 2 w y n i k a
R y s . 1 7 . 1 8
w p r o s t z r y s . 1 7 . 1 8 . S k Ba d n i k i t e w y r a |a j z m i a n e n e r g i i z m a g a z y n o w a n e j w c i g n a c h w c z a s i e p r z e j [c i a
z k o n f i g u r a c j i p i e r w o t n e j d o k o n f i g u r a c j i a k t u a l n e j . Z m i a n a t a j e s t r ó w n a p o l u z a k r e s k o w a n e g o t r a p e z u
( z b u d o w a n e g o z t r ó j k t a i p r o s t o k t a ) n a w y k r e s i e N i ( "L i ) .
W a r u n k i e m e k s t r e m u m e n e r g i i j a k o f u n k c j i p r z e m i e s z c z e n i a j e s t z n i k a n i e p i e r w s z e j p o c h o d n e j , t z n .
2
" "" = 0 :
" »1 0 " »2 " »1 " »2
0
( k ) 2 N 1 L 1 + N 2 L 2 + 2 k 1 L 1 »1 Å" + k 2 L 2 »2 Å" - P = 0 .
" " " " " "" "
R ó w n a n i e ( k ) m a s e n s r ó w n a n i a r ó w n o w a g i ( s u m y r z u t ó w s i B n a k i e r u n e k p r z e m i e s z c z e n i a ") i j e s t p o -
s z u k i w a n z a l e |n o [c i P ( ") . J e [l i u w z g l d n i m y , |e s i By w s t p n e g o n a c i g u N i 0 = k i »0 , t o r ó w n a n i e ( k )
i
m o |n a p r z e d s t a w i n a s t p u j c o :
" »1 " »2
0
( l ) P = 2 L 1 k 1 ( »1 + »1 ) Å" + L 2 k 2 ( »0 + »2 ) Å" .
2
" " " "
Z r y s u n k u 1 7 . 1 7 b w y n i k a j z a l e |n o [c i g e o m e t r y c z n e :
"
2
L 1 ( 1 + »1 ) 2 = B 2 + ( F + ") 2 ; »2 = - ,
L 2
2
s k d p o u w z g l d n i e n i u , |e L 1 = B 2 + F 2 , d o s t a j e m y :
1
ñø»´ + ´ - 1 H" f ´ + ´ ,
2 2
= 1 + 2 f
1
ôø
ôø 2
( m )
òø
L 1
ôø
»2 = - ´ Å" ,
ôø L 2
óø
g d z i e ´ = " / L 1 , f = F / L 1 . P o p o d s t a w i e n i u t y c h z a l e |n o [c i d o r ó w n a n i a ( l ) o t r z y m u j e m y o s t a t e c z n i e :
ñø
ëø öø
1 k 2 0 L 0 0 L 1
0 2
»
÷ø
ôø2 ( » + f ´ + ´ ) ( f + ´ ) - ìø - ´ , » - ´ > 0
1
2 k 1 2 L 2 2 L 2
ôø íø øø
( n ) P ( ´ ) =
òø
0 2
ôø2 ( » + f ´ + 1 ´ ) ( f + ´ ) , »0 - ´ L 1 d" 0 ,
1 2
ôø
2 L 2
óø
g d z i e p = P / k 1 .
A n d r z e j G a w c k i - M e c h a n i k a m a t e r i a Bó w i k o n s t r u k c j i p r t o w y c h 2 0 0 3 r . A l m a M a t e r
C z [ 4 1 7 . N I E L I N I O W E Z A C H O W A N I E S I K O N S T R U K C J I Z M A T E R I A AU L - S 2 4
F u n k c j a P ( ´ ) j e s t o p i s a n a d w o m a w z o r a m i . P i e r w s z y d o t y c z y p r z y p a d k u , g d y c i g n o C D j e s t j e s z c z e
n a p i t e , t z n . g d y »0 + »2 e" 0 . D r u g i o d p o w i a d a s y t u a c j i , g d y c i g n o n a p i n a j c e C D j e s t j u | l u zn e . W y -
2
Bc z e n i e s i c i g n a C D p o w o d u j e b a r d z o w y r a zn e z m n i e j s z e n i e s z t y w n o [c i u k Ba d u . Z j a w i s k o t o i l u s t r u j e
r y s . 1 7 . 1 9 , n a k t ó r y m z a m i e s z c z o n o w y k r e s p ( ´ ) o p i s a n y z a l e |n o [c i ( n ) . N a u w a g z a s Bu g u j e f a k t , |e
p r z e m i e s z c z e n i a b a d a n e j k o n s t r u k c j i c i g n o w e j s t a k m a Be , i | w p By w z m i a n g e o m e t r i i j e s t p r a w i e n i e -
z a u w a |a l n y .
R y s . 1 7 . 1 9
O m ó w i o n e w y |e j z a d a n i a p o d w z g l d e m r a c h u n k o w y m s e l e m e n t a r n e . O b l i c z e n i a k o m p l i k u j s i ,
g d y w z By u k Ba d u m a j w i k s z l i c z b s t o p n i s w o b o d y . W y s t a r c z a n a p r z y k Ba d , b y o b c i |e n i e w z Ba C
b y Bo n i e s y m e t r y c z n e . P o j a w i a j s i w ó w c z a s n i e w i a d o m e p r z e m i e s z c z e n i a "1 i "2 , k t ó r e t r z e b a o b l i c z y
z u k Ba d u r ó w n a D n i e l i n i o w y c h . P r z y p a d e k t a k i p r z e d s t a w i o n o n a r y s . 1 7 . 1 7 c . W y r a |e n i e n a e n e r g i p o -
t e n c j a l n u k Ba d u p r z y b i e r a w t e d y p o s t a :
0 0 0 0
( "1 , "2 ) = + N 1 »1 L 1 + N 2 »2 L 2 + N 3 »3 L 3 +
1 1 1
2
+ k 1 »1 L 1 + k 2 »2 L 2 + k 1 »2 L 1 - P 1 "1 - P 2 "2 .
