"
Ax = vt · px · µx+tdt
t
0
"
k+1
= vt · px · µx+tdt
t
k
k=0
"
1
= vk+s · px · µx+k+sds
k+s
0
k=0
"
1
= vk+1 · px vs-1 · px+k · µx+k+sds.
k s
0
k=0
px+k · µx+k+s = qx+k 0 s 1
s
"
1
Ax = vk+1 · px · qx+k (1 + i)1-s · ds
k
0
k=0
i
= Ax.
´
T (x)
T (x) = K(x) + S(x),
S(x)
K(x) S(x)
S(x)
(0, 1)
Ax = E[vT (x)] = E[vK(x)+S(x)] = E[vK(x)+1(1 + i)1-S(x)]
= E[vK(x)+1] E[(1 + i)1-S(x)] = Ax · E[(1 + i)1-S(x)]
1
i
E[(1 + i)1-S(x)] = (1 + i)1-sds = .
0 ´
n
n
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚
[T (x) + 1] · vT (x), 0 T (x) n
Z =
ôÅ‚
ół
0, T (x) >n
[T (x) + 1] = K(x) + 1
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚
(K(x) + 1) · vK(x)+1 · vS(x)-1, 0 T (x) n
Z =
ôÅ‚
ół
0, T (x) >n
W
n
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚
(K(x) + 1) · vK(x)+1, 0 T (x) n
W =
ôÅ‚
ół
0, T (x) >n
Z = W · (1 + i)1-S(x)
E[Z] = E[W ] · E[(1 + i)1-S(x)].
i
E[Z] = (IA)1 · .
x:
n|
´
bT (x) = b" vT (x) = vT (x)
K(x)+1
Z = b" · vT (x) = b" · vK(x)+1vS(x)-1
K(x)+1 K(x)+1
= b" · vK(x)+1(1 + i)1-S(x).
K(x)+1
E[Z] = E[b" · vK(x)+1] · E[(1 + i)1-S(x)]
K(x)+1
i
= E[b" · vK(x)+1] · .
K(x)+1
´
30
35
10.000 30
i = 0, 06
1
2
566 A35:30| = 0, 0309294
vT (x) = vT (x)
1
i
A35:30| = · A15:30| + A35:31 .
3
0|
´
n-1
A1 = vk+1 · px · qx+k
k
x:
n|
k=0
" "
= vk+1 · px · qx+k - vk+1 · px · qx+k
k k
k=0 k=n
"
= Ax - vt+n+1 · px · qx+t+n
t+n
t=0
"
= Ax - vn vt+1 · px · px+n · q(x+n)+t
n t
t=0
"
= Ax - vn · px vt+1 · px+n · q(x+n)+t
n t
t=0
= Ax - vn · px · Ax+n
n
lx+n
= Ax - vn · · Ax+n.
lx
i l35+30 l65
A35:30| = · [A35 - v30 · · A35+30] + v30 · = 0, 208727.
´ l35 l35
Z
l65
2
Var[Z] = A35:30| - (A35:30|)2 = 0, 0309294 + (v2)30 · - (0, 208727)2 = 0, 011606.
l35
10.000
10.000 · 0, 208727 = 2.087, 27 10.0002 · 0, 011606 =
1.160.600
"
Ax = vk+1 · px · qx+k
k
k=0
"
= v · qx + vk+1 · px · qx+k
k
k=1
"
= v · qx + v · px vk · px+1 · qx+k
k-1
k=1
"
= v · qx + v · px vj+1 · px+1 · qx+1+j
j
j=0
= v · qx + v · px · Ax+1.
Ax = E[Z] = E[vK(x)+1 K(x) 0]
= E[vK(x)+1 K(x) = 0] · P (K(x) = 0) + E[vK(x)+1 K(x) 1] · P (K(x) 1)
= v · qx + v · E[v(K(x)-1)+1 (K(x) - 1) 0] · px.
K(x)
x K(x) - 1
x + 1
E[v(K(x)-1)+1 (K(x) - 1) 0] = Ax+1
Ax = v · qx + v · Ax+1 · px.
Ax+1 - Ax = i · Ax - qx · (1 - Ax+1).
Ax = v · qx + v · Ax+1 · px.
(1 + i)
(1 + i) · Ax = qx + Ax+1 · (1 - qx)
Ax+1 - Ax = i · Ax - qx · (1 - Ax+1).
d
Ax = -µx + Ax(´ + µx) = ´ · Ax - µx(1 - Ax).
dx
h > 0
Ax = E[vT (x)]
= E[vT (x)|0 T (x) h] · P (0 T (x) h)
+ E[vT (x)|T (x) > h] · P (T (x) > h).
g(t|0 T (x) h)
Å„Å‚
ôÅ‚ g(t) px·µx+t
t
òÅ‚
= , 0 t h
G(h) G(h)
g(t|0 T (x) h) =
ôÅ‚
ół
0,
h
px · µx+t
t
E[vT (x)|0 T (x) h] = vt · dt
0 qx
h
E[vT (x)|T (x) > h] = vh E[vT (x)-h|T (x) - h > 0] = vh · Ax+h.
h
px · µx+t
t
Ax = vt · dt · qx + vh · Ax+h · px.
h
0 qx h
h
h
Ax+h - Ax = - vt · px · µx+tdt + Ax+h(1 - vh · px).
t h
0
limh" Ax+h-Ax
h
h
- vt · px · µx+tdt
t
0
lim = | | = vh · px · µx+h = -µx
h
h"
h
1 - vh · px
h
lim = | |
h"
h
s(x + h) s (x + h)
= - ln(v) · vh · - vh ·
s(x) s(x)
= ´ + µx.
d
Ax = -µx + Ax(´ + µx) = ´ · Ax - µx(1 - Ax).
dx


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