PROJEKT NR 3
OBLICZANIE UKA
ADÓW STATYCZNIE NIEWYZNACZALNYCH METOD
SIA

k= EIo[ /m ]
­Ä…ÔÄ…Bśą xźąa"
­Ä…ÔÄ…C śą xźąa"
ºÄ… X śą xźąƒÄ…ºÄ… X śą xźąƒÄ…­Ä… śą xźą=
P
ºÄ… X śą xźąƒÄ…ºÄ… X śą xźąƒÄ…­Ä… śą xźą=
P
Współczynniki wyznaczam wg wzoru:
ik
M M Ri Rk
i k
ds (3)
ik
EI k
pr
s
Mno\
enie fukncji podcałkowych wykonam z wykorzystaniem twierdzenia Mohra-Wiereszczagina.
Określenie wartości momentów i reakcji w sprę\
ynach wywołanych siłami X 1 oraz X 1
1 2
Stan X 1
1
Rys.1.3
x
; x 0 ;10
10
M x
x 8
1
; x 10 ;16
[-]
6 3
0 ; x 16 ; 24
Stan X 1
2
Rys.1.4
0 ; x 0 ;10
x 5
; x 10 ;16
M x
6 3
2
x
3 x 16 ; 24
8
2
1
8
1 1 2 2 6 5
0,5 10 1 1 0,5 6 1 1
11
EI 1,2 3 3 EI EI
o o o
1 7
8
1 1 6 24 0,611
0,5 6 1 1
12 21
EI 3 EI EI
o o o
2
7
8
1 2 2 24 5,347
0,5 6 1 1 0,5 8 1 1
22
EI 3 3 EI EI
o o o
KorzystajÄ…c z twierdzenia Maxwella :
x x (4)
1 P P1
x x
2 P P2
Przy czym x oznacza linię ugięcia belki wywołaną działaniem siły X 1 .Analogicznie - x to
P1 1 P2
linia ugięcia belki wywołana siłą X 1 [-].
2
1. Fukcję linii ugięcia wyznaczam wg równania ró\
niczkowego:
(5)
EI W ' ' x M x
gdzie W(x)-funkcja linii ugięcia wywołana siłą powodującą powstanie momentu zginającego M(x)
Wyznaczenie funkcji linii ugięcia od stanu X 1 .
1
Zale\
ność (5) przyjmie postać : EI W ' ' x M x
1
x
1) , M [-], EI 1,2 EI [kNm2]
x 0 ;10
1 o
10
x
1,2 EI W ' ' x | : 1,2
o
10
x
EI W ' ' x
o
12
x2
EI W ' x C
o
24
x3
EI W x Cx D
o
72
Wartości stałych całkowania obliczam wykorzystując znane warunki brzegowe:
stÄ…d
x 0 W 0 D 0
25
stÄ…d C
x 10 W 0
18
Uwzględniając powy\
sze wartości stałych całkowania funkcja linii ugięcia na tym przedziale przyjmuje postać:
1 x3 25
W x x
EI 72 18
o
x 8
2) , M [-], EI EI [kNm2]
x 10 ;16
1 o
6 3
x 8
EI W ' ' x
o
6
x2 8
EI W ' x x C
o
12 3
x3 8
EI W x x2 Cx D
o
36 6
Wartości stałych całkowania obliczam wykorzystując znane warunki brzegowe:
1 1
8
oraz 6 6 4
x 10 W 0
x 16 W EI
o
k EI 3
o
stÄ…d ,
C 20,56 D 100
Uwzględniając powy\
sze wartości stałych całkowania funkcja linii ugięcia na tym przedziale przyjmuje postać:
1 x3 8
W x x2 20,56 x 100
EI 36 6
o
3) , M 0 [-], EI EI [kNm2]
x 16 ; 24
1 o
EI W ' ' x 0
o
EI W ' x C
o
EI W x Cx D
o
Wartości stałych całkowania obliczam wykorzystując znane warunki brzegowe:
4
x 16 W EI ,
x 24 W 0
o
3
1
stÄ…d C ,
D 4
6
Uwzględniając powy\
sze wartości stałych całkowania funkcja linii ugięcia na tym przedziale przyjmuje postać:
1 x
W x 4
EI 6
o
Równanie linii ugięcia W(x), które jest jednocześnie poszukiwanym równaniem współczynnika x x
1 P P1
przyjmuje postać:
1 x3 25
x , x 0 ;10
EI 72 18
o
1 x3 8
x x W x
(6)
1 P P1 x2 20,56 x 100 x 10 ;16
EI 36 6
o
1 x
4 , x 16 ; 24
EI 6
o
Wyznaczenie funkcji linii ugięcia od stanu X 1 .