2 3
2 2 2
Z w a r u n k ó w e k s t r e m u m f u n k c j i ( "1 , "2 ) o t r z y m u j e m y
" " »1 " »2 " »3
ñø
0 0
2 1
ôø"" = 0 ; k 1 L 1 ( »1 + »1 ) " "1 + k 2 L 2 ( »0 + »2 ) " "1 + k 1 L 1 ( »1 + »3 ) " "1 - P = 0 ,
ôø
1
( c )
òø
0 0
ôø" = 0 ; k 1 L 1 ( »1 + »1 ) " »1 + k 2 L 2 ( »0 + »2 ) " »2 + k 1 L 1 ( »1 + »3 ) " »3 - P 2 = 0 .
2
ôø " "2 " "2 " "2
2
óø""
Z w i z k i g e o m e t r y c z n e w y n i k a j z r y s . 1 7 . 1 7 c :
A n d r z e j G a w c k i - M e c h a n i k a m a t e r i a Bó w i k o n s t r u k c j i p r t o w y c h 2 0 0 3 r . A l m a M a t e r
C z [ 4 1 7 . N I E L I N I O W E Z A C H O W A N I E S I K O N S T R U K C J I Z M A T E R I A AU L - S 2 5
( L 1 + "L 1 ) 2 = ( B + "1 ) 2 + ( F + "2 ) 2 ,
2
( L 2 + "L 2 ) 2 = "1 + ( L 2 - "2 ) 2 ,
( L 1 + "L 3 ) 2 = ( B - "1 ) 2 + ( F + "2 ) 2 ,
s k d
1
ñø» ( ´1 , ´2 ) = 1 + 2 b ´1 + 2 f ´2 + ´1 + ´2 - 1 = b ´1 + f ´2 + ´1 + ´2 ,
2 2 2 2
1
( )
ôø
2
ôø
2 2
ôø
"1 "2 1
ôø» ( ´1 , ´2 ) = ëø öø + ëø öø - 1 H" - ·´2 + ·2 ´1 + ´2 ,
2 2
( p )
ìø ÷ø ìø1 - ÷ø
òø 2
( )
L 2 L 2
íø øø íø øø 2
ôø
ôø
1
2 2 2 2
» ( ´1 , ´2 ) = 1 - 2 b ´1 + 2 f ´2 + ´1 + ´2 - 1 H" - b ´1 + f ´2 + ´1 + ´2 ,
ôø
( )
3
2
ôø
óø
g d z i e · = L 1 L 2 , b = B / L 1 , f = F / L 1 , ´1 = "1 L 1 , ´2 = "2 L 1 .
P o u w z g l d n i e n i u z a l e |n o [c i ( p ) w r ó w n a n i a c h ( o ) u z y s k u j e m y p o s z u k i w a n y u k Ba d d w ó c h n i e l i n i o -
w y c h r ó w n a D a l g e b r a i c z n y c h z e w z g l d u n a b e z w y m i a r o w e p r z e m i e s z c z e n i a ´1 i ´2 :
ñø
ñø üø
k 2 0 1
0 2 2 2 2
+ 2 b 2 + 2 f - ·´2
ôø´ òø2 »´ + ´1 + ´2 + ·îø»+ ·2 ( ´1 + ´2 ) ùøýø - p 1 = 0 ,
1 1 2
úø
k 2 ïø 2 2
ðø ûøþø
óø
ôø
ôø( f + ´2 ) ( 2 »+ 2 f ´2 + ´1 + ´2 ) +
0 2 2
( r )
òø 1
ôø
k 2 1
îø»·´
0 2 2
ôø + Å"( - 1 + ·´2 ) Å" - + ·( ´1 + ´2 ) ùø - p 2 = 0 .
2 2
ïø úø
k 1 2
ôø ðø ûø
óø
B u d o w a t e g o u k Ba d u z n i e c h c a d o p o s z u k i w a n i a r o z w i z a n i a [c i s Be g o . W p r a k t y c e l i c z b a s t o p n i s w o b o d y
j e s t n a o g ó B d u |a i d l a t e g o s t o s u j e s i m e t o d y p r z y b l i |o n e u k i e r u n k o w a n e n a w y k o r z y s t a n i e k o m p u t e r a .
N a j c z [c i e j s t o s u j e s i w ó w c z a s m e t o d N e w t o n a - R a p h s o n a , o p i s a n w d o d a t k u . R c z n e r o z w i z a n i e
u k Ba d u t m e t o d p o z o s t a w i m y n a j b a r d z i e j w y t r w a By m C z y t e l n i k o m . W t r a k c i e o b l i c z e D n a l e |y z w r ó c i
u w a g , |e w y Bc z e n i e d a n e g o c i g n a w y s t p u j e w m o m e n c i e , g d y c a Bk o w i t e w y d Bu |e n i e c i g n a j e s t r ó w -
n e z e r u . P o w o d u j e t o o d p o w i e d n i m o d y f i k a c j u k Ba d u r ó w n a D ( r ) .
A n d r z e j G a w c k i - M e c h a n i k a m a t e r i a Bó w i k o n s t r u k c j i p r t o w y c h 2 0 0 3 r . A l m a M a t e r
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