CAAKI POWIERZCHNIOWE
Całka powierzchniowa pierwszego rodzaju (niezorientowana)
Definicja 1.
Gładkim płatem powierzchniowym (względem płaszczyzny OXY) nazy-
wamy wykres funkcji
Å»
z = f (x, y), (x, y) " D
Å» Å»
klasy C1(D), gdzie D oznacza obszar regularny o jednospójnym wnętrzu.
Analogicznie określamy gładki płat regularny względem płaszczyzny
OXZ i OYZ.
Definicja 2.
Powierzchnię stanowiącą zbiór spójny punktów, którą można podzie-
lić na skończoną liczbę gładkich płatów powierzchniowych, nazywamy
powierzchniÄ… regularnÄ….
Rozważmy gładki płat powierzchniowy S o równaniu z = f (x, y), gdzie
Å»
(x, y) " D, oraz funkcję F(x, y, z) określoną i ograniczoną na tym płacie.
Niech P będzie prostokątem domkniętym, określonym nierównościami
a x b, c y d
przy czym
a = inf x, b = sup x, c = inf y, d = sup y
D D
D D
ProstokÄ…t P dzielimy na n prostokÄ…tów P1, P2,..., Pn o polach "Ã1,
"Ã2,..., "Ãn. Niech ´n bÄ™dzie Å›rednicÄ… tego podziaÅ‚u, czyli najwiÄ™kszÄ…
z długości przekątnych prostokątów P1, P2,..., Pn.
W każdym z prostokątów Pk, k = 1, 2, ..., n wybieramy punkt A (xk, yk).
k
Jeżeli A " D, to punkt ten jest rzutem prostokątnym na płaszczyznę
k
OXY punktu Ak(xk, yk, zk) " S, zk = f (xk, yk), w którym określona jest
płaszczyzna styczna do powierzchni S.
Oznaczmy symbolem "Sk pole tej części płaszczyzny stycznej do S w
punkcie Ak, której rzutem na płaszczyznę OXY jest punkt Pk.
Rozważmy sumę
n
Sn = F(Ak)"Sk
k=1
przy czym
d f
F(Ak)"Sk = 0 jeśli (xk, yk) D
Definicja 3 (całki powierzchniowej niezorientowanej).
Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów prostokąta P ciąg sum
całkowych (Sn) jest zbieżny do tej samej granicy właściwej, niezależnej
od wyboru punktów A , to tę granicę nazywamy całką powierzchnio-
k
wą niezorientowaną funkcji F(x, y, z) po płacie gładkim S i oznaczamy
symbolem
F(x, y, z)dS
S
Mamy więc
n
de f
F(x, y, z)dS = lim F(Ak)"Sk
´n0
k=1
S
Twierdzenie 1 (o zamianie całki powierzchniowej niezorientowanej na
całkę podwójną).
Jeżeli funkcja F(x, y, z) jest ciągła na płacie powierzchniowym regular-
nym S o równaniu z = f (x, y) dla (x, y) " D, to całka powierzchniowa
niezorientowana F(x, y, z)dS istnieje i wyraża się wzorem
S
F(x, y, z)dS = F(x, y, f (x, y)) 1 + [ fx(x, y)]2 + [ fy(x, y)]2dxdy
S D
gdzie D jest obszarem płaskim regularnym będącym rzutem płata S na
płaszczyznę OXY.
Analogicznie jeśli
" S : x = g(y, z), dla (y, z) " D1, to
F(x, y, z)dS = F(g(y, z), y, z) 1 + [gy(y, z)]2 + [gz(y, z)]2dydz
S D1
" S : y = h(x, z), dla (x, z) " D2, to
F(x, y, z)dS = F(x, h(x, z), z) 1 + [h (x, z)]2 + [hz(x, z)]2dxdz
x
S D2
Definicja 4.
Powierzchnię S o równaniach parametrycznych
(1) x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), (u, v) " "
nazywamy płatem powierzchniowym regularnym jeśli spełnione są nastę-
pujÄ…ce warunki:
1. różnym punktom (u, v) obszaru jednospójnego " odpowiadają przy
przekształceniu (1) różne punkty (x, y, z) powierzchni S,
2. funkcje (1) są ciągłe w obszarze " i na jego brzegu,
3. pierwsze pochodne cząstkowe funkcji (1) są ciągłe i ograniczone w
tym obszarze,
4. nie wszystkie podwyznaczniki stopnia drugiego macierzy
îÅ‚ Å‚Å‚
"x "y "z
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
"u "u "u
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
(2)
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
"x "y "z
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
"v "v "v
znikają jednocześnie w całym obszarze ".