2
Zale\
ność (5) przyjmie postać : EI W ' ' x M x
2
1) , M 0 [-], EI 1,2 EI [kNm2]
x 0 ;10
2 o
1,2 EI W ' ' x 0 | : 1,2
o
EI W ' ' x 0
o
EI W ' x C
o
EI W x Cx
o
Wartości stałych całkowania obliczam wykorzystując znane warunki brzegowe:
stÄ…d
x=0 ŚąW =0 D=0
stÄ…d
x=10 ŚąW =0 C=0
Uwzględniając powy\
sze wartości stałych całkowania funkcja linii ugięcia na tym przedziale przyjmuje postać:
W śą xźą=0
x 5
2) , M = - [-], EI =EI [kNm2]
x")#10 ;16 *#
2 o
6 3
5
EI W ' ' śą xźą=-x ƒÄ…
o
6 3
2
5
EI W ' śą xźą=-x ƒÄ… xƒÄ…C
o
12 3
3
5
EI W śą xźą=-x ƒÄ… x2 ƒÄ…CxƒÄ…D
o
36 6
Wartości stałych całkowania obliczam wykorzystując znane warunki brzegowe:
-7 -7
Å"8
oraz 24 24
x=10 ŚąW =0
x=16 ŚąW = = =-7 EI
o
k EI 3
o
stÄ…d ,
C=-7,722 D=21,664
Uwzględniając powy\
sze wartości stałych całkowania funkcja linii ugięcia na tym przedziale przyjmuje postać:
3
1 5
W śą xźą= [-x ƒÄ… x2-7,722 xƒÄ…21,664]
EI 36 6
o
x
3) , M =3- [-], EI =EI [kNm2]
x")#16 ; 24 *#
2 o
8
x
EI W ' ' śą xźą= -3
o
8
x2
EI W ' śą xźą= -3 xƒÄ…C
o
16
x3 3
EI W śą xźą= - x2ƒÄ…CxƒÄ…D
o
48 2
Wartości stałych całkowania obliczam wykorzystując znane warunki brzegowe:
x=16 ŚąW =-7 EI ,
x=24 ŚąW =0
o
3
stÄ…d ,
C=34,958 D=-263
Uwzględniając powy\
sze wartości stałych całkowania funkcja linii ugięcia na tym przedziale przyjmuje postać:
1 x3 3
W śą xźą= [ - x2ƒÄ…34,958 x-263]
EI 48 2
o
Równanie linii ugiÄ™cia W(x), które jest jednoczeÅ›nie poszukiwanym równaniem współczynnika ­Ä…1 Pśą xźą=­Ä…P1śą xźą
przyjmuje postać:
0 , x")#0 ;10 *#
3
1 5
[-x ƒÄ… x2-7,722 xƒÄ…21,664] x")#10 ;16 *#
­Ä…2 Pśą xźą=­Ä…P2śą xźą=W śą xźą=
EI 36 6
o
1 x3 3
{ }
[ - x2ƒÄ…34,958 x-263] , x")#16 ; 24 *#
EI 48 2
o
Aby znalez
ć poszukiwane linie wpływowe X (x) oraz X (x) w arkuszu kalkulacyjnym Open Office wykonano obliczenia
1 2
wartości X X wg układu równań kanonicznych dla x=0,1,...,24 m .
