Granice funkcji wielu zmiennych


METODY OBLICZANIA GRANIC FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH
I. Obliczanie granic przy wykorzystaniu definicji Heinego granicy funkcji.
Definicja (Heinego)
Niech
(X,d)  przestrzeń metryczna
Y  przestrzeń topologiczna
 element przestrzeni topologicznej
f : X Y, g Y
P0 ' Df ( jest punktem skupienia dziedziny funkcji f )
P0
P0
Granicą funkcji f w punkcie jest element g, lim f (P) = g , wtedy i tylko wtedy, gdy
PP0
spełniony jest warunek
n
"(P )nN Df , Pn ą P0 : (lim Pn = P0 lim f (Pn ) = g)
nĄ nĄ
Interpretacja geometryczna
f : R2 R
Po ' Df
(Pn) P0 Pn ą P0
- dowolny ciąg, którego wyrazy dążą do i
nN
( f (Pn))
- ciąg wartości funkcji f obliczonych w punktach P1, P2, ...
nN
z
z
g
( f (P'n ))
nN
( f (Pn))
nN
z = f (x, y)
(Pn)
nN
y
y
(P'n )
nN
P0 Df
x
x
Zamiast rozważać ciągi punktów, rozważmy pewne krzywe (drogi) do których mogą należeć
te punkty.
Uwaga
1) Jeśli dla każdej drogi (krzywej) istnieje granica i jest zawsze ta
sama, to funkcja posiada granicę podwójną.
2) Jeśli dla dwóch różnych dróg otrzymamy różne granice, to funkcja
nie posiada granicy podwójnej.
1
Przykład
x
lim
Obliczyć granicę
( x, y)(0,0)
x + y
y ą -x
Założenie:
Rozważmy dwie drogi. y
2)
1)
x
! (wyrzucamy prostą y = - x)
1)
y = const

y = 0, x 0 i x ą 0
, tzn. wybieramy drogę 1)
(x, y) (0,0)ż

wtedy
x
lim = lim1 = 1
x0 x0
x
2)
x = const

x = 0, y 0 i y ą 0
, tzn. wybieramy drogę 2)
(x, y) (0,0)ż

wtedy
yą0
0
lim = lim0 = 0
y0 y0
y
x
lim
Wniosek: dla dwóch różnych dróg granice są różne ~ $( x, y)(0,0) .
x + y
Uwaga
Nie ma odpowiednika reguły de L'Hospitala dla funkcji wielu zmiennych.
2
II. Obliczanie granicy podwójnej z wykorzystaniem współrzędnych biegunowych
lim,0
Do obliczenia granicy (x,y)( 0 ) f (x, y) stosujemy współrzędne biegunowe
x = r cosj

r ł 0, j [0,2p )
, gdzie .

y = r sinj

P0(0,0)
Niech .
(x, y) (0,0)
Zauważmy, że jeśli , to
r 0
i j jest dowolne, ale może być
j = j(r)
zależne od r, .
.
P0(0,0)
Df
Wtedy badamy granicę (x(r,j), y(r,j))= lim f (r cosj, r sinj) i jeśli istnieje, to jest
lim f
r0 r0
j -dow. j -dow.
ona równa granicy wyjściowej.
Badanie granicy funkcji f (x, y) w punkcie P(x0, y0) ą P0(0,0) można sprowadzić do badania
f (x0 + t, y0 + s)
granicy innej funkcji, tzn. funkcji , w punkcie P (0,0) dla (t, s) (0,0) ,
0
stosując podstawienie
x - x0 = t

y - y0 = s

Wtedy
(x, y) (x0, y0) (t, s) (0,0)
i
lim f (x, y) = lim f (x0 + t, y0 + s)
(x, y)( x0 , y0 ) (t,s)(0,0)
t = r cosj

s = r sinj
Następnie stosując współrzędne biegunowe ,

x - x0 = r cosj

y - y0 = r sinj
lub podstawienie równoważne , badanie granicy
lim f (x, y)
(x, y)( x0 , y0 )

lim f (x0 + r cosj, y0 + r sinj)
sprowadzamy do zbadania granicy .
r0
j -dow.
3
Przykłady
0

1. Obliczyć granicę
}
x2 y
lim
(x, y)(0,0)
x2 + y2
123
Ż
0
x = r cosj

Wykorzystujemy podstawienie , wtedy obliczenie powyższej granicy

y = r sinj

sprowadza się do obliczenia granicy
0

}
r3 cos2 j sinj
lim = lim rcos22sin3 = 0
j
14j 4
r0 r0
r2
j -dow. j -dow.
ograniczone
x2 y
Zatem lim = 0 .
( x, y)(0,0)
x2 + y2
x2 y
2. Obliczyć granicę lim .
(x, y)(0,0)
x4 + y2
x = r cosj

Wykorzystując podstawienie wystarczy zbadać granicę

y = r sinj


0
0 dla sinj = const ą 0

}

r3 cos2 j sinj cos2 j sinj
0
lim = lim r = dla sinj = 0

r0 r0
r4 cos4 j + r2 sin2 j rŻ2 cos2 j + sin2 j

j -dow. j -dow.
Ż
? dla sinj 0 0ł
0
ogr
ę0ś
1442443


0
0
sinj = 0 lim r = lim r 0 = 0
Jeśli , to powyższa granica przyjmuje postać .
r0 r0
r2 + 0
j -dow. j -dow.
y
sinĆ = const (do punktu (0,0) dążymy po prostych)
x
4
sinj 0
Natomiast jeśli , to wybieramy drogę po krzywej y = x2 .
Wtedy
x4 1 1
lim = lim = ą 0
x0
x4 + x4 x0 2 2
Zatem
~ lim f (x, y)
$
(nie istnieje granica podwójna).
( x, y)(0,0)
x3y
3. Obliczyć granicę lim .
( x,y)(0,0)
x4 + y2
x = r cosj