Twierdzenie 2.
Jeżeli funkcja F(x, y, z) jest ciągła na płacie powierzchniowym regu-
larnym S o równaniach (1), to całka powierzchniowa niezorientowana
F(x, y, z)dS istnieje i wyraża się wzorem
S
F(x, y, z)dS = F(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) A2 + B2 + C2 dudv
S "
gdzie
"y "z "z "x "x "y
"u "u "u "u "u "u
A = , B = , C =
"y "z "z "x "x "y
"v "v "v "v "v "v
są odpowiednimi podwyznacznikami macierzy (2). W skrócie
F(x, y, z)dS =
2 2 2
S
D(y, z) D(z, x) D(x, y)
= F(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) + + dudv
D(u, v) D(u, v) D(u, v)
"
Wniosek 1 (zastosowania geometryczne).
Pole płata powierzchniowego gładkiego S wyraża się wzorem
|S| = dS
S
Całka powierzchniowa drugiego rodzaju (zorientowana)
Rozważmy gładki płat powierzchniowy S o równaniu
Å»
z = f (x, y), (x, y) " D
Płatu temu można nadać orientację, rozróżniając dwie jego strony: ujem-
ną i dodatnią. Mówimy wówczas, że płat S został zorientowany od strony
nazwanej ujemną do strony nazwanej dodatnią. Zorientowanie płata S
powoduje ustalenie pewnego kierunku normalnej (od strony ujemnej do
strony dodatniej płata) w każdym jego punkcie.
Jeżeli S oznacza płat powierzchniowy, to symbol -S oznacza płat róż-
niÄ…cy siÄ™ od S tylko zorientowaniem (orientacjÄ…).
Mówimy, że płaty S i -S są przeciwnie zorientowane.
Uwaga 1.
Jeśli powierzchnia S jest zamknięta, to za powierzchnię dodatnią przyj-
muje się jej zewnętrzną stronę.
Uwaga 2.
Nie dla każdej powierzchni można ustalić orientację, tj. nie każda po-
wierzchnia jest powierzchniÄ… dwustronnÄ….
Definicja 5 (całki powierzchniowej zorientowanej).
Niech
P = P(x, y, z), Q = Q(x, y, z), R = R(x, y, z)
oznaczają trzy funkcje określone i ciągłe na płacie regularnym zorien-
towanym S postaci
z = f (x, y), dla (x, y) " D
zaÅ› cos Ä…, cos ² i cos Å‚ oznaczajÄ… kosimusy kierunkowe wektora normal-
nego do powierzchni S, zorientowanego od strony ujemnej do dodatniej.
Przy tych założeniach całkę postaci
(3) (P cos Ä… + Q cos ² + R cos Å‚)dS
S
nazywamy całką powierzchniową zorientowaną po płacie regularnym
zorientowanym S.
Uwzględniając, że między polem dS dowolnie małego elementu płata
powierzchniowego S i polami dxdy, dydz, dzdx rzutu tego elementu
odpowiednio na płaszczyzny OXY, OYZ i OZX zachodzą związki
dxdy = dS cos Å‚
dydz = dS cos Ä…
dzdx = dS cos ²
całkę (3) można zapisać w postaci
(4) Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
S
Przedstawienia (3) i (4) są równoważne.
Uwaga 3.
Jeżeli zamienimy stronę dodatnią płata na ujemną, to funkcje cos ą,
cos ² i cos Å‚ zmieniajÄ… znak. JeÅ›li oznaczymy przez -S pÅ‚at powierzch-
niowy zorientowany przeciwnie do S, to
(P cos Ä… + Q cos ² + R cos Å‚)dS = - (P cos Ä… + Q cos ² + R cos Å‚)dS
-S S
Twierdzenie 3.
Jeżeli płat powierzchniowy gładki S określony jest równaniami parame-
trycznymi
x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), (u, v) " "
wówczas całka powierzchniowa zorientowana
Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
S
sprowadza się do całki podwójnej po obszarze płaskim " zgodnie ze
wzorem
D(y, z)
Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = [P(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) +
D(u, v)
S "
D(z, x) D(x, y)
+Q(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) + R(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ]dudv
D(u, v) D(u, v)
Twierdzenie 4.
Jeżeli funkcja R(x, y, z) jest ciągła na płacie regularnym S o równaniu
postaci
z = f (x, y), (x, y) " D
zorientowanym dodatnio, to całka powierzchniowa zorientowana
R(x, y, z)dxdy
S
istnieje i daje się wyrazić za pomocą całki podwójnej wzorem
R(x, y, z)dxdy = R(x, y, f (x, y))dxdy
S D
gdzie D jest rzutem płata regularnego S na płaszczyznę OXY.