1 , 2
Wyniki przedstawia tabela:
"1P(x) "2P(x) X1(x) X2(x)
x
0 0 0 0,000 0,000
1 1,38 0 -0,279 0,032
2 2,67 0 -0,541 0,062
3 3,79 0 -0,769 0,088
4 4,67 0 -0,947 0,108
5 5,21 0 -1,056 0,121
6 5,33 0 -1,082 0,124
7 4,96 0 -1,006 0,115
8 4 0 -0,811 0,093
9 2,38 0 -0,482 0,055
10 0 0 0,000 0,000
11 1,75 0,58 -0,342 -0,070
12 2,67 1 -0,518 -0,128
13 2,92 1,08 -0,567 -0,138
14 2,67 0,67 -0,526 -0,065
15 2,08 -0,42 -0,432 0,127
16 1,33 -2,33 -0,324 0,473
17 1,17 0,15 -0,233 -0,001
18 1 1,75 -0,162 -0,310
19 0,83 2,61 -0,109 -0,475
20 0,67 2,84 -0,069 -0,523
21 0,5 2,57 -0,042 -0,475
22 0,33 1,92 -0,023 -0,356
23 0,17 1,02 -0,010 -0,190
24 0 0 0,000 0,000
Tab.1
Linie wpływu obliczonych wielkości przedstawiają rysunki poni\
ej:
(x)
Rys.1.5
Rys.1.6
Rys.1.7
Rys.1.8
Linie wpływu reakcji oraz sił przekrojowych wyznaczam z zasady superpozycji zgodnie ze wzorem:
śą śą
nźą oźą
S x S x S X 1 X x S X 1 X x
1 1 2 2
śą
oźą
gdzie linie wpływowe danych reakcji lub sił przekrojowych w układzie statycznie wyznaczalnym.Wartości
S x
tych fukcji przedstawione zostały na rysunkach poni\
ej:
1)
x")#0 ;10 *#
Rys.1.9
2)
x"śą10 ;16źą
Rys.1.10
3)
x")#16 ;24 *#
Rys.1.11
Funkcje sił przekrojowych:
x
- , x")#0 ;6 *#
10
0źą
T śą xźą=
x
·Ä…
1- , x"śą6 ;10źą
10
{ }
0, x")#10 ;24 *#
2
x , x 0 ;6
5
śą
0źą
M ·Ä… x
[m]
x
6 1 , x 6 ;10
10
0, x 10 ; 24
Wartości reakcji i sił przekrojowych w stanie X =1[-]:
1
RA 1 10 1 m , RB 4 15 1 m , RC 1 6 1 m , RD 0 1 m ,T ·Ä… 1 10 1 m , M ·Ä… 0,6
Wartości reakcji i sił przekrojowych w stanie X =1[-]:
2
RA 0 1 m , RB 1 6 1 m , RC 7 24 1 m , RD 1 8 1 m ,T ·Ä… 0 1 m , M ·Ä… 0
Obliczenia wartości poszukiwanych fukcji linii wpływowych dla x=0,1,...,24 m wykonano w arkuszu kalkulacyjnym
Open Office. Wyniki zawarto w tabeli:
M(Ä…)o
T(Ä…)o(x)
X X1(x) X2(x) R(A)o(x) R(B)o(x) R(C)o(x) R(D)o(x) R(A)n(x) R(B)n(x) R(C)n(x) R(D)n(x) T(Ä…)n(x) M(Ä…)n(x)
(x)
[m] [m] [-] [-] [-] [-] [-] [m] [-] [-] [-] [-] [-] [-]
0 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
1 -0,279 0,032 0,900 0,100 0,000 0,000 -0,100 0,400 0,872 0,180 -0,056 0,004 -0,128 0,233
2 -0,541 0,062 0,800 0,200 0,000 0,000 -0,200 0,800 0,746 0,355 -0,108 0,008 -0,254 0,475
3 -0,769 0,088 0,700 0,300 0,000 0,000 -0,300 1,200 0,623 0,520 -0,154 0,011 -0,377 0,739
4 -0,947 0,108 0,600 0,400 0,000 0,000 -0,400 1,600 0,505 0,671 -0,189 0,014 -0,495 1,032
5 -1,056 0,121 0,500 0,500 0,000 0,000 -0,500 2,000 0,394 0,802 -0,211 0,015 -0,606 1,366