Przechodzimy do wpółrzędnych biegunowych

y = r sinj

0 dla sinj = const ą 0

cos3 j sinj
0
lim r2 = dla sinj = 0

r0
r4 cos4 j + sin2 j
j -dow. ? dla sinj 0

Wybieramy drogę y = x2 . Wtedy
x5 1
lim = lim x = 0 - granica podwójna może istnieć (nie udowodniliśmy, że nie istnieje).
x0 x0
2x4 2
Wybieramy inną drogę, y = x4 . Wtedy
x7 x3
lim = lim = 0 - nadal nie rozstrzygnęliśmy istnienia granicy podwójnej.
x0
x4 + x8 x0 1+ x4
Skorzystamy z definicji Cauchy'ego granicy funkcji.
Definicja (Cauchy'ego)
Niech
(X , d), (Y, r) - przestrzenie metryczne
f : X Y
P0 ' Df ( jest punktem skupienia dziedziny).
P0
Wtedy
lim f (P)= g : "e > 0 $d > 0 "P Df : 0 < d(P, P0)< d r( f (P), g)< e
PP0
(tzn. P jest z sąsiedztwa
P0
punktu )
5
x3 y
Zapiszmy definicję Cauchy'ego granicy funkcji f (x, y) = w punkcie (0,0).
x4 + y2
x3 y x3 y
lim0,0) = 0 "e > 0 $d > 0 "(x, y) : 0 < d((x, y),(0,0))< d - 0 < e
( x, y )(
x4 + y2 x4 + y2
Niech e > 0 . Wtedy
*)
x3 y x2 y 1
,
= x Ł x < e
x4 + y2 x4 + y2 2
x < 2e d = dE
gdzie ostatnia nierówność jest prawdziwa dla . Zatem, jeśli , to dla d := 2e
z nierówności wynika x = x2 < 2e , a stąd wynika
dE((x, y),(0,0))= x2 + y2 < 2e
x3 y
< e
nierówność .
x4 + y2
Uzasadnienie nierówności *):
?
ab 1
Ł
a2 + b2 2
? ?
1 ab 1
- Ł Ł
2 a2 + b2 2
? ?
2
- (a2 + b2 ) Ł 2ab Ł(a - b)
- (a + b)2 Ł 0 Ł (a - b)2
Zatem uzyskaliśmy nierówność, która jest prawdziwa dla dowolnych a i b.
x3 y
x3 y
lim = 0
Stąd 0 jest granicą funcji f (x, y) = w punkcie (0,0), .
( x, y)(0,0)
x4 + y2
x4 + y2
Można też skorzystać z twierdzenia o trzech funkcjach
x
x3 y x3y x3 y
0 Ł Ł lim = 0 lim = 0
Ż ( x, y)(0,0) ( x, y)(0,0)
x4 + y2 2 x4 + y2 x4 + y2
Ż
0
0
6
III.Obliczanie granic z wykorzystaniem metod iteracyjnych.
Granice iterowane
Definicja
Następujące granice:
limć lim f (x, y)

xx0 y y0
Ł ł
limć lim f (x, y) (x ą x0 Ł y ą y0)

xx0 y y0
Ł ł
nazywamy granicami iterowanymi (nie mylić z granicą podwójną).
Interpretacja geometryczna
y
x = x0
y0
y = y0
P(x0,y0)
x0
x
Uwaga
1. Istnienie granicy podwójnej funkcji f w punkcie P jest niezależne od istnienia granic
0
iterowanych w tym punkcie.
2. Granice iterowane nie muszą być sobie równe (jedna może istnieć a druga nie).
3. Jeśli istnieją granica podwójna i co najmniej jedna z granic iterowanych, to granica
podwójna jest równa tej granicy iterowanej.
Przykład
2x - y + 4x3 + 3y2 w punkcie P0(0,0) .
Rozważamy granicę funkcji
f (x, y)=
x + y
Df : y ą -x

ć
2x - y + 4x3 + 3y2 2x + 4x3

limlim = lim = lim(2 + 4x3)= 2

x0 y0 x0 x0
x + y x
Ł ł
~ lim f (x, y)
ż
$
( x, y)(0,0)
ć
2x - y + 4x3 + 3y2


limlim = lim(-1+ 3y)= -1


y0 x0 y0
x + y
Ł ł

Ponieważ granice iterowane są różne, to nie istnieje granica podwójna.
opracował Mateusz Targosz
7


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
granica i ciągłość funkcji wielu zmiennych
03 Rozdział 01 Granica i ciągłość funkcji wielu zmiennych
analiza matematyczna funkcje wielu zmiennych pwn
Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
11 3 Funkcje wielu zmiennych
12 Twierdzenie Taylora dla funkcji wielu zmiennych (3)
4 1 Funkcje wielu zmiennych

więcej podobnych podstron