Jeżeli funkcja P(x, y, z) jest ciągła na płacie regularnym S o równaniu
postaci
x = g(y, z), (y, z) " D1
zorientowanym dodatnio, tzn. wektor normalny do S tworzy z dodatnim
kierunkiem osi OX kÄ…t ostry, to
P(x, y, z)dydz = P(g(y, z), y, z)dydz
S D1
gdzie D1 jest rzutem płata regularnego S na płaszczyznę OYZ.
Jeżeli funkcja Q(x, y, z) jest ciągła na płacie regularnym S o równaniu
postaci
y = h(x, z), (x, z) " D2
zorientowanym dodatnio, tzn. wektor normalny do S tworzy z dodatnim
kierunkiem osi OY kÄ…t ostry, to
Q(x, y, z)dzdx = Q(x, h(x, z), z)dxdz
S D2
gdzie D2 jest rzutem płata regularnego S na płaszczyznę OXZ.
Twierdzenie 5.
Jeżeli funkcje P(x, y, z), Q(x, y, z) i R(x, y, z) są ciągłe na płacie po-
wierzchniowym regularnym opisanym równaniem z = f (x, y), gdzie (x, y) "
D, to
P(x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy =
S
=µ [-P(x, y, f (x, y)) fx(x, y)-Q(x, y, f (x, y)) fy(x, y)+R(x, y, f (x, y))]dxdy
D
przy czym µ = 1, jeżeli pÅ‚at S zorientowany jest tak, że cos Å‚ > 0,
natomiast µ = -1 jeÅ›li orientacja jest przeciwna.
Wniosek 2 (zastosowania geometryczne).
Jeżeli powierzchnia zamknięta i gładka S jest zorientowana dodatnio, to
objętość V bryły ograniczonej tą powierzchnią może być obliczona jako
całka powierzchniowa zorientowana
1
|V| = xdydz + ydzdx + zdxdy
3
S
Twierdzenie 6 (Gaussa-Ostrogradzkiego).
Jeżeli funkcje P(x, y, z), Q(x, y, z) i R(x, y, z) są ciągłe wraz z pochodnymi
"P "Q "R
czÄ…stkowymi , , wewnÄ…trz i na brzegu obszaru przestrzennego
"x "y "z
V, który jest normalny względem wszystkich płaszczyzn układu współ-
rzędnych i jeżeli brzeg S obszaru V jest powierzchnią regularną zamknię-
tÄ… zorientowanÄ… skierowaniem wektora normalnego do powierzchni S na
zewnÄ…trz obszaru V, to
"P "Q "R
(5) Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = + + dxdydz
"x "y "z
S V
Uwaga 4.
Wzór Gaussa-Ostrogradzkiego pozwala zamienić całkę potrójną po ob-
szarze V na całkę powierzchniową zorientowaną po brzegu tego obszaru
i na odwrót.
Uwaga 5.
Wzór (5) jest słuszny dla obszarów, które dają się podzielić na skończoną
ilość obszarów normalnych względem płaszczyzn układu współrzędnych.
Twierdzenie 7 (Stokesa).
Jeżeli funkcje P(x, y, z), Q(x, y, z) i R(x, y, z) są ciągłe wraz z pochod-
nymi cząstkowymi pierwszego rzędu w pewnym obszarze zawierającym
powierzchniÄ™ dwustronnÄ… S ograniczonÄ… krzywÄ… K, przy czym orientacja
tej krzywej jest zgodna z orientacjÄ… powierzchni S, to
"R "Q "P "R "Q "P
Pdx+Qdy+Rdz = ( - )dydz+( - )dzdx+( - )dxdy
"y "z "z "x "x "y
K S
Uwaga 6.
Zgodność orientacji krzywej K będącej brzegiem płata powierzchniowego
S z orientacją tego płata należy rozumieć w ten sposób, że obieg do-
datni na krzywej K wokół wektora normalnego n do powierzchni S jest
zgodny z obiegiem wokół osi OZ krzywej C, która jest rzutem krzywej
K na płaszczyznę OXY.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
wykład 9 ETIwyklad7 1 ETIwyklad8 ETIwykład 8 ETIwykład 4 ETIwykład 5 ETIwykład 5 ETIwyklad18 ETIwykład 7 ETIwykład 3 ETIwyklad9 ETIwykład 12 ETISieci komputerowe wyklady dr FurtakWykład 05 Opadanie i fluidyzacjawięcej podobnych podstron