-0,6 -0,708
6 -1,082 0,124 0,400 0,600 0,000 0,000 2,400 0,292 0,909 -0,217 0,016 1,751
0,4 0,292
7 -1,006 0,115 0,300 0,700 0,000 0,000 0,300 1,800 0,199 0,987 -0,201 0,014 0,199 1,196
8 -0,811 0,093 0,200 0,800 0,000 0,000 0,200 1,200 0,119 1,032 -0,162 0,012 0,119 0,713
9 -0,482 0,055 0,100 0,900 0,000 0,000 0,100 0,600 0,052 1,038 -0,096 0,007 0,052 0,311
10 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000
11 -0,342 -0,070 0,000 0,833 0,167 0,000 0,000 0,000 -0,034 0,913 0,130 -0,009 -0,034 -0,205
12 -0,518 -0,128 0,000 0,667 0,333 0,000 0,000 0,000 -0,052 0,783 0,284 -0,016 -0,052 -0,311
13 -0,567 -0,138 0,000 0,500 0,500 0,000 0,000 0,000 -0,057 0,628 0,446 -0,017 -0,057 -0,340
14 -0,526 -0,065 0,000 0,333 0,667 0,000 0,000 0,000 -0,053 0,463 0,598 -0,008 -0,053 -0,316
15 -0,432 0,127 0,000 0,167 0,833 0,000 0,000 0,000 -0,043 0,303 0,724 0,016 -0,043 -0,259
16 -0,324 0,473 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 -0,032 0,165 0,808 0,059 -0,032 -0,194
17 -0,233 -0,001 0,000 0,000 0,875 0,125 0,000 0,000 -0,023 0,062 0,836 0,125 -0,023 -0,140
18 -0,162 -0,310 0,000 0,000 0,750 0,250 0,000 0,000 -0,016 -0,008 0,813 0,211 -0,016 -0,097
19 -0,109 -0,475 0,000 0,000 0,625 0,375 0,000 0,000 -0,011 -0,050 0,745 0,316 -0,011 -0,065
20 -0,069 -0,523 0,000 0,000 0,500 0,500 0,000 0,000 -0,007 -0,069 0,641 0,435 -0,007 -0,041
21 -0,042 -0,475 0,000 0,000 0,375 0,625 0,000 0,000 -0,004 -0,068 0,507 0,566 -0,004 -0,025
22 -0,023 -0,356 0,000 0,000 0,250 0,750 0,000 0,000 -0,002 -0,053 0,350 0,706 -0,002 -0,014
23 -0,010 -0,190 0,000 0,000 0,125 0,875 0,000 0,000 -0,001 -0,029 0,179 0,851 -0,001 -0,006
24 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000
Tab.2
Wykresy linii wpływowych reakcji oraz sił nadliczbowych w układzie statycznie niewyznaczalnym:
(x) [-]
Rys.1.12
Rys.1.13
(x) [-]
Rys.1.14
(x) [-]
Rys.1.15
(x) [-]
Rys.1.16
Rys.1.17


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych belka
Kraj SEJM NIE ROZWIÄ„ZANY
Analiza stat ścianki szczelnej
Dlaczego kobiety nie osiÄ…gajÄ… orgazmu
Kto nie chce poznać tajemnicy Smoleńska Nasz Dziennik
Co było i nie wróci Żydzi
Choresterol nie jest groźny margaryna art Polityki
Goralu czy ci nie zal txt
Liderzy jedza na koncu Dlaczego niektore zespoly potrafia swietnie wspolpracowac a inne nie lidjed
Nie w wymowie slow

więcej podobnych podstron